Friedrich Risner, Alhaceni De Optica: Liber VI
▲ Liber V

Alhazen filii Alhayzen opticae liber sextvs.

Liber ſextus in nouẽ partes diuiditur. Pars prima eſt titulus libri. Secunda, quòd error accidat uiſui propter reflexionem. Tertia de errore eueniente in ſpeculis planis. Quarta de errore, qui oritur in ſpeculis ſphæricis exteriorib. Quinta de errore in ſpeculis columnaribus exterioribus. Sexta de errore in pyramidalibus exterioribus. Septima de errore in ſphæricis concauis. Octaua de errore in columnaribus concauis. Nona de errore in pyramidalibus concauis.

Prooemivm libri. CAP. I.

PAtuit ex ſuperioribus libris modus acquiſitionis formarum in ſpeculis per uiſum, ſitus linearum reflexionis & acceſſus, ſitus imaginum: & loca ipſarũ. Verùm per reflexionẽ non ſemper comprehenditur formæ ueritas. In ſpeculis enim concauis apparet imago faciei diſtorta, & occultatur uiſui diſpoſitio eius uera. Vnde planum eſt, errorẽ incide. re in comprehenſione formarum propter reflexionem. Huius erroris modum, & modi cauſſam, propoſitum eſt in libro præſente explanare, & ſecundum diuerſitates ſpeculorum diſcurre re uarietates errorum.

Qvód error accidat visvi propter reflexionem. Cap. II.

1. Viſus reflexus ſimiliter allucinatur, ut directus: ſed uebementius & frequentius. 7 p 5.

COmprehenſionem formarũ in uiſu directo liber ſecundus docuit: & ſingula, quę propter egreſſum à tẽperantia in uiſu illo errorẽ inducũt, liber tertius diligẽter expoſuit. Fit aũt comprehenſio formarũ per reflexionẽ, ſicut & directè: & quorũ fit acquiſitio in directione, fit eriã in reflexione, utpote lucis, coloris, figurę, magnitudinis, diſtantiæ, & ſimiliũ. Et quemadmodũ in di rectione rerum præfixarũ & cognitarũ ad alias fit collatio, & inde oritur cõiecturatio, & ſumitur iudiciũ in anima: ſimiliter accidit in reflexione. Vnde quæcunq temperamentũ egreſſa, in uiſu directo errorẽ efficiunt, in reflexione ſimiliter inducunt. Et ſecundũ ſingula maior accidit error in refle xione, propter lucẽ debilem, quã debilitat ipſa reflexio. Vt aũt generaliter loquamur, nõ poteſt in re flexione coprehendi ueritas formę, ſicut in directione, propter triplex impedimentũ reflexioni ſpeciale. Primũ eſt, quòd in reflexione apparet rei forma præ oculis uiſui oppoſita, cum non ſit reuera. Secundũ, quòd lux & color corporis uiſi miſcentur cum colore ſpeculi, quã mixturã uiſus percipit, nõ uerũ rei uiſę colorẽ uel lucem. Tertiũ, quòd ipſa reflexio, ut in ſuperioribus [4 n 4] eſt aſsignatũ, lucẽ & colorẽ debilitat. Quare in reflexione latebit uiſum ueritas lucis & coloris plus,  in directione. Amplius: ſuperiorà docuerunt, quòd quantitas temperamenti eorũ, quę in uiſu directo errorem inducunt, fortitudinẽ lucis & coloris reſpicit: fortiore enim luce uel colore erit maior, debiliore mihor. Cum autem per reflexionem debilitentur lux & color: erit latitudo temperamenti ſingulorum errorẽ inducentium minor in reflexione, quàm in directione: & temperantiæ diminuta latitudo plu ‡alitatem erroris inducit. Præterea quædam minutiæ corporum comprehendi poterunt per dire page 189 ctionem, quę nullatenus ſunt comprehenſibiles per reflexionem. Palàm ergo, quòd directionem ſu perat reflexio in maioritate errorum & numero.

De errore, qvi accidit in specvlis planis. Cap. III.

2. In ſpeculo plano imago æquatur uiſibili. 52 p 5.

IN ſingulis ſpeculis erronea formarum accidit comprehenſio, ſed iuxta uarietatem ſpeculorũ fi uarietas errorum. In ſpeculis planis minor accidit error, quàm in alijs. In his etenim comprehen ditur ueritas figuræ, & quantitatis, ſicut & in directione, quod per probationẽ patebit. Propona tur ſpeculũ planum: & ſit a b linea in ſuperficie illius ſpeculi, cõmunis ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei orthogonali ſuper ſuperficiem ſpeculi, [id eſt ſuperficiei reflexionis, quę per 13 n 4 perpendicularis eſt plano ſpeculo, uel plano ſpeculũ obliquũ in reflexionis puncto tangenti.] Sint l, f duo puncta in ſuperficie illa orthogonali: e centrum ui ſus: & à puncto l ducatur perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi[per 11 p 11] quæ ſit l h: & producatur, ut h g ſit æqualis l h. Similiter producatur perpendicularis f z, ut d f ſit æqualis z f. Palàm ex ſuperioribus [2.3 n 4] quòd l re flectitur ad e ab aliquo puncto ſpeculi: & locus imaginis eſt g [per 2 n 5] tantùm diſtans à ſuperficie ſpeculi, quantùm l [per 11 n 5.] Similiter f reflectitur ad e: & locus imaginis eſt d [per 2 n 5.] Ducta autẽ linea f l: & ſimiliter g d: quodcunq punctum lineæ f l reflectetur ad e: locus imaginis eius eſt tantùm diſtans à ſuperficie ſpeculi, quantũ ipſum punctũ. Et ita quo dlibet punctũ linéæ f l tantùm uidetur diſtare, quantùm diſtat! Vnde ſi linea f l fuerit re cta: erit linea d g recta: ſi fuerit arcus: erit d g arcus & eiuſdem curuitatis. Quare linea l fapparebit eiuſdem quantitatis, eiuſdem figuræ, cuius fuerit. Quod eſt propoſitum.

3. Viſus in reflexione præcipuè allucinatur propter lucis immoderationẽ: ſitus diuerſitatem: uiſus & uiſibilis à ſpeculo diſtantiam. 7 p 5.

VErùm ſi in punctis lineæ f l fuerit uarietas colorum minutim uariata: forſitan nõ diſcernetur uariatio, ſed una prætendetur uiſui coloris conſuſio. Vnde error erit in luce & colore. Et hoc in numero, propter reflexionẽ. Illa etenim colorum & lucium uarietas forſitan comprehendi poſſet directè, ſed egreſſus eſt color à tẽperantia reſpectu reflexionis, nõ reſpectu directionis. Similiter particulæ minutæ occultantur, aut confunduntur in reflexione, quæ diſcerni poſſent in dire ctione. Et propter debilitatẽ lucis uel coloris ex reflexione, accidit error in longitudine, qui quidẽ nõ accideret directè. In ſitu manifeſtè accidit error ex reflexione ſola. In imagine enim, ſiniſtra com prehendimus ea, quæ in corpore uiſo (ſi eſſet in loco imaginis) dextra uideremus. Cũ enim aliquid alij opponitur, contrarius eis ſitus eſt ad inuicem: quod enim uni fuerit dextrum, alij erit ſiniſtrum. Igitur quod rei uiſæ dextrum, eſt imagini ſiniſtrum: & ſiniſtrum in imagine, dextrum eſt uidenti. Et generabter in modo lucis, uel coloris, uel ſitus ſemper error accidit ex ſola reflexione. Et in alijs, quæ errorem inducunt directè: inducunt ſimiliter in reflexione: & facilius: quoniam temperamentum ſingulorum minus eſt in uiſu reflexo, quàm in directo. Horum omniũ unum proponatur exem plum, & idem in cæteris intelligatur. In uiſu directo cum fuerit corpus uiſum, remotum ab axibus uiſualibus, accidit ipſum uider‡ duo: [ut demonſtratum eſt 11 n 3] idem euenit in ſpeculis, re uiſa ab axibus elongata. In ſpeculis ab aliqua lõgitudine uidebitur corpus minus, quàm ſit, quod forſan directè à tanta longitudine uideretur etiã minus, quàm eſſet in ueritate, ſed non adeò minus. Et hoe minoritatis additamentum in ſpeculis, prouenit propter minus in longitudine temperamentũ. In figura nonnunquam accidit error in ſpeculis propter cauſſas, propter quas in uiſu directo: ſed maior & frequentior propter ſitum. Si aliquid ab aliqua longitudine opponatur ſpeculo, & eius capita non percipiantur à uiſu, ut funis, del aliquid tale: uidebitur forſitan continuũ ſpeculo. Idem accidit in uiſu directo, ſi opponatur funis aliquis foramini, & non uideantur capita funis: non apparebit di ſtantia inter funem & foramen, licet magna ſit. Et eſt propter ſitum. Si autem alterum capitum uideatur, alterum uerò non: uidebitur fortaſsis illud caput continuum. Et in ſingulis ubi directè error accidit: ſimiliter in reflexione.

De errore, qvi accidit in specvlis sphaericis conuexis. Cap. IIII.

4. In ſpeculo ſphærico cõuexo idẽ eſt ſitus, eadem́ diſpoſitio partiũ imaginis & uiſibilis. 35 p 6.

VNiuerſitas errorũ in ſpeculis planis accidentiũ, euenit ſimiliter in ſphæricis exterioribus. Et præter hoc res uiſa uidetur minor  ſit. Et generaliter in his ſpeculis nihil exre uiſa compre page 190 henditur in ueritate, præter ordinationẽ partiũ, quæ talis apparet in ſpeculo, qualis eſt in imagine.

5. In ſpeculo ſphærico conuexo, imago uiſibilis, cuius uera magnitudo uiſione directa percipi poteſt, minor eſt uiſibili. 39 p 6.

QVòd autem res ſemper uideatur minor, quàm ſit: probatur. Sit a b linea uiſa: z x ſpeculum: d centrum: e punctum uiſus. a reflectatur ad e à puncto h: b à puncto n. a b producta aut tranſi bit per centrum ſpeculi, aut non. Tranſeat: & ducatur à puncto n linea contingens circulum [per 17 p 3] quæ ſit n l: à puncto h contingens circulum, h m: & ducantur lineę acceſſus & reflexionis b n, e n, a h, e h: & producãtur lineæ e h, e n, donec cadant in perpendicalarẽ, quæ eſt a d: & puncta ca ſus ſint, t, q. Palàm [ք 3 n 5] quòd t eſt locus imaginis a: q eſt locus imaginis b. Dico, quòd a b maior eſt q t. Palàm ex ſuperioribus [18 n 5] quòd proportio a d ad d t, ſicut a m ad m t. Similiter ꝓportio b d ad d q, ſicut proportio b l ad l q: ſed [per 9 ax:] a d maior d b, & d t mi nor d q: ergo maior eſt proportio a m ad m t: quàm b l ad l q. [Quia enim è quatuor lineis a d prima maior eſt b d tertia, & d t ſecunda minor d q quarta: erit ratio a d ad d t maior quàm b d ad d q, ut patet ex 8 p 5: & per 11 p 5 ratio a m ad m t maior quàm b l ad l q.] Secetur [per 12 p 6] a m in pũcto f, ut proportio fm ad m t ſit, ſicut b l ad l q: erit er go minor proportio b m ad m t, quàm b l ad l q. [Nam cum m t ſit maior l q: erit ք 14 p 5 f m maior b l: quare per 8 p 5 ratio f m ad m t maior eſt, quàm b l ad eandem m t: ratio igitur b l ad m t minor eſt, quàm b l ad l q: ergo ratio b m ad m t multo minor erit,  b l ad l q.] Secetur [per 12 p 6] m t in puncto k, ut proportio b m ad m k ſit, ſicut b l ad l q. k cadet neceſſariò inter m & q: quia l q minor m q, & b l maior b m. Cũ igitur f m ad m t, ſicut b l ad l q, & ſicut b m ad m k: erit [per 19 p 5] proportio f b ad k t, ſicut b l ad l q: ſed b l, maior l q: [concluſum enim eſt ut b d ad d q, ſic b l ad l q: itaq cum b d ſit maior d q, erit b l maior l q] ergo f b maior k t. Quare a b maior q t. [quia a b maior eſt f b, quæ maior oſtẽſa eſt k t, & k t maior eſt q t. Quare a b multò maior eſt q t.] Quod eſt propoſitum. Si uerò linea a b producta non perueniat ad centrum: ducatur à puncto a linea ad cẽtrum: quæ ſit a d: & ſit d centrum: & à puncto b ducatur linea b d: & locus imaginis a ſit punctum g: locus imaginis b ſit p: & ducatur linea g p: quæ quidem eſt imago lineæ a b. Dico quòd a b maior eſt g p: quoniam g p aut eſt æquidiſtans a b, aut nõ. Si fuerit æquidiſtans, planum: quòd eſt minor. [Nam per 29.32 p 1 triangula a d b, & g d p ſunt æquiangula: ideoq́ per 4 p 6, ut a d ad d g, ſic a b ad g p: ſed per 9 ax. a d maior eſt d g: ergo a b maior eſt g p.] Si non fuerit æquidiſtans, producatur, quouſque concurrat cum ea: ſit concurſus z: & [per 31 p 1] à puncto p producatur æquidiſtans a b: quæ ſit p h. Angulus p g h aut eſt acutus: aut rectus: aut maior. Sit rectus uel maior: erit [per 19 p 1] latus p h maius p g: ſed [per 29. 32 p 1. 4 p 6] p h minus a b: [ideoq́ recta p g multò minor eſt a b.] Et ita eſt propoſitũ. Si fuerit acutus: poteſt accidere ut forma ſit maior ipſa re, cuius eſt forma: [quando nimirum angulus p g h minor eſt angulo p h g] quam licet, excedat: rarò accidet. Et ſi acciderit, forſitan comprehendetur forma à longitudine tali, quòd minor uidebitur quàm ſit: quoniam ipſum corpus ab hac longitudine forſitan uidebitur minus.

6. In ſpeculo ſphærico conuexo, imagouiſibilis, cuius uera magnitudo uiſione directa propter immoder at am diſtantiam percipi non poteſt: aliâs eſt æquabilis uiſibili: aliâs maior. 38 p 6.

