Friedrich Risner, Vitellonis De Optica: Liber I
▲ Introductio ▲

Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber primvs.

Definitiones.

OVAE uerò per modum principiorum huic primo libro præmittimus, ſuntiſta. 1. Cathetum dicimus lineam perpendicularẽ ſuper ſuperficiem aliquam, erctam. 2. Polum dicimus omnem punctum lineæ ſuper ſuperficiem circuli à centro orthogonaliter erectæ. 3. Conuexam lineam uel ſuperficiem dicimus, quæ extrinſecus aliquam regularem curuitatem habet. 4. Lineam cõcauam uel ſuperficiem dicimus, quæ intrinſecus aliquam regularem curuitatem habet. 5. Lineam ſuper ſuperficiem conuexam uel concauam perpendicularem dicimus, quæ ſuper planam ſuperficiẽ in puncto ſuæ incidentiæ ſuperficiem conuexam uel concauam contingentem eſt erecta. 6. Circuli ſeinuicem ſecantes dicuntur, quorum diametris eſt aliqua linea communis, uno reliquum non continente. 7. Circulus magnus ſphęræ dicitur, qui tranſiens cen trum ſphæræ, diuiditipſam in duo æqualia. 8. Minor uerò circulus ſphæræ dicitur, qui neque tranſit centrum ſphæræ, neque diuiditipſam in duo æqualia. 9. Sphæras æquales dicimus, quarum diametri ſunt æquales. 10. Sphæras uel circulos ſeinuicem continentes, ęquidiſtantes dicimus, inter quas à centro maioris ductæ lineæ à conuexo minoris ad concauum maioris ſunt æquales. 11. Sphæras ſe inuicem cõ tingentes dicimus, quæ ſe tangentes extrinſecus uelintrinſecus nõ ſecant. 12. Sphę ras ſeinuicem interſecantes dicimus, cùm ſphęris ſe non continentibus, diameter unius per alteram reſecatur. 13. Sphęras intrinſecus ſe interſecantes dicimus, quarum maior pars unius in altera continetur. 14. Superficiem planam ſphæram contingere dicimus, quæ cum ſphæram tangat, ad omnem partem educta, non ſecat. 15. Denominatio proportionis primi ad ſecundum, dicitur quantitas, quę ducta in minorem producit maiorem: uel quæ maiorem diuidit ſecundum minorem. 16. Proportio dicitur componi ex duabus proportionibus, quando denominatio illius proportionis producitur ex ductu denominationum illarum proportionum, unius in alteram.

Fig. 251

b a c d

Petitiones.

Petimus autem hæc. 1. Aequales angulos ſuperidem punctum conſtitutos, æqualem continere diſtantiam æqualium linearum: ut ſi anguli a b c, & c b d ſint æquales, & linea a b & b d ſint æquales: tantum diſtabit linea a b à linea b c, quãtum linea b d diſtat ab eadem linea b c. 2. Item inter quælibet duo puncta lineam, & inter quaslibet duas lineas ſuperficiem poſſe extendi. 3. Item, cum duæ planæ ſuperficies ſe contingunt, unã ex eis fieri ſuperficiem. 4. Item duas planas ſuperficies corpus non includere. 5. Item omnes eaſdem proportiones ex ſimilibus proportionibus componi, & in ſimiles proportiones diuidi, & eaſdem habere denominationes.

page 5

Theoremata‡

1. Omnes lineæ æquidiſt antes in eadem ſuperficie plana neceſſariò conſiſtunt. É 35 definit. 1 element.

Sint duæ lineæ æquidiſtantes, quæ a b & c d utcunque diſpoſitæ:

Fig. 252

a c b d
dico quòd ipſæ ſunt in eadem ſuperficie plana: copulentur enim per lineam b d. Quoniam ergo lineæ a b & b d angulariter coniunguntur: palàm quoniam ipſæ ſunt in eadem ſuperficie per 2 p 11. Similiter, quia lineę e d & b d angulariter coniunguntur, eruntipſæ in eadem ſuperficie: Sed linea b d eſt in una tantum ſuperficie plana, quoniam ipſius partem eſſe in ſublimi, partem in plano, eſt impoſsibile ք 1 p 11. Palàm ergo, quoniam lineę a b & c d neceſſariò conſiſtunt in eadem plana ſuperficie contenta inter eas & inter lineas, extremitates illarum linearum copulantes: quod eſt propoſitum.

