Friedrich Risner, Alhaceni De Optica: Liber V
▲ Liber IV

Alhazen filii Alhayzen Opticae liber qvintvs.

Liber iſte in duas partes diuiſus est. Prima pars eſt proœmium libri. Secunda de imaginibus.

Prooemivm libri. CAP. I.

1. Imago eſt form a uiſibilis, à polit a ſuperficie reflexa. In def. 5 libri.

LIquet ex quarto libro [2 n] quòd formæ rerum uiſarum reflectuntur ex corporibus politis, & uiſus comprehendit eas in corporibus politis propter reflexionem: & patuit [20. 21 n 4] quomodo fieret acquiſitio rerum ex reflexione formarum. Et uiſus comprehendit rem uiſam in loco determinato: & primò, cum non fuerit ſitus rei uiſæ ad uiſum mutatio. Et forma comprehenſa in corpore polito nominatur imago. Et nos explanabimus in hoc libro loca imaginũ ex corporibus politis: & dicemus quomodo acquiratur horũ locorũ ſcientia, & quomodo inueniatur ſyllogiſticè.

De locis imaginvm. CAP. II.

2. In ſpeculo plano imago uidetur in concurſu perpendicularis incidentiæ & lineæ reflexionis. 37 p 5.

Imaginis cuiuſcunq puncti locus, eſt punctum in quõ linea reflexionis ſecat perpendicularem à puncto rei uiſæ intellectam ſuper lineam contingentem lineam cõmunem ſuperficiei ſpeculi, page 126 uel ſuperficiei ſpeculo continuæ, & ſuperficiei reflexionis. Et nos hæc declarabímus. Sumatur ſpeculum planum, & ſtatuatur æquidiſtans horizonti: & lignum directũ & politum erigatur ſuper ſpe culum: & ſit ſpeculi quantitas, ut totũ poſsit uideri lignum: niſi enim totum appareat, error inerit: & ſignetur in ligno punctum aliquod nigrum: apparebit quidem uiſui lignũ æquale huic ultra ſpeculum, huic ligno continuum, & orthogonale ſupra ſpeculum, & in ligno apparẽte apparebit punctum ſignatum, tantùm diſtans à ſuperficie ſpeculi, quantùm ab eadem diſtat in ligno ſuperiore. Et ſi declinetur lignum ſupra ſpeculum: apparebit apparens eadem declinatione declinatum: & punctum ſignatum in apparente apparebit æquè remotum à ſuperficie ſpeculi. Et ſi à puncto ſignato lignum aliquod erigatur orthogonaliter ſupra ſpeculum: uidebitur etiam hoc lignum à puncto apparente orthogonaliter ſupra ſpeculum, & huic orthogonali continuum. Idem accidet pluribus punctis in ligno ſignatis. Idemq́ue penitus accidet eleuato aut depreſſo ſpeculo. Planum ergo per hoc, quòd imago puncti uiſi apparet in perpendiculari, ducta à puncto uiſo ad ſuperficiem ſpeculi. Et in hoc ſpeculo, quæ perpendicularis eſt ſuper ſuperficiem ſpeculi, eſt perpendicularis ſuper lineam communem ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis. Idem patére poteſt in pyramide ſuper baſim orthogonali, cuius baſis plana ſpeculo plano ſit orthogonaliter adhibita: apparebit enim huic pyramis alia continua, & harum pyramidum baſis eadem, & acumina ipſarum æqualiter à ſpe culo diſtantia. Et planum, quòd ſi ab acumine ad acumen ducatur linea recta, erit perpendicularis ſuper baſim: & ita ſuper ſpeculum, cum eadem ſit ſuperficies ſpeculi & baſis. Quare uertex pyramidis in perpendiculari uidebitur ab eo ad ſpeculum ducta. Similiter à quocunq puncto pyramidis ducatur linea æquidiſtans axi, cadet ad punctum reſpiciens ipſum in apparente pyramide: & erit linea illa perpendicularis ſuper baſim & ſuper ſpeculi ſuperficiem [per 8 p 11.] Quare imago cuiuſq puncti pyramidis cadit in perpẽdicularem, intellectam à puncto illo in ſpeculi ſuperficiem. Sed quodcunq punctum opponatur ſpeculo plano, eſt intelligere pyramidem, cuius punctum illud uertex: [per 14 n 4] quæ quidem pyramis ſuper baſim orthogonalis eſt, & etiam ſuper ſpeculi ſuperficiem, aut ei continuam: & eſt intelligere aliam huic pyramidi oppoſitam, quarum baſis eadem, & perpendicularis à uertice ad uerticẽ orthogonalis erit ſuper ſpeculum. Quare imago cuiuſcunq puncti ſpeculo oppoſiti, cadit in perpendicularem ductam à puncto ad ſpeculi ſuperficiem, aut ei continuam. Sed [per 21 n 4] planum eſt, quòd in ſpeculis non accidit comprehenſio formarum, niſi per lineas reflexionum. Quare imago puncti uiſi cadit in lineam reflexionis: & quælibet talis linea eſt recta. Quare imago cuiuſcunq puncti cadit in punctum ſectionis perpẽdicularis, ductæ ab illo puncto ad ſuperficiem ſpeculi, & lineæ reflexionis. Et in ſpeculis planis linea communis ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis eſt una linea cum linea contingente locum reflexionis. Quare planum, quòd in ſpeculis planis imaginis locus, eſt punctũ ſectionis perpendicularis à puncto uiſo ſuper lineam, contingentem communem lineam ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis, & lineæ reflexionis.

3. In ſpeculo ſphærico conuexo, imago uidetur in concurſu perpendicularis incidentiæ & lineæ reflexionis. 11 p 6.

IN ſpeculis ſphæricis extrà politis patebit quod diximus. Quęratur ſuperficies ſpeculi talis magna, in qua appareat forma baculi gracilis, perpendiculariter erecti ſuper ipſum: apparebit quidem forma baculi baculo continua: & apparebit in forma baculi punctum ſignatum, diſtans à ſuperficie ſpeculi ſecundum diſtantiam eius ab eodem, in baculo: & ſi fuerit baculus gracilior ex parte unius capitis, quàm ex parte alterius: apparebit quidem in hoc ſpeculo forma eius pyramidalis: & eſt error uiſus, quem poſtea aſsignabimus. Amplius: fiat pyramis orthogonalis ſuper baſim circularem circulatione perfecta: & applicetur etiam huic ſpeculo: uidebitur quidem pyramis huic cõtinua ſuper eandem baſim erecta, ſed minoriſta. Quòd autem appareat pyramis, planum eſt per hoc, quòd omnes lineæ ab apparehte imagine uerticis ad circulum baſis, uideantur æquales. Et ſi declinetur pyramis modicùm ſupra ſpeculum a ſitu, in quo tota uidetur, ut ſcilicet aliquid ex ea abſcondatur, dum tamen locus reflexionis in ſpeculo uiſui exponatur: apparebit etiam inde imago pyramidis. Et ſi elongetur uiſus à ſpeculo, aut accedat, dum tamẽ ſuper lineam à loco ad ipſum protractam cadat: comprehendetur imago pyramidis. Sed acceſſus uel receſſus ſecundum hanc lineam erit, ut notetur locus reflexionis, & à nota ad locum uiſus ducatur linea, ſecundum quam fiat proceſſus. Verùm quoniam imago pyramidis orthogonalis eſt ſuper baſim pyramidis, & baſis eſt circulus ex circulis in ſphæra: erit linea à uertice pyramidis ad uerticem imaginis ducta, orthogonalis ſuper circulum illum, & tranſibit per centrum eius [per 6.8 d 1 conicorum] & erit orthogonalis ſuper ſphæram, & tranſibit per centrum ſphæræ, & erit perpendicularis ſuper ſuperfificiem, ſphæram contingentem in puncto, per quod tranſit hæc linea [per 4 th. 1 ſphær. uel 25 n 4] & erit ſimiliter orthogonalis ſuper lineam, contingentem circulum ſphæræ per punctum illud tranſeuntem [per 3 d 11.] Et hæc contingens eſt linea, communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei contingenti ſphæram in puncto illo: & hæc linea contingit circulum ſphæræ, communem ſuperficiei ſphæræ & ſuperficiei reflexionis. Linea ergo à uertice pyramidis ad uerticem imaginis ducta, eſt perpendicularis ſuper lineam contingentem, lineam communem ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi: quæ quidem eſt circulus. In hac igitur perpendiculari uidetur imago uerticis. Et planum [per 21 n 4] quòd imago uerticis eſt in linea reflexionis. Quare page 127 comprehendetur imago uerticis in cõcurſu lineæ reflexionis, & perpendicularis à uertice ad ſphæram ductæ, ſiue ad contingentem, circulum communem ſuperficiei ſphæræ & ſuperficiei reflexionis. Sumpto autem quocunque puncto huic ſpeculo oppoſito, eſt intelligere pyramidem ſuper ſuperficiem ſpeculi orthogonalem, aut ſuper continuam ei, cuius uertex ſit punctũ ſumptum: [per 14 n 4] & linea ab illo puncto ad imaginẽ puncti illius, erit in ſuperficie reflexionis, & perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi, uel ei continuam modo prædicto: quoniam punctum uiſum & imago ſemper ſunt ſimul in ſuperficie reflexionis [per 23 n 4.] Quare & linea à puncto uiſo ad eius imaginem ducta.

4. In ſpeculis conuexis cylindraceo, conico, imago uidetur in concurſu perpendicularis incidentiæ & lineæ reflexionis. 37 p 5.

IN ſpeculis columnaribus exterius politis non apparent, quæ in ligno & pyramide diximus: quoniam recta in his ſpeculis uidetur non recta: & eſt error uiſus communis, cuius poſtea cauſſam aſsignabimus. Accidit tamen in ſolo corporis puncto uidere locum imaginis prædictum, hoc modo. Adhibito præcedentis libri inſtrumento, immittatur regula, cui ſit infixum columnare ſpeculum, ut media portionis ſpeculi linea ſit in ſuperficie regulæ, & non tranſeat hæc regula tabulam æneam, ſed ſuper ipſam cadat orthogonaliter, ita ut altitudo regulæ ſit ſuper lineam, diuidentẽ triangulum tabulæ æneæ. Erectione facta in hac tabula, impleatur cera, & inducatur ei planities, ut ſit in eadem ſuperficie cum tabula: & eſt; ut certior fiat orthogonalis regulę directio ſuper tabulam. Deinde quæratur regula acuta, & acuatur extremitas, & applicetur huius regulæ acuitas mediæ ſu perficiei annuli lineæ, & deſcendat ſecundum lineam hanc, & ubi ceciderit ſuper regulam, fiat ſignum. Poſtea acus deſcendat, in qua infixum ſit modicũ corpus album: & hoc in termino, ne deicendat acus uſq ad regulam. Adhibeatur autem uiſus, ut ſit in ſuperficie regulæ, & claudatur unus uiſuum: uidebitur quidem imago corporis ſuper lineam, à puncto ſignato ad acumen acus protractam: quæ quidem linea perpendicularis eſt ſuper ſuperficiem regulæ; quæ ſuperficies tangit columnam in linea longitudinis: & eſt perpendicularis ſuper lineam longitudinis columnæ, quæ eſt in ſuperficie regulæ: & eſt linea cõmunis ſuperficiei regulæ & ſuperficiei reflexionis: & in ſuperficie re flexionis ſunt linea longitudinis & linea perpendicularis. Et ſi ſitus uiſus mutetur, & circa annuli ſu perficiem uiſus uoluatur: apparebunt ſicut prius, & in eadem linea corpus, & imago corporis, & acus. Et eſt linea illa perpendicularis ſuper mediam longitudinis columnæ lineam: & hæc eſt perpendicularis in ſuperficie reflexionis: quoniam ſuperficies annuli ſecat columnam ſuper circulum, æquidiſtantem baſi columnæ: & in hac ſuperficie eſt uiſus. Et nos probabimus poſtea, quòd quando uiſus, & uiſum corpus fuerint in ſuperficie, æquidiſtante baſi columnæ, illa eſt ſuperficies reflexionis. In hoc autem ſitu, linea communis ſuperficiei columnæ, & ſuperficiei reflexionis, eſt circulus: & perpendicularis, in qua uidetur imago & corpus, orthogonaliter cadunt ſuper lineam, hunc circulum contingentem. His peractis auferatur acus à loco ſuo, & ponatur regula acuta ſuper lineam annuli mediam, ita ut cadat ſuper mediam longitudinis regulæ lineam, & adhibeatur regula acuta ſuperficiei annuli cera firmiter. Poſtea auferatur regula, in qua eſt ſpeculum, & accipiatur regula acuta, & applicetur eius acuitas mediæ longitudinis regulæ lineæ, & ſecundum proceſſum acuitatis fiat cum incanſto ſuper ſpeculum protractio. Pòſt ſumatur triangulum cereum modicum, cuius unum latus ſit æquale altitudini regulæ, in qua eſt ſpeculum, & ſit ſpiſsitudo huius trianguli moderata, & ſuperficies huius trianguli ſint planæ pro poſſe: & adhibeatur columnæ regulæ triangulum firmiter ſub baſi regulæ, & latus eius æquale altitudini regulæ ponatur ſuper latus baſis regulæ. Cum ita fuerit, erit huius trianguli altitudo ſuper baſim columnæ æqualem regulæ. Et ut efficiatur ſuperficies plana ad modum ſuperficiei regulæ, includatur triangulum inter regulam & ſuperficiem planam, & comprimatur, donec ſit bene complanatum, & ſuper ſuperficiem huius trianguli ponatur regula acuta, & ſecetur finis huius trianguli cum acuitate regulæ, & erit finis eius linea recta, & erit linea hæc baſis regulæ, in qua eſt ſpeculum. Poſtea ponatur regula ſuper ſuperficiem tabulæ, quæ eſt in inſtrumento, & ponatur finis eius baſis, quæ eſt in longitudine, quæ eſt latus trianguli cerei, ſuper lineam, quę eſt in longitudine tabulę, ſicut factum eſt prius: & erit ſuperficies regulæ, in qua eſt ſpeculum, orthogonalis ſuper tabulam æneam: & hæc ſuperficies ſecat tabulam æneam ſuper lineam, quæ eſt in longitudine eius: & hæc ſuperficies tangit ſuperficiem ſpeculi ſuper lineam, quæ eſt in ſuperficie ſpeculi: & hæc eſt ſuperficies regulæ, in qua eſt ſpeculum: & erit angulus regulæ acutæ, adhærentis in media linea ſuperficiei annuli, in qua ſuperficie erit ſpeculum, declinatus in partem, in qua eſt caput trianguli: quia regula exaltauit unam partem eius cum corpore trianguli, & alia pars, quæ eſt poſt caput trianguli, eſt ſuperficies tabulæ æneæ: & erit linea, quæ eſt in medietate ſpeculi, declinata. Et quando fuerit latus trianguli cerei ſuper lineam, quæ eſt in longitudine æneæ tabulæ: mouebitur regula, in qua eſt ſpeculum: & latus trianguli in hoc motu, ſi ſit ſuper lineam longitudinis tabulę æneæ, & procedat uel retrocedat, donec concurrat angulus regulæ acutę cum puncto aliquo lineę ſuperficiei ſpeculi, donec firmetur re gula acuta, & auferatur linea in ſpeculo cum incauſto facta: & fiat punctum in ſuperficie ſpeculi in directo capitis regulæ acutę, & auferatur regula acuta, & apponatur acus, & ſit acus ſuper lineam mediam ſuperficiei annuli, & adhærere cogatur cum cera: erit linea intellectualis ab acu in punctum ſignatum in ſuperficie ſpeculi, perpendicularis ſuper ſuperficiem regulæ, quæ tangit ſu page 128 perficiem ſpeculi ſuper punctum ſignatum, & perpendicularis ſuper quamlibet lineam ab illo puncto protractam, in ſuperficiem contingentem ſpeculum. Erit ergo perpen dicularis ſuper lineam rectam, contingentem lineam communem ſuperficiei altæ annuli & ſuperficiei ſpeculi. Ponatur autem uiſus in ſuperficie annuli, in capite eius, & uidebit in ſpeculo, donec comprehendat formam corporis parui, quod eſt in acu: & tunc percipiet corpus illud, & punctum in ſpeculo ſignatum, & imaginem illius corporis. Et linea tranſiens per corpus paruum, & per punctum in ſuperficie ſignatum, eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculi ſuperficiem ſuper punctũ ſignatum: & hæc ſuperficies annuli, eſt ex ſuperficiebus reflexionis: & corpus paruum, & centrum uiſus ſunt in hac ſuperficie, & punctus reflexionis eſt in hac ſuperficie: & hæc deinceps probabimus. Et imago corporis parui in hoc ſitu, erit ſuper lineam rectam, à corpore paruo protràctam ſuper ſuperficiem, contingentem ſuperficiem ſpeculi: & eſt hæc linea perpendicularis ſuper lineam rectam, contingentem lineam communem ſuperficiei ſpeculi, & ſuperficiei reflexionis, quæ eſt ſuperficies annuli. Et ſuperficies reflexionis eſt ex ſuperficiebus declinantibus, ſecantibus columnam inter lineas longitudinis columnæ, & circulos eius æquidiſtantes baſibus: quia regula & ſpeculum, quod eſt in ea, ſunt declinata. Linea ergo communis huic ſuperficiei & ſuperficiei ſpeculi, eſt ex ſectionibus columnaribus. Et ita explanabimus locum imaginis, ut mutetur ſitus regulæ, in qua eſt ſpeculum & declinetur ſuper ſuperficiem eius aliqua declinatione maiore uel minore. Palàm ergo ex his, quòd imago percipitur, ubi perpendicularis à uiſo puncto ad ſpeculi ſuperficiem ducta, concur rit cum linea reflexionis. Et hic eſt ſitus prædictus. Eadem poterit adhiberi operatio in ſpeculo pyramidali exteriore: & idem patebit ſiue ſintimagines rerum uiſarum in ſectionibus pyramidalibus, ſiue in ijs, quæ fiunt ſecundum lineas longitudinis.

5. Rectarum linearum ab eodem uiſibilis puncto in ſpecula planum uel conuexum cadentium: minima eſt perpendicularis. 21 p 1.

SI à puncto uiſo ad ſpeculi ſuperficiem ducantur lineę: quæ perpendicularis eſt, minor eſt quali bet alia. Quoniã quælibet alia prius ſecat communẽ lineã ſuperficiei cõtingentis ſpeculum, in quam orthogonaliter cadit perpendicularis, & ſuperficiei reflexionis, antequã ueniat ad ſpeculum: & quælibet linea à puncto uiſo in hac ſuperficie, ad hanc lineã cõmunẽ ducta, eſt maior perpendi culari [per 19 p 1] quia maiorẽ reſpicit angulũ [rectũ nẽpe a e f in triangulo a e f.] Quare patet propoſitũ.

6. In ſpeculo ſpbærico cauo, imago uidetur in concurſu perpendicularis incidentiæ & lineæ refle xionis. 37 p 5.

IN ſpeculis ſphæricis concauis comprehenduntur imagines quædam ultra ſpeculum: quædam in ſuperficie: quædam citra ſuperficiem. Et harũ quædam comprehenduntur in ueritate, quædam præter ueritatem. Omnes, quarum comprehenditur ueritas, apparent in loco ſectionis perpendicularis & lineæ reflexionis: quod ſic patebit. Fiat pyramis, & eius axis ſit orthogonalis ſuper baſim: & diameter baſis ſit minor medietate diametri ſphæræ: & linea longitudinis pyramidis, ſit maior eadẽ ſemidiametro: & ſecetur ex parte baſis, ad quantitatẽ eius, ſcilicet ſemidiametri: & fiat ſuper ſectionẽ circu lus: & ſecetur pyramis ſuper hũc circulũ. Poſtea in medio ſpeculi fiat circulus ad quantitatẽ baſis py ramidis remanentis: & aptetur huic circulo pyramis, & firmetur cum cera. Deinde ſtatuatur uiſus in ſitu, in quo imaginem pyramidis poſsit comprehendere: & adhibeatur lux, ut certior fiat comprehenſio: non uidebis quidem pyramidem huic coniumctam, ſed comprehendes hanc ultra ſpeculum extenſam: unde apparebit pyramis quædam continua, cuius baſis ultra ſpeculum eſt, & pars cius pyramis cerea. Et ſi in hac pyramide ſignetur linea longitudinis cum incauſto: uidebitur hæc linea protendi ſuper ſuperficiẽ pyramidis apparentis. Et quoniã uertex pyramidis eſt centrũ ſphæræ: linea à uertice ſecundum longitudinem pyramidis ducta, erit perpendicularis ſuper lineam, con tingentem quemlibet circulum ſphæræ, per caput lineæ tranſeuntem[quodlibet enim conilatus æquatur ſemidiametro ſphæræ per fabricam: uertex igitur coni eſt centrum maximi in ſphæra circuli: cuius ſemidiameter eſt latus: itaque per 18 p 3 ad lineam tan gentem eſt perpendiculare.] Quare quælibet linea longitudinis pyramidis apparentis, eſt perpendicularis ſuper lineam, contingentem lineam cõmunem ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſphæræ: quę quidem linea cõmunis eſt circulus [per 1 th 1 ſphæ.] & quodlibet punctum pyramidis in hac uidetur perpendiculari: & quælibet perpendicularis eſt in ſuperficie reflexionis [per 23 n 4:] quoniam punctum uiſum & imago eius ſunt in perpendiculari, & in hac ſuperficie: & omnis imago comprehenditur in linea reflexionis [per 21 n 4.] Quare imago cuiuſcũq puncti pyramidis, erit in puncto ſectionis perpendi page 129 cularis & lineæ reflexionis. Puncta autem, quorum imagines citra ſpeculum eomprehenduntur, hoc eſt inter uiſum & ſpeculum, ſunt, cum à quolibet eorum linea ducta ad centrum ſpeculi, ſecat la titudinem uiæ inter uiſum & ſpeculum interiacentis. Et ut uideatur hoc: auferatur pyramis à medio ſpeculi: & collocetur in parte, erit uertex centrum ſpeculi: & remotio uiſus ſit maior ſemidiame tro ſphæræ. Deinde ſumatur lignum gracile album, & ſtatuatur in ſpeculo, ut ſit centrum ſpeculi directè medium inter caput ligni & centrum uiſus, & dirigatur intuitus in punctum ſpeculi, à quo linea ad uerticem pyramidis ducta, ſit inter caput ligni & uiſum: & apparebit forma capitis ligni citra ſpeculum, & propin quior uiſui uertice pyramidis: & erunt in eadem linea recta, uertex pyramidis, & caput ligni, & imago capitis. Et hæc linea eſt perpendicularis ſuper lineam, contingentem lineam communem ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis [per 25 n 4:] quoniam ſuperficies reflexionis tranſit per centrum & punctum uiſus. Et linea tranſiens per hæc duo puncta, eſt in ſuperficie reflexionis. Et linea cõmunis eſt circulus: & hæc linea huic circulo erit diameter: quoniã centrum illius circuli, eſt centrum ſphæræ. Quare erit hæc linea perpendicularis ſuper lineam, contingentem circulum in capite huius lineæ [per 18 p 3:] & hæc linea tranſit per punctum uiſum, & eius imaginem. Et ita quodlibet punctum citra ſpeculum uiſum, comprehenditur in eadem linea cum centro & cum imagine eius: & quodlibet punctum uidetur in linea reflexionis [per 21 n 4.] Quare in loco ſectionis perpendicularis & lineæ reflexionis. Et ea, quorum ueritas in his ſpeculis comprehenditur, ſunt, quorum imagines apparent ultra ſpeculum uel citra ſuperficiem eius: & præter hæc, nulla ſunt, quæ in hoc ſpeculo in ueritate comprehendat uiſus, ipſa enim prohibent imagines ſuas ueras apparere. Imagines, quæ apparent in ſuperficie huius ſpeculi, ſunt ex ultima partitione: & hæc explanabimus, cum erit ſermo de erroribus uiſus. Quodlibet ë[?]rgo punctum in ueritate in hoc ſpeculo comprehenſum, apparet in concurſu perpendicularis & lineæ reflexionis: quæ quidem perpendicularis tranſit à puncto uiſo ad centrum ſphæræ, & cadit orthogonaliter in contingentem, lineam communem.

7. In ſpeculis cauis cylindraceo, conico, imago uidetur in concurſu perpendicularis incidentiæ & lineæ reflexionis. 37 p 5.

IN ſpeculis columnaribus concauis diuerſificatur imago: aliquando enim erit locus eius in ſuperficie ſpeculi: aliquando ultra: & in his omnibus aliquando in ueritate comprehendetur: aliquando non. Cum uolueris in his locum imaginis percipere: facias, ſicut feciſti in columnaribus exterioribus. Adhibeatur enim regula, in qua ſit columna concaua, ſicut adhibita eſt ſuperius, & acus ſimiliter, & corpus modicum, in ſummitate acus: & ponatur uiſus oppoſitus in medio circuli, & in medio ſuperficiei annuli: & ſubleuetur uiſus modicum à ſuperficie annuli: & inſpiciat, donec imaginem corporis uideat, & comprehendat formam corporis, & corpus, & punctum in ſpe culo, ſignatum in eadem linea perpendiculari, ſuper ſuperficiem ſpeculi: & hoc per ſyllogiſmum ſen ſualem. Et erit imago ultra ſpeculum, & erit reflexio ex puncto lineæ rectæ, quæ eſt in medio ſpeculi. Deinde ſtatuatur uiſus in ſuperficie annuli, ſed extra medium, donec uideat imaginem corporis parui: uidebit quidem eam citra ſpeculum: & uidebit corpus, & eius imaginem, & punctum in ſpeculo ſignatum, in una linea recta perpendiculari, ſuper lineam rectam contingentem circulum æquidiſtantem baſi ſpeculi, ſuper punctum ſignatum in ſpeculi ſuperficie: & ſuperficies huius, eſt ſuperficies reflexionis in hocſitu: & eſt ſuperficies faciei annuli: & punctum reflexionis eſt punctum illius circuli. Poſtea adhibeatur cum manu alia acus, in cuius ſummitate ſit corpus modicum: & ſtatuaturin ſuperficiem & axem, hoc modo, ut corpus, & punctum ſignatum ſint in eadem linea, ſecundum ſenſualem ſyllogiſmum: & ſit uiſus in ſuperficie annuli, inter caput eius & medium: uidebit quidem imaginem corporis, & uidebit hanc imaginem & corpus eius, & punctum ſignatum in ſuperficie ſpeculi, in eadem linea recta. Si autem declinetur linea recta cum triangulo paruo, quod fecimus, & ſit uiſus in medio annuli: uidebit imaginem citra ſpeculum, ſed in eadem linea recta cum corpore, & puncto ſignato. Et hæc reflexio erit ex columnaribus ſectionibus: quoniam ſpeculum eſt declinatum: & ſcimus [è 21 n 4] quòd non percipitur imago, niſi in linea reflexionis. Palàm ergo, quòd locus imaginis eſt, ubi ſecat perpendicularis prædictam lineam reflexionis, cum comprehenditur ueritas. Et licet non comprehendatur certitudo imaginis, tamen erit modus harum imaginum cum ueritatis imaginibus. Pari modo uidere poteris imaginem in pyramidalibus concauis in concurſu perpendicularis cum linea reflexionis. Palàm ergo, quòd in omnibus ſpeculis comprehenduntur imagines in loco prædicto: qui quidem locus ſimiliter dicitur imaginis locus.

8. Imago in quocun ſpeculo, uidetur in concurſu perpendicularis incidentiæ & lineæ reflescionis. 37 p 5.

QVare autem comprehendantur res uiſæ per reflexionem in locis imaginum: & quare imago ſit ſuper perpendicularem à re uiſa in ſpeculi ſuperficiem, declarabimus cauſſam. Viſus cum acquirit form am per reflexionẽ, acquirit eam ſtatim ſine certitudine, & acquirit longitudinẽ per æſtimationẽ, & hanc longitudinẽ cõprehendet forſitan in ueritate, per diligentiã intuitus adhibitã, forſitan nõ. Et iſtud explanauimus in libro ſecũdo [24. 25. 38. 39 n:] & ibi dictũ eſt, quòd page 130 uiſus acquirit longitudinem per ſyllogiſmum ex magnitudine corporis, & angulo aliquo, ſub quo comprehenditur magnitudo. Et acquiſitio rei uiſæ notæ manifeſta eſt in hunc modum. Res etiam ignotæ comprehenduntur in hunc modum: conferuntur enim rebus cognitis & magnitudinibus uel longitudinibus notis. Cum uiſus comprehendit rem aliquam per reflexionem: non comprehendit longitudinem imaginis, niſi per æſtimationem: dein de adhibita diligentia, acquirit longitudinem, & uerificat per ſyllogiſmum ex magnitudine rei uiſæ & angulo pyramidis, ſuper quam forma reflectitur ad uiſum. Cum ergo res uiſa ex rebus notis fuerit, uiſus acquirit eius longitudinem per iam notam longitudinem angulum æqualem huic tenentem, & huic longitudini ſimilem. Similiter res uiſa cum fuerit ignota, confertur magnitudo eius alij magnitudini rerum uiſarum notarum, & acquiritur longitudo eius imaginis per ſyllogiſmum menſuræ anguli, quem tenet imago in centro uiſus, in hora reflexionis. Et à loco, in quo eſt forma rei uiſæ comprehenſa per reflexionem, forma directè ueniens ad angulum circa oculum, accedit ſuper pyramidem ipſam, per quam forma reflectitur ad uiſum: & eadem pyramis occupabit totam formam, quæ fuerit in loco imaginis. Viſus ergo cum acquirit rem uiſam per reflexionem: acquirit eam in loco imaginis: quoniam forma comprehenſa eſt in loco imaginis per reflexionem. Quare ſimilis eſt formæ directè comprehen ſæ, occupatæ ab illa pyramide. Et hæc eſt cauſa, quare comprehendatur in loco imaginis.

9. Imago in ſpeculo plano uidetur in perpendiculari incidentiæ. 36 p 5.

QVare autem comprehendatur imago in perpendiculari, dicemus. Scimus [per16 n 4] quòd punctum uiſui perceptibile, non eſt intellectuale, ſed ſenſuale, & forma eius ſenſualis. Dico igitur in ſpeculis planis, quòd cum imago non appareat in ſuperficie ſpeculi, ſed ultra: competentius eſt, & rationabilius, ut appareat ſupra perpendicularem, quàm extra eam. Cum enim in loco perpendicularis aſsignata fuerit diſtantia eius à puncto reflexionis ſpeculi, quæ ſcilicet eſt pars lineæ reflexionis, à loco imaginis ad punctum reflexionis ductæ: erit æqualis diſtantiæ puncti uiſi à puncto reflexionis. Quia enim ſuperficies ſpeculi eſt orthogonalis ſuper perpendicularem, [per theſin] & linea à puncto reflexionis ad perpendicularem ducta eſt latus duobus triangulis commune, & angulus lineæ acceſſus eſt æqualis angulo reflexionis [per 10 n 4, & angulus f c d æquatur angulo e c b per 15 p 1: ideoq́ angulo a c b] quare duo anguli unius trianguli ſuntæquales duobus angulis alterius trianguli [anguli enim ad b recti ſunt per theſin & 3 d 11] & unum latus commune eſt: quare [per 26 p 1] reliqua latera æqualia ſunt reliquis lateribus. Si ergo imago in perpendiculari apparuerit: æqualiter à ſpeculo diſtabit cum corpore, à quo procedit: & erit ima gini idem ſitus, reſpectu puncti reflexionis, qui eſt in puncto uiſo, reſpectu puncti eiuſdẽ: & idem eſt ſitus, reſpectu uiſus. Vnde in hoc ſitu apparebit ueritas & puncti uiſi, & imaginis. Si uerò imago fuerit extra perpendicularem, cum fuerit neceſſe eam in linea reflexionis eſſe, [per 2 n 4] aut erit ultra perpendicularem, aut citra, reſpectu uiſus. Si fuerit ultra: erit quidem remotior à puncto reflexionis, & à uiſu, quàm punctum uiſum, unde tenebit minorem angulum in ocu lo, quàm punctum uiſum, & minorem occupabit uiſus partem: unde cum ſit æqualis, uidebitur minor eo. Si autem fuerit citra perpendicularem, uidebitur maior, cum ſit propinquior.

10. Imago in ſpeculis conuexis, cauis: ſphærico, cylindraceo, conico uidetur in perpendiculari incidentiæ. 36 p 5.

IN ſpeculo ſphærico extrà polito uidetur imago ſuper perpendicularem. Aut enim uidetur imago centri uiſus: aut alterius puncti. Si imago centri uiſus: dico, quòd dignior eſt perpendicularis ab oculo ad centrum ſphæræ ducta, ut ſuper eam appareat imago centri uiſus, quàm alia. Si enim forma directè procedat ſecundum hanc perpendicularem uſque ad centrum ſphæræ, eundem ſemper ſeruabit ſitum, reſpectu uiſus: & ita cuicunque puncto ſphæræ opponatur forma: perpendicularis ad centrum mota, identitatem ſitus tenebit, reſpectu uiſus: & idem erit ſitus formæ in una perpendiculari, quæ & in alia: quoniam centrum ſphæræ eundem habet ſitum, reſpectu cuiuslibet puncti ſphæræ, & omnes huiuſmodi perpendiculares eiuſdem ſunt ſitus. Si autem extra perpendicularem imago moueatur, ad quodcunque punctum ſphæræ mutabitur ſitus eius, reſpectu uiſus: quoniam alium habebit ſitum extra perpendicularem, quàm in perpendiculari, & extra ſpeculum mouebitur perpendicularis, & non intra: & ſi extra ſpeculum appareat, non ſeruabit ſitum. Et conuenientius fuit, ut ſeruaret ſitum imago, quàm ut mutaret, ut uiſus rem uiſam certius comprehenderet. Ob hoc imago centri uiſus ſuper perpendicularem apparet. Et huic imagini non poſſumus certum aſsignare in perpendiculari punctum: quoniam non inuenitur dignitas in uno perpendicularis puncto maior, quàm in alio, ut hæc imago determinatè appareatin eo: ſed ſcimus, quòd in quocunque puncto huius perpendicularis appareat, ſemper appa page 131 ret continua cum apparente oculo: & ſemper in totali forma apparente eundem tenet locum & ſitum. Cuiuſcunq uerò puncti imago, præter centrũ uiſus, ad ſpeculum accedit, mouetur declinatè: quare nõ durat ei ſimilitudo ſitus, reſpectu uiſus: & perpendicularis à puncto uiſo ad ſpeculũ ducta, cadit ſuper centrũ ſphęrę: in qua quidẽ perpẽdiculari obſeruat imago ſimilitu dinẽ ſitus. Nõ eſt ergo punctum, in quo cõprehenſa imago ſeruet ſimilitudinẽ ſitus, niſi in perpendiculari illa. Et cũ oporteat ipſam comprehendi in linea reflexionis, [per 21 n 4] comprehendetur in concurſu huius lineæ cum hac perpendiculari. Iam ergo aſsignauimus cauſſam huius rei. Verùm rerum naturaliũ ſtatus reſpicit ſitus ſuorum principiorũ, & principia rerum naturaliũ ſunt occulta. Idem erit modus proba tionis in ſpeculo ſphærico concauo. Similiter in pyramidali concauo, uel extrà polito. Et uniuerſali ter erit locus imaginis in perpendiculari in quocunq ſpeculo: quoniam non eſt locus extra perpen pendicularem, in quo forma obſeruet ſimilitudinem ſitus & identitatem. His explanatis reſtat demonſtratiuè declarare locum imaginis, in qualibet ſpeculorum ſpecie. Dicimus ergo, quod linea, per quam reflectitur forma puncti cuiuslibet comprehenſi à uiſu in ſpeculo plano, quando ipſum egreſſum eſt à perpendiculari, quæ à centro uiſus cadit in ſuperficiem ſpeculi plani: concurret cum perpendiculari, producta ab illo puncto ad ſuperficiem ſpeculi: & erit punctum concurſus (qui eſt locus imaginis) ultra ſpeculum: & erit longitudo illius à ſuperficie ſpeculi, æqualis longitudini pun cti uiſi à ſuperficie ſpeculi: & uiſus non acquirit imaginem puncti uiſi, niſi in loco illo. Et quodcunq punctum acquirit uiſus in hoc ſpeculo: non apparebit ex eo, niſi unica imago. Quodcunq autẽ pun ctum comprehendit uiſus in ſpeculo ſphærico extrà polito, quando egreditur forma à perpendiculari, ducta à centro uiſus ad centrum ſpeculi: linea, per quã reflectitur imago ad oculum, concurret cum linea producta à puncto illo ad centrum ſpeculi: quæ linea eſt perpendicularis, ducta à puncto illo orthogonaliter ſuper lineã, contingentẽ lineam cõmunem ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei ſpeculi. Et ſitus puncti concurſus, qui eſt locus imaginis, à ſuperficie ſpeculi erit ſecundũ ſitum uiſus à ſuperficie ſpeculi. Et forſitan erit punctum concurſus ultra ſpeculum, forſitan in ſuperficie ſpe culi, forſitan intra ſpeculum. Et uiſus comprehendit imagines omnes ultra ſpeculum, licet diuerſa ſint earum loca: & non comprehendit locum cuiuslibet imaginis, niſi ſyllogiſticè in ſuperficie ſpeculi. Et quodlibet punctum comprehenſum in hoc ſpeculo, non prætendit, niſi unam imaginem. In ſpeculo columnari extrà polito, & pyramidali extrà polito, quodcunq punctum comprehendit uiſus, cum fuerit extra perpendicularem, ductam à centro uiſus, orthogonalem ſuper ſuperficiem con tingentem ſuperficiem ſpeculi: linea, per quam reflectitur forma ad uiſum, concurret cum perpendi culari, ducta ab illo puncto ſuper rectam lineam, contingentem lineam communem ſuperficiei reflexionis, & ſpeculi. Et loca imagihum horum ſpeculorum quædam ſunt ultra ſuperficiem ſpeculi: quædam in ſuperficie: quædam citra. Et uiſus acquirit omnes imagines horum ſpeculorum ultra ſu perficiem ſpeculi. Et quodcunq punctum comprehendit uiſus in his ſpeculis, non efficit, niſi unam imaginem tantùm. In ſpeculo ſphærico concauo lineæ, per quas reflectuntur formæ punctorũ uiſorum: quædam concurrunt cum perpendicularibus, ductis à punctis illis ſuper lineas, contingentes lineas communes ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis: quædam ſunt æquidiſtantes his perpendicularibus. Et earum, quæ concurrunt cum perpendicularibus, quædam habent locum concurſus (qui eſt locus imaginis) ultra ſpeculum: quædam citra ſpeculum. Et quæ citra ſpeculum habent: quædam inter uiſum & ſpeculum: quædam ſuper ipſum centrũ uiſus: quædam ultra centrum uiſus. Et uiſus quaſdam formarum rerum uiſarum, quas acquirit in his ſpeculis, comprehendit in lo co imaginis, qui eſt punctum concurſus: & hæ ſunt, quas uiſus certò comprehendit: quaſdam comprehendit extra locum concurſus: & eſt comprehenſio ſine certitudine. Et res uiſæ, quas acquirit ui ſus in hoc ſpeculo, quædam unam præ ſe ferunt imaginem tantùm: quædam duas: quædam tres: quædã quatuor. Nec poteſt eſſe, quod una res prætendat plures. In ſpeculo pyramidali cõcauo & co lumnari concauo lineæ, per quas reflectuntur formæ ad uiſum: quædam concurrunt cum perpendi cularibus, ductis à punctis uiſis ſuper lineas, contingentes lineas communes: & quædam ſunt æqui diſtantes perpendicularibus. Quæ concurrunt cum perpendicularibus: quædam habent concurſum ultra ſpeculum: quædam citra. Quæ autem citra: quædam inter ſpeculum & uiſum: quædam ſu per centrum uiſus: quædam ultra centrum uiſus. Et comprehenſio rerum uiſarum in hoc ſpeculo per uiſum, quædam fit in loco imaginis (qui eſt locus concurſus) quædam extra locum concurſus. Et eorum, quæ comprehenduntur, aliud prætendit unam imaginem tantùm: aliud duas: aliud tres: alind quatuor. Nec aliquod eſt, quod poſsit prætendere plures, quàm quatuor. Et nos declarabimus hæc omnia demonſtratiuè.

11. Viſibile & imago à ſpeculi plani ſuperficie in oppoſit as partes æquabiliter distant. 49 p 5.

SIt a punctum uiſum: b centrum uiſus: c d e ſpeculum planum: & ſit d punctum reflexionis: c d e linea communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi. A puncto d ducatur d f perpendicularis ſuper lineã cõmunẽ: [per 11 p 1] & à puncto a ducatur perpendicularis ſuper ſpeculi ſu perficiẽ, [per 11 p 11] quæ ſit a c, & producatur ultra ſpeculũ: & a d ſit linea, per quã forma accedit ad ſpeculũ: b d, per quã reflectitur ad uiſum. Igitur b d, f d, a d, ſunt in ſuperficie reflexionis [per 23 n 4.] Et cũ f d ſit æquidiſtãs a c [per 28 p 1: quia cũ a c ſit քpẽdicularis ſuperficiei ſpeculi per fabricatiõem: erit perpẽdicularis lineę c d e per 3 d 11] & [per 13 p 11] d b declinata ſit ſuper f d, cõcurret [per lemma Procli ad 29 p 1] b d cũ a c. Cõcurrat ergo in puncto g. Dico, quòd g c eſt æqualis c a. Quoniã enim page 132 angulus b d e æqualis eſt angulo a d c [per 10 n 4, & per 15 p 1 angulus b d e æqualis angulo g d c: ergo per 1 ax: angulus a d c æquatur angulo g d c] & angulus a c d æ qualis angulo g c d [per 10 ax:] & latus c d commune. Quare [per 26 p 1] triangulum æquale triangulo. Quare g c æqualis a c.

12. Viſu & uiſibili datis, in ſpeculo plano punctum reflexionis inuenire. 46 p 5.

ET ſi uoluerimus per perpendicularem inuenire locum reflexio nis: ſecetur ex perpendiculari ultra ſpeculum pars, æqualis par ti eius uſq ad ſpeculum: & eſt, ut ſit g c æqualis a c: & ducatur li nea à centro uiſus ad punctum g, quæ ſit b d g. Dico, quòd d, eſt punctum reflexionis. Quoniam enim [per fabricationem & 2 ax:] a c & c d ſunt æqualia c g & c d, & angulus angulo [a c d ipſi g c d per theſin & 10 ax.] Ergo [per 4 p 1] triangulum triangulo. Igitur angulus g d c eſt æqualis angulo a d c: Sed g d c eſt æqualis angulo b d e [per 15 p 1] reſtat ergo [per 1 ax] ut angulus b d e ſit æqualis angulo a d c. Et ita [per 10 n 4] d eſt punctum reflexionis: & ita patet propoſitum.

13. Si recta linea ab uno uiſu ſit perpendicularis ſpeculo plano, unum ipſius punctũ; in quo uiſus ſuperficiem ſecat, ab uno ſpeculi puncto, in quod cadit, ad eundem uiſum reflectetur. 32 p 5.

SIt a centrum uiſus: & a g perpendicularis ſuper ſpeculũ planũ: & d ſecet hanc perpendicularẽ in ſuperficie oculi. Dico, quòd in hac perpendiculari non eſt punctũ, quod reflectatur ab hoc ſpeculo ad uiſum, præter d. Sin autem: ſumatur ultra uiſum punctum in hac perpendiculari: & ſit h: Non iam perueniet forma eius ad ſpeculũ ſuper perpendicularẽ a h, propter ſolidi corporis interpoſitionem: & ita nõ reflectetur forma eius ſuper perpendicularẽ. Et ſi dicatur, quòd ab alio puncto ſpeculi poſsit reflecti: ſit illud b. Mouebitur quidẽ forma eius ad punctũ b per lineã h b: & reflectetur per lineam b a. Diuidatur angulus h b a [per 9 p 1] per ęqualia, per lineã t b. Igitur erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi. [Quia enim angulus h b c æquatur angulo a b g ք theſin & 10 n 4, & h b t ipſi a b t per fabricationẽ: totus t b c æquabitur toti t b g. quare per 10 d 1 t b eſt perpendicularis ipſi g c cõ muni ſectioni ſuperficierũ reflexionis & ſpeculi. Itaq cũ reflexiõis ſuperficies, in qua eſt t b, ſit per pendicularis ſuperficiei ſpeculi per 13 n 4: erit t b քpẽdicularis ſuperficiei ſpeculi per cõuerſam 4 d 11] ſed [per hypotheſin] t g eſt perpẽdicularis ſuper eandẽ. Quare ab eodẽ puncto eſt ducere duas per pendiculares ad ſuperficiem ſpeculi, quod eſt impoſsibile: [ſic enim tres interiores anguli trianguli eſſent maiores duobus rectis, cõtra 32 p 1.] Eadẽ erit probatio, quòd forma puncti d nõ poteſt refle cti ab alio ſpeculi puncto, quam à puncto g. Quare non reflectitur, niſi ſuper perpendicularẽ d g. Pun ctum aũt in hac perpendiculari ſumptum inter g & d: ſi dicatur formã per reflexionẽ ad uiſum mittere: improbo. Quoniã aut erit corpus ſolidum, aut rarũ. Si ſolidum, procedet ſecundum perpendicularem forma eius ad ſpeculum, & regredietur ſecundũ eandem uſq ad ipſum, [per 11 n 4] & propter ſoliditatẽ non poterit tranſire, & ad uiſum peruenire. Si aũt punctum illud fuerit rarum: forma eius regrediẽs à ſpeculo ſuper perpendicularẽ miſcebitur ei, & adhærebit, nec reflectetur ad uiſum. Quòd autem forma cuiuſcunq puncti in hac perpendiculari inter g & d ſumpti non poſsit ab alio puncto ſpeculi ad uiſum reflecti, modo ſuprà dicto poteſt probari. Similiter forma puncti inter a & d ſumpti non reflectitur ad uiſum per perpendicularem, nec per aliam. Quoniã puncta inter centrũ uiſus & ſuperficiem eius interpoſita ſunt ualde rara. Vnde nec mittitur eorum forma, nec reflectitur, ut ſentiatur. Et quoniám quodlibet punctum, præter d in ſuperficie uiſus ſumptum: opponitur ſpeculo, non ad rectum angulum, uidebitur quodlibet ſuper perpendicularem ab eo ad ſpeculum ductam, & imago eius ultra ſpeculum æquè diſtans à ſuperficie, ſicut ipſum punctum [per 11 n.] Et quoniam d uidetur continuum cum alijs ſuperficiei uiſus punctis, & imago eius cõtinua cum alijs imaginibus: uidebitur imago d tantùm diſtans à ſuperficiei ſpeculi, quantùm diſtat d ab eadem. Palàm ergo, quòd cuiuſcunq puncti in ſpeculo uiſi imago uidebitur ſuper perpendicularem: & elongatio imaginis, & uiſi corporis à ſuperficie ſpeculi eſt eadem.

page 133

14. Ab uno ſpeculi plani puncto, unum uiſibilis punctũ ad unũ uiſum reflectitur. 45 p 5.

AMplius: forma puncti uiſi in ſpeculo plano non reflectitur ad eundẽ uiſum, niſi ab uno puncto tantùm. Sit enim a centrum uiſus: b punctum uiſum: z h ſpeculum. Si ergo dicatur, quod à duobus punctis ſpeculi reflectatur forma b ad uiſum a: ſit unum punctũ d, aliud e: & ducatur linea à puncto uiſo ad uiſum, ſcilicet b a: quæ quidẽ linea aut erit perpendicularis ſupra ſpeculũ: aut nõ. [Siquidẽ cum ſpeculi ſuperficie concurrit. Nã cum ſit in plano lineæ h z per 23 n 4: h neceſſariò uel ad ipſam parallela eſt, uel concurrit.] Si non fuerit per pendicularis, ſcimus, quòd illa linea eſt in ſuperficie reflexionis orthogonali ſuper ſuperficiem ſpeculi [quia cõnectit duo pũcta a & b, quæ per 23 n 4 ſunt in reflexionis ſuperficie, perpẽdiculari ad ſpeculi ſuperficiẽ, per 13 n 4:] & in una ſola tali. Quoniam ſi in duabus: erit communis duabus ſuperficiebus ortho gonalibus: & ſumpto in ea puncto, & ducta ab illo linea in alteram ſuperficierum, ſuper lineam, communem huic ſuperficiei & ſuperficiei ſpeculi, erit [per 19 p 11] hæc linea orthogonalis ſuper ſpeculum. Similiter ab eodem puncto ducatur linea in alia ſuperficie ſuper lineam, communem huic ſuperficiei & ſuperficiei ſpeculi: erit hęc linea orthogonalis ſuper ſpeculum. Quare ab eodem puncto erit ducere duas perpendiculares ad ſuperficiem ſpeculi [& ſic connexis per rectam lineam perpendicularium duarũ terminis: erunt ipſæ ad connectentem perpendiculares, per 3 d 11: itaque in triangulo rectilineo erunt duo anguli recti, co ntra 32 p 1.] Cum ergo b a ſit in una ſola ſuperficie orthogonali: & tria puncta a, b, e ſint in eadem ſuperficie orthogonali [per 23 n 4] erunt a e, e b in illa ſuperficie orthogonali: ſimiliter [per 2 p 11] e d, d b, d a. Quare e a, e b ſunt in eadem ſuperficie cum d a, d b: ſed angulus a e h eſt æqualis angulo b e d, [per 10 n 4] & angulus a e h maior angulo a d e, [per 16 p 1] quia exterior. Quare b ed ma ior a d e. Sed b d z æqualis a d e [per 10 n 4, & per 16 p 1 b d z maior b e d.] Quare a d e maior b e d: & dictum eſt, quod minor. Reſtat ergo, ut à ſolo puncto fiat reflexio. Si uerò a b ſit perpendicularis ſuper ſpeculum: iam dictum eſt, [13 n] quò d unicum eſt punctum in linea, à centro uiſus ad ſpecu lum orthogonaliter ducta, cuius forma reflectitur à ſpeculo ad uiſum. Et iam probatum eſt, quòd imago illius puncti ab uno ſolo reflectitur puncto. Quare patet propoſitum.