page 191

QVòd aũt forma in his ſpeculis aliquando uideatur maior re uiſa: ſcilicet cum cõprehenditur à tali longitudine, à qua eius certa quantitas nõ poſsit diſcerni: declarabitur. Sit a centrum ſpeculi: & ſuperficies ſumatur reflexionis: quæ ſecabit ſpeculum ſuper circulum: [per 1 th. 1 ſphær.] ſit circulus ille e d b: e d diameter illius circuli: & producatur diameter e d uſq ad z, ut multi plicatio e z in z d ſit æqualis quadrato a d: quod planũ eſt, cum ſit poſsibile diametro e d talem addi lineam, ut ductus totalis in partem additam, ſit æqualis quadrato a d: [id uerò quomodo expeditè fiat, oſtenſum eſt 32 n 5] & diuidatur linea z d in partes æquales, in puncto h [per 10 p 1.] Erit igitur a h medietas e z. [Nam ſi a d, a e per 15 d 1 æquales, addantur æqualibus h d, h z: æquabitur a h ipſis z h & a e. Tota igitur e z dupla eſt ipſius a h.] Ductus ergo a h in h d erit æqualis quartæ parti quadrati a d. [Quia enim oblongum comprehenſum ſub e z & z d æquatur quadrato a d per fabricationem: ergo quod comprehend: tur ſub a h dimidiata baſi & z d altitudine eadem, æquatur dimidiato quadrato a d per 1 p 6: rurſusq́ oblongũ comprehenſum ſub a h baſi eadem & h d altitudine dimidiata, æquatur dimidiato oblongo ſub a h & z d. Quare æquatur quadranti quadrati a d.] Et quoniam ductus a h in h d maior eſt quadrato h d: [quia per 3 p 2 æquatur quadrato h d, & oblongo comprehenſo ſub a d, & d h] ſit ductus a h in h t, æqualis quadrato h d [fiet autem æqualis, ſi ipſis a h & h d tertiam proportionalem per 11 p 6 inueneris: tum enim per 17 p 6 oblongum extremarum æquabitur quadrato mediæ h d. Itaq ſi de h d detraxeris æqualem inuentæ proportionali, mandatum executus fueris.] Fiat circulus ſecundum quantitatem a h: & à puncto h producatur chorda, æqualis medietati lineæ h d: [per 1 p 4] quæ ſit h q: & producantur lineæ q a, q t: & [per 23 p 1] ſuper punctũ q fiat angulus, æqualis angulo q a h: qui ſit h q n. Cum ergo in his duobus triangulis hi duo anguli ſint æquales, & unus cõmunis, ſcilicet q h a: erit [per 32 p 1] tertius tertio æqualis, ſcilicet a q h angulo h n q: & erũt triangula ſimilia: [per 4 p. 1 d 6] & erit proportio a h ad h q, ſi cut h q ad h n. Igitur [per 17 p 6] q fit ex ductu a h in h n, æquale eſt quadrato h q: ſed, [per conſectariũ 4 p 2] quadra tum h q eſt quarta pars quadrati h d: cũ h q ſit medietas h d [per fabricationẽ.] Igitur multiplicatio a h in h n, ęqualis eſt quartæ parti multiplicationis a h in h t. Quare h n eſt quarta pars h t [per 1 p 6.] Igitur n cadit inter h & t: reſtat, ut ductus h t in t n ſint tres quartæ quadrati h t. [Quia enim h n eſt quadrans ipſius h t: reliqua igitur n t eſt dodrans, ſeu tres quartæ h t. Et quoniam rectangula comprehenſa ſub tota h t & ſegmentis n t & n h æquantur quadrato h t per 2 p 2: rectangulum igitur comprehenſum ſub tota h t & ſegmento t n (quod eſt dodrans totius h t) æquatur dodranti quadra ti h t.] Verùm angulus q h a acutus eſt: [ut oſtenſum eſt 60 n 5] & [per 5 p 1] æqualis angulo h q a: quia reſpiciunt æqualia latera in triangulo maiori. Igitur angulus q h n æqualis angulo h n q: [æqua lis enim concluſus eſt angulus a q h angulo h n q] & ita [per 6 p 1] h q æqualis q n, & angulus h n q acutus: quare [per 13 p 1] angulus q n t obtuſus. Quadratum igitur t q ſuperat quadratum q n & quadratum t n, ductu lineæ t n in h n. Quoniam, ut dicit Euclides [12 p 2] quadratum lateris oppoſiti obruſo ſuperat quadrata duorũ laterũ, quantũ eſt, quod fit ex ductu unius lateris bis in partẽ ei adiunctam, procedentẽ uſq ad locũ caſus perpendicularis à capite alterius lateris ductæ. Nam ſi à pũctò q ducatur perpendicularis ſuper lineam h t: cadet in punctũ medium lineæ h n: [non enim cadit extra puncta h & n: ſecus per 16 p 1 angulus acutus maior eſſet recto contra 12 d 1: caditigitur in medium rectæ h n per 26 p 1] & [per 1 p 2] ductus t n in medietatem h n bis, æquipollet ductui t n in h n. Igitur quadratum t q ſuperat quadrata q n, t n, ductu tn in n h. Sed [per 3 p 2] ductus t n in h n, cum quadrato tn, æqualis eſt ductui h t in tn. Igitur [ſubducto quadrato tn] ductus h t in t n eſt exceſſus quadrati t q ſupra quadratum h q. [nam quadratum q h æquatur quadrato q n: quia rectæ q h, q n æquales oſtenſæ ſunt.] Amplius: ſit proportio a i ad a h, ſicut q t ad q h: [per 12 p 6] erit [per 22 p 6] quadratum [ai] ad quadratum [a h] ficut quadratum [qt] ad quadratum [qh] & erit [per 17 p 5] proportio exceſſus quadrati a i ſupra quadratum a h, ad quadratum a h, ſicut ductus h t in t n, ad quadratum q h. [Nam a i maior eſt a h: quia q t maior eſt q h: cum quadratum q t ſit maius quadrato q h: & oblongũ com prehenſum ſub h t, t n eſt exuperantia quadrati q t ſupra quadra tum q h.] Et quoniã quadratum q h quater ſumptũ, efficit quadratum h d: [per conſectarium 4 p 2: quia q h dimidia eſt ipſius h d per fabricationẽ] & ductus h t in t n quater ſumptus, efficit triplũ quadrati h t: [oſtenſum eſt enim rectangulũ cõprehenſum ſub h t & t n, eſſe dodrantẽ quadrati h t: itaq quater ſumptũ, erit triplũ quadrati h t] erit [per 15 p 5] ductus h t in t n ad quadratũ h q, ſicut triplum quadrati h t ad quadratum h d. Sit autem h o tripla ad h t: erit ductus h o in h t triplus ad quadratum h t [per 1 p 6.] Sed quoniã proportio a h ad h d eſt, ſicut h d ad h t: [Nam per theſin rectangulum com prehenſum ſub a h & h t ęquatur quadrato h d: ergo per 17 p 6, ut a h ad h d, ſic h d ad h t] erit [per cõſectaria 20 p 6. 4 p 5] h t ad a h, ſicut quadratũ h t ad quadratum h d. Verùm proportio o h ad a h, ſicut ductus o h in h t ad ductum a h in h t [per 1 p 6] & [per 11 p 5] proportio o h ad h a, ſicut proportio tripli quadrati h t ad quadratũ h d. Sed hæc erat ꝓportio exceſſus quadrati a i ſupra quadratũ a h ad quadratũ a h. Igitur o h ad a h, ſicut exceſſus quadrati a i ſupra quadratũ a h ad quadratum a h. page 192 Igitur coniumctim [per 18 p 5] proportio o a ad a h, ſicut quadrati a i ad quadratũ a h: exceſſus enin‡ quadrati a i ſupra quadratũ a h, cum quadrato a h efficit quadratum a i: igitur [per conuerſionẽ cõſectarij ad 20 p 6] i a erit media in proportione inter o a & a h. Igitur proportio o a ad i a, ſicut i a ad h a: & [per 19 p 5] eadem erit proportio reſidui ad reſiduum: id eſt o i ad i h. Amplius: ductus a d in h d minor eſt quarta parte quadrati a d: [demonſtratum enim eſt rectangulum comprehenſum ſub a h & h d, æquari quadranti quadrati a d: & a d minor eſt quàm a h per 9 ax:] igitur h d eſt minor quarta parte lineæ a d. [nam ſi æqualis eſſet: rectangulũ comprehenſum ſub a d & h d, æquaretur quadranti quadrati a d per 1 p 6.] Igitur h d eſt minor quinta parte a h. Cũ ergo a h ſit maior quàm quintupla ad h d, & ductus eius in h t efficiat quadratũ h d: [per theſin] erit h t minor quinta parte h d: [nam per theſin & 17 p 6 eſt, ut a h ad h d, ſic h d ad h t: ſed per proximã concluſionẽ a h maior eſt, quàm quintu pla ipſius h d: ergo h d maior eſt quàm quintupla ipſius h t: ide‡q́ h t minor quinta parte ipſius h d] & ita h t minor uiceſima quinta parte h a. [Quia enim ratio h a ad h d, & h d ad h t maior eſt  quintu pla, ut patuit: erit per 10 d 5 ratio a h ad h t maior,  uicecupla quintupla: ideoq́ h t minor uiceſima quinta parte ipſius a h.] Sed proportio o i ad i h, ſicut i a ad a h, ut dictũ eſt. Igitur cõiunctim [per 18 p 5] o h ad i h, ſicut i a cũ a h ad a h. Igitur [per 15 p 5] tertia primę ad ſecũdã, ſicut tertia tertię ad quartã: ſed h t eſt tertia pars lineæ o h [nam per theſin h o tripla eſt ipſius h t.] Igitur t h ad i h eſt, ſicut tertia pars lineę i a, cũ tertia parte a h, ad lineã a h. Igitur t h ad i a, ſicut duę tertię lineę a h, cum tertia lineę i h, ad lineã a h. Sed quoniã linea o i eſt maior i h: [oſtenſum enim eſt, ut o a ad ia, ſic o i ad i h: at per 9 ax: o a maior eſt i a: ergo o i maior eſt i h] erit i h minor medietate o h: & erit tertia i h minor ſexta par te o h: & ita tertia i h erit minor medietate t h. Igitur duæ tertiæ a h, cum minore parte, quàm ſit medietas h t, ſe habebunt ad a h, ſicut t h ad i h. Igitur [per conſectariũ 4 p 5] i h ad h t, ſicut a h ad duas ſui tertias cum minore, quàm ſit medietas h t: ſed h t minor uiceſima quinta a h: & eius medietas mi nor quàm medietas uiceſimæ quintæ partis. Sed linea a h in uigintiquinq partes diuiſa: duæ tertiæ cum medietate uiceſimæ quintæ partis non efficiunt octodecim eius partes. [Nam ex arithmeticæ regulis intelliges 2/3 de 25 eſſe 16 integra, & ſupereſſe 2/3, quæ additæ cum eo, quod minus eſt 1/2 uel etiã cum 1/2, efficiunt 11/6. Itaq 2/3 cum 1/2 de 25, ſunt 171/6.] Igitur proportio i h ad h t maior eſt, quàm ſit proportio 25 ad 18. Item cum h t ſit minor uiceſima quinta parte a h: erit at maior uigintiquatuor partibus, quarum a h eſt uigintiquinq. Sed linea i h minor eſt medietate o h: & ita minor medietate h t: [quia h t & eius ſemiſsis efficiunt ſemiſſem ipſius o h: quo i h minor concluſa eſt] & ita minor una & dimidia uigintiquinq partium a h: & i a ita minor 261/2, ſumptis partibus ſecundum diuiſionem a h. Ergo proportio i a ad a t, ſicut minoris lineæ 261/2 ad maiorem 24. Igitur proportio i a ad a t minor eſt, quàm 261/2 ad 24. Sed proportio i h ad h t maior eſt, quàm 25 ad 18: igitur proportio i h ad h t maior eſt, quàm i a ad a t [ratio enim 25 ad 18 maior eſt,  261/2 ad 24, ut patet ex arithmethica.] Sit proportio i m ad m t, ſicut i a ad a t: [id autem efficies: ſirectæ ex i a & a t compoſitæ ſegmenta ſumas i a, a t: i t uerò inſectam ſimiliter ſeces per 10 p 6] cadet quidem m inter i & h. [Quia enim ratio lineæ i h ad h t maior eſt, quàm i m ad m t: erit i m minor i h: itaq punctum m cadit inter i & h: eritq́ per 9 ax: m t maior m h.] Item maior erit proportio i m ad m h, quàm i a ad a t: [Quia enim linea m t maior eſt m h è proxima concluſione: erit per 8 p 5 ratio i m ad m h maior, quàm ad m t: at ratio i m ad m t, eſt ratio i a ad a t per fabricationẽ.
Quare per 11 p 5 ratio i m ad m h maior eſt, quàm i a ad a t] & ita maior, quàm i a ad a h. [Quoniam enim ratio i m ad m h maior eſt, quàm i a ad a t è ſuperiore concluſione: ratio uerò i a ad a t maior eſt, quàm ad a h per 8 p 5: cum a t ſit maior ipſa a h per 9 ax. Ratio igitur i m ad m h multò maior eſt, quàm ratio i a ad a h.] Sit igitur proportio il ad lh, ſicut i a ad a h: [per 10 p 6] cadet quidem linter m & i. Amplius à punctis l, m ducantur contingentes l b, m g [per 17 p 3] & ducantur lineæ i b, h b, i g, t g, a b, a g: quæ duæ ultimæ producantur uſque ad exteriorem circulum: & habebitur ex quarto libro, quòd angulus i b z ſit æqualis angulo h b a [continuata enim h b in x: æquabuntur anguli i b z & x b z per 12 n 4: item x b z & h b a per 15 p 1: itaq per 1 ax. anguli i b z, h b a æquantur.] Cum igitur ſit proportio il ad l h, ſicut i a ad a h [per ſuperiorem fabricationem] erit [per 18 n 5] h locus imaginis i, dum reflectitur à puncto b. Et ſi dicatur cõtrarium, & ſumatur alius locus imaginis i: probabis per impoſsibile, ſumpta impoſsibilitate à proportione, quam non eſt uerum eſſe i a ad lineam à puncto imaginis ductam ad punctum a, ſicut i l ad lineam à puncto l ad locum imaginis. Cum igitur h ſit locus imaginis: & l b contingat circulum in b: producta a b faciet angulum l b z æqualem ſuo collaterali [a b l: quia uterq per 18 p 3 rectus eſt.] Et quoniã l b perpendicularis ſuper a b z [per 18 p 3] reſtabit angulus i b l æ qualis angulo l b h. [Nam page 193 recti l b z, a b l æquantur per 10 ax: & i b z æqualis cõcluſus eſt ipſi h b a: reliquus igitur i b l æquatur reliquo l b h.] Eodẽ modo erit angulus i g z æqualis angulo t g a. [Quia enim m g tangit, & per fabricationẽ eſt, ut i m ad m t, ſic i a ad a t: erit per 18 n 5 t locus imaginis pũcti i, reflexi à puncto ſpeculi g. Quare cõtinuata t g in x: æquabũtur per 12 n 4 anguli i g z, x g z: & per 15 p 1 x g z, t g a: quare i g z, t g a æquãtur.] Et cũ m g ſit perpendicularis ſuper a g z: [per 18 p 3] erit angulus i g m æqualis angulo m g t [quia enim anguli m g z, m g a per 18 p 3 recti ęquãtur per 10 ax: & i g z t g a æquales cõcluſi ſunt: reli qui igitur i g m, t g m ęquabũtur.] Amplius: ducatur à pũcto h ad lineã a b linea ęquidiſtãs i b [ք 31 p 1] quę ſit h p: & à pũcto t æquidiſtãs i g ad lineã a g: quę ſit t r: erit [ք 29 p 1] angulus i b z æqualis angulo h p b: Sed angulus i b z ęqualis angulo h b a, ut dictũ eſt: & ita duo anguli h b a, h p b ſũt ęquales. Qua re [ք 6 p 1] duo latera h b, h p ſunt ęqualia: ſimiliter t r ęqualis t g. Verũ angulus h p b eſt acutus: cũ ſit æqualis angulo i b z: [qui minor eſt recto l b z] erit igitur angulus h p a obtuſus: [ք 13 p 1] & erit [ք 19 p 1] a h maior h p. Similiter erit t a maior t g. Amplius: quoniã h p æquidiſtat i b: erit [per 29 p 1. 4 p 6] i a ad a h, ſicut a b ad a p: erit ſimiliter proportio i a ad a t, ſicut a g ad a r: & erit [per conſectariũ 4 p 5] proportio a h ad i a, ſicut a p ad a b: ſed i a ad a t, ſicut a b ad a r (cum a b ſit æqualis a g) [per 15 d 1.] Igitur [per 22 p 5] erit proportio a h ad a t, ſicut a p ad a r. Verùm cum angulus h p a ſit obtuſus [ut patuit] quadratum h a excedet quadratum h p & quadratum a p, multiplicatione a p in lineam ductam à puncto p uſq ad locum perpendicularis, ductæ à puncto h, bis [per 12 p 2.] Sed perpendicularis ducta à puncto h, cadet in medium lineæ p b: [non enim cadit extra puncta p, b: ſecus angulus acutus eſſet maior recto per 16 p 1: cadit igitur inter puncta p, b, & in medium lineæ p b per 26 p 1] cum h b, h p ſint æquales: & ita [per 1 p 2] quadratum h a excedet quadratum h p, & quadratum a p, in multiplicatione a p in p b: & ita quadratum a h excedit quadratum h p in multiplicatione a b in a p: quoniam [per 3 p 2] ductus a p in p b cum quadrato a p, ualet ductum a b in a p. Similiter quadratum a t excedit quadratum tr, in ductu a g in a r, ſiue a b in a r: quod idem eſt. [æquales enim ſunt a g, a b per 15 d 1.] Ducatur igitur linea a b in duas lineas a p & a r, & prouenient duo exceſſus. Igitur proportio exceſſus ad exceſſum, ſicut a p ad a r. [nam eadem altitudo a b multiplicans baſes a p & a r, facit duo rectangula æquantia duos exceſſus, proportionalia baſibus per 1 p 6.] Erit ergo proportio exceſſus quadrati a h ſupra quadratum h p; ad exceſſum quadrati a t ſupra quadratum t r, ſicut a h ad a t [patuit enim a p & a r proportionales eſſe ipſis a h & a t.] Et cum h p ſit æqualis h b, & t r, t g: erit [per 7 p 5] proportio exceſſus quadrati a h ſupra quadratum h b, ad exceſſum quadrati a t ſupra quadratum t g, ſicut a h ad a t. Sed multiplicatio e h in h d eſt æqualis quadrato lineæ, à puncto h ad circulum d b e contingenter ductæ: [per 36 p 3] & erit [tangens] minor h b. [Quia enim h b continuata ſecat peripheriam d b e: æquabitur oblongum comprehenſum ſub tota ſecante & exteriore ſegmento, quadrato rectæ ab eodem puncto h peripheriam tangentis per 36 p 3. Itaque per 17 p 6 ut exterius ſegmentum ad tangentem, ſic tangens ad totam ſecantem: at per 8 p 3 exterius ſegmentum minus eſt tangente: quare tangens minor eſt ſecante] & ita multiplicatio e h in h d minor eſt quadrato h b. Et fiat ductus a h in h u æqualis quadrato h b [ut oſtenſum eſt 32 n 5.] Ergo h u minor eſt h a. [Quia enim oblongum comprehenſum ſub h a & & h u æquatum eſt quadrato h b: erit per 17 p 6, ut h a ad h b, ſic h b ad h u: at h a maior eſt h b, ut patuit: ergo h b maior eſt h u: quare h a multò maior eſt h u] & quadratum a h eſt ęquale multiplicationi a h in a u & h u: [per 2 p 2.] Igi tur multiplicatio a h in a u erit exceſſus quadrati h a, ſupra quadratum h b. Igitur proportio a h ad a t, ſicut proportio multiplicationis a h in a u, ad exceſſum quadrati a t, ſupra quadratum t g. Et ſi duæ lineæ a h, a t ducantur in a u: erit proportio a h ad a t, ſicut proportio multiplicationis a h in a u, ad multiplicationem a t in a u [per 1 p 6: quia eadem altitudo a u multiplicat baſes a h & h t.] Igitur mul tiplicatio a t in a u, eſt exceſſus quadrati a t ſupra quadratum t g: erit ergo multiplicatio h a in h u, æqualis quadrato h b: & multiplicatio a t in t u æqualis quadrato t g. [Quia enim per 2 p 2 quadratum a t æquatur oblongis comprehenſis ſub a t & t u, item ſub a t & a u: & oblongũ comprehenſum ſub a t & a u, æquatur exuperantiæ quadrati a t ſupra quadratum t g per proximam concluſionẽ: reliquum igitur oblongum comprehenſum ſub a t & t u æquatur quadrato t g.] Amplius: arcus b g di uidatur per æqualia in puncto o [per 30 p 3] & ducatur a o: & [per 12 p 1] ducantur tres perpendicula res ſuper lineam h a: ſcilicet b f, o y, g k: & [per 31 p 1] à puncto g ducatur æquidiſtans h a: quę ſit g s: & [per 11 p 1] à puncto b ducatur perpendicularis ſuper a g: quæ ſit b c: hæc quidem b c, ſi produceretur uſq ad circulum [id eſt peripheriam circuli d b e] diuideret linea a g ipſam per æqualia [per 3 p 3] & arcum, cuius eſſet chorda: & ita ſecaretur alius arcus, ęqualis arcui b g: quoniam illum arcum reſpiceret angulus c b g: & ita angulus c b g eſt medietas anguli ſuper centrũ reſpicientis eundẽ arcũ, fecundũ Euclidẽ [20 p 3.] Igitur angulus c b g eſt medietas anguli g a b, [æquatur enim angulo ſubten denti peripheriã æqualem ipſi b g per 27 p 3] quẽ diuidit linea a o per ęqualia. Igitur angulus c b g eſt æqualis angulo o a g: Duo autem anguli b s g, b c g recti ſunt. Si igitur intelligatur circulus ſuper b g tranſiens per s, tranſibit per c[per conuerſionẽ 31 p 3 demonſtratam à Theone in cõmentarijs in 3 librum magnę cõſtructionis Ptolemei] & fiet arcus s c, ſuper quẽ cadent duo anguli c b s, c g s: igitur [per 27 p 3] hi duo anguli ſunt æquales. Sed angulus g a y æqualis eſt angulo c g s [per 29 p 1] propter æquidiſtantiá linearũ: [g s & y a] & ita angulus g a y æqualis angulo c b s. Et, ut dictũ eſt, angulus g b c ęqualis angulo o a g: erit angulus o a y æqualis angulo g b s: & erit triangulũ o a y ſimile triangulo g b s. Igitur proportio g b ad b s, ſicut o a ad a y, & proportio g b ad g s, ſicut o a ad o y. Amplius: cum angulus a h b ſit acutus [ut oſtenſum eſt 60 n 5] quadratũ a b minus eſt quadratis a h, h b, quantũ eſt page 194 illud, quod fit ex ductu a h in h f bis, ſecundũ quod dicit Euclides [13 p 2.] Igitur quadratũ a h cũ qua drato h b, ſuperat quadratum a d quæ eſt æqualis a b) in ductu a h in h f bis: & ita [per 1 p 2] in ductu a h in h d bis, & a h in d f bis: Sed [per 7 p 2] multiplicatio a h in h d bis, cum quadrato a d, eſt æqualis quadrato a h cum quadrato h d: & ita ablato cõmuni quadrato a d, cũ ductu a h in h d bis: reſtabit quadratũ h d cũ ductu a h in f d bis, æquale quadrato h b. Sed [per fabricationẽ] multiplicatio a h in h t æqualis eſt quadrato h d: & multiplicatio a h in h u, æqualis quadrato h b: erit ergo multiplicatio a h in h u, æqualis multiplicationi a h in h t, & multiplicationi a h in d f bis, ſubtractoq́ ductu a h in ‡ t(quẽ communẽ ponimus utriq multiplicationi.) [Quia enim oblonga cõprehenſa ſub a h t & ſub a h & t u, æquãtur oblongo cõprehenſo ſub a h u perip 2: ergo æquãtur oblõgis cõprehenſis ſub a h t & ſub a h & d f bis: cõmune igitur eſt oblongũ cõprehenſum ſub a h t] reſtabit multiplicatio a h in t u ęqualis multiplicationi a h in d f bis. Igitur t u eſt dupla d f: [Quia enim oblongũ comprehenſum ſub altitudine a h & baſi t u, æquatur duplici oblongo, comprehenſo ſub eadem altitudine & baſi d f:erit per 1 p 6 baſis t u dupla baſis d f.] Amplius: cũ angulus a t g ſit acutus [ut oſtenſũ eſt 60 n 5] erit ſecundũ prædictũ modũ, quadratũ a t cum quadrato t g, æquale quadrato a d, cũ ductu a t in t k bis: & ita [per 1 p 2] cũ ductu a t in t d bis, & in d k bis. Et probabitur modo prædicto, quòd quadratũ t g æquale eſt quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis: ſed ductus a t in t u, æqualis eſt quadrato t g [excõclu ſo] & ita æqualis quadrato t d, cũ ductu a t in d k bis. Sit aũt ductus a t in t æ æqualis quadrato t d [ut oſtenſũ eſt in principio huius numeri] reſtat ergo, ut ductus a t in æ u, ſit ęqualis ductui a t in d k bis, per ablationẽ cõmunis, qui eſt ductus a t in t æ [nam oblonga cõprehenſa ſub a t æ, itẽ ſub a t & æ u, æquãtur oblongo cõprehenſo ſub a t u per 1 p 2: ergo æquãtur oblongis cõprehenſis ſub a t æ ſemel, & ſub a t & d k bis. Cõmune igitur eſt a t æ, quo ſublato: reliquũ oblongũ coprehenſum ſub at & æ u æquatur oblongo ſub a t & d k bis cõprehenſo.] Igitur æ u eſt dupla k d [per 1 p 6] ſed iam dictũ eſt, quòd t u eſt dupla d f: reſtat ergo t æ dupla k f. Amplius: proportio a h ad h t eſt, ſicut a h ad h d dupli cata [per 10 d 5] h d enim media eſt in proportione interillas: cũ eius quadratũ ſit æquale ductui a h in h t [per fabricationẽ.] Et ſimiliter proportio a t ad t æ, ſicut a t ad t d duplicata [eſt enim ex ſabricatione & 17 p 6 a t ad t d, ſicut t d ad t æ.] Sed maior eſt proportio a t ad t d, quàm a h ad h d. [Quia enim h t minor eſt quinta parte h d, ut patuit: itaq ſi a t, uerbi gratia, ipſam t d quater contineat: a h eandem t d quater continebit, & h d ſemel. Quare a h nõ continebit h d quater. Ratio igitur a t ad t d maior eſt, quàm a h ad h d.] Et cum a h ſit maior a t: [per 9 ax:] erit h t maior t æ [quia enim a h maior eſt a t: erit ք 8 p 5 ratio a h ad t æ maior, quàm a t ad t æ: ſed ratio a t ad t æ maior eſt, quàm a h ad h t. Ergo per 11 p 5 ratio a h ad t æ maior eſt, quàm a h ad h t. Quare ք 10 p 5 h t maior eſt t æ.] Sed t æ dupla ad k f: ergo h t maior eſt, quàm dupla ad k f. Item. Vt dictũ eſt, proportio b g ad g s, ſicut o a ad o y, erit [per 16 p 5] b g ad o a, ſicut g s ad o y: ſed o a ęqualis b a [per 15 d 1] & g s ęqualis f k [per 34 p 1] propter ęquidiſtantiã: erit [per 7 p 5] proportio b g ad b a, ſicut f k ad o y. Amplius: quia i h minor eſt medietate o h [ut patuit] & o h tripla th: eriti h minor h t, & medietate ipſius: ſed h t minor quinta parte h d. Igitur i h minor eſt t d: quare i h multò minor n d: quare m i multò minor n d [quia m i minor eſt i h, quæ minor eſt n d.] Et palàm per hoc, quòd i cadit inter h & z. Amplius: quod fit ex ductu e z in z d, eſt æquale quadrato a d: [per theſin] igitur quod fit ex ductu e m in m d, eſt minus quadrato a d. Sed quoniam m g circulum d b e cõtingit, quod fit ex ductu e m in m d, eſt æquale quadrato m g, ſecundũ quod dicit Euclides [36 p 3.] Igitur m g eſt minor a d: igitur minor eſt a g. Amplius: triangula a g m, m g k habent unum angulũ communem [a d m] & utrunq eorum habet unũ angulum rectũ [ad g & k.] Igitur [per 32 p 1. 4 p. 1 d 6] ſunt ſimilia. Quare proportio m k ad k g, ſicut m g ad g a: & ita m k minor eſt k g [eſt enim m g minor g a ex concluſo.] Et cum [per 15 p 3] o y ſit maior g k: erit h d minor o y [quia h d minor eſt m k, & m k minor k g, & k g minor o y.] Amplius: quia a h ad h d, ſicut h d ad h t: [per theſin & 17 p 6] erit ſic [per 15 p 5] medietas h d ad medietatem h t: & ita a h ad h d, ſicut q h ad medietatem h t: cum q h ſit medietas h d: [per fabricationem] & ita a h ad q h, ſicut h d ad medietatem h t: & ita [per conſectarium 4 p 5] q h ad a h, ſicut medietas h t ad h d. Sed medietas h t maior eſt f k [demonſtratũ enim eſt ipſam h t maiorẽ eſſe, quàm duplam ipſius k f] & h d minor o y. Erit igitur proportio medietatis h t ad h d maior, quàm f k ad o y [ut conſtat ex 8 p 5.] Quare [per 11 p 5] erit proportio q h ad a h maior, quàm f k ad o y. Amplius: linea a q ſecat circulum e b d: ſit punctũ ſectiõis œ: & ducatur linea d œ: quę erit æquidiſtãs q h: [Quia enim tota a h æquatur toti a q, & pars a d parti a œ per 15 d 1: reliqua igitur d h ęquatur reliquę œ q: quare per 7 p 5, ut a d ad d h, ſic a œ ad œ q. Ita q per 2 p 6 œ d parallela eſt ipſi q h] eritq́ per 29 p 1. 4 p 6 proportio q h ad h a, ſicut œ ad d a: & ita proportio œ ad d a maior, quàm f k ad o y. Sed fk ad o y, ſicut g b ad b a [ex concluſo.] Erit igitur maior proportio œ d ad d a, quàm b g ad b a [id eſt ad d a: æquales enim ſunt d a & b a per 15 d 1] & ita œ d maior b g: [per 10 p 5] & arcus œ d maior arcu g b [per 28 p 3.] Amplius: producatur a q uſq ad punctũ s, ut ſit a s æqualis a i: [per 3 p 1] & ducatur linea s i: quę erit æquidiſtãs q h: [eodẽ argumẽto, quo œ d parallela cõcluſa eſt ipſi q h] & erit [per 29 p 1. 4 p 6] si ad q h, ſicut i a ad h a. Sed ſuprà poſitũ eſt, quòd i a ad a h, ſicut t q ad q h: erit igitur [per 9 p 5] si æqualis t q. Amplius: mutetur figura ad euitandam linearũ intricationẽ multiplicẽ, & propter defectũ literarũ ad diſtinctionẽ linearũ. Cum ergo i a ſit æqualis lineę, quã diximus a s: fiat circulus ſecundũ quantitatẽ ipſarũ, & loco s ponatur li tera n: & producantur a g i ab uſq ad circulũ hunc: & ſint a b c, a g r: & loco literæ œ ponamus f. Dictum eſt, quòd arcus d f maior eſt arcu b g: ſit arcus b m æqualis arcui d f: [fiet uerò æqualis, ſiad rectam a b eiusq́ punctũ a cõſtituatur per 23 p 1 angulus b a m æqualis angulo d a f: ſic enim per 33 p 6 page 195 peripheriæ b m & d f æquabũtur] & ducatur linea a m u: & lineę i b, i g, i m, n m: & linea q m: quę producatur uſq ad exteriorẽ circulũ: & cadat in punctũ z: & ducantur lineę z a, z g. Cum aũt arcus b m ſit æqualis arcui d f: addito cõmuni: [m d] erit arcus m f æqualis arcui d b: eritq́ [per 27 p 3] angulus n a m æqualis angulo i a b, & latera lateribus æqualia [per 15 d 1] erit [per 4 p 1] m n æqualis i b: & angulus n m a æqualis angulo i b a: & [per 13
p 1] angulus n m u angulo i b c. Et cũ poſi ta ſit ſuprà [in ſecunda figura] a q æqualis a h: erunt a q, a m latera æqualia a h, a b: & angulus [q a m] angulo [h a b per proximam cõcluſionẽ] erit [per 4 p 1] q m ęqua lis h b: & erit angulus q m a æqualis h b a, & q m n æqualis angulo h b i: [per 8 p 1] quoniã duo eius latera duobus illius æqualia: [nam m n æqualis cõcluſa eſt ipſi i b, & q m ipſi h b] & baſis, quæ eſt q n, eſt æqualis baſi h i: [nam a n, a i æquãtur per 15 d 1: itẽ a q, a h per theſin: reliqua igitur q n æquatur reliquæ h i] & angulus n m u æqualis angulo i b c, & i b c æqualis angu lo h b a: [ut oſtenſum eſt in ſecũda figura: ubi angulus i b z eſt hic i b c] & angulus h b a ęqualis angulo q m a: ergo n m u ęqua lis q m a. Et quoniam, ut poſuimus, q m z eſt linea recta: erit angulus q m a æqualis angulo u m z [ք 15 p 1: ideoq́ anguli n m u, z m u æquãtur. Quare punctũn reflectitur ad z à puncto m: [per 12 n 4] & locus imaginis ipſius q [per 3 n 5.] Hoctamen deeſt probationi, ut pateat m z totã eſſe extra circulũ: quod ſic patebit. Palàm, quod contingẽs ducta à pũcto b cadat inter i & h: [demõſtratũ enim eſt in prima figura punctũ l alterũ terminũ rectę tangentis peripheriã d b e in puncto b, cadere inter puncta i & h] & tanta eſt remotio puncti b à pun cto h, quãta eſt puncti m à pũcto q[æquales enim cõcluſę ſunt h b, q m] & i h æqualis n q. igitur contingẽs, ducta à puncto m cadet inter n & q. Igitur q m ſecat circulũ [quia tangẽte inferior eſt.] Quare tota m z eſt extra circulũ. Amplius: quoniã angulus n m u æ qualis eſt angulo u m z: erit arcus n u æqualis arcui u z. [Quia enim m n ęquatur ipſi m z: cõnexę igitur n u & u z æquãtur per 4 p 1. Quare per 28 p 3 peripherię n u, u z æquãtur] & erit angulus n a u æqualis angulo u a z [per 27 p 3.] Sed iam patuit, quòd angulus n a u æqualis eſt angulo i a c: igitur angulus i a c erit æqualis angulo u a z. Angulus uerò b a g aut erit æqualis angulo g a m: aut minor: aut maior. Sit æqualis. Si igitur ab angulo i a c ſubtrahatur angulus b a g, & ab angulo z a u angulus m a g: remanebit angulus i a g æqualis angulo z a g: & erit per 4 p 1 i g æqualis z g, & triangulũ triangulo: & erit angulus i g a æqualis angulo z a g: reſtabit igitur [per 13 p 1] angulus i g r æqualis angulo z g r. Fiat igitur angulo i g r æqualis angu lus t g a: per 23 p 1] erit angulus t g a æqualis angulo z g r. Si igitur t g producatur: ueniet ad z [ք con uerſionẽ 15 p 1 à Proclo ibidẽ demonſtratã.] Quare t g z linea recta [per 14 p 1.] Igitur i à puncto g re flectitur ad z: & locus imaginis eius eſt punctũ t. Si ergo z ſit uiſus: reflectẽtur ad ipſum duo pũctai, n à duobus punctis m, g: & loca imaginũ puncta t, q. Igitur linea t q erit imago lineæ i n. Probatũ aũt eſt ſuprà, quòd t q æqualis eſt i n. Et ita poteſt accidere in his ſpeculis imaginẽ eſſe æqualẽ rei uiſę. Si uerò angulus b a g fuerit maior angulo
g a m: erit angulus z a g maior àngulo i a g [mutua angulorum ſubductione, ut prius facta.] Sit angulus k a g æqualis angulo i a g. Quonia pũctũ k demiſsius puncto z, & punctũ m demiſsius pũcto g:linea k g ſecabit lineã z m: ſecet in pũctol. Igitur exiſtẽte uiſu in puncto l, reflectetur n ad ipſum à pũcto m: & locus imaginis q. Similiter i reflectetur ad ipſum: & locus imaginis eſt t ſecundum priorẽ probationẽ. Et ita t q imago eſt i n. Quod eſt propoſitũ. Si uerò angulus b a g f uerit minor angulo g a m: erit an gulus z a g minor angulo i a g. Sit angu lus o a g æqualis angulo i a g: & ducatur linea o g. Palàm, quòd i reflectitur ad o à puncto g. Linea o g aut ſecabit li neam z m q extra circulũ ſpeculi: aut nõ. Si ſecet extra, & uiſus fuerit inpuncto ſectionis: reflectẽtur ad ipſum duo puncta n, i: & loca imaginũ erunt t q. Et ita redit propoſitũ [quod erat imaginẽ æquari uiſibili.] Si forſan linea o g ſecet lineã z m q intra circulũ: nõ poterit applicari prędicta probatio. Sed page 196 dico, quòd extra hanc totalẽ ſuperficiem licebit inuenire punctũ, ad quod reflectãtur duo pũcta i, n à duobus ſpeculi punctis: & imago erit t q. Verbi gratia. Palàm, quòd angulus n a z duplus eſt ad angulũ c a b: [oſtenſum enim eſt peripherias n u & u z ęquari: itaq n z dupla eſt ipſius u z, & per 33 p 6 angulus n a z duplus ad angulũ n a u, ideoq́ duplus ad æqualẽ i a b] & angulus i a o duplus ad angu lum i a g, ſecundũ prædicta: [æquatus enim eſt o a g ipſi i a g: itaq totus i a o duplus eſt ad i a g] & an gulus n a z nõ excedit angulũ i a o in angulo maiore angulo n a i. [Quia enim anguli n a z & i a o dupli ſunt angulorũ i a b & i a g: & i a b exuperat angulũ i a g, angulo g a b (qui per theſin minor eſt angulo g a m) ergo angulus g a b minor eſt dimidiato angulo b a m (qui per 33 p 6 ęquatur angulo n a i, ob peripherias f d & m b æquales) angulus igitur g a b minor eſt dimidiato angulo n a i. Quare angu lus n a z exuperans angulũ i a o, duplo angulo g a b, nõ exuperat maiore angulo  ſit n a i] & duo anguli i a o, i a n maiores tertio, qui eſt n a z: & duo z a n, n a i maiores tertio i a o: & duo n a z, i a o maio res tertio n a i. Habemus ergo tres angulos [n a i, n a z, i a o] quorũ quilibet duo maiores ſunt tertio, & oẽs ſimul quatuor rectis minores: [quia non totũ circa centrum a locum replent.] Igitur [per 23 p 11] exillis licet facere angulũ corporalẽ. Fiat angulus ille ſuper a: & ſit linea s a erecta ſuper a: & angu lus i a s ſit ęqualis angulo i a o: & angulus n a s ęqualis angulo n a z: angulus n a i manebit immotus: & fiat linea a s æqualis lineæ a n uel a i: quæ oẽs ſunt æquales: & ꝓducãtur lineę t s, q s. Palàm, quoniã angulus t a s eſt æqualis angulo t a o [eſt enim t a pars lineæ i a [& duo latera [t a, & a o] lateribus duob. [t a & a s] erit [per 4 p 1] baſis t s ęqualis baſi t o, & triangulũ triãgulo: & ita angulus g t a æqua lis angulo s t a [ꝗ a g t pars eſt lineæ o t.]
Similiter angulus q a s ęqualis angulo q a z, & latera [q a, a s] lateribus: [q a, a z] & [per 4 p 1] triangulũ æquale triangulo: & angulus m q a æqualis angulo s q a [eſt enim m q pars lineę z q.] Diuidatur angulus t a s per æqua lia per lineam a y [per 9 p 1.] Sit y punctũ, in quo linea illa ſecabit lineã t s. Palàm, cũ angulus i a g ſit medietas angulii a o: erit angulus t a g æqualis angulo t a y, & angulus g t a æqualis y t a: & unũ latus cõmune, ſcili cet t a: erit [per 26 p 1] t g æqualis t y, & trian gulũ [y t a] triangulo: [g t a] & erit a y æqua lis a g: & ita y in ſuperficie ſpeculi: [cũ enim puncta g & y à centro a æquabiliter diſtent per concluſionẽ proximam: ſitq́ g ex theſi in ſpeculi ſuperficie: erit y in eadẽ.] Erit etiã angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera [i a, a g] lateribus [i a, a y] & [per 4 p 1] triangulum i a g triangulo [i a y] æquale: & erit angulus a g i ęqualis angulo a y i: & linea i y ꝓducta, æqua lis i g. Et producatur a y extra ſphęrã uſq ad punctũ p: reſtabit angulus i g r æqualis angulo i y p [ք 13 p 1.] Verũ cum t s ſit æqualis t o, & t y æqualis t g: [per cõcluſionẽ] reſtat g o æqualis y s. Igitur a y, y s æqualia, a g, g o: & baſis a s æqualis baſi a o: erit [per 8 p 1] triangulũ [a y s] ęquale triangulo: [a g o] & erit angulus a y s æqualis angulo a g o: reſtat [per 13 p 1] angulus s y p æqualis angulo o g r. Igitur duo anguli i g r, o g r æquales ſunt duobus angulis i y p, s y p. Verùm linea a s ſecabit ſphęrã: ſit punctum ſectionis e. Igitur tria pũcta e, y, d ſunt in ſuperficie ſphæræ. Quare linea e y d eſt pars circuli ſphærę: & eſt linea comunis ſuperficiei ſphærę & ſuperficiei reflexionis t s p. Quare punctũ i reflectitur ad punctũ s à puncto y: & locus imaginis eſt t. Similiter diuiſo angulo n a s per æqualia per ax: probabi tur modo prædicto, quòd q x æqualis eſt q m, & a x æqualis a m, & x s æqualis m z: & duo anguli n x æ & s x æ æquales duobus angulis n m u, z m u. Et ita n reflectetur ad s à puncto x: & locus imaginis q: & ita t q imago i n: [& ſic imago, ut prius, erit æqualis uiſibili: cum t q æqualis concluſa ſit ipſi i n.] Quod eſt propoſitũ. Amplius: ſi à puncto i ducatur perpendicularis ſuper n a: cadet inter n & q, non extra n: cũ angulus i n a ſit acutus: quoniá æqualis angulo n i a [ducta enim recta in, ęquabuntur anguli ad baſim i n per 5 p 1] & ſi caderet քpendicularis illa extra n: eſſet acutus maior recto [per 16 p 1.] Faciet ergo perpendicularis illa angulũ rectũ ſuper n q, quẽ angulũ reſpicit linea i n. Quare [ք 19 p 1] linea in maior eſt illa perpendiculari. Quare perpendicularis illa minor t q [ęquali ipſi in per cõclu ſionẽ.] Punctũ igitur lineę n q, in quod cadit perpẽdicularis, reflectitur ad punctũ s: imago uerò eius cadet in lineã n a [per 3 n 5] ſupra punctũ q. Quia quantò remotiora ſunt puncta, quę reflectũtur, tan tò loca imaginũ magis accedunt ad centrũ circuli [per 30 n 5.] Et quæcunq linea ducetur à puncto t [quod eſt imago puncti i, reflexi à puncto ſpeculi y] ad aliquod punctũ n q ſupra q: erit maior t q [per 19 p 1.] Igitur imago perpendicularis erit maior ipſa perpendiculari. [Quia enim t q æquatur ipſi i n, quę maior cõcluſa eſt perpendiculari: ergo t q imago perpendicularis eadẽ maior eſt.] Eodẽ modo quęcunq linea ducetur à puncto i ad n q, inter hanc perpendicularẽ & in: erit imago ipſius maior ipſa. Verùm determinentur hęc certius. Punctũ n quia reflectitur ad z à puncto m: & locus imaginis eſt q: linea z m q ſecat circulũ in puncto, quod eſt 3: cõtingens ergo ducta à pũcto z ad circulũ: cadet ſuper punctũ aliquod arcus m 3 [ſi enim z m tangeret: angulus z m a eſſet rectus per 18 p 3: quare per page 197 40 n 5 nulla fieret à pũcto m reflexio: multò igitur minus tangẽs à pũcto z, tanget citra punctũ m] ſi uerò caderet in punctũ 3, ſecaret peripheriã, nõ tangeret: cadit igitur in peripheriá m 3. & contingẽs illa cadet ſupra q: quoniá punctũ, in quod cadit, erit finis contingentiæ, & finis imaginũ: [per 17 n 5] & puncta ſub puncto illo, quod eſt finis cõtingentię, nõ poterũt reflecti: ſuperiora uerò poterũt. Igitur perpendicularis ducta à puncto i ſuper n q, ſi ceciderit ſupra punctũ, quod eſt finis cõtingentiæ: reflectetur punctũ, in quod cadit: & erit imago perpendicularis maior perpendiculari. Siuerò perpendicularis cadat in punctũ contingentiæ, aut infra: non reflectetur punctũ, in quod cadit. Quare nulla erit imago perpendicularis. Veruntamen quoniá finis cõtingentiæ eſt infra n: erunt inter finẽ cõtingentiæ & n infinita pũcta: quorũ quodlibet reflectetur: & erit imago cuiuslibet ſuper n q: & cu iuslibet lineę ductę à puncto i ad quodlibet illorũ punctorũ, erit imago maior linea, cuius fuerit ima go. Igitur accidit in his ſpeculis imaginem aliquando æqualem rei uiſæ: aliquando maiorem eſſe. Quod erat explanandum. Huius autem rei explanationem nec ſcriptam legimus, nec aliquem, qui dixiſſet, aut intellexiſſet, audiuimus.

7. Si duo uiſibilis pũcta à centro ſpeculi ſphærici cõuexi æquabiliter, à uiſu uerò inæquabiliter diſtẽt: imago & finis cõtingẽtiæ pũcti lõginquioris à uiſu, erũt lõginquiores à cẽtro ſpeculi. 4 p 6.

AMplius: in his ſpeculis lineæ rectæ uidentur curuæ, & in pluribus curuitate quidẽ ſpeculũ nõ reſpiciente, ſed ei aduerſa. Similiter curuæ apparebũt in his ſpeculis curuæ: & ſi curuitas ſpeculum reſpexerit, cõtrario ſitu apparebit. Et hoc quidẽ intelligendũ nõ in omnibus, ſed in pluribus. Ad cuius rei explanationẽ neceſſe eſt quędam antecedentia præmittere: quorũ unum eſt. Si fuerint duo puncta eiuſdẽ longitudinis à centro ſpeculi, & inæqualis lõgitudinis à centro uiſus: imago pun cti remotioris à centro uiſus erit remotior à centro ſpeculi,  propinquioris: & finis cõtingentię remotioris erit remotior à centro ſpeculi,  finis cõtingentię propinquioris: ſiue puncta illa ſint in eadem ſuperficie cum centro uiſus, ſiue in diuerſis. Sintt, d duo puncta æqualiter à g cẽtro ſpeculi remota: e centrũ uiſus: & d propinquius uiſui  t. Superficies cõmunis ſectionis d t g ſecabit ſpeculũ ſuper circulũ [per 1 th. 1 ſphæ.] qui ſit a b: & ſit angulus e g d æqualis angulo t g z: angulus e g t æqualis angulo t g h: & ſumatur in circulo punctũ, à quo t reflectatur ad z: [per 31. uel 39 n 5] quod ſit q. Di co, quòd t non reflectitur ad h ab aliquo puncto b q. Palàm, quòd non à puncto b [quia cũ ea ſit perpendicularis ſpeculo, reflectetur in ſeipſam, nõ ad h per 11 n 4.] Si aũt ſumatur punctũ quodcunq in b q: linea ducta à puncto h ad illud punctũ, ſecabit lineá q z. Igitur ad illud punctũ ſectionis reflectitur t ab aliquo puncto, ſumpto in b q: & ad idẽ ſectionis punctũ reflectitur à puncto q. Igitur t reflectitur ad idem punctum à duobus punctis illius circuli: quod impoſsibile in his ſpeculis, ut in libro quinto [29 n] patuit. Reſtat ergo, ut t reflectatur ad h ab aliquo puncto q a: ſit illud m: & [per 17 p 3] ‡ puncto m ducatur contingens circulum uſq ad lineam g t: quæ ſit m n. Erit n finis contingentiæ t, reſpectu h: [per 17 n 5] & à puncto q ducatur cõtin gens: quę ſit q o: quę quidẽ neceſſariò cadet ſub m n: [quòd enim non cadar in punctũ n, inde perſpi cuum eſt: quia ductis ſemidiametris g q, g m: angu li n q g, n m g per 18 p 3 recti, eſſent inęquales per 21 p 1 contra 10 ax: Si uerò cadat ultra n: erit per 21 p 1 angulus rectus obtuſo maior cótra 11 p 1] & produ catur z q uſq dum cadat ſuper g t in puncto p. [ca det aũt per 3 uel 16 n 5.] Erit p locus imaginis z. Erit ergo [per 18 n 5] proportio g t ad p g, ſicut t o ad o p: igitur maior erit proportio g t ad t n, quàm g t ad t o [per 8 p 5: quia t o màior eſt t n.] Ergo multò maior g t ad t n, quàm g p ad p n. [Quia enim ratio g t ad t n maior eſt,  ad t o ex concluſo: eſtq́ gt ad to, ſicut p g ad p o per 16 p 5. Ratio igitur t g ad tn maior eſt, quàm p g ad p o: ſed ratio p g ad p o maior eſt, quàm ad p n per 8 p 5. Ratio igitur g t ad t n multò maior eſt, quàm p g ad p n.] Sit ergo [per 10 p 6] g t ad t n, ſicut g l ad i n. Erit g l maior g p. Et eritl locus imaginis h [per 18 n 5: eſt enim per 16 p 5 g t ad g l, ſicut t n ad n l.] Sint ergo h g, e g, z g lineę æ quales: g f æqualis g p: g s æqualis g o. Cũ igitur angulus e g d ſit ęqualis angulo t g z [per fabricationẽ] & remotio d à puncto è, ſicut z à puncto t: [Quia enim rectæ e g, d g, z g, t g: itẽ anguli e g d, z g t æquantur per fabricationẽ: baſes e d, z t ęquabuntur per 4 p 1: ideoq́ puncta d, z ęqua biliter diſtabũt à punctis e & t] erit imago d reſpectu e tantùm eleuata in linea g d, quantùm imago t reſpectu z in linea g t: erit igitur imago d in puncto f: & ſimiliter finis cõtingentię d, reſpectu e erit al titudinis eiuſdẽ, cuius eſt finis cõtingẽtię pũcti t, reſpectu z. Quare erit finis cõtingẽtiæ d in pũcto s. Verùm quoniá angulus e g t æqualis eſt angulo t g h, & h g æqualis e g: [per fabricationẽ] erit l imagot, reſpectue, ſicut eſt reſpectu puncti h: & n finis cõtingentiæ reſpectu e, ſicut eſt reſpectu pũcti h. page 198 Quare imago puncti remotioris ab e remotior eſt à centro, imagine propinquioris: & finis contingentiæ remotioris remotior à centro, fine propinquioris. Quod erat propoſitum.