2. Lineam à puncto unius linearum æquidiſtantium in eadem ſuperficie protr actam, cum alter a indefinitæ quantitatis concurre re eſt neceſſe. Lemma Procli ad 29 p relement.

Sint duæ lineæ æquidiſtantes, quæ a b & c d: quarum unam, ſcilicet a b, ſecet linea b e in puncte b. Dico, quòd linea b e ſecabit etiam lineam c d. Quia enim linea c d

Fig. 253

c a b d e
indefinitæ quantitatis eſſe ſupponitur, protrahatur uerſus ipſam linea b e: quę ſi concurrit cum c d, habetur propoſitum. Sinon concurrat: palàm per definitionem æquidiſtantium linearum, quoniam linea b e eſt æquidiſtans lineæ c d: & quia lineæ a b & b e ambę ſunt æquidiſtãtes lineę c d: erit per 30 p 1 linea e b ęquidiſtans lineę a b: ſed palã ex hypotheſi, quoniam concurrunt, ut in puncto b: non ergo ęquidiſtat li nea b e lineę c d: ergo neceſſariò cõcurrit linea b e cum linea c d: quod eſt propoſitum.

3. Datis tribus lineis, cuilibet tertiæ ſecundum proportionẽ aliarum duarum proportionalem inuenire. É 12 p 6 element.

Sint datæ tres lineæ, quę ſint a b, c d, e f, quarum uni ut a b, ſecundum proportionem aliarum duarum, quę ſunt c d & e f, quarta propor tionalis debeat inueniri. Duæ itaque lineæ æquales duabus lineis, quæ ſunt c d & e f, ab una linea continua abſcin dantur, quę ſit a e f per 3 p 1, & illi lineę a e fangulariter tertia data ſcilicet a b coniungatur in puncto a: & à puncto commu ni diſtinguẽte duas lineas reſectas, (quod ſit punctum e) ducatur li

Fig. 254

a b c d e f
nea e b a d extremitatem tertię datarum, quę eſt a b: & à puncto f ducatur linea ęquidiſtans lineę e b per 31 p 1, quę ſit f g. Deinde protraha tur linea a b in cõtinuum & directum, quouſque ſecet lineã f g: ſeca
Fig. 255

a e b f g
bit aũt per pręmiſſam: ſit itaq punctus cõcurſus g. Dico, quod per 2 p 6 eadem eſt proportio lineę a b ad lineam b g, quę eſt lineę a e datę ad lineam e f datam. Similiter quoq de qualibet aliarum reſpectu re liquarum duarum demonſtrari poteſt: patet ergo propoſitum.

4. Cum duabus lineis inæqualibus notæ proportionis, æqualiũ linearum facta fuerit ad
Fig. 256

a b c d g c d g f
ditio: maioris adminorẽ minuitur proportio. Ex 8 p 5 element.

Sint duæ lineæ a b & c d inæquales, notæ proportionis: ſitq́ue linea a b maior quàm linea c d: addatur quoq linea b e ipſi a b, & linea d f ipſi c d: ſintq́ lineę b e & d f ęquales. Dico, quòd minor eſt proportio lineę a e ad lineam c f, quàm lineę a b ad lineam c d. Quoniam enim datę ſunt tres lineę, quę ſunt a b & c d & b e: inueniatur per pręcedẽtem linea proportionalis lineę b e, ſecundum proportionem linearum a b & c d, quę ſit d g. Quia ergo linea a b eſt maior quàm linea c d, patet, quia linea b e eſt maior quã linea d g: ergo & linea d f eſt maior quã linea d g. Abſcindatur ergo per 3 p 1 è linea d f ęqualis ipſi d g. Quia ergo eſt proportio lineę a b ad lineam c d, ſicut lineę b e ad lineam d g: erit per 15 p 5 proportio totius lineę a e ad totalem lineã c g, ſicut lineę a b ad lineam c d: ſed per 8 p 5 minor eſt proportio lineæ a e page 6 ad lineam c f maiorem, quàm ad lineam c g minorem: eſt ergo maior proportio lineæ a b ad linea m c d, quàm lineę a e ad lineam c f: & hoc eſt propoſitum.

5. Cum fuerit proportio primi ad ſecundum, tanquam tertij ad quartũ: erit è contrario proportio ſecundi ad primum, ſicut quarti ad tertium. É 13 def. & conſectario 4 p 5 element.