15. In ſpeculo plano, imagounius puncti, una, & uno eodem́ in loco ab utroque uiſu uidetur. 51 p 5.

AMplius: inſpecto aliquo puncto ab utroque uiſu: una tantùm & eadem imago apparet utrique uiſui & in loco prædicto. Vnde planum eſt, quòd forma puncti non reflectitur ad utrumque uiſum ab eodem puncto ſpeculi. Quia enim linea reflexionis ad unum uiſum procedens, angulum tenet cum perpendiculari erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi, æqualem angulo, quẽ tenet linea acceſſus formæ a d ſpeculum cum eadem perpendiculari [per 10 n 4:] non poterit in eadem ſuperficie ſumi alia linea, quæ æqualem angulum huic efficiat cum perpendiculari [ſecus pars æquaretur toti, contra 9 ax:] Vnde ab hoc puncto non reflectetur linea aliqua ad alterũ uiſum. Oportet ergo ut à diuerſis punctis ſpeculi fiat reflexio. Sint illa puncta t, z: & ſit ſpeculũ planum q e: punctum uiſum a: duo uiſus b, g: perpendicularis a d. Palàm ergo [per 23 n 4] quòd b t, page 134 at, ad ſunt in eadem ſuperficie orthogonali ſuper ſuperficiem ſpeculi. Similiter g z, a z, a d ſunt in eadem ſuperficie orthogonali: & linea d t communis ſuperficiei a d t b & ſuperficiei ſpeculi: & d z linea communis ſuperficiei a d z g & ſuperficiei ſpeculi. Si iam b t, g z fuerint in eadem ſuperficie orthogonali, erit [per 3 p 11] t d z linea una recta: & perpendicularis a d aut erit inter duas perpendiculares productas ad ſuperficiem ſpeculi à duobus uiſibus: aut extra. Vtrumlibet ſit: linea b t ſecabit ex perpendiculari a d ultra ſpeculum partem, æqualem parti, quæ eſt a d [per 11 n.] Similiter g z ſecabit ex eadem perpendiculari partem ultra ſpeculum, æqualem illi parti. Illæ igitur duæ lineæ reflexionis ſecabunt perpendicularem ultra ſpeculum in eodem puncto. Ergo imago puncti a in eodem perpendicularis puncto percipietur ab utroque uiſu. Quare unica tantùm erit imago & eadem: & in eodem loco: quæ eſſet uno tantùm uiſu adhibito. Si uerò puncta t, z non fuerint in eadem ſuperficie reflexionis orthogonali ſuper ſpeculum: eadem tamen erit probatio: quòd utraque linea reflexionis ſecet ex perpendiculari partem, æqualẽ parti ſuperiori: & erit ſectio linearũ reflexionis cum perpendiculari in eodem puncto. Quare patet propoſitum. Si uerò fuerit punctum a in perpendiculari ducta ab uno uiſu ad ſuperficiem ſpeculi tantùm, ſecundum eundem uiſum comprehendetur [per 11 n 4] ultra ſpeculum in puncto perpẽdicularis, tãtùm elõgato à ſuperficie ſpeculi, quantũ diſtat a ab eadẽ [per 11 n.] Quia forma a uidetur continua cum formis aliorum punctorũ, quæ quidem uidentur in locis ſimilibus: & ab alio uiſu comprehendetur imago a in eodem perpendicularis puncto. Quare & ſic utriq uiſui unica tantùm apparet image puncti a, & in eodem eiuſdem perpendicularis puncto. Quod eſt propoſitum.

16. In ſpeculo ſphærico conuexo linea reflexionis & perpendicularis incidentiæ concurrunt: & imago uidetur in ipſarum concurſu. 9. 11 p 6. Idem 3 n.

IN ſpeculis ſphæricis extrà politis patebit, quod diximus. Sit a punctum uiſum: b cẽtrum uiſus: g punctũ reflexionis. Palàm [per 23. 13 n 4] quòd b g, a g ſunt in eadem ſuperficie orthogonali ſuper ſuperficiem ſphæram contingentẽ in puncto g: linea communis ſuperficiei reflexionis & fuperficiei ſphæræ eſt circumferentia [per 1 th 1 ſphær: uel 25. uel 45 n 4] & ſit z g q. Linea contingẽs hunc circulum in puncto reflexionis ſit p g e: perpendicularis ſuper hanc lineam ſit h g: planum, quòd h g perueniet ad centrum ſphæræ. Quod ſi non: cum linea à centro ſphæræ ducta ad punctum g, ſit etiam perpendicularis ſuper lineam p g e [per 25 n 4 & 3 d 11:] erit ab eodem puncto in eandem partem ducere duas lineas perpendiculares ſuper unam lineam [& ſic pars æquaretur toti, contra 9 ax.] Sit autem centrum ſphæræ n: & ducatur linea à puncto uiſo ad centrum ſphæræ, ſcilicet a n: quæ quidem erit perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſphæram in puncto ſphæræ, per quod tranſit [per 25 n 4.] Et quoniam planum eſt, quòd b g ſecat ſphęram: cum ſit inter h g, g p, quæ continent rectum angulum: concurret cum linea a n: Et cũ perpẽdicularis h g ſit in ſuքficie reflexiõis [per 23 n 4] erit centrum ſphæræ in eadem [per 1 p 11: quia h g continuata cadit in n centrum ſphæræ, ut patuit] & ita a n in eadem ſuperficie cum h g. Sit ergo concurſus b g cum a n, punctum d. Planum [per 3 n] quòd d erit locus imaginis. Et hæc quidem intelligenda ſunt, quando linea ducta à puncto uiſo ad centrum uiſus, non fuerit perpendicularis ſuper ſpeculum [uiſu enim & uiſibili in recta linea perpendiculari ſuper ſpeculum collocatis, reflexio fit per eandem perpendicularem, per 11 n 4.]

17. Finis contingentiæ in ſpeculo ſphærico, eſt concurſus rectæ ſpeculum in reflexionis puncto tangentis, cum perpendiculari incidentiæ uel reflexionis. Et rect a à centro ſpeculi ſphærici conuexi ad imaginem, maior est recta ab imagine ad reflexionis punctum ducta. In def. 13 p 6.

AMplius: linea p g e ſecat lineam a n: ſit punctum ſectionis e: & dicitur punctum iſtud finis contingentiæ. Dico, quòd in hoc ſitu linea à centro ſphæræ a d locum imaginis ducta, maior eſt linea, à loco imaginis ducta ad locum reflexionis, id eſt d n maior d g. Quoniam enim angulus b g h eſt æqualis angulo h g a [ut demonſtratum eſt 13 n] ſed [per 15 p 1] angulus b g h æqualis eſt angulo n g d: ergo [per 1 ax] angulus h g a æqualis eſt eidem: & e g perpendicularis ſuper h g n [per fabricationem.] Quare [per 3 ax] angulus a g æqualis eſt angulo e g d. Igitur [per 3 p 6] proportio a g ad g d, ſicut a e ad e d. Protrahatur à puncto a æquidiſtans ipſi d g page 135 [per 31 p 1] & concurrat cum linea h n in puncto h [cõcurret autem per lemma Procli ad 29 p 1.] Erit igitur [per 29 p 1] angulus n g d æqualis angulo g h a: ſed angulus n g d æqualis eſt angulo a g h [ergo per 1 ax angulus g h a æqualis eſt angulo a g h.] Quare [per 6 p 1] duo latera a g, h a ſunt æqualia. Igitur [per 7 p 5] proportio a h ad g d, ſicut a g ad eandem. Sed proportio a h ad g d, ſicut a n ad d n [per 4 p 6: ſunt enim triangula a h n, d g n æquiangula per 29 p 1, & quia angulus ad n communis eſt utrique triangulo.] Quare [per 11 p 5] a n ad d n, ſicut a g ad g d: Igitur [per 16 p 5] proportio a n ad a g: ſicut d n ad d g: Sed a n eſt maior a g: [per 19 p 1] quia reſpicit angulum maiorem recto in triangulo a g n [rectus enim eſt, ut patuit, e g n.] Igitur d n maior d g: quod eſt propoſitum.

18. Si in ſpeculo ſphærico conuexo perpendicularis incidentiæ ſecetur à lineis reflexionis: & ſpeculum in reflexionis puncto tangente: erit, ut tota perpendicularis ad inferum ſegmentum: ſic ſuperum ad intermedium. Et pars perpendicularis inter punctum contingentiæ, & peripheriam, communem ſectionem ſuperficierum reflexionis, & ſpeculi, erit minor eiuſdem peripheriæ ſemidia metro. 12. 14 p 6.

AMplius: dico quòd linea ducta à fine contingentiæ, qui eſt e, uſque ad ſphæram perpendicu lariter, id eſt e f, pars lineæ e n minor eſt ſemidiametro. Sit f punctum, in quo a n ſecat ſuperficiem ſphæræ. Dico ergo, quòd e f minor eſt n f. Quoniam ut dictum eſt [proximo numero] proportio a g ad g d, ſicut a e ad e d: ſed a n ad d n, ſicut a g ad g d: Igitur [per 11 p 5] a n ad d n, ſicut a e ad e d: Igitur [per 16 p 5] a n ad a e, ſicut d n ad d e: ſed [per 9 ax] a n maior a e. Quare d n maior d e: quare d n maior d f: quare n f maior e f: quod eſt propoſitum.

19. Sirecta linea ab uno uiſu ſit perpendicularis ſpeculo ſphærico conuexo: unum ipſius punctum, in quo uiſus ſuperficiem ſecat, ab uno ſpeculi puncto, in quod cadit, ad eundem uiſum reflectetur. 10 p 6.

AMplius: ſit g centrum uiſus: d centrum ſphæræ: d z g perpendicularis à centro uiſus a d ſphæram. Dico, quòd nullius puncti forma reflectitur per hãc perpendicularem, niſi puncti eius, quod eſt in ſuperficie uiſus. Punctorum enim formæ poſt centrum uiſus ſum ptorum non reflectuntur per eam, propter cauſſam ſupradictam [13 n.] Similiter nec puncta inter ſuperficiem uiſus & ſpeculum ſumpta. Dico etiam, quòd nullum punctum huius perpendicularis reflectitur ab alio puncto ſpeculi. Si enim dicatur, quòd ab alio puncto: ſit illud punctum a: erit linea g a linea reflexionis: & à puncto illo intelligamus lineam ad a, quæ eſt linea, per quã mouetur forma: & includunt hæ duæ lineæ angulum ſuper a: quem quidem angulum neceſſariò diuidet per æqualia diameter d a, cum ſit perpẽdicularis ſuper punctum a. Quia perpendicularis diuidit angulum ex linea motus formę & linea reflexiõis, per ęqua [per 13 n 4.] Etita diameter d a concurret cum perpendicu lari g d, inter punctum ſumptum & g. Et ita duæ lineæ rectæ in duobus punctis concurrent, & ſuperficiem includent [contra 12 ax:] Reſtat ergo, ut ſolius puncti, quod eſt in ſuperficie uiſus, forma reflectatur à ſpeculo per perpendicularem, & uideatur in proprio imaginis loco, propter eius cum alijs punctis continuitatem.

20. Sipars lineæ reflexionis, intra peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) continuatæ, æquetur ſemidiametro eiuſdem peripheriæ: imago intra ſpeculum uidebitur. 24 p 6.

AMplius: g a, g b ſint lineæ à centro uiſus ductæ, contingentes ſphæram: & ſignetur circulus, ſu page 136 per quem ſuperficies his lineis incluſa ſecat ſphæram: erit [per 25 n 4] a b portio apparens ex hoc circulo. Dico ergo, quòd loca imaginum, quæ per reflexiones ab hac portione factas comprehenduntur: quædam ſunt intra ſpeculum: quędam in ſuperficie ſpeculi: quędam extra ſpeculũ. Et unumquodque horum eſt determinandum. Ducatur à puncto g linea ſecans circulum, & pars eius, quæ eſt chorda arcus circuli, ſit æqualis ſemidiametro circuli [id quod per 1 p 4 fieri poteſt:] ſit linea illa g h k: & chorda æqualis ſemidiametro ſit h k: & producatur à puncto h perpendicularis, quæ ſit d h m. Dico, quòd formæ reflexę à pun cto h locus eſt intra ſphęram. Ducatur [per 23 p 1] à pun cto h linea æ qualem renens angulum cum m h, angulo m h g: & ſit p h: reflectentur quidem puncta huius lineæ à puncto h ad uiſum g, & nõ alterius [per 12 n 4.] Suma tur ergo aliquod eius punctum: & ſit p: & ducatur ab eo linea ad centrum ſphærę quę ſit p d: erit [ut demonſtra tum eſt 25 n 4] p d perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſphæram ſuper punctum eius, per quod tranſit p d: & coniungatur d k. Verùm angulus p h m eſt æqualis angulo m h g [ex fabricatione.] Quare [per 15 p 1] ſimiliter æqualis eſt angulo contrapoſito k h d: ſed [per hypotheſim & 5 p 1] k h d eſt æqualis k d h: quoniam reſpiciunt æqualia latera: Igitur [per 1 ax:] angulus p h m æ qualis eſt angulo k d m. Quare [per 28 p 1] lineę k d, p h ſunt ęquidiſtantes: ergo [per 35 def 1] in infinitum productę nun quam concurrent: & linea p d ſecabit lineam, interiacentem inter k d, & p h [quia ſecat angulum h d k ipſi h k ſubtenſum.] Et ita quodcunq punctum ſumatur in linea p h: linea ducta ab illo puncto, ad punctum d, ſecabit lineam reflexionis intra ſphęram: quę quidem linea perpendicularis erit ſuper ſphęram [per 25 n 4] ſicut eſt p d. Quare imago cuiuſcunque puncti lineę p h apparebit intra ſphę ram [per 3 n.]

21. Si reflexio fiat à peripheria circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) inter rectam à uiſu ad ſpeculi centrum ductam, & lineam reflexionis, æquantem partem ſuam intra peripheriam, eiuſdem ſemidiametro: imago intra ſpeculum uidebitur. 25 p 6.

AMplius: arcus circuli interiacens inter punctum h, & punctum, per quod tranſit perpendicularis à centro uiſus ducta: eſto h z. Dico, quod à quocunq, puncto huius arcus fiat reflexio: locus imaginis erit intra ſphæram. Sit i punctum ſumptũ: & ducatur linea à centro uiſus ſecans circulũ ſuper punctum illud, quę ſit g is: & ducatur perpendicularis per punctum hoc, quę ſit d i t: & [per 23 p 1] fiat linea p i, æqualem tenens angulum cum it angulo tig. Palàm [per 12 n 4] quòd ſola puncta lineę p i reflectuntur à puncto iad uiſum. Palàm etiam [per 15 p 3] quòd linea i s maior eſt linea k h. Quare maior s d [eſt enim h k ex prima hypotheſi ęqualis ſemidiametro s d.] Igitur [per 18 p 1] angulus s d i maior eſt angulo s i d: quare [per 15 p 1] eſt maior angulo g i t: quare eſt maior angulo tip. Igitur lineę p i & s d nunquam concurrent [ad partes p & s: ſecus ſpatium comprehenderent contra 12 ax. quia concurrunt ad partes i & d per 11 ax.] Et linea ducta à puncto quocunque p i lineę, ad punctum d, ſecat lineam s i intra ſphęram: quę s i eſt linea reflexionis: & omnis linea ducta à quocunq puncto p i lineę, ad punctum d: erit perpendicularis ſuper ſphęram [ut oſtenſum eſt 25 n 4,] ſicut eſt p d. Et cum locus imaginis ſit in concurſu perpendicularis à puncto uiſo & lineę reflexionis: [per 3n] erit imago cuiuslibet puncti lineę p i intra ſphę‡a n. Palàm ergo, quòd omnium imaginum arcus hz, locus proprius erit intra ſpeculum: Quod eſt propoſitum.

page 137

22. Si reflexio fiat à peripheria circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) inter rectam à uiſu ſpeculum tangentem, reflexionis puncto proximam, & lineam reflexionis æquãtem partem ſuam intra peripheriam eiuſdem ſemidiametro: imago aliàs intra ſpeculum: aliàs in ſuperficie: aliàs extra uidebitur. 26 p 6. Item 27. 7 p 6.

AMplius: ſumpto quocunque puncto arcus h b: dico, quòd quędam eius imago erit intra ſpe culum: quædam in ſuperficie ſpeculi: quædam extra ſpeculum. Sumatur aliquod eius punctum: & ſit n: & ducatur linea à pũcto g ſecans circulum, quæ ſit g n q: & ducatur perpendicularis d n f: & [per 23 p 1] protrahatur linea, æqualem angulum tenens cum perpendiculari, angulo f n g: & ſit e n. Quoniam linea n q minor eſt k h [per 15 p 3] eſt etiam minor linea q d [nã h k poſita eſt æqualis ſemidiametro ſphæræ] & ita [per 18 p 1] q d n angulus minor eſt angulo d n q: quare [per 15 p 1] minor angulo g n f: quare etiam minor angulo e n f: Igitur e n & d q concurrent [ad partes e & q per 11 ax.] Sit ergo concurſus in puncto e. Palàm [per 25 n 4] quòd linea e q d eſt perpendicularis ſuper ſphæram: & ſecat lineam g n q, quæ eſt linea reflexionis, in puncto q, quod eſt punctum ſphæræ. Quare imago puncti e, cum fuerit reflexio ſuper punctum n, apparebit in puncto q: [per 3 n] & eſt in ſuperficie ſphæræ. Si uerò in linea n e ſumatur punctum ultra e, utpoter: perpẽdicularis ducta ab eo ad centrum ſphæræ, quæ ſit r d, ſeca bit lineam g n q reflexionis, ultra punctum q: & eſt extra ſphæram. Quare imago cuiuslibet puncti lineæ e n ultra e ſumpti, erit extra ſuperficiem ſpeculi. Si uerò in linea e n, citra punctum e ſumatur aliquod punctum: perpendicularis ab eo ducta ad ſpeculum, ſecabit lineam g n q intra ſphæram: quoniam in puncto, quod eſt inter n & q. Quare imago cuiuslibet puncti lineæ e n inter e & n ſumpti, apparebit intra ſphæram. Eadem peni tus erit probatio, ſumpto quocunque alio arcus b h puncto: & ita imago cuiuslibet puncti arcus b h una ſola eſt imago in ſuperficie ſpeculi: aliarum quædam in ſpeculo: quædam extra. Et quod demonſtratum eſt in arcu z b, eodem modo poteſt patére in arcu z a: & eadem penitus erit demonſtratio, cuiuſcunque circuli ſphæræ ſumatur portio, uiſui oppoſita, à perpendiculari g d æqualiter diuiſa. Vnde uiſu immoto, & perpendiculari g z d manente, ſi moueatur æquidiſtanter perpendiculari uiſus linea g h, ſecabit ex ſphæra motu ſuo portionem circularem: & cuiuslibet puncti huius portionis imago apparebit intra ſphæram. Si uerò linea g b contingens, moueatur æquidiſtanter perpendiculari uiſus, ſecabit ex ſphæra portionem prædicta maiorem: & à quolibet puncto excrementi unius portionis ſuper aliam reflectitur imago, cuius locus erit in ſuperficie ſphæræ: & aliarum quædam intra ſphæram: quædam extra. Scimus ex his, quòd in hoc ſpeculo quælibet imago apparet in diametro ſphæræ: aut intra ſphærã: aut extra: aut in ſuperficie. Et omnis diameter, in qua apparet imago aliqua in ſuperficie ſphæræ, aut extra, demiſsior eſt puncto ſphæræ, quod tangit linea contingens à centro uiſus, ducta in ultimum punctum portionis apparentis. Sci mus etiam, quòd quælibet linea reflexionis ſecat ſphæram in duobus punctis, in puncto reflexionis, & in alio. Reſtatiam, ut loca imaginum certius determinemus.

23. Si linea reflexionis ſecans diametrum ſpeculi ſphærici conuexi: æquet ſegmentum ſuum inter ſpeculi ſuperficiem & dictam diametrum, ſegmento eiuſdem diametri contermino centro ſpeculi: erit hoc ſegmentum imaginum expers. 28 p 6.

DIco, quòd ſumpta diametro, ſi ad ipſam ducatur linea ſecans ſphæram à centro uiſus, cuius pars interiacens punctum ſectionis ſphæræ & punctum diametri, quam attingit, eſt æqualis parti diametri, interiacenti inter punctum illud & centrum: punctum illud non eſt locus alicuius imaginis. Verbi gratia. ſit a g circulus ſphæræ: h uiſus: e d ſemidiameter ſphæræ, ſiue perpendicularis: & h z ſit linea ſecans ſphæram ſuper punctum f, & concurrens cum e d in puncto z: & ſit z f æqualis z d. Dico, quòd z non eſt locus alicuius imaginis. Palàm enim, quòd nõ eſt locus imaginis alterius, quàm alicuius puncti lineæ e d: quoniam imago cuiuslibet puncti eſt ſuper diametrum, ab eo ad centrum ſphæræ ductam [per 10 n.] Et quòd locus imaginis alicuius puncti e d non ſit in z: ſic conſtabit. Ducatur perpendicularis à puncto d ſuper punctum f: & ſit d f n: & [per 23 p 1] ſuper punctum f fiat angulus æqualis angulo n fh: & ſit q f n. Palàm ergo [per 15 p 1. 1 ax] page 138 quòd angulus q fn æqualis eſt angulo z f d: ſed [per hypotheſim, & 5 p 1] z f d eſt æqualis angulo z d f: Igitur [per 1 ax] q f n eſt æqualis angulo z d n. Quare [per 28 p 1] linea f q eſt æquidiſtans lineę e d. Igitur [per 35 d 1] in infinitum productæ nunquam concurrent. Igitur nullius puncti e d forma mouebitur ad punctum f per q f: non poteſt autem eſſe locus imaginis alicuiu puncti in puncto z, niſi forma eius moueatur ad f per lineam q f [quia h ex theſi eſt uiſus, & h f linea reflexionis.] Eadem erit probatio ſumpta quacunque diametro. Quare patet propoſitum. Amplius: dico quòd nullum punctum lineæ z d poteſt eſſe locus alicuius imaginis. Sumatur enim punctum p: & ducatur linea h p, ſecans ſphæram in puncto b: & ducatur perpendicularis d b m: & [per 23 p 1] angulo m b h fiat angulus æqualis, qui ſit t b m. Palàm [per 15 p 1. 1 ax] quòd t. b m eſt æqualis p b d: & palàm [per 16 p 1] quòd angulus d p h eſt maior angulo p z f: quia exterior. Igitur duo alij anguli trianguli d p b ſunt minores duobus alijs angulis trianguli z d f [per 32 p 1.] Sed [per 9 ax.] p d b eſt maior angulo z d f: reſtat ergo ut angulus d p b ſit minor angulo d f z: ſed angulus d f z eſt æqualis angulo z d f: [utiam patuit per theſin & 5 p 1:] quare angulus d b p minor eſt angulo z d f: Igitur multo minor angulo p d b: ergo t b m minor eſt p d b. Ergo t b, e d nunquam concurrent [ad partes t, e: & ita nulla forma à puncto b reflectetur ad punctum h, ut p ſitlocus imaginis. ſimiliter necimago alterius puncti. Et ſimiliter de quolibet puncto lineæ z d. Reſtat ergo, ut tota linea z d ſit uacua à locis imaginum.

24. Si in diametro ſpeculi ſphærici conuexi extra uiſus centrum ducta, in́ apparentem ſuperficiem continuata, imaginum meta notetur: Imagines dictæ diametri uidebuntur inter metam & ſpeculi ſuperficiem. 29 p 6.

AMplius: ſumpta quacunque diametro inter lineas contingentiæ à uiſu ad ſphæram ductas, præter diametrum à centro uiſus ad centrum ſphæræ intellectam, & determinato in ea pun cto, quod diximus, quod eſt meta locorum imaginum. Dico, quòd in punctis tantùm illius diametri, quæ ſunt inter ſuperficiem ſphæræ, & metam prædictam, ſuntloca imaginum, punctorum illius diametri. Verbi gratia, ſint b z, b e lineæ contingentes: b centrum uiſus: a centrum ſphæræ: b h a diameter uiſualis: d a diameter ſumpta, cuius meta ſit t: g punctum ſphærę, in quo diameter ſecat ſphæram. Dico, quòd in ſola puncta inter g, t interiacentia, cadunt imagines punctorum rectæ d a. Quòd enim non cadant in punctum g, uel extra ſuperficiem ſphæræ: palàm per hoc, quod ſuprà dictum eſt [22 n,] diametrum, in qua eſt locus imaginis in ſuperficie ſphæræ aut extra, demiſsiorem eſſe puncto contingentiæ: & cum diameter d a ſit inter lineas contingentes: non erit in ea locus imaginis, aut in ſuperficie ſphæræ, aut extra. Quòd autem in quodlibet punctum inter g & t ſumptum, cadat imago: ſic conſtabit. Sumatur punctum: & ſit q: & ducatur linea b q, ſecans ſphæram in puncto p: & ducatur perpendicularis a p l: & [per 23 p 1] angulo l p b fiat æqualis angulus d p l: & educatur linea b t, ſecans ſphæram in puncto f: & ducatur perpendicularis a f. Igitur triangulum a p b continet triangulum a f b: quare [per 21 p 1] angulas a f b maior eſt angulo a p b: reſtat ergo [per 13 p 1] ut angulus a f t ſit minor a p q: ſed angulus a f t eſt æqualis angulo f a t, quia æqualia latera reſpiciunt: [per hypotheſin & pręcedentem numerum.] Igitur a p q erit maior angulo f a t: ergo & angulo p a q, [per 9 ax.] Quare [per 15 p 1. 1 ax.] l p b maior eſt p a q. Vnde d p l maior p a q: Igitur p d, a q concurrent [per 11 ax.] ſit d concurſus. Forma igitur puncti d reflectetur à puncto p per lineam p b: & locus imaginis eius eſt q [per 3 n.] Et eadem eſt probatio, ſumpto quocunque puncto inter g & t. Reſtat, utaſsignemus loca imaginum in ſectione ſphæræ occulta uiſui.

25. Si linea reflexionis ſecans ſpeculum ſphæricum conuexum, æquet ſegmentum intra ipſius ſuperficiem, eiuſdem ſemidiametro: & ſemidiameter per terminum lineæ reflexionis concurrat cum rect a à uiſu ſpeculum tangente: Imagines concurrentis ſemidiametri, inter concur ſum & ſpeculi ſuperficiem uidebuntur. 30 p 6.

SInt ergo a c, a g lineæ contin gentes portionem apparentem: a centrum uiſus: b centrum ſphæ page 139 ræ: a d b z diameteruiſualis: z c g circulus ſphæræ in ſuperficie linearũ contingẽtiæ: & protrahatur à centro ad punctũ contingentiæ diameter b g. Palàm, quòd angulus z b g eſt maior recto. Cũ enim in triãgulo b a g angulus b g a [per 18 p 3] ſit rectus, erit [per 17 p 1] angulus g b a mi nor recto: quare [per 13 p 1] z b g maior. Sit ergo [per 23 p 1] h b g rectus: erit ergo [per 28 p 1] h b æquidiſtans lineę cõtingẽ tię a g: Igitur [per 35 d 1] productæ nun concurrent: & quęlibet diameter inter h & g concurret cũ linea a g [per lẽma Procli ad 29 p 1.] Ducatur à pũcto a linea ſecans ſphęrã: quæ ſit a m o: ita quod chorda, quę eſt m o, ſit ęqualis ſemidiametro o b: & cõcurrat ſemidiameter b o cum linea a g, in puncto t. Dico, quòd in quolibet pũcto t o eſt locus imaginis: & in nul lo alio puncto diametri t b eſt locus imaginis: & ſunt o, t termini locorũ imaginũ [per 23 n.] Sumatur enim punctũ: & ſit k: & a n k ducatur ſecans ſphærã in puncto n: & ducatur perpendicularis b n x: & [ք 23 p 1] angulo x n a fiat angulus ęqualis per lineam f n. Palàm, quò d n f nõ cadet inter b, g. Quoniã ſic aut ſecaret ſphæram, aut ſecaret contingentẽ a g in duobus punctis [& ſic duę lineę rectę ſpatiũ cõprehenderent contra 12 ax.] Igitur forma puncti f mouebitur per f n ad punctum n, & reflectetur ad a per lineam a n: & apparebit imago eius in puncto k [per 3 n.] Et eadem probatio eſt, ſumpto quocunque alio puncto.

26. Si linea reflexionis æquans ſua parte inſcripta ſemidiametrum circuli (qui est communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) terminetur in peripheria non appa rente: perpẽdicularis incidẽtiæ, ſecãs peripheriã inter lineã reflexionis, & rectã à uiſu ſpeculũ tangentẽ: habebit quaſdam imagines intra, quaſdam extra ſpeculũ: unam in ſuperficie. 31 p 6.

AMplius: dico, quòd in arcu o g, quęcunque ſumatur diameter, continebit loca imaginum: & intra ſpeculum quaſdã: & unã in ſu perficie: & alias extra ſpeculũ. Sumatur ergo punctum l: & protrahatur diameter b l, quouſq ſecet a t in puncto e: & producatur linea a l, ſecans ſphæ ram in puncto r. Palàm, quòd r l minor eſt t b: quia [per 15 p 3] eſt minor m o: quæ eſt ęqualis ſemidia metro [ex theſi.] Si ergo ab a ducatur linea ad dia metrum b l: cuius pars interiacens inter circulũ & diametrum, ſit æqualis parti diametri à puncto, in quod cadit, uſq ad centrũ: cadet inter l & b. Si enim inter l & e ceciderit: erit r l maior l b: oĩs enim linea interiacens inter centrũ, & illam partẽ lineæ reflexionis, illi parti diametri ęqualem: erit maior parte diametri, qua terminatur, ſecundum probationem aſsignatam in explanatione metæ imaginum [23 & proximo numeris.] Sit ergo punctum, in quod linea æqualis cadit: i. Dico, quòd in quolibet puncto lineę e i eſt locus imaginis: & erit eadem demonſtratio, quę fuit in t o [præcedente nu mero.] Igitur quędã imagines in diametro e b ſor tiuntur loca intra ſpeculũ: quędam extra ſpeculũ: una ſola in ſuperficie: ſcilicet in puncto l. Et ita po teris demonſtrare in qualibet diametro per puncta arcus o g tranſeunte.

27. Si linea reflexionis, æquans ſua parte in ſcripta ſemidiametrum circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) terminetur in peripheria nõ apparente: perpendicularis incidentiæ ſecans peripheriam inter terminos lineæ reflexionis & quadr antis peripheriæ, à puncto tactus, rectæ à uiſu ſpeculum tangentis, inchoati, habebit imagines extra ſpeculum. 32 p 6.

AMplius: ſumpta quacunq diametro in arcu o h: locus imaginis in eo erit extra ſpeculũ. Suma page 140 tur diameter b q: & concurrat cum cõtingente in puncto p [concurrit enim per lemma Procli ad 29 p 1:] & ducatur linea a u q ſecãs ſphęram in puncto u. Iam dictum eſt, quòd m o eſt æqualis o b [per theſin communẽ 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27 n.] Sed [per 15 p 3] u q eſt maior m o: quare u q eſt maior o b, id eſt b q. Et linea ducta à circumferentia ad diametrum p b, ęqualis parti p b, interiacenti inter ipſam & centrum: non cadet inter q & b. Si enim ceciderit: ſecundũ ſupradictam probationem [23 & præcedente numeris] erit u q minor q b. Reſtat ergo, ut linea ęqualis cadat inter p & q. Et quòd non cadatin punctũ p: palàm per hoc: quia angulus p g b eſt rectus [per 18 p 3.] Igitur [per 19 p 1] p b maius eſt p g. Cadet ergo citra punctum p: Sit punctum, in quod cadit: s. Erit ergo s meta locorum imaginum [per 23 n:] & quodlibet punctũ inter p & s erit locus imaginum. Et eadẽ eſt probatio, quæ ſuprà [25. 26 n.] Palàm ex his, quòd imagines diametrorum arcus h o, omnes ſunt extra ſuperficiem ſpeculi: imaginũ diametri f y, una in ſuperficie ſpeculi: quę eſt in l: aliæ intra, ſcilicet in i l: aliæ omnes extra, ſcilicet in l e. Omniũ aũt imaginum diametri arcus o g, quædam intra ſpeculum: quędã extra: quędam in ſuperficie.

28. Perpendicularis incidentiæ ſecans occult ãperipheriam cir culi (quieſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) inter terminos rectæ per centra uiſus ac ſpeculi ductæ, & quadrantis peripheriæ, à puncto tactus rectæ à uiſu ſpeculum tangentis, inchoati: imaginem nullam habet. 33 p 6.

AMplius: in arcu h z non poteſt ſumi diameter, in qua eſt locus imaginis. Quoniam nulla diameter ibi ſumpta concurrit cũ contingente a p. [Quia enim g h eſt quadrans totius periphe riæ ex theſi: rectus eſt angulus h b g per 33 p 6: & ſimiliter b g p per 18 p 3. Quare perpẽdicularis incidentię, cadens in peripheriã h z, facit cum b g angulũ obtuſum: ideoq́ cũ tangente a g p non cõ curret ad partes h & p: ſecus duæ rectæ ſpatium cõprehenderẽt cõtra 12 ax.] Et à quocunq puncto illius talis diametri ducatur linea ad ſphærã: cadet quidem in portionẽ g z c, & nulla in portionẽ g d c, niſi ſecando ſphęram. Quare nulla forma alicuius puncti talis dia metri ueniet ad portionem uiſui apparentem. Quod aũt dictum eſt in arcu g h z: poteſt eodem modo demonſtrari in parte arcus c z eã reſpiciente. Et ſumpto arcu citra z, æquali h z: in nulla diametro illius arcus erit imaginis locus. Idẽ eſt demonſtrandi modus in quocunq circulo. Quare ſi linea h b moueatur, eodem manente angulo h b z: ſignabit motu ſuo portionem ſphæræ, in cuius diametris nullus ſit imaginis locus. Si uerò h b immota, moueatur o h: deſcribetur portio, cuius oẽs imagines extra ſpeculum ſunt. Moto aũt ar cu o g: fiet portio, cuius quędam imagines ſuntin ſuperficie: quędã extra ſpeculum: quędam intra. Verũ uiſus nõ comprehendit, quæ imagines ſint in ſuperficie ſphęræ, aut quę extra: nec certificatur in comprehenſione earum: niſi quòd ſint ultra portionem apparentẽ. Iam ergo determinata ſunt in his ſpeculis imaginum loca.

29. Ab uno ſpeculi ſphærici conuexi puncto, unum uiſibilis punctum adunũ uiſum reflectitur. Ita unius punctiuna uidetur imago. 16 p 6.

AMplius: Puncti uiſi forma nõ poteſt in hoc ſpeculo ad unũ uiſum reflecti, niſi ab uno ſolo pũ cto ſpeculi. Sit enim punctũ uiſum b: a centrũ uiſus: & nõ ſit a in perpẽdiculari ducta ad cẽtrũ ſphęrę. Dico, quòd b reflectitur ad a ab uno ſolo ſpeculi puncto: & unã ſolã oſtendit uiſui ima ginẽ in hoc ſpeculo. Palàm [per 25 n 4] quòd ab aliquo puncto poteſt reflecti forma eius: ſit illud g: & ducantur b g, a g: & ſit n centrum ſphęrę: & ducatur diameter b n, ſecans ſuperficiem ſphæræ in puncto l: & termini portionis uiſui oppoſitæ ſint d, e: & ſecet linea a g perpẽdicularem in puncto q: quod eſt locus imaginum [per 3 uel 16 n.] Palàm, quòd a, n, b ſint in eadẽ ſuperficie orthogonali ſuք ſphæram [per 13. 23 n 4.] Et cum omnes ſuperficies orthogonales ſuper ſphærã, in quibus fuerint b, n, ſecent ſe ſuper b n: & nõ poſsit ſuperficies, in qua b n linea, extendi ad punctũ a, niſi una tantũ: [ꝗa punctum a indiuiduũ eſt.] Palàm, quòd a, & b, & n ſunt in una ſuperficie tantùm, orthogonali ſuper ſphęrã, non in plurib. & cũ neceſſe ſit, [per 13. 23 n 4] ut omne punctũ uiſum, & a ſint in eadẽ ſuperficie orthogonali ſuper punctũ reflexionis: palàm, quòd non fiet reflexio puncti b ad uiſum, niſi in cir culo ſphęrę, qui eſt in ſuperficie a n b. Sit ergo circulus d g e. Dico igitur, quòd à nullo puncto huius circuli pręter à g, fiet reflexio. Si enim dicatur, quòd à pũcto l: cum b n ſit ſuք ſuքficiẽ ſpeculi perpendicularis: [ut oſtẽſum eſt 25 n 4] & a l nõ ſit perpẽdicularis: [ꝗa nõ tranſit per centrü:] & forma per perpẽdicularẽ ueniens, neceſſariò ք perpendicularẽ reflectatur: [ք 11 n 4:] palã, quòd non refle ctetur b ad a à puncto l, Planum etiam eſt, quòd non reflectetur ab alio puncto arcus l e: quìa ad page 141 quodcunq punctum illius arcus ducatur linea à puncto b: tenebit cũ contingente illius puncti angulum obtuſum ex parte e: [Nam ſemidiameter circuli ad rectam lineam per punctum illud, ſpecu lum tangẽtem educta, declinat à puncto b uerſus e, & facit cum tangente angulum rectum per 18 p 3. Itaq angulus tangentis & lineæ rectę à puncto b ad pũctum tactus ductę, maior eſt recto: ide o q́ per 11 d 1 obtuſus:] & linea ducta à puncto a ad il. lud punctum, tenebit cũ contingente illa angulũ acutum ex parte l: [quia angulus ſemidiametri & tangentis rectus eſt per 18 p 3: & recta à puncto a ad illud punctũ ducta ſecat circulũ d e g.] Quare ſi ab illo puncto fieret reflexio: eſſet angulus acutus æqualis obtuſo [per 12 n 4.] Iterũ à nullo pun cto arcus g l poteſt fieri reflexio. Sumatur enim punctum quodcunq: & ſit z: & ducatur linea a z o, ſecans perpendicularẽ in puncto o: & ducatur linea contingens circulum in puncto z: [per 17 p 3] quæ cadit neceſſariò inter b g, & b l: [quia punctũ z eſt inter puncta g & l] & ſit m z: & f g circulũ cõtingat in puncto g. Palã ex ſuperiorib. [18 n] quòd proportio b n ad n q, ſicut b f ad f q. Eodem modo proportio b n ad n o, ſicut proportio b m ad m o: Sed [per 9 ax. 8 p 5] maior eſt proportio b n ad n q, quã b n ad n o. Igitur [per 11 p 5] maior eſt proportio b fad f q, quàm b m ad m o. Quod planè im poſsibile: cum [per 9 ax] b f ſit minor b m, & f q maior m o. [ideoq́ ratio b f ad f q minor eſt ratione b m ad m o, ut patet ex 8 p 5.] Reſtat ergo, ut à puncto z non fiat reflexio. Verùm quòd ab aliquo puncto arcus g d non fiat reflexio: ſic conſtabit. Sumatur quodcunq punctum: & ſit t: & ducatur linea b t: & linea a t h, ſecans b n in pũcto h & [per 17 p 3] ducatur cõtingens circulũ in pũcto t: quę ſit p t. Erit ergo ex ſuperiorib. [18 n] ꝓportio b n ad n h, ſicut b p ad p h: & b n ad n q, ſicut b fad f q: Sed [per 9 ax. 8 p 5] b n ad n h maior eſt, quá b n ad n q: ergo [per 11 p 5] maior eſt proportio b p ad p h,  b fad f q: quod planè falſum: cum [per 9 ax] b f ſit maior b p, & p h maiorf q. [ideoq́ ratio b p ad p h minor eſt ratione b f ad f q, ut conſtat ex 8 p 5.] Reſtat ergo, ut à nullo puncto arcus g d fiat reflexio puncti b. Quare quodlibet punctum ab uno ſolo puncto ſpeculi reflectitur ad uiſum. Ergo una ſola erit linea reflexionis cuiuslibet puncti uiſi. Quare unica unius puncti imago. Si aũt punctum b fuerit in perpendiculari uiſuali: palàm [per 11 n 4] quòd reflectetur ab uno ſolo puncto, per quod perpendicularis, tantũ: & unica erit eius imago: & erit propter continuitatem aliorum punctorum, in loco imaginis proprio.

30. Siduo perpendicularis incidentiæ puncta, à ſpeculo ſphærico conuexo ad unum uiſum reflectantur: locus tum imaginis tum reflexionis, puncti centro ſpeculi propinquioris erit remotior: imaginis ab eodem centro: reflexionis à uiſu. 17 p 6.

AMplius: ſi in aliqua diametro ſumãtur duo puncta ex parte centri eadem: locus imaginis centro propinquioris, erit remotior à centro ſphęrę, loco imaginis puncti remotioris à cẽtro ſphęrę. Verbi gratia dico, quòd locus imaginis puncti p, remotior eſt à centro, loco imaginis puncti b: & punctum reflexionis puncti p remotius ab a puncto uiſus, puncto reflexionis pun cti b, quod eſt punctum g. Dico, quòd punctum p non reflectitur, niſi ab aliquo puncto arcus g l. Palàm enim, quòd non reflectitur ab aliquo puncto arcus le, niſi à puncto l: [ſicq́ per 11 n 4 reflectetur per perpendicularem b l n, nõ ad uiſum, in a poſitum] nec à puncto g: cũ b reflectatur ab eo, [ad uiſum ſcilicet a ex theſi: ideoq́ue nullum aliud punctum, ut p, ab eodem puncto g reflectetur ad eundẽ uiſum a ք pręcedẽtẽ numerũ.] Et ſi dica tur, q ab aliquo pũcto arcus g d: ſit illud pũctũ t: page 142 & ſit t p linea, per quam forma mouetur ad ſpeculũ: & ducatur perpendicularis n t u: quę neceſſariò diuidet angulum p t a per æqualia: [ut oſtenſum eſt 13 n 4] & ducatur perpendicularis n g k: erit [ք 21 p 1] angulus n t a maior n g a: reſtat ergo [per 13 p 1] angulus u t a minor angulo k g a. Quare angulus p t u‡minor angulo b g k: [angulus enim k g a æquatur angulo b g k, per 12 n 4.] Sed [per 32 p 1] angulus p t u ualet angulum t n p, & t p n: quia exterior: & angulus b g k ualet angulũ g n b, & angulum g b n Erunt ergo duo anguli t n p, t p n minores duobus angulis g b n, g n b: quod [per 9 ax] eſt impoſsibile: cum angulus p n t contineat angulum g n b tanquam partem: & [per 16 p 1] angulus t p n ſit maior g b n. Reſtat ergo, ut punctum p non reflectatur, niſi à punctis inter g & l intermedijs. Et omnes lineæ à puncto a per hæc puncta ductæ ad diametrum b n, cadunt in puncta ſphęræ à cen tro uiſus magis elongata, puncto g. Et ita patet propoſitum.

31. Viſa & uiſibilia à centro ſpeculi ſphærici conuexi æquabiliter diſtantibus: punctum reflexionis inuenire. 20 p 6.

AMplius: dato ſpeculo, & dato puncto uiſo: eſt inuenire punctum reflexionis. Sit enim b punctum uiſum: a centrum uiſus: & ducantur ab eis duæ lineæ ad centrum ſpeculi. Si fuerint duæ illæ lineæ æquales: erit facile inuenire: quoniam ſumetur circulus ſphæræ in ſuperficie duarum illarum linearum. Et ſcimus [per 29 n] quòd ab unico ſolo puncto il lius circuli fit unius puncti reflexio. Diuidatur ergo [per 9 p 1] angulus, quem continent in centro duæ illæ lineę, per æqualia: & ducatur linea diuidens angulum, extra ſphæram: erit quidem [per 18 p 3] perpendicularis ſuper lineam contingentem hunc circulum in puncto, per quod tranſit. Et ſi ducantur ad illud punctum duę lineę: una à cen tro uiſus: alia à punctu uiſo: efficient cum perpendiculari illa & duabus primis lineis, duo triangula: quorum duo latera duobus laterib. æqualia, & angulus angulo [ideoq́ per 4. 13 p 1. 3 ax angulus a e d æquatur angulo b e d.] Et ita punctum circuli, per quod perpendicula ris illa tranſit: eſt punctum reflexionis: [quia c e d bifariam ſecat angulum ab incidentię & reflexionis lineis comprehenſum, ut patuit 13 n 4.] Si nero linea à puncto uiſo ad centrum ſphærę ducta, fuerit inę qualis lineę à centro uiſus ad idem centrum ductę: oportet nos quędam antecedentia præponere: quorum unum eſt.