8. Si data recta in duobus punctis ſecta, ſit ad alterũ extremorũ ſegmentorũ, ut reliquũ extremum ad intermediũ: & ab altero ipſius termino, ſectionum́ punctis tres rectæ in eodẽ pun cto cõcurrant: recta à reliquo termino ſecãs cõcurrentes, ſecabitur proportionaliter datæ. 123 p 1.

AMplius: propoſita linea a b, & diuiſa in punctis g, d, ut ſit proportio a b ad b d, ſicut a g ad g d: ſi à punctis ſectionũ ducantur tres lineæ concurrentes in punctum unum, ſcilicet g e, d e, b e: & à puncto a ducatur linea ſecans illas tres lineas: Dico, quòd linea illa diuiſa erit ſecundum prædictam proportionẽ. Ducatur linea a c ſecans tria latera g e, d e, b e in tribus punctis z, h, c. Dico quòd proportio a c ad c h, ſicut a z ad z h. Ducatur [per 31 p 1] à puncto h æquidiſtans a b: quæ ſit h q. Palàm [è demonſtratis à Theone ad 5 d 6] quòd proportio a b ad b d, conſtat ex proportionibus a b ad h q, & h q ad b d. Sed quoniã q h æquidiſtat a b: erit triangulũ c q h ſimile triangulo c a b:] per 29 p 1.4 p. 1 d 6] & erit proportio a b ad q h, ſicut a c ad c h. Similiter triangulũ q e h ſimile triangulo b e d: igitur erit porportio q h ad b d, ſicut h e ad e d. Ergo proportio a b ad b d, cõſtat ex proportionibus a c ad c h & h e ad e d. Producatur q h, uſq dum cadat ſuper e g in puncto m. [cadet aũt per lemma Procli ad 29 p 1] Proportio igitur a g ad g d, conſtat ex proportionibus a g ad h m, & h m ad g d. Sed cum [per 29 p 1] angulus e m h ſit æqualis angulo z g d: erit [per 13 p 1] angulus h m zæqualis angulo z g a: & erit triangulũ a z g ſimile triangulo h m z [quia enim anguli aduerticem z æquantur per 15 p 1: æquabitur per 32 p 1 tertius m h z tertio g a z. Quare per 4 p.1 d 6 triangula h m z, a g z ſunt ſimilia.] Et erit proportio a z ad z h ſicut a g ad h m. Sed [per 29 p 1.4 p.1 d 6] triangulum h e m ſimile eſt triangulo g e d: erit igitur proportio h m ad g d, ſicut h e ad e d. Igitur proportio a g ad g d, conſtat ex proportione a z ad z h, & h e ad e d: & eadẽ eſt a g ad g d, quæ a b ad b d [pertheſin.] Igitur illa eadem cõſtat ex proportionibus a z ad z h & h e ad e d. Igitur [ſubducta utrinq ratione h c ad e d] eadẽ erit proportio a c ad c h, quę eſt a z ad z h. Et ita eſt propoſitũ. Eadem erit probatio, quęcunq linea duca rur à puncto a, ſecans lineas illas tres concurrentes. Et ſi ducantur aliæ tres lineę à tribus punctis g, d, b, ad aliud punctũ quàm e cõcurrentes, & à puncto a ducatur linea quæcũq, ſecans eas: diuidetur ſecundum prædictã proportionẽ. Et ita quocunq modo concurrãt tres lineę. Et ſi tres lineę e g, e d, e b producantur ultra tria puncta b, d, g ex alia parte: & à puncto a ducantur lineæ, ſecantes eas ex il la alia parte: nunquam illæ lineæ diuidentur ſecundum prædictam proportionem.

9. Si duæ rectæ facientes angulum, ſimiliter́ in duobus punctis ita ſectæ (ut tota ſit ad alterũ extremorũ ſegmentorũ, ſicut reliquum extremum ad intermedium) baſi infinita cõnect antur: rectæ per pũcta ſectionũ utriuſ, cũ baſi & inter ſe cõcurrẽtes, in eodẽ puncto cõcurrẽt. 124 p 1.

AMplius: data linea a b prædicto modo diuiſa: ſi à puncto a ducatur alia linea, uelut a c, quæ di uidatur iuxta eandem proportionẽ: & à punctis diuiſionũ a b ducantur lineę ad puncta diui ſionũ a c, quę quidẽ nõ ſint æquidiſtãtes: Dico quòd illæ tres concurrent in uno & eodẽ puncto. Sit proportio ac ad c h, ſicut a z ad z h. Et quia b c, d h non ſunt æquidiſtantes [ex theſi] igitur concurrent in ali quo puncto: quod ſit e. Linea g z aut concurret ad idem punctũ: aut non. Si ad idem: habemus propoſi tum. Si nõ, ducatur linea e g: ſecabit quidem lineã a c in alio puncto quàm z: ſit illud punctũ l. Erit ergo proportio a c ad c h, ſicut a l ad l h iuxta priorẽ probationem [præcedentis numeri] ſed poſitum eſt a c ad ch, ſicut a z ad z h. Et ita impoſsibile [nempe totum æquari ſuæ parti. Quia enim per præcedentem numerum eſt, ut a l ad l h, ſic a c ad c h, & ex theſi, ut a c ad ch, ſic a z ad z h: erit per 11 p 5, ut a l ad l h, ſic a z ad z h & per 18 p 5, ut a h ad h l, ſic a h ad h z. Quare cum a h ad duas rectas h l, h z eandem habeat rationem, æquabuntur ipſæ inter ſe per 9 p 5: & ſic tota h l erit æqualis parti h z.] Similiter, ſi ponatur, quòd li nea g z concurrat cum d h ad punctum e: probabitur hoc modo, quòd linea b c concurrat ad idem page 199 Similiter ſi ponatur, quòd g z, b c concurrant ad punctum e: probabitur, quòd d h concurret ad idem.

10. Si data recta in duobus punctis ſecta, ſit ad alterum extremorum ſegmẽtorum, ſicut reliquum extremum ad intermedium: & ab altero ipſius termino, ſectionum́ punctis tres rectæ lineæ ſint parallelæ: recta à reliquo termino ſecan s parallelas, ſecabitur proportionaliter datæ. 122 p 1.

AMplius: diuiſa ab ſecundum hanc proportionem: ſi fuerint lineæ g z, d h, b c æquidiſtãtes: & ducatur ac diuidens illas: erit ac diuiſa ſecundum hanc proportionem. Cum d h ſit æquidiſtans g z: erit [per 2 p 6] proportio a z ad z h, ſicut a g ad g d: & cum b c ſit æquidiſtãs d h: erit [per 2 p 6. 18 p 5] a b ad b d, ſicut a c ad c h: ſed [ex theſi] a b ad b d, ſicut a g ad g d: erit [per 11 p 5] a c ad ch, ſicut a z ad z h. Et ita patet propoſitum. His præmiſsis, accedamus ad propoſitum.

11. Sirecta linea à uiſu ſit perpendicularis ſuperficiei incidentiæ: imago peripheriæ concentricæ peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi ſphærici cõuexi) uidebitur curua, & par allela ipſi peripheriæ concentricæ. 46 p 6.

PRimum de arcu declaremus, qnomodo in his ſpeculis imago eius ſit curua, curuitate quidem ſpeculum non reſpiciente, ſed centrũ. Verbi gratia: ſit ab arcus oppoſitus ſpeculo: & ſit g centrum illius arcus, & ſimiliter centrum ſpeculi: d cẽtrum uiſus: & ducantur lineæ d g, a g, b g: & ſumatur e in arcu a b quocunq modo: & ducatur linea e g. Linea uerò d g non ſit in ſuperficie a b g. Linea igitur d g aut erit orthogonalis ſuper ſuperficiẽ a b g: aut declinata. Sit orthogonalis: erunt anguli d g a, d g e, d g b æquales [quia per 3 d 11 recti ſunt] & [per 15 d 1] latera lateribus. Quare [per 4 p 1] baſes baſibus. Igitur omnia puncta arcus a b eiuſdem longitudinis erũt à centro uiſus. Quare imagines omniũ punctorũ, eiuſdẽ longitudinis ſunt â cẽtro: ſintq́ q, m, l imagines ipſorũ a, e, b. Erit igitur g q ęqualis g m, g l. Quare q m l erit arcus: [per 9 p 3] & cõuexitas ipſius reſpectu cen tri, non reſpectu ſpeculi, ſiue loci reflexionis. Quod eſt propoſitum.

12. Si recta linea à uiſu ſit obliqua ſuperficiei incidentiæ: imago peripheriæ concentricæ peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conucxi) uidebitur curua, non parallela peripheriæ concentricæ. 47 p 6.

SI uerò linea d g non fuerit perpẽdicularis ſuper ſuperficiem a b g: ducta perpendiculari à puncto d ſuper hanc ſuperficiem: [per 11 p 11] cum [per 5 n 5] illa perpendicularis ſit minor omnibus lineis ductis à puncto d ad hanc ſuperficiem: erit angulus, quem continet hæc perpendicularis uerſus g, minor quolibet angulo uerſus punctũ g intellecto, quem continet alia linea à puncto d ad hanc ſuperficiem ducta [per 16 p 1.] Et linea ducta à puncto d ad hanc ſuperficiem, quantò remotior erit à perpendiculari, tantò maior erit, & continebit maiorem angulum uerſus g [per 21 p 1.] Si ergo hæc perpendicularis non cadat in arcum a e b, ſed ex parte una: erunt omnes lineæ ductæ à puncto d ad hunc arcum, declinatæ ad partem unam: & remotiores maiores, & maiorem angulum continentes uerſus g. Sit ergo: & ſumantur tria puncta in arcu, ſcilicet e, c, b: finis contingentiæ puncti b ſit l: finis contingẽtiæ puncti c, ſit m. Quoniam igitur c propinquius d, quam b: erit in propinquius g quàm l: [per 7 n] & ita c m maior b l [quia gc, g b ęquantur per 15 d 1] q ſit imago c: timago b: & ducatur t q: & ducantur lineæ c b, m l: quæ quidem productæ concurrent. Si enim à puncto m duceretur æquidiſtans c b, ſecaret ex g b lineam æqualem c m [eſſet enim per 2 p 6 18 p 5, ut g c ad c m, ſic g b ad rectam, quam ſecat parallela à pũcto m ducta ex g b: itaq, cum g c, g b æquentur per 15 d 1: æquaretur c m, ſectæ per parallelam ex g b: ſed c m, ut patuit, maior eſt b l: quare c b, m l productæ concurrent.] Concurrant in puncto o. Et quoniam proportio g c ad c m, ſicut g q ad q m [eſt enim per 18 n 5, ut c g ad g q, ſic c m ad m q: ergo per 16 p 5, ut c g ad c m, ſic g q ad q m.] Similiter g b ad b l, ſicut g t ad t l: ergo linea q t concurret cum lineis c b, m l [per 9 n.] Sit concurſus in puncto o. Finis contingentiæ puncti e ſit n. Quoniam punctum n demiſsius eſt puncto m: [per 7 n] erit e n maior c m: ductis ergo lineis e c, m n, concurrent [ut antea.] Sit concurſus in page 200 puncto p: & ducatur linea q p: & procedat, donec cadat ſuper e g in pũcto f: & ducatur linea t q uſq ad e g: & cadat in pũctum k. Palàm, quòd k erit ſupra f [ꝗa punctum n humilius eſt puncto m.] Verùm cũ proportio g c ad c m, ſicut g q ad q m [ut patuit] & à punctis diuiſionũ ducantur tres lineæ concurrẽtes, in aliam partem productæ ſecabunt lineam e g ſecundum prædictã proportionẽ [per 8 n.] Quare proportio g e ad e n, ſicut g f ad f n: ſed n eſt finis cõtingentiæ. Quare flocus eſt imaginis [per 18 n 5.] Igitur linea f q t erit imago arcus e c b: & erit linea curua, non recta: quoniam t q k eſt recta: & curuitas lineæ non eſt ex parte ſpeculi. Similiter ſi perpendicularis à puncto d cadat ex alia parte arcus: ſimilis erit probatio. Si uerò cadat perpendicularis in medium arcus a b: lineæ à puncto d ex diuerſis partibus ad arcum ductæ, æqualiter diſtantes à perpendiculari: erunt æquales, & æquales angulos continebunt uerſus g: & imagines à g æqualiter diſtabunt: & fines contingentiæ ſimiliter. Et licebit probare prædicto modo de utraq parte arcus per ſe, ſecundum quod diuiditur à perpendiculari: quòd eius imago ſit linea curua modo prædicto. Quod eſt propoſitum.

13. Si uiſus ſit extra ſuperficiem incidentiæ: imago peripheriæ eccentricæ peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflex ionis & ſpeculi ſphærici conuexi) uidebitur magis curua, quàm imago peripheriæ concentricæ. 48 p 6.

AMplius: ſumatur circulus, cuius centrum non ſit centrum ſpeculi, ueruntamen ſit in eadem ſuperficie cum centro ſpeculi. Dico, quòd ſi in hoc circulo exteriore ſumatur arcus ex parte cẽtri ſpeculi, propinquior ei ſecundum medium eius punctum, erit imago eius curua. Dato enim hoc arcu: ducatur linea à centro ſpeculi ad centrum exterioris circuli: & producatur hæc linea uſq ad arcum datum: linea ducta à centro ſpeculi ad hunc arcum, quæ eſt pars diametri maioris circuli, erit breuior omnibus lineis ductis ab eodem centro ſpeculi ad illum arcum [per 7 p 3.] Et à centro ſpeculi poſſunt duci ad arcum datũ duæ lineæ æquales à diuerſis partibus huius breuis [per 7 p 3] quæ quidem maiores erũt illa breui. Et ſi ſecundum alteram illarum fiat circulus, cuius centrum ſit ſpeculi centrum: tranſibit per capita harum duarum linearum arcus excedens arcum datum. Et palàm, quòd imago huius arcus excedentis, erit linea curua ſecundum prædicta [11.12 n:] Et imagines punctorum huic arcui & arcui dato communium eædem: & medium punctum arcus excedentis eſt remotius à centro ſpeculi, quam punctũ arcus dati, quod ipſum reſpicit. Quare eius imago propinquior eſt centro, quã imago puncti arcus dati illum reſpicientis. Et ita cuiuslibet puncti arcus exterioris imago propinquior eſt cẽtro, imagine puncti arcus dati, quod ipſum reſpicit. Quare imago arcus dati curuior, quã imago arcus exterioris. Quare imago arcus dati curua eſt. Quod eſt propoſitum.

14. Si uiſus ſit extra ſuperficiem incidentiæ: imago lineæ rectæ, parallelæ rectæ tangẽti peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) uidebitur curua. 49 p 6.

AMplius: quòd lineę rectæ imago in his ſpeculis ſit curua, probatur ſic. Sit a b linea uiſa: g cen trum ſpeculi: ducantur lineæ a g, b g. Hæ aut ſunt æquales: aut non. Si æquales: fiat circulus, cuius g centrum, ſecundum quantitatem illarum: qui ſit a e b: cadet quidem linea a b intra circulum. Palàm ex prædictis [11.12 n] quòd imago arcus a e b erit curua. Sit igitur imago eius z t h: imago a ſit z: imago b ſit h: imago e ſit t: & ducatur g e ſecans a b in puncto f. Palàm, quòd e eſt in eadem linea cum f, remotior à centro g. Erit ergo eius imago propinquior centro, quàm fimago [per 30 n 5.] Sit ergo m. Palàm ergo, quòd linea z m h eſt imago lineæ a b: [imagines enim punctorum a & b communium eædem permanent] & eſt linea curua. Quod eſt propoſitum.

page 201

15. Si uiſus ſit extra ſuperficiem incidẽtiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, nec parallelæ, nec tangentis, nec ſecantis peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici cõuexi) uidebitur curua. 50 p 6.

SI uerò lineæ a g, b g fuerint inæquales: linea a b protracta aut ſecabit ſpeculũ: aut non. Sit quòd nõ ſecet: & ſit a g maior g b: & fiat circulus ſuper g ad quantitatem a g: qui ſit a e q: & producatur a b, quouſq ca datin circulũ ex parte b: cadat in pun ctum e. Patet ex ſuperioribus [11 uel 12 n] quòd imago arcus a e eſt curua. Punctum imaginis a ſit z: punctũ ima ginis e ſit m: erit z m imago arcus a e. Et quoniam imago pũcti b remotior eſt à cẽtro, quàm imago puncti e: erit imago lineæ a b curua: quod etiã per puncta media arcus a e & lineæ a b fa ciliter poterit probari. Quod eſt propoſitum.

16. Si uiſus ſit extra ſuperficiem incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, tangentis peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) uidebitur curua. 51 p 6.

SI uerò linea a b tangit ſpeculum: aut ſecabit: aut continget. Tangat primò: & g ſit cẽtrum ſpeculi: & ducantur lineæ a g, b g. Superficies a b g ſecabit ſpeculum ſuper circulum communem [per 1 th. 1 ſphær.] qui ſit e h z. Palàm, quòd linea a b continget ſpeculum in hoc circulo [ſunt enim peripheria e h z, & recta a b in eodem incidentiæ plano: & a b continuata tangit ſpeculum ex theſi. Quare tangit in peripheria e h z.] Contingat in puncto e. Protrahatur ergo a b uſq ad e: d ſit centrum uiſus. Superficies, in qua ſunt lineæ d g, a g ſecabit ſpeculum ſuper circulum, communem ſuperficiei reflexionis & ſpeculi [per 1 th. 1 ſphær.] Sit arcus illius circuli z p: ſimiliter linea communis ſuperficiei reflexionis & ſpeculi, in qua ſunt d g, b g: & arcus illius circuli ſit h p. Palam [è 29 n 5] quòd b reflectitur ad d ab aliquo puncto arcus h p. Si à puncto illo ducatur contingens: ſecabit lineam b g, & punctum ſectionis erit finis contingentiæ [per 17 n 5.] Sit punctum illud m. Palàm etiam, quòd ſi à puncto m ducatur contingens arcum circuli e h: cadet contingens illa citra e: quoniam a b contingit in puncto e, & punctũ b eſt altius puncto m. Cadat igitur in punctum f: quæ con tingens producta ſecabit lineam a e: ſecet in puncto t: ex alia parte ſecabit lineam a g: [per 11 ax] ſecet in puncto c. Fiat [per 23 p 1] angulus b g s æqualis angulo b g d: & producatur g s uſq ad punctum l ad æqualitatem lineæ d g: erit ergo [per 26 p 3] arcus h s æqualis arcui h p. Et ſicut reflectitur b ad d, ab aliquo puncto arcus h p: ſic reflectetur ad l, ab aliquo puncto arcus h s. Et erit reflexio à puncto f, ſicut in arcu h p eſt reflexio à puncto, à quo ducitur contingẽs ad punctũm. Et illa duo puncta ſunt eiuſdem longitudinis à pũcto m. [Si enim duæ rectæ ab eodem puncto peripheriam tangentes, duabus ſemidiametris connectantur: recta à centro ad idẽ pun ctum ducta bifariam ſecabit angulum in centro per 2 conſectarium 36 p 3.15 d. 8 p 1: & peripheriæ angulis in centro æqualibus ſubtenſæ, & rectę eaſdem peripherias ſubtendentes æquabuntur per 26. 29 p 3: quare prædicta duo reflexionũ puncta à puncto m æquabiliter diſtabunt.] Ducantur ergo lineę b f, l f. Item a reflectatur ad d ab aliquo puncto arcus z p [per 29 n 5.] Verùm in triangulo h z p duo arcus h z, h p maiores ſunt tertio z p: [ք 5 th. 1 ſphæricorũ Menelai] ſed h p eſt æqualis h s [ex cõcluſo.] Igitur z p eſt minor z s. Reſcindatur z s ad æqualitatẽ in pũcto y [id uerò promptè præſtiterís, ſi latus anguli ad terminũ g rectæ g z, æquati angulo z g p, in peripheriã cõtinuaueris: ſic enim peripheria angulo æquato ſubtenſa æquabitur peripheriæ z p per 33 p 6] & ducatur linea g y, quę ꝓducta ad æqualitatẽ g d, neceſſariò ſecabit lineã f l [quia ſecat angulũ z g l.] Secet in pũcto x: & ſit g x k æqualis g d. Palàm, quòd ſicut a reflectitur ad d, ab aliquo puncto arcus z p: ſimiliter reflectitur ad k, ab aliquo puncto arcus z y. Dico, quòd non reflectetur ad ipſum, niſi à pũcto, quod eſt citra f, ex parte z. Si enim dicatur, quòd poſsit à puncto f, uel alio puncto arcus f y: linea ducta à pũcto a ad punctũ reflexionis, ſecabit lineam b f: & ad idem punctum ſectionis reflectetur punctum k, & ad idẽ punctum reflectetur page 202 punctum b. Et ita duo puncta in his ſpeculis reflectentur ad idem punctum ex eadem parte: quod eſt impoſsibile [& contra 29 n 5.] Reſtat, ut punctum a reflectatur ad k, ab aliquo puncto arcus z f. Si ab illo puncto ducatur contingens: ſecabit lineam a z, & cadet inter z & c: quoniam punctum f demiſsius eſt quolibet puncto arcus z f: & ita contingens à puncto f altior alijs, à punctis arcus z f ductis. Cadat ergo contingens illa in punctum n: & ducatur linea m n: quę quidem linea cum tranſeat per acumen trianguli b m t, & producta diuidat angulum, neceſſariò ſecabit b t. Secet in puncto q: & ducatur linea g q. Sit autem i imago puncti a: o ſit imago puncti b: r ſit imago puncti q. Palàm, cum b ſit propinquius puncto g, quàm a: erit o remotior à puncto g, quàm c [per 7 n.] Ducatur ergo linea i o. Palàm etiam [per 18 n 5.16 p 5] quòd proportio a g ad a n, ſicut g i ad i n: & proportio b‡g ad b m, ſicut g o ad o m. Cum ergo lineæ a g, b g diuidantur ſecundũ hanc proportionem, utraq in duobus punctis, & à punctis diuiſionum ducantur lineæ, quarum duæ, ſcilicet a b, n m concurrant ad idem punctum, ſcilicet q: tertia neceſſariò concurret ad idem punctum [per 9 n.] Igitur i o ꝓducta cadet ſuper q. Quare i o q eſt recta linea. Igitur i o r nõ erit recta: ſed i o r eſt imago lineę a q. Quare imago lineę a q erit curua. Poſito autẽ puncto b loco pũcti q, & aliquo pũcto lineæ a b poſito loco pũcti b: erit eodẽ penitus modo probare, quòd imago lineæ a b eſt curua. Et hoc eſt propoſitũ.

17. Si uiſus ſit extra ſuperficem incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, ſecantis inæquabiliter peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) uidebitur curua. 52 p 6.

SI uerò a b ſecet circulum: ſecet in puncto e: m finis contingentiæ lineæ contingentis circulũ e h z, à puncto f productæ ad lineã b g: b igitur reflectitur ad d ab aliquo pũcto arcus h p. Arcus ab illo puncto reflexionis uſq ad h, aut eſt æqualis arcui h e: aut maior: aut minor. Si æqualis: palàm quòd arcus ille eſt æqualis arcui h f [ut patuit præcedente numero.] Sit q punctum circuli, in quod cadit contingẽs ducta à puncto m exparte e. Igitur a e tranſit per punctũ q: & ita m q ſecat a e per punctum e [quia in hoc caſu q & e coniungũtur, unũq́ punctum fiũt.] Si uerò arcus ille minor eſt arcu h e: ſecabit quidem m q lineam a e ultra punctum q: ſecet in t, ut efficiatur triangulum e q t. Si uerò arcus ille fuerit maior arcu h e: ſecabit quidem linea in q lineam a e citra punctum q. Siue hoc, ſiue illud fuerit: iteretur probatio, & eodem penitus modo probabitur, quòd imago lineæ a b eſt curua. Quod eſt propoſitum.

18. Si uiſus ſit in ſuperficie incidentiæ, extra rectam lineam infinitam per centrum circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) trãſeuntis: imago illius lineæ uidebitur recta. 53 p 6.

AMplius: ſi in ſuperficie, in qua ſunt linea uiſa, & cẽtrum ſphæræ, fuerit uiſus: (ſuperiora enim dicta ſunt, non exiſtente uiſu in illa ſuperficie) linea uiſa recta, aut concurret cum circulo communi illi ſuperficiei & ſpeculo: aut non concurret. Si concurrat: angulus illarum linearum [quem nimirum efficiunt diameter optica g d & data recta a b continuata per centrum g] cadet ſuper centrũ ſpeculi: quæ quidem linea uidebitur recta. Imago enim cuiuslibet puncti illius lineæ apparet in ipſa linea [per 6 n 5.] Et ita imago illius lineæ eſt recta.

19. Si uiſus ſit in ſuperficie incidẽtiæ: imago lineæ rectæ, infinitæ peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) tangentis, & ad partem uiſui oppoſitam obliquatæ, uidebitur punctum. 54 p 6.

SI uerò linea ꝓpoſita declinata fuerit: aut erit declinatio ex parte uiſus: aut ex alia parte. Si ex alia parte: ſumatur punctum circuli, à quo reflectatur aliquid uiſum: [per 39 n 5] & ſumatur linea reflexionis aliqua. Aliqua linearum declinatarum cadet forſitan ſuper hanc lineam reflexionis: quòd ſi fuerit: non uidebitur quidem hæc linea declinata, niſi ſecundum unum punctum [ducta enim a g ſecante peripheriam circuli in puncto z: peripheria inter punctum, à quo b reflectitur, & punctum z, continebit puncta reflexionis totius lineæ a b, ut patuit 16 n.] Protracta igitur à centro uiſus ad centrum ſpeculi linea: ſumatur in arcu circuli citra hanc lineam punctum, à quo reflectatur ad uiſum aliquod punctum lineæ declinatæ: ſed illud punctum reflectitur à puncto prius aſsignato, quod eſt terminus lineæ reflexionis, cum linea declinata ſit ſupra lineam reflexionis. Et ita illud punctum lineæ declinatæ reflectitur ad page 203 uiſum à duobus punctis arcus: quod eſt impoſsibile [& contra 29 n 5.] Licet autẽ reflectatur punctum illud à puncto primùm ſumpto: non tamen ũidetur, cum ſit in linea re flexionis, quæ occultatur per præcedentia puncta. Et ita linea adiacens lineæ reflexionis non uidetur.

20. Si uiſus ſit in ſuperficie incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierũ reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) ſiue tangen tis, ſiue non, & ad uiſus partemobliquatæ, nulla uidebitur. 55 p 6.

SI uerò ſumatur linea declinata, cuius declinatio ſit ex parte uiſus, iacẽs ſub linea reflexionis, & ſecans ipſam in puncto circuli Dico, quòd nullũ punctum illius lineæ uide bitur. Sumpto enim pũcto: ſi dicatur, quòd punctum illud poſsit reflecti ab aliquo puncto arcus, interiacentis lineam reflexionis, & lineam à centro uiſus ad centrum ſpeculi ductam: & ducatur linea ab illo puncto ad punctũ arcus ſumptum: hæc ſecabit lineam reflexionis: & punctum ſectionis reflectetur ad uiſum, à duobus punctis arcus ſpeculi: quod eſt impoſsibile [& contra 29 n 5.] Si uerò dicatur, quòd punctum ſumptum in linea, reflectatur à puncto arcus circuli, qui eſt ſub ipſa linea: erit impoſsibile: quia ille totus arcus occultatur à linea.

21. Si uiſus ſit in ſuperficie incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ; peripheriam circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficierum, reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) nec tangentis nec per centrum ſecantis, & ad partem uiſui oppoſitam obliquatæ, uidebitur curua. 56 p 6.

SI uerò linea ſumpta nõ attingat circulum: poterit quidem uideri: ſed modicum eſt. Si uerò ſumatur linea declinata prædicta inter lineam reflexionis, & lineam per punctũ reflexionis primò ſumptum tranſeuntem ad centrum: poterit quidem uideri hæclinea: & imminuetur curuitas imaginis huius lineæ, ſecundum quod magis acceſſerit ad lineã tranſeuntem ad centrum, per punctum reflexionis. Si uerò ſumantur lineæ inter lineam ad centrũ tranſeuntem per punctum reflexionis: uidebuntur quidem, ſiue declinatio earum ſit ex parte uiſus, ſiue non: & modus uiſus earũ, ſimilis modo uiſus linearum inter lineam reflexionis & lineam ad centrum tranſeuntem. Et hæc quidem intelligenda ſunt de lineis concurrentibus in arcu circuli, qui apparet uiſui, id eſt, in arcu, qui interiacet duas contingentes, ductas à centro uiſus ad circulum. Linearũ autem concurrentium cum circulo in parte circuli occulta uiſui: aliqua erit æquidiſtans lineæ reflexionis: & illa quidem non uidebitur. Similiter conterminalis æquidiſtanti, quæ eſt ſub æquidiſtante, occultabitur: ſed conterminalis æquidiſtanti, ſupra ipſam exiſtens, poterit uideri. Si uerò ſumatur linea inter æquidiſtantes, nõ conterminalis alicui earum: ſi fuerit eius declinatio ex parte uiſus, uidebitur: ſi ex alia parte, aliquando uidebitur, aliquãdo non Quoniam ſi à termino eius ducatur æquidiſtans lineæ reflexionis: ſi fuerit linea ſub æquidiſtante: non uidebitur: ſi ſupra eã, uideri poterit. Si uerò lineæ non concurrant cum circulo, aut ſecabunt lineam ductam à centro uiſus ad cẽtrum ſpeculi: aut æquidiſtabunt ei. Si ſecet aliqua earum: linea illa aut ſecabit illam ex parte uiſus, id eſt, inter uiſum & ſpeculum: aut ultra ſpeculũ. Si ultra: occultabitur linea illa, ſed forſan apparebunt eius capita. Si uerò ſecet lineam uiſualem ex parte uiſus, apparebit quidem ſimiliter. Si fuerit æquidiſtans lineæ uiſuali: poterit uideri. Omnium autem harum linearum imagines curuæ. Viſu autem exiſtente in eadem ſuperficie cum centro ſpeculi & lineis uiſis, diminuta eſt apparẽtia: & quæ ſit, quæ manifeſtius apparet, eſt illa, quæ declinata eſt maxima declinatione, & illa uiſum reſpiciente. Pari modo arcuum in his ſpeculis apparentium, & in eadem ſuperficie cum cẽtro ſpeculi, & uiſu exiſtẽtium, imagines quidẽ curuæ ſunt curuitate ſpeculũ reſpiciente. Hæc aũt intelligẽda ſunt duplici uiſu exiſtẽte in eadẽ ſuperficie cũ cẽtro ſpeculi, & re uiſa. Si enim alter uiſus modicùm declinetur, quò ad ipſum, alio modo res uiſa comprehendetur. Et uiſu exiſtente extra ſuperficiem rei uiſæ & centrum ſpeculi, certior erit ipſius rei comprehenſio, quam exiſtente in ea.

22. Si uiſus ſit in ſuperficie incidentiæ: imago lineæ rectæ infinitæ, quæ uel non concurrens page 204 cum ſuperficie ſpeculi ſphærici cõuexi, parallela eſt rectæ connectenti centra ſpeculi & uiſus, uel quæ cum eadem connectente extra ſpeculum, uerſus uiſum concurrit: uidebitur curua. 57 p 6.