Sit enim a primum, & b ſecundum, & ctertium, & d quartum: & ſit proportio a ad b, ſicut c ad d. Dico, quòd erit è contrario proportio b ad

Fig. 257

a b c d
a, ſicut d ad c. Quoniam enim eſt proportio a ad b, ſicut c ad d: erit per 16 p 5 permutatim proportio a ad c, ſicut b ad d: eſt ergo proportio b ad d, ſicut a ad c: ergo iterum per 16 p 5 erit permutatim proportio b ad a, ſicut d ad c, ſecundi uidelicet ad primum, ſicut quarti ad tertium: quod eſt propoſitum.

6. Cum fuerit quatuor quantitatum proportio primæ ad ſecundã maior, quãtertiæ ad quartam: erit è contr ario minor proportio ſecundæ ad primam, quàm quartæ ad tertiam. 26 p 5 element. in Campano.

Eſto proportio lineæ a ad lineam b maior, quàm lineæ c ad lineam d. Dico, quôd erit è contrario minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm lineæ d ad li

Fig. 258

a b e c d
neam c. Sit enim per 3 huius, ut, quæ eſt proportio lineæ c ad lineam d, eadem ſit lineæ e ad lineam b. Quia ergo maior eſt proportio lineæ a ad lineam b, quàm lineæ c ad lineam d ex hypotheſi: patet, quòd minor eſt proportio lineæ e ad lineam b, quam lineę a ad lineã b: ergo per 10 p 5 linea a eſt maior quã linea e. Et quia eſt proportio lineæ e ad lineam b, ſicut lineę c ad lineam d, erit per præmiſſam eadem proportio lineę b ad lineã e, quę lineæ d ad lineam c. Eſt autem per 8 p 5 minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm ad lineam e: eſt ergo minor proportio lineæ b ad lineam a, quàm lineę d ad lineam c: quod eſt propoſitum.

7. Si quatuor quantitatum proportion alium prima fuerit maior quãſecunda, & tertia maior quã quarta: erit euerſim eadem proportio primæ ad augmentum ſui ſuper ſecundam, quæ ter tiæ ad augmentum ſui ſuper quartam. É 16 definit. & conſectario 19 p 5.

Sint quatuor lineę proportionales a c prima: b c ſecunda: d ftertia: & e f quarta. Sitq́ue linea a b maior quàm linea b c, & linea d f maior, quàm linea e f: ex

Fig. 259

a b c d e f
cedat quoque linea a c lineam b c, in linea a b, & linea d f lineam e f, in linea d e. Dico, quòd eadem erit proportio lineę a c ad lineam a b, quę lineę d f ad lineam d e. Quoniam enim eſt proportio lineę a c ad lineam b c, ſicut lineę d f ad lineam e f: eſt ergo per 16 p 5 permutatim proportio lineę a c ad lineam d f, ſicut lineę b c ad lineam e f: ergo per 19 p 5 erit proportio lineę a b ad lineam d e, ſicut lineę a c ad lineam d f: ergo per 16 p 5 erit proportio lineę a b ad lineam a c. ſicut lineę d e ad lineam d f. Ergo per 5 huius erit proportio lineę a c ad lineam a b, ſicut lineę d fad lineam d e: quod eſt propoſitum.

8. Si quatuor quantit atum prima fuerit maior ſecunda, & tertia maior quarta: erit maior proportio primæ ad quartam, quàm ſecundæ ad tertiam. Conſectarium ex 8 p 5 element.

Sint quatuor lineę a, b, c, d: & ſit a prima maior quàm b ſecũda, & ſit c tertia maior, quàm d quarta. Dico, quòd maior eſt proportio lineæ a, ad lineam d, quàm

Fig. 260

a b c d
lineę b ad lineam c. Quia enim linea c eſt maior quàm linea d ex hypotheſi: patet per 8 p 5: quoniam maior eſt proportio lineę a ad lineam d, quàm ad lineam c: minor uero eſt proportio lineę b ad lineã c, quàm lineę a, ad lineam c per eandem 8 p 5: quoniam ut pręmiſſum eſt linea a eſt maior quàm linea b. Et quoniam quicquid eſt maius maiore, eſt maius minore: patet, quòd maior eſt proportio lineę a ad lineam d, quàm lineę b ad lineam c: patet ergo propoſitum.

9. Cum quatuor quantitatum prima fuerit maior quàm tertia, & ſecunda minor quàm quarta: maior erit proportio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ ad quartam. Conſectarium ex 8 p 5 element.