32. À puncto dimidiatæ peripheriæ medio, ducere lineam rectam, ut ſegmentum eius conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 128 p 1.

SVmpta circuli diametro, & ſumpto in circumferentia puncto: eſt ducere ab eo ad diametrũ extra productam, lineam, quę à puncto, in quo ſecat circulum, uſq ad cõcurſum cum diametro, ſit æqualis lineæ datæ Verbi gratia, ſit q e data linea: g b diameter circuli a b g: a punctũ datum. Di co, quòd à puncto a ducam lineam, quæ à pũcto, in quo ſecuerit circulum, uſq ad diametrum g b, ſit æqualis lineæ q e: quod ſic conſtabit. Ducantur duę lineæ a b, a g: quę aut erunt æ quales: aut inęqua les. Sint ęquales: & adiungatur lineæ q e linea talis, ut illud, quod fit ex ductu totius cum adiuncta in ad ũctam, ſit ęquale quadra to a g. [id uerò expeditè fiet: ſi linea q e fiat dia meter circuli, cuius peripheriam tangens re cta linea æqualis a g, cõcurrat cum continuata diametro q e: ſic enim oblongum cõprehenſum ſub continuata diametro & exteriore eius ſegmento ęquabitur quadrato lineę a g per 36 p 3.] Et ſit li nea adiũcta e z. Cũ igitur illud, q fit ex ductu q z in e z ſit ęquale ei, quod fit ex ductu a g in ſe: erit q z maior a g, & e z minor eadem. Si enim e z fuerit æqualis, aut maior a g: eſt impoſsibile, ut ductus q z in e z ſit æqualis quadrato a g [ſic enim oblongum comprehẽſum ſub q z & e z ſemper maius eſſet quadrato a g: quia linea q z eſſet maior e z, ut totum ſua parte.] Si autem minor: palàm, quòd q z eſt maior a g. Producatur ergo ad ęqualitatem: & ſit a g t: & poſito pede circini ſuper a, fiat circulus ſecundum quantitatem a g t: qui quidem circulus ſecabit diametrum b g: [infinitè uerſus t continuatam] & page 143 ſecet in puncto d: & ducatur linea a d: quæ ſecabit neceſſariò circũlum. Si enim contingeretin puncto a: eſſet æquidiſtans b g, & nunquam concurreret cum ea. [Nam ex theſi g a, b a æquantur. Itaque ſemidiameter à centro ad a ducta, efficiet per 8 p. 10 d 1 angulos cum b g rectos. Similiter angulus lineæ d a tãgentis & ſemidiametri rectus eſt per 18 p 3: ergo per 28 p 1 b d, a d eſſent parallelæ: quæ tamen concurrunt in puncto d, è fabricatione.] Secet ergo in puncto h: & ducatur linea g h. Palàm [per 22 p 3] cum a b g h ſit quadrangulum intra circulum: a b g, a h g angulos oppoſitos ualere duos rectos: ſed [per 5 p 1] a g b eſt æqualis angulo a b g, cum reſpiciant æqualia latera ex hypotheſi. Erit igitur angulus a h g æqualis angulo d g a: [per 13 p 1] & angulus h a g communis triangulo totali a d g, & partiali a h g: reſtat ergo [per 32 p 1] ut angulus h d g ſit æqualis angulo h g a: & triangulum ſimile triangulo [per 4 p. 1 d 6.] Quare proportio d a ad a g, ſicut a g ad a h: ergo [per 17 p 6] quod fit ex ductu d a in a h, eſt æquale quadrato a g: Sed [per 15 d 1] d a eſt æqualis t a: igitur [per 1 ax] eſt æqualis q z: & erit a h æqualis e z: [quia è prima fabricatione oblongum comprehenſum ſub q z & e z æquatur quadrato a g: cui æquale oſtenſum eſt oblongum comprehenſum ſub d a & a h: & d a æquaturipſi q z] & [per 3 ax] d h æqualis q e: quæ eſt data linea. Et ita eſt propoſitum.

33. À puncto dimidiatæ peripheriæ non medio, ducere lineam rectam: ut ſegmentum eius conterminum continuatæ diametro, æquetur datæ lineæ rectæ. 130 p 1.

SI uerò a b & a g non ſint æquales: protrahatur [per 31 p 1] à puncto g linea æquidiſtans a b: quæ ſit g n: & ſumatur linea, quæcunque ſit: z t: & [per 23 p 1] ſuper punctum z fiat angulus ęqualis angulo a g d per lineam z f: & [per 31 p 1] ducatur à puncto t linea æquidiſtans z f: & ſit t m: & [per 23 p 1] ex angulo t z f ſecetur angulus æqualis angulo d g n per lineam z m. Hæc igitur linea neceſſariò cõcurrit cum t m: [per lemma Procli ad 29 p 1] cum ſit inter æquidiſtantes. Sit punctum concurſus m: reſtat ergo [per 3 ax] angulus m z f æqualis angulo a g n. Et à puncto t ducatur linea æquidiſtans lineæ z m: [per 31 p 1] quæ ſit t o: quæ quidem neceſſariò concurret cum f z: [per lemma Procli ad 29 p 1] & ſit concurſus in puncto k: & ſumatur [per 12 p 6] linea, cuius proportio ad lineam z t, ſicut b g ad q e lineam datam: & ſit i. Deinde fiat ſuper punctum m ſectio pyramidalis, quemadmodũ docet Apollonius in libro ſecundo de pyramidalibus, propoſitiõe quarta: & ſit u c m: quæ quidem ſectio non ſecat lineas k o, k f: & in hac ſectione ducatur linea æqualis lineę i: ſcilicet m c: & producatur uſque ad lineas k t, k f: & ſint puncta ſectio num o, l. Igitur, ſicut ibidem [8 th 2 coni conicorum] probatur: erit o m æqualis c l: & à puncto t ducatur linea æquidiſtans c m: [per 31 p 1,] quæ ſit t f: & [per 23 p 1] ſuper punctum a fiat angulus æqualis angulo z f t per lineam a n d. Palàm, quòd hæc linea concurret cum g d: cum angulus a g n ſit ęqualis f z m angulo: [per concluſionem] & angulus g a n angulo z f t [per fabricationem: & totus angulus f z t æquatus ſit toti angulo d g a: & per 32 p 1 anguli ad z & f ſint minores duobus rectis. Ergo anguli ad g & a ipſis æquales, minores erunt duobus rectis. Itaque per 11 ax. g d, a d concurrent.] Igitur a d linea aut tanget circulum: aut ſecabit ipſum. Quoniam ſi non tetigerit, & arcus a b fuerit maior arcu a g: ſecabit arcum a b: & ſi a b fuerit minor: ſecabit arcum a g. Tangat igitur in puncto a. Cum igitur [per fabricationem] angulus g a n ſit æqualis angulo z f t, & angulus a g n angulo f z y: erit [per 32 p 1] tertius tertio æqualis: & erit triangulum a g n ſimile triangulo z f y. Similiter cum [per fabricationem] a g d ſit æqualis angulo f z t: erit [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum a g d ſimile triangulo f z t. Igitur quæ eſt proportio a n ad a g, ea eſt proportio f y ad f z: & quæ eſt proportio a g ad g d, ea eſt f z ad z t. Quare [per 22 p 5] quæ eſt proportio a n ad g d, ea eſt f y ad z t. Verùm cum [per fabricationem] t m ſit æquidiſtans f l, & f t ſit æquidiſtans l m: eſt ‡ per 34 p 1] f t æqualis l m. Quare [per 2 ax] erit æqualis c o: cum [per 8 th 2 conicorum Apollonij] m o ſit æqualis l c: ſed [per 34 p 1] m o eſt æqualis y t: cum [per fabricationem] ſit ipſt æquidiſtans, & y m æquidiſtans t o. Reſtat ergo [per 3 ax] f y æqualis c m: ſed [per fabricationem] c m eſt æqualis i. Quare [per 1 ax] f y eſt æqualis i: ſed [per fabricationem] proportio i [id eſt, per 7 p 5 f y] ad z t, ſicut b g ad e q. Igitur [per 11 p 5] proportio a n ad g d, ſicut b g ad e q. Verùm angulus g a n eſt æqualis angulo g b a: ſicut probat Euclides in ter page 144 tio [32 propoſitione] ſed [per 29 p 1] angulus n g d eſt æqualis angulo a b g: cum [per fabricationem] n g ſit æquidiſtans a b. Igitur [per 1 ax] angulus n g d æqualis eſt angulo n a g, & angulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio eſt æqualis. Quare [per 4 p. 1 d 6] triangulum n d g ſimile triangulo a d g. Igitur proportio a d ad d g, ſicut g d ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu a d in d n eſt æquale quadrato d g. Verùm quadratum a d eſt æquale ei, quod fit ex ductu b d in d g: ſicut probat Euclides 36 propoſitione [libri tertij,] & quadratum a d eſt æquale ei, quod fit ex ductu a d in d n, & ei quod fit ex ductu a d in n a [per 2 p 2:] & illud, quod fit ex ductu b d in d g, eſt æquale quadrato d g, & ei quod fit ex ductu b g in g d: ſicut probat Euclides [3 p 2.] Ablatis ergo æqualibus [quadrato nempe d g & rectangulo a d n] reſtat [per 3 ax,] ut, quòd fit ex ductu a d in a n, ſit æquale ei, quod fit ex b g in g d. Igitur [per 16 p 6] proportio primæ lineæ ad ſecun dam, eſt ſicut tertiæ ad quartam [nempe ut a d ad g d, ſic b g ad a n: & alternè [per 16 p 5] ut a d ad b g, ſic g d ad a n.] Quare [per conſectarium 4 p 5] proportio a n ad g d, ſicut b g ad a d. Sediam dictum eſt, quòd proportio a n ad g d eſt, ſicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q eſt æqualis a d. Quod eſt propoſitum. Quòd ſi a d non tetigerit circulum, ſed ſecuerit, & fuerit a g maior a b: ſecabit quidem arcũ a g. Secet ergo in puncto h: & ducatur linea h g. Palàm [per 22 p 3] quòd duo anguli a h g, a b g ualent duos rectos: ſed angulus n g d æqualis eſt a b g [per 29 p 1: quia n g parallela ducta eſt ipſi a b.] Igitur angulus a h g & angulus n g d ſunt ęquales duobus rectis. Quare [per 13 p 1. 3 ax] angulus n g d eſt ęqualis angulo n h g: & angulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius angulus tertio angulo eſt æqualis: & triangulum h g d ſimi le triangulo n d g [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio h d ad d g eſt, ſicut proportio d g ad d n. Quare [per 17 p 6] illud, quod fit ex ductu h d in d n, eſt ęquale quadrato d g: ſed quod fit ex ductu a d in h d, eſt æquale ei, quod fit ex ductu b d in d g, ſicut probat Euclides [cõſectario 36 p 3] & [per 1 p 2] illud, quod fit ex ductu a d in d h, eſt ęquale ei, quod fit ex ductu d h in d n, & d h in a n: & [per 3 p 2] q fit ex ductu b d in d g, eſt æquale ei, quod fit ex ductu b g in g d & quadrato d g. Ablatis igitur æqualibus, ſcilicet quadrato d g, & eo, quod fit ex ductu d h in d n: reſtat [per 3 ax] ut illud, quod fit ex ductu d h in a n, ſit ęquale ei, quod fit ex ductu b g in d g. Quare proportio ſecundę lineę ad quartam, id eſt a n ad g d, ſicut tertiæ ad primã, id eſt b g ad d h [eſt enim per 16 p 6 ut d h ad d g, ſic b g ad a n: & per 16 p 5, ut d h ad b g, ſic d g ad a n, & per conſectarium 4 p 5, ut a n ad d g, ſic b g ad d h.] Sed iam probatum eſt, quòd proportio a n ad d g, ſicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q eſt ęqualis d h. Et ita eſt propoſitum. Si uerò a g ſit minor a b: & ſecet a d arcum a b: ſit ſectionis punctum h: & ducatur linea h g. Palàm [per fabricatio nem primam & 29 p 1] quòd angulus n g d eſt æqualis angulo a b g: ſed [per 27 p 3] anguli a b g, a h g ſunt æquales: quia cadunt in eundẽ arcum. Igitur [per 1 ax] angulus n g d eſt æqualis angulo a h g, & angulus n d g communis. Quare [per 32 p 1] tertius tertio æqualis: & triangula ſimilia [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio h d ad d g, ſicut d g ad d n. Quare [per 17 p 6] quod fit ex ductu h d in d n, eſt æquale qua drato d g: ſed quod fit ex ductu h d in d a, eſt æquale ei, quod fit ex du ctu b d in d g [per conſectarium Campani ad 36 p 3] & [per 1 p 2] q fit ex ductu h d in d a, eſt æquale ei, quod fit ex ductu d n in h d & a n in h d: & [per 3 p 2] ductus b d in d g ualet quadratum d g, & ductum b g in d g. Igitur remotis æqualibus: [rectangulo nimirum h d n, & quadrato d g] erit [per 3 ax] ductus h d in a n, ſicut b g in d g. Igitur [per 16 p 6. 16 p. 13 d 5] proportio a n ad d g, ſicut b g ad h d. Sed iam dictum eſt, quòd proportio a n ad d g eſt, ſicut b g ad e q. Igitur [per 9 p 5] e q eſt æqualis h d. Quod eſt propoſitum. Quare à puncto a da to, duximus lineam, ſecantem circulum, & à puncto ſectionis ad dia metrum eſt æqualis lineæ datæ.

34. À puncto peripheriæ circuli extra datam diametrum dato, ducere lineam rectam, it æ ſectam data diametro, ut ſegmentum inter diametrum & punctum peripheriæ dato puncto op poſitum, æquetur datæ rectæ, minori circuli diametro. 133 p 1.

AMplius à puncto dato in circulo, extra diametrum eius, eſt ducere lineam per diametrum ad circulum, ut pars eius à diametro ad circulum, ſit æqualis lineę datæ. Verbi gratia: a b g ſit da tus circulus: b g diameter: a punctum datum: h z linea data. Dico, quòd à puncto a eſt duce re lineam, tranſeuntem per diametrum b g, cuius pars à diametro ad circulum ſit æqualis lineæ h z. Ducantur lineæ a b, a g: & [per 23 p 1] ſuper punctum h fiat angulus ęqualis angulo a g b per lineam m h: & ſuper idem punctum fiat angulus ęqualis angulo a b g per lineam h l: & [per 31 p 1] à puncto z page 145 ducatur æquidiſtans lineæ h m: quæ ſit z n: quæ quidem ſecabit h l [per lemma Procli ad 29 p 1] & à puncto z ducatur æquidiſtans h l: quæ ſit z t: & ſecet h m in puncto t: & à puncto t ducatur ſectio pyramidis t p, quam aſsignauit Apollonius in libro pyramidum [4 th 2:] quæ quidem ſectio non continget aliquam linearum z n, h l, inter quas iacet. Similiter fiat ſectio pyramidis ei oppoſita inter eaſdem lineas: quæ ſit c u. Cum igitur linea minima ex lineis à puncto t ad ſectionem c u ductis, fuerit æqualis diametro b g: circulus factus ſecundum hanc minimam lineam, poſito pede circini ſuper punctum t: continget ſectionem c u. Si uerò minima ex lineis à puncto t ad ſectionem c u ductis, fuerit minor diametro b g: circulus factus modo prædicto ſecundum quãtitatem b g, ſecabit ſectionem in duobus punctis. Sit ergo t c minima, & æqualis diametro b g: quæ quidem ſecabit z n & h l: cum ducatur ad ſectionem, quæ inter eas interiacet: & [per 31 p 1] ducatur à puncto z æ quidiſtans huic: quæ quidem ſecabit h m, h l [per lemma Procli ad 29 p 1] ſicut ſua ęqui diſtans t c. Secet ergo in punctis m l: & ſit m z l: & punctum ſectionis, in quo t c ſecat z n, ſit q: & [per 23 p 1] ſuper diametrum g b fiat angulus ęqualis angulo h l m: qui ſit d g b, & ducantur lineę duę a d, d b. Palàm ergo, cũ [per 31 p 3] angulus g a b ſit rectus: alij duo anguli trianguli a g b ualent rectũ [per 32 p 1.] Quare angulus l h m eſt rectus: [conſtat enim è duobus angulis per fabricationẽ ęqualib. angulis a g b, a b g rectũ ęquantibus] & eſt æqualis an gulo g d b: & [per fabricationem] angulus h l m eſt æqualis angulo d g b: Igitur [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo [per 4 p. 1 d 6.] Quare ꝓportio b g ad b d eſt, ſicut l m ad m h. Sed quoniam [per 27 p 3] angulus a d b æqualis eſt angulo b g a: quia cadunt in eundem arcum: & angulus b g a æqualis angulo m h z: [per fabricationem] eſt ergo [per 1 ax.] angulus a d b æqualis angulo m h z. Et iam habemus, quòd angulus d b g eſt æqualis angulo h m z. Igitur [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum d e b ſimile triangulo m h z. [per 4 p. 1 d 6] Sit autem e punctum, in quo linea a d ſecat diametrum b g. Igitur proportio b d ad d e, ſicut m h ad h z. Verùm Apollonius [16 th 2] probat: quòd cum fuerint duæ ſectiones oppoſitæ, & producatur linea à ſectione ad aliam: pars eius, quæ interiacet inter unam ſectionẽ, & unam ex lineis, eſt ęqualis alij parti, quæ interiacet inter aliam ſectionem, & aliam lineam. Quare q t æqualis eſt c f. Sed [per 34 p 1] t q eſt æqualis m z: cum ſit illi æquidiſtans, inter duas æquidiſtantes. Igitur [per 1 ax.] m z æqualis f c: & [per 34 p 1] z l æqualis t f. Igitur [per 2 ax.] m l æqualis t c. Quare proportio t c ad h z, ſicut m l ad h z. [per 7 p 5] Quare proportio g b ad e d, ſicut t c ad h z. [demõſtratũ enim eſt, ut g b ad b d, ſic l m ad m h: item ut b d ad d e, ſic m h ad h z: ergo per 22 p 5, ut g b ad d e, ſic l m ad h z: ſed ut l m ad h z, ſic t c a d h z: quare per 11 p 5 ut g b ad d e, ſic t c ad h z.] Et cum t c ſit æqualis b g [ex theſi] erit [per 14 p 5] e d æqualis h z. Quod eſt propoſitum. Si autem lineat c ad ſectionem c u ducta, & minima: fuerit minor diametro b g: producatur ultra ſectionem, donec ſit æqualis, & ſecundum quantitatẽ eius fiat circulus: qui quidem circulus ſecabit ſectionem in duobus punctis: à quibus lineæ ductæ ad t, erunt æquales b g: [per 15 d 1] & à puncto z ducatur ęquidiſtãs utriq. Et tunc erit ducere à pun cto a modo prædicto duas lineas, æquales lineæ datæ: eritq́ idem penitus probandi modus.

35. À puncto dato in altero laterum trianguli rectanguli angulum rectum continẽtium, ducere per latus angulo recto oppoſitum, rectam, cuius ſegmentum conterminum reliquo lateri infinito, habeat ad ſegmentum lateris angulo recto oppoſiti, conterminum primo lateri, ratio nem in duabus rectis datam. 134 p 1.

AMplius: dato triangulo orthogonio, & dato puncto in uno laterum angulum rectum continentium, eſt ducere à puncto illo lineam, ad aliud laterum continentium rectum, ſecantem tertium oppoſitum recto, ita ut pars huius lineę interiacens interpunctum ſectionis & latus, in quo non eſt punctum datum, ſe habeat ad partem lateris oppoſiti recto, quæ eſt de ſectione ad la tus, in quo eſt punctum datum, ſicut data linea ad datam lineam. Verbi gratia: eſt triangulum datũ a b g, cuius angulus a b g rectus: & in latere g b eſt punctum datum d, extra triangulum, aut intra. Di co, quòd à puncto d eſt ducere lineam, ſecantem latus a g, & concurrentem cum latere a b: ita ut page 146 pars eius interiacens inter latera a b, a g, ſit eius proportionis ad partem lateris a g, quæ eſt ab illa linea uſq ad punctum g, ſicut ſe habet e ad z, quæ ſunt datę lineæ. Sit punctum d in ipſo triangulo a b g: & [per 31 p 1] ducatur ab eo linea æquidiſtans a b: quæ ſit d m: & [per 5 p 4] ſuper tria puncta g, m, d fiat circulus: & protrahatur linea a d. Quoniam [per 29 p 1] planum eſt, quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g a b: erit [per 9 ax.] maior g a d. Secetur ex eo æqualis per lineam m n: & ſit d n m: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad quam ſe habeat a d, ſicut ſe habet e ad z: & à puncto n, quod eſt punctum circuli, ducatur linea ad diametrum g m æqualis lineæ h, ſecundum ſuprà dicta [32 uel 33 n] & ſit n l: [ita ut ſegmentum l c inter continuatam diametrum & peri pheriam æquetur lineæ h] & punctum, in quo ſecat circulum, ſit c: & ducatur linea g c: & à puncto d ducatur linea ad punctum c: quę, cum cadat inter duas æquidiſtantes, tenens angulum acutum cum altera, ſi producatur, neceſſariò concurret cum alia [per lẽma Procli ad 29 p 1.] Cõcurrat igitur: & ſit punctum concurſus q. Planum [per 27 p 3] quòd angulus g m d eſt æqualis angulo g c d: quia cadunt in eundem arcum: & [per 29 p 1] angulus g m d eſt æqualis angulo g a b: reſtat igitur [per 1 ax. 13 p 1. 3 ax.] ut angulus g c q ſit æqualis angulo g a q. Sit t punctum, in quo d q ſecat a g: & [per 15 p 1] angulus g t c eſt æqualis angulo a t q: igitur [per 32 p 1] tertius tertio. Quare triangulum a t q ſimile triangulo t c g [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio q t ad t g, ſicut a t ad t c. Verùm [per fabricationẽ] angulus n m d eſt æqualis angulo t a d: & [per 27 p 3] angulo n c d [id eſt per 15 p 1 angulo l c t.] Quare [per 1 ax.] l c t æqualis t a d: & angulus c t l communis duobus triangulis: quare [per 32 p 1] tertius tertio: & triangulum ſimile triangulo, ſcilicet t l c triangulot a d [per 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio t a ad t c, ſicut proportio a d ad l c. Quare [per 11 p 5] proportio a d ad l c, ſicut q t ad t g [patuit enim, ut q t ad t g, ſic a t ad t c.] Sed [per fabricationem] l c eſt æqua lis lineæ h: & [per fabricationem] proportio a d ad h, ſicut e ad z. Ergo [per 7. 11 p 5] proportio q t ad t g, ſicut e ad z. Quod eſt propoſitum. Si uerò d ſumatur in illo latere extra triangulum: producatur [per 31 p 1] à puncto d, æquidiſtans a b: & ſit d m: & ducatur a g, donec concurrat cum d m in puncto m, [concurrat autem per lemma Procli ad 29 p 1.] Et fiat circulus tranſiens per tria puncta g, d, m: & ducatur linea a d: erit quidem [per 16 p 1] angulus g a d ma ior angulo g m d: fiat [per 23 p 1] ei æqualis: & ſit n m d: & à pũcto n, quod eſt punctum circuli, ducatur linea æqualis h lineæ [id uerò fiet per 33 uel 34 n: ita ut non tota linea à puncto n ducta, ſed pars eius contermina diametro extrà continuatæ, æquetur ipſi h] ad quam lineã h ſe habeat a d, ſicut e ad z, & ſit n c l [tota nimirum linea, cuius pars c l æquetur lineæ h] ſuper diametrum m g: & concurſus ſit l. Cũ igitur [per 22 p 3] angulus n m d & an gulus n c d ualeant duos rectos: & [per fabricationem] angulus n m d ſit ęqualis angulo t a d: erũt duo trian gula t c l, t a d ſimilia. [Quia enim anguli n c d & l c d æquantur duobus re ctis per 13 p 1, quibus item ex concluſo æquantur n c d & t a d: communi igitur n c d ſubducto, æquabitur reliquus l c d reliquo t a d: & anguli ad uerticem t æquantur per 15 p 1, & per 32 p 1, tertius tertio. Quare triangula t c l, t a d ſunt ſimilia per 4 p. 1 d 6.] Et cum [per 27 p 3] duo anguli g c d, g m d ſint æquales: erunt duo triangula gt c, t a q ſimilia: [Nam cum angulus g m d æquetur angulo t a q per 29 p 1 (parallelæ enim ſunt d m b a per fabricationem) æquabitur per 1 ax. angulus t a q angulo t c g, & ad uerticem t æquantur per 15 p 1: ideoq́ per 32 p 1 triangula g t c, t a q ſunt æquiangula, & per 4 p. 1 d 6 ſimilia] & erit proportio a d ad c l (quæ eſt æqualis h) ſicut q t ad t g: & ita eſt e ad z, ſicut q t ad t g. [Quia enim triangula t a d, t c l ſunt æquiangula: erit per 4 p 6, ut a d ad c l, ſic a t ad t c. Rurſus quia triangula a t q, t c g funt æquiangula: erit per 4 p 6, a t ad t c, ſicut q t ad t g. Quare per 11 p 5 ut a d ad cl (id eſt e ad z) ſic q t ad t g.] Quod eſt propoſitum.

36. Duobus punctis extra circuli peripheriam, uel uno extra, reliquo intra datis: inuenire in peripheria punctum, in quo recta linea ipſam tangẽs, bif ariam ſecet angulum comprehenſum page 147 duabus rectis, à dictis punctis ad punctum tactus ductis. 135 p 1.

AMplius: duobus punctis datis, ſcilicet e, d, & dato circulo: eſt inuenire punctum in eo, ut angulum contentum à lineis, à punctis prædictis ad illud punctum ductis, diuidat per æqualia, linea circulum contingens in illo puncto. Verbi gratia: ducatur à puncto e ad centrum circu li dati, linea e g: & producatur uſq ad circumferentiam: & ſit e s: deinde ducatur linea g d. Et ſit [per 10 p 6] m i linea diuiſa in puncto c, ut ſit proportio i c ad e m, ſicut e g ad g d: & [per 10 p 1] diuidatur m i per æqualia in puncto n: & [per 11 p 1] ducatur perpendicularis n o: & ſuper punctum m fiat angulus ęqualis medietati anguli d g s [per 9 & 23 p 1] per lineã m o. Palàm, quòd erit minor recto. [Nã anguli ad g deinceps æquantur duobus rectis per 13 p 1: itaq d g s ijſdem eſt minor: quare d g s dimi diatus minor eſt recto] & o n m rectus: igitur [per 11 ax.] cõcurret cum n o: concurrat aũt in puncto o: & ducatur à puncto c [per præcedentem numerum] linea ad triangulũ: quę ſit c k f: ita ut propor tio k f ad m f ſit, ſicut proportio e g ad g s: & [per 23 p 1] ſuper punctum g [terminum lineæ e g] fiat angulus æqualis angulo m f k, per lineam uſq ad circulum ductam: quæ ſit a g: & ſit angulus a g e: & ducantur lineæ a g, a d. Dico, quòd a eſt punctum, quod quęrimus. Ducatur linea e a. Cum igitur an gulus m f k [per fabricationem] ſit æqualis angulo a g e: & [per fabricationem] proportio k f ad m f, ſicut g e ad g a: cum [per 15 d 1] g a ſit æqualis g s: erit triangulum a g e ſimile triangulo m f k [per 6. 4 p. 1 d 6.] Igitur angulus f m k eſt ęqualis angulo e a g, & angulus a e g æqualis angulo m k f. Iam [per 23 p 1] à puncto a ducatur linea, tenens cum linea a e angulum æqualem angulo n m k: & ſit linea a z: quę neceſſariò concurret cum linea e g. Quoniam, quæ eſt proportio k fad m f, ea eſt e g ad g a, & angulus g a z ęqualis eſt angulo f m c. [ęqualis enim concluſus eſt angulus f m k angulo e a g] Igitur ſicut linea m o concurrit cũ f k in puncto f: ſic concurret a z cum e g. Sit concurſus in puncto z: & producatur a z uſq ad punctũ q: ita ut linea a z ſe habeat ad z q, ſicut m c ad c i: [per 12 p 6] & ducatur linea e q. Deinde [per 31 p 1] à puncto a ducatur æquidiſtans e q: quę ſit a t: erit quidem [per 29 p 1] angulus a q e æqualis angulo q a t. Et quoniam duo anguli z e a, e a t ſunt minores duobus rectis [quia per 29 p 1 anguli q e a, e a t æquantur duobus rectis] concurret a t neceſſariò cum e z [per 11 ax.] Sit concurſus pun ctum t. Palàm [ex prius demonſtratis] quòd angulus a e g eſt æqualis angulo m k f. Ducta autem à puncto e linea perpẽdiculari ſuper a z: quæ ſit e l: erit [per 32 p 1] angulus a e l æqualis angulo m k n: cum [per fabricationem] angulus e a l ſit æqualis angulo k m n, & angulus a l e ęqualis m n k: quia uterq rectus: reſtat ergo [per 13 p 1. 3 ax.] l e z æqualis angulo n k c: & angulus e l z rectus, ęqualis an gulo k n c: reſtat [per 32 p 1] ut angulus e z l ſit ęqualis k c n: igitur [per 13 p 1. 3 ax.] e z q æqualis angu lo k c i. Palàm ergo [per 4 p. 1 d 6] quòd triangulum e a g ſimile eſt triangulo f m k: & triangulũ e a l ſimile triangulo k m n: & triangulũ e l z ſimile k n c: & triangulũ e a z triangulo k m c [Nam ք fabricationem angulus e a l æquatur angulo k m n, & angulus e z l ęqualis oſtenſus eſt angulo k c n: ergo per 32 p 1 reliquus reliquo: ideoq́ per 4 p. 1 d 6 triangula e a z, k m c ſunt ſimilia] Ergo proportio a z ad z e, ſicut m c ad c k, & [per fabricationem] proportio a z ad z q, ſicut m c ad c i: Igitur [per 22 p 5] proportio q z ad e z, ſicut i c ad c k. Quare [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulum q z e ſimile triangulo i c k: & triangulũ q l e ſimile triangulo i n k [quia iam patuit triangulum e l z ſimile eſſe triangulo k n c: itaq cum partes partibus ſimiles ſint: totum triãgulum q l e toti i k n ſimile erit. Quare per 1 d 6, ut q l ad l e, ſic i n ad n k: & ſimiliter ob triangulorum a e l, k m n ſimilitudinem eſt, ut e l ad a l, ſic k n ad m n] erit ergo [per 22 p & conſectarium 4 p 5] proportio m n ad n i, ſicut a l ad l q: & ita a l æqualis l q [a m n æquata eſt ipſi n i] & [per 4 p 1] e q erit ęqualis e a: & angulus e q z æqualis angulo l a e: & [per fabricationem & 29 p 1] angulus e q z ęqualis angulo z a t: igitur [per 15. 32 p 1] tertius tertio ęqualis. Quare [per 4 p 6] proportio q z ad z a, ſicut e z ad z t, & ſicut e q ad at: & [per 7 p 5] ſicut a e ad a t. Sed q z ad z a, ſicut e g ad d g [fuit enim per fabricationem e g ad g d, ſicut i c ad c m: item ut c m ad i c, ſic a z a d z q, & per cõſectarium 4 p 5 ut i c ad c m, ſic z q ad a z: ergo per 11 p 5, ut e g ad g d, ſic z q ad a z.] Igitur [per 11 p 5] a e ad a t, ſicut e g ad g d. Fiat autem [per 23 p 1] ſuper punctum a angulus æqualis angulo g a e: qui ſit u a g. Palàm, quòd angulus g a l eſt medietas anguli u a t: [Quia enim ex concluſo anguli z a t, z a e æquantur eidem z q e: ipſi inter ſe æquantur. Itaq ſi æqualib. æqualia addantur, æquabitur angulus g a l duobus angulis u a g, z a t. Quare totus u a t duplus erit anguli g a l] Sed eſt medietas d g u: [quia angulus g a l ęqualis concluſus eſt angulo f m c: qui per fabricationem eſt dimidius anguli d g u.] Quare angulus u a t eſt ęqualis angulo d g u: [per 6 ax.] ſed anguli u a t, page 148 & t u a ſunt minores duobus rectis [per 17 p 1] cum a t & t u concurrant. Quare duo anguli t u a & d g u ſunt minores duobus rectis: igitur [per 11 ax.] a u concurret cum d g. Dico, quòd concurret in puncto d: quoniam efficiet cum lineis u g, g d triangulum ſimile triãgulo a u t: habebunt enim angu lum a u g communem: & angulus t a u eſt æqualis angulo d g u [per concluſionẽ.] Igitur [per 4 p 6] proportio a u ad a t, ſicut u g ad lineam, quã ſecat a u ex d g: & [per 3 p 6] proportio e a ad a u, ſicute gad g u: cũ ſit angulus u a g ęqualis angulo g a e [per fabricationem.] Cum ergo eadem ſit proportio e a ad a t, ficut e g ad g d [ex concluſo] & proportio e a ad a t, ſit compoſita ex proportione e a ad a u & a u ad a t [ratio enim extremorum cõponitur ex omnib. rationibus intermedijs, ut demonſtra uit Theon ad 5 d 6] erit proportio e g ad g d cõpoſita ex ijſdem. Quare erit cõpacta ex proportione e g ad g u & g u ad lineã, quã ſecat a u ex d g. Sed [ratio e g ad g d] eſt cõpacta ex proportionib. e g ad g u & g u ad g d. Igitur linea, quã ſecat a u ex g d, eſt linea g d: igitur a u ſecat d g in puncto d. Produca tur ergo [per 17 p 3] à puncto a cõtingens: quę ſit h a: erit ergo [per 18 p 3] g a h rectus: ſed g a l eſt me dietas anguli d g u: igitur angulus l a h eſt medietas anguli d g e: cũ illi duo [d g u, d g e] ualeãt duos rectos [per 13 p 1.] Sed cũ angulus t a u ſit æqualis angulo d g u: erit angulus t a d ęqualis d g e [per 13 p 1. 3 ax.] Igitur angulus l a h eſt medietas anguli t a d: & angulus e a l medietas anguli e a t [quia, ut patuit, e a l æquatur ipſi l a t:] igitur angulus e a h medietas anguli e a d. Quare a h diuidit angulum e a d per ęqualia. Quod eſt propoſitũ. Si uerò a u (cum ſit angulus ſuper punctum a ęqualis angu lo g a e) non cadit ſuper lineam e s extra circulum, uel intra: ſit ergo æquidiſtans. Igitur [ք 29 p 1] an gulus u a g ęqualis eſt angulo a g e: ſed idem eſt æqualis angulo g a e [ex theſi.] Quare [per 1 ax.] an gulus g a e eſt æqualis angulo a g e: igitur [per 6 p 1] e g eſt æqualis a e. Simili ter angulus t a d erit ęqualis angulo a t g [per 29 p 1.] Sed iam dictum eſt [in primo caſu huius numeri] quòd angulus t a d eſt ęqualis angulo d g t. Igitur angulus a t g eſt ęqualis angulo d g t: & ſimiliter [per 29 p 1] duo anguli a d g, d g t ſunt ęquales: igitur duo anguli a d g, a t g ſunt ęquales. Sequetur ergo ex his, quòd linea, quam ſecat a u ex d g, ſit ęqualis lineæ a t [nam cũ anguli a t g, d g t: itẽ a d g, t a d ęquentur: ęquabitur per 6 p 1 t m ipſi m g: item m d ipſi m a. Itaq ſi ęqualibus ęqualia addantur: ęquabitur d g ipſi a t.] Et iam dictum eſt, quòd e g ęqualis ſit a e. Igitur [per 7 p 5] proportio e g ad lineam, quã ſecat a u e x d g, eſt ſicut a e ad a t. Sed iam dictum eſt ut a e ad a t, ſic e g ad g d: igitur linea, quã ſecat a u ex d g, eſt d g. Et cum t a d ſit æqualis d g t: erit l a h medietas anguli t a d, ſicut dictum eſt ſuprà, & e a l medietas e a t. Erit ergo e a h medietas anguli e a d. Quod eſt propoſitum.

37. À dato extra circulum puncto, ducere ad datam diametrũ, lineã rectã: cuius pars inter peripheriam & datam diametrum æquetur parti diametri centro circuli conterminæ. 136 p 1.

AMplius: dato circulo, cuius centrum g: & data in eo diametro b g: & dato e puncto extra circulum: eſt ducere à puncto e ad diametrum b g, lineã ſecãtem circulum, ita ut pars eius à circulo uſq ad diametrũ ſit ęqualis parti diametri, interiacenti inter ipſam & centrum. Verbi gratia: ducatur à puncto e perpendicularis ſuper diametrum: & ſit e c: & ducatur linea e g: & ſumatur linea q t æqualis e c: & [per 33 p 3] fiat ſuper q t portio circuli, ut quilibet angulus cadens in hanc portionem, ſit ęqualis angul‡ e g b: & compleatur circulus [per 25 p 3] & à medio puncto q t ducatur ex utraq parte perpẽdicularis uſq ad circulũ: erit quidẽ [per coſectarium 1 p 3] diameter huius circuli: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrũ, ſecans eam in puncto f, & producatur uſq ad punctum p circuli, ita ut f p ſit æqualis medietati g b [per 34 n] & ducatur linea p t, & linea t f, Et du catur à puncto p linea ęquidiſtans diametro: quæ ſit p u: cõcurratq́ cũ t f in puncto u: [con curret autem per lemma Procli ad 29 p 1] & à puncto u ducatur æquidiſtãs t q: quæ ſit u o: & à pũcto t ducatur perpendicularis ſuper p q: quæ ſit t n: & à pun cto t ducatur æquidiſtans p q: quæ ſit t s: & à puncto u perpendicularis ſuper p q: quæ ſit u h. Dein de [per 23 p 1] ex angulo b g e ſecetur angulus æqualis angulo q p u: [id aũt fieri poteſt, cum totus angulus q p t ęquetur ք theſin angulo b g e: ideoq́ pars illius ab hoc toto detrahi poteſt] ꝗ ſit b g d: page 149 & ducatur linea e d z. Dico, quòd d z eſt ęqualis z g: & ducatur à puncto d perpendicularis ſuper b g: quæ ſit d i. & ducatur [per 17 p 3] à puncto d contingens: quę ſit d k. Palàm, cũ diameter fl ſit perpendicularis ſuper q t [per fabricationem] & ſuper o u [per 29 p 1] & p u ſit ęquidiſtans ei: erit [per 29 p 1] angulus o u p rectus: & cum o u diuidatur à diametro per æqualia & orthogonaliter: [Nam per fabricationẽ, 29. 32 p 1 triangula f q l, f o m: itẽ f l t, f m u ſunt ęquiangula. Itaq per 4 p 6 ut q l ad l f, ſic o m ad m f: & ut fl ad l t, ſic f m ad m u: ergo per 22 p 5 ut q l ad l t, ſic o m ad m u: atqui per fabricationem q l ęquatur ipſi l t: ergo o m ęquatur ipſi m u] erit [per 4 p 1] f o ęqualis fu, & angulus f o u ęqualis angulo f u o. Sed cũ duo anguli p o u, o p u ualeant rectum [per 32 p 1: quia angulus ad u rectus oſtenſus eſt] erit angulus f u p ęqualis angulo f p u. [angulus enim f o u ęquatur angulo f u o ex concluſo, & anguli p o u & o p u ęquantur uni recto. Quare anguli f u o f p u æquantur uni recto: & angulus o u p rectus eſt: ſubducto igitur cõmuni angulo f u o: reliquus f u p æquabitur reliquo f p u per 3 ax.] Quare [per 6 p 1] f p ęqualis eſt f u: & ita [per 1 ax.] æqualis f o: & ita p o ęqualis b g: [quia f p æquatur per fabricationem dimidię g b, & ex concluſo ipſi f o: tota igitur p o ęquatur toti b g] & æqualis g d: [per 15 d 1] & ita [per 7 p 5] e c ad g d, ſicut t q ad p o. Sed cũ angulus k d g ſit rectus [per 18 p 3] æqualis angulo g i d: & angulus i g d cõmunis: erit triangulum i g d ſimile triangulo k d g: [ք 32 p 1. 4 p. 1 d 6] & proportio g d ad d i, ſicut g k a d k d. Sed [per fabricationẽ] angulus k g d eſt ęqualis angulo o p u, & angulus k d g rectus, æqualis o u p: & ita triangulum k g d ſimile triangulo o u p: & [per 1 d 6] proportio g k ad k d, ſicut o p ad o u. Igitur [per 11 p 5] d g ad d i, ſicut o p ad o u. Igitur proportio e c ad d i, ſicut t q ad o u [demõſtratum enim eſt, ut e c ad g d, ſic t q ad p o: & ut g d ad d i, ſic p o ad o u: ergo per 22 p 5, ut e c ad d i, ſic t q ad o u.] Sed proportio q t ad o u, ſicut t f, ad f u: cũ triã gulum t f q ſit ſimile triangulo o f u [per 29 p 1. 4 p. 1 d 6.] Verũ [per fabricationem & 29 p 1] angulus u t s æqualis angulo h f u: quia coalternus ei: & angulus u s t rectus, æqualis angulo f h u: erit triangulum u s t ſimile triangulo h u f: & ita proportio t u ad u f, ſicut s u ad u h: [quare per 18 p 5 t fad u f, ſicut s h ad u h.] Sed [per 34 p 1] t n æqualis s h: cum ſit ei ęquidiſtans [per 28 p 1: quia anguli ad h & n interiores ſunt recti per fabricationẽ] & ſint inter duas æquidiſtãtes. Igitur [per 7 p 5] proportio t f ad u f, ſicut t n ad u h. Quare proportio q t ad o u, ſicut t n ad u h: & e c ad d i, ſicut t n ad u h [Nã oſtenſum eſt, ut e c ad d i, ſic t q ad o u: itẽ ut t q ad o u, ſic t f ad u f: & ut t f ad u f, ſic s h, id eſt, t n ad u h: ergo per 11 p 5 ut e c ad d i, ſic t n ad u h.] Sed cum [per fabricationem] angulus g i d ſit rectus, æqualis angulo p h u, & angulus i g d ęqualis angulo h p u: eſt triangulũ i g d ſimile h p u triangulo: & [per 1 d 6] proportio i d ad g d, ſicut h u ad u p: quare proportio e c ad g d, ſicut t n ad u p [oſtenſum enim eſt proximè ut e c ad d i, ſic t n ad u h: & ut d i ad g d, ſic u h ad u p: ergo ex æquo ut e c ad d g, ſic t n ad u p.] Sed cum [per fabricationem] c g e ſit ęqualis angulo n p t, & angulus g c e rectus, ęqualis p n t: erit [ք 32 p 1. 4 p 6] g e ad e c, ſicut p t ad t n. Igitur g e ad g d, ſicut p t ad u p: [patuit enim, ut g e ad e c, ſic p t ad t n: & ut e c ad d g, ſic t n ad u p: ergo ք 22 p 5, ut g e ad d g, ſic p t ad u p.] Sed [ք fabricationẽ, 3 ax.] angulus d g e eſt ęqualis angulo u p t. Igitur triangulũ d g e ſimile triangulo u p t: [ք 6. 4 p. 1 d 6] ergo angulus g d e ęqualis angulo p u t: reſtat ergo [per 13 p 1. 3 ax.] angulus g d z ęqualis angulo f u p: [& per fabricationẽ angulus f p u æquatur angulo z g d] quare tertius tertio [per 32 p 1: ideoq́ triangula z g d, f p u erunt æquiangula] & [per 4 p 6] proportio d z ad z g, ſicut u f ad f p: ſed u f ęqua lis eſt f p. Ergo d z ęqualis z g. Quod eſt propoſitum.

38. À puncto dato in altero laterũ trianguli rectanguli, angulũ rectũ continentiũ, ducere ad latus angulo recto oppoſitũ, rectã cõcurrẽtẽ cũ reliquo latere infinito: ita, ut tota ad ſegmẽtũ lateris angulo recto oppoſiti, cõterminũ primo lateri, habeat rationẽ in duab. rectis datã. 137 p 1.

AMplius: dato triangulo orthogonio a b g: cuius angulus a b g rectus: & dato in b g, uel a b pũ cto d: eſt ducere lineã à puncto d ad latus a g, concurrentẽ in puncto, quod ſit q: & ex alia par te cõcurrentẽ cũ alio latere: ut ipſa totalis ſe habeat ad g q, ſicut eſt e ad z. Verbi gratia: ducatur à puncto d ęquidiſtãs a b: quæ ſit d m: & [ք 5 p 4] fiat circulus, trãſiens per tria puncta d, m, g: erit m g diameter [per conſectariũ 5 p 4] & ducatur linea a d: & ſit [per 12 p 6] h linea, ad quã ſe habet a d, ſicut e ad z. Et cũ [per 29 p 1] angulus d m g ſit ęqualis b a g: ſecetur ex eo ęqualis angulo d a g: & ſit c m d: & ducatur m c, quouſq contingat circulũ in puncto c: à quo ducatur [per 34 n] linea ad diametrũ m g uſq ad circulum: ita quòd l n ſit æqualis lineæ h: & ducatur linea n g, & linea d n cõcurrens cũ a g in puncto q, & cũ a b in puncto t. Cũ igitur [ք 27 p 3] angulus d m c ſit æqualis angulo d n c: quia ſuper eundẽ arcũ: erit [per 1 ax.] angulus q n l æqualis angulo d a q, & [per 15 p 1] n q l æqualis angulo d q a. Quare [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulum n q l ſimile triangulo d q a: ergo a q ad q n, ſicut a d ad n l. Verũ cũ angulus d m g ſit ęqualis angulo d n g [per 27 p 3] erit [per 1 ax.] q n g ęqualis t a q. Sit t punctũ, in quo d n concurrit cũ a b: & [ք 15 p 1] angulus t q a ęqualis angulo n q g: erit triangulũ t q a ſimile triãgulo n q g: & [per 1 d 6. 16 p 5] erit ꝓportio a q ad q n, ſicut t q ad q g. Igitur [per 11 p 5] proportio t q ad q g, ſicut a d ad n l: ſed [per fabri page 150 cationẽ] n l ęqualis h: & a d ad h, ſicut e ad z. Igitur [ք 11 p 5] t q ad q g, ſicut e ad z. Q eſt ꝓpoſitum. Põt aũt cõtĩgere: quòd à pũcto c erit ducere lineas duas, ſimiles c l n: & tũc erit ducere duas lineas à puncto d, ſimiles t q, ut utriuſq ad partẽ,  ſecat ex a g, ſit ꝓportio, ſicut e ad z: & erit eadẽ probatio.