QVòd autẽ imago rei uiſæ ſit curua, uiſu exiſtente in ſuperficie cẽtri ſpeculi & rei uiſæ, probabitur. Sit d centrũ uiſus: g centrũ ſpeculi: h e ſit linea uiſa: quæ quidẽ h e non cõcurrat cũ circulo ſpeculi, ſed ſit æquidiſtãs lineę d g: uel ſecet eã ex parte d. Superficies incidentiæ ſit, in qua ſint lineæ d g, h e. Circulus cõmunis huic ſuperficiei & ſpeculo ſit a b. Producatur linea h g, & punctum in ipſa z ſit imago h: punctũ circuli à quo reflectitur h ad d, ſit b. Et [per 17 p 3] à pũcto b ducatur linea cõtingẽs, quæ ſecet lineã h g ſuper punctũ t: erit t finis contingẽtiæ [ք 17 n 5.] Ducatur linea b g: quę producta neceſſario concurret cũ h e. Si enim h e fuerit æquidiſtãs d g: cõcurret quidẽ: [ք lemma Procli ad 29 p 1] ſi uerò d g cõcurrat cũ h e: multò fortius g b cũ eadẽ cõcurret. Cõcurſus ille aut erit in linea h e: aut ultra hãc lineã. Sit ultra: cõcurrat in puncto m: imago pũcti m ſit q: finis contingẽtiæ ſit s: & ducatur linea z q, & ſimiliter linea t s: & d g ſecet circulũ in a: & [per 17 p 3] ducatur à puncto a cõtingen‡ a u. Palàm [è 24 n 4] quòd a b eſt minor quarta circuli: cum d uideat ex circulo minus medietate. Quare angulus a g b eſt acutus: [ք 33 p 6] & [per 18
p 3] angulus u a g eſt rectus. Igitur a u cõcurret cum b g [per 11 ax.] cõcurrat in puncto u. Dico, quòd pun ctum u cadet ſupra punctũ s. Cũ enim m reflectatur à puncto aliquo arcus a b [per 29 n 5] & a ſit demiſſius illo puncto: erit finis contingentiæ a, altior fine contingentiæ illius puncti: & ita s demiſsius pũcto u. Procedat ergo t s, donec concurrat cum linea a u: [cõcurret aũt per 11 ax] & ſit cõcurſus in pũcto k: & ducatur linea g k: quę producta concurrat cũ h m in pũcto c: [cõcurret autẽ per lemma Procli ad 29 p 1] Punctũ c reflectitur ad d ab aliquo puncto arcus a b [per 29 n 5.] Sit illud punctũ f: à quo ducatur linea contingẽs uſq ad g c, quę quidẽ erit demiſsior linea a k: & erit punctũ o demiſsius pũcto k. Sit o finis cõtingẽtiæ. Ducatur linea d f, quouſq cadat ſuper g c: cadat in punctũ r: & producatur z q uſq ad lineã g c: & cadat in punctum l. Dico quòd l eſt ſupra r. Lineæ enim h c, t k, z l autſunt æquidiſtantes: aut cõcurrunt.
Sint æquidiſtantes. Cũ ergo hæ æquidiſtãtes ſecent lineam g c ſuper tria puncta c, k, l, & ſecent utram q linearum m g, h g: & [per 18 n 5. 16 p 5] ꝓportio h g ad h t, ſicut g z ad z t: ſimiliter m g ad m s, ſicut g q ad q s: erit [ք 10 n] ꝓportio eadẽ g c ad c k, ſicut l g ad l k. Sed palàm [per 3 n 5] quòd r eſt imago c: linea enim d f, linea reflexionis, concurrit cum c g in puncto r: & o finis contingentiæ. Quare [per 18 n 5. 16 p 5] proportio g c ad c o, ſicut g r ad r o: ſed [per 8 p 5] maior eſt proportio g c ad c k, quàm g c ad c o: & ita maior g l ad l k, quã g r ad r o: ergo maior eſt proportio o r ad r g, quàm l k ad l g: [quia per 26 p Cãpani in quintũ librum elementorum, ratio l k ad g l minor eſt, quã ratio o r ad r g] & ita [per 18 p 5] maior eſt proportio o g ad r g, quàm k g ad l g. Sed [per 9 ax. k g maior eſt o g.] Quare [per 14 p 5] l g maior r g. Igitur r demiſsius eſt puncto l. Sed z q l eſt linea recta: igitur z q r eſt linea curua. Et ita imago lineæ h c eſt curua. Poſito ergo aliquo puncto lineæ h e loco puncti m, & puncto e loco puncti c: erit probare, quòd imago h e eſt curua. Si uerò lineæ h c, t s, z q concurrant: aut erit concurſus ex par page 205 te d: aut ex parte h g. Sit ex parte d: & ſit concurſus in puncto c: erit z q t linea recta: quare z q r erit curua. Et ita imago lineæ h e curua. Quod eſt propoſitum.

23. Imago peripheriæ cum uiſu in eodem planoſitæ, intra ſpeculum ſphæricum conuexum ſen ſiliter uiſa, curua uidetur. 58. 62 p 6.

SI uerò proponatur arcus extra ſpeculum: erit probare de eo, quòd imago ſit curua, ſicut proba tum eſt, uiſu non exiſtente in eadẽ ſuperficie cũ arcu & centro ſpeculi. Et hoc eſt propoſitum. Igitur in his ſpeculis lineæ rectæ apparent curuæ, & ſimiliter curuæ apparẽt ſimiliter curuę. Si autem proponatur uiſui in his ſpeculis corpus curuũ, ſed longũ, modicam habens latitudinem: apparebit quidem corporis illius curuitas manifeſtè, cũ ipſa diſcerni poſsit per ea, quæ ſupra corpus ſunt, aut infra. Non enim planè diſcernitur curuitas, niſi magna, ubi occultæ fuerint extremitates lõ gitudinis & latitudinis. Vnde propoſito uiſui corpore conuexitatis modicæ & quantitatis magnæ, nõ planè diſcernitur eius conuexitas, licet imago ipſius ſit cõuexa, cũ non appareant termini corporis in longitudine uel latitudine. Amplius: errores in ſpeculis planis accidentes, omnes accidunt & in his: & præterillos, accidit imagines linearum rectarum eſſe curuas: quod à ſpeculis planis eſt remotum.

De erroribvs, qvi accidvnt in specvlis columnaribus conuexis. Cap. V.

24. Si à duobus ellipſis cylindraceæ punctis ſint duæ perpendiculares: prima axi, continens cum recta à ſecundo puncto, ad idem axis punctum ducta acutum angulum: ſecunda rectæ ellipſin in ſecundo puncto tangenti: ultra axem & dictum acutum angulum concurrent. 114 p 1. 44 p 7.

AMplius: in ſpeculis columnaribus exterioribus errores accidunt ijdem, qui in ſpeculis ſphęricis exterioribus. Lineæ enim rectæ uidentur curuæ, & diminuta apparet rei quantitas: ſed longè fortius in his, quàm in eis. Quoniam in ſphęricis res magna apparebit quidem minor, ſed non multò minor: ſed in his res etiam maxima uidebitur minima. Similiter linea recta apparebit curua in ſpeculis ſphæricis, ſed modicæ curuitatis: in columnaribus-maximæ curuitatis. Vnde multiplicantur errores columnaris ſpeculi ſuper errores ſphærici. Verùm in columnaribus aliquan do fit reflexio à linea recta, ſcilicet à longitudine ſpeculi: aliquando à circulo: aliquando à ſectione. Quando linea uiſa fuerit æquidiſtans longitudini ſpeculi, fiet reflexio à linea longitudinis: & linea uiſa apparebit recta, modicæ curuitatis. Et hæc quidem probabuntur: ad quorum probationẽ neceſſe quiddam præmitti: quod huiuſmodi eſt. Sumpta columnari ſectione, & ſumpto in ea puncto, quod non ſit punctum reflexionis: ſi ab illo puncto ducatur linea ad perpendicularẽ, quæ eſt à puncto reflexionis ad axem, & linea illa faciat angulum acutum cum perpendiculari: ſi ducatur à puncto ſumpto linea, quæ ſit orthogonalis ſuper contingentem illud punctum: hæc linea concurret cũ perpendiculari ſub axe, & ſub concurſu prioris lineæ cum perpendiculari. Verbi gratia: ſit a e b ſectio: e punctum datum: n punctum uiſum: b punctum reflexionis: b d perpẽdicularis: e d b angulus acutus: q e l contingens. Super b fiat circulus æquidiſtans baſi columnæ [ut oſtenſum eſt 47 n 5] ſci licet b t o: & ducatur à puncto e linea longitudinis columnæ [ut eodem numero demonſtratũ eſt] ſcilicet e t: ducatur axis d h: & [per 11 p 1] ducatur linea d g perpendicularis ſuper lineam b d, in ſuperficie circuli. Palàm, quod ſuperficies h d g eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem circuli [per 18 p 11: quia ducitur per axem perpendicularem circulo per 21 d 11.] Superficies uerò contingens columnã in puncto b, erit æquidiſtans huic ſuperficiei: quoniam linea longitudinis ducta à puncto b eſt ęqui diſtans axi [per 21 d 11.] Et contingens circulum ſuper b eſt æquidiſtans d g [per 28 p 1: recti enim ſunt anguli g d b per fabricationem, & comprehenſus ſub tangente in puncto b & ſemidiametro cir culi d b per 18 p 3.] Igitur ſuperficies, in qua ſunt lineæ l e, e t non eſt æquidiſtans ſuperficiei h d g [quia non eſt parallela ſuperficiei tangenti ellipſin in puncto b: cum angulus e d b ſit acutus ex theſi.] Concurretigitur cum ea. Concurrat in linea l g: & ducatur linea t g: quæ quidem erit contingens: cum ſuperficies l e t ſit contingens.
Ducta autem linea t d: erit angulus g t d rectus: [per 18 p 3] quoniam t d diameter, [& t g tangit peripheriam in ipſius termino t.] Fiat autem ſuper e circulus æquidiſtans baſi columnæ [ut demonſtratum eſt 47 n 5] ſcilicet e s p: punctum axis in hoc circulo ſit k: & ducatur linea k e. Ducatur etiam linea d l: quæ quidem ſecabit ſuperficiem circuli e s p: ſecet in puncto f: ubicunque ſit punctum extra circumferentiam uel intra: & ducantur lineæ k f, e f: & [per 11 p 11] à puncto f ducaturperpendicularis ſuper ſuperficiem circuli b t o: quæſit f m: & ducatur linea t m. Palàm, quòd k d æqui page 206 diſtans eſt & æqualis f m: [Nam cum axis k d & recta f m ſint perpendiculares circulo b t o: ille per 21 d 11, hæc per fabricationem: erunt ipſæ inter ſe parallelæ per 6 p 11: & æquales per 34 p 1: quia circu li b t o, e s p ſunt paralleli] & ita [per 33 p 1] k f æquidiſtans & æqualis d m. Similiter f m æquidiſtans & æqualis e t: [per 30 p 1: quia e t latus cylindraceum parallelum eſt axi k d per 21 d 11] & k e æqualis & æquidiſtans d t: & ita e f erit æquidiſtans & æqualis t m [per 33 p 1.] Verùm ſuperficies k d l eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem ſectionis b e t: [quia per axem ducitur, & angulus g d b in e llipſis plano rectus eſt ex theſi] & eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem circuli e s p [per 18 p 11: quia tranſit per axem, perpendicularem circulo per 21 d 11.] Ergo eſt perpendicularis ſuper lineam, communem ſectioni & circulo [per 19 p 11] quæ eſt e f. Igitur [per 3 d 11] angulus e f k rectus. Similiter angulus t m d rectus [per 10 p 11: ſunt enim e f, f k parallelæ ipſis t m, m d, ut patuit, & in circulis parallelis.] Cũ igitur angulus d m t ſit rectus: & g t d rectus: [per 18 p 3] multiplicatio d m in m g erit, ſicut t m in ſe. [Nam quia ab angulo g t d recto ducta eſt t m, perpẽdicularis baſi g d: erit per 8 p 6, ut d m ad m t, ſic m t ad m g. Ita que per 17 p 6 rectangulum comprehenſum ſub extremis d m, g m æquatur quadrato mediæ t m.] Sed quoniam f m æquidiſtat g l: [Nam cum g l ſit communis ſectio duorum planorum, quorum alterum l e t g ſpeculum tangit, reliquum h d g l per axem ſecat: utrũque uerò perpendiculare eſt circulo b t o per 21 d. 18 p 11: erit ipſa g l eidem circulo perpendicularis per 19 p 11. Quare per 6 p 11 erit parallela axi: ideoque per 30 p 1 ipſi f m] erit [per 2 p 6] proportio d f ad f l, ſicut d m ad m g. Sed d f maior d m [per 19 p 1: quia angulus ad m rectus eſt perfabricationem.] Igitur fl maior m g [per 14 p 5.] Igitur maior eſt multiplicatio d f in f l, quàm d m in m g: ergo maior  t m in ſe. Quare cum t m ſit æqualis e f [ex concluſo] erit multiplicatio d f in f l maior ductu lineæ e fin ſe. Quare angulus l e d maior recto. Si enim rectus eſſet, cum linea e f ſit perpendicularis ſuper l d [rectus enim demonſtratus eſt angulus e f k] eſſet ductus d fin fl æqualis quadrato e f [per 8.17 p 6.] Reſtat ergo [per 13 p 1] ut angulus d e q ſit acutus. Igitur orthogonalis ducta à puncto e, ortho gonalis, inquam, ſuper contingentem q l, cadet ſub linea e d, & concurret cum perpendiculari b d ſub puncto d. [Quòd enim perpendicularis illa & b d concurrant, patet per 11 ax: quia anguli, e d b & comprehenſus ab e d & dicta perpendiculari, ſunt acuti: ille per theſin, hic, quia pars eſt recti, cõprehenſi à tangente e q & dicta perpendiculari.] Quod eſt propoſitum. His præmiſsis accedẽdum eſt ad propoſitum.

25. Si uiſus, & linea recta, axi ſpeculi cylindracei conuexi parallela, fuerint in eodem plana: à toto cylindri latere ad uiſum reflecti poteſt: & imago uidetur linea recta, æqualis par allelæ. 50 p 7.

PRoponatur columna: [ut in ſequente numero] linea æquidiſtans axi ſit t h. erit quidem æquidiſtans lineæ longitudinis columnæ [per 21 d 11. 30 p 1.] Si ergo uiſus fuerit in eadem ſuperficie cum axe & linea t h: poterit quidem reflecti linea, & erit reflexio à linea longitudinis columnæ, quæ eſt linea communis ſuperficiei, in qua ſunt uiſus & axis, & ſuperficiei columnę, ſicut oſtẽ ſum eſt in libro quinto [43. 89 n.] Sicigitur uidebitur linea t h linea recta. Quoniam quælibet perpendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem ſuperficie cum uiſu & axe. Et probabitur imagi nem lineæ t h eſſe rectam, ſicut probatum eſt in ſpeculis planis de rectis lineis [2 n.]

26. Si uiſus ſit extra planum lineæ rectæ, axi ſpeculi cylindracei conuexi parallelæ: à latere cy lindri fit reflexio. 30 p 7.

SI autem uiſus ſit extra ſuperficiem lineæ t h, & axis: & t h æquidiſtet axi: qui axis ſit z k: fiat ſuperficies per uiſum tranſiens, ſecans ſuperficiem columnæ æquidiſtanter baſi: [ut oſtenſum eſt 47 n 5] ſecabit quidem ſecundum circulum [per 5 th. Sereni de ſectione cylindri.] Sit circulus ille b f. Aliquod igitur punctum lineæ h t reflectitur ad uiſum, ab aliquo puncto huius circuli: ſit punctum b: & uiſus ſit e: punctum illud lineæ t h, ſit q: & ducantur lineæ e b, q b, q e. Et ducatur à pũ cto b linea longitudinis [ut monſtratum eſt 47 n 5] quæ ſit a b g: & ducatur à puncto b perpendicularis, cadens ſuper axem in puncto l [cadet uerò per lẽma Procli ad 29 p 1: quia latus cylindraceũ & axis ſunt paralleli per 21 d 11] quæ ſit m l: & ducatur à puncto e linea æquidiſtans l m: quæ ſit e o: & ducatur q b, quouſque concurrat [concurret autem per allegatum Procli lemma] ſit concurſus in puncto o. Palàm, quòd angulus q b m eſt æqualis angulo e b m: [anguli enim m b g, m b a recti per fabricationem & 29 p 1, æquantur per 10 ax. itemq́ue q b g, e b a per 12 n 4: quare reliqui q b m, e b m æquantur.] Sed [per 29 p 1] angulus q b m æqualis eſt angulo b o e: quia l m æquidiſtans o e. Simi liter [per eandem 29] angulus m b e æqualis angulo b e o: quia coalternus. Igitur angulus b o e æqualis eſt angulo b e o. Quare [per 6 p 1] latera b o, b e æqualia. Sumaturautem aliud punctum in linea t h: quod ſit t: & ducatur linea t o. Palàm, quòd linea t h æquidiſtat lineæ longitudinis, quæ eſt a g [per 30 p 1: quia t h ex theſi parallela eſt axi, cui latus cylindraceum parallelum eſt per 21 d 11.] Ergo ſunt in eadem ſuperficie: [per 35 d 1] & in illa ſuperficie eſt linea q b o [per 7 p 11: quia connectit t h & a g.] Quare in eadem erit linea t q [per 1 p 11.] Secabit igitur lineam a g. Secet in puncto g. Ducatur linea e g. Palàm etiam [per 8 p 11] quòd linea a g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli b f, ſicut axis, cui æquidiſtat, [per 21 d 11.] Et ſuperficies illius circuli, eſt pars ſuperficiei, e o b f, ſecans ſcilicet columnam æquidiſtanter baſi. Igitur [per 3 d 11] angulus g b o eſt rectus, & an page 207 gulus g b e eſt rectus. Ergo [per 47 p 1] quadratum lineæ g o ualet quadratum lineæ b g & quadratum lineæ b o. Similiter quadratum g e ualet quadrata g b & b e. Et quoniam b e & b o ſunt æquales: [per concluſionem] & g b com munis: erit g o ęqualis g e [quia ipſarum quadrata æqualia.] Igitur [per 5 p 1] angulus g o e ęqualis angulo g e o. Ducta autem perpendiculari ſuper axem z g n: æquidiſtãs erit e o: [per 30 p 1] cum ſit æquidiſtans m b l. Igitur [per 29 p 1] angulus t g n æqualis angulo g o e: & angulus n g e æqualis angulo g e o: quare angulus t g n æqualis n g e. Cum autem t g o, n g z ſint in eadem ſuperficie, in qua g. Ergo puncta o, g, terunt in eadẽ ſuperficie: & ita in eadẽ ſuperficie ſunt lineę e g, o g t g [ք 1 p 11.] Igitur t reflectitur ad e à pũcto g. Sumpto aũt in linea th puncto h eiuſdem longitudinis à puncto q, cuius eſt punctũ t, & linea ducta h o: tranſibit quidẽ per punctũ lineæ a g: tranſeat per punctũ a: ductaq́ à puncto a ſuper axẽ perpendiculari d a, & linea e a: erit, ſicut prius, probare: quòd duo anguli a b o, a b e recti: & duo latera a o, a e æqualia: & duo anguli h a r, e a r æquales: & ita h reflectetur ad e à puncto a. Similiter ſumpto quocunq, pun cto lineę t h: erit probare, quòd reflectatur ab aliquo puncto lineę a g. Quare linea th reflectetur à linea longitudinis, quæ eſt a g.

27. Si uiſus ſit extra planum lineæ rectæ, axi ſpeculi cylindracei conuexi parallelæ: imago uidebitur parum curua, & minor ipſaparallela. 51 p 7.

REſtat probare imaginem lineę t h eſſe curuã. Palàm ex prædictis, quòd q reflectitur ad e à pun cto b, quod eſt punctum circuli. Sed cum ſic reflectatur à circulo: ſi ducatur linea à puncto q, ad centrum illius circuli: concurret cum perpendiculari ducta à puncto b: [quia perpendicu laris illa tranſit per eiuſdem circuli centrum, ut oſtenſum eſt 16 n 5] & erit cõcurſus in puncto axis. Ducatur ergo q l, concurrens cum m l in puncto axis: quod eſt l: & eſt centrum circuli f b: & producatur e b, quouſq concurrat cum q l. Sit concurſus in puncto c. Erit c imago q: & eſt c in ſuperficie, in qua ſunt lineæ q h, & axis, & linea longitudinis a g [per 1 p 11.] Palàm etiam [è 31 n 4] quod t refle ctitur ad e, à puncto ſectionis columnaris, ſcilicet à puncto g. Eſt autem à puncto t unam ducere per pendicularem, ſuper lineam contingentem in aliquo puncto ſectionem: quæ quidem concurret cũ perpendiculari ducta à puncto g: quæ eſt n g z, ſub axe, id eſt, ſub puncto z: quod eſt concurſus perpendicularis n z & axis [per 24 n.] Quoniam ducta linea t z: erit angulus t z n acutus: [quia continuato axe k z ultra z in y: erit angulus n z y rectus per fabricationẽ & 29 p 1.] Producatur n z ultra z in x. Ducatur ergo t x, concurrens cum n z in puncto x: & producatur e g, donec concurrat cum t x in puncto i. Erit i imago puncti t [per 4 n 5.] Similiter ducta à puncto h linea, quæ ſit orthogona lis ſuper lineam, contingentem ſpeculum in puncto aliquo ſectionis, à quo h reflectitur ad e: cõcurret cum perpendiculari d a r, ſub puncto d, quod eſt punctum axis [per 24 n.] Concurrat in puncto p: & producatur e a, donec concurrat cũ h p in puncto s. Erit imago puncti h punctum s [per 4 n 5.] Ducatur autem linea s t. Palàm, cum linea t i concurrat cum perpendiculari n z, quæ eſt æquidiſtãs lineę e o: concurret cum linea e o [per lemma Procli ad 29 p 1.] Sit concurſus in u. Similiter linea h s, quoniam concurrit cum perpendiculari d a r, quæ eſt æquidiſtans e o: cõcurret cum e o. Sed quoniam ſitus t, reſpectu puncti e, idem eſt cum ſitu h & eadem longitudo: [quia th parallela eſt axi ex theſi.] Similiter ſitus puncti t & puncti h ad punctum q idem [ut præcedente numero patuit] & pũ ctorum i, s, reſpectu o, etiam eſt idem: erit idem ſitus linearum t i, h s, reſpectu lineæ e o. Igitur li page 208 neæ t i, h s cõcurrent ſuper idem punctũ lineæ e o. Concurrant in puncto u. Erit ergo t u h triangulum, & in ſuperficie huius trianguli erit linea i s. Axis autem non eſt in eadem ſuperficie: uerùm t h eſt in eadem ſuperficie cum axe. [ex theſi.] Igitur ſuperficies illa ſecat ſuperficiem trianguli, ſuper lineam communem: quæ eſt t h, non ſuper aliam. Cum ergo punctum c ſit in ſuperficie lineæ t h & axis, & non ſit in linea t h: non eſt in ſuperficie trianguli t u h: & duo puncta i, s ſunt in ſuperficie illius trianguli. Quare linea i c s eſt linea curua: & imago lineæ t h erit curua. Quod eſt propoſitum. Sed eius curuitas eſt modica: quia perpendicularis ducta à puncto c ad punctum ſectionis lineæ i s & ſuperficiei circuli, eſt ualde parua. Et quantò maior fuerit linea uiſa, æquidiſtans lineæ longitudi nis ſpeculi: tantò imago eius erit minus curua: & quantò minor, tantò magis.

28. Si uiſus ſit in communi ſectione planorum, lineæ rectæ & axis ſpeculi cylindracei conuexi, inter ſeperpendicularium: fiet reflexio à peripheria circuli, qui eſt communis ſectio plani lineæ & ſuperficiei ſpeculi: & imago uidebitur curua. 52 p 7.

AMplius: ſi linea t h ſecet ſuperficiem, in qua ſunt centrum uiſus & axis, & ſit orthogonalis ſuper eam. Viſus aut erit in illa ſuperficie lineæ t h, ſecante orthogonaliter ſuperficiem axis & uiſus: aut extra. Si fuerit in ſuperficie illa: aut ſupra lineam t h: aut infra. Si ſupra, cum illa linea ſit corporalis, occultabit uiſui ſpeculũ: & ita non reflectetur, ſed forſan capita eius apparebunt & reflectentur à circulo columnæ, qui communis eſt ſuperficiei lineæ t h, ſecanti columnam, & columnæ. Et erit horum capitum imago, ſicut in ſphæ ricis exterioribus [21 n.] Similiter ſi uiſus fuerit ſub linea t h: occultabitur pars eius propter caput, in quo eſt uiſus. Pars aũt lineæ uiſæ reflectitur à circulo, eodẽ penitus modo, quo in exteriorib. ſphęricis.

29. Si uiſus æquabiliter diſtans à terminis lineæ rectæ, ſit extra eiuſdem planum, perpendiculare plano axis ſpeculi cylindracei cõuexi: imago maximè curua uidebitur. 53 p 7.

SI uerò uiſus fuerit extra ſuperficiem lineę t h, orthogonaliter ſecantem ſuperficiem uiſus & axis: ſit e uiſus: & b g x columna: reflectetur h ad e ab aliquo puncto columnæ: ſit à puncto b: & ſit t eiuſdem longitudinis à puncto e, cuius eſt h. Dico, quòd t reflectetur ad e ab aliquo puncto columnæ. Et cum puncta h, t ſint eiuſdem ſitus & eiuſdem longitudinis à puncto e: erunt ſimiliter puncta reflexionum, ſcilicet b, g eiuſdem longitudinis & eiuſdem ſitus à puncto e. Igitur duo puncta b, g erunt in circulo. Sit circulus b z g: eius centrum d: & ducantur lineæ h b, b e, t g, g e: & à centro ducantur perpendiculares, ſuper contingentes circulum in punctis b, g, ſcilicet d b o, d g s: & ducatur linea e d. Cum puncta h, e ſint eiuſdem ſitus & longitu dinis, reſpectu e, & reſpectu d: & ſimiliter puncta b, g, eiuſdem ſitus, reſpectu e & reſpectu d: habebunt lineæ h b, t g eundem ſitum, reſpectu lineæ e d. Et ita concurrent in idem punctum illius lineę. Sit concurſus in puncto l. Fiat linea longitudinis columnæ, [ut oſtenſum eſt 47 p 5] in qua punctum z: & ſit hæc linea in ſuperficie uiſus & axis: quæ ſit a z: & ducantur lineæ l z n, d z c: q ſit punctum lineæ t h, punctum ſcilicet, quod eſt in ſuperſicie uiſus & axis: & à puncto q ducatur linea æquidiſtans lineę d z c [per 31 p 1] cadet quidem hęc linea ſuper axem: [per lemm a Procli ad 29 p 1] & l z n cadet in hanc lineam ſupra pũctum q. Cadat in punctum n. Palàm ex prædictis [12 n 4] quòd angulus h b o ęqualis eſt o b e: ſed [per 15 p 1] angulus h b o æqualis eſt angulo l b d, per contrapoſitionem: & [per 32 p 1] angulus o b e æqualis eſt duobus angulis b e d, b d e: quia extrinſecus. Ergo angulus l b d ęqualis eſt duobus angulis b e d, b d e. Fiat ergo angulus m b d æqualis angulo b d e [per 23 p 1] remanet angulus m b l ęqualis angulo b e l. Quare ductus e m in m l æqualis quadrato b m [triangula enim m e b, m b l ſunt ęquiangula: quia angulus m b l ęqualis concluſus eſt angulo m e b, & communis utriuſque trianguli eſt b m e: reliquus igitur m l b ęquatur reliquo l b e per 32 p 1. Quare per 4 p 6 erit, ut e m ad m b, ſic m b ad m l. Ergo per 17 p 6 rectangulum comprehenſum ſub extremis e m & m l, ęquatur quadrato medię m b.] Ducatur linea m z. Quoniam igitur angulus b d m maior eſt angulo z d m: [Nam propter ſimilem ſitum punctorum reflexionis b & g, ęquatur angulus s d e angulo o d e: ſed angulus s d e maior eſt angulo z d m per 9 ax. Quare angulus o d e, id eſt, b d m maior eſt angulo z d m] & duo latera z d, d m ęqualia duobus lateribus b d, d m: [ęquantur enim z d, b d per 15 d 1: & d m eſt communis] erit [per 24 p 1] m b maior m z: quare ductus e m in m l maior eſt quadrato z m. Sit ductus e m in m i æqualis quadrato m z: [per 11 p 6, ut demonſtratum eſt 6 n] & ducantur lineę i b, i z. Erit ergo angulus m z i ęqualis angulo z e i, [eſt enim per proximam fabricationem & 17 p 6, ut e m ad m z, ſic m z ad m i. Sunt igitur duo triangula e m z, i m z lateribus circa communem angulum i m z proportionalia: itaque per 6 p 6 ſunt ęquiangula, & angulus m z i ęquatur angulo z e i.] Quare m z l maior angulo z e d. Sed quoniam angulus m b d poſitus eſt ęqualis augulo b d m: erit [per 6 p 1] linea m b ęqualis lineę m d: ſed m b maior m z, [ut patuit.] Quare m d maior m z. Igitur page 209 [per 18 p 1] angulus m z d maior angulo m d z. Igitur d z l maior duobus angulis z d e, z e d. [conſtat enim è duobus angulis m z l & m z d, quorum ille angulo z e d, hic angulo z d e maior eſt concluſus.] Sed angulus d z l ęqualis eſt angulo n z c [per 15 p 1] & angulus e z c ęqualis duobus angulis z d e, z e d [per 32 p 1.] Quare an gulus n z c maior eſt angulo e z c: ſecetur ad ęqualitatem per lineam f z: quę quidem concurret cum linea n q: [per lemma Procli ad 29 p 1: quia n q, c d ſunt parallelę per fabricationem.] Concurrat ſuper punctum f. Cum ergo angulus f z c ſit ęqualis angulo c z e: reflectetur f ad e à puncto z. [per 12 n 4] q uerò reflectetur ad e à puncto lineę longitudinis, quę tranſit per z à pũ cto, quod eſt ultra z. Si enim à puncto citra z, id eſt propinquiore e: linea ducta à puncto q ad punctum illud reflexionis, ſecabit lineam f z: & ita punctum ſectionis reflectetur ad e à duobus punctis: quod eſt impoſsibile [& contra 46 n 5.] Sumatur ergo ultra punctum z pũctum k, à quo reflectatur q ad e: & ducatur linea e k, donec cõ currat cum linea n q, in puncto p [concurret autem per lemma Procli ad 29 p 1.] Erit p imago q [per 4 n 5.] Sed h reflectitur ad e à puncto ſectionis columnę [ſunt enim h & e in diuerſis planis.] Si ergo à puncto h ducatur perpendicularis ſuper lineam, cõtingentem ſectionem in aliquo puncto: perpendicularis illa concurret cum perpendiculari c z d ſub axe [per 24 n.] Concurrat in puncto u. Similiter à puncto l eſt ducere unam perpendicularem ſuper ſectionem, à cuius puncto reflectatur t ad e. Et quoniam [ex theſi] puncta h, t ſunt eiuſdem ſitus, reſpectu lineæ e d, & puncta ſectionis ſimiliter, per quæ tranſeunt perpendiculares ab ipſis ductæ. Igitur illæ duæ perpendiculares concurrent in idem punctum lineę e d. Concurrant ergo in puncto u. Et quia linea e b concurrit cum h u: ſit concurſus in puncto r. Similiter e g concurrat cum t u in puncto y: & ducatur linea r y. Palàm [per 4 n 5] quòd r eſt imago h: & y eſt imago t: & habemus triangulum e r y: extra ſuperficiem huius trianguli eſt punctum z: & in ſuperficie huius trianguli altior eſt linea e p: & ita p eſt extra. Quare linea r p y erit curua: & illa eſt imago lineæ t h. Et eſt quidem hęc imago curuitatis non modicæ. Quod eſt propoſitum. Palàm ergo, quòd in his ſpeculis, ſi linea recta uiſa ęquidiſtans fuerit lineę longitudinis columnæ: erit imago eius recta, aut accedens ad rectitudinem. Siuerò linea recta uiſa ęquidiſtans fuerit columnæ: erit imago eius curua, curuitate non modica. Lineę autem inter has duas ſitę, quę magis accedunt ad ſitum lineę ęquidiſtantis, reſpectu columnę, habebunt imagines ſuas rectitudini magis uicinas: & imagines earũ, quæ propinquiores ſunt ſitui ęquidiſtantium latitudini, erunt magis curuę: & minuetur, uel augmẽ tabitur curuitas imaginum ſecundum acceſſum uel elongationem linearum ad alterum horum ſituum. Et hoc eſt propoſitum.