Sint quatuor lineę a prima: b ſecũda: c tertia: d quarta: ſitq́ a maior quàm c, & ſit b minor quã d. page 7 Dico, quòd maior eſt proportio a ad b, quàm c ad d. Quoniã enim linea a eſt maior quàm linea c, pa tet per 8 p 5, quoniã maior eſt ꝓportio lineę a ad lineã b quàm lineę c ad lineam b: ſed quia exhypo theſi linea b eſt minor quàm linea d: patet per 8 p 5, quo

Fig. 261

a b c d
niam maior eſt proportio lineæ c ad lineam b, quàm ad lineam d. Eſt ergo maior proportio lineæ a primæ ad lineã b ſecũdã,  lineæ c tertię ad d quartã: & hoc eſt propoſitũ.

10. Siquatuor quantitatum fuerit maior proportio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ ad quartam: erit permutatim maior proportio primæ ad tertiam, quàm ſecundæ ad quartam. É 12 definit. 16 p 5. 27 p 5 elem. in Campano.

Sint quatuor lineæ a, b, c, d: ſitq́ proportio a ad b maior, quàm c ad d. Dico, quòd erit permutatim maior proportio lineæ a ad lineam c, quàm lineę b ad

Fig. 262

a b e c d
lineam d. Sit enim per 3 huius proportio lineæ e ad lineã b, ſicut lineæ c ad lineam d: erit ergo ex hypotheſi & ex 10 p 5 linea e minor quã linea a: ergo per 8 p 5 maior eſt proportio lineæ a ad lineam c, quàm lineæ e ad lineam c. Eſt autem ex præmiſsis & per 16 p 5 proportio lineę e ad lineam c, ſicut lineę b ad lineam d. Palàm ergo, quoniã maior eſt proportio lineę a ad lineã c, quàm lineę b ad lineã d: quod eſt propoſitum.

11. Cum quatuor quantitatum maior fuerit propor tio primæ ad ſecundam quàm tertiæ ad quartam: erit coniunctim maior proportio primæ & ſecundæ ad ſecũdam, quàm tertiæ & quartæ ad quartã. É 14 definit. 18 p 5 element. 28 p 5 ele. in Campano.

Eſto quatuor linearum a, b, c, d maior proportio a ad b, quàm c ad d. Dico, quòd totius lineę a b ad lineã b maior erit proportio, quàm totius lineę c d ad

Fig. 263

a b e c d
lineam d. Sit enim per 3 huius proportio lineę e ad lineam b, quæ lineę c ad lineam d: eſt ergo ex hypotheſi maior ꝓportio lineę a ad lineam b, quàm lineæ e ad lineam b: ergo per 10 p 5 linea a eſt maior quàm lineae. Tota ergo linea a b eſt maior quàm tota linea e b: ergo per 8 p 5 maior eſt proportio totius lineæ a b ad lineã b, quàm totius lineę e b ad lineã b: per 18 uerò 5 eſt proportio lineę e b ad lineam b, quę lineę c d ad lineam d: eſt enim ex pręmiſsis proportio lineę e ad lineam b, ſicut lineę c ad lineam d. Eſt ergo maior proportio lineę a b ad lineã b, quàm lineę c d ad lineam d: quod eſt propoſitum.

12. Si quatuor quantitatum proportio primæ & ſecundæ ad ſecundam ſit maior, quàm tertiæ & quartæ ad quartam: erit diſiunctim maior proportio primæ ad ſecundam, quàm tertiæ ad quartam. É 15 definit. 17 p 5 element. 29 p 5 elem. in Campano.

Sit proportio totius lineę a b ad eius partem lineam b maior, quàm totius lineæ c d ad eius partem d. Dico, quòd erit diſiunctim proportio lineę a ad line

Fig. 264

a b c e d
a m b maior, quàm lineę c ad lineam d. Sit en im per 3 huius proportio lineę e b ad lineam b, ſicut lineę c d ad lineam d: erit ergo ex hypotheſi maior proportio lineę a b ad lineam b, quàm lineę e b ad eandem lineam b: ergo per 10 p 5 erit linea a b maior quàm linea e b: a blata ergo utrobique linea b communi, relinquitur linea a maior quàm linea e. Eſt ergo per 8 p 5 maior proportio lineę a ad lineam b, quàm lineę e ad eandem lineam b: ſed per pręmiſſa eſt proportio li neę e b ad lineam b, ſicut lineę c d ad lineam d: ergo per 17 p 5 eſt proportio lineę e ad lineã b, ſicut lineę c ad lineam d. Erit ergo maior proportio lineę a ad lineam b. quàm lineę c ad lineam d: & hoc eſt propoſitum.