39. Viſu & uiſibili à centro ſpeculi ſphærici conuexi inæquabiliter diſtantibus, punctum reflexionis inuenire. 22 p 6.

PRędictis habitis, dato ſpeculo ſphærico: erit inuenire punctũ reflexionis. Verbi gratia: ſit a cẽtrũ uiſus: b punctũ uiſum: g centrũ ſphærę: & ducantur lineę a g, b g: & ſumatur ſuperficies, in qua ſunt hę duę lineæ [ſunt enim in eadẽ ſuքficie ք 23 n 4] & ſumatur circulus, cõmunis huic ſuperficiei & ſpeculo. Inuenietur ergo punctũ reflexionis in hoc circulo. Et ſumatur linea alia m k: & [ք 10 p 6] diuidatur in pũcto f, ut m f ſe habeat ad f k, ſicut b g ad g a: & [per 10 p 1] diuidatur m k ք æqualia in puncto o: & [per 11 p 1] ducatur à puncto o perpẽdicularis: quę ſit c o: & ducatur à pũcto k linea ad c o, tenens cũ ea angulũ æqualẽ medietati anguli b g a: [hoc aũt fiet: ſi linea e g bifariã ſecans angulũ b g a, & o c infinitę intelligãtur, educta à puncto b perpendiculari ſuper e g, fiat angulus o k c ęqualis angulo e b g: tũc enim (quia anguli ad o & e ſunt recti) ęquabitur angulus o c k angulo e g b per 32 p 1] quę ſit k c: & à pũcto f ducatur linea ad c k: quę ſit f p: & cõcurrat cũ c o in pũcto s, ita ut proportio s p ad p k ſit, ſicut b g ad ſemidiametrũ g d [per pręcedentẽ numerũ.] Et [ք 23 p 1] ex angulo b g a ſecetur ęqualis angulo f p k: [Id aũt fieri poſſe hinc cõſtat. Quia enim angulus s c p, maior angulo c s p per 18 p 1 (cũ latus p s maius ſit latere c p: ſecus propoſitũ problema per lineã m k expediri nõ poſſet) ęquetur per fabricationẽ dimidiato angulo b g a: ergo c s p eodẽ dimidiato minor eſt. Quare duo anguli s c p, c s p minores ſunt angulo b g a: at per 32 p 1 duob. angulis s c p, c s p ęquatur angulus s p k: idcirco s p k minor eſt angulo b g a. Itaq ab hoc ęqualis illi detrahi poteſt] ſci licet d g b: & ducãtur lineę s k, b d: erit igitur [ք fabricationẽ] ꝓportio b g ad g d, ſicut s p ad p k: & ita [per 6. 4 p. 1 d 6] triangulũ s p k ſimile triãgulo b g d: & erit angulus s k p ęqualis an gulo b d g. Sed forſan ſecundũ prędicta [34. 38 n] poterimus à puncto f ducere aliã li neã ad c k, ſimilẽ s p: ut ſit ꝓportio eius ad partẽ,  ſecabit ex c k, ſicut s p ad p k: & tũc à pũcto k ad o s ducetur alia linea  s k, aliũ cũ c k angulũ tenẽs maiorẽ uel mino rem angulo c k s Si maior ex his angulis non fuerit maior recto: nõ licebit inuenire pũ ctũ reflexionis [ut mox oſtẽ detur.] Sit ergo angulus c k s maior recto: erit angulus b d g [ꝗ illi ęqualis eſt oſtẽſus] maior recto. & inuenitur punctũ ſic. Ducatur [ք 17 p 3] cõtingens n d y. Et quia angulus p k o eſt minor recto [ք 32 p 1: ꝗ a c o k rectus eſt ք fabricationẽ] ſecetur [per 23 p 1] ex angulo b d g [ꝗ recto maior eſt ex concluſione] æqualis ei: qui ſit q d g: eſt igitur triangulũ f p k ſimile triãgulo q g d [ęquatus. n. eſt angulus s p k angulo b g d, & q d g angulo p k f: reliquus igitur ad f ęquatur reliquo ad q ք 32 p 1, & ք 4 p. 1 d 6 triãgula f p k, q d g ſunt ſimilia] & erit angulus d q b ęqualis angulo k f s [ք 13 p 1. 3 ax.] & triãgulũ d q b ſimile triangulo k f s. [totus. n. angulus p k s ęquatur toti b d g, ut patuit: & p k f ęquatur ipſi q d g ք proximã fabricationẽ: ergo per 3 ax. reliquus f k s ęquatur reliquo q d b: & ք 32 p 1 tertius tertio. Itaq per 4 p. 1 d 6 d q b, k f s triangula ſunt ſimilia.] Producatur d q, & [per 12 p 1] ducatur à puncto b perpẽdicularis ſuք ipſam: quę ſit b z: erit [per 13 p 1] angulus b q z ęqualis angulo s f o & angulus b z q rectus, ęqualis angulo s o f: & ita triãgulũ b q z ſimile triangulo s f o. Ducatur d z uſq ad punctũ i: & ſit z i ęqualis z d [per 3 p 1.] Palã [è triangulorũ z q b, s o f: itẽ q d b, k f s ſimilitudine] quòd z q ad q b, & q b ad q d, ſicut o f ad f s, & f s ad f k [ideoq́ per 22 p 5, ut z q ad q d, ſic o f ad f k] & ex hoc [per 18 p 5] z d ad q d, ſicut o k ad f k: & ita [ſumendo antecedentiũ dupla per 15 p 5] i d ad q d, ſicut m k ad f k: & ita [per 17 p 5] i q ad q d, ſicut m f ad f k: & [per 11 p 5] i q ad q d, ſicut b g ad g a [eſt enim per fabricationẽ m f ad f k, ſicut b g ad g a.] Ducatur aũt linea b i: & ei æquidiſtãs d l: erit triangulũ l d q ſimile triãgulo b q i: [Nã per 29 p 1 angulus q d l ęquatur angulo b i q, & per 15 p 1 d q lipſi b q i: itaq per 32 p 1 reliquus reliquo: & per 4 p. 1 d 6 triãgula d q l, b q i erunt ſimilia] & ꝓportio i q ad q d, ſicut i b ad d l. Et cum i z ſit ęqualis z d, & b z perpendicularis: erit [per 4 p 1] b d æqualis b i. Quare erit [per 7. 11 p 5] b d ad d l, ſicut b g ad g a. Ducatur à puncto d linea: quę ſit d h, æqualem tenens angu lum cũ linea l d, angulo b g a: & cũ h l & d l concurrant: erunt [per 17 p 1] l h d, l d h minores duobus rectis: & ita duo anguli a g h, d h g, eis ęquales, ſunt minores duobus rectis: quare [ք 11 ax.] h d cõcur ret cũ g a. Dico quòd cõcurret in pũcto a. Palã [per 18 p 3] quòd angulus g d n rectus, eſt ęqualis duo bus angulis o c k & o k c: [quia ęqualis eſt angulo m o c recto, ęquali eiſdẽ angulis per 32 p 1] & angulus o k c ęqualis angulo g d q: per fabricationem] reſtat [per 3 ax.] angulus q d n ęqualis angu page 151 lo o c k: & ita q d n medietas anguli b g a, & ita medietas anguli h d l [æquati angulo b g a.] Sed [ք 3 p 6] angulus q d b eſt medietas anguli b d l: quoniã ꝓportio b q ad q l, ſicut b d ad d l: cũ triangulũ d l q ſit ſimile triangulo b q i [ex cõcluſo] & b d æqualis b i, [ut patuit.] Reſtat ergo, ut angulus n d b ſit medietas anguli h d b: & ita b d n æqualis n d h. Producatur g d ultra d a d punctũ f. Quia igitur [per 18 p 3] anguli f d n, g d n ſunt recti: ergo [ք 3 ax.] reſtat b d f æqualis angulo h d g: Sed angulus h d g æqualis angulo f d a contrà poſito [per 15 p 1.] Quare b d f æqualis f d a. Et ita d eſt punctũ reflexionis [per 12 n 4.] Ita dico: ſi a d cõcurrat cũ a g in pũcto a: quod quidẽ ſic patebit. Ducatur [per 31 p 1] linea h t æquidiſtãs b d. Palàm [è proximè demõſtratis] quòd angulus b d f æqualis eſt angulo h d g: ſed [per 29 p 1] b d f eſt æqualis angulo h t d [ergo per 1 ax. h d g, h t d æquãtur.] Quare [per 6 p 1] h t erit æqualis h d. Sed proportio b d ad h t, ſicut b g ad g h. [ſunt enim triangula b d g, h t g æquiangula: quãdoquidẽ angulus ad g cõmunis eſt, & g h t æquatur g b d per 29 p 1: ideoq́ per 32 p 1 tertius tertio. Quare per 4 p 6 habẽt latera æqualib. angulis oppoſita homologa.] Igitur [per 7 p 5] proportio b d ad d h, ſicut b g ad g h. Sed h d producta cõcurret cũ g a [ut mõſtratũ eſt] & fiet triangulũ ſimile triangulo h d l: cũ habeant angulũ l h d cõmunẽ, & angulus h d l ſit æqualis angulo h g a [per fabricationẽ: & per 32 p 1 reliquus reliquo.] Igitur [per 4 p 6] proportio h d ad d l, ſicut h g ad lineã,  ſecat h d ex g a: & ꝓportio b d ad d l cõſtat ex ꝓportiõe b d ad d h, & d h ad d l [ratio. n. extremorũ cõponitur ex omnib. ratiõib. intermedijs, ut oſtẽdit Theon ad 5 d 6.] Igitur cõſtat ex b g ad g h, & g h ad lineã,  ſecath d ex g a: ſed b d ad d l, ſicut b g ad g a [ut patuit.] Igitur ꝓportio b g ad g a cõſtat ex ꝓportionib. b g ad g h & g h ad lineã,  ſecat h d ex g a: ſed cõſtat ex ꝓportionib. b g ad g h, & g h ad g a. Igitur g a eſt linea  ſecat h d ex g a: & ita cõcurret cũ ea in pũcto a. Q eſt ꝓpoſitũ.

40. Si radius à uiſibili ſpeculo ſphærico cõuexo obliquè incidens, cum ſemidiametro eiuſdem angulũ nõ maiorẽ recto coprehendat: non reflectetur ad uiſum ab illo incidẽtiæ puncto. 21. 22 p 6.

SI uerò angulus c k s nõ fuerit maior recto. Dico, q nõ fiet reflexio ab aliquo pũcto ſpeculi ad uiſum. Si enim dicatur, quòd poteſt: Sit d punctũ reflexionis: & producatur linea a d uſq ad h punctũ in diametro b g. Et [per 23 p 1] fiat angulus l d h æqualis angulo a g b: & producatur cõtingens n d y: & fiat angulus q d n æqualis medietati anguli a g b. Palàm, quòd triangulũ h d l ſimile eſt triangulo h g a [quia enim angulus h d l æquatus eſt angulo h g a: & d h g eſt communis: æquabitur per 32 p 1 tertius tertio: & per 4 p. 1 d 6 triangula erunt ſimilia.] Quare proportio d h ad d l, ſicut h g ad g a: ſed b d ad d h, ſicut b g ad g h: q patebit per æquidiſtantẽ h t ipſi b d. [ſic enim triangula b g d, h g t fient æquiangula. Et h d ęquatur ipſi h t. Nam quia d per theſin eſt punctum reflexionis, & e g perpendicularis plano ſpe culũ in reflexionis puncto tãgenti per 25 n 4: ęquabitur angulus b d e angulo a d e per 12 n 4: & per 29 p 1 b d e, id eſt a d e, id eſt ք 15 p 1 h d t ęquatur ipſi h t d: Itaq per 6 p 1 latus h d æquatur lateri h t.] Igitur b d ad d l, ſicut b g ad g a [quia enim ex cõcluſo eſt, ut b d ad d h, ſic b g ad g h: itẽ ut d h ad d l, ſic g h ad g a: erit per 22 p 5, ut b d ad d l, ſic b g ad g a.] Sed cũ angulus b d e ſit æqualis angulo h d g: [ex cõcluſo] erit angulus b d n medietas anguli b d h [nã anguli n d e, n d g recti per 18 p 3, æquãtur per 10 ax: & b d e ipſi h d g: ergo per 3 ax. reliquus b d n reliquo h d n æquatur. Itaq b d n dimidius eſt ipſius b d h.] Sed n d q eſt medietas anguli h d l [eſt enim per fabricationẽ dimidius anguli a g b, cui æquatus eſt h d l.] Igitur b d q medietas anguli b d l. Quare [per 3 p 6] proportio b q ad q l, ſicut b d ad d l. Ducatur [ք 31 p 1] à pũcto b ęquidiſtãs d l: & ſit b i: & cõcurrat d q cũ e a in pũcto i: [cõcurret aũt per lẽma Procli ad 29 p 1] & [ք 10 p 1] diuidatur d i in æqualia in pũcto z: & ducatur b z: erit [ք 29. 15. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] triangulũ b q i ſimile triangulo q d l. Igitur ut b q ad q l, ſic b i ad d l [at oſtẽſum eſt, ut b q ad q l, ſic b d ad d l: ergo per 11 p 5 ut b i ad d l, ſic b d ad d l] & ita [per 9 p 5] b i ęqualis b d: & i q ad q d, ſicut m f ad f k: [eſt enim ob triangulorum b q i, q d l ſimilitudinem, ut i q ad q d, ſic b q ad q l: & ut b q ad q l, ſic b i, id eſt, b d ad d l: & ut b d ad d l, ſic b g ad g a ex cõcluſo: & ut b g ad g a, ſic m f ad f k per fabricationẽ: ergo per 11 p 5, ut i q ad q d, ſic m f ad f k] & ita [per 18 p 5] i d ad q d, ſicut m k ad f k: & ita [ſumendo antecedentiũ dimidia per 15 p 5] d z ad q d, ſicut o k ad f k: & ita [per 17 p 5] z q ad q d, ſicut o f ad fk. Palàm, quòd b z eſt perpendicularis: [quia enim b i æquatur b d ex concluſo, & i z ipſi z d per fabricationem, & b z communis eſt: erũt triangula i b z, d b z æquiangula ք 8 p 1: & angulus b z i æquabitur angulo b z d: ſuntq́ deinceps: Quare per 10 d 1 b z perpẽdi cularis eſt i d] ꝓducatur, donec cõcurrat cũ d g in pũcto x: q quidẽ poſsibile eſt [per 11 ax.] cũ angulus d z x ſit rectus, z d x minor recto. Et palã, q ꝓportio b g ad g d, ſicut s p ad p k: [ք fabricationẽ.] Cũ ergo angulus c k s dicatur nõ eſſe maior recto: dico, q ſuք pũctũ k fiet maior recto, ք lineã page 152 cõcurrentẽ cũ co in pũcto, à quo ducetur linea ad ck, trãſiens ք pũctũ f, retinẽs proportionẽ ad par tẽ p k, ſicut b g ad g d. Quòd aũt hoc poſsibile, planum eſt: cũ angulus q d n ſit æ qualis angulo k c o: [eſt enim uterq dimidius duorũ æ qualiũ b g a, h d l, ut mõſtratũ eſt] erit angulus q d g æ qualis angulo cko. [quia enim trianguli c o k angulus ad o rectus eſt: reliqui o c k, o k c æ quãtur uni recto ք 32 p 1: ideoq́ ք 10 ax. angulo n d g recto per 18 p 3: & o c k æ quatur q d n: ergo per 3 ax. reliquus o k c ęquatur reliquo q d g.] Fiat ergo ſuք pũctũ k angulus ęqualis b d q: & ponatur, quòd linea hũc angu lũ tenẽs, cõcurrat cũ c o in pũcto s: & ducatur s fp. Planũ eſt, cũ angulus b z d rectus, ęqualis angulo s o k: q erit triangulũ b z d ſimile s o k [per proximã fabricationẽ. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] & b z ad b d, ſicut o s ad s k, & b z ad z d, ſicut s o ad o k: ſed q z ad q d, ſicut o f ad fk. [ex cõcluſo: & ք cõſectariũ 4 p 5, ut q d ad q z, ſic fk ad o f: & per 18 p 5, ut z d ad q z, ſic o k ad o f: eſt autẽ ut b z ad z d, ſic s o ad o k: & ut z d ad q z, ſic o k ad o f: ergo per 22 p 5, ut b z ad z q, ſic s o ad o f. Triangula igitur b z q, s o f ſunt æ quiangula per 6. 4 p. 1 d 6 ſimilia.] erit ergo angulus z b q æ qualis angulo o s f: & angulus q b d æ qualis angulo f s k. [per 3 ax. totus enim angulus o s k toti z b d æquatur, ob triangulorũ o s k, z b d ſimilitudinẽ iã demõſtratã.] Quare triangulũ b g d ſimile triangulo s p k. [Nã angulus q d g æqualis oſtẽſus eſt angulo p k f: & angulus f k s ęquatus eſt angulo b d q: totus igitur p k s toti b d g ęquatur. Itaq per 32 p 1 reliquus reliquo. Suntigitur per 4 p. 1 d 6 triangula b g d, s p k ſimilia.] Igitur ꝓ portio s p ad p k, ſicut b g ad g d. [Quare ſi ad lineã b g, eiusq́ terminũ g, per ſemidiametrũ ſpecu li ſphęrici g u angulus æ quetur angulo s p k ſecũdo: erit u punctũ reflexionis. Quia igitur an gulus ad p primus, maior eſt angulo ad p ſecũdo per 16 p 1: perſpicuũ eſt è primò demõſtratis, uiſibile h à duobus pũctis ſpeculi d & u ad eundẽ uiſum reflecti, cõtra 29 n. Itaq angulus c k s, cuius beneficio reflexionis punctũ inueniendũ eſt, neceſſariò eſt obtuſus.] Quod eſt propoſitũ. Amplius: impoſsibile eſt, ut duorũ angulorũ ſuper m o cõſtitutorum, ſit uterq maior recto. Si enim uterq talium fue rit maior recto, cum ſuperidẽ centrum fiat angulus æ qualis angulo s k m: fiet ſuperidẽ centrum alius angulus diuerſus ab iſto, quem efficit ſuper k m alia linea ſimilis s k: & ita à puncto d, & ab alio puncto illius circuli fiet reflexio: quod eſt impoſsibile: cum iam probatum ſit [29 n] quòd unum uni uiſui ſit reflexionis punctum: & iam oſtenſum ſit, quomodo inueniri poſsit.

41. Viſibile à duob. ſpeculi ſphærici cõuexi pũctis ad utrũ uisũ reflexũ, unã habet imaginẽ. 34 p 6.

DVobus aũt uiſibus, licet duo ſint reflexiõis pũcta: tamẽ unica erit imago ſenſuali ſyllo giſmo, & unus imaginis locus. Et hoc probabimus, quãdo duæ lineæ à cẽtris. oculorũ ad cẽtrũ circuli ductę, ſunt æ quales. Si ergo ſitus pũcti uiſi, reſpectu utriuſq uiſus, ſit idẽ, ut lineæ à puncto uiſo ad cẽtra oculorũ, ſint æ quales: facilis erit probatio. Quoniã diametriuiſuales ſecãt ex circulo arcus reflexionis, & tenẽt angulos æquales cũ linea, à puncto uiſo ad cẽtrũ ſphæræ ducta, & arcus inter hác lineã & diametros uiſuales interiacẽtes, ſunt æquales. [Cũ enim ex theſi uterq uiſus æ quabiliter diſtet tũ à uiſibili tũ à ſpeculi cẽtro: ducta igitur perpẽdiculari incidẽtiæ: fient duo triangula æ quilatera, ideoq́ per 8 p 1 æ quiangula. Itaq æ qualib. in cẽtro angulis æ quales arcus ſubtẽdẽtur per 26 p 3.] Et ſi ſumãtur pũcta reflexionis: ſecũdũ ſuprà dictã probationẽ, arcus circuli interiacẽtes inter hæc pũcta, & punctũ circuli, q eſt in perpẽdiculari, à puncto uiſo ducta: erunt æquales: [Nã propter utriuſq uiſus æquabilẽ tũ à uiſibili tũ à ſpeculi cẽtro diſtãtiã: perpẽdiculares per reflexionũ pũcta ductę, cõprehendunt cũ perpẽdiculari incidẽtię æ quales angulos in cẽtro, quib. per 26 p 3 æquales arcus ſubtẽduntur] q facile patebit, iterata ſuperiore probatione: & hoc: ſiue pũcta reflexion is ſint in eadẽ ſuperficie re flexionis, ſiue in diuerſis: erũttamẽ arcus illi æquales: & lineæ ductę à cẽtris oculorũ ad pũcta reflexionũ æquales: & lineę à pũcto uiſo ad eadẽ pũcta, æ quales. [Quia enim anguliab opticis diametris ex theſi æqualibus, & ſpeculi ſemidiametris cõprehenſi, æquales demõſtrati ſunt: æquabũtur igitur ք 4 p 1 tũ reflexionis tũ incidẽtiæ lineæ inter ſe.] Et lineæ à cẽtris oculorũ ad reflexionũ pũcta procedẽtes, neceſſariò ſe ſecabũt [per 11 ax: anguli enim ք reflexionũ lineas in utroq uiſu facti, ſunt minores duob. rectis.] Et euidẽs eſt ꝓbatio, q ſuper idẽ punctũ perpẽdicularis à pũcto uiſo ductę, erit ſectio ambarũ linearũ reflexionis. [Nã angulorum reflexionis oſtenſam æquabilitatem conſequitur æquabilitas angulorum incidentiæ per 12 n 4: & anguli comprehenſi à lineis incidẽtię & perpendiculari æquales probati ſunt. Itaq per 32 p 1 triangula comprehenſa à lineis incidentię, cõtinuatione linearum reflexionis, & communi perpendiculari incidentię, ſunt ęquiangula. Quare per 4 p 6, ut ſunt lineę incidentię, ſic ſunt cõtinuationes linearum reflexionis: at illę ęquantur: igitur & hæ. Itaq in un o perpendicularis puncto con currunt.] Et in hoc puncto utriq uiſui apparebit imago: & una ſola. Quod eſt propoſitum.

42. In ſpeculo ſphærico conuexo puncta imaginis, punctis uiſibilis ſitu & ordine, in utro uiſu reſpondent. 35 p 6.

ESt aũt ordinatio imaginũ, ſicut ordinatio pũctorũ uiſorũ. Sienim in re uiſa ſumatur linea, à cuius capitib. ducãtur duæ lineæ ad cẽtrũ ſphærę: fiet triangulũ, in quo cõtine buntur imagines omniũ punctorũ illius lineæ. Et ſi ſit in illa linea punctũ nõ eiuſdẽ ſitus, reſpectu amborũ uiſuũ: Imago puncti remotioris ab eo, erit in diametro remotiore ab eius diametro: & propinquio page 153 re. Etita obſeruatur ſitus partiũ in imaginibus, ſicut fuit in punctis uiſis. Sumpta aũt linea, in qua eſt punctũ eiuſdẽ ſitus: quodlibet punctũ illius lineę eiuſdẽ ſitus erit, reſpectu duorũ oculorũ ſecũdũ modũ prędictũ: & unicã habebit imaginẽ, propter æqualitatẽ angulorũ illius lineę cũ lineis uiſualibus. Si aũt ſumatur linea, quæ angulũ, quẽ cõtinent duæ lineæ à cẽtris oculorũ ad punctum ui ſum, diuidat per æqualia: ſitus cuiuslibet puncti lineæ quãtumlibet productæ, eritidẽ utriq uifui‡ ſicut ſuit uni. Et idẽ eſt probationis modus. Præter has duas lineas nõ eſt ſumere aliã, eundem obſeruantem ſitum. Vnde, cum punctum uiſum comprehendatur in perpendiculari [per 3 n] cadet imago eius in diuerſis punctis illius perpendicularis, ſed imperceptibiliter à ſe remotis: & imago cuiuslibet puncti à quotcunq uideatur oculis, ſemper obſeruat identitatem partis. Vnde apparet unitas imaginis, ſicut dictum eſt in uiſu directo [27 n 1] quòd formæ, licet in diuerſa cadant loca: propter tamen diſtantiã earum inſenſibilem nõ diuerſiſicant apparentiam, niſi diuerſificent partẽ. Similiter hic, quando remotio puncti ab uno uiſu fuerit modicò maior, quàm ab alio: eruntlocaimaginum imperceptibiliter remota. Vnde apparent ſimul, & ex eis una imago compacta: quandoquidem imaginum loca aliquando non totaliter diſtant, ſed partialiter.

43. Si cõmunis ſectio ſuperficierũ reſlexiõis & ſpeculi cylindracei cõuexi fuerit latus cylindri, uel circulus: loca, tum reflexionum tum imaginum eodem modo ſehabebunt, ut in ſpeculis plano & ſphærico conuexo. 42. 43 p 7.

IN ſpeculis columnaribus exterioribus aliquãdo linea cõmunis ſuperficiei reflexiõis & ſuperficiei ſpeculi, eſt linea recta: aliquãdo circulus: aliquãdo ſectio columnaris. Cũ fuerit linea cõmunis, linea recta: erit locus imaginis in perpendiculari à puncto uiſo ducta ſuper ſuperficiem ſpeculi, tantum diſtans à linea communi, quantum punctum uiſum ab eadem. Et eadem eſt probatio, quæ dicta eſt in ſpeculo plano [11 n.] Cum autem communis linea fuerit circulus: erit aliquando imaginis locus intra circulum: aliquando extra: aliquando in ipſa circumferentia. Eius rei eadem penitus aſsignatio, quæ in ſpeculo exteriore ſphærico [22 n.]

44. Siperpendicularis incidentiæ ſecetur à lineis: reflexionis, intra ellipſin (quæ est communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi cylindracei conuexi) & tangente in reflexionis puncto: erit ut tota perpendicularis adinferum ſegmentum, ſic ſuperum adintermedium. Et inferum maius erit ſegmento lineæ reflexionis. 47.48 p 7.

SIuerò linea cõmunis fuerit ſectio colũnaris: dico, quòd imaginũ quędã ſunt intra ſpeculũ: quę dã in ſuքficie ſpeculi: quędã extra ſpeculũ: quę in ſingulari explanabũtur. Sit a b c ſectio colũnaris: b ſit pũctũ reflexionis: e pũctũ uiſum: d cẽtrũ uiſus: & [ք 12 p 11] ducatur à puncto b perpendicularis ſuper ſuperficiẽ cõtingentẽ ſpeculũ: quæ ſit g b q: & [ք 11 p 11] ducatur à puncto e perpendicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ ſpeculũ: quę ſit e k q: & linea cõtingẽs ſpeculũ in pũcto b: ſit t u: linea cõtingẽs ſpeculũ in pũcto k: ſit k m. Dico, quòd duę perpẽdiculares g b q, e k q cõcurrẽt. Ducãtur lineę e b, d b: & ducatur linea k b. Palàm, q k m cadet in figurã e k b, & linea b t in figurã eandẽ [quia recta linea ſecãs angulũ trianguli, ſecat baſim angulo ſubtẽſam: ſecus nõ ſecaret angu lũ.] Igitur b t ſecabite k: ſecetin pũcto t. Palàm, quòd angulus g b k eſt maior recto, & angulus e k b ſimiliter maior recto [quia g b q, e k q ſunt քpendiculares ipſis t u, k m.] Quare [per 13 p 1. 11 ax.] g b, e k cõcurrẽt. Sit cõcurſus punctũ q. Similiter d b k maior recto: igitur d b, e k cõcurrẽt. Sit cõcurſus punctũ h. Igitur h eſt locus imaginis [ք 4 n.] Dico etiã, quòd proportio e q ad q h, ſicut e t ad th: & etiã quòd q h eſt maior h b. Ducatur [ք 31 p 1] h f æquidi ſtãs e b. Palàm, quòd angulus e b t eſt ę qualis angulo d b u [ք 12 n 4:] eſt igitur [ք 15 p 1. 1 ax.] æqualis angulo t b h: reſtat e b g æqualis angulo h b q: cũ g b t, t b q ſint recti. Cũ igitur t b diuidat angulũ e b h ք æqualia: erit [ք 3 p 6] et ad t h, ſicut e b ad b h: Sed angulus e b g eſt æqualis angulo h ſb [ք 29 p 1:] quare h f, h b ſunt æqualia. [angulus enim e b g ęqualis con cluſus eſt angulo h b f: itaq anguli h f b, h b f æquantur: quare ք 6 p 1 latera h f, h b ęquantur: ergo ք 7 p 5, ut e t ad th, ſic e b ad h f] Sed e b ad h f, ſicut e q ad q h [ք 4 p 6: ꝗa enim h f parallela ducta eſt ipſi e b: ſunt triangula e b q, h f q æquiãgula ք 29. 32 p 1.] Erit ergo [per 11 p 5] et ad th, ſicute q ad q h. Q eſt propoſitũ. Et ex hoc: cũ ſit ꝓportio e q ad q h, ſicut e b ad h f [& h f æquetur ipſi h b: erit ք 7 p 5, e q ad q h, ſicute b ad b h] & e q ſit maior e b [ք 19 p 1: ꝗa angulus e b q recto maior eſt] erit [ք 14 p 5] q h maior h b Quod eſt ꝓpoſitũ. Palàm exhoc, quòd ſi ſuper ſectionẽ a b c ducatur քpendicul aris ſuք ſuperficiẽ cõtingentẽ ſectionẽ: cõcurret cũ g b. Et hęc quidẽ patẽt, cũpunctũ uiſum nõ fuerit in քpẽdiculari uiſuali. Palàm enim ex ſuperioribus [19 n] quòd unius ſolius pũcti forma ք perpẽdicularẽ accedit ad ſpeculũ, & ſecũdũ eundẽ reflectitur. Et eſt pũctũ քpendicularis, exiſtẽs in ſuքficie uiſus: punctũ enim ultra uiſum ſumptũ nõ poteſt reflecti ſuք hãc քpendicularẽ: ꝗa nõ põt accedere ad ſpeculũ ſu page 154 per perpendicularẽ, propter prædictã ibidẽ rationẽ. Et ſimiliter non poterit reflecti ab alio puncto ſpeculi, quã à puncto perpendicularis huius: quia accideret duas perpẽdiculares cõcurrere, & effificere triangulum, cuius duo anguli recti, ſicut ſuprà patuit.

45. Si cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi cylindracei cõuexi fuerit ellipſis: imago uiſibilis obliquè reflexi, aliâs in ſuքficie ſpeculi: aliâs intra: aliâs extra ſpeculũ uidebitur. 49 p 7.

AMplius: ſumatur ſectio columnaris: & ſumatur in ea punctũ a: & ducatur contingens ſectionẽ: quæ ſit e a t: & ſumatur perpendicularis ſuper a tintra ſpeculũ: quę ſit d a. Palàm, quòd d a diuidit ſectionẽ in duas partes, in quarũ utraq eſt punctũ unicũ, cuius puncti linea cõtingens, erit æ quidiſtans a d. Sit ergo aliud punctũ g, cuius cõtingens cõcurrat cũ linea a d in puncto h: & ducatur perpendicularis ſuper hãc cõtingentẽ: quæ ſit q g: & hæc quidẽ neceſſariò cõcurret cũ h d, ſicut oſtenſum eſt in præcedente figura [eſt enim angulus q g h per fabricationẽ rectus: ergo q g a maior eſt recto: & ob id h a g recto maior eſt. Itaq per 13 p 1 d g a, d a g ſunt minores duobus rectis. Quare per 11 ax. q g, h a cotinuatæ cõcurrent.] Sit concurſus in puncto d: & ducatur linea g a uſq ad p: & ducatur linea q a. Igitur angulus q a h aut eſt æqualis angulo h a p: aut maior: aut minor. Sit ęqualis. Procedet igitur forma puncti q ad a, & reflectetur ad p [per 12 n 4] quod uiſus ſit: & locus imaginis erit punctũ ſectionis columnaris, ſcilicet g [per 4 n.] Si uerò ſupra punctum q ſuma tur aliquod punctũ, ut punctũ f: erit quidẽ angulus f a h minor angulo h a p [quia angulus h a p æquatur h a q, qui per 9 ax. maior eſtangulo h a f.] Fiat ei æqualis n a h: cõcurret quidẽ n a cũg q [per 11 ax. ut antea] intra columnã. [quia punctũ n ſublimius eſt puncto p.] Sit in puncto k. Palã ergo, quòd imago puncti f erit in puncto k [per 4 n] & imagines omniũ punctorũ lineæ q fultra punctũ q, intra columnã. Si uerò inter q & t ſumatur punctum aliquod: ut punctũ r: erit angulus r a h maior angulo h a p [quia h a p æquatur h a q, quo angulus h a r maior eſt per 9 ax.] Fiat ei ęqualis h a m. Palàm, q m a cadet ſupra lineã g q, & extra ſectionem [cũ enim linea p a (quæ cũ h a cõtinet angulũ æqualem h a q) cõcurrat cũ ſectione in puncto g: & punctũ m ſit inferius puncto p: linea igitur m a cõtinuata cõcurret cũ g q extra ſectionẽ.] Sit in pũcto o. Erit igitur imago r in pũcto o [per 4 n.] Et omniũ punctorũ inter t, q interiacentiũ imagines, erũt extra ſectionẽ inter o & g. Siuerò angulus q a h fue rit minor angulo h a p: ſecetur ex eo æqualis: & ſit h a n. Palàm, quòd imago q erit in puncto k: & omniũ punctorũ ſuperiorũ imagines erũt intra ſectionẽ. Si uerò inferius ſumatur r punctũ, ut angulus r a h ſit ęqualis angulo h a p: erit imago r in ſectione: & oẽs inter r & q intra: oẽs inter r & t extra. Si uerò angulus q a h fuerit maior angulo h a p: fiat ei æqualis h a m. Palàm, quòd m a ſecabit ſectio nẽ: [quia e a t tangit] & ſecet in puncto b: & ducatur cõtingẽs ſuper punctũ b: quę cõcurret cũ d h, utin puncto l [ducta enim recta d b: erit angulus d b l rectus, & b d lacutus: itaq tãgens ſectionẽ in pũcto b cõcurret cũ d h per 11 ax.] eritq́ [per 17 p 1] angulus d l b acutus, & angulus h l b obtuſus: [per 13 p 1] & l b cõcurrẽs cũ h g faciet cũ ea acutũ [per 32 p 1: quia angulus h l b eſt obtuſus.] Duca tur perpẽdicularis à pũcto b ſuper l b: quę ſit s b: ſecabit quidẽ h g, utin pũcto x: & faciet angulũ acutũ cũ ea [per 15 p 1] quoniã angulus cõtrapoſitus ſimiliter erit acutus [ք 32 p 1: quia angulus ad b rectus eſt] & h g ſecat q a: ſit punctũ ſectionis u: & facit acutũ angulũ cũ ea ſuper punctum u [cum enim h g cõcurrat cum q a: & q a cum fd, & angulus h g q ſit rectus: erit per 32 p 1 angulus q u g acutus.] Quare s b & q u concurrunt [quia enim angulis s x h, qu g acutis cõcluſis æquãtur anguli ad uerticẽ per 15 p 1. Ergo per 11 ax. q u & s b cõcurrũt.] Sit cõcurſus in z. Palàm ergo, quòd forma pun cti z mouebitur ad ſpeculũ per z a, & reflectetur per a m: & locus imaginis, b: & imagines punctorũ lineæ z s ultra z, erunt intra ſectionẽ: & punctorũ citra z, extra ſectionem. Quod fuit propoſitum.

46. Si cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexiõis & ſpeculi cylindracei conuexi, fuerit latus cylindri, uel circulus baſib. parallel9[?]: ab uno pũcto unũ uiſibilis pũctũ ad unũ uisũ reflectetur. 26. 27 p 7.

AMplius: ab uno ſolo pũcto ſpeculi colũnaris fit reflexio ad cẽtrũ uiſus: utpote pũctũ b reflectatur ad a à pũcto g. Dico, quòd nõ reflectetur ad ipſum ab alio puncto ſpeculi, quã à pũcto g. Quoniã, ſi in ſuperficie reflexionis, quæ eſt a b g, ſit totus axis ſpeculi: erit linea cõmunis ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei reflexionis linea lõgitudinis ſpeculi [per 29 n 4.] Et cũ in ſuperficie reflexionis ſit cẽtrũ uiſus, pũctũ uiſum, punctũ reflexiõis, & punctũ axis, in q cadit perpẽdicu laris: [per 23. 34 n 4] una ſola ſuperficies ſumi poteſt, in qua ſit linea illa longitudinis, axis, & puncta a, b, g. Quare non poteſt ſieri reflexio ad a, niſi ab aliquo puncto lineę longitudinis: ſed iam probatũ eſt [51 n 4 generatim de quolibet ſpeculo, & 14 n ſpeciatim de ſpeculo plano] quòd nõ poteſt fieri reflexio ad a ab alio puncto, quã à puncto g. Quare in hoc ſitu ab uno ſolo pũcto ſpeculi fit ad a reflexio. Si uerò ſuperficies a b g ſit æquidiſtans baſi colũnæ: erit linea cõmunis, circulus æquidi page 155 ſtans baſi [per 5 th Sereni de ſectione cylindri.] Et iam patuit [29 n] quòd ab alio pũcto illius circuli non poteſt fieri ad a reflexio. Et ſi ab alio puncto ſpeculi fiat reflexio perpẽdicularis du cta à puncto illo, cadet orthogonaliter ſuper axẽ. [Nã cũ per 34 n 4 perpẽdicularis illa intus cõtinuata fiat diameter circuli baſibus pa ralleli: erit per 21 d 11. 29 p 1 ad axem perpendi cularis] & ſecabit lineã a b in puncto aliquo. À pũcto illo ducatur linea ad axem in ſuperficie, æquidiſtante baſi colũnæ: erit quidẽ orthogonalis ſuper axem [per 21 d 11. 29 p 1.] Et ita duæ perpẽdiculares efficient cũ axe triangulum, cuius duo anguli ſunt recti: quod eſt impoſsibile [& contra 32 p 1.] Palàm ergo, quòd in hoc ſitu non reflectetur b ad a, niſi à puncto g.

47. Si communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi cylindracei conuexi fuerit ellipſis: ab uno puncto unum uiſibilis punctum ad unum uiſum reflectetur. 28 p 7.

SIuerò ſuperficies a b g ſecet ſpeculũ ſectione columnari: dico, quòd à ſolo pũcto g fit reflexio. Ducatur à puncto a ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ductis nimirũ duabus perpen dicularibus ſuper axem ſe interſecãtibus: una quidẽ à puncto a per 12 p 1: altera uerò ab axis pun cto, in quod illa cadit per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 21 d 11 eſt perpendicularis baſi: erit per 4 p 11 perpendicularis plano ductarũ perpen diculariũ. Itaq per 14 p 11 baſis & hoc planũ erũt parallela] quæ ſit e z i: & à puncto g ſimiliter ſuperficies æquidiſtans baſi ſpeculi: in qua ducatur ab axe linea ad pũctũ g: quæ ſit t g: erit quidẽ perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingẽtẽ ſpeculũ in pũcto g [per 34 n 4: quia eſt diameter circuli baſibus cylindri paralleli] & cõcurrat cũ a b in puncto k [cõcurret aũt: quia diuidit angulũ a g b] & ducatur à puncto g linea lõgitudinis ſpeculi: [educto nẽpe plano per axem & per rectã, cũ ipſo à puncto g utlibet cõcurrentẽ: erit enim huius plani & cylindraceæ ſu perficiei cõmunis ſectio latus cylindri per 21 d 11] quæ ſit g z: & ſit axis t q: & à puncto b perpẽdicu laris ducatur ad ſuperficiẽ e z i: quę ſit b h: & ducãtur lineę a z, h z: & ducatur à pũcto z in ſuperficie illa ad axem linea, quæ ſit z q: erit quidẽ perpẽdicularis ſuper axem [per 3 d 11] cũ axis ſit perpẽdicularis ſuper hãc ſuperficiẽ [per 21 d 11] & erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ ſpeculũ in puncto z [ut paulò antè oſtẽſum eſt] & cõcurrat cũ linea a k in pũcto l. [cõcurret uerò, quia ſecat angulũ a z h.] Dico, quòd forma puncti h reflectetur ad a, à puncto z. Ducatur à pũcto a æ quidiſtãs lineę k g: quę ſit a m: quę quidẽ cõcurret cũ b g. [per lẽma Procli ad 29 p 1.] Sit cõcurſus in pun cto m. Palàm [per 6 p 11] quòd g z eſt æquidiſtãs lineæ b h: cũ utraq ſit orthogonalis ſuper ſuperfi ciẽ æquidiſtantẽ baſibus colũnæ. Quare [per 7 p 11] linea b g m eſt in ſuperficie harũ linearũ. Igitur tria pũcta m, z, h ſunt in hac ſuքficie. Sed iterũ a m eſt æquidiſtans k g [per fabricationẽ] & l z æquidiſtãs k g: quoniã g z æquidiſtãs t q & inter ſuperficies æquidiſtan tes. [nã per 21 d 11 latus z g & axis q t paralleli & æquales, circulis oppoſitis & parallelis terminantur, in quibus ſemidiametritg, q z ſunt pa rallelę per 33 p 1: & t g continuata eſt in k.] Igitur l z æquidiſtãs a m [ք 30 p 1: ſunt enim m a, z l eidẽ t g k parallelæ.] Quare ſunt in eadem ſuperficie [per 35 d 1] & in ea eſt linea a h [per 7 p 11: quia cõnectit m a, z l parallelas.] Igitur in hac ſuperficie ſunt tria puncta, m, z, h: & iã patuit, quòd ſint in ſuperficie b m h: igitur ſunt in linea cõmu ni his duabus ſuperficiebus. Igitur [per 3 p 11] h z m eſt linea recta. Palàm igitur, cum g ſit punctum reflexionis: erit [per 12 n 4] angulus a g k æqualis angulo k g b: & ita [per 29 p 1.1 ax.] ęqualis angulo a m g: ſed [per 29 p 1] eſt æqualis m a g: quia coalternus. Igitur [per 6 p 1] a g, m g ſunt æ qua les. Sed quoniam g z eſt orthogonalis ſuper quãlibet lineã ſuperficiei z a h: [per 3 d 11] erit quadra tũ m g æquale quadratis m z, g z [per 47 p 1] erit igitur a z æqualis m z [Nam propter eandẽ cauſſam quadratum a g æquatur quadratis a z, g z: at quadrata a g, m g æquãtur: quia ipſorum latera a g, m g æquãtur: communi igitur quadrato g z ablato, reliquum quadratũ a z ęquabitur quadrato m z: quare ipſorũ latera m z, a z ęquabuntur.] Quare [per 5 p 1] angulus a m z eſt æqualis angulo m a z: ſed [per 29 p 1] angulus a m z eſt æqualis angulo l z h: & angulus z a m eſt æqualis l z a: quia coalternus. Igitur angulus a z l eſt æqualis angulo l z h. Quare forma puncti h accedẽs ad punctũ z, re page 156 flectetur ad punctum a. [per 12 n 4.] Si ergo dicatur, quòd ab alio puncto, quàm à puncto g, poteſt forma b reflecti ad a: illud aliud punctũ aut erit in linea lõgitudinis, quæ eſt g z: aut in alia. Si eſt in li nea g z: ducatur ab eo perpẽdicularis: quę neceſſariò ſecabit lineã a k [quia ſecar angulũ lineis inci dẽtię & reflexionis cõprehenſum, ut patet per 13 n 4] & [per 28 p 1] erit æquidiſtãs lineę a m: & linea ducta à puncto b ad illud punctũ neceſſariò cõcurret cũ a m: [per lemma Procli ad 29 p 1] & erit punctũ illud, & punctũ m in eadẽ ſuperficie: & linea illa aut cadet ſuper pũctũ m: autſuper aliud. Si ſuper punctũ m: erit ducere à puncto b ad punctũ m duas lineas rectas: quod eſt impoſsibile. [ſic enim duę rectę lineę ſpatiũ cõprehenderẽt cõtra 12 ax.] Si aũtad aliud punctũ lineę a m: ducatur à puncto illo linea ad punctũ z: & probabitur, quòd hęc linea cũ h z facit lineã rectã, ſicut probatũ eſt de linea z m: & ita à puncto h erit ducere duas lineas rectas, per punctũ z trãſeuntes in diuerſa puncta lineę a m cadẽtes: quod eſt impoſsibile [& cõtra 1 p 11: hocq́ modo duarü rectarũ linearũ eſſet cõmune ſegmentum contra lineę rectę definitionẽ.] Palàm ergo, quòd à nullo puncto lineę g z, niſi à g, poteſt b reflecti ad a. Si dicatur, quòd à puncto extra hãc lineam ſumpto: ducatur ſuper punctũ illud linea longitudinis ſpeculi: [per 7 th. Sereni de ſectione cylindri] & à puncto circuli e z i, in quod cadit hęc linea, probabitur h reflecti ad a ſecundũ ſuprà dictã probationẽ: ſed iã probatũ eſt. quòd h à puncto z reflectitur ad a. Etita impoſsibile: [quia ita à duobus ſpeculi punctis forma eiuſdem uiſibilis ad eundem uiſum reflecteretur, contra 51 n 4, & 29 n.] Reſtat ergo ut à ſolo puncto ſpeculi reflectatur b ad a. Quod eſt propoſitum.

48. Si communis ſectio ſuperſicierum, reflexionis & ſpeculi cylindracei conuexi fuerit ellipſis: uiſu & uiſibili datis, punctum reflexionis inucnire. 29 p 7.

AMplius: dato pũcto b, quod reflectatur ad a: erit in uenire punctũ reflexionis: & hoc patebit per reuolutionẽ prędictę probationis. Ducatur à puncto a ſuperficies æquidiſtãs baſi columnę: quę quidẽ ſecabit columnã ſuper circulũ: [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri] qui ſit e z i: & ducatur à puncto b perpẽdicularis ſuperhãc ſuperficiẽ: quę ſit b h: & inueniatur in hac ſuperficie punctũ, à quo fit reflexio h ad a: [ut traditũ eſt 31 uel 39 n] quod ſit z: & à puncto z ducatur linea longitudinis: [per 7 th. Sereni de ſectione cylindri] quę ſit z g: & à pũcto z perpẽdicularis z l: & huic æquidiſtãs à pũcto a: quę ſit a m: & etiã linea h z producatur, quouſq cõcurrat cũea: [con curret uerò per lemma Procli ad 29 p 1] & ſit cõcurſus in pũcto m: & à pũcto m ducatur linea ad b: quę neceſſariò ſecabit lineã z g: cũ ſit in eadẽ ſuperficie cũ ea: quoniã cũ b h ſit æquidiſtãs g z: [per 6 p 11: eſt enim utraq ipſarũ perpẽdicularis circulo e zi] erit h z m in ſuperficie illarũ: [per 7 p 11: quia cõnectit parallelas] & ita b m in eadẽ: quę, ſi ſecuerit z g in puncto g: erit g punctum reflexionis: quod quidem, ſi reuoluas probationem prædictam, uidere poteris.

49. Si communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi conici conuexi fuerit latus coni: locatum reflexionum tum imaginum eodem modo ſe habebunt, ut in ſpeculo plano. 42 p 7.

IN ſpeculis exteriorib. pyramidalibus, ſi linea cõmunis ſupficiei reflexiõis & ſpeculi, fuerit linea lõgitudinis ſpeculi: erit locus imaginis, ſicut aſsignatus eſt in ſpeculis planis. Et eadẽ eſt ꝓbatio.

50. Cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexiõis et ſpeculi conici cõuexi nõ eſt circulus. 12 p 7. Idẽ 41 n 4.

QVòd aũt nõ poſsit eſſe linea cõmunis, circulus: palàm per hoc: q  ſuperficies reflexionis or thogonalis eſt ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ ſpeculũ in pũcto reflexionis [per 13 n 4] & circulus neceſſariò eſt æquidiſtans baſi. [per cõuerſionẽ 4 th 1 conicorũ Apollonij] Superficies ergo hęc æquidiſtãs baſi, nõ erit orthogonalis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ ſpeculũ. [Nam planũ tangẽs conũ, tangit in latere per 35 n 4, ad baſim & circulũ ipſi parallelũ obliquo: quia eſt latus trianguli acutanguli facti à plano conũ per uerticẽ ſecante, per 3 th 1 conicorũ Apollonij. Quare cir culus erit extra reflexionis ſuperficiem: neq idcirco uiſibile ab ipſo ad uiſum reflectetur.]

51. Si cõmunis ſectio ſuperficierũ reflexiõis & ſpeculi conici cõuexi fuerit ellipſis: imago uiſibilis obliquè reflexi, aliâs in ſuperficie ſpeculi: aliâs intra: aliâs extra ſpeculũ uidebitur. 49 p 7.

SI uerò cõmunis linea fuerit ſectio pyramidalis: imagines quędam erunt in ſuperficie ſpeculi: quędã intra ſpeculũ: quędã extra. Etidẽ eſt aſsignationis modus, qui fuit in ſpeculo columnari exteriore: [44 n] & eadẽ ꝓbatio. Et (ſicut eſt in colũnari exteriore) [44 n] penperpẽdi cularẽ uiſualẽ nõ reflectetur forma ad oculũ, niſi pũcti ſuperficiei oculi tãtũ: & hoc ab uno ſolo ſpeculi pũcto: & locus imaginis eius erit cõtinuus locis aliarũ imaginũ, ſicut patuit ſuperius [44 n.]

52. Si à puncto in communi ſectione ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi conici conuexi dato, re flexio fiat: poſſunt uiſus & uiſibile ſic collocari, ut ab eodem puncto, tanquam puncto circuli baſi paralleli ad uiſum reflexio fiat. 32 p 7.

REſtat in his ſpeculis declarare: quòd ab uno ſolo puncto eius fiat reflexio: quod ſic patebit. Sit uiſus a: b punctũ uiſum: g punctũ reflexionis: & ducatur ſuper punctũ g ſuperficies æqui diſtãs baſi: [ductis nimirũ duabus perpẽdicularibus ſuper axem ſe interſecãtibus: una quidẽ à reflexionis puncto per 12 p 1: altera uerò ab axis puncto, in quod illa cadit, per 11 p 1. Sic enim axis, qui per 18 d 11 perpendicularis eſt baſi: erit per 4 p 11 perpendicularis plano ductarũ perpendi culariũ. Quare per 14 p 11 baſis & hoc planũ erunt parallela] quę quidẽ ſecabit pyramidẽ ſuper cir page 157 culum [per 4 th. 1 conicorũ Apollonij] ꝗ ſit p g: & ducãtur lineę a g, b g, a b: & à pũcto g ducatur ad cẽtrũ circuli linea: q̃ ſit g t: & uertex pyramidis ſit e: à quo ducatur axis: ꝗ erit e t. [per 3 d 1 coni. Apol.] Et ducatur [per 12 p 11] perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ fpeculũ in pũcto g: q̃ ſit h g: q̃ cũ diuidat angulũ a g b per æqualia, [per 13 n 4] cadet ſuper a b: pũctũ caſus ſit z. Et à uertice py ramidis ducatur linea lõgitudinis ſpeculi ad punctũ g: [educto nẽpe plano per axem, & perrectã à puncto g, cũ ipſo utlibet cõcurrentẽ: cõmunis enim fectio huius plani & conicæ ſuperficiei erit latus coni, ք 18 d 11, uel 3 th. 1 coni. Apol.] quę ſit e g: cui lineæ ducatur æquidiſtãs à pũcto a: [per 31 p 1] quę neceſſariò ſecabit ſuperficiẽ circuli g p: [ſi enim circulũ cũ diametro infinitè extẽſum cogites: diameter ſecãs e g conilatus, ſecabit etiã rectã lateri parallelã, per lẽma Procli ad 29 p 1. Quare eadẽ parallela circulũ ipſum quoq ſecabit] ſecet in pũcto n: & ſit n a. Similiter à pũcto b ducatur æquidiſtãs eidẽ e g, ſcilicet b m: quę ſecet ſuperficiẽ p g in pũcto m. Et à pũcto n ducatur ę ꝗ diſtãs ipſi g t: quę ſit n f: & ducãtur lineæ n g, m g, n m. Palàm, quòd t g ſecabit m n: [per lẽma Procli ad 29 p 1] ſecetin pũcto q. Palàm etiã, quòd m g ſecabit n f: cũ ſecet ei æquidiſtãtẽ: ſit pũctũ ſectionis f. Et à pun cto a ducatur æquidiſtãs h z: quę ſit a l. Palàm [per lẽma Procli ad 29 p 1] quòd b g cõcurret cũ a l: ſit cõcurſus l. Deinde ducatur linea cõmunis ſuperficiei, cõtingẽti ſpeculũ in puncto g, & ſuperficiei circuli p g: q̃ ſit g o. Palàm [per 18 p 3] quòd erit orthogonalis ſuper g t: & ſimiliter [ք 29 p 1] ſuper n f. Sumatur etiã linea cõmunis ſuperficiei, cõtingẽti ſpeculũ, & ſuperficiei reflexi onis: quę ſit g d: q̃ quidẽ cũ ſecet g h, ſecabit a l. [per lẽma Procli ad 29 p 1.] Sit punctũ ſectionis d: & erit orthogonalis ſuper a l. [Quia enim h g perpẽdicularis eſt plano, tãgẽti ſpeculũ in pũcto reflexionis g, ք fabricationẽ: erit ք 3 d 11 perpẽdicularis rectæ lineæ g d ipſam in puncto g tãgẽti. Et quoniã a l, h z ſunt parallelę, ք fabricationẽ: erit g d perpẽdicularis ipſi a l per 29 p 1.] Palàm ex prędictis, quoniã n f eſt æquidiſtãs g t, & a l ęquidiſtãs g h: igitur [ք 15 p 11] ſuperficies, in qua ſunt n f, al, eſt ęquidiſtãs ſuperficiei g t h: ſed linea e g æquidiſtat b m [ք fabricationẽ] quare ſunt in eadẽ ſuperficie [ք 35 d 1] q̃ ſuperficies ſecat preędictas æquidiſtãtes: unã ſuper lineã e g: aliã ſuper lineã fl. Quare [ք 16 p 11] fl eſt æquidiſtãs e g: ſed a n æqui diſtat eidẽ. Igitur [ք 30 p 1] fl eſt æquidiſtãs an. Verũ ſu perficies cõtingẽs ſpeculũ in pũcto g, ſecat ſuperficies eaſdẽ æquidiſtãtes: unã in linea e g: aliã in linea o d. Igitur [ք 16 p 11] o d eſt æquidiſtãs e g. Igitur [ք 30 p 1] eſt æ ꝗdiſtãs a n & l f. Et à pũcto f ducatur linea æ quidiſtãs l a, ſecãs d o in k, & a n in i: ergo f k æqualis l d, & k i æqualis d a. [ք 34 p 1.] Quare erit ꝓ portio a d ad d l, ſicut n o ad o f. [nã ք 7 p 5 eſt, ut a d ad d l, ſic i k ad k f: ſed ք 2 p 6, ut i k ad k f, ſic n o ad o f: ergo ք 11 p 5, ut a d ad d l, ſic n o ad o f.] Palã etiã, quòd angulus b g z æqualis eſt angulo z g a: [recta enim linea g z bifariã ſecat angulũ a g b, ut patuit] & etiã angulo g l a: [interiori & oppoſito per 29 p 1] & etiã angulo g a l: [alterno ք 29 p 1.] Quare [per 1 ax.] g a l, g l a ſunt æquales: & [ք 6 p 1] g a, g l æquales: & g d քpẽdicularis ſuper al: [per cõcluſionẽ] erit [per 26 p 1] a d æqualis d l. Erit igitur n o ęqualis o f: [demõſtratũ enim eſt, ut a d ad d l, ſic n o ad o f: & alternè, ut a d ad n o, ſic d l ad o f: ſed a d æquatur ipſi d l: ergo ք 14 p 5 n o æquabitur ipſi o f] & g o perpẽdicularis ſuper n f: [parallelæ enim ſunt n f, g t ք fabricationẽ, & g o perpẽdicularis eſt ipſi gt per 18 p 3: ergo per 29 p 1 g o eſt perpendicularis ipſi n f: ideoq́ angulus ad o uterq rectus eſt] erit [per 4 p 1] angulus o f g ęqualis angulo o n g. Erit igitur angulus n g q ęqua lis angulo m g q. [Nã cũ t q, f n ductę ſint parallelę: æquabitur ք 29 p 1 angulus m g q angulo n f g: ք æqualis cõcluſus eſt ipſi f n g: æquali angulo n g q alterno per 29 p 1. Quare anguli m g q, n g q inter ſe ęquãtur.] Igitur [per 12 n 4] à puncto circuli p g, quod eſt g, poteſt punctum m reflecti ad n, nõ impediente pyramide. [Hęc concluſio uidetur repugnare 41 n 4 & 50 n, quibus demonſtratum eſt communem ſectionem ſuperficierum reflexionis & ſpeculi conici cõuexi non eſfe circulum. Quare punctum g circuli p g, à quo hic reflexio fieri concluditur, intelligendum eſt punctum circuli, qui eſt communis ſectio ſphæræuel cylindri, quos mens intra conum fingit ac concipit.]

53. Si communis ſectio ſuperficierum, reflexionis, & ſpeculi conici cõuexifuerit latus conicũ: ab uno puncto unum uiſibilis punctum ad unum uiſum reflectetur. 33 p 7.

DIco igitur, quòd punctũ b à ſolo g reflectitur ad a. Si enim dicatur, quòd ab alio pũcto poteſt reflecti: illud aut erit in linea lõgitudinis: quę eſt e g: aut nõ. Sit in ea: & ſit x: & ab eo ducatur perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, cõtingẽtẽ ſpeculũ in pũcto illo: [per 12 p 11] q̃ quidẽ perpẽdicularis, erit [ք 6 p 11] ęquidiſtãs z g: & ita [per 30 p 1] æquidiſtãs a l. Igitur a l eſt in ſuperficie reflexionis huius perpẽdicularis: [per 35 d 1] & eſt ſimiliter in ſuperficie reflexionis perpẽdicularis z g: [ք 35 d 1: parallela enim ducta eſt a l ipſi z g] igitur illæ duæ ſuperficies reflexiõis ſecãt ſe ſuper lineam page 158 al: ſed ſecãt ſe ſuper pũctũ b: [quia uiſibile eſt in qualibet reflexionis ſuperficie ք 23 n 4] q eſt impoſsibile. Quoniã b nõ eſt in linea a l: q patet ք hoc: quoniã fl æquidiſtat b m. [ut patu it proximo numero per fabricationẽ & 30 p 1.] Reſtat ergo, ut à nullo pũcto lineæ e g, pręterquã à g, poſsit reflecti b a d a. Si aũt ab aliquo pũcto extra lineã e g: ſit illud u: & ducatur linea lõgitudinis e u o: & ſumatur ſuperficies æquidiſtãs baſi, trãſiẽs ք pũctũ u. [ut dictũ eſt proximo numero.] Palã, quòd a n ſecabit hãc ſuperficiẽ: [quia e g parallela ipſi a n, eandẽ ſecat] ſit punctũ ſectionis y. Similiter b m ſecabit eandẽ: ſit punctũ ſectionis k: & ducãtur lineæ k u, y u, y k. Et cũ ſuperficies illa ſecet pyramidẽ ſuper circulũ, trãſeuntẽ per u [per 4 th 1 coni. Apol.] ducatur à pũcto u linea ad cẽtrũ huius circuli, quę extra circulũ ꝓducta, ſit r u: & ducãtur lineę e k, e y: quę quidẽ ſecabũt ſuperficiẽ circuli p g: [quia ſecãt circulũ ipſi parallelũ, per u trãſeun tẽ] & ſint pũcta ſectionũ s, i: & ducãtur lineæ i c, s c. Sicut igitur probatũ eſt [proximo numero] de pũcto m: quòd, nõ impediente pyramide, poteſt reflecti ad n à pũcto g: ita ꝓbabitur de pũcto k: q poteſt reflecti à puncto u ad punctũ y: & eadẽ eſt ꝓbatio: & ita angulus r u y erit ęqua lis angulo r u k [per 12 n 4.] Palàm, quoniã b k eſt æquidi ſtãs e g: [Nã b m parallela ipſi e g ք fabricationẽ, cõtinuata eſt in pũctũ k] & linea, cõmunis ſuքficiei b g e k, & ſuքficiei circùli p g, eſt linea m g. Igitur linea e k cũ ſit in hac ſuperficie, & ſecet ſuperficiẽ circuli p g: [in pũcto s, ut pa tuit] cadet ſuper lineã cõmunẽ, quę eſt m g. Erit igitur s m g linea recta. Eodẽ modo cũ ſuperficies n y e g ſecet ſu perficiẽ circuli p g, ſuper lineã n g: linea e y cõcurret cũ li nea n g. [in pũcto i, ut patuit.] Igitur i n g linea eſt recta. Palã etiã, quòd ſuքficies i e c ſecat ſuperficiẽ circuli p g, ſuper lineã i c, & ſecat ſuperficiẽ huic æquidiſtãtem, quæ trãſit ք u, ſuper lineã y u. Ergo [per 16 p 11] y u æquidiſtat i c. Similiter ſuperficies s e c ſecat ſuperficies illas æquidiſtãtes, ſuper duas lineas s c, k u. Ergo [per 16 p 11] s c ęquidiſtat k u. Similiter ſi ſumatur ſuperficies, ſecãs ſpecu lũ ſuper lineã lõgitudinis e c, in qua ſuքficie ſuntru, c M: ſecabit illas ſuքficies æquidiſtãtes [nẽpe circulos ք u & c eductos] ſuք duas lineas M c, r u. Igitur [ք 16 p 11] hę duę lineæ ſunt æquidiſtãtes. Igitur angulus s c M æqualis eſt angulo k u r, & angulus M c i æqualis angulo r u y. [ք 10 p 11.] Sed iã patuit, q angulus k u r æqualis eſt r u y. Igitur [ք 1 ax.] angulus s c M æqualis eſt angulo M c i. Quare pũctũ s poteſt reflecti ad i à puncto c, nõ impediente py ramide: ſed iã probatũ eſt [proximo numero] q punctũ m reflecti põt ad i à pũcto g. [cadunt. n. pũcta i, n, g in eandẽ rectã lineã, ut mõſtratũ eſt.] Igitur punctũ s reflectitur ad i à duob. punctis circuli p g. [nimirũ g & c] q eſt impoſsibile [& cõtra 51 n 4. 29. 46 n.] Reſtat ergo, ut primũ ſit impoſ ſibile, ſcilicet, ut punctũ b reflectatur ad a ab aliquo puncto alio ſpeculi,  à g. Quod eſt propoſitũ.

54. Viſu & uiſibili inter baſim ſpeculi conici conuexi, & planum per uerticem ductum, baſi́ parallelum poſitis: punctum reflexionis inuenire. 35 p 7.

AMplius: dato ſpeculo pyramidali: eſt inuenire punctũ reflexionis. Verbi gratia: ſit g uertex pyramidalis ſpeculi: & ſuper ipſum fiat ſuperficies æquidiſtãs baſi pyramidis: [ut oſtenfum eſt 52 n] quę ſit m n g: a ſit pũctũ uiſum: b cẽtrũ uiſus. A & b aut erũt citra illã ſuperficiẽ: aut ultra: aut in ipſa ſuperficie: aut unũ citra, aliud ultra: aut unũ in ſuperficie, aliud citra uel ultra. Sint citra ſuperficiẽ: & à puncto a ducatur ſuperficies, ſecãs pyramidẽ ęquidiſtãter baſi: & ducatur à pun cto g linea ad punctũ b: quę ꝓducta cadet in ſuperficiẽ ab a ductã, cũ ſit inter ſuperficies æquidiſtãtes: [quarũ una ք uerticẽ, altera ք uiſibile a ducitur] punctũ, in q cadit hęc linea, ſit h. Probatur aũt modo ſuprà dicto [52 n] q a reflectitur ad h ab aliquo pũcto circuli, quẽ efficit ſuperficies, ſecãs pyramidẽ, ducta à pũctis a, h: & inueniatur in circulo illo punctũ reflexionis: [ք 31 uel 39 n] & ſit e: & ducatur linea a b: & linea lõgitudinis pyramidis g e: & axis pyramidis g t: & ducatur à puncto e linea ad centrũ circuli: quę quidẽ cadet ſuper axem: [ք 4 th 1 coni. Apol. quia cẽtrũ circuli eſt in axe] & ſit e t: & erit [ք 18 p 3] orthogonalis ſuper lineã, cõtingentẽ circulũ illũ in pũcto e: & ductis lineis a e, h e: ſecabit angulũ earũ ք æqualia: [ut oſtẽſum eſt 13 n 4] & diuidet lineã a h: [քa ſecat angulũ ipſi ſubtẽſum: ſunt enim e h, e a, h a in eadẽ reflexionis ſuperficie ք 23 n 4] ſit pũctũ diuiſionis r. Palàm, quoniã g e, e t efficiũt ſuperficiẽ, ſecantẽ lineã a b: ſit pũctũ ſectionis f: & à pũcto f ducatur perpẽdicularis ſuper lineã g e [ք 12 p 1] & ſit f q: quę quidẽ erit orthogonalis ſuper ſuperficiẽ, cõtingẽtẽ pyramidẽ ſuper lineã g e. [quia enim f q perpẽdicularis eſt duab. rectis interſectis, in cõmuni ipſarũ ſectione (q eſt punctũ q) lateri nẽpe conico e g ք fabricationẽ proximã, & rectę peripheriã circuli ք punctũ q deſcripti, in extrema diametro tãgenti ք 18 p 3: erit perpẽdicularis plano ք ipſas ducto ք 4 p 11, id eſt plano in latere conũ tãgente per 35 n 4.] Deinde à pũcto a ducatur ęqui diſtãs lineæ f q: & ſit a l: f q aũt cõcurrat cũ axe in pũcto k: [q enim cõcurrat, patet ք 11 ax. quia per page 159 18 d 11 & 32 p 1 angulus ab axe & latere e g cõprehẽſus, eſt acutus] & à pũcto a ducatur ęquidiſtãs lin e æ r t: quę ſit a s: & ducatur à pũcto e linea, cõmunis ſuperficiei reflexionis a e h & ſuperficiei, con tingẽti pyra midẽ in linea g e: quæ ſit e o. Cadet quidẽ orthogonaliter ſuper a s: cũ ſit orthogonalis ſuper e t: [quia enim e o tãgit peripheriã circuli in e: erit ք 18 p 3 perpẽdicularis ipſi r e t, cui a s parallela eſt ք fabri cationẽ. Quare ք 29 p 1 e o perpendicularis eſt ipſi a s] & ducatur linea b q: quæ ꝓ ducta, neceſſariò cõcurret cũ linea a l: [ք lẽma Procli ad 29 p 1] ſit pũctũ cõcurſus l: & ducatur à pũcto q linea, cõmunis ſuperficiei cõtingenti, [ſpeculũ in latere conico e g] & ſuperficiei a b l: quæ ſit o p: & ducãtur l s, p o. Palàm, quoniam ſuperficies a l s eſt ęquidiſtãs ſuperficiei g e k: [Nã quia e t ſemidiameter cir culi, eſt perpẽdicularis axi ք 18. 3 d 11: & angulus g q k rectus ք fabricationẽ: ergo ք 32 p 1 angulus g k q eſt acutus, & reliquus t k q obtuſus. Quare e t, f k ultra axẽ cõtinuatæ efficient angulos duob. rectis minores ք 13 p 1, & ք 11 ax. cõcurrent: His uerò parallelæ a l, a s cõcurrũt in puncto a: ſuntq́ binę in diuerſis planis. Ergo ք 15 p 11 ipſarũ plana ſunt parallela] & lineæ q e, p o ſunt in ſuքficie con tingẽte: quę ſuքficies ſecat illas ſuperficies ęquidiſtãtes, ſuper duas lineas q e, p o: Igitur [ք 16 p 11] q e æquidiſtat p o. Ducatur aũt linea h e, donec cõcurrat cũ h s in pũcto s [cõcurret aũt ք lẽma Procli ad 29 p 1.] Palã [ք 1 p 11] q  linea e s eſt in ſuperficie h e g: & in eadẽ eſt linea b l: [ք 2 p 11] & hęc ſuperficies ſecat prædictas ſuperficies æquidi ſtãtes, in duabus lineis e q, l s. Igitur [ք 16 p 11] e q eſt ædiſtãs l s: erit igitur [‡ք 30 p 1] p o ęquidiſtãs l s. Quare [ք 2 p 6] a o ad o s, ſicut a p ad p l: ſed palã [per 12 n 4] quod angulus h e r æ qualis eſt angulo r e a: erit angulus e s a ęqualis angulo e a s: [Nã cũ r t ſit parallela ipſi a s per fabri cationẽ: æquabitur tũ angulus h e r exterior, angulo e s a interiori & oppoſito, tũ e a s alterno r e a per 29 p 1. Quare ք 1 ax. angulus e s a æquabitur angulo e a s] & e o eſt perpẽdicularis ſuper a s: [ut oſtẽſum eſt] erit ergo [per 26 p 1] a o æqualis o s: erit ergo a p æqualis p l [demõſtratũ enim eſt, ut a o ad o s, ſic a p ad p l] & q p perpẽdicularis eſt ſuper a l. cũ ſit perpẽdicularis ſuper f k. [Quia enim f k քpẽdicularis eſt plano tãgẽti, ut patuit, in quo eſt q p: cũ ſit illius, & plani a b l cõmunis ſectio: ergo ք 3 d 11 f k eſt քpẽdicularis ipſi p q, & ք 29 p 1 ipſi a l parallelę.] Igitur [ք 4 p 1] q l ęqualis a q: & angul9[?] q l a æqualis angulo l a q. Erit ergo angulus b q f æqualis angulo a q f: [Quia enim q f parallela eſt ipſi a l: ęquabitur exterior angulus b q finteriori & oppoſito q l a: & q a l alterno a q f ք 29 p 1. Quare b q f æquabitur a q f.] Igitur a reflectetur ad b à puncto q [per 12 n 4.] Quod eſt propoſitum.

55. Viſu & uiſibili in plano per uerticem ſpeculi conici conuexi ducto, baſi́ par allelo, poſitis: punctũ reflexionis inuenire. 36 p 7.

SI uerò cẽtrũ uiſus & punctũ uiſum fuerint in ſuperfi cie m g n: ſit unũ in puncto m, aliud in pũcto n: & du cãtur lineæ m g, n g, m n: & diuidatur angulus m g n per æqualia, per lineã q g [per 9 p 1.] Palã [per 12 n 4] q n à puncto g reflectitur ad m. Palã etiã, quòd linea q g & axis pyramidis ſunt in ſuperficie, ſecãte pyramidẽ ſuper lineã longitudinis: [ſunt enim axis & latus in uno plano, ut è 18 d 11 intelligitur, & in eodẽ plano eſt recta linea q g per 2 p 11] à pũcto q ducatur orthogonalis ſuper hãc lineã lõgitudinis g e: quę ſit q e: & ſuper pũctũ e fiat ſuperficies æquidiſtãs baſi: [ut dictũ eſt 52 n] quæ ſecabit pyramidẽ ſuper circulũ [per 4 th 1 coni. Apol.] linea cõmunis ſuքficiei q e g, & huic circulo ſit e t. Palã, quoniã cadet ſuper axem & ſuper cẽtrũ circuli. [Quia enim conus ſectus eſt duplici plano: uno per axem, altero ad baſim parallelo: & illius quidẽ & coni cõmunis ſectio eſt triágulũ, per 3 th 1 coni. Apol. huius uerò circulus per 4 th eiuſdẽ: ergo per cõſectariũ 4 th comunis ſectio circuli & trianguli eſt dia meter circuli, cuius cẽtrum eſt in axe.] Deinde à pũcto m ducatur ęquidiſtãs lineę e g: quę quidẽ in ſuperficie illius circuli cadat in pũctũ b: [cadet aũt, ꝗa eſt interplana parallela.] Similiter à pũcto n ducatur æquidiſtans g e: quæ cadat in pũctũ a: & ducatur a b: & e t ſecet eá in punctor. page 160 [ſecabitaũt: quia cũ ſint in uno plano ք 23 n 4: & et ſecet angulũ a e b: cõtinuata ſecabit etiã baſim angulo ſubtẽſam.] Palàm, quoniã m b æquidiſtat g e: eſt in eadẽ ſuperficie cũ ipſa: [ք 35 d 1] quę ſu perficies ſecat ſuperficiẽ m g n & ſuperficiẽ b e a ęquidiſtãtes, ſuper duas lineas m g, b e: ergo [ք 16 p 11] m g æquidiſtãs eſt b e. Similiter n a, ge ſunt in ſuperficie ſecante illas ſuperficies æquidiſtãte s, ſu per n g, a e: igitur [per 16 p 11] n g æquidiſtat a e. Similiter ſuperficies q g e ſecat eaſdẽ ſuperficies, ſu per duas lineas r e, q g: igitur [ք 16 p 11] r e, q g æquidiſtãt. Igitur q g & m g æquidiſtãt b e, r e. Quare [ք 10 p 11] angulus m g q æqualis angulo b e r: & angulus q g n æqualis angulo r e a: & angulus b e r æqualis angulo r e a. [ꝗa angulus m g q æquatus eſt angulo n g q.] Et ita pũctũ a põt reflecti ad pun ctũ b à pũcto e [ք 12 n 4.] Si ergo à pũcto a ducatur ęꝗdiſtãs q e, & alia ęꝗ diſtãs r e: & ducatur b e, do nec cõcurrat cũ linea æꝗdiſtãte ipſi q e: & ducãtur lineę cõmunes, ut prius, & m e, n e: & iteretur ꝓbatio p̃dicta: patebit, q n põtreflecti ad m à pũcto e. Erit igitur e pũctũ reflexiõis. Q eſt ꝓpoſitũ.

56. Viſu & uiſibili ultra planum per uerticem ſpeculi conici conuexi ductum, baſi́ paralle lum, poſitis: punctum reflexionis inuenire. 37 p 7.

SI uerò ambo fuerint ultra m g n: fiat pyramis huic oppoſita: & eſt, ut ꝓtrahãtur lineæ lõgitudi nis pyramidis iã factæ [ut è 1 d 1 coni. Apol. intelligitur] & à pũcto a ducatur ſuperficies, ſecans hãc ultimã pyramidẽ ſuք circulũ y z: [ut oſtẽſum eſt 52 n: eritq́ hic circulus parallelus utriuſq coni baſib. ք cõuerſionẽ 4 th 1 coni. Apol.] B aũt erit in hac ſuքficie: aut nõ. Si fuerit: fiat operatio à pũcto b. [ut 54 n.] Si nõ: ducatur linea g b, uſq dũ cõcurrat cũ hac ſu perficie: [cõcurret aũt: quia eſt inter plana parallela] & ſit cõcurſus in pũcto d. Palàm, q a reflectitur ad d ab ali quo pũcto circuli y z interiore [per 40 n 4.] Inueniatur pũctũ illud: ſicut deinceps ꝓbabimus & docebimus, nõ ex anterioribus: & ſit z: & ducãtur lineæ a z, d z, a d: & linea p z diuidat angulũ illũ ք æq̀ualia: [ք 9 p 1] & à puncto g ducatur g z linea lõgitudinis: [ut oſtẽſum eſt 52 n] & ducatur a b: & producatur linea z g ad aliã pyramidẽ: quę quidẽ perueniet ad ſuperficiẽ eius: & erit linea lõgitudinis: [ut patet è 1 d 1 coni. Apollo.] & ſit z g e. Palàm, quòd ſuperficies p z e ſecabit lineã a b: ſecet in puncto q: & ducatur à pũcto q perpẽdicularis ſuper lineã g e: [ք 12 p 1] & cadat in pũctũ e: & erit perpẽdicularis ſuper ſuper ficiẽ, cõtingentẽ pyramidẽ ſuper lineã g e: [ք 3 d 11] & ſuperpũctũ e fiat ſuperficies, æquidiſtãs baſi: quę ſit f e h: & ducatur à pũcto d linea æquidiſtãs z e: quę ſit d h, cõcurrẽs cũ ſuperficie illa in pũcto h: [cõcurret aũt: quia cõcur rit cũ plano ipſi parallelo] & eidẽ lineæ ſit æ quidiſtãs a f. Palàm, quoniam d h eſt æquidiſtãs z e: quòd ſunt in eadẽ ſuperficie: [ք 35 d 1] quę ſuperficies ſecat ſuperficies æquidiſtantes, ſuper duas lineas d z, h e: igitur [ք 16 p 11] h e, d z ſunt ęquidiſtátes. Similiter a z, fe ſunt ęquidiſtãtes. Similiter, quoniã p z trãſit per cêtrũ circuli y z: [ducta enim recta linea circulũ in pũcto z tãgẽte ք 17 p 3: quoniã angulus a z d bifariã ſectus eſt à linea p z: & anguli incidẽtiæ & reflexiõis æquãtur ք 10 n 4: anguli igitur deinceps lineę p z & tãgẽtis ęquãtur ք 2 ax. & ita ք 10 d 1 uterq rectus eſt. Quare ք 19 p 3 p z eſt diameter circuli y z] ſimiliter r e t ք cẽtrũ al terius circuli, ſuper quẽ ſuperficies a e h ſecat pyramidẽ. Igitur ſuperficies p z e r ſecat duas ſuperficies æquidiſtãtes, ſuper duas lineas p z, r e: igitur [ք 16 p 11] p z æquidiſtat r e. Quare [ք 10 p 11] angulus a z p æ qualis angulo f e r: & angulus d z p angulo h e r: & ita erit angulus f e r æqualis angulo r e h. [ꝗa a z p æquatus eſt d z p.] Quare f reflectetur ad h à pũcto e. Igitur ſi à pũcto f ꝓtraxerimus ęquidiſtãtẽ q e, & aliã æquidiſtãtẽ r e: & lineas cõmunes, ſicut ſuprà: & iterauerimus modũ ꝓbandi prædictũ: patebit, quòd punctum a reflectetur ad b à puncto e. Quod eſt propoſitum.

57. Viſu in plano per uerticem ſpeculi conici conuexi ducto, baſi́ parallelo, uiſibili citraidẽ poſitis: punctum reflexionis inuenire. 38 p 7.

SI uerò centrũ uiſus fuerit in ſuperficie æquidiſtante, quæ eſt ſupra uerticẽ, ſcilicet g: & punctũ uiſum citra hãc ſuperficiẽ: erit inuenire punctũ reflexionis hoc modo. Sit enim cẽtrũ uiſus m: pũctũ uiſum a: & ſit m n g ſuperficies æquidiſtãs baſi pyramidis: & à pũcto a ducatur ſuperficies æquidiſtãs baſi pyramidis: [ut mõſtratũ eſt 52 n] quæ ſecabit pyramidẽ ſuper circulũ [per 4 th. 1 coni. Apol.] ꝗ ſit d e k: cuius cẽtrũ t: & à pũcto m ducatur perpẽdicularis ſuper hãc ſuperficiẽ: [ք 12 p 1] quę ſit m h: & ducatur axis g t: & linea h t: & ducatur ab m ad a linea recta m a: & à puncto a du catur ad lineã h t, intra circulũ, linea a e q, & e q ſit æqualis q t ſecũdũ ſupradicta: [37 n] & ducatur linea t e i: & à pũcto h ducatur æquidiſtãs te, & æqualis: [ք 31. 3 p 1] q̃ ſit h b: & ducãtur lineæ m b, b e, g e. Palã, q ſuperficies g t e ſecabit lineã a m: ſit punctũ ſectionis f: & ducatur à pũcto fperpẽdi cularis ſuper lineã e g: [ք 12 p 1] & ꝓducatur ad axem: [cũ quo cõcurret, ut oſtẽſum eſt 54 n] cadẽs in pũctũ o: quę ſit f o p: & ducãtur lineæ m o, a o. Dico, q o eſt punctũ reflexionis. Palã, quoniã h b æquidiſtãs & æqualis t e: [per fabricationẽ] igitur h t æquidiſtãs & æqualis e b. [per 33 p 1.] Sed m h page 161 æqualis & æquidiſtãs g t: cũ utraq ſit perpẽdicularis: [duob. planis ք m n g & ք a ductis. Nã utraq քpẽdicularis eſt plano ք a ducto: m h quidẽ ք fabricationẽ: g t uerò ք 18 d 11: ꝗa eſt axis. Itaq ք cõuerſam 14 p 11. utraq perpẽdicularis eſt plano m n g parallelo ք fabricationẽ plano ք a ducto: quare ք 28. 33 p 1 m h, g t ſunt parallelæ & æquales] igitur h t eſt æquidiſtans & æqualis m g: [ք 33 p 1] igitur m g æ quidiſtãs & æqualis b e [per 30 p 1. 1 ax.] Quare m b æ quidiſtãs & æqualis g e [ք 33 p 1.] Palã etiã, q angulus q t e æqualis eſt angulo q e t: [ք 5 p 1: ꝗ a e q, q t æ quatę ſunt] & ita [ք 15 p 1] æqualis angulo a e i: ſed q t e eſt æqualis angulo i e b. [ք 29 p 1: ꝗ a e b, h t ſunt parallelæ.] Igitur [ք 1 ax.] i e b æqualis eſt i e a: Quare a reflectitur ad b à pũcto e [ք 12 n 4.] Et cũ linea b m æquidiſtãs ſit lineæ g e: ſi à pũcto a ducatur æquidiſtãs f o p, & æquidiſtans it: & iteretur figura ſupradicta, & ꝓbatio: [54 n] palàm, quòd a reflectetur ad m à puncto o. Etita eſt propoſitum.

58. Viſu in plano per uerticẽ ſpeculi conici conuexiducto, haſi́ parallelo, uiſibili ultra idẽ poſitis: pũctũ reflexiõis inuenire. 39 p 7.

SI uerò m ſit in ſuperficie, & a ultra ſuperficiem: fiet pyramis alia huic oppoſita: & fiat ſuք a ſuքficies æquidiſtãs baſi huius pyramidis: & inueniatur in circulo buius ſuքficiei pũctũ reflexiõis ex punctis interiorib. & ducatur à pũcto illo linea ad g: & ꝓducatur: & inuenietur pũctũ ſecũdũ ſuքiora: [56 n] & idẽ eſt ꝓbãdi modus.

59. Viſu citra planum per uerticem ſpeculi conici cõuexi ductum, baſi́ parallelum: uiſibili ultra idem poſitis, uel contrà: punctum reflexionis inuenire. 40 p 7.

SI aũt pũcta, ſcilicet cẽtrũ uiſus & pũctũ uiſum ita diſponãtur, ut unũ ſit citra ſuքficiẽ uerticis, aliud ultra: ſit unũ b: aliud a: ſuքfi cies uerticis m g n: & ducatur à pũcto a ſuperficies ęꝗdiſtãs baſi: [ut mõſtratũ eſt 52 n] ſecabit pyramidẽ ſuք circulũ: [ք 4 th. 1 coni. Apol.] ꝗ ſit d e: centrũ eius ſit t: & ducatur axis g t: & ducatur linea b g: cõcurret quidẽ cũ ſuperficie a e d: [ꝗa cõcurrit cũ plano ipſi parallelo] ſit cõcurſus k, & in circulo d e inueniatur punctũ, q ſit e: ita, ut cõtingẽs ducta à pũcto illo, quę ſit s e, diuidat ք æqualia angulũ, quẽ cõtinẽt lineæ k e, a e: [ք 36 n] & ducatur linea lõgitudinis g e: & à pũcto b ducatur linea æquidiſtãs g e: quę neceſſariò cõcurret cũ linea k e: [ք lẽma Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus h. Palàm [ք 1 p 11] q h eſt in ſuperficie g e k: & b h in eadẽ ſuperficie [ք 35 d 1] ꝗa æ ꝗ diſtãs eſt g e: & ducatur linea t e i. Palã, q ſuperficies g t e ſecat lineã b a: ſecetin pũcto u:à quo ducatur քpẽdicularis ſuք ſuperficiẽ cõtingẽtẽ: [ſpecu lũ in latere conico ge] q̃ ſit u o p: & ducãtur lineę a o, b o. Palã [è fabricatione] q angulus a e s ęqualis eſt angulo s e k: & cũ [per 18 p 3] angulus i e s ſit rectus, & s e t rectus: [ideoq́ ք 10 ax. æquales: & per 3 ax. reliquus a e t æquatur reliquo k e i] erit i e a æqualis angulo t e k: [per 2 ax.] & ita angulus a e i æqualis angulo i e h. [Nã angulus t e k æqualis angulo a e i, æquatur angulo i e h per 15 p 1: ideoq́ ք 1 ax. angulus a e i æquatur angulo i e h] Quare a reflectetur ad h à pũcto e. Si ergo à pũcto a ducatur ęqui diſtãs u o, & æquidiſtãs i t: & iteretur ꝓbatio: [54 n] patebit, q reflectetur a à pũcto o ad b. Et ita patet ꝓpoſitũ. Palã ergo, qũo ſit inuenire pũctũ refſexionis. Et hęc, quędicta ſunt, de unico uiſu intelligẽda ſunt: in duplici aũt uiſuidẽ accidit: quoniã eadẽforma, & idẽlocus formæ cõprehenditur ab utroq uiſu. Et (ſicut dictũ eſt [41 n] in ſpeculo ſphærico exteriore) formę à duob. oculis cõprehẽſę, in his ſpeculis propter cõtiguitatẽ uldẽtur una: & aliquãdo ſimul ſunt in loco: & aliquãdo cõmiſcentur earum loca in parte: aliquando ſeparãtur, ſed modicùm. Forma autem, quæ per perpendicularẽ in his ſpeculis deſcendit, ſecundum eandem regreditur, ſicut ſuprà patuit: [11 n 4] & forma illa ab uno oculo ſuper perpendicularem, percipitur ab alio oculo ſecundum lineam reflexionis, ſed loca formarum continua ſunt. Vnde eadem apparet uiſui forma.

page 162

60. In ſpeculo ſphærico cauo, imago uidetur aliâs in reflexionis puncto: aliâs in uiſu: aliâs ultra: aliâs citra ſpeculum: aliâs inter uiſum & ſpeculum. 11 p 8.

IN ſpeculis ſphæricis concauis aliquãdo perpendicularis à pũcto uiſo ducta ſecat lineã reflexionis: aliquãdo eſt æquidiſtãs ei. Quãdo ſecat: erit locus formæ aliquãdo in ſpeculo: aliquãdo ultra ſpeculũ: aliquãdo citra. Et cũ fuerit locus formæ citra ſpeculũ: aliquando erit inter uiſum & ſpeculũ: aliquãdo in cẽtro uiſus: aliquãdo citra cẽtrũ uiſus. Et nos h æc demõſtrabimus. Sit a cẽtrũ uiſus: d cẽtrũ ſpeculi: & fiat ſuperficies ſuper hæc puncta: quæ ſecabit ſpeculũ ſuք circulũ [per 1 th. 1 ſphær. Theodo.] ꝗ circulus ſit h b f g: erit qúidẽ ſuքficies hęc, ſuքficies reflexionis: quoniã eſt ortho gonalis ſuք quãlibet ſuperficiẽ, cõtingentẽ circulũ: [ք 13 n 4] & ducatur linea a d: & à pũcto a duca tur linea ad circulũ maior  a d: quę ſit a e: & à pũcto d ducatur ad circulũ æquidiſtãs a e: q̃ ſit d h: & ꝓducatur a d uſq in pũcta b, i: [qñ nimirũ uiſus fuerit intra circulũ h b f g: q ſi fuerit in peripheria uel extra: linea a d ab una tãtùm parte in peripheriã cõtinuabitur: eritq́ eadẽ demõſtrãdi ratio: ꝗa a e ſemք maior eſſe debet a d] & ducatur linea d e. Palã, q angulus a e d eſt minor recto: [cõnexis enim rectis e i, e b: erit angulus i e b rectus ք 31 p 3, ideoq́ a e d acutus] quoniã e d ſemidiameter: & quęlibet linea in circulo cũ diametro facit angulũ acutũ [ut patet ք 31 p 3. 32 p 1 uel 9 ax.] Et ſuք pun ctũ e fiat angulus æqualis angulo a e d [ք 23 p 1] ꝗ ſit d e t. Palã, q e t cadet intra circulũ: [ſi. n. cade ret extra: uel tãgeret peripheriã, efficeretq́ cũ ſemidiametro de angulũ rectũ ք 18 p 3: uel ſecaret, & efficeret obtuſum: quorũ uterq cũ acuto a e d maior ſit ք 11 12 d 1: mãdato ſatis factũ nõ eſſet] & ſecabit lineã d h: [ք lẽma Procli ad 29 p 1: ꝗa ſecat a e ipſi parallelã] ſit pũctũ ſectiõis t. Palã etiã, q an gulus a d e maior eſt angulo d e t: [ꝗa cũ a e maior ſit a d, maior erit ք 18 p 1 angulus a d e angulo a e d, cui ęquatus eſt angulus d e t] & ita et ſecabit a b: [ꝗa. n. anguli a d e, e d b æquãtur duob. rectis per 13 p 1: & angulus a d e maior eſt angulo d et: anguli igitur e d b, d e t minores ſunt duob. rectis: quare e t, d b cõcurrẽt ք 11 ax.] ſecet in pũcto z. Deinde à pũcto a ducatur ad arcũ e h linea: q̃ ſit a n: & ducatur linea d n: & ſuper pũctũ n fiat angulus æqualis angulo d n a, ք lineã m n: q̃ neceſſariò cadet intra circulũ: [ob cauſſam ꝓximè expoſitã] & ſecabit d h: [Nã cũ angulus a n d à ſemidiametro d n & recta linea a n cõpre henſus, ſit acutus, ut patuit: erit angulus d n m ipſi æquatus, acutus: ſed & n d m eſt acutus, ꝗa pars eſt acuti e d t: anguli igitur d n m, n d m ſunt minores duob. rectis. Quare n m, d h cõcurrent ք 11 ax.] ſecet in pũcto m. Palã etiã, q a n cõcurret cũ d h extra circulũ: [per lẽma Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus in l. Ducatur etiã à pũcto a linea ad arcũ e i f: q̃ ſit a g: & ducatur d g: & fiat angulus d g q æqualis angulo a g d. Palã, q q g ſecabit d h: [ut patuit] ſit pũctũ ſectionis q. Palã etiã, q a g cõcurret cũ d h ex parte f: [Nã q cõcurrat, cõſtatè lẽmate Procli ad 29 p 1: q uerò uerſus f, è paulò antè demõſtratis քſpicuũ eſt] ſit cõcurſus o. Q aũt g q cadat inter d & h, palã: cũ arcus, quẽ ſecat g o ex circulo, ſit maior arcu g h: ſi. n. ducatur linea g h: angulus h g d maiorẽ reſpiciet arcũ angulo a g d. [ideoq́ ք 33 p 6 angulus h g d erit maior angulo a g d: at angulo a g d, æquatus eſt angulus q g d: angulus igitur h g d maior eſt angulo q g d: itaq linea q g ſecans angulũ q g d, ſecabit baſim h d angulo q g d ſubtẽſam.] Iterũ à pũcto a du catur ad arcũ fb, linea a k, ſecãs d h in pũcto s: [q. n. ſecet, patet è lẽ mate Procli ad 29 p 1] ut ſit k s maior s d: [ſecta nẽpe d f bifariã ք 10 ք 1, & ab a ducta linea a k ք ſectionis pũctũ, uel ք quodcũq aliud uerſus d: utroq. n. modo erit s k maior fs ք 7 p 3: & ob id maior s d] & ducatur k d. Palã, q angulus d k a eſt acutus. [ut in principio huius numeri oſtẽſum eſt] Fiat [ք 23 p 1] ei æqualis: ꝗ ſit d k u. Palã, q, cũ angulus k d s ſit maior angulo d k s: [ք 18 p 1: ꝗ a s k maior eſt s d ք fabricationẽ]k u cõcurret cũ d h: [Nã cũ anguli h d k, k d s æquẽtur duob rectis ք 13 p 1: & k d s ſit maior d k s è cõcluſione: erit k d s etiã maior d k u æquali d k s: anguli igitur h d k, d k u ſũt minores duob. rectis. Quare h d, ku cõcur rẽt ք 11 ax.] ſit cõcurſus in pũcto u. Palã ſecũdũ ſupra dicta [& 12 n 4] q pũctũ t mouetur ad e, & re flectitur ad a: & քpẽdicularis à pũcto t ducta, eſt t d: q̃ քpẽdicularis eſt ſuք ſuքficiẽ, cõtingẽtẽ ſpecu lũ: [ք 25 n 4] & eſt æquidiſtãs lineæ reflexiõis, q̃ eſt a e: [ք fabricationẽ] unde nõ cõcurret cũ e a: [ք 35 d 1. Imago igitur pũcti tuidebitur in reflexiõis pũcto e] Pũctũ aũt z mouetur ad e, & reflectitur ad a: & քpẽdicularis ducta à pũcto z, eſt a z: q̃ cõcurrit cũ a e in pũcto a. Vnde locus formę pũcti z erit a. [ք 3 n.] Pũctũ uerò m mouetur ad n, & reflectitur ad a: & քpẽdicularis ducta à pũcto m, quę eſt m d. cocurrit cũ a n in pũcto l, q eſt ultra ſpeculũ: & locus formę pũcti m erit l. Forma uerò pũcti q m o uetur ad g, & reflectitur ad a: & locus eius erit o: qui eſt ultra uiſum. Et forma puncti u mouetur ad k, & reflectitur ad a: & perpendicularis ab eo, eſt k d: & locus imaginis s. [inter uiſum & ſpeculũ.] Palàm ergo ex prædictis, quòd imaginum quædam inter uiſum & ſpeculum: quædam in ipſo uiſus quædam citra uiſum: quædam ultra uiſum apparent. Quod eſt propoſitum.