De erroribvs, qvi accidvnt in specvlis pyramidalibus conuexis. Cap. VI.

30. Si duæ rectæ à duobus punctis ellipſis conicæ, inæquabiliter à uertice diſtantibus, ſint perpendiculares duabus rectis, ellipſin in dictis punctis tangentibus: ultra axem concurrent. Opor tet autem ut perpendicularis à puncto propinquiore, & recta à longinquiore ad axem ductæ, acutum angulum comprehendant. 113 p 1. 45 p 7.

Amplius: in ſpeculis pyramidalibus exterioribus ij dem errores accidunt, qui in ſphæricis exterioribus eueniunt. Lineę enim uiſę ęquidiſtantes, reſpectu pyramidis, aut rectę uidentur, aut fortè ęquidiſtantes latitudini curuę: & intermedię augmentant uel diminuunt curuitatem ſecundum propinquitatem earum uel remotionem. Et hoc probabitur. Quiddam tamen pręmittendum proponamùs: & eſt. Si ſumatur in ſuperficie pyramidis, punctum reflexionis: & fiat ſectio tranſiens per punctum illud: & in ſectione ſumatur punctum remotius à uertice pyramidis, puncto reflexionis: & à puncto ſumpto ducatur perpendicularis ſuper contingentem ſectionem: page 210 hæc perpendicularis concurret cum perpendiculari ſuper contin gentem ſectionem ducta à puncto reflexionis, ſub axe. Verbi gratia: ſit a b g z pyramis erecta ſuper baſim ſuam: a uertex pyramidis: b f z ſectio: e punctum reflexionis: z punctũ ſectionis remotius à puncto a quàm e. Super punctum z fiat ſuperficies ſecans pyramidem æquidiſtanter baſi [ut oſtenſum eſt 52 n 5.] Secabit quidem ſuper circulum communem [per 4 th. 1 coni. Apol.] Sit circulus ille g b r z: & ducantur lineæ a z, a e: & producatur a e, donec ſit æqualis a z: ueniet quidem ad circulum [per 18 d 11: quia eſt latus conicum.] Cadat ergo in punctum eius o: & c ſit centrum circuli: & ducatur axis a c: & à puncto e ducatur perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem pyramidem [per 12 p 11.] Concurret quidem [per 11 ax.] cum axe citra cẽtrum circuli, quod eſt c: ſit in puncto d: & ducatur linea d z, continens angulum acutum cum perpendiculari e d: & à puncto o ducatur perpendicularis ſuper lineam a o, concurrens cum axe in puncto k: & ducatur linea k z: & ſuper punctum z ducatur contingens ſectionem, quæ ſit t q: & alia contingens circulum b g z: [per 17 p 3] quæ ſit z y: & ducatur linea b c z: & à puncto c ducatur perpendicularis ſuper lineam b c z: [per 11 p 1] quæ ſit c r. Erit quidem perpendicularis ſuper axem: [per 3 d 11] cum axis ſit perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli: [per 18 d 11.] Quare [per 4 p 11] c r eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem a c z: & erit æquididiſtans z y cõtingenti [per 28 p 1: quia anguli interiores ad c & z ſunt recti: ille per fabricationem, hic per 18 p 3.] Quare z y eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem a c z [per 8 p 11.] Quare t q non eſt perpendicularis ſuper eandem ſuperficiem. Verùm quoniam k eſt p olus circuli b r z: [quia eſt in axe co nico per fabricationem] palàm, cum lineæ k o, k z ſint æquales [per 5 defin. 1 ſphæricorum Theodoſij,] & axis a k communis, & a o æqualis a z [per 18 d 11: quia utraque eſt latus conicum] quòd erit angulus a o k æqualis angulo a z k [per 8 p 1] & ita angulus a z k rectus: [quia a o k illi ęqualis, rectus eſt: cum k o ſit perpendicularis a o per fabricationem.] Cum ergo linea k z ſit perpẽdicularis ſuper a z, quæ eſt linea longitudinis: erit perpendicularis ſuper ſu perficiem, contingentem pyramidem, ſuper hanc li neam longitudinis [ut demonſtratum eſt 54 n 5.] Sed t q eſt in ſuperficie contingente: quia eſt cõmunis ſectio ſuperficiei contingenti & ſectioni. Igitur k z eſt perpendicularis ſuper t q [per 3 d 11.] Ducatur autem h z in ſuperficie ſectionis perpendicularis ſuper lineam t q [per 11 p 1.] Cum autẽ linea k z ſit extra ſuperficiem ſectionis: ſecabit lineã h z, nec erit una linea [per 1 p 11.] Quare illa ſuperficies k z h ſecat ſuperficiem ſectionis, ſuper lineam h z communem: & ſecat lineam t q ſuper punctum z: & ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z k, ſuper lineam communem k z: uerùm d z eſt in ſuperficie ſectionis, & ſecatur à linea k z in puncto z: & punctum t eſt ſupra ſuperficiem k z h, punctum q infra: & ita ſuperficies k z h ſecabit ſuperficiem d z q ſuper lineam communem: & illa linea communis eſt perpendicularis ſuper lineam t q: quia linea illa eſt in ſuperficie h z k, ſuper quam eſt perpendicularis t q [ut oſtenſum eſt.] Et quoniam ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z q: & declinatio ſuperficiei h z k à ſuperficie ſectionis fit ex parte z c: erit linea communis ſectioni illarum ſuperficierũ inter lineas q z, d z. Et ita concurret cum perpendiculari ſub axe. Et quòd neceſſariò concurrat, probatum eſt in libro quinto [quia anguli e d z, d z p ſunt acuti: ille per theſin, hic, quia pars ẽſt recti t z p.] Et ita eſt propoſitum.

31. Linea recta tota ab uno ſpeculi conici conuexi latere ad uiſum reflecti poteſt. 41 p 7.

SIt ergo pyramis: cuius uertex a‡axis a h: linea longitudinis a z. Et à puncto z ducatur perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem pyramidem in linea a z [per 12 p 11] quæ neceſſariò concurret cum axe [per 11 ax. quia angulus h a z eſt acutus per 17 p 1: cum a d z ſit rectus per 18 d 11.] Sit linea t z h. Ducatur à puncto a linea extra pyramidem, ultra ſuperficiem contingentem pyramidem in linea a z, faciens angulum acutum cum axe & cum linea longitudinis a z: quæ ſit a n. Et in ſuperficie a h n à puncto h ducatur linea, cum axe faciens angulum æqualem angulo a h z: quæ linea neceſſariò concurret cum linea a n: [per 11 ax. quia anguli n a h & a h z ex theſi acuti, ſunt minores duobus rectis] quæ ſit h o. Et facto ſuper punctum z circulo æquidiſtante baſi: [ut oſtenſum eſt 52 n 5] tranſibit h o per circulum, ſicut h z tranſit per ipſum. Ducatur linea o z: & producatur ad punctum f. Quoniam linea o z ſecat ſuperficiem, contingentem pyramidem in linea a z: cum linea h z ſit perpendicularis ſuper illam ſuperficiem: [per fabricationem] erit angulus o z h maior recto: quia a z h rectus eſt [per fabricationẽ.] Igitur [per 13 p 1] angulus f z h acutus. À puncto z du page 211 catur contingens circulum [per 17 p 3] quæ ſit m z: & à puncto f ducatur perpẽdicularis ſupera z, [per 12 p 1] cadens in punctũ eius e: quæ producta cõcurrat cũ a o [per 11 ax.] quoniã angulus o a z eſt acutus [ex theſi.] Concurrat igitur in puncto n. Et [per 31 p 1] à pũcto e ducatur æquidiſtãs lineę t h: & ſit q e: & à puncto e ducatur ęquidiſtãs m z: quę ſit e l. Palã [ք lemma ad 37 th. opticorum Eucli dis: uel per 42 th 6 libri συναγωγῶ‡ μαθκματiκῶμ Pappi] quòd m z eſt perpendicularis ſuper a e: quoniam a h eſt perpendicularis ſuper circulum, per z tranſeuntem, [per 18 d 11] & m z ſuper diametrum illius circuli [per 18 p 3] quia contingit. Igitur l e eſt perpendicularis ſuper a e [per 29 p 1] & producatur q e ultra e: hęc concurret quidem cum axe: [per lemma Procli ad 29 p 1] concurrat in d. Fiat autẽ ſuperficies l e, d q ſecans pyramidem: erit quidem ſectio pyramidalis: [per 5 th. 1 con. Apoll. quia l d q planum obliquum eſt ad axem.] Cum ergo a e ſit perpendicularis ſuper f n, & ſuper q d, & ſuper l e: erit f n in ſuperficie illa ſecante pyramidem [per 5 p 11.] Fiat ergo in illa ſuperficie p f æquidiſtans q e: erit æquidiſtans t z [per 9 p 11] uerùm cum angulus f z h ſit acutus: [per concluſionẽ] erit angulus t z ‡ obtuſus [per 13 p 1.] Ducatur à puncto z linea, faciens cum t z angulum, æqualem angulo o z t: quę quidem linea neceſſariò ſecabit f p [per lemma Procli ad 29 p 1: quia z t, f p ſunt parallelæ.] Secet in puncto p: & ducatur linea p e. Cum ergo p z, o z ſint in eadem ſuperficie, & angulus o z t ęqualis angulo t z p [per fabricationem] reflectetur o ad p à puncto ſpeculi z [per 12 n 4.] Et quia angulus o z t æqualis eſt angulo z f p: [per 29 p 1, & t z p æqualis z p f per eandem: quare z f p, & z p f æquantur] erunt latera z p, z f æqualia [per 6 p 1.] Et quia angulus f e z rectus [quia a ‡ perpendicularis eſt ipſ‡ f e n] quadratum f z ualet quadrata e z, e f: & quadratum p z ualet quadrata e z, e p [per 47 p 1.] Igitur p e, f e æqualia: [Quia enim z p, z f æquales iam concluſæ ſunt: erunt ipſarum quadrata æqualia: ſubducto igitur communi quadrato z e: relinquentur quadrata e p, e f æqualia: ideoq́ ipſorum latera e p, e f] & ita [per 5 p 1] e p f, e f p anguli erunt æquales. Quare anguli n e q, q e p æquales. [nam per 29 p 1 anguli n e q, e f p: item p e q, e p f æquantur: itaq per 1 ax. n e q, p e q æquantur.] Et cum in eadem ſuperficie ſint, quæ eſt p en: reflectetur n ad p à puncto e [per 12 n 4.] Similiter ſi ducatur quæcunq linea à puncto f a d aliquod pũctum z e, & producatur uſque ad o n: probabitur de puncto lineæ o n, in quod cadit, quòd reflectetur ad p à puncto lineæ z e, quod ſecat illa linea. Simili modo & omnium huiuſmodi linearum probatio ſumet initium à perpendiculari, quæ eſt f e, & à parte lineæ e z: quæ erit communis omnibus illis triangulis. Et ita quo dlibet punctum lineę o n reflectetur ad p ab aliquo puncto lineæ e z.

32. Si linea recta obliquè inciderit uertici ſpeculi conici conuexi: reflectetur à latere conico ad uiſum inter dictam lineam & ſpeculi ſuperficiem ſitum: eius́ imago parum curua uidebitur. 55 p 7.

HOc declarato dicamus. Cum uiſus comprehenderit lineas rectas, tranſeuntes per uerticem ſpeculi pyramidalis conuexi recti, obliquas ſuper axem ſpeculi: tunc formæ earum erunt parùm conuexæ. Sit ergo ſpeculum pyramidale erectum a b c: cuius uertex ſit a: & cuius axis ſit a d: & extrahamus in ſuperficie eius lineam a z [ut oſtenſum eſt 52 n 5] quocunque modo ſit: in qua ſignetur punctum z, quocunque modo ſit. Et tranfeat per z ſuperficies æquidiſtans baſi pyramidis: & faciat circulum z u [faciet autem per 4 th 1 con. Apol.] Et extrahamus ex z perpendicularem z h ſuper a z [per 11 p 1.] Hæc ergo linea concurret cum axe pyramidis [per 11 ax. ut patuit præcedente numero.] Concurrat ergo in h. Et extrahamus ex z lineam contingentem circulum: [per 17 p 3] & ſit z m: & extrahamus ex a lineam continentem cum utraque linea a z, h a angulum acutum: & ſit extra ſuperficiem, contingentem pyramidem, tranſeuntem per lineam a z. Et hoc eſt poſsibile: [quia angulus h a z eſt acutus per 18 d 11. 32 p 1.] Sit ergo a n: & extrahamus ex puncto h lineam in ſuperficie, in qua ſunt a n, a h, continentem cum a h angulum æqualem angulo a h z. Hæc ergo linea concurret cum ‡ o: [per 11 ax.] nam duo anguli ad a, h ſunt acuti. Concurrant ergo in o. Linea ergo h o concurret cum circumferentiã circuli z u. Nam angulus a h o eſt æqualis angulo a h z. Concurrat ergo in u: & extrahamus a u rectè: & extrahamus perpendicularem h z ad t: & continuemus o z, & extrahamus rectè ad f: & extrahatur a z ad e. Angulus igitur f z h erit acutus: quia page 212 linea o z ſecat ſuperficiem, contingentem pyramidem, trãſeuntem per a z: linea ergo a z eſt ſub differentia communi inter ſuperficiem o z h & ſuperficiem contingentem. Et hæc differentia continet cum linea h z angulum rectum, [per fabricationem.] Angulus ergo e z h obtuſus: ergo angulus f z h acutus [per 13 p 1.] Ponatur ergo in z f punctum f: à quo extrahatur perpendicularis f e ſuper a e: & extrahatur rectè. Concurret ergo cum linea a o: [per 11 ax.] nam angulus o a e eſt acutus [per theſin, & ad e rectus eſt.] Concurrat ergo in n. Et extrahatur ex e linea e d æquidiſtans z h lineæ [per 17 p 3.] Erit ergo [per 8 p 11] e d perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem pyramidem, tranſeuntem per a e: & extrahatur ex e linea æquidiſtans lineæ z m: & ſit e l. Et extrahatur ſuperficies, in qua ſunt lineæ l e, e d. Secabit ergo ſuperficiem pyramidis, & faciet ſectionem [per 5 th. 1. con. Apoll.] Nam hæc ſuperficies eſt obliqua ſuper axem a d. Sit ergo ſectio d e c: & m z eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem a z h: & hoc declaratũ eſt in prædictis. [præcedente numero, per lemma ad 37 theor. opticor. Eucli dis.] Ergo linea l e eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ a e d [per 8 p 11.] Ergo angulus a e l eſt rectus. Et ſimiliter angulus a e d rectus eſt [per 29 p 1] & a e n ſimiliter rectus. Ergo [per 5 p 11] lineæ l e, n e, d e ſunt in eadem ſuperficie. Ergo linea fen eſt in ſuperficie ſectionis. Et extrahatur ex f linea æquidiſtans lineæ d e: [per 31 p 1] & ſit f r. Hęc ergo linea æquidiſtat lineæ h z [per 30 p 1.] Et extrahatur ex z in ſuperficie o z h, linea continens cum z t angulum, æqualem angulo o z t. [per 23 p 1.] Hæc ergo linea concurret cum f r [per lemma Procli ad 29 p 1] quia ſecat z h æquidiſtantem f r: & eſt in ſuperficie eius: quia z f eſt in ſuperficie eius [per 35 d 1.] Concurrat ergo in r. Ergo duo anguli, qui ſunt apud r, f, ſunt æquales: ſunt enim æquales duobus angulis, qui ſunt apud z [nam per 29 p 1 o z t, z f r: item t z r, z r f æquantur.] Duæ ergo lineæ r z, f z ſunt æquales [per 6 p 1.] Et declaratum eſt, quòd linea f e n eſt in ſuperficie ſectionis: & linea f r eſt æquidiſtans e d: eſt ergo in ſuperficie ſectionis [per 35 d 1.] Et continuemus r e: erit ergo [per 7 p 11] in ſuperficie ſectionis: & extrahatur d e ad k. Et declaratum eſt, quòd e a eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem ſectionis: uterque ergo angulorum a e r, a e f rectus eſt: [per 3 d 11] & duæ lineæ f z, r z ſunt ęquales [per concluſionem.] Ergo duæ lineæ r e, f e ſunt ęquales. [Quia enim anguli a e r, a e f ſunt recti: quadrata z e, e f æquantur quadrato z f per 47 p 1: item q́ue quadrata z e, e r quadrato z r: at quadrata laterum z f, z r æqualium æquantur: quare ablato communi quadrato z e: quadrata e f, e r, ideo q́ue latera e f, e r æquabuntur.] Ergo [per 5 p 1] duo anguli e r f, e f r ſunt æquales. Ergo forma n reflectetur ad r ex e: [per 12 n 4: quia anguli n e k, r e k æquantur, cum per 29 p 1 æquentur æqualibus ad f & r] & forma o reflectetur ad r ex z. Et omnis linea extracta ex f ad aliquod punctum lineæ o n, ſecabit a e. Et patet, quòd linea illa erit æqualis lineæ extractæ ex r ad idem punctum. Nam a e eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt lineæ r e, f e: nam hæc ſuperficies eſt ſuperficies ſectionis: & duæ lineæ r e, f e ſunt æquales. Ergo omnes duæ lineæ extractæ ex r, f ad unum aliquod punctum lineæ a e, ſunt æquales. Patet ergo, quòd forma puncti, quod eſt in o n, reflectetur ad r exillo puncto, quod ſecatur in z e. Et ſimiliter de omni puncto poſito in a n ultra n, ſi copulatum fuerit cum f per lineam rectam, illa linea ſecabit a e ultra e. Patet ergo ex hoc, quòd forma lineæ a n, & quicquid continuatur cum ipſa, reflectetur ad r à ſuperficie pyramidis a b g ex linea recta. Et ſimiliter omnis linea extracta ex a, obliqua ſuper axem. Et continuemus n d: ſecabit ergo circumferentiam ſectionis: nam duo puncta d, n ſunt in ſuperficie ſectionis, & n eſt extra circumferentiam ſectionis: & d eſt intra ſectionem. Secet ergo circũferẽtiã ſectionis in c. Et quia triangulũ a o h eſt in eadẽ ſuperficie [per 2 p 11] erit [per 1 p 11] n d in ſuperficie trianguli a o h: c ergo eſt in ſuperficie trianguli a o h: & duo puncta a, u ſunt in ſuperficie trianguli huius a o h: ſed puncta a, u, c ſunt in ſuperficie pyramidis. Ergo puncta a, u, c ſunt in differentia communi ſuperficiei pyramidis, & ſuperficiei a u d: ſed hæc differentia eſt linea recta [per 18 d 11.] Ergo puncta a, u, c ſunt in linea recta. Extrahatur ergo a u rectè ad c: & extrahatur r z rectè: ſecabit ergo o h [quia ſecat angulum z h o baſi h o ſubtenſum, & utraque z r & h o ſunt in uno plano.] Secet ergo in puncto p. Eſt ergo p in ſuperficie trianguli a o h. Continuetur ergo a p, & tranſeat rectè. Secabit ergo n d in g [quia ſecat angulum d a n.] Et quia f non eſt in ſuperficie pyramidẽ contingente, trãſeunte per lineã a z: [ex concluſo] erit angulus fe d acutus. [Nã quia per concluſionem punctũ f eſt in plano ſectionis ſeu ellipſis, obliquo ad a d e planũ axis, per 5 th. 1 con. Apol. & angulus a e frectus eſt cõcluſus: erit angulus f e d acutus: & angulus d e n eſt obtu page 213 ſus [per 13 p 1.] Igitur angulus e n d eſt acutus [per 32 p 1.] Et ſit linea c x cõtingens ſectionẽ in pun cto c. Patet ergo, ut in prædicta figura [30 n] quòd angulus d c x eſt obtuſus: & q perpẽdicularis extracta ex c ſuper c x, ſecabit angulũ d c x: & cõcurret cũ e d ſub d. Ergo hæc perpendicularis ſecet e d in s. Perpẽdicularis ergo extracta ex n ſuք lineã cõtingentẽ ſectionẽ, ſecabit ſectionẽ ultra s: ſed remotius à d quã s: nã iſtę perpendiculares cõcurrent ultra circũferentiã ſectionis. Perpẽdicularis ergo extracta ex puncto n ſuper lineã contingentẽ ſectionẽ, non ſecabit angulũ d c x: erit ergo ‡emotior ab n e, quàm ſit n d. Ergo hæc perpendicularis ſecat a d ſupra d. Sit ergo perpẽdicularis extracta ex n ſuper lineam cõtingentẽ ſectionẽ, linea n q. Et r e ſecat e n, & ſecat circumferẽtiã ſectionis: & eſt in ſuperficie eius: & n q eſt in ſuperficie ſectionis. Si ergo r e extrahatur rectè, ſecabit n q [quia cõtinuata ſecat angulũ n e q.] Secet ergo in y: & ſuperficies a n d ſecabit ſuperficiẽ ſectionis. Itẽ quia punctũ e eſt extra ſuperficiẽ a n d: (nã ſuperficies a n d nõ eſt ſuperficies ſectionis [in qua eſt punctũ e] quia punctũ a eſt extra ſuperficiẽ ſectionis: & quia a e eſt perpẽdicularis ſuper ſuperfi ciẽ ſectionis, & e eſt in circumferentia illius) ergo n c d eſt differentia cõmunis ſuperficiei a n d & ſuperficiei ſectionis: & n q concurrit cũ ſectione ultra c [ut patuit.] Ergo n q eſt ultra ſuperficiem a n d: y ergo eſt ultra lineam a p g [quæ nõ eſt in ſuperficie a n d.] Si ergo uiſus fuerit in r, & forma alicuius uiſibilis reflectatur à linea longitudinis: tunc p erit imago o: [per 4 n 5] & y erit imago n: & a uidebitur in ſuo loco: quia eſt in uertice pyramidis. Et erit imago lineæ a o n linea tranſiens per pũcta a, p, y: ſed hæc linea eſt cõuexa: quia eſt ultra lineã a p g. Sit ergo linea a p y. Et patuitiã, quòd formæ omniũ punctorũ, quæ ſunt in a n, reflectantur ad r ex a e. Lineæ ergo radiales, per quas refle ctuntur illæ formæ, ſunt in ſuperficie trianguli r a e. Omnes ergo imagines lineæ a n ſunt in hac ſuperficie. Ergo linea a p y conuexa eſt in hac ſuperficie: & p eſt propinquius r quàm y. Et erit conuexitas imaginis huius ex parte uiſus: & erit conuexitas parua: & diameter huius imaginis erit minor ipſa linea, modica quantitate. Imagines ergo linearum rectarum, quæ extrahuntur ex uertice pyramidis obliquè ſuper axem: comprehenduntur à uiſu in tali ſpeculo conuexæ. Et formę harum linearum reflectuntur à lineis rectis extenſis in longitudine pyramidis. Et hoc eſt, quod uoluimus declarare.

33. Si recta linea ſit parallela latitudini ſpeculi conici conuexi: & uiſus ſit extra planum dictæ lineæ baſi parallelum: reflectetur ab ellipſi: & imago uidebitur maximè curua. 56 p 7.

FOrmæ uerò linearũ æquidiſtantiũ latitudini ſpeculi pyramidalis cõuexi, reflectuntur à lineis conuexis in ſuperficie ſpeculi: & conuexitas harum linearum patet, ut in ſpeculo columnari conuexo [29 n.] Et per illam eandem uiam etiam ſimiliter patebit, quòd imagines harum linearum erunt nimium cõuexæ & manifeſtæ ſenſui. Et erit centrum uiſus extra ſuperficies, in quibus eſt cõuexitas formarum harum linearum. Et erunt diametri imaginum harum linearum multò minores ipſis lineis.

34. Si recta linea nec uertici ſpeculi conici conuexi obliquè incidat, nec latitudini eius ſit paral lela: imaginem uariæ obliquitatis prouario ſit u uiſui offeret. 57 p 7.

DE lineis uerò obliquis exiſtentibus inter hos duos modos, quę appropinquant in ſuo motu lineis extenſis in longitudine pyramidis, habent formas parũ conuexas: quę uerò appropin quant lineis æquidiſtantibus latitudini pyramidis, habent formas manifeſtè conuexas.

35. In ſpeculo conico conuexo imago conica uidetur. 58 p 7. 40 p 6.

SEd tamen lineæ tortuoſæ, quæ appropinquant uertici pyramidis, habent formas minores, & ſtrictiores & conuexiores. Quæ uerò appropinquant baſi pyramidis, habent formas ampliores, propter illud, quod declaratum fuit in ſpeculus ſphæricis conuexis: ſcilicet quòd quantò minus fuerit ſpeculum, tantò minores erunt circuli, qui cadunt in ſuperficiem eius: & ſic imagines erunt propinquiores centro: idcirco erunt minores. Et ſimiliter ſectiones, quæ cadunt in ſpeculũ pyramidale, quæ ſunt ex parte uerticis pyramidis, ſunt ſtrictiores & minores: & ſic imago erit propinquior puncto, in quo cõcurrunt perpendiculares, exeuntes à linea uiſibili perpendiculariter ſuper lineas contingentes ſectiones, quæ ſunt differentiæ communes: & ideo iſtę imagines erunt minores. Sectiones uerò, quæ ſunt ex parte baſis pyramidis, è contrario. Vnde accidit, ut forma comprehenſa in ſpeculo pyramidali conuexo ſit pyramidata: quod ſcilicet fuerit ex parte uerticis ſpeculi, erit ſtrictius, & quod ex parte baſis, erit amplius: & conuexitas latitudinis formæ erit manifeſta.

36. Imago uiſibilis propinqui ſpeculo conico conuexo, maior: longinqui, minor uidetur. 59 p 7.

ET accidit etiam in his ſpeculis, quòd quantò magis res uiſa appropinquauerit ſpeculo, tantò uidebitur maior: & quantò magis erit remota, tantò uidebitur minor. Fallaciæ ergo, quæ accidunt in his ſpeculis, ſunt ſimiles in omnibus diſpoſitionibus, illis, quæ accidunt in ſpeculis columnaribus conuexis, præterquam in pyramidatione formæ.

page 214

37. Imago figuratur quodammodo à ſuo ſpeculo. 38 p 5.

ET omnino forma rei uiſæ, quæ comprehenditur per reflexionẽ, ſemper aſsimilabitur formæ ſuperficiei ſpeculi, à qua reflectitur forma. Et huius cauſſa eſt, quòd ſemper locus imaginis eſt ex forma ſuperficiei ſpeculi & ex loco concurſus perpendicularium. Ideo ſemper ſuperficies ſpeculi habet aliquam dignitatem in forma rei uiſæ, quæ comprehenditur in ſpeculo. Fallaciæ uerò compoſitæ in hoc ſpeculo, ſimiles ſunt fallacijs in prædictis ſpeculis.

De erroribvs, qvi accidvnt in specvlis ſphæricis concauis. Cap. VII.

38. In ſpeculo cauo allucinationes frequentiores & maiores accidunt, quàm in plano & conuexo. Vitell. in proœmio 8 libri.

IN his uerò plures errores accidunt, quã in omnibus ſpeculis cõuexis & ſuperficialibus. Accidũt enim in ijs, quę in illis accidunt, ſcilicet debilitas lucis & coloris: & diuerſitas ſitus & remotiõis. Nã cauſſa huius eſt tãtũ reflexio, nõ forma ſpeculi. Accidit etiã in his ſpeculis ex diuerſitate quãtitatis, plus erroris, quã in ſpeculis cõuexis. Nã in cõuexis in maiore parte res cõprehẽditur minor: in cõcauis uerò quãdoq cõprehẽditur maior: quãdoq minor: quãdoq ſecũdũ q eſt: & hoc ſecun dũ diuerſitatẽ poſitionũ ex ſpeculo & ex uiſu, ꝓut nos declarabimus in hoc capitulo. Accidit etiã in his ſpeculis, q unũ uiſibile uidetur duo, & tria, & quatuor: & nõ eſt ita in ſpeculis ſuperficialib. & cõuexis. Vnũ enim uiſibile nõ cõprehẽditur in illis, niſi unũ: in cõcauis uerò nõ. Itẽ ordinatio par tiũ rei uiſæ cõprehẽditur in ſpeculis cõuexis & ſuperficialibus, ſecũdũ q eſt: in ſpeculis uerò cõca uis in pluribus ſitib. alio modo. Et hęc duo: ſcilicet cõprehenſio unius ut unũ: & cõprehẽſio ordina tionis partiũ, ſecũdũ q eſt, nõ habet aliquã deceptionẽ in ſpeculis ſphæricis cõuexis. Et cũ in his ſpeculis ſphęricis cõcauis accidit deceptio: patet, q nihil cõprehẽditur in huiuſmodi ſpeculis, niſi cũ fallacia, aut ſemper, aut aliqua hora ſecũdũ diuerſitatẽ poſitiõis. Debilitas uerò lucis & coloris, & diuerſitas poſitionis, & diſtãtia ac cidũt in his ſpeculis, ſicut in alijs ſemper, & in omni poſitione. Quãtitas uerò, & forma, & numerus habẽt deceptionẽ in his ſpeculis in aliquib. ſitibus, ꝓut declarabimus. De numero uerò declaratũ eſt in capitulo de imagine [66.67.69.70.71.72 n 5] quòd unũ uiſum in ſpeculis cõcauis habet unã imaginẽ, & duas, & tres, & quatuor: & quòd forma rei uiſæ ſem per cõprehenditur in loco imaginis. Verũ unũ uiſum cõprehenſum in ſpeculis ſphæricis concauis etiã fortè cõprehenditur unũ, & fortè duo, & fortè tria, & fortè quatuor: quod nõ actidit in ſpeculis ſphæricis cõuexis & ſuperficialibus. De ordinatione uerò partiũ rei uiſæ dictũ eſt in capitulo de imagine [65 n 5] quòd forma unius puncti reflectitur ex circũferentia unius circuli: & quòd uiſibilia, quorũ imagines retrò poſt uiſum, & antè, & in cẽtro uiſus, apparẽt dubia nõ certificata: & q eſt huiuſmodi, nõ habet ordinationẽ partiũ, ſicut ipſa res uiſa habet. Et hoc etiã eſt in his ſpeculis aliter, quã ſit in ſpeculis cõuexis & ſuperficialibus. Cauſſæ aũt huius rei declaratæ ſunt in capitulo de imagine. Reſtat ergo declarare, quòd illud, quod cõprehenditur in his ſpeculis, fortè cõprehenditur maius: & fortè minus: & fortè ęquale: & quòd in quibuſdã poſitionibus cõprehendetur conuerſum, & in quibuſdã erectũ: & quòd erectũ in huiuſmodi ſpeculis cõprehendetur concauum, & conuexum, & rectum: & quòd conuexũ & concauũ cõprehẽduntur etiam aliter quàm ſint. Et hæc etiã ſunt ex diuerſitate ordinationis partiũ rei uiſæ. Et nos declarabimus hæc hoc modo.

39. Si uiſus & uiſibile fuerint intra ſpeculũ ſphæricum cauũ, in recta linea extremis ſuis à centro æquabiliter diſtante: imago uidebitur ultra ſpeculũ, maior uiſibili. 46 p 8.