13. Quarumlibet trium quantitatum quocun ordine diſpoſitarum, quarum mediæ ad utram extremarum nota ſit proportio: erit proportio primæ adtertiam compoſit a ex proportione primæ ad ſecũdam, & ſecundæ ad tertiam. Ex quo patet, quòd proportio extremorum ad inuicem componitur ſemper ex proportione mediorum ad inuicem & adipſa extrema. É ſcho page 8 lio Theonis ad 5 definit. 6 element. & commentarijs in 1 librum magnæ cõſtructionis Ptolemæi. Item è commentarijs Eutocij in 8 theor. 2 de ſphæra & cylindro Archimedis.

Sint extra gradus tres lineæ, quæ a, b, g, quarum prima (quæ eſt a) ſit maior quàm media (quæ eſt b) & b ſit maior quàm tertia, quæ eſt g: ſit q́ ipſius b ad ambas extremas proportio nota. Dico, quòd proportio lineæ a ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a ad lineam b, & ex proportione lineæ b ad lineam g. Quoniam enim proportio lineæ a ad lineam b eſt nota: ſit quantitas d denominatio illius proportionis: & ſimiliter quia proportio lineæ b ad lineam g eſt nota: ſit denominatio illius proportionis quantitas e: & ſit quantitas z denominatio proportionis lineæ a ad lineam g. Dico, quòd ex ductu e in d fit z. Quoniam enim per 15 definitionem huius ex ductu z denominationis proportionis lineæ a ad lineam g in ipſam lineam g minorem, quàm ſit a, fit linea a: & ſimiliter ex ductu d in lineam b fit linea a:

Fig. 265

a b g d e z
ponatur itaq z primum & d ſecundum, linea b tertiũ & linea g quartũ. Quia itaq illud, quod fit ex ductu primi in quartum, eſt ęquale ei, q fit ex ductu ſecũdi in tertium: patet per 16 p 6 quoniam eſt proportio primi ad ſecundum, ſicut tertij ad quartum: eſt ergo proportio z ad d, ſicut lineæ b ad lineam g: ergo denominatio proportionis z ad d ex 5 ſuppoſitione eſt eadẽ cum denominatione proportionis lineæ b ad lineam g: ſed denominatio proportionis lineæ b ad lineam g eſt quantitas e: ergo denominatio ꝓportionis z ad d eſt idẽ e: ergo ex ductu e in d fit z. Quia ergo denominatio proportionis lineę a ad lineam g, quæ eſt z, producitur ex ductu denominationis proportionis lineæ a ad lineam b in denominationem proportionis lineæ b ad lineam g: patet per 16 definitionem huius, quoniam proportio lineæ a primæ ad lineam g tertiam componitur ex proportione lineæ a primæ ad lineam b ſecundam, & ex proportione lineæ b ſecundæ ad lineam g tertiam: quod eſt propoſitum primum. Eodem quoq modo poteſt faciliter demonſtrari de quotcunq medijs inter quęlibet duo extrema collocatis: ſemper enim proportio extremorum ad inuicem componitur ex omnibus proportioni bus mediorum ad inuicem, & ad ipſa extrema. Similiter demonſtrandum uia diuiſionis, ſi mediam contingat eſſe maiorem qualibet extremarum: patet ergo propoſitum.

14. Si linea recta ſuper duas rectas ceciderit, fecerit́ angulos coalternos inæquales, aut duos intrinſecos minores duobus rectis, uel extrinſecum inæqualem intrinſeco: illas duas lineas ad minorum angulorum partem concurrere eſt neceſſe, ad aliam uerò partem impoßibile: & ſi lineæ concurrunt, neceſſe est dictos angulos aliquo propoſitorum modorum ſe habere. É 27.28 p 1 element. Lemma Procli ad 16 p 1 elem.

Sint duæ lineæ a b & c d, quas ſecet linea e fſecundum quod proponitur. Dico, quoniam lineæ a b & c d concurrent. Si enim nõ concurrant, patet quòd ſunt æ quidiſtantes: ergo per 29 p 1 ſequitur contrarium hypothe. quòd eſt inconueniens: concur

Fig. 266

e a b c d f
runt ergo. Ad partem uerò minorum angulorum cõcurrere eſt neceſſarium: quoniam ſi ad partem maiorum angulorum concurrant, ſequetur angulum extrinſecum tri goni contenti fieri minorẽ angulo intrinſeco: & eſt contra 16 & 32 p 1. Et quia per præmiſſas probationes ad partes minorum angulorum concurrunt: ſi ex conceſſo ad partes maiorum angulorum concurrerent, ſequeretur duas rectas lineas ſuperficiem includere: quod eſt impoſ ſibile. Eſt ergo impoſsibile, ut ad partes maiorum angulorum concurrant: quod eſt propoſitum primum. Sed & ſi detur, quòd illæ lineæ concurrant, neceſſe eſt angulos aliquo propofitorum modorum ſe habere per 32 p 1: patet ergo totum, quod proponebatur, ſeruata ſemper hypotheſi.