61. In ſpeculo ſphærico cauo imago prouario eius ſitu at loco uariè uidetur. 12 p 8.

AMplius: palàm, quoniã uiſus քfectius acquirit formas ſibi oppoſitas. [per 21. 38 n 1. 17 n 3.] Vn de cũlocus imaginis fuerit ultra ſpeculũ [ut in puncto l] autinter uiſum & ſpeculum: [ut in page 163 punctos] cõprehẽditur ueritas illius imaginis. Cũ aũt քpẽdicularis à pũcto uiſo ducta, fuerit ęqui diſtãs lineæ reflexiõis: apparebit imago in pũcto reflexiõis. [utin e.] Quoniã cũ pũctũ illud ſit ſen ſuale [ut patet è 16 n 4] ſumpto pũcto eius intellectuali medio: imago cuiuſcũq partis illius puncti ſenſualis, ultra mediũ ſumptæ, erit ultra ſpeculũ: & imago partis citra mediũ erit inter uiſum & ſpe culũ. Et cũ totalis forma ex ulteriorib. & citeriorib. partibus uideatur una & continua: neceſſariò forma illius puncti ſenſualis uidebitur in ipſo ſpeculo, in loco reflexionis. Verũ in imaginib. quarũ locus fuerit in cẽtro uiſus, non cõprehẽditur ueritas earũ: unde ſæpius error accidit in his ſpeculis. Vt aũt hoc pateat: erigatur ſuք ſuքficiẽ ſpeculi lignũ perpẽdiculariter, minus medietate ſemidiame tri ſpeculi: & circa caput huius ligni, ſit cẽtrũ uiſus: & dirigatur uiſus ad pũctũ ſpeculi, cuius lõgitu, do à ligno ſit maior,  lõgitudo cẽtri uiſus à diametro, ք lignũ trãſeunte: uidebitur ꝗ dẽ imago illius ligni ultra uiſum, nec erit certa cõprehẽſio eius: imò apparebit arcuata: cũ nõ ſit. In his ergo ſpeculis nõ cõprehẽditur ueritas imaginis, niſi cuius locus fuerit ultra ſpeculũ: aut inter uiſum & ſpeculũ. Cũ aũt cẽtrũ uiſus fuerit in քpẽdiculari ք lignũ trãſeũte: nõ plenè cõprehẽdit formã illius ligni.

62. Viſus in centro ſpeculi ſphærici caui poſitus: ſeipſum tantùm uidet. 4 p 8. Idem 44 n 4.

SIuerò uiſus fuerit ín diametro ſphęrę, & in cẽ tro eius (cũ quęlibet linea ab eo ad ſpeculum ducta ſit perpẽdicularis ſuper ſpeculũ) [quia perpẽdicularis eſt plano ſpeculum tangẽti ք 4 th 1. ſphęr. uel 25 n 4: eaq́ de cauſſa in ſe ipſam reflectitur per 11 n 4] nõ cõprehẽdetur forma alicuius pũ cti, niſi puncti portionis oculi, interiacentis latera pyramidis uiſualis, quę à cẽtro ſpeculi intelligitur ꝓtẽdi. Quoniã forma cuiuslibet alterius pũcti ca det in ſpeculũ ſuք lineã declinatã, & neceſſariò reflectetur ſuք declinatã. Quare linea reflexionis nõ trãſibit per centrũ: & ita nõ cõtinget centrũ uiſus.

63. Semidiameter ſpeculi ſphærici caui, in qua eſt uiſus extra cẽtrũ: nullum ſui punctũ obliquè ſpeculo incidẽs ad uiſum reflectit: reliqua uerò ſemidiameter prædictæ cõtinua, reflectit. 5 p 8.

SIuerò fuerit uiſus in diametro: non comprehendet formam alterius puncti ſemidiametri, in qua eſt. Quoniã angulus, quem efficient duæ lineæ à puncto ſumpto in ſemidiametro, & à centro uiſus in idẽ ſpeculi punctũ, non diuidetur per perpendicularem ab illo puncto ſpeculi ductam: cum illa perpendicularis tendat ad centrum ſpeculi: [per 4 th. 1 ſphær.] Sed formam alicuius puncti alterius ſemidiametri percipere poterit.

64. In ſpeculo ſphærico cauo perpendiculari incidentiæ, & linea reflexionis concurrentibus: eſt: ut perpendicularis incidentiæ ad rectam inter centrum ſpeculi & locum imaginis: ſic recta inter uiſibile & finem contingentiæ, adrectam inter finem contingentiæ & locum imaginis. 13 p 8.

AMplius: uiſo pũcto in huiuſmodi ſpeculo, cũ non fuerit perpendicularis ęquidiſtans lineę reflexionis: linea à centro ſpeculi ad punctũ uifum ducta, ſe habebit ad lineã ab eodem centro ad locũ imaginis ductam, ſicut linea à pun ctò uiſo ad punctum, (quod diximus) contingentię [17 n] ſe habet ad lineam à puncto contingen tiæ, ad locum imaginis ductam. Verbigratia: ſit e centrum ſpeculi: b punctum uiſum: a centrum uiſus: g punctum reflexionis: linea contingentiæ z g. z g autẽ aut concurret cum e b: aut erit æquidiſtãs ei. Cõcurrat in puncto t. Linea uerô e b cõcur rit cũ a g [ex theſi,] ſed non in puncto g: cũ b e, a g ſint duę lineę. Igitur aut cõcurrit ultra g: aut inter g & a: aut in a: aut ultra a. Sit ultra g, & in pũcto h. Dico ergo, quòd eſt proportio e b ad e h, ſicut b t ad t h. Produeatur perpẽdicularis e g: & à puncto h ducatur ęquidiſtans lineæ b g: [per 31 p 1] quę cõ curret cũ e g: [per lẽma Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus l: & à puncto b ducatur ęquidiſtãs g h: [quę ne ceſſariò cõcurret cũ z t: [per dictũ lẽma] ſit cõcurſus q. Palã [per 12 n 4] quòd angulus b g e eſt ęqua lis a g e: ſed angulus b g e eſt æqualis angulo g l h: [exterior interiori & oppoſito ք 29 p 1] & [ք 15 p 1] angulus a g e ęqualis angulo l g h: ergo angulus g l h ęqualis eſt angulo l g h. Igitur [ք 6 p 1] lh ęqua page 164 lis eſt g h. Similiter angulus b g q ęqualis eſt angulo a g z. [Nã cũ angulus e g q æquetur angulo e g z: ꝗa ք 18 p 3 uterq rectus eſt, & e g b ipſi e g a, ut patuit: reliquus igitur b g q ęquatur reliquo a g z ք 3 ax.] & angulus a g z ęqualis eſt angulo g q b [exterior interiori oppoſito ք 29 p 1: ideoq́ b g q ęquatur g q b: & ita [ք 6 p 1] b q ęqualis eſt b g. Quare [ք 7 p 5] ꝓportio b g ad h l, ſicut b q ad h g. Sed quoniã angulus g h t eſt ęqualis angulo t b q: [per 29 p 1] erit triangulũ t b q ſimile triãgulo g h t. [Nã anguli ad t æquãtur ք 15 p 1, & ք 32 p 1 tertius tertio. Quare ք 4 p. 1 d 6 triãgula t b q. g h t ſunt ſimilia.] Igitur ꝓportio q b ad h g, ſicut b t ad t h: & ita [per 7 p 5] b g ad h l, ſicut b t ad t h. Sed cũ triangulũ b g e ſit ſimile triangulo h e l: [angulus enim ad e cõmunis eſt, & exteriores ad g & b ęquãtur interiorib, op poſitis ad l & h per 29 p 1. Quare ք 4 p. 1 d 6 triangula b g e, h e l ſunt ſimilia] erit ꝓportio b g ad h l, ſicut e b ad e h: & ita [ք 11 p 5] e b ad e h, ſicut b t ad t h. Q eſt ꝓpoſitũ. Eadẽ erit ꝓbatio, ſi lo cus imaginis fuerit inter a & g: aut in a: aut ul tra. Si uerò linea cõtingẽtiæ z g ſit æquidiſtãs perpẽdiculari, q̃ eſt b e h: ducatur perpẽdicularis g e: [à pũcto g ſuper z g] quę cũ ſit քpendicularis ſuper g z: erit perpẽdicularis ſuք b h [per 29 p 1] & erit angulus b e g ęqualis angu lo h e g: & [per 12 n 4] angulus b g e æqualis eſt angulo e g h: reſtat triãgulũ b g e ſimile triã gulo e g h. [ęquabitur. n. ք 32 p 1 reliquus angu lus ad b, reliquo ad h: itaq ք 4 p. 1 d 6 triãgula b g e, h g e erunt ſimilia.] lgitur proportio b e ad h e, ſicut b g ad g h. Q eſt propoſitum. Quare in hoc caſu non põt ſumi aliud punctũ cõtingẽtię, punctũ g, eo modo, quo punctũ contingentię ſuprà [17 n] appellauimus.

65. Viſu & uiſibili in diametro ſpeculi ſphærici caui æquabiliter à cẽtro diſtantibus: poteſt fierireflexio à tota peripheria circuli, quẽ ſemidiameter perpẽdicularis ad dictã diametrum, cõuerſa deſcribit. 14 p 8.

AMplius: ſit circulus a b g d: & h centrum uiſus intra ſpeculum: e centrum ſpeculi: z pun ctum uiſum: & ducatur diameter b e d. Si fue rit z in ſemidiametro b e: poterit eſſe reflexio ab ali quo puncto ſemicirculi b a d, & ab aliquo pũcto ſemicirculi ei oppoſiti. Quoniam quocunq puncto ſemidiametri b e ſumpto: ſi ab eo ducatur linea ad aliquod punctum ſemicirculi, & à puncto h ad idẽ punctum ducatur alia linea: illæ duę lineæ efficient angulum, quem diuidet per æqualia ſemidiameter ducta à puncto e ad illud punctum [quia enim ſemidiameter illa extheſi eſt perpendicularis diametro, in qua uiſus & uiſibile ęquabiliter à centro ſpeculi diſtantia collocantur: ita que ſi à uiſu & uiſibili duę rectæ lineæ cum dicta ſemidiametro in peripheria cõcurrant: erunt anguli ad cõcurſus punctũ ęquales per 4 p 1. Quare per 12 n 4 ipſum eſt reflexionis punctũ.] Similiter in ſemicirculo oppoſito.

page 165

66. Viſus & uiſibile in diuerſis dimetris circuli (qui eſt commu nis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) inter ſe reflectuntur, tum à perip heria inter ſemidiametros, in quibus ſunt: tum ab alia huic oppoſita: à reliquis uerò duabus minimè. 20 p 8.

SI uerò b punctũ uiſum fuerit extra diametrum d a g, ducatur diameter tranſiens per b: quæ fit t q. Dico, quòd b poteſt reflecti ad uiſum a per arcum interiacentẽ diametros, in quibus ſunt a & b, & ſimiliter per eius oppoſitum, id eſt, per arcum t d, & per arcum g q: & non poterit reflecti ab aliquo puncto arcus g t uelarcus q d. Verbi gratia: ſumatur punctum in arcu g t, propet, quod ſit k: & du cantur lineæ a k, k b: donec cadat k b ſuper diametrum d g in puncto o. Cum igitur o & a ſint ex eadẽ parte centri circuli, quod eſt e: perpẽdicularis ducta à puncto k ad e, nõ diuidet angulũ o k a. Et ita b non reflectetur ad a à puncto k. Similiter ſumpto alio pũcto, quod ſit f: patebit, quòd perpendicularis e f non diuidet angulum a fb. Et ita nõ reflectetur b ad a à puncto f. Quòd autem à puncto arcus t d, uel arcus g q poſsit fieri reflexio: palàm per hoc. Sit m punctum arcus t d: & ducantur lineę a m, m b: fiet quadrangulum a m b e. Igitur perpendicularis e m diuidet angulum a m b. Simili modo ſit h punctum arcus g q: Linea a h ſecabit diametrum t q in puncto c: & linea h b eundem in puncto b. Et ſunt hæc etiam duo puncta ex diuerſis partibus centri. Quare linea e h diuidet illum angulum. Pari modo, ſi fuerit b in ſuperficie ſpeculi: aut extra ſpeculum, dum a ſit intra ſpeculum: idem erit probãdi modus, qui prius. Similiter ſi a fuerit in ſuperficie ſpeculi, b interius, aut exterius. Si uerò a fuerit extra ſpeculum, b intra: patebit, quod diximus. Ducantur enim lineæ à puncto a contingentes circulum d t g [per 17 p 1] quæ ſint a h, a z: & ducantur duę diametri a e g, t e q: & b in diametro t e q: reflectetur b ad a ab aliquo puncto arcus t d: [ut conftat è iam demonſtra tis.] Sed palàm, quòd non ab aliquo puncto arcus z d. [ductis enim duabus rectis e z, b z: erit angulus e z a rectus per 18 p 3, & e z b acutus, ut oſtenſum eſt 60 n. Quare ob angulorum inæquabilitatem, à puncto z, ad uiſum a nulla fiet reflexio: multò igitur minus à punctis inter z & d intermedijs: quia angulorum ad lineã z a factorũ, unius quidẽ acuti, alterius uerò obtuſi per 16 p 1, multò maior futura eſt inęquabilitas.] Igitur ab aliquo pũcto arcus t z: & ſimiliter ab aliquo pũcto arcus oppoſiti ipſi t d, ſcilicet arcus g q reflexio fiet. Sed ab arcu t g, uel d q nõ fiet reflexio ſecundũ ſuprà dictũ modũ. Si uerò b fuerit extra hanc dia metrũ, & ſuper aliã, quæ ſimiliter ſit t e q: fiet reflexio ab arcu t d: & à ſola parte eiust z, & ab arcu oppoſito, qui eſt g q: ſed ab arcu t g, uel d q non fiet reflexio.

67. Si uiſu & uiſibili in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) ſitis: linea à uiſu parallela diametro uiſibilis, ſecet dicti circuli peripheriam. Imago reflexa à peripheria inter parallelam & uiſibilis diametrum, uidebitur extra ſpeculum: à peripheria inter par allelam & diametrum uiſus, ultra uiſum: à peripheria uerò oppoſita, inter uiſum & ſpeculum. 21 p 8.

VErũ ſi â puncto a ducatur æquidiſtans t e: quæ ſit a p: loca ima ginũ reflexarũ à punctis arcus t p, erunt extra ſpeculũ: loca au tẽ imaginũ arcus p d, ultra centrũ uiſus, quod eſt a: loca autem imaginum arcus q g ſunt inter centrum uiſus & ſpeculum. Et quod ſuprà [60. 61 n] dictum eſt de locis imaginum: idem intelligẽdum, ducta a m æquidiſtante lineæ t q.

68. In quolibet puncto diametri circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) quantumlibet continuatæ, poteſt imago uideri. 22 p 8.

AMplius: ſumpta diametro circuli in ſphærico ſpeculo cõcau: quodlibet punctũ illius diametri, page 166 quantum cunq productæ, poteſt eſſe locus imaginum. Verbi gratia: ſit a g diameter circuli a m g: cuius d centrum. Sumatur in hac diametro punctum z: e cẽtrum uiſus. Dico, quòd z poteſt eſſe locus imaginis. Ducatur linea e t z per t pun ctum circuli: & ducatur linea d t: erit angulus e t d acutus: [ut demõſtratum eſt 60 n.] Fiat aũt ei ęqualis [ք 23 p 1] ꝗ ſit d t l. Palã [per 12 n 4] quòd l reflectetur ad e à puncto t: & eius imago erit z [ք 6 n.] Simi liter ſumpto l puncto: patebit quod eſt locus imaginis. Ducatur. n. lineale uſq in b punctũ circuli: & ducatur linea b d: erit [ut prius] angulus e b d acutus. Fiat ei ęqualis: qui ſit d b p: reflectetur quidẽ punctum p ad e à puncto b: [per 12 n 4] & locus imaginis eius erit l: [per 6 n.] Et ita ſumpto quocunq alio puncto: erit eadem probatio.

69. Si uiſu et uiſibili in eadẽ diametro circuli (ꝗ eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) ſitis: imago uidea tur in ipſo uiſu: ab uno ſemicirculi, uel à quolibet alterius definiti circuli puncto poteſt ad uiſum reflexio fieri. 23 p 8.

AMplius: punctorum, quæ cõprehẽduntur in his ſpeculis: quorundã imagines quaturor loca ſortiuntur: quorundã tria: quorundã duo: quorundã unum. Punctũ, cuius imago in quatuor ceciderit loca: â quatuor pũctis determinatis reflectitur, nõ ab alijs, uel plurib. Punctum, cuius imago tria ſibi uſurpat loca: à tribus punctis ſpeculi reflectitur, nõ à plurib. cuius duo: à duobus. Puncti aũt, cuius imago in unicum caditlocũ: poterit eſſe: quòd ab uno tãtùm puncto ſit reflexio: & poterit eſſe: quòd à quolibet circuli determinati puncto, non ab alio. Verbi gratia: ſit e cẽtrum uiſus: h ſit punctũ uiſum in eadẽ diametro: d ſit centrum circuli. Ducatur diameter z e h a: aut e d eſt æqualis d h: aut nõ. Sit æqualis: & ſuper e h du catur à puncto d perpendiculariter diameter g d b: & ducãtur lineę h g, g e, h b, b e. Palã [per 4 p 1] quòd triangulũ h g d æquale triãgulo e d g, & ęquale triãgulo h b d, & triãgulo e b d. Palàm, quòd, cum angulus h g e diuiſus ſit per ęqualia, h à puncto g re flectetur ad e: [per 12 n 4] & locus imaginis eius eſt e [per 6 n.] Similiter h à puncto b reflectetur ad e: & locus imaginis eius e. Si igitur diametro z e h a immota, moueatur ſemicirculus a g z per ſphæram ſpeculi aut ſolũ triangulũ h g e: deſcribet quidẽ pun ctum g motu ſuo circulũ: & à quolibet puncto circu li reflectetur h ad e: & locus imaginis eius ſemper erit punctũ e. Et ita patet propoſitum. Quòd aũt ab alio puncto,  aliquo illius circuli, nõ poſsit fieri reflexio puncti h ad e: palã per hoc. Sumatur punctũ c, & ducatur e c, c h: erit quidẽ [per 7 p 3] e c maior linea e g, & linea h c minor linea h g. Quare non erit proportio e c ad c h, ſicut e d ad d h. [Quia. n. ex the ſi punctum h reflectitur ad e à puncto g: erit per 12 n 4. 3 p 6 e g ad g h, ſicut e d ad d h. Itaq cum e c, h c ſint inęquales ipſis e g, g h: nõ erunt proportionales ipſis e d, d h.] Igitur [per 3 p 6] linea d c nõ diuidet angulum e c h per æqualia. Quare h à puncto c non põtreflecti ad e. [Idẽ breuius cõcludetur ք 4 ꝓ. geometrię Iordani. Quia. n. triãguli e c h latera e c, h c ſuntinęqualia: & recta c d ab ipſorũ angu lo eſt in mediũ baſis e h ex theſi: erit ք allegatã 4 ꝓpoſitionẽ angulus e c d minorangulo h c d. Qua re h à puncto c ad uiſum e nõ reflectetur. Quòd aũt e c, h c latera ſint inæqualia, patet: quia per 7 p 3 e c maior eſt e g, id eſt, h g (ęquales. n. ſunt è cõcluſo) & h g maior h c: erit e c multò maior h c.] Eadem erit probatio, ſi ſumatur c inter g & z. Si uerò e d fuerit maior d h: mutetur figura: & addatur lineæ d h, linea h q, ut productum ex e q in q h, ſit æquale quadrato d q. Erit igitur proportio e q ad d q, ſicut d q ad h q, ſicut probat Euclides [17 p 6.] Fiat circulus ad quãtitatẽ ſemidiametri q d: cuius q cẽ trum: g, b loca ſectionis duorũ circulorum: & ducãtur lineę e g, e b, q g, q b, d g, d b, h g, h b. Palã ergo, quòd erit proportio e q ad q g, ſicut q g ad q h: [ęquales enim ſunt q g, d q ք 15 d 1: itaq e q ad d q & q g eãdẽ habet rationẽ ք 7 p 5: & iã patuit, ut e q ad d q, ſic d q ad h q: ergo per 7 p 5, ute q ad g q, ſic g q ad h q] & angulus g q h cõmunis utriq triãgulo e q g, h q g. Igitur illa duo triãgula ſunt ſimilia. [ք 6. 4 p. 1 d 6.] Erit igitur proportio e q ad q g, ſicute e g ad g h. Erit igitur e d ad d h, ſicut e g ad g h. [oſten ſũ. n. eſt, ut tota e q ad totã d q, ſic ablata d q ad ablatã h q: ergo ք 19 p 5, uttota e q ad totã d q, id eſt q g. ſic reliqua e d ad reliquã d h: ſed ut e q ad q g, ſic e g ad g h: ergo ք 11 p 5 ut e d ad d h, ſice g ad g h.] Quare [ք 3 p 6] linea d g diuidet angulũ e g h ք ęqualia. Vnde punctũ h à pũcto g reflectetur ad e: [ք 12 n 4] & locus imaginis eius pũctũ e [ք 6 n.] Similiter h à pũcto b reflectetur ad e: & locus imaginis eſt pũctũ e. Si ergo moueatur triãgulũ e g h, pũctis e, h immotis: pũctũ g deſcribet in ſphęra circulũ, à cuius quolibet pũcto reflectetur h ad e: & ſemք erit locus imaginis e. Et q ab alio pũcto,  aliquo illius circuli, nõ poſsit h reflecti ad e: palã, ut prius. Si. n. ſumatur c inter g & a: erit e c maior e g, & h c page 167 minor h g: [per 7 p 3] non ergo erit ꝓportio e c ad h c, ſicut e d ad d h: & ita [ք 3 p 6] d c nó diuidet an gulũ e c h ք ęqualia. Similiter, ſic ſumatur inter g & z, poterit improbari. Et ita patet ꝓpoſitũ. Notãdum tñ, quòd e eſt punctum intellectuale: & circulus ille (cuius e eſt polus) eſt circulus intellectualis: & h punctũ intellectuale. Vnde, quod dictũ eſt, ſecundũ geometricã demõſtrationẽ eſt intelligendum, nõ ſecundum uiſus ꝓ bationẽ: cũ intellectualia uiſum lateant. Sed quoniã forma h con tinua uidetur formis aliorũ pun ctorũ: uidebitur quidẽ à uiſu for ma, cuius punctũ medium h: & locus puncti medij illius formæ erit e: & reflectetur h forma à loco ſpeculi circulari, cuiusmediũ erit circulus p̃dictus, & e polus eius. Cum aũt e d fuerit maior d h: in tãtum poterit eſſe maior, ut nõ reflectatur h ad e à puncto g. Sciendum, quòd, niſi fuerit proportio e a ad a h maior, quã e d ad d h: nõ poterit h reflecti ad e. Si enim poteſt reflecti: reflectatur à puncto: quod ſit g: erit quidem g d h minor recto, cũ reſpiciat ſectionem minorẽ quarta. [quadrans enim peripherię ab angulo recto in cẽtro ſubtẽditur per 33 p 6. Vel angulus g d h minor eſt recto, quia ſemidiametro q d & recta g d cõprehenditur, ut demõſtratũ eſt 60 n.] Ducatur à puncto g cõtingens [per 17 p 3] quę neceſſariò cõcurret cũ e a: [per 11 ax: quia anguli interiores ad g & d ſunt minores duobus rectis: cum angulus ad g ſit rectus per 18 p 3, ad d ue rò acutus] ſit cõcurſus f. Erit quidẽ proportio e f ad f h, ſicut e d ad d h: [eſt enim per 64 n d h ad d e, ſicut h fad e f: & per cõſectariũ 4 p 5, ut e f ad f h, ſic e d ad d h] ſed maior eſt proportio e a ad a h, quã e f ad fh. [Quia enim a h minor eſt h f: erit ratio e h ad a h maior, quã ad h f per 8 p 5: & per 18 p 5, e a ad a h maior, quã e f ad h f.] Igitur maior eſt e a ad a h,  e d ad d h: & ita neceſſariò: ſi h reflectitur ad e: erit proportio e a ad a h maior, quàm e d ad d h. Patent ergo, quæ dicta ſunt: cum centrum uiſus & punctum uiſum fuerint in eadem diametro.

70. Viſu & uiſibili extra circulum (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) ſitis in diuerſis diametris: ab uno puncto fit reflexio, et una uidetur imago. 24 p 8.

AMplius: cum punctũ uiſum & centrũ uiſus non fuerint in eadẽ diametro, & fuerint extra ſpe culum: non reflectetur punctũ uiſum ad centrũ uiſus, niſi ab uno tantùm ſpeculi puncto. Ver bi gratia: ſit t punctũ uiſum: h centrũ uiſus: d centrũ ſphęræ: & ducãtur lineę h d, d t, h t. Suքfi cies quidẽ h d t ſecat ſphærã ſuper circulum: [per 1 th. 1 ſphęr.] qui ſit e b q g. Palàm, quòd t non refle ctetur ad h, niſi ab aliquo puncto huius circuli: [quia ipſe eſt reflexionis ſuperficies.] Producãtur er go h d, t d uſq ad circumferentiã circuli. Palã, quòd nõ reflectetur ab arcu q g, uel b a ſecundum modũ prędictum [66 n.] Reflectetur ergo aut ab arcu g b: aut a q. Diuidatur [per 9 p 1] angulus t d h per ęqualia, per lineã l e d z: & à puncto e ducatur contingens: [per 17 p 3] quę ſit k e f. Si puncta t, h fuerint ſuper illam contingentẽ: nõ reflectetur t ad h ab aliquo pũcto arcus b g. Cũ enim à puncto t ducetur linea ad aliquod interius punctũ huius arcus: linea à puncto h ad idẽ punctũ ducta, cadet ſuper ipſum exterius, interius nõ. Et ideo non erit reflexio [à caua ſpeculi ſuperficie.] Et quòd ab uno puncto tãtùm arcus a q fiat reflexio: palã erit ex hoc. Ducãtur enim lineæ t z, h z. Cũ angu lus t d h diuiſus ſit per ęqualia: erit t d z ęqualis angulo h d z. [per 13 p 1.] Lineæ igitur t d, h d aut ſunt æquales: aut nõ ſunt æquales. Si ſunt æquales, & d z cõmunis: erit [per 4 p 1] triãgulũ t z d æquale triangu lo h z d: & angulus t z h diuiſus per ęqualia, per lineã d z. Et ita t reflecterur ad h à puncto z. [per 12 n.] Quòd aũt ab alio puncto nõ poſsit: ſic cõſtabit. Sumatur punctũ o: & ducãtur lineæ t o, h o: & linea o d m per cẽtrum d diuidat angulum illum per ęqualia. Planũ [per 8 p 3] q t z minor eſt t o, & h o minor h z: & proportio t z ad h z, ſicut t l ad l h: [per 3 p 6: eſt enim angulus t z h bifariã ſectus à recta linea z l] & erit [per eandẽ] proportio t o ad h o, ſicut t m ad m h: ſed minor eſt ꝓpor tio h o ad t o, quã h z ad t z. [quia enim è quatuor lineis h o, t o, h z, t z prima minor eſt quã tertia, ſecunda maior  quarta: erit ratio primæ ad ſecundã minor,  tertię ad quartã, ut patet ex 8 p 5] Ergo [per 11 p 5] minor eſt proportio h m ad m t,  h l ad l t: quod eſt impoſsibile. [Nã cum è quatuor lineis h m, m t, h l, l t prima h m maior ſit,  tertia h l: ſecũda uerò m t minor,  quarta l t: erit ratio h m ad m t page 168 maior,  h l ad l t, ut cõſtat ex 8 p 5.] Palã igitur, quòd ſit & h ęqualiter diſtẽt à cẽtro, & fuerint ſuper contingentẽ: non reflectetur t ad h, niſi ab uno ſpeculi puncto tãtùm: & unicus erit eius imaginis lo cus. Si uerò t d, h d ſunt inæquales: ſecentur ad æqualitatẽ [per 3 p 1] & fiat demonſtratio, ut antea.

71. Si angulum comprebẽſum à duabus diametris, in centro circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) tertia bifariã ſecet: & ab eius termino in peripheria dicto angulo ſubtenſa, ſint perpendiculares ſuper dictas diametros: puncta diametrorum, tum in quæ perpendiculares cadunt: tũ citr a hæc, à ſpeculi centro æquabiliter diſtãtia, à ſecantis diametri terminis tantùm inter ſe mutuò reflectẽtur: duas́ babebũt imagines. 25 p 8.

AMplius: b d q, a d g ſint duæ diametri ſphæræ: & diameter e d z diuidat angulũ b d g per ęqualia: & à puncto e ducãtur duæ perpendiculares, ſuper duas diametros b d, d g: [per 12 p 1] quę ſint e t, e h. Palàm [per 26 p 1] quòd triangulũ e t d æquale eſt triangulo e h d, & angulus t e d angulo h e d, latusq́ t d lateri h d, & latus e t lateri e h: cũ e d ſit cõmunis utriq. tigitur reflectetur ad h à puncto e. [per 12 n 4.] Eodẽ modo à puncto z [Quia enim angulus b d g bifariã ſectus eſt per lineã e d: erit angulus t d z æqualis angulo h d z per 13 p 1, & t d æquatur ex cõcluſo ipſi h d, latusq́ d z cõmune: angulus igitur t z d æquatur angulo h z d per 4 p 1. Quare per 12 n 4 t & h reflectẽtur inter ſe à puncto z.] Et palã [per 66 n] quòd t non reflectetur ad h, ab aliquo puncto arcus a b, uel arcus g q: nec reflectetur ab alio puncto arcus a q,  à puncto z ſecundũ ſupradictam probationẽ: [numero præcedẽte.] Verũ quòd ab alio puncto arcus b g,  à puncto e, nõ poſsit reflecti: patebit ſic. Detur o punctũ: & ducantur lineę o d, h o, t o: fiatq́ circulus ad quantitatẽ lineæ d e, trãſiens per tria puncta, t, d, h: [tranſibit aũt per conuerſionẽ 31 p 3 demonſtratã à Theone in cõm entarijs in 3 librũ magnę cõ ſtructionis Ptolemęi, & à Cãpano ad 31 p 13:] cuius quidẽ circuli linea d e erit diameter: cũ angulus e t d, quẽ reſpicit, ſit rectus Igitur circulus ille tranſibit per punctũ e. Cum igitur e ſit cõmunis utriq circulo, & ſit ſuper eandẽ diametrum: continget circulus minor maiorem in puncto e: ſicut probat Euclidis [13 p 3.] Igitur circulus iſte ſecabit lineam d o, [ſecus tangeret maiorem circulũ in puncto o: ſicq́ in duobus punctis e & o tangeret contra 13 p 3] ſecet in puncto l: & ducantur lineæ t l, h l. Iam patet [è ſuperioribus] quod t d eſt ęqualis h d [ergo per 28 p 3 peripheria t d æquatur peripheriæ h d.] Igitur angulus t l d æqualis angulo d l h [per 27 p 3] quia ſuper æquales arcus. Reſtat [per 13 p 1] t l o æqualis angulo h l o: & angulus l o t ęqualis angulo l o h ex hypotheſi: [quia ſunt anguli incidentiæ & reflexionis] & l o commune latus: erit [per 26 p 1] triangu lum t l o æquale triangulo h l o: & erit t o ęqualis h o: quod eſt impoſsibile: quoniam [per 7 p 3] h o maior h e, & t o minor t e: & t e, ſicut prius probatum eſt, æqualis eſt h e: [linea igitur h o maior eſt linea t o.] Re ſtat ergo, ut t nõ reflectatur ad h, ab alio puncto, quã ab e uel à z. Item à puncto e ducatur linea ſuper diametrum t d: quæ ſit e m: & ſecetur à linea h d pars, æqualis m d: quæ fit n d: & ducantur e m, e n. Palàm [per 16 p 1] quòd e m d maior eſt recto: [quia angulus e t d rectus eſt per fabricationem] ſecetur ex eo æqualis recto per lineam p m [per 23 p 1] quæ cõcurret cum d e: [per lemma Procli ad 29 p 1] ſit concurſus punctum p: & ducatur n p: & fiat circulus ad quantitatem p d, tranſiens per tria puncta m, d, n. Cum p m d ſit rectus [ex fabricatione] erit p d diameter [per conſectarium 5 p 4] & tranſibit circu lus per p, [ut oſtenſum eſt.] Palàm ergo, quòd m reflectetur ad n à puncto e: [cum en: m per 4 p 1 tri angulum d m p ſit æquilaterum & æquiangulum triangulo d n p: æquabitur m p ipſi n p, & angulus d p m angulo d p n: ergo per 13 p 1. 3 ax. angulus m p e æquatur angulo n p e, latusq́ue p e commune eſt: angulus igitur m e p æquatur angulo n e p per 4 p 1. Quare per 12 n 4 m & n à puncto e inter ſe mutuò reflectuntur] & ſimiliter à puncto z: & non ab aliquo puncto arcus a b, uel g q: [per 66 n.] Et palàm, quòd non ab alio puncto arcus a q, quã à puncto z: & quòd non ab alio puncto arcus b g, quàm à puncto e ſecundum modum prædictum. Sumpto enim puncto, & ductis lineis à punctis t, d, h: & ſumpto puncto, in quo circulus ultimus ſecabit diametrum: & à punctis ſectionis ductis lineis ad puncta t, h: eadem erit improbatio, quæ prius. Palàm ergo ex prædictis: quòd ſi angulum contentum duabus diametris, per æqualia diuidat tertia diameter: & à termino illius diametri ducantur perpendiculares ad illas diametros: puncta diametrorum, in quæ cadunt, ad ſe inuicem reflectuntur à duobus punctis ſpeculi tantùm. P unctorum aũt diametrorum citra hos terminos perpen dicularium ſumptorum, id eſt uerſus centrum: reflectitur quodlibet à duobus punctis tantùm: & unũ reflectitur ad illud, quod æqualiter diſtat à cẽtro: & omniũ talium duplex eſt imaginis locus.

72. Si angulũ cõprehenſum à duabus diametris in cẽtro circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphæricicaui) tertia bifariã ſecet: et ab eius termino in peripheria dicto angulo ſubtẽſa, ſint քpẽdiculares ſuք dictas diametros: pũcta diametrorũ inter քipheriã et page 169 perpendicularium terminos à centro ſpeculi æquabiliter diſtantia, à quatuor peripheriæ pũctis inter ſe mutuo reflectentur, & quatuor habebunt imagines. 26 p 8.

AMplius: ſumptis duabus diametris b q, a g: & e z diuidente angulum earum per æqualia: ſumatur in b d punctum t ſupra punctum, in quod cadit perpendicularis, ducta à puncto e: & in d g ſumatur d h æqualis d t: [per 3 p 1] & ducanturte, h e. Reflectetur quidem t ad h à puncto e, & ſimiliter à puncto z, non ab alio puncto arcus a q: nec ab aliquo puncto arcus a b uel g q [per 66 n.] Deinde à puncto t ducatur perpẽdicularis ſuper t d: [per 11 p 1] quæ quidem concurret cũ d e extra circulum ſphærę, cũ angulus b d e ſit acutus [ut oſtenſum eſt 36 n: quare d e & perpẽdicularis ſuper t d per 11 ax: concurrent: & quidem extra circulum b z g. Quia cum hæc perpẽdicularis, & ea, quæ à puncto e ſuper eandem ſemidiametrum d b ducitur, ſint parallelę per 28 p 1: nunquã cõcurrẽt per 35 d 1. Quare perpendicularis à puncto t continuata, cadet extra circulũ ultra punctũ e. Itaq cõcurret cum ſemidiametro e d extra circulum b z g.] Cõcurrat ergo in puncto o: & ducãtur lineę to, h o. Et fiat circulus tranſiens per tria puncta t, d, h: qui neceſſariò tranſibit per punctum o [ut pręcedente numero demonſtratum eſt] & erit d o diameter eius: [per conſectarium 5 p 4] & ducatur linea cõtingens circulũ b z g, in puncto e [per 17 p 3] quę ſit k e. Palàm, quòd ultimus circulus ſecabit primum, ſcilicet b z g in duobus punctis: [per 10 p 3] ſint illa puncta l, m: & ducantur lineæ t l, h l, l d, t m, d m, h m. Cũ ergo arcus t d ſit æqualis arcui h d: [per 28 p 3: quia rectę d t, d h ſunt ęquales per fabricationem] erit [per 27 p 3] angulus t l d æqualis angulo d l h. Et ita t reflectetur ad h à puncto l [per 12 n 4.] Similiter angulus t m d æqualis angulo d m h [per 27 p 3.] Et ita t reflectetur ad h à puncto m. Pa làm igitur, quòd t reflectitur à quatuor pũctis a d h: ſcilicet e, z, l, m: & quadruplex erit locus imaginis eius. Et non poteſt t reflecti ad h ab alio puncto, quã ab aliquo iſtorum. Detur enim f punctum: & ducan tur lineæ t f, h f, d f: & producatur d f, quouſque cõcurrat cum contingente k e: [concurret autem per 11 ax: quia angulus k e d rectus eſt per 18 p 3, & f d e acutus, quia pars acuti b d e] & ſit concurſus k: & du cantur lineæ t k, h k. Igitur angulus t f d æqualis angulo d f h ex hypotheſi: [& 12 n 4] reſtat [per 13 p 1] angulus t f k æqualis angulo k fh. Sed angulus t k f eſt æqualis angulo f k h [per 27 p. 3] quia ſuper ęqua les arcus: & f k communis: erit [per 26 p 1] triangulum æquale triangulo: & ita t k æqualis k h: quod eſt impoſsibile: quoniam h k maior h o, & t k minor to [per 7 p 3] & t o ęqualis h o. [Nam quia recta d t æquatur ipſi d h per fabricationem, & angulus t d o ipſi h d o per theſim, & latus o d commune: ergo per 4 p 1 latus t o æquatur lateri h o: ideoq́ t k minor eſt h k.] Palàm igitur, quòd non eſt reflexio ab aliquo puncto, quam à punctis quatuor. Igitur ſi in diuerſis diametris ſumantur duo puncta, ſcilicet t, h, ęqualiter à centro diſtantia: ſi fuerint ſuper punctis diametrorum, in quę cadunt perpen diculares, ductę à termino diametri diuidentis per æqualia angulum duarum diametrorũ: aut fuerint inter centrum & puncta illa, id eſt citra perpendiculares, dum æqualiter diſtent à centro: reflectetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò fuerint t & h à locis perpendicularium uſq ad circulum: reflectetur quidem t ad h à quatuor punctis. Si uerò fuerint in circulo, uel extra: tamẽ citra contingentem k e: reflectetur quidem t ad h à duobus punctis tantùm. Si uerò ſupra contingẽ tem fuerint: reflectetur quidem t ad h ab uno puncto tantùm. Et hæc quidem accidunt, dum t ęqualiter diſtat à centro cum puncto h.

73. Viſu & uiſibili in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphæricicaui) à centro inæquabiliter diſtantibus: ab uno puncto peripheriæ inter ſemidiametros, extra quas ſunt uiſus & uiſibile, reflexio fieripoteſt. 27 p 8. 120 p 1.

AMplius: t, h ſi fuerint in diuerſis diametris: & longitudo eorum à centro fuerit inęqualis: reflexio fiet ab uno puncto. Verbi gratia: ducantur diametri a d g, b d q: & e z diuidat angulum eorum per æqualia: & t propinquius ſit centro d, quàm h. Et ſumatur linea l y: & [per 10 p 6] diuidatur in puncto m, ut ſit proportio y m ad m l, ſicut h d ad d t: & diuidatur l y in æqualia in puncto n [per 10 p 1] & à puncto n ducatur perpendicularis n k: [per 11 p 1] & ſuper punctum l fiat angu lus ęqualis medietati a d t per lineã f l: erit quidẽ angulus f l y acutus: [quia æquatus eſt dimidiato angulo a d t acuto, ut oſtenſum eſt 36 n.] Quare [per 11 ax] fl cõcurret cum n k: [quia l n k rectus eſt per fabricationem] concurrant in puncto f: & [per 35 n] à puncto m ducatur linea ad latus fl, cõcur rens cum latere n k in puncto, quod ſit k: & ſecet linea illa latus fl in puncto c, ut ſit proportio k c ad c l, ſicut h d ad d z. Deinde ſuper pũctum d fiat angulus æqualis angulo l c m: [per 23 p 1] qui ſit i d a: & ſit i punctum circuli ſupra z, aut infra: & ſuper i punctũ fiat angulus ęqualis c l m: qui ſit o i d: & ſu per hanc lineam o i [continuatã] ducatur perpendicularis à puncto h [per 12 p 1] quæ ſit h r: & pro page 170 ducatur r x æqualis lineę ri: & ducantur lineę h x, h i. Palàm ſecundum prædicta, quòd à puncto m non poteſt linea duci ad latus fl, diuidens ipſum eo modo, quo diuidit lineam m c k, præter hanc ſo lam lineam m c k. Si enim poſsit: ſit m p o. Palàm, quòd p o minor erit c k: quod quidẽ patebit ducta linea p q æquidiſtante c k: quę erit minor c k: [cũ enim triangula k c f, q p f ſint æquiangula per 29. 32 p 1: erit per 4 p 6 ut k f ad q f, ſic k c ad q p: ſed k f maior eſt q f per 9 ax. ergo k c maior eſt q p] & maior p o: [quia maior eſt q p, quæ per 19 p 1 maior eſt o p, cũ angulus p o q ſit obtuſus per 32. 13 p 1] & p l maior c l [per 9 ax:] Igitur non erit proportio p o ad p l, ſicut k c ad c l. [Si enim ſit ut k c ad cl, ſic o p ad p l: erit per 14 p 5 c l maior l p, contra 9 ax: quia k c maior eſt o p.] Quare non erit proportio p o ad p l, ſicut h d ad d t [per 11 p 5.] Reſtat ergo ut à puncto m non ducatur alia, quàm m c k, ſimi lis ei. Verùm cũ o d i ſit ęqualis angulo l c m, & angulus o i d ęqualis angulo c l m: [per fabricationẽ] erit triãgulum c l m ſimile triangulo i o d [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur angulus i o d erit æqualis angu lo l m c: reſtat [per 13 p 1] angulus r o h æqualis angulo k m n: & angulus h r o rectus ęqualis erit angulo k n m: reſtat [per 32 p 1] angulus n k m æqualis angulo r h o. Ducta autem linea d i, donec concurrat cum h r in puncto s: [concurret aũt per 11 ax: ꝗa angulus ad r rectus eſt, ad i uerò acutus] erit angulus s d h æqualis angulo k c f [ք 15 p 1. 1 ax:] & erit triangulũ s d h ſimile triãgulo c k f [ք 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio s d ad d h, ſicut f c ad c k: ſed [per 7 p 5] h d ad d i [æqualẽ ipſi d z per 15 d 1] ſicut k c ad c l [ք fabricatio nẽ.] Igitur [per 22 p 5] s d ad d i, ſicut f c ad c l: igitur [per 18 p 5] s i ad d i, ſicut fl ad c l: ſed d i ad i o, ſicut c l ad l m: cũ triangulũ d i o ſit ſimile triangulo c l m. Igitur [per 22 p 5] s i ad i o, ſicut fl ad l m [& ք conſectariũ 4 p 5, ut i o ad s i, ſic l m ad fl.] Sed proportio s i ad i r, ſicut fl ad l n: quoniam triangulũ s i r ſimile eſt triangulo fl n [angulus enim r i s æquatur angulo fl n per fabricationem, & s r i rectus fn l recto: ergo per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula s i r, fl n ſunt ſimilia.] Igitur [per 22 p 5] proportio i o ad i r, ſicut l m ad l n. [& percon ſectarium 4 p 5 ut i r ad i o, ſic l n ad l m.] Igitur proportio y m ad l m, ſicut x o ad i o. [Quia enim xi dupla eſt ipſius i r, & y l dupla ipſius l n: erit igitur per 15 p 5 ut x i ad i o, ſic y l ad l m, & ք 17 p 5 ut x o ad i o, ſic y m ad l m.] Ducta autem à puncto i ęquidiſtante linea u i, lineę h x, & producta linea d a, donec concurrat cum u i [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto u: erit triangulum o u i triangulo h o x ſimile [per 15. 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur erit proportio h o ad o u, ſicut y m ad m l: [Quia ob triãgulorum o u i, h o x oſtenſam ſimilitu dinẽ eſt, ut h o ad o u, ſic x o ad i o, & ut x o ad i o, ſic y m ad m l ex cõcluſo: ergo per 11 p 5, ut h o ad o u, ſic y m ad m l] & ita h o ad o u, ſicut h d ad d t. [Fuit enim per fabricationẽ h d ad d t, ſicut y m ad m l.] Sed quoniã [per 4 p 1] triãgu lũ h r i æquale eſt triangulo h r x: cũ h r ſit perpendicularis [per fabricationẽ: & x r æquetur ipſi r i, latusq́ r h cõmune ſit.] Igitur angulus h x r æqualis eſt angulo r i h: & ita r i h æqualis eſt angulo u i o [quia u i o æquatur ipſi h x o propter ſimilitu dinem triangulorum u i o, h o x.] Quare [per 3 p 6] proportio h o ad o u, ſicut h i ad i u: & ita [per 11 p 5] h i ad i u, ſicut h d ad d t. Verùm angulus u i d ma ior eſt angulo d i h: [quia æqualis concluſus eſt angulo o i h] ſecetur ab eo æqualis: & ſit p i d: & ducatur linea p t: & p ſit punctum diametri d a. Palàm, quòd proportio h i ad u i cõſtat ex proportione h i ad i p, & p i ad u i: [quia ratio extremorum componitur ex omnibus rationibus intermedijs, ut Theon demonſtrauit ad 5 d 6.] & [per 3 p 6] proportio h i ad i p, ſicut d h ad d p: quoniam d i diuidit angulum p i h per ęqualia. Igitur proportio h i ad u i (quæ eſt h d ad d t) conſtat ex proportione h d ad d p, & d p ad d t. Igitur proportio d p ad d t, ſicut p i ad u i. Verùm angulus o i h eſt medietas angu li u i h: [ex concluſo] ſed angulus d i h medietas eſt anguli p i h: reſtat angulus d i o medietas anguli p i u. Sed angulus d i o eſt medietas anguli t d p: quia eſt æqualis angulo fl m [qui ęquatus eſt dimidiato angulo a d t ſeu p d t.] Igitur angulus p i u eſt ęqualis angulo t d p: & proportio d p ad d t, ſicut p i ad u i. Igitur triangulũ u i p ſimile triangulo t p d: [per 6. 4 p. 1 d 6] & angulus u p i æqualis t p d: erit igitur [per 14 p 1] t p i linea recta: quia angulus d p t cum angulo t p o ualet duos rectos: & ita an gulus o p i cum angulo o p t ualet duos rectos. [Idem uerò patet per conuerſionem 15 p 1 à Proclo demonſtratã.] Et ita [per 12 n 4] treflectetur ad h à puncto i. [quia linea t p i eſt linea incidentię, & anguli t i d, h i d ſunt æquales per fabricationem.] Et eadem erit probatio, ſiue ſit t extra circulum, ſiue intra. Et ſimiliter ſumpto puncto h extra uel intra: dum inęqualiter diſtent à centro.

74. Si angulum comprehenſum à duabus diametris in centro circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) tertia bifariam ſecet: puncta in dictis dia page 171 metris à centro inæquabiliter diſtantia, reflectuntur à quolibet puncto peripheriæ inter ſemidia metros, extra quas ſunt, comprehenſæ: excepto eo, in quo ſecans diameter terminatur. 28 p 8.