SIt ſpeculũ ſphæricum concauũ, cuius centrũ a: & ſecetur ſuperficie plana, tranſeunte per centrũ: & faciat circulũ b g [faciet aũt per 1 th 1 ſphær.] Extrahatur ab ipſius cẽtro linea quocũq modo ſit: & diuidatur in duo æqualia: [per 10 p 1] & ponatur a centrũ, & in diſtantia a o faciamus circulũ: & ſit e z: & ponatur in linea o u punctũ t caſualiter, quocũq modo ſit: & ext extrahantur lineæ t n, t m, rectę ſuper lineã a u: [per 11 p 1] & extrahantur ext lineæ t e, t z tangentes circulũ e z: [per 17 p 1] & continuemus a e, a z, & tranſeant ad b, g: & continuemus t b, b g: & [per 31 p 1] protrahamus b m æquidiſtantẽ ad a u, & g n etiam æquidiſtantẽ a u: & cõtinuemus a n, a m, & extra hantur rectè. Quia ergo a o eſt, ſicut o u: erit a e, ſicut e b, & a z, ſicut z g. [diametri enim circuli b g bifariam ſectæ ſunt in punctis e, o, z, per peripheriam e o z.] Et quia t e tangit circulũ e z: erit [per 18 p 3] t e perpendicularis ſuper a b: & ſimiliter t z perpendicularis ſuper a g. Linea ergo b t eſt, ſicut t a, & t g, ſicut t a: & angulus t b a, ſicut angulus t a b, & angulus t g a, ſicut angulus t a g. [per 4 p 1: ꝗa duo latera a e, e b ęquãtur ex cõcluſo, & cõmune eſt e t, anguliq́ ad e deinceps recti ſũt ք 18 p 3: itẽq́ duo latera a z, z g, & commune t z, anguliq́ ad z recti.] Et quia b m eſt æquidiſtans a u: [è fabricatione] erit [per 29 p 1] m b a, ſicut angulus b a t. Ergo angulus m b a eſt, ſicut angulus a b t: & ſimiliter angulus t g a, ſicut angulus a g n. Cum ergo uiſus fuerit in t: & m b fuerit aliquod uiſibile: tunc forma m exten detur per lineam m b, & reflectetur ad uiſum per lineam b t: & forma n extendetur per lineam n g, & reflectetur per g t. Viſus ergo t comprehendet puncta m, n ex punctis b, g, & lineã m n ex arcu b g [per 66 n 5.] Et quia m t eſt perpendicularis ſuper a t: [per fabricationẽ] erit angulus m t b acutus: [per 32 p 1] & quia angulus b m t eſt, ſicut angulus m t u. [per 29 p 1: ideoq́ angulus b m t rectus eſt, cũ m t u ſit rectus per fabricationẽ.] Ergo [per 19 p 1] t b eſt maior b m, & linea t b eſt æqualis lineæ a t: [per concluſionẽ.] ergo linea a t eſt maior linea b m, & ſunt æquidiſtãtes. Er page 215 go t b concurret cum a m. [ſi enim ex trapezio a m b t fiat parallelogrammũ (æquato nẽpe latere b m ipſi t a, cumq́ue eodem connexo) patebit per lemma Procli ad 29 p 1, a m concurrere cum t b: quia concurrit cum ipſius parallela.] Concurrant ergo in f: fergo eſt imago m. [per 6 n 5.] Et ſic declarabitur, quòd t g concurret cum a n. Concurrat in q: q ergo erit imago n. Et continuemus f q: quæ eſt diameter imaginis m b. Et quia t e, t z ſunt æquales: [per conſectariũ Campani ad 36 p 3] erunt anguli t a e, t a z æquales [per 8 p 1: quia a e, a z æquantur per 15 d 1, & a t eſt cõmune latus] & erunt lineæ t b, t g æquales [per 4 p 1: quia a b, a g æquan tur per 15 d 1] & lineæ b m, g n æquales. [Quia enim b a, g a æquantur per 15 d 1, & a t eſt cõmunis, angulusq́ b a t æqua lis concluſus eſt angulo g a t: æquabitur per 4 p 1 angulus b t a angulo g t a, ideoq́ per 13 p 1 angulus u t b angulo u t g. Quare cum anguli a d t deinceps recti ſint per fabricationẽ: æquabitur per 3 ax. angulus b t m angulo g t n, & anguli ad m & n recti per 29 p 1, æquantur per 10 ax. Itaq per 26 p 1 b m æquatur g n: & m tipſi n t] & lineæ a m, a n æquales [per 4 p 1: quia latera m t, n t ęqualia concluſa ſunt, & commune eſt a t, anguliq́ a d t deinceps recti] & proportio a f ad f m, ſicut proportio a t ad m b [per 4 p 6: quia triangula a t f, m b f ſunt æquiangula per 29. 32 p 1.] Et proportio a q ad q n eſt, ſicut proportio a t ad n g. Ergo proportio a fad f m eſt, ſicut proportio a q ad q n [per 7 p 5: quia ratio a t ad b m & ad g n eadem eſt, cum b m æqualis oſtenſa ſit ipſi g n] & a m eſt ſicut a n [per concluſionem.] Ergo a f eſt ſicut a q. [Quia enim per concluſionem eſt, ut a f ad f m, ſic a q ad q n: erit per 16 p 5, ut f a ad a q, ſic f m ad q n: ergo per 19 p 5 ut a m ad a n, ſic a f ad a q: ſed a m æqualis oſtenſa eſt ipſi a n. Quare a f æqualis eſt a q.] Ergo f q æquidiſtat n m [per proximam concluſionem & 2 p 6.] Ergo f q eſt maior m n [per 4 p 6: quia a f ad a m, ſicut f q ad m n: ſed a f maior eſt a m ք 9 ax: ergo f q maior eſt m n: ſed f q eſt diameter imaginis n m. Ergo ſi uiſus fuerit in t, & linea m n fuerit in aliquo uiſibili: tunc uiſus comprehendet formam maiorem, quàm ſit.]

40. Si uiſus fuerit ſublimior uiſibili intra ſpeculum ſphæricum cauum extremis ſuis à centro æquabiliter diſtante: imago uidebitur ultra ſpeculum, maior uiſibili. 47 p 8.

ITem: iteremus circulum b g: & lineam a u: & lineas a b, a g, t b, t g: & ſuper punctum t ſit perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli b g [per 12 p 11] & ſit t k: continuemus k a, k b, k g. Superficies ergo k b a, k g a ſecant ſphæram ſuper centrum ſuum perpendiculariter, & ſuperficies tangen tes ipſam [per 18 p 11.] Ex ipſis ergo reflectitur forma: & duæ differentiæ cõmunes inter has duas ſuperficies & ſphærã, ſunt circuli magni [per 1 th 1 ſphęr.] à quorũ circũferentia reflectũtur formæ. Et extrah amus b m in ſuperficie b k a æquidiſtantẽ a k: & ſit minor, quã a k: & cõtinuemus a m, & extrahatur rectè: & extrahatur k b, donec cõcnrrat cum a m in f [cõcurret aũt, ut proximo numero oſtẽſum eſt: quia b m minor eſt a k per ſabricationẽ.] Et extrahatur n g in ſuperficie k g a: & ſit æquidiſtãs a k: & ponatur æqualis b m: & cõtinuemus a n, & extrahatur rectè, donec cõcurrat in q: & cõtinuemus m n, f q. Quia ergo b t eſt ſicut t a [ut ſuperiore numero demonſtratũ eſt] erit b k, ſicut k a [per 4 p 1: nã t k com mune latus eſt utriuſq trianguli b t k, a t k, & anguli ad t recti per 3 d 11] & g k, ſicut k a: ergo b k eſt, ſicut g k: & [per 5 p 1] angulus k a b eſt, ſicut angulus k b a: & ſimiliter angulus k g a eſt, ſicut angulus k a g. Ergo angulus a b m eſt, ſicut angulus a b k [quia per 29 p 1 angulus a b m æquatur angulo k a b, cui æqualis cõcluſus eſt a b k] & angulus a g n eſt, ſicut angulus a g k. [Nã per 29 p 1 angulus a g n æquatur angulo k a g, cui æqualis oſtẽſus eſt angulus a g k.] Ergo erit angu lus a b m, ſicut angulus a g n. [Quia enim g k æqualis concluſa eſt ipſi b k: & a g, a b æquantur per 15 d 1: & cõmmunis eſt a k: æquabũtur anguli a b k, a g k per 8 p 1: & his ęquãtur per proximã cõ cluſionẽ a b m, a g n. Quare a b m, a g n æquãtur] & linea b m, ſicut linea g n: [ex fabricatione] tũc li nea a m erit, ſicut linea a n: [ք 4 p 1: quia a b, b m ęquãtur ipſis a g, g n, & angulus a b m angulo a g n] tũc duę lineæ f q, m n erũt æquidiſtãtes: [per 2 p 6, ut proximo numero demõſtratũ eſt] tũc f q erit maior linea m n. Tunc quando uiſus fuerit ſuper punctum k, & fuerit linea m n in aliquo uiſibili inferiore: tunc forma m extendetur ſuper lineam m b, & reflectetur per lineam b k in ſuperficie circu li, tranſeuntis per puncta b, a, k: & forma puncti n extendetur ſuper lineam n g, & reſlectetur ſuper lineam g k in ſuperficie circuli, tranſeuntis per tria puncta g, a, k. Et erit imago puncti f punctum m: [per 6 n 5] & punctum q erit imago puncti n: & erit linea f q diameter imaginis n m. Etiam decla page 216 rauimus [ſuperiore numero] quòd linea f q eſt maior linea m n. T unc quando uiſus fuerit ſuper punctum k, & fuerit linea m n in aliquo uiſibili: tunc uiſus apprehẽdet formam maiorem re uiſa. Et ſic, ſi reuoluerimus totam figuram in circuitu lineæ a u, ipſa immobili: tunc punctum k faciet circu lum perpendicularem ſuper lineam a u. Et ſic omne punctum illius circuli habebit ſitum, reſpectu lineæ comparis m n, ſicut eſt ſitus k reſpectu m n. Si ergo uiſus fuerit in aliquo puncto circumferen tiæ huius circuli, & linea compar lineæ m n, fuerit in ſuperficie alicuius rei uiſæ: tunc uiſus compre hendet formam illius lineæ maiorem. Et ſimiliter ſi extrahamus t k rectè, & poſuerimus in ipſa aliquod punctum præter k, & extraxerimus lineas ſemper ab illo puncto, quod eſt quaſi punctum k: erit modus eius ſicut modus puncti k. Ex his ergo duabus figuris patet, quòd in ſphæricis ſpeculis con cauis & multa & ex multis ſitibus comprehenduntur maiora.

41. In ſpeculo ſphærico cauo imago interdum æquatur uiſibili: & quæ inter uiſum & ſpeculum, euerſa, quæ pone uiſum, erecta eſt. 48 p 8.

ITem: ſit ſpeculum ſphæricum a b circa centrum e: & extrahamus ſuperficiem tranſeuntem per e: & faciat circulũ a b: & extrahamus ex e lineã e z, quocunq modo fuerit, uſq ad g: & ex g extra hamus g d perpendicularem ſuper ſuperficiem circuli a b: [per 12 p 11] & in ipſa ſignemus punctum d, quocunq modo fuerit: & continuemus d e: & extrahamus ipſam uſq ad o: & extrahamus e b ita, ut contineat cum e d angulum obtuſum: & extrahamus e a ita, ut contineat cum e d angulũ, æqualem angulo d e b: & continuemus d a, d b. Sic ergo ſuperficies duorum triangulorũ d a e, d b e ſecant ſe ſuper lineam d e: & duo anguli acuti d b e, d a e erunt æquales. [per 4 p 1: nam ſemidiametri e a, e b æquantur per 15 d 1, & d e communis eſt: anguliq́ d e a, d e b æquantur per fabricationẽ.] Extrahamus ergo ex b lineam in ſuperficie trianguli d e b, continentem cum e b angulum, æqualẽ angulo d b e. Hæc ergo linea cõcurret cum linea d e: quia angulus b e d eſt obtuſus, & angulus, qui eſt apud b, eſt acutus. [quia enim angulus d e b eſt obtuſus per fabricationem, reliquus b e o eſt acutus per 13 p 1, & e b o acutus, quia ęquatus eſt d b e acuto. Quare d e, b o cõcurrent per 11 ax.] Con currant in o: & extrahamus etiam ex a lineam in ſuperficie trianguli d a e, cõtinentẽ cũ a e angulũ, æqualem angulo d a e. Cõcurret ergo cũ d e in o: quia duo anguli a e o, b e o ſunt æquales [per fabricationem & 13 p 1] & anguli, qui ſunt apud a, b, ſunt æquales [itaq per 26 p 1 b o, a o æquantur: ideoq́ concurruntin eodem puncto cõtinuatæ lineæ d e.] Et extrahamus e t ita, ut cõtineat cum e b angulum rectũ: & extrahamus t e ex parte e, & b o ex parte o: & concurrant in h, [concurrent autẽ per 11 ax: quia angulus h e b rectus eſt per fabricationem, & e b o acutus per concluſionem] & erit e t æqualis e h [per 26 p 1: anguli enim ad e deinceps recti æquantur: item q́ ad b per fabricationem: & b e commune latus eſt utriuſq trianguli b e t, b e h] & b t æqualis b h. Et ſimiliter extra hamus e k ita, ut contineat cum e a angulum rectum: & extrahamus illã ex parte e: & extrahamus a o, & concurrant in l [con current autem per 11 ax. ut proximè oſtenſum eſt.] Sic ergo k e erit æqualis e l, & k a æqualis a l, & t e æqualis e h [per 26 p 1, ut patuit.] Et continuemus t k, l h. Erũt ergo æquales [duo enim latera e l, e h æqualia concluſa ſunt duobus lateribus e k, e t, & angulus l e h æquatur angulo k e t per 15 p 1. Quare per 4 p 1 l h, k t æquantur.] Si ergo uiſus fuerit in d, & l h fuerit in aliquo ui ſibili: tunc d comprehendet l h in ſpeculo a b: & erit t imago h: & k imago l [per 6 n 5.] Sic igitur t k erit diameter imaginis l h: & eſt ei ęqualis. Si ergo reuoluerimus totam figuram, l h immo bili: tunc d faciet circulum. Et ſi uiſus fuerit in aliquo puncto il lius circumferentiæ, poterit comprehendere aliquod uiſibile, comparlineę l h: & erit imago eius æqualis ei. Et ſimiliter ſi uiſus fuerit in o, & res uiſa fuerit t k: erit imago æqualis rei uiſæ. Sed tamen cum res uiſa fuerit l h, & uiſus fuerit d, fueritq́ imago t k: erit imago conuerſa: ſi h fuerit in dextra, erit t in ſiniſtra: & ſi h fuerit in ſiniſtra, erit t in dextra: & ſi h fuerit ſupra lineam, erit t infra lineam: & ſimiliter l. Et ſi res uiſa fuerit t k, & uiſus fuerit o, & imago fuerit l h: forma eſt recta. Nam imago l h erit retro uiſum, & comprehendetur ante rem uiſam, ſicut declarauimus in capitulo im a ginis quinti tractatus [60 n.] Et uiſus comprehendet h, quod eſt imago t in linea h o, & l, quod eſt imago k, in l o. Patet ergo, quòd in ſpeculis concauis cõprehendatur res uiſa quãdoq æqualis ſibi.

42. In ſpeculo ſphærico cauo imago inter uiſum & ſpeculum aliquando minor eſt uiſibili & euerſa: pone uiſum aliquando maior eſt, & erecta. 49 p 8.

ITem: extrahamus b h rectè: & in ipſa ſignemus r, & cõtinemus r e. Sic ergo angulus r e b erit obtuſus: [quia h e b rectus eſt per fabricationẽ] & extrahamus r e ad n. Sic ergo t b erit maior b n: [Quia enim angulus b e r obtuſus eſt: ergo r e continuata ultra e faciet cum e b angulum acutũ page 217 per 13 p 1, minorẽ recto b e t, & terminabitur in linea b d inter pũcta b & t. Quare b t erit maior b n] er go linea r b eſt maior b n. [ſuperiore enim numero t b æqualis cõcluſa eſt ipſi b h, & r b maior eſt b h ք 9 ax: ergo r b maior eſt t b. Quare eadẽ multò maior eſt b n] & [per 3 p 6] proportio r b ad b n eſt, ſicut proportio r e ad e n. [angulus enim n b r bifariã ſecatur ք lineã b e, ut patuit ꝓximo numero.] Quare linea r e eſt maior quàm linea e n. Et extrahamus a l rectè in m: & ſit a m æqualis b r: & continuemus m e, & tranſeat uſq ad u. Erit ergo m e maior quàm e u [Quia enim latera e a, m a æquantur duobus lateribus e b, r b per 15 d 1, & proximam fabricationem, & angulus e a m æqualis concluſus eſt ſuperiore numero angu lo e b r: erit per 4 p 1 baſis m e æqualis baſi r e, & angulus m e a ęqualis angulo r e b, per concluſionem obtuſo: ergo m e a eſt obtuſus, & a e u acutus per 13 p 1. Quare cũ angulus a e u ſit minor angulo m e a, & u a e ęqualis e a m per cõcluſionẽ: reliquus a u e maior erit reliquo a m e per 32 p 1: ideoq́ per 19 p 1 in triangulo a u m latus m a maius latere a u: ſed ut m a ad a u, ſic m e ad e u per 3 p 6: quia angulus m a u bifariam ſectus eſt per rectam a e, ut patuit proximo numero. Quare m e ma ior eſt e u.] Et continuemus m r, n u: erit ergo m r maior quã n u [Nam quia anguli e a u, e b n æquales concluſi ſunt, & angulus a e u æquatur angulo b e n per 13 p 1: quia anguli m e a, r e b æquales demõſtrati ſunt, & a e ipſi e b: ęquabitur e u ipſi e n per 26 p 1: & m e æquatur ipſi r e per concluſionem, & angulus u e n angulo m e r per 13 p 1: erit per 7 p 5 m e ad r e, ſicut u e ad n e. Quare cum triangula m e r, u e n ſint per 6 p 6 æquiangula: erit per 4 p 6, ut m e ad e u, ſic m r ad u n. Itaque cum m e maior ſit per concluſionem ipſa e u, erit m r maior u n.] Si ergo m r fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit in d: erit n u diameter imaginis m r: & n u eſt minor quàm m r. Et ſi uiſus fuerit in o, & u n fuerit in aliquo uiſibili: erit m r imago n u: & eſt maior quàm n u. Sed cũ m r fuerit uiſibile, & n u fuerit imago, & d uiſus: erit imago cõuerſa. Et ſi res uiſa fuerit n u, & uiſus o: imago m r erit recta. Nam imago ſi fuerit ultra uiſum, uidebitur ante. Et omne punctum imaginis uidebitur in linea, in qua eſt de lineis radialibus.

43. In ſpeculo ſphærico cauo imago inter uiſum & ſpeculum aliquando maior eſt uiſibili, & euerſa: pone uiſum aliquando minor eſt, & erecta. 50 p 8.

IT ẽ: ſignemus in linea o h punctum q: & cõtinuemus q e: & trãſeat ad p: & ſit o f æqualis o q: [per 3 p 1] & continuemus e f, & tranſeat ad i. Erunt ergo duę lineæ p e, e i maiores duabus lineis e f, e q: [Quia enim angu lus a e l rectus eſt, ut patuit 4 n: erit a e f acutus. Itaq f e continuata ultra e, fac[?]iet cũ a e angulũ obtuſum per 13 p 1, & cadet ultra e k. Erit igitur a i maior a k: ſed a k æqualis concluſa eſt ci tato numero ipſi a l: ergo a i maior eſt a l, ideoq́ multò maior ipſa a f. Et quia angulus i a f bifariã ſectus eſt per rectã a e: erit per 3 p 6 uti a ad a f, ſic i e ad e f: ſed cum i a maior ſit a f: erit i e maior e f. Eodẽ argumento p e maior demonſtrabituripſa e q] & erit linea p i maior quàm linea f q [cum enim duobus ſuperioribus numeris æqualitas tum rectarum e h, e l, tum angulorum e h q, e l f demonſtrata ſit: & l f æquetur h q: quia tota a l æqualis eſt toti b h è concluſo duorũ numerorũ præcedẽtium, & pars o f parti o h per theſin: æquabitur reliqua l f reliquę h q per 19 p 5: & erit per 4 p 1 e f æqualis e q, & angulus l e fangulo h e q. Et quia anguli recti a e l, b e h: itẽ a e o, b e o ęquantur: reliquus l e o æquabitur reliquo h e o, & l e f æqualis oſtenſus eſt ipſi h e q: ergo f e o æquatur q e o, & ք 15 p 1, 1 ax. d e i ipſi d e p, & d e a æquatus eſt d e b, 41 n: reliquus igitur i e a æquatur reli quo p e b, & i a e æqualis concluſus eſt ipſi p b e, & a e æqualis ipſi b e per 15 d 1. Quare per 26 p 1 i e æquaturipſi p e, & angulus i e p angulo f e q per 15 p 1. Ergo ք 7 p 5.6 p 6 triangula i e p, f e q ſunt ęquiangula, & per 4 p 6, ut i e ad e f, ſic p i ad f q: ſed i e maior eſt e f è cõcluſo: ergo p i maior eſt f q.] Si ergo uiſus fuerit in o, & p i in aliquo uiſibili: erit f q imago p i: & f q eſt minor quã p i: & f q uidebitur ſuper duas lineas a o, b o. Erit ergo forma retro uiſum, & minor  res uiſa: & erit recta. Et ſi uiſus fue rit in d, & f q fuerit in aliquo uiſibili: erit p i imago f q: & eſt maior  f q: & erit forma ante uiſum con uerſa. Patet ergo, quòd in ſpeculis cõcauis cõprehẽditur forma rei uiſæ minor, & maior, & æqualis.

page 218

44. Si uiſus ſit citra centrum ſpeculi ſphærici caui, uiſibile ultra: imago tum uiſibilis, tum uidentis, euerſa & minor uidebitur. 51 p 8.

ITem: ſit ſpeculum concauum a b: & centrũ g: & habeat ſuperficiem planam, tranſeuntem per cẽ trum, & faciat circulum a b: & extrahamus lineam g d, quocunque modo ſit: & tranſeat ex parte gad e: & ſit uiſus in e: & ſit t in ſuperficie uiſus: & extrahamus t h perpendiculariter ſuper lineã e d: [per 11 p 1] & ſit z t ęqualis t h: & comprehendat e punctum h ex a: & g h producta in p, comprehendat arcum a p maiorem quarta circuli. Sic ergo erunt duo puncta a, h, à duobus lateribus puncti g. Nam ſi in eodem eſſent: tunc linea, quæ exiret à ſpeculo ad a, non diuideret angulum, quem conti nent duæ lineę radiales, per ęqualia [ſicq́, ut oſtenſum eſt 66 n 5, reflexio nulla fieret.] Et extrahamus lineas e a, a h, g a, g h: & tranſeat g h rectè ad k: duo ergo anguli apud a erunt ęquales: [per theſin & 12 n 4] & erit k imago h [per 6 n 5.] Et ſit arcus b d ęqualis arcui d a: [fiet autem ęqualis per 33 p 6, ſi per 23 p 1 ęquaueris angulum d g b angulo d g a] & continuemus lineas e b, b z, b g: & extrahamus z g ad l: & ſecet z b diametrum d g in f. Erunt ergo duo anguli apud b ęquales: [Quia enim a g, b g ęquantur per 15 d 1, & communis eſt g f, angulusq́ue a g f ęquatus eſt angulo b g f: ęquabitur baſis a f, baſi b f, & angulus f a g angulo f b g per 4 p 1. Eadem de cauſſa e a g, e b g æquãtur, quia angulus b g e ęquatur angulo a g e per 13 p 1. Quare cum anguli ad a ęquentur, anguli ad b ęquabuntur.] & comprehendetur z à uiſu ex b: [per 12 n 4] & erit punctum l imago z: [per 6 n 5] & cõtinue mus k l: erit ergo k l diameter imaginis z h. Et quia t h eſt perpendicularis ſuper d e, & z t eſt ęqualis t h: erunt duę lineę e a, a h ęquales duabus lineis e b, b z: [Quia enim t h, z t ęquantur per fabrica tionem, & t f communis, anguliq́ue ad t recti ſunt: ęquabitur baſis h f baſi z f per 4 p 1: & a fiam antè ęqualis concluſa eſt ipſi b f: itaque tota a h ęquatur to ti b z, & a e, b e ęquantur è cõcluſo] & duo anguli apud a ſunt ęquales duobus angulis apud b: erit h e ęqualis z e: [per 4 p 1] & linea g h eſt ęqualis lineę z h [per 4 p 1: quia z t, t h ęquantur per fabricationem, & communis eſt t g, anguliq́ue ad t recti ſunt.] Ergo duæ lineę a g, g h ſunt ęquales duabus lineis b g, g z, & baſis a h eſt ęqualis baſi b z: ergo [per 8 p 1] angulus a h k eſt ęqualis angulo b z l, & angulus h a k eſt ęqualis z b l: ergo h k eſt ęqualis z l [per 26 p 1: quia z b ęqualis concluſa eſt ipſi h a] & linea h g eſt ęqualis z g: [è concluſo] ergo g k eſt æqualis g l: [per 19 p 5] ergo k l eſt ęquidiſtans z h, [per 27 p 1: nam cum anguli ad uerticem g ęquentur per 15 p 1: ſitq́ue per 7 p 5 l g ad g k, ſicut g z ad g h: ęquabitur per 6 p 6 angulus z l k angulo l z h.] Item angulus h g a eſt obtuſus [ex theſi & 33 p 6] & duo anguli apud a ſunt æquales: ergo linea g h eſt maior linea g k: [Nam quia angulus a g h obtuſus: erit per 13 p 1 angulus a g k acutus, & h a g, g a k ſunt ęquales ex theſi[?]: quia punctum a eſt punctum reflexionis: quare per 32 p 1 angulus a k g maior eſt angulo a h k: & per 19 p 1 in triangulo a h k latus a h maius eſt a k: ſed ut a h ad a k, ſic h g ad g k per 3 p 6: quia angu li ad a æquales. Itaque cum a h maior ſit a k: erit h g maior g k] & ſimiliter z g eſt maior, quàm g l. Linea ergo k l eſt minor, quàm z h [cum enim triangula k g l, h g z ſint ęquiangula per 15 p 1. 6 p 6: erit ք 4 p 6, ut g k ad g h, ſic k l ad z h: & cum g k ſit minor g h, erit k l minor z h.] Sed k l eſt diameterimaginis z h: ergo z h uidetur minor, quàm ſit ſecundum ueritatem: & linea z h eſt ſuperficies faciei a‡picientis. Si ergo reuoluerimus circulum a d b, e d immobili: fiet ex duobus punctis a, b circulus in ſuperficie ſpeculi: & erit ſitus uiſus e, reſpectu cuiuslibet comparis lineæ z h ex illo circulo, quem ſignant puncta z, h, & ex omni arcu compari arcui a b ex portione ſpeculi, quam diuidit circulus, quem ſignant duo puncta a, b, ſicut eſt ſitus, quem uiſus e habet ex linea z h, & ex arcu a b. Et ſimiliter declarabitur, ſi poſuerimus lineã z h maiorem, aut minorẽ. Patet ergo ex his omnib. quòd diame ter ſuperficiei faciei aſpicientis cõprehenditur in ſpeculo cõcauo minor,  ſit. Sciendum ergo, quòd ſi fuerit uiſus in e: tunc aſpiciens comprehẽdet formam ſuam minorem,  ſit. Et quia k eſt imago h, & l eſt imago z: erit imago cõuerſa. Et ſic uifus e cõprehendet ſuam formam ſecundum quod eſt dextrũ in ſiniſtro, & ſurſum deorſum, & è contrario. Similiter ſi uiſus fuerit in quolibet puncto, inter quod & ſuperficiẽ ſpeculi fuerit centrũ ſpeculi: cõprehendet formã ſuã conuerſam. Et hoc eſt quod uoluimus. Patet ergo ex his quatuor figuris, quòd in ſpeculo concauo imago quandoq comprehẽditur maior: quandoq minor: quandoq ęqualis: & nunc recta, nunc conuerſa. Et in capitulo de ima gine [72 n 5] diximus, quòd in ſpeculo cõcauo imago quandoq erit una: quandoq duę: quandoq tres: & quandoq quatuor: & hoc idem accidit in his prędictis. Illud ergo, quod habet imaginem ſe maiorem, fortè habebit alias minores & ęquales: & quod imaginem habet minorem, fortè habebit alias maiores & minores. Et quod rectum uidebitur, fortè uidebitur ſub alia imagine conuerſum, & è contrario. Reſtat ergo declarare formas eorum, quæ comprehenduntur in his ſpeculis.

45. In ſpeculo ſphærico cauo imago lineæ rectæ aliquando uidetur recta. Et ſiduo lineæ rectæ termini reflectantur à duobus punctis peripheriæ circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficie page 219 rum, reflexionis & ſpeculi ſphærici caui) puncta dictæ rectæ intermedia à punctis dictæ peripheriæ intermedijs reflectentur. 54. 42 p 8.

SIt ergo ſpeculum ſphæricum concauum a b: & extrahamus in ipſo ſpeculo ſuperficiem planã, tranſeuntem per centrũ: & faciat circulũ a b circa centrũ e [faciet autem per 1 th. 1 ſphær.] & extrahamus in hoc circulo duas diametros ſe ſecãtes a e o, b e d: & ſpeculum nõ excedat arcũ b a d o: & ponamus in b e punctum z, quocunq modo ſit: & ponamus in linea a e punctum k: & ſit a k maior quàm k e: & continuemus z k: & tranſeat ad f: & continuemus e f: & ſit angulus g f e æqua lis angulo z f e. [per 23 p 1.] Quia igitur [per 7 p 3] f k eſt maior k a, & k a eſt maior quàm k e: [ex theſi] erit f k maior quàm k e: angulus ergo f e k maior eſt angulo e f k: [per 18 p 1] ergo eſt maior angulo e f g. Linea ergo f g concurret cũ linea k e. [ſi enim non concurrat: erit ad ipſam parallela: itaq per 29 p 1 angulus e f g æquabitur angulo f e k, quo minor eſt concluſus.] Concurrant ergo in g. Duæ ergo lineæ z f, f g reflectuntur propter angulos æquales z f e, g f e: [per 12 n 4] k ergo eſt imago g, ſi uiſus fuerit in z [per 6 n 5.] Et extrahamus lineam z l h quocunq modo ſit: & cõtinuemus e h, h g, z g: & extrahamus f e uſq ad m. Proportio ergo z m ad m g eſt, ſicut ꝓportio z f ad f g [per 3 p 6: quia angulus g f z bifariam ſectus eſt per rectã e f] & [per 7 p 3] z h eſt maior quàm z f, & g h eſt minor quàm g f. Ergo proportio z h ad g h eſt maior, quàm proportio z f ad f g: [ut conſtat ex 8 p 5] eſt ergo maior quàm proportio z m ad m g. Ergo [per 3 p 6] linea, quę diuidit angulũ z h g in duo æqualia, ſecat lineã m g: ſecat ergo lineã e g. Secet ergo lineam e g in r: ergo angulus g h e maior eſt angulo z h e: & h z ſecet a e in l. Ergo duæ lineæ z h, h r reflectũtur propter angulos æquales: [r h e, z h e per 12 n 4] & erit l imago r. Dico ergo, quòd forma cuiuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad uiſum z ex puncto aliquo arcus f h, & non ex alio. Huius rei demonſtratio eſt, quoniam in capitulo de imagine, quinto tractatu in duabus figuris [66 n] dictum eſt, quòd duo arcus a b, d o non poſſunt eſſe ta les, quòd ex illis reflectatur aliquid de linea e o ad z: & arcus e o non eſt de ſpeculo: [nam ex theſi ab arcu ſpeculi b a d o fit reflexio, cũ ille tantùm ſub uiſum in diametro d b poſitum cadat] nõ ergo remanet niſi arcus a d. Sed in triceſima quinta figura [66 n 5] dictum eſt, quòd forma cuiuslibet pũcti diametri e o reflectitur ab aliquo puncto arcus a d. Et in triceſima ſexta, capitulo de imagine [73 n 5] patuit, quòd nunquã reflectitur forma puncti lineæ g r ad z ex arcu a d, niſi ex ſolo puncto. Forma ergo cuiuslibet puncti lineæ g r reflectitur ad z ex uno ſolo puncto arcus a d. Et ponamus in linea g r punctum c. Dico ergo, quòd illud punctũ non erit, niſi in arcu fh. Sin autem reflectatur forma c ad z ex u, quod eſt in arcu a f: & continuemus lineas z u, e u, g u, c u. Linea ergo g u erit maior g f [per 7 p 3] & z u eſt minor quàm z f. Ergo [ut cõſtat ex 8 p 5] ꝓportio g u ad z u eſt maior proportione g f ad f z: ergo maior proportione g m ad m z [quia enim angulus g f z bifariam ſectus eſt per rectam f m: erit per 3 p 6 g f ad f z, ſicut g m ad m z.] Linea ergo, q̃ diuidit angulũ g u z per æqualia, ſecat lineam z m: ſecat ergo z e: angu lus ergo g u e eſt minor angulo e u z: ergo angulus c u e multò minor eſt angulo e u z. [Itaq cum anguli incidentiæ & reflexionis ſint inæquales: nulla à puncto u ad uiſum z fiet reflexio, ut patet per 12 n 4.] Et ſimiliter de quolibet puncto arcus a u. Forma ergo c non reflectitur ad z, niſi ex arcu h f. Et dico, quòd non poteſt reflecti ex arcu h d. Quod ſi fuerit poſsibile: reflectatur ex q, quod eſt in arcu h d: & continuemus lineas z q, c q, r q, e q, z r: & extrahamus e h ad n. Linea ergo z q eſt maior quã z h [per 7 p 3], & linea q r eſt minor quàm h r: ergo proportio z q ad q r eſt maior proportione z h ad h r: [ut patet per 8 p 5] quæ eſt, ſicut proportio z n ad n r [per 3 p 6: quia angulus r h z bifariam ſectus eſt per rectam h n.] Linea ergo, quæ diuidit angulum z q r in duo æqualia, ſecat lineam n r: ſecat ergo lineam e r: angulus ergo r q e eſt maior angulo e q z: angulus er go c q e eſt multò maior angulo e q z. Hoc idem ſequitur in omni puncto arcus h d. Forma ergo c non reflectitur ad z ex arcu h d: neque ex arcu a f. Sed iam patuit, quòd omnino debet reflecti ex arcu a d. Forma ergo c non reflectitur ad z, niſi ex aliquo puncto arcus f h [nam quòd à punctis h & freflexio nulla fiat, patet per 74. 75 n 5.] Reflectatur ergo ex t: & continuemus lineas c t, & z t. Quia page 220 ergo t eſt inter duo pũcta f, h: erit linea z t inter duas lineas z f, z h. linea ergo z t ſecat lineam k l: ſecet ergo lineam ipſam in i: i igitur eſt imago t [per 6 n 5] & t nullam habet imaginem niſi i. [quia ab uno tantùm puncto peripheriæ f h fit reflexio per 73 n 5.] Et ſic declarabitur, quòd imago cuiuslibet puncti lineę g r eſt punctum lineæ k l: k l ergo eſt imago g r: & k l eſt linea recta: quia eſt pars ſemidiametri circuli, a e: & g r eſt linea recta, quia eſt pars ſemidiametri circuli, o e. Ergo comprehen dit formam g r rectè in ſpeculo ſphærico a b. Et hoc eſt quod uoluimus.