15. Cumlineis, ſe inter duas lineas æquidiſtantes, à quarum terminis producuntur, ſecantibus, ex utra
Fig. 267

a d e c b
parte ſectionis partes eiuſdẽ lineæ inter ſe fuerint æqua les: neceſſe eſt lineas, inter quas fit ſectio, æquales eſſe.

Verbi gratia: ſit, ut duæ lineæ a b & c d inter duas lineas æquidiſtantes, à quarũ terminis producũtur, quę ſint a d & c b, ſecent ſe in puncto e, ita, quòd linea a e ſit æqualis lineæ e b, & linea c e ſit æqualis ipſi e d. Dico, quòd linea a d eſt æqualis lineæ c b. Quoniam enim per 15 p 1 angulus a e d eſt æqualis angulo c e b, erit ex hypotheſi & per 4 p 1 linea a d æqualis lineæ c b: quod eſt propoſitum.

page 9

16. Si per terminos duarum linearum æquidiſtantium & inæqualium, rectæproducantur, illas ad partem minoris lineæ concurrere est neceſſe.

Sint duæ lineæ a b & c d æquidiſtantes & inæquales: ſitq́ linea c d minor quàm linea a b: producãturq́ per terminos ipſarum, lineę a c

Fig. 268

a c f d b e
& b d. Dico, quòd illæ lineæ a c & b d concur rent ultra lineam c d. Producatur enim linea c d ultra punctum d ad punctum e, fiatq́ per 3 p 1 linea c e æqualis lineę a b, & ducatur linea b e. Hic itaque linea b e per 33 p 1 eſt æqui diſtans lineę a c: ergo per 2 huius cum linea b d concurrat cum linea b e in puncto b: patet, quòd ipſa concurret cum linea a c, quę æquidiſtat lineę b e: ſed & ad partem lineę c d, quę eſt minor quàm linea a b, concurrere eſt neceſſe per 14 huius, uel per 2 p 6: patet ergo propoſitum: punctus enim concurſus eius, (qui ſit f) erit ultra lineam c d.

17. Lineæ rectæ continentes angulos æquales cum linea recta, cui ad unum punctum incidunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper eandem lineam adunum punctum alium productis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſimuliunctis.

Sit linea recta, quę a b c f: & ſint duo puncta g, & d, â quibus duę lineę g b & d b productę ſuper lineam a b c f, contineant angulos æquales,

Fig. 269

g d a h b c f k
ita, ut angulus a b g ſit æqualis angulo c b d. Dico, quòd ſi à pũctis d & g ad aliquod aliud punctum lineæ a b c f (quod ſitc) lineę ductę contineant inęquales angulos, ita, ut angulus g c a ſit minor angulo f c d: quòd lineę g b & b d ſimul iunctę ſunt minores duabus lineis g c & d c ſimul iunctis. Ducatur enim à puncto g ſuper lineam a f perpendicularis per 12 p 1, quę ſit g h: & producatur linea g h ultra punctum h: & producatur d b, donec concurrat cum linea g h producta: concurrent autem per 14 huius: ſit ergo punctus concurſus k: & coniungatur linea k c. Et quoniam angulus d b c eſt æqualis angulo g b h exhypotheſi, & angulo h b k, ex 15 p 1: palàm, quòd angulus h b k eſt ęqualis g b h: ſed anguli g h b & k h b ſunt ęquales: quia recti: ergo per 32 p 1 trigoni g h b & k h b ſunt ęquianguli. Ergo per 4 p 6, cum linea h b ſit communis & ęqualis ſibijpſi, erit linea g b ęqualis lineę k b, & linea g h ęqualis lineę h k. Et eadem ratione per 4 p 1 erit linea g c ęqualis lineę k c. Quia uerò per 20 p 1 linea k d in trigono k d c minor eſt ambabus lineis d c & k c ſimuliunctis, & linea g b ęqualis eſt lineę b k, & linea g c ęqualis eſt lineę k c: palàm, quia ambę lineę g b & d b ſimul iunctę, minores ſunt ambabus lineis d c & g c ſimul iunctis. Similiter quoque de quibuſcunque lineis à punctis g & d ad lineam a fproductis eſt demonſtrandum: patet ergo propoſitum.