AMplius: ductis diametris b q, a g: & diametro e z diuidente angulum b d g per æqualia. Dico, quòd quodcũq punctũ ſumatur in arcu a q, pręter punctũ z: [à pũcto enim z reflectũtur tan tùm pũcta diametrorũ à centro æquabiliter diſtania, ut conſtat è ſuperioribus numeris] ab illo poterunt reflecti infinita paria punctorũ, inæqualiter à centro diſtantiũ. Verbi gratia: ſumatur h punctum: & ſumatur in ſemidiametro g d punctũ l: & à ſemidiametro b d ſecetur m d, æqualis l d: [per 3 p 1] & ducantur lineę l m, l h, m h, d h. Punctũ, in quo e z diuidit l m, ſit f: erit [per 4 p 1] f l æqualis f m: & ducatur h d, quouſq cadat ſuper l m in puncto n: erit igitur l n minor m n. Verùm cum angulus m d f ſit æqualis f d l [ex theſi] & angulo q d z: [per 15 p 1] & angulus m d a æqualis angulo l d q: [per ean dem] & angulus a d h æqualis angulo n d l: erit angulus l d h maior angulo m d h: [Quia enim m d n, id eſt per 15 p 1 h d q maior eſt n d l, id eſt a d h, & m d a æquatur ipſi l d q: angulus igitur l d h maior eſt angulo m d h] igitur [per 24 p 1] l h erit maior m h: cum m d, d h æqualia ſint l d, d h. Erit ergo angulus d h l minor angulo d h m. Si enim eſſet æqualis: eſſet proportio l h ad h m, ſicut l n ad n m: [per 3 p 6] q eſt impoſsibi le. [Sic enim maior l h ad minorẽ h m eandẽ haberet rationẽ, quam minor l n ad maiorẽ n m.] Si autẽ fuerit maior: ſecetur ex e o æqualis: & improbabitur eodẽ modo. Igitur eſt minor. Secetur igitur ab angulo m h d ęqualis illi [d h l:] qui ſit t h d. Igitur t reflectetur ad l à puncto h [per 12 n 4.] Et linea t d eſt minor l d. [quia minor eſt d m, pertheſin æquali ipſi d l.] Similiter ſi ſumãtur in ſemidiametris b d, g d alia pun cta, quàm l, m, æqualiter à puncto d diſtantia: probabitur ſimiliter, quòd à puncto h fit reflexio‡ punctorum ad inuicem, in æqualiter diſtantium à centro: & ita de infinitis punctis in his diametris ſumptis ſimilis erit probatio: & à quocunq puncto arcus a q ſumpto, præter quàm à puncto z.

75. Si uiſus & uiſibile in diuerſis diametris circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ reflexiõis, et ſpeculi ſphærici caui) à cẽtro inæquabiliter diſtãtia, à pũcto aliquo peripheriæinter ſemi diametros, extr a quas ſunt, inter ſe mutuò reflectãtur: ab uno tatùm puncto reflectẽtur. 29 p 8.

AMplius: ſumptis punctis t, l in diametris: quorũ inæqualis ſit lõgitudo à centro: reflectantur ipla ad inuicẽ à puncto h: nõ poterit reflecti t ad l ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h. Si enim ab alio: ſit illud k: & ducantur, t k, l k, d k, l t, t h, l h, n d h: & producatur d k; quouſq concurrat cum l t in puncto p [concurret autem, quia ſecat angulũ t k l à baſi t l ſubtenſum.] Palàm, quòd proportio l h ad h t, ſicut l n ad n t. [per 3 p 6: quia enim t ex theſi eſt reflexionis punctũ: æquabitur per 12 n 4 angulus l h n angulo t h n.] Et ſimiliter cũ angulus t p k ſit æqualis l k p, exhypotheſi: erit [per 3 p 6] proportio l k ad k t, ſicut l p ad p t: Sed [per 7 p 3] l h maior l k, & t h minor t k: igitur maior eſt pro portio l h ad t h, quàm l k ad t k. [ut patet per 8 p 5.] Quare maior erit proportio l n ad n t, quàm l p ad p t: quod planè impoſsibile. [Quia enim l n minor eſt l p per 9 ax: & n t maior p t: erit ratio l n ad n t minor, quàm ratio l p ad p t, ut conſtat ex 8 p 5.] Reſtat, ut ab alio puncto arcus a q, quàm à puncto h non poſsit t reflecti ad l. Palàm igitur, quæ accidunt in arcu a q.

76. Viſu in diametro circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) intra peripheriam poſito: uiſibile cum uiſu à centro utlibet diſtans: à quolibet ſemicirculi puncto ad ipſum reflecti poteſt. 30 p 8.

AMplius: ſit a centrũ uiſus: b centrum ſpeculi: & ducatur diameter d a b g: & ſumatur ſuperfi. cies, in qua ſit a b quocunq modo: quæ ſecabit ſphærã ſuper circulum: [per 1 th. 1 ſphær.] qui ſit d l g. Dico, quòd à quolibet puncto ſemicirculi d l g reflectuntur puncta ad a, inæqualis longitudinis à centro, cum eo. Verbi gratia: ſumatur punctũ e: & ducantur lineę e a, e b. Palàm, quòd angulus a e b erit acutus: quia cadet in minorem arcum ſemicirculo. [Nam angulus inſiſtens in peripheriam ſemicirculi rectus eſt per 31 p 3. Vel etiã angulus a e b acutus eſt per ea, quæ 60 n demon page 172 ſtrata ſunt.] Fiat ei æqualis [per 23 p 1] & ſit p e b: & producatur linea b e quantumlibet. Palàm, quòd quo dlibet punctum illius lineę reflectetur ad a à puncto e: [per 12 n 4.] Ducta autem à puncto b ad lineam p e perpendiculari: [per 12 p 1] aut erit perpendicularis illa æqualis b a: aut maior: aut minor. Si fue rit æqualis: lineæ omnes ductę à puncto b ad lineam p e, præter illam perpendicularem, erunt maiores linea b a: [quia per 19 p 1 maiores ſunt perpendiculari, æquali b a] & ita quodlibet punctum lineæ p e, uno excepto [puncto nimirum perpendicularis] in æqua liter diſta bit à centro, cum puncto a. Si uerò perpendicularis fuerit maior: omnia puncta lineę illius plus diſtabunt à centro, quàm a punctum. Si autẽ perpen dicularis fuerit minor: erit poſsibile ducere à puncto b duas lineas ex diuerſis partibus perpendicularis, æquales lineę b a: & omnes alię lineę [ductæ à puncto b ad lineam e p] aut minores erunt, aut maiores [b a.] Palàm igitur, [per 74 n] quòd à puncto e reflectuntur puncta ad a: quorũ longitudo à centro in æqualis eſt longitudini a ab eodem. Quod eſt propoſitum.

77. Si à uiſu duæ rectæ lineæ tangant circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, refle xionis & ſpeculi ſphærici caui) tertia per centrũ ſecet: uiſibile cũ uiſu à centro ſpeculi inæquabiliter diſtãs, poteſt reflecti à quolibet pũcto peripheriæ inter tactus punct a ultra centrũ interiectæ: exceptis tactus punctis & ſecantis diametri termino. 31 p 8.

COnſtat ex his: quòd ſi ſumatur uiſus extra circulũ: & ſit h: & ducatur diameter h b d g: & duę cõtingentes h t, h q: [per 17 p 3] à quolibet pũcto arcus t g q, pręterquã à punctis t, g, q po teſt fieri reflexio ad h punctorum, inæqualiter diſtantium à centro cum puncto h. [nam à peripheria t d q & punctis t, g, q nullam ad ui ſum h reflexionem fieri conſtat tum per 70 n: tum quia angulus tactus indiuiduus eſt: tum ex ijs, quę 45 n 4 demonſtrata ſunt.] Et eadem erit probatio [quæ fuit 70 n.]

78. Si uiſus & uiſibile intra circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia, inter ſe reflect antur: angulus exterior à diame tris uiſus & uiſibilis factus, aliâs maior: aliâs minor eſt angulo incidentiæ & reflexionis ſimul utro. 32 p 8.

AMplius: ex his conſtabit, quòd, facta reflexione ad a à puncto e, uel alio puncto inæqualiter diſtante à centro, cũ puncto a: diameter, in qua fuerit punctũ reflexũ, cum diametro a b g facit duos angulos, unũ reſpicientẽ angulum reflexionis, alium ei collateralem: qui quidẽ collateralis aliquã do erit maior angulo, cõſtãte ex angulo incidentię & reflexionis: aliquando minor. Verbi gratia: ducatur perpendicularis f b ſuper e o [per 12 p 1] b a aut erit perpendicularis ſuper e a, aut non. Sit perpen dicularis: erũt ergo duo anguli f b a, f e a ęqua les duobus rectis [per theſin & 32 p 1.] Ducta aũt linea b o: erũt duo anguli o b a, o e a minores duobus rectis. Igitur [per 13 p 1] erit angulus o b g maior angu lo o e a, qui eſt angulus conſtãs ex angulo incidentię & reflexiõis. Et cũ triangulũ e b f ſit æquale triangu lo e b a: [quia enim anguli ad a & frecti ſunt per theſin & fabricationẽ: & per 12 n 4 anguli fe b, a e b æquãtur, & cõmune latus eſt e b: erũt triangula e b f, e b a æquilatera & ęqualia per 26 p 1] & erit b f æqualis b a: & ita o b maior b a [quia maior eſt f b per 19 p 1, cũ ſubtẽdat angulũ rectũ in triangulo o f b.] Ducta aũt linea b n: erunt duo anguli n b a, n e a maiores duob. rectis: [quia fb a, f e a æquãtur duobus rectis, ut patuit] erit ergo angulus n b g minor angulo n e a: [Nam cũ anguli n b a, n b g æquẽtur duobus rectis per 13 p 1, & n b a, n e a maiores duobus rectis per concluſionẽ: erit angulus n b g minor angulo n e a] & n b maior b a [quia maior b f ք 19 p 1.] Et ita n page 173 & o reflectũtur ad a à puncto e, & inæqualiter diſtant à centro cũ puncto a: & diameter o b cũ diame tro a b g ex parte g facit angulũ maiorẽ angulo reflexionis & incidentiæ: & diameter n b minorẽ. Et ita patet ꝓpoſitũ. Si uerò b a nõ fuerit perpẽdicularis ſuք e a: ducatur [per 12 p 1] perpẽdicularis: quę ſit b k: quę quidẽ ſiue cadat ſupra a b, aut ſub: eadẽ erit ꝓbatio. Et b f ſit perpendicularis ſuper e o: & ducatur f t æqualis a k: & ducatur b t. Palàm, quòd in triangulo k e b angulus e k b rectus, ęqualis eſt angulo e f b, & [per 12 n 4] angulus k e b ęqualis angulo reflexiõis f e b: reſtat [per 32 p 1] tertius tertio ęqualis: & cũ latus e b ſit cõmune utriq triãgulo: erũt [per 26 p 1] triãgula æqualia: & erit f b æqualis k b: ſed [ք fabricationẽ] a k eſt æqualis ft: erit ergo [per 4 p 1] a b æqualis b t, & angulus a b k æqualis angulo f b t: addito igitur cõmuni angulo f b a: erit k b f æqualis t b a: Sed k b f & fe a ualent duos rectos: [per 32 p 1: quia in quadrilatero e b anguli ad f & k recti ſunt.] Quare t b a, t e a ualent duos rectos: & ita t b g æqualis eſt angulo t e a: [quia t b g & t b a æquantur duobus rectis per 13 p 1] qui eſt angulus conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis. Si igitur à puncto b ad lineam e t, ducatur linea ultra t: faciet cum b g ex parte g, angulum minorẽ angulo conſtante ex angulo incidentiæ & reflexionis: & erit linea illa maior a b: quoniã t b [qua illa per 19 p 1 maior eſt] æqualis eſt a b. Et quæli bet linea à puncto b ad e t ducta citra t: faciet angulũ t b g ex parte g, maiorẽ angulo cõſtante ex angulo incidẽtiæ & reflexionis: & erit minor a b [quia minor æquali b t per 19 p 1.] Et ita eſt propoſitũ.

79. Si uiſus & uiſibile in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia, inter ſe reflectantur: angulus exterior à diametris uiſus & uiſibilis factus, eſt inæqualis angulo incidentiæ & reflexionis ſimul utri. 33 p 8.

AMplius: ſit b centrum uiſus: g centrum ſphæræ: ducatur diameter z b g d: & ſumatur ſuperficies, in qua ſit diameter ſecans ſphęram ſuper circulũ [per 1 th 1 ſphæ.] qui ſit e z h. Dico, quòd ſi punctum a reflectitur ad b ab aliquo puncto circuli: & inæqualis eſt diſtantia puncti a à centro, & puncti b ab eodem: diameter a g cum diametro g d, ex parte d faciet angulũ, quem impoſsibile eſt eſſe æqualẽ angulo conſtanti ex angulo incidentiæ & reflexionis. Sit enim æqualis: & t ſit pun ctum reflexionis: & ſit a g inæqualis b g: & ducantur lineæ t a, t g, t b: & fiat circulus tranſiẽs per tria puncta a, g, b: [per 5 p 4] qui neceſſariò tranſibit per punctũ t. Si enim cadit extra: ductis lineis à pun page 174 ctis a, b ad idẽ pũctũ illius circuli extrà: fiet [per 21 p 1] angulus minor angulo a t b: & probabitur eſſe æqualis. Quoniã [per 22 p 3] cũ angulo a g b ualebit duos rectos, & anguli a g b & a g d ualent duos rectos: [per 13 p 1] & angulus a t b eſt æqualis angulo a g d ex hypotheſi: ergo angulus a t b cum angu lo a g b ualet duos rectos. Et ita impoſsibile [cõtra 21 p 1.] Similiter ſi circulus citra t ceciderit, eadẽ erit improbatio. Reſtat ergo, ut tranſeat per punctum t. Cum igitur [per 12 n 4] angulus a t g ſit æqua lis angulo b t g: erit [per 26 p 3] arcus a g æqualis arcui b g: & ita [per 29 p 3] a g erit æqualis b g: & poſitum eſt eſſe eas inæquales. Et ita eſt propoſitum.

80. Si uiſus & uiſibile in diuerſis diametris circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia inter ſe reflectãtur à duobus pun ctis peripheriæ, cõprehenſæ inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt: nõ erit uter angulus cõpo ſit us ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, minor angulo exteriore à dictis diametris facto. 34 p 8.

AMplius: ſumptis in duabus diametris e g h, z g d, duobus pũctis a, b, ut b g ſit maior a g. Dico, quòd ſi punctũ a reflectatur ad b à duobus punctis arcus e z: nõ erit uterq angulus conſtans ex angulo incidentię & reflexiõis, minor angulo a g d. Sumãtur enim duo puncta t, q in arcu e z, à quib. a reflectatur ad b: & ducãtur lineę b t, g t, a t, b q, g q, a q: & ſi angulus a t b minor eſt angu lo a g d: dico, quòd angulus a q b nõ erit minor a g d. Sit enim minor: & ducatur linea g n, diuidẽs an gulũ diametrorũ per ęqualia: [per 9 p 1] & ducatur linea a b, quã diuidat g n per punctũ f. Palàm [per 3 p 6] quòd proportio b g ad g a, ſicut b f ad f a: ſed cũ b g maior ſit g a: [ex theſi] erit b f maior f a. Diui datur a b per mediũ in puncto k: [per 10 p 1] & fiat [per 5 p 4] circulus tranſiens per tria puncta a, b, t: qui quidẽ circulus nõ tranſibit per g: quoniã anguli a g b, b t a eſſent æquales duobus rectis [per 22 p 3] & palàm, quòd ſunt minores: cũ [per theſin] angulus b t a ſit minor angulo a g d [qui cũ angulo a g b ęquatur duobus rectis per 13 p 1.] Igitur trãſibit ſupra g. Similiter nõ trãſibit per q: quoniã ſumpto puncto circuli, in quo linea g q ſecat ipſũ, ſcilicet m: eſſet arcus a m æqualis arcui b m [per 26 p 3] cũ reſpiciãt æquales angulos ſuper q: [per theſin & 12 n 4: quia q eſt reflexiõis punctũ] quod manet impoſsibile. Quo niam ſumpto puncto o, in quo linea g t ſecat hũc cir. culũ: erit arcus a o ęqualis arcui o b: [per 26 p 3] quia reſpiciũt ęquales angulos ſuք t [per theſin & 12 n 4: & ſic peripheria b o maior eſſet peripheria b m, pars ſuo toto cõtra 9 ax:] Reſtat, ut hic circulus tranſeat ſupra q: ſi enim infra: eadẽ erit improbatio. Ducatur aũt linea à puncto o ad punctũ k: quæ quidẽ cum diuidat chordã a b per ęqualia: [per fabricationẽ] & ſimiliter arcũ a b: [quia peripheria a o æqualis oſtenſa eſt ipſi b o] erit perpendicularis ſuper a b. [rectæ enim lineæ ſubtendentes peripherias a o, b o, æquales ſunt per 29 p 3, & b k æquatur ipſi k a, & cõmu ne latus eſt k o. Quare per 8 p. 10 d 1, o k perpendicularis eſt ipſi a b.] Verùm angulus b a g maior angulo a b g: [per 18 p 1] cũ b g ſit maior g a: [ex theli] & angulus b f g ualet duos angulos fa g, f g a [per 32 p 1] & angulus a f g ualet duos angulos f b g, f g b: ſed a g f ęqualis eſt f g b: [per fabricationẽ] & f a g maior f b g. Igitur angulus b f g maior eſt angulo a f g: igitur b f g maior eſt recto: [per 13 p 1] quare n f b minor eſt recto. [per 13 p 1.] Sed o k ſuper f b facit angulũ rectũ: ergo producta cõcurret cũ g n [per 11 ax:] ſupra b f, & inferius nun. [ſecus per 3 p 6 b k fieret maior k a, cui eſt æquata.] Facto autem circulo trãſeunte per tria pũcta a, q, b: trãſibit ſupra g. [Quia ſi trãſiret per punctũ g: eſſent anguli a q b, a g b æqua les duob. rectis per 22 p 3: & anguli a g b, a g d æquan tur duob. rectis per 13 p 1. Quare per 3 ax. a q b æquaretur a g d: cõtra præcedentẽ numerũ] & g q diuidet arcũ eius a b per æqualia [quia enim q ex theſi eſt reflexiõis punctũ: æquãtur anguli g q a, g q b per 12 n 4 & per 26 p 3 peripheria a b bifariã ſecabitur à recta g q] ſed k o diuidit chordã a b per æqualia [per fabrica tionẽ.] Ergo k o cõcurret cũ g n infra b f, & ſupra pũctũ g. Igitur k o cõcurrens cũ b a, prius cõcurret cum g n infra b f: & iam improbatũ eſt. Reſtat ergo, ut angulus a q b nõ ſit minor angulo a g d: aut quòd a nõ reflectetur ad b à pũcto q [cõtra theſin.] Similis erit improbatio, ſumpto quolibet puncto arcus e n. Sũpto aũt puncto in arcu n z: qui ſit p: fiat reflexio puncti a ad b à puncto p, ut angulus cõſtans ex angu lo incidẽtię & reflexiõis ſuprap, ſit minor angulo a g d, ſicut angulus cõſtãs ex angulo incidẽtię & re flexionis ſuprat, minor eſt eodẽ. Improbabitur aũt hoc modo, Ducãtur a p, b p, g p: oportet ergo ne page 175 ceſſariò, ut g p diuidat k o propter arcum a b, qué diuidit ex circulo a b t linea g t per æqualia: [peripheria enim b o æquatur peripheriæ c a ex concluſo:] & ſimiliter linea k o. Sit ergo punctum concurſus lineæ g p cum k o, punctum l: & ducatur linea t p. Cum igitur duæ lineæ g p, g t ſint æquales: [per15 d 1] erũt [per 5 p 1] duo anguli g p t, g t p æquales: & [per 32 p 1] uterq acutus. Ductaigitur perpendiculari ſuper g t à punctot: [per 11 p 1] cõtingetcirculum ſpeculi [per conſectarium 16 p 3] & producta, cadet ſuper terminum diametri minoris circuli: cum angulus, quem efficit cum g t, reipiciat arcum ſemicirculi minoris circuli: [per 31 p 3] & cũ to cadatſuprako, & k o producta tranſeat per cẽtrum minoris circuli: [per conſectarium 1 p 3, quia recta linea o k bifariam, & ad angulos rectos ſecat rectam a b] neceſſario illa perpendicularis cadet ſuper terminum k o producta: [per 31 p 3] & p t eſt inſerior illa perpẽdiculari, habito reſpectu ad n. Igitur quæcung; linea ducatur à puncto g ad lineam t p, ſecans diametrum illius circuli, quæ eſt o k: cadet in punctum aliquod lineæ t p, citra illam perpendicularem. Cum igitur g p cadat in p, & ſecet o k: erit p citra perpendicularem, & inſra arcum illius perpendicularis. Facto igitur circulo tranſeunte per tria puncta a, b, p: tranſibit quidem per l, & ſecabit circulum a b t in duobus punctis a, b: & cum exeat à puncto b, & iterum re: deat in punctum p, inferius punctot, cum p ſit citra illum circulum: neceſſariò ſecabit illum in tertio puncto: quod eſt impoſsibile [& contra 10 p 3.] Reſtat ergo, ut punctum a non reflectatur ad b à duobus punctis arcus, interiacentis eorum diametros, id eſt arcus e z, ut uterq angulus conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis ſit minor angulo a g d.

81. Duo punctain diuerſis diametris circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierum, reflexionis, & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia: à duobus punctis peripheriæ comprehenſæ inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt, inter ſe mutuò reflecti poſſunt. 35 p 8.

AMplius: dico quòd poſſunt reflecti duo puncta ad ſe, inæqualis longitudinis à centro, à duobus punctis arcus ipſa reſpicientis, id eſt diametros, in quibus ſunt puncta illa, interiacẽtis. Verbi gratia: ſumptis duabus ſemidiametris in circulo ſpheræ, ſcilicet b d, g d: diuidatur angulus earũ p æqualia, perſemidiametrũ e d: [per 9 p 1] & in b d ſumatur punctũ m, ſupra punctũ, in quod cadet perpendicularis ducta à puncto e ſuper b d: & ſumatur [per 3 p 1] n d æqualis m d: & [per 5 p 4] fiat circulus tranſiens per tria puncta d, m, n: neceſſariò circulus ille tranſibit extra e. Si enim per e: fieret quadrangulũ à quatuor punctis d, n, e, m: & duo anguli illius qua dranguli ſibi oppoſiti ſunt æquales duobus rectis: [per 22 p 3] quod quidẽ non eſſet: cum linea e m ſit ſupra perpen dicularem: & ideo angulus e m d acutus: [per 16 p. 12 d 1] & ſimiliter ei oppoſitus ſuper n, acutus: quia e n ſupra perpendicularem eſt. [Quare in quadrilatero circulo inſcripto oppoſiti anguli eſſent minores duobus rectis contra 22 p 3.] Similis erit improbatio: ſi tranſeat circulus citra e. Tranſibit ergo extra, & [per 10 p 3] ſecabit circulũ ſphæræ in duobus punctis, ſicut t, l: & ducantur lineæ m t, d t, n t, m i, d l, n l: & ducatur linea m n ſecans t d in puncto f, lineam e d in puncto p. Palàm, cum m d ſit æqualis n d [per fabricationem] & p d cõmunis, & angulus n d p æqualis angulo m d p: [per fabricationem] erit [per 4 p 1] triangulum æquale triangulo: & erit angulus f p d rectus: [per 10 d 1] igitur angulus p f d acutus [per 32 p 1] Ducatur [per 11 p 1] à pũcto f perpendicularis ſupert d: quæ ſit k f. Palàm, quòd aliquod punctũ lineę n l, erit inferius pũcto k, ſumpta inferioritate reſpectu n: ſitillud punctũ z: & ducatur t z linea uſq; ad circulũ, cadẽs in punctũ circuli: quod ſit o. Arcus n o aut minor eſt arcu tl: aut nõ Sinõ fuerit minor: ſumatur ex eo arcus minor; & ad terminũ illius arcus ducatur linea à pun cto t: & erit idẽ, ac ſi arcus n o eſſet minor arcutl. Sit igitur n o minortl. Palàm [per 33 p 6] angulus t n l erit maior angulo o t n, quia reſpicit maiorẽ arcum. Secetur ex eo æqualis: & ſit i n z: & ſuper punctum t lineæ t m, fiat angulus, æqualis angulo o t n [ք 23 p 1] qui ſit q t m. Cum igiturangulus t m l ſit maior angulo m t q: [ք 33 p 6: quia peripheria t l ſubtenſa angulo t m l, maior eſt extheſi, peripheria n o, ſubtẽſa angulo n t o, cui æquatus eſt angulus m t q] cõcurret linea t q cũ linea l m: cõcurrat in puncto q. Cum igitur angulus l m t ſit æqualis duob. angulis m q t, m t q [per 32 p 1] & angulus l n t ſit ęqualis l m t [ք 27 p 3] ꝗa ſunt ſuք eũdẽ arcũ: [l t] & ang‡‡us in z ſit ęqualis in t q: [ք ſabricationẽ] erit angulus int æqualis angulo m q t: & ita triangulũ m q t ſimile triangulo int [eſt enim angulus m t q æquatus angulo o t n: itaq ք 32 p 1 triãgula m t q, i t n ſunt æquiangula: & ք 4 p. 1 d 6 ſimilia.] Et ſimiliter triangulũ i n z eſt ſimile triãgulo t n z: [cõmunis enim eſt angulus n z t: & z n i æquatus eſt ipſi o t n: ergo ք 32 p 1.4 p.1 d 6 triãgula ſunt ſimilia] & ita ꝓportio n t ad t q, ſicut n i ad m q: & ſimiliter ꝓportio t n ad t z, ſicut in ad n z. Sed t z maior t q: q ſic patet. Sit r punctũ, in quo t z ſecat k f. Angulus t freſtrectus: [nã k f քpẽdicularis ducta eſt ſuք t d] quare [ք 32 p 1] angulꝯ ſtracutus. Igitur angulꝯ qtfei ęqualis. [Quia enim ex theſi recta d m æquatur ipſi d n: æqua bitur peripheria d m peripheriæ d n ք 28 p 3: & angulus d t m angulo d t n: & m t q æquatus eſt o t n. page 176 Totusigitur ſtr æquatur toti ft q] eſt acutus: & k f perpendicularis ſupert d. Quare [per 11 ax.] k f producta concurret cum t q: ſit concurſus s: & linea t s ducta à puncto t ad punctum concurſus, cuius lineæ pars eſt t q: erit æqualis lineæ t r: [quia anguli ad ſſunt recti, & ft r, ft s æquantur, latusq́ t fcommune: æquabitur r t ipſit s per 26 p 1] & ita t q minortz [quia minor eſt ipſatr, quæ pars eſt ipſius t z.] Quare [per 8 p 5] maior eſt proportio n t ad t q, quàm n t ad tz. Igitur maior eſt proportio in ad m q, quàm in ad n z. Quare [per 10 p 5] m q minor eſt n z. Secetur igitur exn z æqualis ei [per 3 p 1] quæ ſit n x. Quoniam [per 22 p 3] angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: erit [per 13 p 1. 3 ax] angulus l n d æqualis q m d: & x n, n d, æqualia q m, m d. Igitur [per 4 p 1] q d æqualis x d. Sed z d maior x d: quoniam angulus l n d cum angulo l m d ualet duos rectos: [per 22 p 3] ſed angulus l m d acutus: cum angulus e m d ſit acutus [per 16 p. 12 d 1.] Igitur angulus l n d maior eſt recto: igitur z d maior x d [quia enim angulus l n d eſt obtuſus: erit per 32 p 1 n x d acutus, & per 13. 32 p 1 z x d obtuſus, x z d acutus: quare per 19 p 1 z d maior eſt x d.] Quare z d[?] maior q d. Igitur q reflectitur ad z à duobus punctis t, l: & q & z ſuntinęqualis longitudinis à centro, & in diuerſis diametris. Et quòd non ſint in eadem diametro, palàm: quoniam angulus x d n æqualis eſt angulo q d m: addito ergo communiangulo x d m, erit angulus n d m æqualis angulo x d q: & minor duobus rectis. Quare magis angulus z d q [pars anguli x d q] minor duobus rectis. Quare q & z non ſunt in eadem diametro, ſed in diuerſis.

82. Siduo punctain diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantia, à duobus punctis peripheriæ comprebenſæ inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt, inter ſe mutuò reflect antur: à nullo alio eiuſdem peripheriæ puncto reflecti poſſunt. 36 p 8.

AMplius: ſumptis duobus punctis, quæ ſint o, k, & inæqualiter diſtantibus à cẽtro: reflectetur quidẽ unum ad aliud à duob pũctis arcus, reſpiciẽtis ſemidiametros, in quib. ſunt: ſed nõ ab alio pũcto illius arcus, quàm ab illis duob. Verbi gratia: d ſit centrũ: k remotius à d quàm o à d: g d, b d ſemidiam etri: t punctũ unũ reflexionis. Palàm ex ſuperioribus, quod uterq angulus conſtans ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, nõ erit min or angulo o d a: [ք 80 n] nec ęqualis [per 79 n] alter ergo erit maior. Sit angulus cõſtans ex angulo incidẽtiæ & reflexionis, qui eſt ſuք t, maior angulo o d a: & ducãtur lineæ o t, d t, k t: & ex angulo illo ſecetur angulus æqualis angulo o d a: [ք 23 p 1] quiſit o t ſ: & diuidatur angulus f t k per æqualia per lineã t e [per 9 p 1] & à puncto k ducatur æquidiſtãs t f: [per 31 p 1] quæ quidẽ cõcurret cũ te: [per lemma Procli ad 29 p 1] cõcurrat in pũcto z: & ducatur linea o k: & diuidatur angulus o d k peræqualia, per lineã d u, ſecantẽlineã o k in puncto p: & eſt k d maior o d [extheſi.] Cũ igitur [per 3 p 6] ſit ꝓportio k d ad d o, ſicut k p ad p o: erit k p maior p o. Itẽlinead t ſecet lineã o k in puncton. Dico, quod p cadit inter n & k, nõ inter n & o, quod ſic patebit. Angulus k p dualet duos angulos p d o, p o d: & angulus o p d ualet duos angulos p k d & p d k [per 32 p 1.] Sed angulus p d o æqualis eſt angulo p d k: [per fabricationem] & [per the ſim & 18 p 1] angulus k o d maior angulo o k d: igitur angulus k p d maior angulo o p d: igitur [ք 13 p 1] angulus k p d maior recto: & angulus k n d acutus: quod ſic cõſtabit: ſi fiat circulus per tria pũcta o, t, k: [per 5 p 4] tranſibit infra d. Quoniã ſi tranſeat per d: cũ angulus o t k ſit maior angulo o d a: [ք theſin] erũtduo anguli o t k, o d k maiores duobus rectis [cõtra 22 p 3.] Si tranſeat ſupra d: eadẽ eſt demõſtratio. Et linea n d diuidet arcũ illius circuli, qui eſt o k, ք æqualia infra d. [Quia cum t ſit reflexionis punctũ ex theſi: æquabuntur anguli k t d, d t o per 12 n 4, & peripheriæ illis ſubtenſæ per 26 p 3.] Si autẽ à pũcto diuiſionis ducatur linea ad mediũ punctũ lineæ o k: quæ eſt chorda illius arcus: erit linea illa perpendicularis ſuper o k: [rectę enim lineæ à puncto medio peripheriæ k o, ductæ ad puncta k & o, æquantur per 29 p3: & recta, quę ab eodem puncto connectit medium rectæ k o, æquatur ſibijpſi. Quare per 8 p. 10 d 1 ipſa perpen dicularis eſt ad k o] & cadet inter p & k: cũ p k ſit maior p o: [excõcluſo] & angulus ſuper n à parte illius perpẽdicularis & ex parte p erit acutus: [per 32 p 1] & angulus ſuper p ex parte o eſt acutus [per 13 p 1: oſtenſum enim eſt angulum k p d eſſe obtuſum.] Si ergo p cadit inter n & o: impoſsibile erit perpẽdicularem illam cadere inter n & p: quia ſecatet d p, & fieret triangulũ, cuius unus angulus rectus, alius obtuſus [contra 32 p 1.] Cadet ergo intern & k: & erit angulus n ex parte perpendicularis acutus: igitur ex parte o obtuſus [per 13 p 1:] ergo p non cadit inter n & o: quia ita erit triangulum, cuius duo anguli obtuſi [eſt enim angulus k p d obtuſus concluſus.] Palàm, quòd angulus k t d eſt medietas anguli k t o: [per theſin & 12 n 4: quia t eſt punctũ reflexionis: & d t perpendicularis eſt plano ſpeculum in puncto t tangenti per 25 n 4] ſed k t e eſtmedietas anguli k t f [per fabricationem.] Reſtat e t d medietas angulift o: ſed fto page 177 æqualis eſt angulo o d a [per ſabricationem:] igitur e t d medietas anguli o d a: ſed angulus o d a cũ angulo o d f ualet duos rectos [per 13 p 1] & [per 32 p 1] tres anguli trianguli e t d duos rectos: ablato e d t cõmuni: reſtat angulus t e d æqualis medietati anguli o d a, & angulo o d n [nam poſt ſubductionem communis anguli t d e, relinquũtur anguli d t e, t e d æquales angulis o d t, o d a: ſed d t e æquatur dimidiato angulo o d a, ut patuit: reliquus igitur t e d ęquatur dimidiato angulo o d a & an gulo o d n ſimul utriq.] Sed angulus o d p cũ medietate anguli o d a eſt rectus: [ꝗ a enim anguli o d k, o d a æquãtur duobus rectis per 13 p 1: & angulus o d u eſt dimidius anguli o d k per fabricationẽ: duo igitur dimidiati anguli duorũ rectorũ æquãtur uni recto] igitur angulus t e d eſt acutus: [quia enim angulus o d p cum dimidiato angulo o d a æquatur unirecto ex concluſo: & maior eſt angulo o d n: quia, ut patuit, n cadit inter p & o: ergo angulus t e d æqualis angulo o d n, & dimidiato o d a, erit minor recto: ideoq́ acutus] quare ei contrapoſitus eſt acutus [per 15 p 1.] Igitur ſi à puncto k ducatur perpendicularis ad t z: [per 12 p 1] cadet inter e & z. Si enim ſupra e ceciderit, cum angulus t e k ſit obtuſus: [per 13 p 1: acutus enim concluſus eſt t e d] accidet triangulũ habere duos angulos rectum & obtuſum [contra 32 p 1.] Sit ergo perpendicularis k q. Dico, quo d k t ſe habet ad t f, ſicut k d ad d o, t o enim aut eſt æquidiſtans k d: aut concurrit cum ea. Sit æquidiſtans: erit ergo [per 29 p 1] angulus o d a æqualis angulo t o d: & ita t o d æqualis angulo o t f [æquatus enim eſt o t f ipſi o d a.] Et o d, t ſaut ſunt æquidiſtãtes: aut cõcurrunt. Si æquidiſtantes, cũ cadant inter æquidiſtantes [k d, t o] erũt [per 34 p 1] æquales. Si uerò cõcurrunt: faciẽt triangulũ, cuius latera æqualia [per 6 p 1] quia reſpiciunt æquales angulos: [f t o, & d o t] & f d ſecat illa latera æquidiſtanter baſi. Erit ergo [per 2 p 6.18 p 5] proportio unius laterum ad d o, ſicut alterius ad f t: & ita t f æqualis d o [per 9 p 5.] Ethoc dico, ſilineæ illæ concurrant ſub k d. Et ſi cõcurrant ſub t o: eadem erit probatio: quia ſiet triangulum, cuius unũ latus eſt t o, & alia duo latera æqualia: [per 6 p 1] & erit [per 2 p 6.18 p 5] proportio unius laterum ad d o, ſicut alterius a d t f: & ita [per 9 p 5] t ſ æqualis d o. Item angulus t d k eſt æqualis angulo d t o [per 29 p 1] quia d tinter æquidiſtantes: [ex theſi: nempe k d, t o] igitur eſt æqualis angulo d t k: [qui ex theſi & 12 n 4 æquatur angulo d t o] quare [per 6 p 1] d k æqualis eſt t k. Igitur [per 7 p 5] proportio tkad t f, ſicut k d ad d o. Siuero to concurrit cum k d: concurrat ex parte a in puncto l. Scimus [è demõſtratis à Theone ad 5 d 6] quòd proportio k t ad t ſ compacta eſt ex proportione k t ad tl, & tl ad t f: ſed [per 3 p 6] k t ad tleſt, ſicut k d ad d l: quoniam d t diuidit angulum k to per æqualia: & proportio tladtf, ſicut d l ad d o: quoniã angulus o d leſt æqualis angulo l t f [perſabricationem] & angulus ſuperl communis: [triangulis l t f, o d l] erit partiale triangulum ſimile totali [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6.] Igitur proportio k t ad t f cõſtat ex proportione k d ad d l, & proportione dl ad d o: ſed proportio k d ad d o conſtat exijſdem [aſſumpta dlmedia interk d & d o.] Quare proportio k t ad t f, ſicut k d ad d o. Si uerò to concurrat cum k d ex parte g: ſit concurſus s. Et à puncto d ducatur æquidiſtans lineæ k t: [per 31 p 1] quæ ſit d r, cõcurrens cum to in puncto r: igitur [per 29 p 1] angulus k t d eſt æqualis angulo t d r: ſed idẽ eſt æqualis angulo d t o [pertheſin & 12 n 4.] Quare [ք 6 p 1] d r eſt æqualis tr. Sed quia triangulũ s t k ſimile eſt triangulo s r d: [per 29. 32 p 1. 4 p. 1 d 6] erit proportio d rad sr, ſicut k t ad t s: & ita r t ad r s, ſicut kt ad ts: [ք 7 p 5: æqualis enim cõcluſa eſt tripſi d r] ſed r t ad r s, page 178 ſicut d k ad d s [eſt enim per 2 p 6, ut s t ad tr, ſic s k ad kd: & per 18 p 5, ut s r ad rt, ſic s d ad d k, & per conſectarium 4 p 5, utrtadrs, ſic d k ad d s.] Igitur [per 11 p 5] ktadts, ſicut d k ad d s. Sed que niam angulus ft o æqualis eſt angulo o d a: [perfabricationem] erit [per 13 p 1] angulus o d s ęqualis angulo fts [& angulus ad s ęquatur ſibijpſi: itaq per 32 p 1 trian gula s t f, d s o ſunt æquiangula.] Igitur [ք 4 p 6] stad t f, ſicut d s ad d o: & eſt k t ad t s, ſicut d k ad d s: & ts ad t f, ſicut d s ad d o: quare [ք 22 p 5] ktadtſ, ſicut k d ad d o. Quod eſt propoſitũ. Sed quoniã k z æquidiſtat t f: [per fabricationem] erit [per 29 p 1] angulus k z e ęqualis angulo e t f: & ita triangulũ k z e ſimile triangulo e t ſ. [Nam anguli ad e æquãtur per 15 p 1; itaq per 32 p 1. 4 p. 1 d 6 triangula k z e, e t f ſunt ſimilia.] Quare ꝓportio k e ad e ſ, ſicut k z ad t f: ſed [per 3 p 6] k e ad e f, ſicut k t ad t f, propter angulum ſuper t diuiſum ք æqualia. Igitur [ք 9 p 5] k z æqualis eſt k t. Verùm quoniã k q eſt perpẽdicularis ſuper e z: [per ſabricationẽ] erũt omnes eius anguli recti: ſed angulus e t d eſt acutus: quoniã eſt medietas anguli [fto, ut patuit.] Igitur k q cõcurret cũ t d [ք 11 ax.] Sit cõcurſus h: & ducatur linea e h: & [per 31 p 1] à pũcto e ducature æquidiſtans h k, ꝓducta uſq ad d h: quæ ſit e x: & mutetur figura propter intricationẽ linearũ: & [per 5 p 4] fiat circulus, trãſiens per tria puncta x, t, e: & ꝓducatur k d uſq in circulũ, cadens in punctũ m: & educatur m t: erit [per 27 p 3] angulus t m e æqualis angulo t x e: quia cadunt in eundẽ arcũ: [e f t] & [ք 29 p 1] angulus t x e æqualis an gulo t h k: erit t m e æqualis angulo t h k. Secetur ab angulo t m e, æqualis angulo d h e: [id uerò fieri poteſt: ꝗa angulus t h k maior eſt angulo d h e per 9 ax: itaq t m e eodẽ maior eſt] ꝗ ſit ſ m d: & punctũ, in quo ſ m ſecat t x, ſit i. Palàm quòd triangulũ i m d ſimile eſt triangulo e d h [quia enim angulus f m d æquatus eſt angulo d h e, & anguli ad d æquãtur per 15 p 1‡ ergo ք 32 p 1 triangula ſunt æquiangula, & ք 4 p. 1 d 6 ſimilia.] Quare proportio h d ad d m, ſicut e h ad i m. Et ſimiliter triangulũ t m d ſimile triangulo k h d: [Nã angulus t m d æqualis cõcluſus eſt angulo th k: & anguli ad d ęquãtur ք 1 5 p 1. Quare ut prius triangula ſunt ſimilia] & ꝓportio k d ad d t, ſicut h d ad d m: & ita [ք 11 p 5] k d ad d t, ſicut e h ad im. Sed proportio k d ad d t nota: quoniã ſemք una & eadẽ permanet, quodcũq punctũ reflexionis ſit t in arcu b g: quia ſemper linea t d eſt una: [quia eſt ſemidiameter circuli, qui eſt cõmunis ſectio ſuperſicierũ reflexionis & ſpeculi] & k d ſimiliter [quia eſt diſtãtia pũcti reflexi à cẽtro ſpeculi.] Linea etiam e h unà in quacunq reflexione permanet, & nõ mutatur eius quãtitas [quia angulus o d a idẽ ſemper քmanet: eiusq́ dimidius eſt angulus e t d: ꝗ a, ut patuit, dimidius eſt angulifto, æquati angulo o d a.] Quare linea im ſemper erit una: quare punctũ ſnotũ & determinatum [quia per lineam i m longitudine ſemper eandẽ, continuatam in peripheriam oſtenditur.] Si ergo à tribus punctis arcus b g fieri poſſet reflexio: eſſet ducere à puncto fad circulum x t e tres lineas æquales: quarum cuiuslibet pars interiacens diametrum tx & circumferentiam circuli eſſet æqualis lineæ i m: quia ſemper erit proportio k d ad d t, ſicut e h ad quamlibet illarum. Et patet ex ſuperioribus [34 n] quòd non, niſi duæ æquales poſſunt. Quare à duobus tantùm punctis fiet reflexio. Quod eſt propoſitum.

83. Datis duobus punctis in diuerſis diametris circuli (quieſt cõmunis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro inæquabiliter diſtantibus: inuenire in peripberia comprebenſa inter ſemidiametros, in quibus ipſa ſunt, duo reflexionis puncta. 37 p 8.

AMplius: datis duobus punctis k, o in diuerſis diametris, inæ qualiter diſtantibus à centro: eſt inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia: ſumatur linea z t: & [per 10 p 6] diuidatur in puncto e, ut ſit proportio z e ad et, ſicut k d ad d o [in primo diagrammate præcedentis numeri.] Quoniam k d maior d o [extheſi præcedẽtis numeri] erit z e maior e t: diuidatur z t per æqualia in puncto q: [per 10 p 1] & à puncto q ducatur perpendicularis ſuper z t: [per 11 p 1] & fiat page 179 ãngulus e t d æqualis medietati anguli o d a: erit quidem acutus: [quia æquatur angulo rectilineo dimidiato, ut oſtenſum eſt 36 n] igitur t d concurret cum perpendiculari [per 11 ax.] Sit concurſus in puncto h: & [per 38 n] ducatur linea d e k, ut ſit proportio k d ad d t, ſicut k d ad ſemidiametrum ſphæræ [erit igitur ſemidiameter ſphæræ æqualis d t per 9 p 5.] Etangulo, quem habemus k d t fiat [per 23 p 1] in ſpeculo angulus æqualis, ſcilicet k d t. Dico, quò d t eſt punctum reflexionis, Et ſi prædictam probationẽ replicaueris, manifeſtè uidebis.

84. Siduo puncta extra circulum (quieſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphæricicaui) uel alterum intra, reliquum extra, in diuerſis diametris, à centro inæquabiliter diſtantia, reflectantur à peripheria comprehenſa inter ſemidiametros, extra quas ipſa ſunt: ab uno puncto tantùm reflectentur. 38 p 8.

AMplius: ſumptis duobus punctis in diuerſis diametris, quæ puncta inæqualis ſint longitu. dinis à centro: ſi fuerint extra circulum, & reflectantur ab aliquo puncto arcus oppoſiti diametris: non reflectentur ab alio eiuſdem arcus. Verbi gratia: ſint a, b puncta in diuerſis diametris, extra circulum: g centrum: t punctum reflexionis: & ducantur b t, a t, t g: b t ſecabit arcum circuli: ſit punctum ſectionis q: a t ſecabit ſimiliter arcum circuli: ſit punctum ſectionis m. Quoniam angulus b t g ęqualis eſt angulo a t g: [per 12 n 4: quia t eſt reflexionis pun ctum ex theſi] cadent in arcus circuli æquales: [per 26 p 3] quod p ‡ tebit producta ſemidiametro t g in p. Erit ergo arcus q p æqualis arcui m p. Si igitur b reflectitur ab alio puncto: ſit illud h: & ducantur lineæ b h, a h, g h. Secet b h circulum in puncto l: a h in puncto n: & producatur h g in k. Secundum igitur prædictam probationem erit l k æqualis n k: ſed iam habemus, quòd q p æqualis p m: quod eſt impoſsibile [& contra 9 ax.] Reſtat ut b non reflectatur ad a, à pun cto h, uel ab alio puncto arcus oppoſiti diametris, præterquam à t. Similiter ſi fuerit alterum punctorum in circulo, alterum extra: ab uno tantùm puncto arcus poterit reflecti ad aliud.

85. Sirecta linea connectens duo puncta in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpecu li ſphæricicaui) à centro inæquabiliter diſtantia, tangat peripheriam dicti circuli, uelſit extra ipſam: ab uno tantùm puncto reflexio fiet. 39 p 8.

AMplius: ſilinea ducta ab uno duorũ punctorum, cõtingat circulũ, aut tota ſit extra: ſumpto quocũq puncto in atcu oppoſito diametris: [in quibus ſunt data puncta] altera linearum à punctorum duorum altero, ad illud punctum ducta rum, tota erit extra circulum: & ſic neutrum puncto rum ad aliud reflectetur ab aliquo puncto illius arcus: [m l] & ab uno ſolo puncto ſpeculi [in peripheria d n ſumpto per 73 & præcedentem numeros.]

86. Sirecta linea connectens duo puncta in diuerſis diametris circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierũ reflexiõis & ſpeculi ſphærici caui) à cẽtroinæquabiliter diſtantia, continuata eundem ſecet: poſſunt dicta puncta ab uno, duobus, tribus, aut quatuor punctis ſpeculi inter ſe reflecti. 40 p 8.