46. In ſpeculo ſphærico cauo imagines linearum: conuexæ, cauæ, aliquando uidentur cõuexæ, cauæ: eadem́ obliquitate uiſum, qua ipſæ lineæ ſpeculum, reſpiciunt. 55 p 8.

ET iteremus figurã, & conſtituamus ſuper lineam g r à duobus lateribus duos arcus, quomodocunq ſint, ſcilicet g n r, g q r: & ſit arcus g n r non ſecans lineam g h: & ponamus in linea g r punctum m, quomodocunq ſit. Forma ergo m reflectitur ad z ex pũcto aliquo arcus f h [per proximum numerum.] reflectatur ergo ex t: & continuemus lineas z t, & m t. Duo ergo anguli z t e, e t m ſunt æquales [per theſin & 12 n 4.] Linea ergo m t ſecabit arcũ g n r: ſecet ergo in n: & extrahamus lineã t m in parte m: ſecabit ergo g q r: ſecet ergo in pũcto q: & cõtinuemus n e: & extrahatur rectè: ſeca bit ergo z t ſub linea k l: ſecet ergo illã in i: & cõtinue mus q e: & extrahamus ipſam rectè: ſecabit ergo z t ſupra k l: ſecet ergo ipſam in p. Quia ergo duo angu li ad t ſunt æquales: [per theſin & 12 n 4] erit i ima go n: [per 6 n 5] & duo puncta k, l imagines duorum punctorum g, r. Imago ergo arcus g n r, eſt linea tranſiens per puncta k, i, l, ut linea k i l. Sed linea k i l eſt conuexa ex parte uiſus z: & arcus g n r eſt conuexus ex parte ſpeculi. Ergo uiſus z comprehendet formam lineæ g n r conuexæ, lineam conuexam. Et quia duo anguli apud t ſunt æquales [nimirũ p t e, q t e per theſin & 12 n 4] erit p etiam imago q [per 6 n 5] & erit linea l p k ex parte uiſus cõcaua: & eſt imago arcus g q r, cõcaui ex parte ſuperficiei ſp‡ culi. Ergo uiſus z comprehendet formam arcus g q r concaui, lineam concauam. In ſpeculis ergo concauis ex quibuſdam ſitibus comprehenditur linea conuexa, conuexa: & concaua, concaua.

47. In ſpeculo ſphærico cauo lineæ: recta, & curua conuexa parte ſpeculum reſpiciens, habent aliquando imagines curuas: recta quatuor: curua unam: omnes́ caua parte uiſum reſpiciunt. 56 p 8.

ITem: ſit ſpeculum concauum: in quo ſit circulus a b d maximus: & centrum g: & extrahamus lineam b g, quomodocunq ſit: & diuidamus ex ipſa lineam g t maiorem medietate: & extrahamus ext lineam e t z perpendicularẽ ſuper b g: & ſit utraq e t, t z æqualis t g [per 3 p 1.] Et cõtinuemus e g, g z: & deſcribamus circa triangulũ e g z circulũ: [per 5 p 4] ſecabit ergo circulũ a b d in duobus punctis: [per 10 p 3] nam punctũ t eſt centrũ huius circuli [per 9 p 3: æquatæ enim ſunt rectæ e t, t z, t g] & t g eſt maior t b. Secet ergo circulus iſte circulum a b d in punctis a, d: & continuemus lineas g a, g d, e a, e b, e d, z a, z b, z d. Quia ergo duæ lineæ e t, t z ſunt æquales: erunt duæ lineæ e g, g z æquales: [per 4 p 1: quia t g communis eſt, & anguli ad t per fabricationem recti ſunt] & ſimiliter e b, b z æquales. Et quia duo arcus e g, g z ſunt æquales: [per 28 p 3: quia ſubtenduntur a b æqualibus rectis e g, g z] duæ lineæ e a, a z reflectentur inter ſe propter angulos æquales [nam anguli e a g, z a g per 27 p 3 æquantur] & duæ lineæ e b, b z reflectentur inter ſe propter angulos [‡ b g, z b g] æquales [per 27 p 3.] Et quia g t eſt maior quàm t b: [ex theſi] erit g e maior quàm e b. [Quia enim anguli ad t ſunt recti per fabricationem, æquabitur per 47 p 1 quadratum e g quadratis g t, e t: item quadratum e b quadratis b t, e t: itaque cum quadratum g t ſit maius quadrato t b: quia g t maior eſt t b ex theſi: ſubducto communi e t: erit per 5 ax. quadratum e g maius quadrato e b: ideoq́ue latus e g maius latere e b.] Angulus ergo e b g eſt maior angulo e g b [per 18 p 1] & angulus e g b eſt ſemirectus. [Quia enim angulus ad t rectus eſt per fabricationem, & t e g, t g e æquales per 5 p 1: quia e t, g t æquales poſitæ ſunt: erit eorum quilibet dimidius unius recti per 32 p 1.] Igitur duo anguli e g b, e b g ſimul ſunt maiores recto: ergo angulus b e g eſt recto minor: [ք 32 p 1] & angulus e g z eſt rectus [ք 31 p 3.] Ergo duæ lineæ e b, g z cõcurrẽt extra circulũ in parte b z [ք 11 ax.] Cõcurrant ergo in l. Et quia e d eſt intra triangulũ l e g: cõcurret cũlinea g m: cõcurrat ergo in m. Et quia g b trãſit per centrũ z e g circuli: erit portio a g minor ſemicirculo: ergo [ք 31 p 3] angulus a e g eſt obtuſus, & angulus e g z eſt rectus. Ergo illæ duæ lineæ a e, z g cõcurrẽt in parte e g [erunt enim anguli ad e & g dictis angulis deinceps, minores duobus rectis per 13 p 1. Quare cõcurrent ex parte e g per 11 ax.] Concurrant ergo in f. Si ergo uiſus fuerit in e, & z in aliquo uiſibili: tunc puncta page 221 m, l, f eruntimagines punctiz. Sic ergo z comprehendetur in tribus locis [quia à tribus punctis a, b, d reflectitur ad uiſum e.] Item extrahamus ex e lineam ad arcum d z, quomodocunque ſit: & ſit e k: & continuemus g k: & ſecet arcum d z in k: & continuemus lineam k z, Quia ergo arcus e g, g z ſunt æquales: [ex concluſo] erunt [per 27 p 3] duo anguli e k g, g k z æquales. Et continuemus g k in r: & extrahamus e r, z r. Ergo angulus e r g eſt maior angulo g r z. [Quia enim anguli e k g, z k g æquales ſunt concluſi: æquabuntur anguli e k r, z k r per 13 p 1. Poſitis igitur angulis ad r æqualibus: erunt triangula e k r, z k r æquiangula per 32 p 1: & per 4 p 6 r k ad duasrectas k e, k z eandem habebit rationem. Quare ipſæ erunt æquales per 9 p 5: ideoq́ & peripheriæ e a d k & k z ipſis ſubtenſæ per 28 p 3: quod fieri non poteſt. Nam quia rectæ a g, d g æquantur per 15 d 1: æquabuntur peripheriæ a g, d g ipſis ſubtenſæ per 28 p 3: & e g æqualis concluſa eſtipſi z g, reliqua igitur a e æquatur reliquæ d z: ergo e a maior eſt k z per 9 ax: ergo e a d k multò maior eſt k z. Quare angulus e r g non eſt æqualis angulo g r z: nec eſt eo minor: quod eodem argumento oſtendetur. Angulus igitur e r g maior eſt angulo g r z] Sit ergo angulus g r n æqualis angulo e r g [per 23 p 1.] Duæ ergo lineæ e r, r n reflectentur inter ſe, propter angulos æquales [per 12 n 4] & extrahamus e r ad q: erit ergo q imago n reſpectu e. Et imaginemur ſuperficiem exeuntem à linea m g f, perpendiculariter ſuper circulum a b d: & extrahamus ex z lineam in hac ſuperficie, perpendicularem ſuper g z, & tranſeat in utranque partem. Sit ergo c z p: & ponamus g centrum: & in longitudine g n faciamus arcum circuli c n p: ſecabit ergo lineam c z p in duobus punctis: & ſint c, p: & continuemus lineas g c, g p. Erunt ergo in ſuperficie perpendiculari ſuper ſuperficiem a b d: & extrahamus g c, g p rectè: & ſuper g, & in longitudine g q faciamus arcum circuli: ſecabit ergo duas lineas g c, g p: ſecet in s, o. Quia ergo ſuperficies a b d circuli eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum g c, g p: erunt duo anguli e g s, e g o recti [per 4 d 11] & e g perpendicularis ſuper ſuperficiem g c p: erit ergo [per 18 p 11] utraque ſuperficies e g s, e g o perpendicularis ſuper ſuperficiem s g o: & utraque iſtarum duarum ſuperficierum facit in ſpeculo circulum magnum, [per 1 th. 1 ſphær.] comparem circulo a b d. Punctum ergo circuli compar puncto r, eſt, quod facit ſuperficies e g s. Ergo concurrunt ex ipſo ſecundum angulos æquales duæ lineæ inter duo puncta e, c: & ſimiliter inter duo puncta e, p: & lineæ g c, g p ſunt æquales [per 15 d 1] & lineæ g s, g q, g o ſunt æquales: & q eſt imago n: & s imago c: & o imago p. Imago ergo arcus c n p conuexi ex parte ſpeculi, eſt arcus s q o concauus ex parte uiſus: & leſt imago z: & duo puncta s, o ſunt imagines c, p. Imago ergo lineæ c z p eſt linea tranſiens per puncta s, l, o: & talis eſt concaua ex parte uiſus. Et ſignemus lineam tranſeuntem per puncta s, l, o: & extrahamus lineam e g a d h. Si ergo ſpeculum non peruenit ad duo puncta b, h, ſed alter ſuorum terminorum fuerit inter duo puncta b, h, & reliquus fuerit infra h, & uiſus fuerit in e: & duæ lineæ p z c, p n c fuerint in aliquo uiſibili: tunc forma lineæ p z c rectæ, erit concaua, ſcilicet s l o: & forma arcus p n c conuexi erit etiam linea concaua, ſcilicet s q o. Et p z c recta habebit unam imaginem: & arcus p n c habebit unam imaginem. Item extrahamus b g ad i: & continuemus lineas e i, i z: iſtæ ergo duæ lineæ reflectuntur ſecundum angulos æquales: [Quia enim e b, z b æquales ſunt concluſæ, & communis eſt b i: anguliq́ue e b i, z b i æquales per 27 p 3, ut patuit: æquabuntur per 4 p 1 anguli e i b, z i b] & e i ſecabit f g: ſecet ergo in u: u ergo erit imago z [per 6 n 5.] Puncta ergo m, l, u, f ſunt imagines z. Et ſi ſpeculum exceſſerit duo puncta a, d, & uiſus fuerit in e, & dorſum aſpicientis fuerit ex parte arcus a i, & comprehenderit totum arcum i d a: tunc z uidebitur in quatuor locis, ſcilicet l, m, u, f: & uidebit duo puncta p, cin duobus punctis s, o: & ſic linea recta p z c habebit quatuor imagines concauas: una tranſibit per puncta s, m, o, ſcilicet linea s m o: ſecunda tranſibit per puncta s, l, o, ſcilicet linea s l o: tertia tranſibit per puncta s, u, o, ſcilicet linea s u o: quarta tranſibit per puncta s, f, o, linea ſcilicet s f o. Pa page 222 tet ergo ex hac figura, quòd linea recta in ſpeculis concauis comprehendatur concaua: & conuexa comprehendatur concaua: & quòd recta habet plures formas concauas.

48. Si duo uiſibilis puncta à duobus ſpeculi ſphærici caui punctis adunum uiſum reflexa, in eadem ſpeculi diametro imagines ſuas habeant: recta inter centrum ſpeculi & imaginem longinquiorem, ad rectam inter idem centrum & punctum uiſibilis à ſpeculi centro longinquius, maiorem rationem habet: quàm recta inter ſpeculi centrum & imaginem propinquiorem, ad rectam inter idem centrum & punctum uiſibilis centro ſpeculi propinquius. 43 p 8.

ITem: ſit ſpeculum concauum, per cuius centrum tranſeat plana ſuperficies: & faciat circulum a b g [faciet autem per 1 th. 1 ſphær.] & ſit centrum d: & extrahamus ex d lineam, quocunque modo ſit: & ſit d g: & tranſeat extra circulum: & extrahamus ex d in ſuperficie huius circuli lineam perpendicularem ſuper lineam d g [per 11 p 1] & ſit d a: & abſcindamus de angulo a d g recto particulam paruam, quomodocunque ſit: & ſit angulus g d e, ita ut inter angulum rectum & angulum a d e ſit multiplum anguli e d g: [id quod fieri poteſt continua anguli recti biſſectione, donec angulus a d e ſit multiplex ad angulum e d g] & diuidamus angulum a d e in duo æqualia, per lineam d b [per 9 p 1] & abſcindamus de angulo b d a æqualem angulo e d g, per lineam z d: & extrahamus ex d lineam continentem cum b d angulum rectum: & ſit d x: & extrahamus a d in parte d: & ſit d k: & extrahamus ex z lineam continentem cum z d angulum, æqualem angulo k d x: & ſit z h. Hæc ergo linea concurret cum d a: [per 11 ax.] Nam duo anguli k d x, a d z ſunt minores duobus rectis [ideoq́ue a d z, h z d ijſdem ſunt minores: quia h z d æquatus eſt angulo k d x.] Concurrant ergo in h. Angulus ergo z h d eſt æqualis angulo z d x. [Quia enim tres anguli z d h, z d x, k d x æquantur duobus rectis per 13 p 1: quibus item æquantur tres anguli trianguli z d h per 32 p 1: tres igitur illi tribus his æquantur. Itaque cum z d h communis æquetur ſibi ipſi, & d z h æquatus ſit ipſi k d x: reliquus z h d æquabitur reliquo z d x.] Et extrahamus ex z lineam continentem cum z h angulum, æqualem angulo b d k obtuſo: & ſit z l. Duo ergo anguli l z d, b d z ſunt minores duobus rectis. [Quia enim anguli b d k, b d a æquantur duobus rectis per 13 p 1: erunt anguli, b d k, id eſt, per fabricationem, l z h, & b d z minores duobus rectis: ideoq́ue l z d, b d z ijſdem multò minores erunt.] Linea ergo z l concurret cum d b [per 11 ax.] Concurrant ergo in l: & continuemus l h: & [per 5 p 4] circa triangulum h l d faciamus circulum d h l: tranſibit ergo per z [per conuerſionem 22 p 3] quia duo anguli l z h, l d h ſunt æquales duobus rectis [quia æquantur duobus angulis b d k, l d h æqualibus duobus rectis per 13 p 1.] Anguli ergo l h z, l d z ſunt æquales [per 27 p 3] quia baſis eorum eſt idem arcus: [l z] ſed angulus z h d eſt æqualis angulo z d x: [per concluſionem] remanet ergo angulus l h d æqualis angulo l d x: & angulus l d x eſt rectus: [per fabricationem] ergo angulus l h d eſt rectus. Et abſcindamus exlinea d e lineam d m, æqualem d h [per 3 p 1] & continuemus l m. Angulus ergo l m d eſt rectus. [quia per 4 p 1 æquatur angulo l h d recto concluſo: duo enim latera h d, l d æquantur duobus lateribus m d, l d, & angulus h d l angulo m d l per fabricationem.] Circulus ergo l h d tranſit per m [per conuerſionem 31 p 3 demonſtratam à Theone in commentarijs in 3 librum magnæ conſtructionis Ptolemæi] & ſecat arcum b e in compari pun cto z. Secet ergo in f: & continuemus d f. Angulus ergo l d f erit æqualis angulo l d z: [per 27 p 3: quia arcus l m eſt æqualis arcui l h. [Quia enim triangulo l m d circulus circumſcriptus eſt, & angulus ad m rectus ex concluſo: erit l d diameter circuli per conſectarium 5 p 4, ſeu page 223 31 p 3. Quare ſemiperipheria l f d æquatur ſemiperipheriæ l z d: & peripheria d m æquatur peripheriæ d h per 28 p 3, quia d m, d h æquatæ ſunt: reliqua igitur l f m æquatur reliquę l z h] & arcus m f eſt æqualis arcui z h. [Nam propter æqualitatem ſemidiametrorum d f, & d z, ęquantur periphe riæ d m f, d h z per 28 p 3: & per eandem peripheriæ d m & d h ęquales concluſæ ſunt: reliqua igitur m f æquatur reliquæ z h.] Ergo arcus l f eſt ęqualis arcui l z [per 3 ax: quare per 27 p 3 anguli l d f, l d z ęquabuntur.] Et continuemus lineas h b, h f, f m, b m, f z, f b. Angulus ergo b h d eſt acutus [quia l h d rectus eſt concluſus] & angulus g d h rectus [per fabricationem.] Ergo linea h b concurret cũ linea d g extra circulum [per 11 ax.] Concurrant ergo in q: h f ergo concurret etiam cum d g extra circulum [eadem de cauſſa.] Concurrant ergo in n. Et extrahamus f b, quouſque ſecet arcum l z: ſecet ergo in r: & continuemus r m: angulus ergo f r m, qui eſt in circumferentia, reſpicit arcum f m: & [per 16 p 1] angulus f b m eſt maior angulo f r m: & angulus f b m eſt in circumferentia a b g. Ergo ſi b m linea extrahatur ex parte m: abſcindet de circulo a b g arcum maiorem ſimili arcui f m circuli l h d [per 33 p 6] & arcus f m eſt ſimilis duplo arcus f e: [angulus enim duplus anguli f d e in periphe ria circuli a b g conſtituti, inſiſtit in peripheriam duplam peripheriæ f e per 33 p 6] & arcus f e eſt æqualis arcui a z: [quia enim anguli a d b, e d b ęquantur propter angulum a d e per rectam b d bifariam ſectum: & z d b, f d b per concluſionem: ęquabitur reliquus a d z reliquo f d e: ideoq́ue peripherię a z peripherię f e per 26 p 3] & arcus a z eſt ęqualis arcui e g [per 26 p 3: quia angulus a d z ęquatus eſt angulo e d g.] Ergo arcus f e eſt ęqualis arcui e g: ergo arcus g f eſt duplus arcus g e: er go arcus g f eſt ſimilis arcui f m. Si ergo b m extrahatur rectè in partem m: abſcindet de circulo a b g arcum ultra punctum g, maiorem arcu f g. Linea ergo b m ſecabit lineam d g inter duo puncta g, d. Secet ergo in o: & extrahamus lineam f m: & ſecet d o in u: [ſecabit autem: quia ſecat angulum d m o à baſi d o ſubtenſum] & extrahamus b m in parte b: & ſecet arcum l r in c: & continuemus c d. Quia ergo angulus b f z eſt in circumferentia a b g: erit [per 20 p 3] angulus b f z dimidius angu li b d z: ſed angulus b d z eſt multiplus anguli z d a: [è fabricatione] ergo angulus b f z eſt multiplus anguli z d h: ergo [per 33 p 6] arcus r z eſt multiplus arcus z h: & arcus c z eſt maior arcu r z [per 9 axiom.] ergo arcus c z eſt multiplus arcus z h. Et continuemus c h: angulus ergo c h d cum angulo c m d, eſt æqualis duobus rectis: [per 22 p 3] ergo angulus c h d eſt æqualis angulo b m e. [Nam per 13 p 1 anguli c m d, c m e ęquantur duobus rectis, quibus etiam ęquantur per proximam concluſionem c h d, c m d: communi igitur c m d ſubducto, reliquus c h d æquabitur reliquo c m e ſeu b m e.] Sed angulus z h d addit ſuper angulum c h d, angulum c h z, qui eſt æqualis angulo c d z: [per 27 p 3: quia uterque inſiſtit in eandem peripheriam c z] & angulus c d z eſt multiplus anguli z d a, [per 33 p 6: quia peripheria c z multiplex oſtenſa eſt peripheriæ z h.] Ergo angulus c h z eſt multiplus anguli e d g: [quia multiplex eſt ad angulum z d h, æqualem ipſi e d g.] Ergo angulus z h d excedit angulum c h d multiplo anguli e d g. Angulus ergo z h d eſt æqualis angulo f m d: quia arcus f m d eſt ęqualis arcui z h d [per concluſionem. Itaque per 2 ax. peripheria z f d, in quam inſiſtit angulus z h d, ęquabitur peripheriæ f z d, in quam inſ‡ſtit angulus f m d: & idcirco z h d æquabitur f m d per 27 p 3] & angulus c h d, ut declarauimus, eſt ęqualis angulo b m e. Ergo angulus f m d excedit angulum b m e multiplo anguli e d g: ergo angulus f m d excedit angulum o m d multiplo anguli e d g: [quia angulus o m d ęquatur angulo b m e per 15 p 1] & angulus m o g excedit angulum o m d angulo e d g [nam angulus m o g æquatur angulis o m d & e d g per 32 p 1.] Ergo angulus f m d excedit angulum m o g, multiplo anguli e d g: & angulus f m d excedit angulum m u d, angulo e d g ſolo: [quia per 32 p 1 æquatur angulis m d u ſeu e d g & m u d] ergo angulus m u d eſt maior angulo m o g: ergo angulus m o u eſt maior angulo m u o: [Nam quia anguli ad u deinceps ęquantur angulis ad o deinceps per 13 p 1: & m u d maior concluſus m o g: reliquus igitur m o u maior eſt reliquo m u o] ergo [per 19 p 1] linea m u eſt maior linea m o. Et quia arcus z h d eſt ęqua lis arcui f m d: erunt duo anguli h f d, m f d æquales [per 27 p 3: quia peripheriæ h d, m d æquales ſunt concluſæ.] Duæ ergo lineæ h f, f u reflectentur æqualiter: & ſimiliter h b, b o reflectentur ęqua liter [propter concluſam æqualitatem angulorum h b d, o b d] q ergo eſt imago o: & n imago u [per 6 n 5.] Et extrahamus ex m lineam æquidiſtantem lineæ h q [per 31 p 1] & ſit m s: & extrahamus ex m etiam lineam æquidiſtantem lineæ h n: & ſit m p. Quia ergo [per 16 p 1] angulus h n d eſt maior angulo h q d: erit angulus m p o maior angulo m s o. [nam per 29 p 1 angulus m s o æ quatur angulo ad q, & angulus m p o æquatur angulo ad n] p ergo erit inter duo puncta s, u. Et quia angulus h d n eſt rectus [ex theſi:] erit angulus h n d acutus [per 32 p 1] ergo angulus m p d eſt acutus: ergo [per 13 p 1] angulus m p s eſt obtuſus: ergo [per 19 p 1] linea m s eſt maior, quàm m p: ſed m u eſt maior, quàm m o, ut diximus: ergo proportio s m ad m o eſt maior, quàm proportio p m ad m u: [ut patet per 8 p 5] & [per 29 p 1.4 p 6] proportio s m ad m o eſt, ſicut proportio q b ad b o: quia m s eſt æquidiſtans b q: & ſimiliter proportio p m ad m u eſt, ſicut proportio n f a d f u: ergo [per 11 p 5] proportio q b ad b o eſt maior, quàm proportio n f ad f u: & proportio q b ad b o eſt, ſicut proportio q d ad d o: & proportio n f ad f u eſt, ſicut proportio n d ad d u, ut declarauimus in capitulo de imagine [64 n 5.] Ergo proportio q d ad d o eſt maior, quàm proportio n d ad d u. [Eſt autem q, imago puncti o, à centro ſpeculi d longinquior: & o punctum uiſibilis ab eodem centro eſt longinquius. n uerò, imago puncti u centro ſpeculi d eſt propinquior: & u alterum uiſibilis punctum eodem centro d eſt propinquius.] Quare patet propoſitum.

page 224

49. In ſpeculo ſphærico cauo imago lineæ rectæ aliquando uidetur conuexa. 57 p 8.

HIs præoſtenſis, iteremus circulum, & perficiamus demonſtrationem, ne multiplicentur & lineæ, & dubitentur literæ. Sit ergo circulus in ſecunda figura a b g: & centrum d: & extrahamus lineam d q: & ſit d b æqualis d b in prima figura: & d o æqualis d o in prima figura: & d q ſit compar ſibi in prima figura: & ſimiliter d u: & extrahamus ſuper d q perpendicularem ſuper ſuperficiem circuli [per 12 p 11] & ſit d h æqualis ſibi in prima figura. Angulus ergo h d q erit rectus: [per 3 d 11] & circulus, quem facit h d q in ſpeculo, erit ex circulis, ex quibus forma punctorum o, u reflectitur: & erit arcus, quem menſurant lineæ h d, d q, æqualis arcui a g in primo circulo: [per 33 p 6: quia uterque ſubtendit angulum rectum] & ex duobus punctis iſtius arcus, comparibus duobus punctis b, f, reflectentur duo puncta lineæ u p ad duo puncta n, q æqualiter. Erit ergo q imago o, & n imago u. Et extrahamus ex u perpendicularem lineam in ſuperficie circuli a b g, ſuper lineam d u [per 11 p 1] & ſit z u e: & ſit d centrum: & in longitudine d o faciamus arcum circuli: ſecabit ergo lineam z u e in duobus punctis: [quia punctum o altius eſt puncto u, ex prima theſi] ſecet ergo in z, e: & ſit arcus z o e: & continuemus d z, d e: & extrahamus extra circulum: & à d & in longitudine d q faciamus arcum t q: ſecabit ergo duas lineas d z, d e in t, k: & continuemus t k: ſecabit ergo lineam d q in l. Quia ergo h d eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli: uterque angulus h d t, h d k erit rectus: [per 3 d 11] & utraque ſuperficies h d t, h d k faciet in ſuperficie ſpeculi circulum [per 1 th. 1 ſphær.] & arcus, qui eſt inter duas lineas h d, d t erit æqualis arcui, qui eſt inter duas lineas h d, d q: & ſimiliter arcus, qui eſt inter duas lineas h d, d k & utraque linea d z, d e eſt æqualis lineę d o [per 15 d 1.] Ergo hi duo arcus ſunt huiuſmodi, quòd ex illis reflectentur ſecundum angulos æquales duo puncta z, e: [ut demonſtratum eſt 66 n 5] & duæ lineæ d t, d k ſunt æquales lineæ d q [per 15 d 1.] Ergo punctum t eſt imago z, & k eſt imago e. Et quia lineæ d t, d q, d k ſunt æquales: & lineæ d z, d o, d e ſunt æquales: erit [per 7 p 5] proportio d t ad d z, ſicut proportio q d ad d o, & ſicut proportio k d ad d e. Sed proportio q d ad d o, ut in prima figura [præcedentis numeri] præoſtendimus, eſt maior proportione n d ad d u. Ergo proportio d t ad d z eſt maior proportione n d ad d u: & ſimiliter k d ad d e. Et quia duæ lineę z d, d e ſunt æquales, & duę lineæ d t, d k ſunt æquales: erit li nea t k æquidiſtans z e [per 2 p 6: eſt enim per 7 p 5 d t ad d z, ſicut d k ad d e: & per 17 p 5, ut t z ad z d, ſic k e ad e d.] Ergo [per 2 p 6. 18 p 5] utraq proportio d t ad d z, & k d ad d e erit, ſicut proportio l d ad d u. Ergo proportio l d ad d u eſt maior proportione n d ad d u: ergo linea l d eſt maior linea n d [per 10 p 5.] Ergo n eſt inter l, u. Sed n eſt imago u: & duo puncta t, k ſunt imagines z, e. Er go imago lineæ z u e rectæ, eſt linea tranſiens per puncta t n k: & linea, quæ tranſit per hæc puncta, eſt conuexa. Ex quibus patet, quòd linea in ſpeculis concauis quandoque uidetur conuexa in quibuſdam ſitibus.

50. In ſpeculo ſphærico cauo imagines linearum: cauæ, conuexæ, aliquando uidentur cauæ. 58 p 8.

ITem: ponamus in linea z u punctum m, quocun que modo ſit: & circa centrum m, & in longitudine m u faciamus arcum r u f. Iſte ergo arcus ſecabit arcum u o e in duobus punctis: [per 10 p 3] ſecet in r, f: & continuemus lineas d r, d f: & tranſeant rectè, quouſque concurrant in arcu t q k, in p, i. Superficies ergo duarum linearum h d, d p faciet in ſpeculo circulum, à cuius circumferentia reflectentur lineę ad r: & ſimiliter ſuperficies duarum linearum h d, d i faciet in ſpeculo circulum, à cuius circumferentia reflectentur lineæ ad f. p ergo eſt imago r, & i eſt imago f: & n eſt ima go u. Imago ergo arcus r u f, eſt linea tranſiens per i, p, n. Sed hęc linea erit concaua ex parte uiſus, & arcus r u f eſt concauus ex parte ſuperficiei ſpeculi. Cum ergo uiſus fuerit in h, & unaquęque linearum z u e, z o e, r u f fuerit in aliquo uiſibili: tunc linea z u e recta comprehendetur conuexa: & page 225 linea z o e conuexa, comprehendetur concaua: & r u f concaua: conuexa. Si ergo unaquęque linea rum z u e, z o e, r u f habuerit unam imaginem: tunc forma illarum linearum erit eodem modo, quo declarauimus: & ſi habuerit alias imagines: fortè erunt ſimiles alijs imaginibus, & fortè diuerſæ. Patet ergo ex iſtis figuris, quòd lineę rectæ in ſpeculis concauis quandoque comprehenduntur rectæ: quandoque conuexæ: quandoque concauæ: & lineæ conuexæ quandoque comprehenduntur conuexæ: quandoque concauę: & concauę quandoque comprehenduntur conuexę: quandoque concauę. Formę ergo ſuperficierum uiſibilium comprehenduntur aliter, quàm ſunt, in huiuſmodi ſpeculis. Nam lineę rectę non ſunt, niſi in ſuperficiebus rectis: & cum linea recta, quę exiſtit in ſuperficie plana, comprehenditur conuexa aut concaua: tunc ſuperficies, in qua ipſa linea eſt, comprehendetur conuexa aut concaua. Cum ergo uiſus comprehendat lineas conuexas & concauas, & rectas aliter, quàm ſint: comprehendet ſuperficies, in quibus ſunt, aliter, quàm ſint. Patet ergo ex prę dictis, quòd in omnibus, quæ in ſpeculis concauis comprehenduntur, accidit fallacia: ſed in quibuſdam accidit ſemper, & in omni poſitione, in quibuſdam accidit in aliqua poſitione. Fal lacię autem compoſitæ accidunt in his ſpeculis eo modo, quo incompoſitæ. Et hoc uoluimus declarare.

De erroribvs, qvi accidunt in ſpeculis columnaribus concauis. Cap. VIII.