18. Lineæ rectæ continentes angulos æ
Fig. 270

g d e a z b f c
quales cumlinea conuexa, cui ad unum punctum incidunt, ſimuliunctæ, ſunt breuiores omnibus lineis ab eiſdem terminis ſuper eandem lineam adunum punctum alium productis, continentibus cum eadem linea angulos inæquales, ſimuliunctis.

Sit linea curua a b c, ſuper cuius conuexum â punctis g & d incidant lineę d a & g a, continentes angulos ęquales, ita, ut angulus c a g ſit ęqualis angulo b a d. Dico, quòd ſi ducantur alię lineę à punctis g & d ſuper lineam a b c, ut g b & d b, continentes angulos inęquales cum linea a b c: quòd ambę lineę g a & d a ſimul iunctę, erunt breuiores duabus lineis g b & d b ſimul iũctis, Ducatur enim linea e f, cõtingẽs

Fig. 271

page 10 arcum a b c in puncto a per 17 p 3: anguli ergo contingentiæ, qui ſunt e a c & f a b ſunt æquales per 16 p 3: ſed anguli g a c & d a b ſunt æquales ex hypotheſi: erunt ergo anguli g a e & d a f æquales. Et ad punctum, ubi linea g b ſecat lineam e f(quod ſit z) ducatur linea d z: ergo per præceden tem ambæ lineæ g a & d a ſunt breuiores ambabus lineis g z & d z: cum angulus g z a ſit minor angulo g a e, & angulus d z f ſit maior angulo d a f per 16 p 1. Sed linea g b eſt maior quàm linea g z, ut totum parte, & linea d b eſt maior quàm linea d z per 19 p 1, quoniam angulus d z b eſt maior angulus ſui trigoni. Patet ergo propoſitum in arcu circuli conuexo: & eodem modo demon ſtrandum in quacunque alia columnali uel pyramidali ſectione ſecũdum ipſius conuexum: patet ergo propoſitum.

19. Vna linea recta in duabus ſuperficiebus planis exiſtente, neceſſe est, ut illæ duæ ſuperſicies ſecundum illam lineam ſe ſecent. É 3 p 11 element.

Sint duæ ſuperficies planæ a b c d & c d e f: in quarum utraque ſit linea c d. Dico, quòd illæ duæ ſuperficies ſecant ſe ſuper lineam e d. Si enim illæ duæ ſuperfici

Fig. 272

a b c d e f
es ad lineam c d, ut ad communem terminum per modum unius ſuperficiei continuè copulentur: tunc patet, quòd ipſæ ſunt partes unius ſuperficiei, & non duæ ſuperficies: quod eſt contra hypotheſim. Quòd ſi ipſæ ſuperficies datam lineam c d pertranſeant, nec ad ipſam, ut ad communem terminum copulentur: palàm per 3 p 11, cum ipſæ ad inuicem ſe ſecent, quòd ipſis aliqua linea eſt communis. Aut ergo ſecant ſe ſuper lineam c d: & habetur propoſitum: aut ſuper aliam quamcunque datam: & tunc, cum illa ſit ambabus propoſitis ſuperficiebus communis per prænominatam 3 p 11, & eiſdem ſit linea c d communis ex hypotheſi: ſequetur, ut duæ planæ ſuperficies illas duas lineas interiacentes corpus includãt: quod eſt impoſsibile, & contra 4 ſuppoſitionem huius: patet ergo propoſitum.

20. Ab uno puncto in aere dato, ſuper unamquam ſubſtratã planam uel conuexam ſuperficiem, una tantũ perpendicularis duci potest. É 11 & 13 p 11 elem.

Sit data ſuperficies plana a b c d, & datus in aere punctus e. Dico, quòd à puncto e ad ſubſtratam ſuperficiem, unam tantùm perpendicularem duci eſt poſsibi