SI uerò linea ducta ab uno pũcto ad aliud, ſecet circulũ: fiat circulus ք centrũ ſpeculi & illa duo pũcta [ք 5 p 4.] circulus ille aut totꝯ erit intra circulũ: aut cõtingetipſum intrinſecus: aut ſeca bit. Sit totꝯ intra: & ducãtur duę[?] lineę[?] à duob. pũctis ad aliquod pũctũ arcus oppofiti: angulꝯ, page 180 quem facient [qui ſit at b] erit minorangulo [b g d] quem una diameter facit cum alia, exparte c‡tri: [Nam ſi à puncto f, in quo g t ſecat peripheriam circuli a b g, ducantur rectæ f a, f b: ęquabuntur angu li ad f & g duobus rectis per 22 p 3: quibus etiam æquantur anguli ad g deinceps per 13 p 1: quare per 3 ax. b g d ęquatur a f b: qui per 21 p 1 maior eſt angulo a t b. Angulus igitur a t b minor eſt angulo b g d.] Et quilibet angulus ſic factus ſuper arcum oppoſitum [l m] minor erit illo angulo. Quoniam angulus factus in interiore circulo, per lineas à punctis ad arcum eius interiacentem ductas, erit æqualis illi angulo: quoniam cum angulo diametrorum ſuper cen trũ ualet duos angulos rectos [per 22 p 3.] Sed [per 21 p 1] angulus arcus minoris circuli [angulus nempe in ipſius peripheria] maior eſt angulo arcus ſpeculi [eo nempe, qui fit in peripheria circuli: qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi.] Igitur in arcu ſpeculi nõ fiet reflexio, niſiab uno puncto: cum iam dictum ſit [80 n] quòd non eſt poſsibile reflexionem à duobus punctis fieri, ut ſit uterque angulus, conſtans ex angulo incidentiæ & reflexionis, minor angulo diametrorum ex alia parte centri. Si uerò circulus ille contingat intrin ſecus circulum ſpeculi: angulus factus à lineis, ab illis punctis ad punctum contactus ductis, erit æqualis angulo diametrorum ex alia parte centri [anguli enim ad h & g æquantur duobus rectis per 22 p 3: quibus etiam æquantur anguli ad g deinceps per 13 p 1: angulus igitur a h d æquatur angulo b g d per 13 ax.] Quare ab illo puncto contactus non fiet reflexio [per 79 n.]. Et angulus factus ſuper quodcunq punctum aliud maioris circuli, erit minorillo [ut ſi angulus fiat ſuper pũctum t: erit a f b maior a t b per 21 p 1: ſed a f b æquatur a h b per 21 p 3: quare a h b ma ior eſt a t b: eodemq́ modo de quocunq angulo demonſtrabitur.] Quare à duobus punctis arcus non fiet reflexio ſecundum prædicta [80 n.] Si uerò circulus interior ſecet circulum ſpeculi: duo puncta [peripheria enim peripheriam in duobus punctis tantùm ſecat per 10 p 3] aut erunt extra circulũ: aut intra: aut unum intra, aliud extra: aut unum in circumferentia, aliud extra, uel intra. Si fuerint extra: circulus ſecans, non ſecabit arcum circuli ſpeculi, interiacentem diametros. Et iam probatum eſt in præcedente figura [pręcedentis numeri] quòd hęc puncta ab uno ſolo puncto arcus interiacentis diametros poterunt reflecti [quod eſt punctum peripheriæ inter ſemidiametros, extra quas ſunt reflexa puncta, ut patuit pręcedẽte nu mero.] Si uerò unum fuerit in circũferentia, aliud extra: circulus ſecans ſecabit arcum circuli ſpeculi, diametros interiacentem in unico puncto. Et quilibet angulus factus ſuper arcũ illum: erit maior angulo diametrorũ ex alia parte centri: & ſic [per 80 n] ab uno puncto, uel à duobus poteſt fieri reflexio. Si uerò duo pũcta fuerint intra: ſecabit circulus interior arcũ interiacentem in duobus punctis: & reſtabunt ex eo duo arcus ex diuerſis partibus. Et omnes anguli facti ſuper arcum, interiacentem duo puncta ſectionis, erunt maiores angulo diametrorum ex alia parte centri: [ut patet in angulo a e b per 22 p 3. 13. 21 p 1.] Etab hoc arcu poſſet fieri reflexio forſitan ab uno puncto tantùm: forſitan à duobus [per 80 n.] Et ſi à duobus arcubus fiat reflexio, quireſtant ex arcu totali, & ex diuerſis partibus: omnes anguli erunt minores angulo diametrorum: [per 22 p 3. 13. 21 p 1] & tantùm ab uno eorum puncto fiet reflexio [per 80 n.] Et in hoc ſitu poterit page 181 fieri reflexio à duobus punctis arcus interiacentis diametros, aut à tribus. Palàm etiam [per 73. 75 n] quòd ab uno tantùm puncto arcus oppoſiti [n d] fiet reflexio. Et ita in hoc ſitu, aliquando à tribus, aliquando à quatuor punctis fiet reflexio. Si uerò unum punctorum fuerit intra circulũ, aliud in circumferentia, uel extra: ſecabit circulus arcum interiacentem in unico puncto: & reſtabit unus arcus tantùm. Et omnes anguli facti in parte illius arcus, incluſa à ſecante circulo: erũt maiores angulo diametrorũ [per 22 p 3. 13. 21 p 1.] Et poterit fieri reflexio à duobus punctis illius partis, uel ab uno [per 80 n.] Omnes uerò anguli alterius partis interiacentis [quæ eſt tl] erunt minores angulo diametrorum [ut oſtenſum eſt.] Et ab uno tantùm pũcto illius partis fiet reflexio [per 80 n.] Etita, cũ ab uno puncto arcus oppoſiti [n d] ſemper fiat reflexio in hoc ſitu: [per 73.75 n] aliquãdo à tribus, aliquando à quatuor: & nõ à pluribus poterit eſſe reflexio. Palàm ergo, quòd puncta inæqualis longitudinis à centro, aliquando ab uno puncto tantùm: aliquando à duobus: aliquando à tribus: aliquando à quatuor: nunquam à pluribus reflectuntur.

87. Sirecta linea connectens duo puncta in diuerſis diametris circuli (quieſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) à centro æquabiliter diſtantia, cõtinuata eundẽ ſecet: poſſunt dicta puncta ab uno, duobus uel quatuor punctis ſpeculi inter ſe reflecti: nunquam uerò à tribus tantùm. 41 p 8.

CVm autem puncta eiuſdẽ longitudinis fuerint: poterit fieri reflexio aut ab uno tantûm pun cto; [ut oſtenſum eſt 70 n] aut à duobus: [ut 71 n] aut à quatuor: [ut 72 n] nunquam uerò à tribus. [Quia ſi reflexio fiat à tribus punctis, fiet etiam à quatuor. Nam cum è tribus iſtis reflexionum punctis duo in eandẽ peripheriam cadant, ut in præcedentibus numeris patuit: peripheria igitur inter duo illa reflexionũ puncta interiecta, per 30 p 3 bifariam ſecta, ductisq́ rectis à centro, & datis punctis, in diuerſis diametris ęquabiliter à cẽtro diſtantibus, ad ſectionis punctum: erunt anguli ad ipſum facti æquales per 27 p 3. 4 p 1. Quare ipſum eſt reflexionis punctum per 12 n 4: atqui in peripheria priori l m oppoſita, ſcilicet n d, eſt etiam unũ reflexionis punctũ per 73. 75 n. A‡ quatuor igitur punctis, nõ à tribus tantùm fit reflexio.] Vbi ab uno pun cto fit reflexio, una apparet imago: ibi â duobus, duæ: ubi à tribus, tres: ibi à quatuor, quatuor. Siuerò punctum uiſum & cẽtrum uiſus fuerintin eadem diametro: fiet reflexio à circulo toto: & locus imaginis erit cẽtrum uiſus [ut oſtenſum eſt 65 n.] Verùm ſi centrum uiſus fuerit in centro ſpeculi: nihil uidet [præter ſe ipſum, ut patuit 44 n 4. 62 n.] Si uerò pũctum uiſum fuerit in centro ſpeculi: non uidebitur: quoniam forma eius accedet ad ſpeculum ſuper perpendicularem, nec reflecti poterit, niſi ſuper perpendicularem [per 11 n 4.] Cum autem centrum uiſus & punctum uiſum fuerint in diuerſis lineis extra centrum: lineæ illę ad centrum productæ, ſecabunt in diuerſis partibus ex circulo ſphæræ duos arcus: ab uno puncto unius tantùm fiet reflexio: ab alio forſitan à quatuor. Quòd ſi cẽtrum ſphæræ fuerit ex una parte: centrum uiſus & punctum uiſum ex una: arcus, quem ſecant diametri, propter oppoſitionem capitis abſcondetur. Vnde tunc à tribus tantùm punctis fiet reflexio. Et ſi dirigatur in hoc ſitu uiſus ad arcum unius reflexionis tantùm: abſcondetur alius trium reflexionũ, & unica apparebit imago. Item: Si integrum fuerit ſpeculum: nõ erit ibi perceptio: oportet igitur, ut in eo ſit abſciſsio. Et accidet nonnunquam arcum interiacẽtem diametros abſciſſum eſſe: & tunc nihil in eo uideri. Quare rarò eueniet quatuor imagines in hoc ſpeculo comprehendi. Vnde ſi quis hanc pluralitatem imaginum uoluerit uidere: diſponat uiſum intra ſpeculum circa ipſum, ut modi cam partem eius abſcondat mole capitis, & totam ſpeculi ſuperficiem uiſu diſcurrat.

88. In ſpeculo ſphærico cauo imago eiuſdem uiſibilis utrog uiſu aliâs una, aliâs gemina uidetur. 59 p 8.

CVm autem aliquid in hoc ſpeculo percipietur duplici uiſu: ſi linea reflexionis fuerit æquidiſtans perpendiculari: [incidentiæ] erit locus imaginis punctum reflexionis [per 60 n.] Et cum diſtant à ſe puncta reflexionis reſpectu duorum uiſuum: apparebũt duobus uiſibus duæ imagines eiuſdem puncti: & locus cuiuſq imaginis eſt in puncto ſuæ reflexionis. Si uerò linea reflexionis non ſit æquidiſtans perpendiculari: [incidentiæ] & punctum uiſum tantùm diſtet ab page 182 uno uiſu, quantum ab alio, uel modica ſit differentia: erit locus imaginis reſpectu utríuſque uiſus idem, aut diuerſus, ſed modicùm diſtans. Vnde aut una apparebit imago, aut ferè una: ſicut probatum eſt in ſpeculis ſphæricis exterioribus.

89. Communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi cylindracei caui aliâs eſt latus cylindri: aliâs circulus: aliâs ellipſis. 1 p 9.

IN ſpeculis columnaribus concauis aliquando linea communis eſt linea recta: cum ſuperficies reflexionis tranſit per axem: [per 21 d 11] aliquando linea communis erit circulus, cum ſuperficies illa eſt æquidiſtans baſibus: [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri] aliquando linea communis eſt ſectio columnaris. Quando fuerit linea recta: erit locus imaginis & modus reflexionis, ſicut in ſpeculis planis. Quando fuerit circulus: erit idem modus, qui in ſphæricis concauis.

90. Sicommunis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi cylindracei caui fuerit ellipſis: image uidebitur, aliâs ultra ſpeculum: aliâs in ſuperficie: aliâs citra uiſum: aliâs in uiſu: aliâs inter uiſum & ſpeculum. 10 p 9.

CVm uerò linea communis fuerit columnaris ſectio: aut erit locus imaginis ultra ſpeculum: aut citra uiſum: aut in centro uiſus: aut inter ſpeculum & uiſum: aut in ipſo ſpeculo: quod ſic patebit. Sit a b g ſectio: ducatur perpendicularis in hac ſectione: [ſuper planum tangens ſpe culum in reflexionis puncto] quæ ſit d g: quam ſecundum prædicta patet eſſe diametrum circuli. [Quia enim planum tangens cylindrum, tangit in latere per 26 n 4: ergo per 3 d 11 linea recta, perpendicularis plano tangenti, erit perpendicularis lateri, quod eſt parallelum axi per 21 d 11. Quar‡ per 29 p 1 perpendicularis plano tangenti, perpendicularis eſt axi. Planum uerò baſi parallelum & per dictam perpendicularem ductum eſt circulus, cẽtrum habens in axe per 5th Sereni de ſectione cylindri. Recta igitur linea per pendicularis plano, cylindrum in reflexionis puncto tangenti, eſt diameter circuli per reflexionis punctum ducti] & unicam poſſe eſſe: cum ab alio puncto ſectionis nõ poſſit duci perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem. [Nam cum communis ſectio circuli & ellipſis per reflexio nis punctum ſe ſecantium, ſit perpẽdicularis, tum ad planum in eodem reflexionis puncto cylindrum tangẽs, tum ad axem, ut iam patuit: rectæ igitur lineæ ab alijs ſectionis punctis ad axem ductę, ad ipſum obliquæ erunt: ſecus per 4 p 11 axis eſſet perpendicularis plano ellipſis: contra 9 th Sereni de ſectione cylindri.] Sumatur aliud punctũ, & ſit b: & ducatur ab eo in ſectione linea perpendicularis ſuper lineam, contingẽtem ſectionem in puncto b: quæ quidem linea ſecundũ prędicta neceſſariò concurret cum perpendiculari g d. Concurrat in puncto d: & ſumptum ſit b circa punctum g, ut angulus b d g ſit acutus. Deinde [per 31 p 1] à puncto g ducatur in ſectione linea æquidiſtans b d: quæ ſit g h: quę quidẽ cadet intra columnarem ſectionem: quia angulus h g d erit acutus, cum ſit æqualis g d b: [per 29 p 1] & à puncto ginter d & h ducatur linea: quæ neceſſariò cõcurret cum b d: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto n: & inter n & g ſumatur punctũ quodcunq: quod ſit o: ultra punctum n ſumatur punctum t. Item à puncto g ducatur ſupra g h, alia linea g z, tamen intra ſectionem: quæ neceſſariò concurret cũ b d ex alia parre: [per lemma Procli ad 29 p 1] ſit concurſus e. Ducatur g q linea, ut angulus q g d ſit æ qualis z g d [per 23 p 1] & fiat angulus l g d æqualis angulo h g d: & angulus m g d æqualis angulo n g d. Palàm, [per 12 n 4] quòd ſi fuerit uiſus in puncto z: reflectetur punctũ q ad ipſum, à puncto g: & punctum imaginis eſt e: [per 6 n] & ſi uiſus fuerit in puncto h: reflectetur ad ipſum l à puncto g: & erit locus imaginis g: ſi uerò fuerit uiſus in puncto o: reflectetur ad ipſum, punctum m: & locus imaginis erit n: ſi autem fuerit in n: erit locus imaginis puncti m in centro uiſus, id eſt in n: ſi autem fuerit in t: erit locus imaginis tunc inter uiſum & ſpeculum: quia in n. Et ita patet propoſitum.

91. Si uiſus & uiſibile fuerint in eadẽ recta linea, perpendiculari plano ſpeculum cylindraceum cauum tangenti: aliâs ab uno: aliâs à duobus ſpeculi punctis reflexio fiet: & imago uidebitur in centro uiſus. 11 p 9.

HAec quidem iam dicta intelligenda ſunt, cum punctum uiſum nõ fuerit ſuper perpendicularem cum ipſo uiſu. Tunc enim cum infinitæ ſuperficies poſsintintelligi, quarum quælibet orthogonalis ſit ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculum [per 18 p 11: quia ſuperficies illæ ducuntur per rectam plano ſpeculum tangenti perpendicularem] & omnes ſecent ſe ſuper illam page 183 perpendicularem: quædam illarum ſuperficierum efficiet lineam cõmunem, lineam rectam: & non fiet reflexio, niſi ſuper illam perpendicularem: [per 11 n 4] & locus imaginis erit centrum uiſus: & non uidebitur punctum, niſi quod fuerit in ſuperficie uiſus [per 13 n.] Quædam autẽillarũ ſuperficierum efficiet lineam communem, circulum: & tunc puncta, inter quæ & uiſum fuerit centrum circuli: poterunt reflecti ad uiſum, ſingula à duobus punctis circuli: cum à ſingulis ducantur lineæ facientes angulũ cum ſuperficie contingente, quem per æqualia diuidit perpendicularis ducta ad centrum. [Nam cum a b ſit diameter circuli, & f g axis cylindri: erit per 3 d 11 e f perpẽdicularis f g: itaq anguli ad f erunt recti: at ex theſic e æquatur ipſi e d: & communis eſt e f: ergo per 4 p 1 triangula d f e, c f e ſunt æquiangula. Quare perpẽdicularis fe bifariam ſecat angulum c e d: eodemq́ modo oſtẽdetur perpendicularem g f bifariam ſecare angulũ d g c.] Et hæc quidem dico de punctis, quę ſunt in illa perpen diculari: & loca imaginũ erunt in centro circuli: alia puncta illius perpendicularis nõ reflectentur ad uiſum, præter punctum, quod eſt in ſuperficie uiſus: & illud per illam perpendicularem [per 11 n 4.] Cum autem fuerit linea cõmunis, ſectio columnaris: non poterunt puncta perpendicularis reflecti ab aliquibus alijs punctis ſectionis: cum forma accedens ſuper perpendicularem, reflectatur ſuper perpendicularem: & in ſectione una ſit perpendicularis [ut proximo numero oſtenſum eſt.] Quare per hanc ſolam perpendicularem fiet reflexio: & ſolũ punctu m ſuperficiei uiſus uidebitur: & locus imaginis erit centrum uiſus.

92. Siuiſus fuerit in centro circuli ſpeculi cylindracei caui: reflectetur ab eiuſdẽ circuli peripheria, ſimili peripheriæ circuli per centrũ uiſus ducti: & imago uidebitur in cẽtro uiſus. 12 p 9.

SI uerò fuerit uiſus in cẽtro circuli: reflectetur portio uiſus, quam ſecant perpendiculares, ductæ à centro uiſus ad circulum, [per cẽtrum uiſus ductum] à portione ſimili circulo, [ſpeculi] quam ſecant ſimiliter eædem perpendiculares. Quia cum quælibet linea ducta à centro uiſus ad circulum, ſit perpendicularis: [ſuper ſuperficies uiſus & ſpeculi per 25 n 4: quia tranſit per centra uiſus & ſpeculi] fiet reflexio ſuper perpendicularem: [per 11 n 4] & locus imaginis erit cẽtrum uiſus: quod eſt centrum circuli.

93. Si communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi cylindracei cauifuerit ellipſis: à pluribus punct is idem uiſibile ad eundem uiſum reflecti poteſt. 9 p 9.

AMplius: ſuper punctum a fiat angulus acutus quo ‡ quo modo: qui ſit f a g. Palàm, quòd cõcurret f a cũ g z: [quia g z cadens intra ellipſin ex theſi 90 n efficit angulum z g d acutum: itaq cũ anguli z g d, f a g duobus rectis ſint minores: rectæ a f, g z concurrent ad partes z, per 11 a x] ſit concurſus in puncto z: & [per 23 p 1] fiat angulus c a g æqualis angulo f a g: concurret equidẽ a c cum g q: [per 11 ax. Nam quia angulus q g d æquatus eſt angulo z g a acuto, ut patuit 90 n: & modo angulus c a g æquatur z a g: anguli q g d, c a g ſunt minores duobus rectis] ſit cõcurſus in puncto c. Palàm [per 12 n 4] quòd c reflectetur ad z à puncto g: & ita reflectetur à puncto a ad z, & non ab alio puncto ſectionis. Quia non poterit reflecti, niſi à termino perpendicularis: & una eſt in ſectione illa perpendicularis [ut oſtenſum eſt 90 n] ſcilicet g a.

94. Si duo puncta ſumantur in axeſpeculi cylindraceicaui: poſſunt à tota circuli peripheria inter ſe mutuò reflecti: & imago uidebitur in peripheria circuliextra ſpeculi ſuperficiem deſcripti. 13 p 9.

AMplius: ſumptis duobus punctis in axe columnæ: poterit unum reflecti ad aliud ab uno circulo columnæ toto: & locus imaginis erit circulus quidam extra columnam. Verbi gratia: ſit e z axis: t, h puncta ſumpta in axe: a g, b d baſes. Diuidatur t h per æqualia in puncto q [per 10 p 1] & fiat circulus, cuius q centrum: eius diameter l m: qui erit æquidiſtans baſibus: [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri] latera columnæ b l a, d m g. Fiat etiam circulus k p, cuius h centrum, p k diameter: & ducantur lineæ page 184 t l, t m, h l, h m. Palàm, quòd quatuor angulorum ſuper q quilibet eſt rectus [per 3 d 11: quia axis pe‡‡ pendicularis eſt circulo l m per 21 d 11] & t q æqualis q h [per fabricationem] & q l æqualis q m: [per 15 d 1] erũt illa triangula ſimilia [per 4 p 1. 4 p. 1 d 6] & anguli t l q, q l h æquales: ſimiliter anguli t m q, q m h æquales. Siergo fuerit t centrum uiſus: reflectetur quidem h ad punctum t à punctol: & ſimiliter à puncto m [per 12 n 4.] Si ergo moueatur triangulũ t l h, immoto axe t h: deſcribet punctum l circulũ: & ſemper duo anguli t l q, q l h manebunt æquales: & ſemper in hoc motu reflectetur h ad t. Producatur autem linea p h k, donec cõcurrat cum linea t l: [concurret autẽ per lemma Procli ad 29 p 1: quia m l, c k ſunt parallelę per 29 p 1] & ſit cõcurſus f. Palàm [per 7 n] quòd ferit locus imaginis. Et motu trianguli t l h, mouebitur triangulum t f h: & hoc motu punctum f deſcribet circulum extra columnam: & totus ille circulus erit locus imaginis. Et hoc eſt propoſitum Idẽ erit probandi modus, ſumptis quibuslibet duobus punctis in axe.

95. Si communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi cylindracei caui fuerit circulus, uelellipſis: reflexio fiet aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs àtribus: aliâs à quatuor ſpeculipũctis: totidem́ uidebuntur imagines. 14. 15 p 9.

AMplius: punctorum extra perpẽdicularem uiſus ſumptorum quædam unicam habent imaginem: quædam duas: quædam tres: quædam quatuor: & non plures. Verbi gratia: ſit a punctum uiſum extra perpendicularem uiſus: & fiat ſuperficies tranſiens per a æquidiſtans baſibus ſpeculi: [ut oftẽſum eſt 47 n] faciet quidem [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri] circulum in columna. Sit centrum illius circuli h: & ſumatur in ſuperficie circuli aliud punctum, quod ſit b: & ducãtur diametri a h, b h. Palàm ex eis, quæ dicta ſunt in ſpeculis ſphæricis concauis [86 n] quòd ab uno puncto arcus, quẽ intercipiunt hæ duæ diametri, poteſt a reflecti ad b: forſitan à duobus punctis, aut tribus, ſed non à pluribus: ab arcu autem oppoſito, nõ niſi ab uno puncto. Sit ergo, quòd a reflectatur ad b à tribus punctis interciſi arcus: & ſint puncta illa g, d, e: & ducãtur lineæ a g, h g, b g, h d, b d, a d, a e, h e, b e: & à puncto a ducantur in eadẽ ſuperficie tres lineæ æquidiſtantes tribus diametris h g, h d, h e: quæ ſint a k, a f, a n. Cum igitur a k ſit æquidiſtans h g: cõcurret b g cum a k: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in puncto k. Similiter b d concurret cũ a f: ſit cõcurſus in puncto f. Similiter b e cum a n: ſit concurſus in puncto n. Deinde à puncto h erigatur axis: qui ſit h x: & à puncto b perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli: [per 12 p 11] quæ erit æquidiſtans axi [per 6 p 11] quæ ſit b t: & ſumatur in ea punctum quodcunq: quod ſit t: & ducantur tres lineæ t k, t f, t n: & [per 12 p 11] à tribus punctis g, d, e erigantur tres perpẽdiculares ſuper ſuperficiem circuli: g m, d l, e q: erunt quidẽ [per 6 p 11] æquidiſtãtes t b, e q: igitur erũt in ſuperficie trian guli t b n: [per 35 d 1. 1 p 11] igitur e q ſecabit t n: [per lemma Procli ad 29 p 1] ſecet in puncto q: d l ſecett fin puncto l: g m ſecet t k in puncto m. Et erunt hæ tres perpẽdiculares, lineæ longitudinis columnæ [ut patet è 21 d 11.] À puncto q ducatur æquidiſtans lineæ n a: [per 31 p 1] quæ quidẽ concurret cum axe x h: [per‡lemma Procli‡ad 29 p 1] quoniam erit æquidiſtans e h: [per 30 p 1] ſit con curſus in puncto u: & ducatur linea t a: quam ſeca bit q u: quoniam q u ducitur à latere trianguli [tbn] & linea e q equidiſtãte baſi [t b.] Sit punctum page 185 ſectionisi: & ducatur linea q a. Palàm, quòd angulus b e h æqualis eſt angulo e n a [per 29 p 1: quia a n, h e ſunt parallelæ per fabricationem] & angulus h e a æqualis angulo e a n: & [per 12 n 4] angu lus b e h æqualis angulo h e a: erit angulus e a n æqualis angulo e n a: quare [per 6 p 1] e n æqualis e a, & e q perpendicularis: [duabus rectis e a, e n per 3 d 11: quia perpendicularis eſt per fabricationẽ triangulo a e n] erit [per 4 p 1] triangulũ q e a æquale triangulo q e n: & erit q n æqualis q a: & erit [per 5 p 1] q n a æqualis angulo q a n: ſed angulus t q i æqualis angulo q n a, & angulus i q a æqualis angulo q a n: [per 29 p 1: quia q i, a n ſunt parallelæ per fabricationem] erit angulus i q t æqualis angulo i q a. Quare a reflectetur adt à puncto columnæ, quod eſt q [per 12 n 4.] Eodem modo probabitur, quòd reflectetur a ad t â punctis l, m: Et ita à tribus punctis columnæ ex eadem parte: nec poteſt à pluribus. Detur enim aliud: ducto latere [cylindri, ut oſtenſum eſt 47 n] ab illo puncto: cadet in circulum, quem habemus: & probabitur, quòd à pũcto caſus, qui eſt in circulo, poterit reflecti a ad t, repetita ꝓbatione: quod eſt impoſsibile [ut oſtẽſum eſt 86 n.] Ex arcu uerò circuli oppoſito [arcui g d e] poterit reflecti a ad b ab uno puncto: [per 73 n] ſit illud z: & ducatur diameter h z: & [per 31 p 1] ei æquidiſtans a s: & ducatur b z: quæ concurrat cum a s in puncto s: [cõcurret autem per lemma Procli ad 29 p 1] & erigatur perpendicularis: [ſuper circulũ, cuius centrũ eſt h] quę ſit o z: quæ erit latus [per 21 d 11] & [per 6 p 11] æquidiſtans t b: & ducatur t s: quę ſecabitur à linea o z: [per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit ſectio in pũcto o. Probabitur modo prędicto, quòd a reflectetur ad t à puncto o. Et ſi ſumatur exilla parte punctum aliud columnæ, à quo poſsit reflecti: per replicationem probationis probabitur, quòd ab alio puncto circuli, quàm z, poteſt reflecti ex parte illa: quod eſt impoſsibile [ut demonſtratũ eſt 75 n.] Si ergo a ab uno puncto circuli reflectitur ad b ex aliqua parte: reflectetur ab uno columnæ ex eadem ad t: ſi à duobus, à duobus: ſi à tribus, à tribus: nec poteſt amplius ab illa parte: ab oppoſita uerò parte non niſi ab uno puncto circuli tantùm, & ab uno columnæ tantùm. Item t b æquidiſtat u h: [ut ab initio demõſtratum eſt: itaq per 35 d 1 ſunt in eadem ſuperficie, quæ eſt t b u h] nec poteſt ſumi ſuperficies æqualis, in qua ſit t cum u h, præter ſuperficiem t b u h. Similiter non poteſt ſuperficies ſumi, in qua ſit a cum u h, præter ſuperficiem a u h, quæ eſt perpendicularis [circulo, cuius cẽtrum h, per 18 p 11.] Igitur t non eſt in eadem ſuperficie perpendiculari cum a, necin eodem circulo, nec eſt in axe, quia eſt in linea ei æ quidiſtante. Superficies igitur, in qua a reflectitur ad t, eft ſectio colũnaris [per 9 th. Sereni de ſectione cylindri.] Verùm producta ſit t a ultra t, & a ex utraq parte: & ſit r p. Cum quatuor ſint ſuperficies reflexionis: quia à quatuor punctis [q, l, m; o] ſit reflexio, & in qualibet harum ſint duo puncta t, a: erit r p communis quatuor ſuperficiebus reflexionis: [per 1 p 11: quia uiſus & uiſibile, quæ ſunt in linea r p, ſunt in qualibet reflexionis ſuperficie per 23 n 4] & quælibet harũ ſuperficierum ſecat ſuperficiem, contingentem ſpeculum in puncto ſ‡æ reflexionis, ſuper ſuam lineam communem, nõ ſuper eandem [quia cum puncta reflexionis ſint diuerſa, etiam communes ſectiones illarum ſuperficierum (quæ ſuntrectæ lineæ per 3 d 11) diuerſæ erunt.] Linea ergo r p perpendicularis eſt ſuper unam linearum quatuor cõmunium, non ſuper duas: eſſet enim perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem: [per 3 d 11] & ita perueniret ad axem. [Quia enim per 21 d 11 latus cylindraceum ęquidiſtat axi: & r p perpendicularis plano tangenti ex cõcluſo, ſimul perpendicularis eſt lateri per 3 d 11: ergo per lemma Procli ad 29 p 1 r p (quæ paulo antè oſtẽſa eſt extra axẽ eſſe) cõtinuata ſecabit axẽ; quod eſt ab: ſurdum.] Sunt ergo diuerſæ perpendiculares à puncto t ad has quatuor lineas communes: nec eſt niſi una perpendicularis tantùm, quę tranſit per a. Et perpendicularis aut eſt æquidiſtans lineæ reflexionis: aut concurrit cum ea ultra ſpeculum, uel intra. Si fuerit æquidiſtans: erit locus imaginis punctum reflexionis, ut probatum eſt‡[91. n] Et cum quatuor ſint reflexionis puncta: erunt quatuor imagines. Si concurrit, cum quatuor ſunt perpendiculares: erunt concurſus quatuor, & quatuor im agines.

96. Viſu & uiſibili datis, in ſpeculo cylindraceo cauo punctum reflexionis inuenire. 16 p 9.

AMplius: datis puncto uiſo, & puncto uiſus: erit inuenire punctum reflexionis. Verbi gratia; ſit a punctum uiſum: b centrum uiſus. Fiat ſuperficies ſecans columnam æquidiſtanter baſi [ut oſtenſum eſt 47 n] trànſiens per a: & [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri] faciet circulum. b aut eſt in ſuperficie huius circuli: aut nõ. Si fuerit: inueniemus punctũ reflexionis in illo circulo, ſicut dictum eſt in ſphærico concauo [73 n.] Si nõ fuerit: ducatur [per 11 p 11] à puncto b perpẽdicularis ſuper ſuperficiem huius circuli: & replicetur ſuprà dicta probatio: & inuenietur pũctum reflexionis. Duplici autem uiſu adhibito, una imago in ueritate, efficientur duæ, ſed contiguæ uel admixtæ: unde uidebitur una.

97. Cõmunis ſectio ſuperficierũ, reflexionis & ſpeculiconici caui eſt latus coni, aut ellipſis. 2 p 9.

IN ſpeculis pyramidalibus concauis linea, communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpecu li, aut erit linea lõgitudinis ſpeculi: aut erit ſectio pyramidalis. Si fuerit linea longitudinis: erũt loca imaginum in ipſo ſpeculo. Si fuerit ſectio pyramidalis: erunt loca imaginum aliquando citra uiſum: aliquando in uiſu: aliquando inter uiſum & ſpeculum: & aliquando ultra ſpeculum, ſicut oſtenſum eſt in ſpeculo columnari concauo.

98. Siuiſus ſit in communi ſectione axis & rectæ lineæ perpendicularis plano, ſpeculum conicum cauum tangẽti: reflectetur à tota peripheria circuli (cuius centrum eſt dict a communis ſectio) per lineas perpendiculares: & imago uidebitur in centro uiſus. 17 p 9.

page 186

AMplius: ſi in perpendiculari ducta à centro uiſus ad ſuperficiem contingentem pyramide‡‡, ſumatur punctum corporeum inter uiſum & ſpeculum: non reflectetur forma eius ad uiſum per perpẽdicularem: quoniam punctũ illud occultabit terminũ perpendicularis illius, & ob hoc non reflectetur ab eo. Si autem nullum fuerit punctum in perpendiculari illa: reflectetur quidem ad uiſum per hanc perpendicularem punctum uiſus, quod ſecat perpendicularis ex eo: & illud ſolum. Verùm uiſu exiſtẽte in hac perpendiculari & in axe: efficietur circulus, ad cuius quodlibet punctum linea ducta à uiſu, erit perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem. Vnde â quolibet puncto illius circuli fieri poterit reflexio ad uiſum, ſecundum perpendiculares. Et fiet reflexio partis uiſus, quam ſecant perpendiculares duæ, maiorem angulum in eo continentes. Si uerò inter uiſum & ſpeculum fuerit axis: non fiet ad ipſum reflexio per perpendicularem, niſi puncti eius, quod ſecant perpendiculares.

99. Siuiſus & uiſibile fuerint in axe ſpeculi conici caui: poſſunt à tota alicuius circuli peripheria inter ſe reflecti: & imago uidetur in peripheria circuli, extra ſpeculi ſuperficiem deſcripti. 18 p 9.

AMplius: exiſtente uiſu & puncto uiſo in axe: poterit reflecti unum ad aliud. Verbi gratia: ſit h centrum uiſus: t punctum uiſum. Fiat ſuperficies ſecans pyramidem, trãſiens ſuper axis longitudinem: quę ſit a b g h: a h axis: a b, a g latera pyramidis: à puncto t ducatur perpendicularis ſuper lineam a b [per 12 p 1] quæ ſit t q: & producatur quouſq q l ſit æqualis q t: & à puncto h ducatur linea ad punctum l: quæ ſecabit lineam longitudinis, quæ eſt a b: ſecet in puncto b: & à puncto b ducatur æquidiſtans lineæ t q [per 31 p 1] quæ neceſſariò perueniet ad axem: [ut oſtenſum eſt 54 n] perueniat in pũcto d: & ducatur linea t b. Palàm, cum t q ſit perpendicularis ſuper a b, & t q æqualis q l: erit [per 4 p 1] b t q triangulum æquale triangulo b q l: & erit angulus q l b æqualis angulo q t b: ſed [per 29 p 1] angulus q t b æqualis eſt angulo t b d: & angulus d b h æqualis eſt angulo q l b: igitur angulus t b d æqualis eſt angulo d b h. Et ita [per 12 n 4] t reflectitur ad h à puncto b: & locus imaginis eſt l [per 7 n.] Igitur moto triangulo t l h: deſcribet punctum b circulum in pyramide: & à quolibet puncto illius circuli reflectetur t ad h: l uerò extra lpeculum deſcribet circulum, qui totus erit locus imaginis puncti t.

100. Si cõmunis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi conici caui fuerit ellipſis: uiſus & uiſibile extra axẽ in baſi, aut plano ipſi parallelo, reflectentur inter ſe: aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs à tribus: aliâs à quatuor ſpeculipunctis: tot́ erunt imagines, quot reflexionum puncta. 19 p 9.

AMplius: ſumptis duobus punctis & extra perpendicularem uiſus, & extra axem in hoc ſpeculo: ſcilicetz, e. Fiat ſuperficies æquidiſtans baſi ſuperz: [ut oſtẽſum eſt 52 n] faciet circulum in ſpeculo [per 4 th. 1 coni. Apoll.] e aut erit in hoc circulo, aut in alia ſuperficie ipſi æquidiſtante. Sit in ſuperficieillius circuli: & ducatur linea e z. Palàm [per demonſtrata in ſpeculis ſphæricis cauis 86 n] quòd z reflectetur ad e à circulo illo ex una parte, aut ab uno pũcto: aut à duobus: aut à tribus: ex alia uerò ab uno. Sumatur igitur punctum circuli, à quo reflectitur ad ipſum: & ſit h: centrum circuli t: & ducantur lineæ z h, e h: & diameter t h diuidet quidem angulum illum per æqualia: [per 13 n 4] & ſecabit lineam e z: [quia ſecat angulum ipſi e z ſubtenſum] ſecet in puncto q: & ſit a uertex pyramidis: a h linea longitudinis. À puncto q ducatur linea perpẽdicularis ſuper lineam a h: [per 12 p 1] quæ ſit q m: quæ quidem perueniet ad axem: [ut oſtẽſum eſt 54 n] qui eſt a d: & cadat in ipſum in puncto d: & ducantur lineæ z m, e m: à puncto z ducatur in ſuperficie circuli linea æquidiſtans lineæ q h: [per 31 p 1] quæ ſit z l: concurret quidem [per lemma Procli ad 29 p 1] e h cũilla: ſit cõcurſus in pun ctol: & à puncto h ducatur perpendicularis ſuper l z: quæ ſit h p. Deinde in ſuperficie e m z ducatur linea æquidiſtans lineæ q m: quæ ſit z o: & cõcurrat e m cum ea in puncto o: [cõcurret aũt per lemma Procli ad 29 p 1] & ducatu‡ page 187 linea l o: & à puncto p ducatur æquidiſtans l o: quæ ſit p n: & ducatur linea m n. Palàm [per theſin & 12 n 4] quòd angulus e h q æqualis eſt angulo q h z: & [per 29 p 1] angulo h l z: & angulus q h z æqualis eſt angulo coalterno h z l [ideoq́ angulus h l z æquatur angulo h z l.] Eritigitur [per 6 p 1] h l æqualis h z: & h p perpendicularis eſt ſuper l z: [per fabricationé] erit triangulũ l p h æquale triangulo p h z, & erit l p æqualis p z: [per 26 p 1: quia anguli ad l & z æquantur, & ad precti ſunt per fabricatio nem, & h z æquatur h l] & p n æquidiſtans eſt o l: erit [per 2 p 6] proportio l p ad p z, ſicut o n ad n z. Quare o n æqualis n z. Item cum o z ſit æquidiſtans q m [per fabricationẽ] & h q æquidiſtans l z: erit [per 15 p 11] ſuperficies z o l æquidiſtans ſuperficiei q m h: & ſuperficies e o l ſecatillas duas, ſuper lineas cõmunes, [per 3 p 11] quę quidẽ[per 16 p 11] erunt æquidiſtãtes, ſcilicet m h, l o: quare [per 30 p 1] h m, p n ſunt æquidiſtantes. Et quoniã h p cadit inter l z, h q æquidiſtantes: & eſt perpendicularis ſu per l z: [angulus igitur p h trectus eſt: quia per 29 p 1 æquatur alterno h p l] quare [per conſectariũ 16 p 3] p h continget circulũ: quare ſuperficies a h p eſt ſuperficies contingens pyramidẽ. In hac ſuperſi cie eſt p n & m n: [Nam cũ h m ſit in plano a h p conũ tangẽte, & illi parallela ſit n p, ut patuit: erit igi tur n p in eodẽ plano per 35 d 1: m n uerò, quia utranq h m & n p connectit, in eodẽ eſt cũ ipſis plano per 7 p 11] & ſuper hanc ſuperficiẽ eſt perpendicularis linea d m [per demõſtrata 54 n.] Igitur [per 3 d 11] perpendicularis eſt ſuper lineam m n: quare [per 29 p 1] m n eſt perpendicularis ſuper o z, & o n æqualis n z: [ex cõcluſo] erit [per 4 p 1] m o æqualis m z: & [per 7 p 5] e m ad m o, ſicut e m ad m z: ſed [ք 2 p 6] e m ad m o, ſicut e h ad h l: [nã h m ex cõcluſo parallela eſt ipſi o l] & [per 7 p 5] e h ad h l, ſicut e h ad h z: [æquales enim demõſtratę ſunt h l, h z] & [per 3 p 6] e h ad h z, ſicute q ad q z [angulus enim e h z bifariã ſectus eſt à linea h q.] Igitur [per 11 p 5] e m ad m z, ſicut e q ad q z. Quare [per 3 p 6] angulus e m q æqualis angulo q m z. Quare [per 12 n 4] z reflectitur ad e à puncto m. Siigitur z reflectitur ad e à puncto circuli h:reflectetur ad ipſum à puncto pyramidis m: & ſi à duobus circuli, à duobus pyramidis: ſi à tribus, à tribus: ſi à pluribus, à pluribus. Eodem modo ex alia parte circuli fiet probatio: quòd ab uno puncto pyramidis, ſicut ab uno circuli, reflexio fiat.

101. Sicõmunis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi conici cauifuerit ellipſis: uiſus & ui ſibile intra ſpeculum, extra tum axem tum baſim uel planum ipſi parallelum: reflectentur inter ſe: aliâs ab uno: aliâs à duobus: aliâs à tribus: aliâs à quatuor ſpeculi punctis: tot́ erunt imagines, quot reflexionum puncta. 20 p 9.

SI uerò e nõ fuerit in circulo ęquidiſtãte baſi, trãſeũte ſuper z: erit quidẽ ſuprà uel infrà. Sit ſuprà: quia utrobiq eadẽ eſt probatio. Ducatur linea à uertice a per punctũ e, donec ſecet ſuperficiẽ illius circuli: & ſit punctũ ſectionis h: q centrũ circuli. Palàm [per demonſtrata in ſpeculis ſphæ ricis cauis 66 n] quòd h poteſt reflecti ad z ab aliquo pũcto circuli: ſit illud t: & ducatur diameter q t: & linea h z ſecabit hãc diametrũ in puncto: quod ſit n: [Nam quia per theſin t eſt reflexiõis punctũ: ergo per 12 n 4 ſemidiameter q t bifariã ſecat angulũ h t z: ideoq́ & baſim h z angulo ſubtẽſam] & du catur e z: & linea longitudinis a t. Palàm, cũ punctũ z ſit ex una parte diametri q t, & ex alia e: linea e z ſecabit ſuperficiẽ a q t: ſecet in puncto o: & à puncto o ducatur perpendicularis ſuper lineã a t: [per 12 p 1] quę ſit o p: quę neceſſariò cadet ſuper axem: [ut oſtenſum eſt 54 n] cadat in puncto d: & ducan turlineę e p, z p. Dico, quòd z reflectetur ad e à puncto p. Ducatur à pũcto z linea æquidiſtãs q t[per 31 p 1] quæ ſit z f: & producatur linea h t, donec cõcurrat cũ illa: [cõcurret aũt per lem ma Procli ad 29 p 1] ſit cõcurſus in puncto f. Similiter à puncto z ducatur æquidiſtãs lineę o p: quę ſit z k: & producatur linea e p, donec cõcurrat cũ illa: ſit cõcurſus in pun cto k: & ducantur lineæ k f, k h. Palàm [per 15 p 11] cũ linea z f ſit æquidiſtás q t, & z k ęquidiſtans o p: [& z f, z k cõcurrant in pun cto z: & p o, t q cõtinuatæ concurrãt per 11 ax: quia angulus o p t rectus eſt è fabricatiõe, & q t p acutus ք 18 d 11] quòd erit ſuperfi cies z k f ęquidiſtãs o p t: quę eſt ſuperficies a q t: [quia enim p o cadit in axem, ut patuit: eſt igitur in a q t plano per 1 p 11: in quo etiã eſt linea q t: planũ igitur o p q t eſt pars plani a q t] & ſuperfi cies h k f ſecat has duas ſuperficies, ſuper lineas p t, k f. Igitur[ք 16 p 11] p t, k f ſunt æquidiſtantes. Ducatur à puncto t perpendicularis ſuper lineã z f [per 12 p 1] quę ſit t s. Palàm, cũ cadatinter duas æquidiſtantes [q t, z f:] erit angulus q t s rectus [per 29 p 1] & ita [per cõſectariũ 16 p 3] cõtinget circulũ: [cuius cẽtrũ eſt q.] Igitur ſuperficies a t s contingit pyramidẽ ſuper lineã a t: [per 35 n 4] & linea o p eſt perpendicularis ſuper hãc ſuperficiẽ [ut demonſtratũ eſt 54 n.] Superficies igitur a t q erit orthogonalis ſu per ſuperficiem a t s: [per 18 p 11] & ſuperficies a t s ſecat duas ſu perficies a t q, z k f‡quæ ſunt æquidiſtantes: igitur[per 16 p 11] lineę cõmunes ſectionũ ſunt æquidiſtantes. Vnaharũ linearũ eſt p t: alia ſit s i. Sed iam patuit, quod p t æquidiſtans eſt k f: igitur [per 30 p 1] s i eſt æquidiſtans k f. Sed planũ eſt, quòd angulus n t z ęqualis eſt angulo t z f, & angulus h t n ęqualis angulo t f z: [ք 29 p 1: quia q t & z fſunt parallelę per fabricationẽ] & t s perpen cicularis [ſuper z f perfabricationem] erit f s æqualis s z. [Quia 188 enim anguli t z f, t f z æquantur angulis z t n & h t n per 12 n 4 æqualibus, cum t ex theſi ſit reflexio nis punctum: ipſi igitur inter ſe æquantur: & anguli ad s recti ſunt: & t s commune latus eſt. Quare per 26 p 1 f s æquatur s z.] Sed [per 2 p 6] proportio f s ad s z, ſicut k i ad i z: erit ergo k i ęqualisi z. Du cta autem linea p i: cum ſuperficies a t f ſit orthogonalis ſuper ſuperficiem z k f: erit [per 4 d 11] p i orthogonalis ſuper z k: & erit [per 4 p 1] angulus p k z æqualis angulo k z p: ſed [ք 29 p 1] angulus e p o æqualis angulo p k z, & angulus o p z æqualis angulo p z k. Quare angulus e p o æqualis eſt angulo o p z. Etita z reflectitur ad e à puncto p [per 12 n 4.] Quod eſt propoſitum. Si autem ſumatur aliud punctũ ſn circulo, à quo z reflectatur ad h: probabitur, quòd ab alio puncto pyramidis, quàm p, refle ctetur z ad e. Et ſi reflectatur z ad h à tribus punctis circuli: reflectetur z a d e à tribus pũctis pyrami dis: ſi à quatuor, à quatuor. Si uerò dicatur, quòd à pluribus pũctis pyramidis,  quatuor, poſsit pun ctũ z reflecti ad e: per cõuerſionẽ prædictæ probatiõis poterit oſtendi, quòd punctũ z reflectitur ad h à pluribus punctis circuli quàm quatuor [contra 86 n.] Et ubi accidet punctũ z reflecti ad h ab ali quot punctis circuli, uel ab uno tantùm: accidet punctũ z reflecti ad e à totidem punctis pyramidis, aut ab uno tantùm, aut è contrario. Quòd ſi dicatur contrarium: poterit improbari prædicto modo. Palàm ergo, quòd punctorũ quædam unicã habent imaginẽ: quędam duas: quædã tres: quædã quatuor: ſed nõ poſsibile plures. Verùm duplici uiſu adhibito, ſpeculo: eiuſdem imaginis diuerſa erunt loca: quæ diuerſitas propter ſuam imperceptibilitatem non inducit errorem.

102. Viſu & uiſibili datis, in ſpeculo conico cauo punctum reflexionis inuenire. 21 p 9.

PVnctum autem reflexionis, à quo z reflectitur ad e, facile eſt inuenire: inuento puncto circuli, à quo punctum z reflectitur ad h. Et erit inuentio modo prædicto.

▼ Liber VI