IN his autem accidunt ſimiles eis, qui accidũt in ſphęricis concauis. Accidunt enim fallaciæ, quę proueniunt ex reflexione, ſcilicet debilitas lucis & coloris: & diuerſitas ſitus, & remotionis, quę accidunt omnibus ſpeculis. Accidit autem eis ex diuerſitate quantitatis ſimile illi, quod accidit in ſpeculis ſphęricis concauis. Et uidetur etiam unum uiſibile, unum: & duo: & tria: & quatuor: & rectum & conuexum ſecundum diuerſos ſitus: & planum uidetur concauum & conuexum. Oſten demus ergo qualiter in his ſpeculis diuerſatur quantitas & numerus rei uiſæ: & qualiter apparet re ctum & conuerſum eo modo, quo in ſpeculis ſphęricis concauis declarauimus.

51. Siuiſus ſit extra planũ lineærectæ, parallelæ axi ſpeculi cylindraceicaui: imago aliàs uidebitur recta & maior ipſa linea: aliâs caua: aliâs cõuexa: aliâs ſimplex: aliâs multiplex. 25 p 9.

ITeremus ergo primam figuram ex duabus figuris pręmiſsis in fallacijs ſpeculorum columnariũ conuexorum, & ijſdem literis. In illa autem figura [quę eſt 26 n] patuit, quòd lineę e g, g t, e b, q b, e a, a h reflectuntur ſecundum angulos æquales: & quòd lineę e k, h a, q b, t g coniunguntur in o: & quòd linea a b g eſt linea recta extenſa in longitudine ſpeculi: & quòd lineę g z, b l, a d ſunt perpẽdiculares ſuper ſuperficiẽ, contingentẽ ſuperficiem, quæ trãſit per lineã a b g: & quòd linea a b g eſt perpẽdicularis ſuք ſuperficiẽ, in qua eſt triãgulũ e b o: & quòd linea t q eſt æqualis q h, & a b ęqualis b g: & quòd s c, i ſunt imagines h, q, t: & quòd c eſt propinquius puncto e, quàm linea s i: & quòd linea s i eſt in ſuperficie trianguli u h t: & quòd duæ lineæ u h, u t ſunt æquales: & quòd u s & u i ſunt æquales: & quòd duæ lineæ e s, e i ſunt æquales. Et continuemus c u: & ſecet s i in æ: diuidet ergo ipſam in duo æqualia: nam h t eſt diuiſa in duo æqualia in q: [& linea i s parallela eſt ipſi t h: quia cũ tota t u æqualis concluſa ſit toti h u, & pars i u parti s u: erit reliqua t i æqualis reliquæ h s: eſt igitur per 7 p 5, ut u i ad i t, ſic u s ad s h: ergo per 2 p 6 h t & s i ſunt parallelæ. Itaque triangula t u q, i u æ: item q u h, æ u s ſunt æquiãgula per 29 p 1: & per 4 p 6, ut t q ad q u, ſic i æ ad æ u: & ut q u ad q h, ſic ę u ad ę s: ergo per 22 p 5, ut t q ad q h, ſic i æ ad æ s. Quare cũ 26. 27 n, t q ęquata ſit ipſi q h: ęquabitur i æ ipſi ę s] & erit c u in ſuperficie trianguli q u e, quæ eſt ſuperficies circuli b f, ęquidiſtantis baſi ſpeculi: ergo c erit in ſuperficie trianguli c u e: & eſt in ſuperficie trianguli c e i: ergo c eſt in linea, quæ eſt differentia cõmunis his duabus ſuperficieb. ſed hęc differẽtia eſt linea e b: [ք 3 p 11] ergo c eſt in recti tudine e b: & duę lineę h u, t u ſunt ſub duob. pũctis d, z: nã duę lineę h u, t u ſunt perpẽdiculares exe untes ex h, t ſuper duas lineas, cõtingẽtes duas portiones, in quarũ circuferẽtia ſunt puncta a, g. Superficies ergo triãguli u h t eſt ſub axe d l z. Sed nullũ pũctũ huius axis, quãuis exeat in infinitũ, erit in ſuperficie trianguli u h t. Nam ſi eſſet: tunc ſi continuaretur cũ aliquo puncto lineæ h t linea re page 226 cta: tuncilla ſuperficies, in qua eſſet illa linea recta & linea h t eſſet ſuperficies trianguli u h t: & illa ſuperficies eſſet illa, in qua ſunt duæ lineæ æquidiſtantes h t, d z: & ſic ſuperficies, in qua ſunt duę lineæ h t, d z, eſſet ſuperficies trianguli h u t: & ſic axis eſſet in ſuperficie trianguli h u t: ſed axis eſt æquidiſtans lineæ h t poſitione. Et axis ſecat duas lineas h u, t u: & linea t h eſt in ſuperficie trian guli u e h, quæ eſt ſuperficies reflexionis: & linea communis huic ſuperficiei & ſuperficiei columnę, eſt aliqua ſectio columnaris. Superficies ergo e u h ſecat axem columnæ in uno puncto, ſcilicet in d, ut præoſtendimus [27 n.] Et ſi axis ſecet lineá h u: punctum ſectionis cum linea h u erit in ſuperficie trianguli u e h: ſed in hac ſuperficie nõ eſt punctum, per quod axis tranſeat, præter d: ergo linea h u iecat axem in d: & iam oſtendimus [24 n] quòd h u ſecat eum in puncto ſub d: quod eſt impoſsibile. Ergo axis d z eſt extra ſuperficiem u h t, & propinquior puncto e, quàm ſuperficies h u t. Superficies ergo, in qua ſunt lineæ h t, d z, eſt propinquior puncto e, quàm ſuperficies u h t: & c eſt in ſuperficie, in qua ſunt h t, d z: quia eſt in linea q l: & q l eſt in ſuperficie, in qua ſunt h t, d z: [per 7 p 11] ergo c eſt propinquius e, quàm s i: ſed c eſt in rectitudine e b [ut patuit.] Si ergo e b exiuerit in parte b: perueniet ad c: perueniet ergo ad c. His præoſtenſis, dico quòd linea s i, quæ eſt æquidiſtans axi ſpeculi, cum fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit in o ex parte concauitatis columnæ, & ſuperficies ſpeculata fuerit ſuperficies concaua: tunc s i comprehendetur ex o m ſpeculo concauo a b g à linea a b g: & diuerſabuntur imagines eius ſecundum diuerſitatem diſtãtiæ ab axe, cuius demonſtratio eſt. Quia angulus e b m eſt acutus [quia m b a eſt rectus ex theſi 26 n] ergo [per 15 p 1] l b c eſt acutus: & linea e b c eſt in ſuperficie circuli b f: & l b eſt diameter huius circuli [per 34 n 4.] Ergo e b c ſecat circulum: ergo c b eſtintra concauitatem ſpeculi: & ſimiliter o b erit intra cõcauitatem ſpeculi: quia angulus o b l eſt acutus, & duo anguli o b l, c b l ſunt æquales duobus angu lis e b m, q b m: [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b m, q b m, ęqualibus concluſis 27 n] & l b eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem columnam, quæ tranſit per b. Forma ergo c extenditur per c b, & peruenit ad b, & reflectitur per b o, & comprehenditur à uiſu in o [per 7 n 5.] Item in quinto capitulo [27 n] cum fuimus locuti de ſpeculis columnaribus conuexis, declarauimus, quod ſuperficies contingens columnam m g, erit ſub e: ergo e g ſecat ſuperficiem contingentem: ſecat ergo lineam contingentem circum ferentiam ſectionis in g: ſecat ergo ſectionem, & cadit intra ipſam: cadet ergo intra concauitatẽ ſpeculi: ergo duæ lineæ o g, g i ſunt intra concauitatem ſpeculi: & z g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentcm columnam in g [quia ex theſi perpendicularis eſt a g lateri cylindraceo: & duo anguli o g z, i g z ſunt æquales: quia per 15 p 1 æquantur angulis e g n, t g n, æqualibus per 4 p 1.] Ergo forma i extenditur per i g, & peruenit ad g, & reflectitur per g o, & comprehenditur in o per lineam g o. Et ſimiliter s extenditur per s a, & peruenit ad a, & reflectitur per a o, & comprehenditur in o. Et iam declarauimus, cum tractauimus de fallacijs ſpeculorum columnarium conuexorum [27 n] quòd duæ lineæ h u, t u ſunt perpendiculares ſuper ſuperficies, contingentes ſectiones, tranſeuntes per duo puncta a, g. Imago ergo s eſt in linea h u, & a o linea radialis, quæ extenditur ex uiſu ad punctum reflexionis: ergo imago s eſt in a o: h ergo eſt imago s: [per 7 n 5] & ſic patet, quòd t eſt imago i. Et continuemus c l. Quiaergo c reflectitur ad o ex circumferentiæ puncto b: erit imago c in line a cl: & o b eſt linea radialis, quæ extenditur inter uiſum & punctum reflexionis. Ergo imago c eſt in puncto communi c l & o b [per 7 n 5] nempe in puncto q. Sed in capitulo de imagine, cum tractauimus de imaginibus ſpeculorum ſphæricorum concauorum [60 n 5] patuit, quòd imago puncti, cuius forma reflectitur à concauitate circuli, fortè concurret cum radiali linea, quæ eſt inter uiſum & punctum reflexionis, ultra ſpeculum: & fortè inter uiſum & ſpeculum: & fortè in centro uiſus: & fortè ultra centrum uiſus: & fortè c l æquidiſtans erit o b. Et in illo capitulo [86 n 5] patuit, quòd fortè imago erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Imago ergo fortè erit in b q: fortè ultra o q: & fortè in b o: & fortè in o: & fortè ultra: & fortè imago t q erit unum punctum: aut duo: aut tria: aut quatuor. Si ergo imago c fuerit q: tũc h q t erit diameter imaginis s i. Si ergo omnes imagines s i fue rint in linea h q t: tunc forma eius erit linea recta: nã mediũ eius eſt in rectitudine duarũ extremitatũ h t. Si aũt imago c fueritultra q: tunc imago s i erit ferè cõcaua ex parte uiſus. Et ſi imago c fuerint plura puncta: tunc imago cerunt plures lineæ, quarum omnium extremitates cõiungentur in duo page 227 bus punctis h, t: & media earum erunt diſtincta & ſeparata: & h t eſt diameter imaginis s i, quocunque modo fuerit imago: & diameter eſt cõmunis omnibus imaginibus eius, ſi plures habuerit imagines: & linea h t eſt maior, quàm si, modica quantitate. Patet ergo, quòd cum lineæ rectæ, æquidiſtantes axi columnaris ſpeculi concaui fuerint in aliquo uiſibili: imago earum fortè erit recta aut concaua, & fortè una, aut plures.

52. Si uiſus à terminis lineæ rectæ æquabiliter diſtans, ſit extra ipſius planum, perpendicula re plano axis ſpeculi cylindr acei caui: imago uidebitur maximè caua. 27 p 9.

ITem: iteremus ſecundam figuram de fallacijs ſpeculorum columnarium conuexorum [29 n.] In hac autem figura dictum eſt: quòd duæ lineæ e b, h b reflectuntur ſecũdum angulos æquales: & quòd duæ lineæ e g, t g reflectuntur ſecundum angulos æquales: & quòd h b, t g perueniunt a d l: & h b continet cum b o angulum acutum. Ergo h b ſecat ſuperficiem, contingentem columnam in b: b l ergo eſt ſub concauitate columnæ: & ſimiliter g l: & ſimiliter duæ lineæ b r, g y: & duo anguli l b d, d b r ſunt æquales [quia per 15 p 1 æquantur angulis e b o, h b o æqualibus] & ſimiliter l g d, g d y ſunt æquales. Si ergo r y fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit in l, & ſuperficies concaua columnæ fuerit terſa: tunc forma r extenditur per r b, & peruenit ad b, & reflectitur ք b l: & perueniet ad l, & comprehendetur in l. Et linea h u eſt perpendicularis ſuper lineam, contingentem ſectionem, ex cuius circumferentia reflectentur duæ lineæ b r, b l: h ergo eſt imago r [per 7 n 5.] Similiter decla rabitur, quòd forma y extenditur per y g, & reflectitur ք g l: & imago eius eſt t. Et continuemus q u: ſecabit ergo r y in m: m ergo eſt in ſuperficie tranſeunte per axem & per l: nam l & q ſunt in hac ſuperficie, [ut demonſtratum eſt 29 n.] Ergo q u eſt in hac ſuperficie [nam 29 n oſten ſum eſt, quòd planum ductum per uiſum & axem ſpeculi, in quo eſt linea e l d, ſecat lineam h t in puncto q: eſtq́ue punctum u in linea e l d: linea igitur q u eſt in plano per uiſum & axem ſpeculi ducto per 1 p 11: ideõque & punctum m.] Et quia duo puncta m, l ſunt in ſuperficie tranſeunte per axem columnæ: ideo forma m reflectetur ad l in hac ſuperficie. Et quia a z eſt differentia communis inter columnę ſuperficiem, & ſuperficiem, tranſeuntem per ſuum axem, & per l: forma ergo m reflectetur à linea a z. Et continuemus e m, quæ eſt in hac ſuperficie: & e l eſt in hac ſuperficie: & punctum e eſt elongatum à ſuperficie contingente ſuperficiem columnæ in linea a z [ut patuit 29 n.] Ergo ſi a z extrahatur rectè in parte z: concurret cum duabus lineis e m, e l. Concurrat ergo cum e m in i, & cum e l in n: ergo n eſt inter duo puncta e, l: quia l eſt intra con cauitatem columnæ, & n eſt in ſuperficie columnæ: & e eſt elõgatum à columna: & in dem onſtratione huius figuræ [29 n] patuit, quòd circulus b g eſt medius inter lineam h t, & ſuperficiem exeuntem ex e, æ quidiſtantem baſibus columnæ: & perpendicularis, quæ exit ex e ſuper a z, eſt in ſu perficie exeunte ex e, æ quidiſtante columnæ. Ergo perpendicularis, quæ exit ex e ſuper lineam a z n, cadit extra triangulum e i n, & in parte n: angu lus ergo e i n eſt acutus: [per 32 p 1] ergo [per 15 p 1] angulus m i a eſt acutus: ergo m i n obtuſus [per 13 p 1.] Extrahamus ergo ex m perpendicularem ſuper a i [per 12 p 1] & ſit m k: k ergo erit ultra i, reſpectu 11. [ſi enim caderet inter i & n: eſſent triãguli tres anguli maiores duobus rectis contra 32 p 1: quia angulus m i n obtuſus eſt concluſus.] Et extrahamus m k ex parte k, in s: & diuidamus k s ad æqualitatem k m: ergo s erit extra ſuperficiem ſpeculi, & ultra concauitatem eius, & l erit ſub concauitate eius. Et continuemus l s: ſecabit ergo n k in f: & ex f extrahamus f x ad æquidiſtantiam m k. Cum ergo [per 29 p 1] f x ſit perpendicularis ſuper a n, & in ſuperficie tranſeunte per axem & per l: ergo eſt diameter circuli exeuntis ex f & æquidiſtantis baſi columnæ [per 34 n 4.] Linea ergo f x eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem columnam, tranſeuntem per a z [ſicut oſtenſum eſt 54 n 5.] Et continuemus m f: erit ergo æqualis f s: [per 4 p 1: quia k s, k m æquantur per fabricationem, & communis eſt k f, angulique ad k recti] & duo anguli qui ſunt, apud m, s erunt æquales: [per 5 p 1.] Et quia x f eſt æquidiſtans m g: erunt [per 29 p 1] duo anguli apud f æquales duobus angulis, qui ſunt apud s, m [ideóque anguli x f m & x f l æquabuntur.] Duæ ergo lineę m f, f l reflectuntur ſecundum angulos æquales: & x f eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculum in f. Forma ergo m extenditur per m f, & reflectitur per f l: & imago eius erit s [per 7 n 5.] Et quia duæ lineæ r y, h t ſunt æquidiſtantes, & perpendiculares ſuper ſuperficiem tranſeuntem per axem, & per l: quia h t fuit poſita talis: [29 n] ideo duæ ſuperficies exeuntes à duabus li page 228 neis h t, r y, erunt æquidiſtantes & perpendiculares [per 18 p 11.] Et quia r y eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem tranſeuntem per axem & per l: ideo [per 18 p 11] ſuperficies duarum linearum rm, m s erit perpendicularis ſuper ſuperficiem, tranſeuntem per axem & per l: & erit m s differentia cõmunis his duabus ſuperficiebus. Et quia a k eſt in ſuperficie tranſeunte per axem: [per 21 d 11: quia pars eſt lateris cylindracei] & eſt perpendicularis ſuper m s [per fabricationem] quę eſt differentia communis inter ſuperficiem, trãſeuntem per axem, & inter ſuperficiem duarum linearum r m, m s: erit a k n perpendicularis ſuper ſuperficiem duarum linearum r m, m s: & linea a n eſt æquidiſtans axi columnæ [per 21 d 11:] ergo [per 8 p 11] axis columnæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt r m, m s. Superficies ergo iſta eſt perpendicularis ſuper axem columnæ: s ergo eſt in ſuperficie exeunte ex linea r y, perpendiculari ſuper axem columnæ: ſed linea h t eſt in ſuperficie perpendiculari ſuper axem, æquidiſtante ſuperficiei ex linea r y: s ergo eſt extra h t, & propinquius l, quàm ſint h & t: & duo puncta h, t ſunt imagines r, y: & punctum s eſt imago m: imago ergo lineæ r m y eſt linea tranſiens per h, s, t: ſed talis eſt linea arcualis: quia s eſt extra h t. Et tranſeat per puncta h, s, t linea h s t arcualis. Et quia h t ſecundum poſitionem [29 n] fuit elongata à conuexo columnæ: erit h t ultra ſuperficiem ſpeculi, reſpectu l: & iam declarauimus, quòd s eſt ultra concauitatem ſpeculi, reſpectul. Ergo tota linea h s t erit ultra concauitatem ſuperficiei ſpeculi: & e l eſt ſub concauitate ſpeculi: ergo l eſt extra ſuperficiẽ, in qua eſt linea h s t: arcualitas igitur lineæ h s t apparebit uiſuil manifeſtè. Et quia f eſt in ſuperficie columnæ, & t h ultra columnam, eſt in ſuperficie trianguli l h t: erit linea l f s altior quàm ſuperficies trianguli l h t. Linea ergo l s erit altior duabus lineis l h, h t, reſpectu uiſus. Ergo s eſt altius, quàm duo puncta h, t. Linea ergo h s t apparebit uiſuil concaua.

53. Si uiſus ſit in plano lineæ rectæ, obliquo adplanum axis ſpeculi cylindracei caui: imago uidebitur caua & euerſa. 28 p 9.

ITem: ſecemus columnam per ſuperficiem decliuem ſuper axem eius: faciet ergo ſectionem columnarem [per 9 th. cylindricorum Sereni.] Sit ergo a b g. Sed in prima figura de columnis con cauis [91 n 5] declaratum eſt, quòd in ſuperficie cuiuslibet ſectionis columnæ exit à puncto reflexionis perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem, ex cuius extremitatibus reflectuntur formæ. Sit ergo perpendicularis g a: & ſit b e k perpendicularis ſuper lineam, contingentem circũferentiam ſectionis in b: & ſit b prope g. b k ergo ſecabit perpendicularem g a ſub axe, & continebit cum ipſa angulum acutum. [per 24 n: punctum enim b tam propin quum ipſi g ſumitur, ut recta à puncto b, & perpendicularis à reflexionis puncto in axe angulum acutum cõprehendant.] Secet ergo in e. Angulus ergo b e g erit acutus [per 32 p 1.] Et extrahamus ex g lineam ad æquidiſtantiam lineæ b k: & ſit g d. Angulus ergo d g e erit acutus: [quia per proximam fabricationem & 29 p 1 æquatur angulo b e g acuto] ergo g d e erit intra concauitatem columnæ. Et pona mus angulum e g l æqualem angulo e g d: [per 23 p 1] g l ergo concurret cum b e in l: [per 11 ax. quia anguli ad g & e acuti, minores ſunt duobus rectis] & ſignemus punctum m in linea l e: erit ergo m a g acutus: [quia per 16 p 1 minor eſt angulo g e m acuto] ergo a m eſt intra ſectionem. Et ponamus angulum g a d æqualem angulo g a m: ergo a d concurret cũ g d: [per 11 ax.] nam duo anguli, qui ſunt apud a, g, ſunt acuti, Concurrant ergo in d. a d igitur ſecabit b k [per lemma Procli ad 29 p 1.] Secet ergo in t. Cum ergo l k fuerit in aliquo ui ſibili, & uiſus fuerit in d: tunc forma l uidebitur in g: [ut oſtẽ ſum eſt 90 n 5] quia forma l reflectetur ad d ex g, & quia d g eſt æquidiſtans perpendiculari b l k: Et forma m uidebitur in t: quia forma m reflectitur ad d ex a: & t imago eſt m. Et tranſeat per d ſuperficies æquidiſtans baſi columnæ: [ut oſtenſum eſt 47 n 5] ſeca bit ergo ſectionem a b g, & faciet in ſuperficie columnæ circulum p o r [per 5 theor: cylindricorum Sereni.] Superficies ergo huius circuli ſecabit b k: ſecat enim g d, quæ eſt ei æquidiſtans. Ergo ſecet b k in k: & ſit centrum circuli p o r, punctũ h: & continuemus d h, & tranſeat ad r: & cõtinuemus k h, & tranſeat ad p. Forma ergo k reflectitur ad d ex circumferentia arcus r p, ut patuit de imaginibus ſpeculorum [73 n 5.] Reflectatur ergo ex o: & cõtinuemus k o, d o, h o. Anguli ergo, qui ſunt apud o, ſunt æquales: [per 12 n 4] & d o ſecabit h p in n. n ergo eſt imago k. Et cõtinuemus k d: k d er go erit differentia communis inter circulum r p & ſectionem a b g. Nam duo puncta k, d ſunt in utraque ſuperficie, & nihil de ſuperficie ſectionis a b g eſt in ſuperficie circuli r p, niſi linea k d: g ergo eſt extra circulum: & ſimiliter b: & ſunt in ſuperficie ſectionis: & n eſt in ſuperficie circuli r p: & forma l m k tranſit per puncta g, t, n: & linea, quæ tranſit per hæc puncta, eſt arcualis: ſed ſuperficies ſectionis eſt decliuis ſuper ſuperficiem columnæ: [per 9 th. cylindricorum Sereni] axis ergo ſectio nis non tranſit per totum axem columnæ, neque eſt æquidiſtans baſi columnæ. Patet ergo ex hac figura & duabus præmiſsis, quòd lineæ rectæ æquidiſtantes axi columnæ, & æquidiſtantes baſi eius: & etiam illæ lineæ, quæ obliquantur ſuper ſuperficiem eius: fortè uidebuntur arcuales, fortè re ctæ, fortè conuerſæ. Et quia t eſt imago m, & n imago k: erit forma m k conuerſa. Et ſi linea etiam fuerit in ſuperficie circuli, æquidiſtante baſibus columnæ, cuius ſuperficies tranſit per centrũ uiſus, page 229 ut dictum eſt de imaginibus ſpeculorum concauorum in ſeptimo capitulo huius tractatus: forma fortè erit æqualis recta: fortè conuerſa. Patet ergo, quòd forma eorum, quæ comprehenduntur in ſpeculis columnaribus concauis, fortè erit recta, fortè conuerſa.

54. Siuiſus ſit in plano lineæ rectæ, perpendiculari plano axis ſpeculi cylindracei caui: imago uidebitur recta & euerſa: aliâ s maior: aliâs minor: aliâs æqualis ipſi lineæ: aliâs ſimplex: aliâs multiplex. 29 p 9.

ITem: iteremus formã tertiæ figurę de fallacijs ſpeculorũ cõcauorũ ijſdẽ literis exiſtentibus: [41. 42. 43 n] & ſit circulus b z a in ſuperficie ſpeculi columnaris cõcaui: & ſit uiſus in d. Erit ergo extra ſuperficiẽ circuli: & erunt duæ lineæ e a, e b perpendiculares ſuper ſuperficies, cõtingentes ſu perficiẽ colũnę: & erit ſuperficies trianguli d g e perpẽdicularis ſuք ſuperficiẽ circuli [ք 18 p 11] ꝗa g d eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ circuli [ut oſtẽſum eſt 41 n.] Superficies ergo trianguli d g e trãſit per totũ axẽ: & in neutra ſuperficie d b o, d a o eſt aliquid de axe colũnæ, niſi e, q eſt centrũ circuli. Et utraq ſuperficies d b o, d a o facit in ſuperficie columnę ſectionem: [per 9 th. cylindricorum Sereni] & formæ reflectuntur ex his ſectionibus à duobus punctis a, b [ut patuit 41 n.] Forma ergo r reflectitur ad d ex b: & forma m reflectitur ex a: & n u erit diame ter imaginis m r: [ſunt enim puncta n & u imagines punctorum r & m per 7 n 5] & eſt minor quàm m r: [ut demonſtratum eſt 42 n.] Et ſimiliter duo puncta h, l reflectentur ad d ex duobus punctis à, b: & erit t k diameter imaginis l h: & erit e i æqualis [ut patuit 41 n] & erit p i diameter imaginis f q: & eſt maior illa. Et omnes iſtæ imagines erunt conuerſæ [ut oſtenſum eſt 43 n.] Et ſi uiſus fuerit in o, & lineæ p i, t k, n u fuerint uiſibiles: erunt è contrario: tunc enim diameter imaginis p i erit minor ipſa: & diameter imaginis n u erit maior ipſa: & diameter t k erit ei æqualis. Et oẽs imagines erũt rectæ. Et omnia iſta oſtẽſa ſunt in prædicto ca pitulo. Item cum utraq extremitas alicuius harũ habuerit unam imaginẽ, & aliquod punctũ in medio habuerit plures imagines: tũc illa linea habebit totimagines, quot punctũ mediũ habet. Et ſi utraq extremitas, uel altera habuerit plures imagines, & punctum mediũ habuerit unã: tunc linea tot habebit imagines, quot habet punctũ extremũ. Et ſi utraq extremitas uel altera habuerit multas imagines, & pũctũ mediũ habuerit multas imagines: tunc linea tot habebit imagines ſecundum maiorem numerum. Et hoc patebit, ut de imaginibus patuit ſpeculorum ſphæricorum concauorum. In ſpeculis ergo columnaribus concauis accidit fallacia in omnibus, quæ in eis comprehenduntur, ſicut accidit in ſpeculis ſphæricis concauis: ſcilicet de formis ſpecierum uiſibilium, & de quantitatibus: & de numero ſuarum imaginum: & de rectitudine, & de cõuerſione, cum fallacijs, quę appropriantur reflexioni. Et fallaciæ erunt inhis, ut in ſpeculis prædictis. Ethoc eſt, quod uoluimus declarare in hoc capitulo.

De erroribvs, qvi accidvnt in specvlis pyramidalibus concauis. Cap. IX.

IN his autem accidunt illæ fallaciæ, quæ accidunt in ſpeculis columnaribus concauis. Debilitas uerò coloris & lucis: & diuerſitas poſitionis, & remotionis accidunt in his, ſicut in omnibus ſpe culis: nam cauſſa huius eſt reflexio. Accidit etiam in his ſpeculis multitudo imaginum, ſicut in ſpeculis columnaribus & ſphæricis concauis dictũ in capitulo [ſecũdo libri quinti] de imaginibus.

55. Si lineæ: recta uel curua obliquè incidant uertici ſpeculi conici caui: reflectentur à latere conico ad uiſum inter ipſas & ſpeculi ſuperficiem poſitum: & imago rectæ uidebitur parum curua: curuæ, recta. 31 p 9.

ACcidit etiam in eis, quod in columnaribus concauis, ſcilicet ut rectum uideatur conuexum & concauum. Huius autem demonſtratio eſt: quod rectæ lineæ, quæ extenduntur in longitudine ſpeculi, quæ tranſeunt per uerticem pyramidis, & quæ ſunt prope illas, uidentur con uexæ, & fortè rectæ. Et demonſtratio ſuper hoc eſt, ut demonſtratio in ſpeculis columnaribus concauis. Nam ſi itera uerimus ſecundam figuram de fallacijs ſpeculorum pyramidalium conuexorum [quæ eſt 32 n] inueniemus diametrum imaginis lineæ rectæ poſitæ in illo ſpeculo, quæ eſt illic linea a n, intra concauitatẽ ſpeculi pyramidalis: & inueniemus punctũ, quod eſt ſub ſuperficie contingen te pyramidẽ, tranſeuntẽ per lineã longitudinis, à qua reflectitur forma lineę rectę ad uiſum: quod illic punctum f. Si igitur fuerit punctum illud centrum uiſus: erunt omnia puncta, quę ſunt in diame page 230 tro imaginis reflexa ad pũctũ f: & imagines duarum extremitatum a p y erunt extremitates lineæ rectæ a n: & loca imaginis puncti p, quod eſt in medio a y, diuerſabuntur. Et hoc declarabitur eadẽ uia, qua proceſsimus in demonſtratione primę figurę ſpeculorũ columnarium concauorũ. Patet ergo ex hoc, quòd ſi a p y fuerit in aliquo uiſibili, & uiſus fuerit f: tunc imago fortè uidebitur conuexa, & fortè cõcaua. Et patet etiam in figura ſecũda de fallacijs ſpeculorum columnarium conca uorum [52 n] quòd lineæ poſitæ in latitudine ſpeculi apparebunt concauæ concauitate mirabili: & quòd imagines linearũ, quæ ſunt in ſuperficiebus tranſeuntibus per axem & per centrum uiſus, erunt rectæ.

56. Si uiſus ſit in communi ſectione planorum: lineæ rectæ & axis ſpeculi conici caui, inter ſe perpendicularium: imago uidebitur recta & euerſa: aliâs maior: aliâs æqualis: aliâs minor ipſa line a: aliâs ſimplex: aliâs multiplex. 34 p 9.

ITem: iteremus tertiam figuram de fallacijs ſpeculorum ſphæricorum concauorum ijſdem literis [quæ fuit 41 n.] Si ergo aliquod punctum fuerit in axe pyramidis: & duæ lineæ e a, e b fuerint perpendiculares ſuper ſuperficies, contingentes pyramidem: & hoc eſt poſsibile: quia ſunt æquales: poſſunt enim cum axe continere duos angulos acutos æquales. Cum ergo hæ duę lineæ fuerint perpendiculares, & fue rit uiſus d: tune ſuperficies, in qua ſunt g e, e d, tranſibit per totũ axem, & per centrũ uiſus: & utraq ſuperficies d a o, d b o erit decliuis ſuper axem pyramidis: & erunt differentię earũ duæ ſectio nes pyramidis [per 5 th. 1 conicorum A pollonij] & erunt formæ punctorum h, r, q reflexę ad d ex b: & formæ punctorum l, m, f reflectẽtur ad d ex a. Cum ergo lineę m l f, r h q fuerint in aliqua ſuperficie uiſibili, & uiſus fuerit in d: tunc n u erit imago m r: & t k erit imago l h: & p i erit imago f q [ut oſtenſum eſt 54 n.] Sic ergo imago m r erit minor ſe ipſa: & imago f q maior ſeipſa: & imago l h æqualis ſibi ipſi. Et omnes imagines erunt conuerſæ. Et ſi uiſus fuerit in o, & n u, t k, p i fuerint in ſuperficiebus uiſibilium: tunc imagines earum erunt m r, l h, f q. Sic ergo erit imago f q ſeipſa minor: & imago n u maior: & imago t k æqualis. Et iſtæ imagi nes erunt rectæ. Nam iſtæ imagines erunt ultra centrum uiſus, & comprehen duntur ante uiſum ſuper lineas radiales. Puncta ergo m, l, f comprehenduntur in linea a o: & puncta r, h, q comprehenduntur in o b: & ſic forma reflectetur recta. Patet ergo ex his, quę diximus in hoc capitulo: quòd lineæ rectę quandoq uidentur in his ſpeculis conuexæ: quandoq concauæ: quandoq rectæ: & quandoq maiores: & minores: & æquales: & quãdoq rectę, con uerſæ. Et in capitulo [ſecundo libri quinti] de imagine declarauimus, quòd omne punctum uiſibile in huiuſmodi ſpeculis quandoque habet unam imaginem: quandoque duas: & tres: & quatuor. In omnibus ergo, quæ comprehenduntur in his ſpeculis, accidit fallacia, ut in columnaribus concauis: acciduntq́ etiam in eis fallaciæ compoſitæ, ſicut in cæteris ſpeculis: & exempla, & declaratio eorum ſunt, ſicut in ſpeculis planis. Et hoc intendimus declarare in hoc capitulo: nunc autem finiamus ſextum tractatum.

page 231
▼ Liber VII