Fig. 273

e a b k l f g h m c d
le. Sienim poſsibile, ſit ut ſuper ſuperficiem planam datam, quæ a b c d, ducantur à puncto e duæ perpendiculares, quæ ſint e f & e g. Quia itaq lineę e f & e g angulariter cõiunguntur in puncto e, pa tet per 2 p 11, quoniam illæ duæ lineæ ſunt in eadem ſuperficie: & quoniam lineæ illæ ſunt perpendiculares ſuper ſuperficiem a b c d, erit ſuperficies, in qua ſunt lineæ illæ, erecta ſuper ſuperficiem a b c d. Huius itaq ſuperficiei & ſuperficiei a b c d communis ſectio eſt linea f g per præmiſſam: in trigono itaque e f g ſunt duo angu li recti, ſcilicet e f g & e g f per definitionem lineæ erectæ ſuper ſu perficiem 3 definit. 11: hoc autem eſt impoſsibile, & contra 32 p 1. Hoc autem etiam patet in ſuperficiebus conuexis: quia enim, per 5 definitionem huius omnis linea perpendicularis ſuper quam cun que ſuperficiem conuexam, eſt perpendicularis ſuper planam ſuperficiem ipſam conuexam ſuperficiem in puncto incidentię lineę illius contingentem: patet, quia in omni ſuperficie conuexaidem accidit impoſsibile. Si enim ſit ſuperficies ſphærica cõuexa, in qua ſit arcus f g: ſit ut ipſam contingat in puncto fſuperficies plana, in qua ducatur linea h f k, & in puncto g ſuperficies plana, in qua ſit linea l g m. Palàm ergo ex pręmiſsis, quia anguli e f k & e g l ſunt recti. Producta quoq chorda f g: palàm quia anguli e f g & e g f ſunt maiores duobus rectis, quod eſt impoſsibile. Non eſt ergo poſsibile ab uno puncto dato plus una perpendiculari duci ad ſuperficiẽ planam uel conuexam. Patet ergo propoſitum: quoniam in quibuſcunque alijs conuexis ſuperficiebus eſt eodem modo demonſtrandum.

21. Omnium linearum ab eodem puncto adeandem ſuperficiem planamuel conuexam productarum, minima eſt perpendicularis. Albazen 5 n 5.

Eſto ſuperficies plana b c d i: & punctum extrà ſignatum a, à quo ducantur plurimæ lineæ ad ſuperficiem datam, ut contingit, ſcilicet a e, a f, a g, a h, ſola tamen a e ſit perpendicularis. Dico, quòd li nea a e eſt omnium aliarum breuiſsima. Ducantur enim lineæ e f, e g, e h, & componantur trigona orthogonia. Palàm itaque (cum per 32 p 1 angulus rectus ſit maior in qualibet trigono

Fig. 274

page 11 orthogonio) quoniam linea a e per 19 p 1 breuior eſt qualibet linearum a f, a g, a h, & etiam aliarum quarumcunq ſic productarum: patet ergo propoſitum in planis. Sed & in conuexis patet idem: quoniam ſi perpendicularis ſuper conuexam
Fig. 275

a b c e f g h d i
ſuperficiem ſit a e, & ſit b c d i ſuperficies plana con tingens ſuperficiem conuexam ſecundum punctũ e, ducanturq́ lineæ a f, a g, a h ſuper ſuperficiem pla nam: erunt omnes illę maiores perpendiculari: ergo eædem productæ ad ſuperficiem conuexã ſunt multo maiores: patet ergo propoſitum.

22. Ducta linea à ſupremo termino lineæ ſuper ſuperficiem erectæ, ad lineam perpendicularẽ cuicun lineæ à puncto incidẽtiæ lineæ erectæ in ſubiecta ſuperficie protractæ: neceſſe eſt protractã lineam ſuperiacenti perpendicularem eſſe. Lemma ad 37 theorema opticorum Euclidis: item 42 theor. 6 libri μαθκματiκυεμ συναγωγυεμ Pappi.

Sit punctũ in aere datum, quod ſit a, à quo ad ſuperficiem planã ſubiectam, quæ ſit b c d, erigatur linea per 12 p 11, quæ ſit a b, incidens datæ ſuperficiei in puncto b: & in ſuperficie b c d ducatur linea d c, ut placuerit, & à puncto b ducatur perpendicularis ſuper lineam

Fig. 276

a c b d
d c, quæ ſit b d: & copuletur linea a d. Dico, quòd a d eſt perpendicularis ſuper lineã d c. Sumatur enim in linea d c quodcunq punctũ, ut c, & ducantur lineæ a c, b c. Quia itaq linea a b eſt erecta ſuper ſuperficiẽ b c d, patet ք definitionẽ lineę erectę 3 defin. 11, quoniã angulus a b c eſt rectus: ergo ք 47 p 1, quadratũ lineę a c eſt æquale duob. quadratis linearũ a b & b c: ſed & quadratũ lineę b c eſt æquale duob. quadratis c d & b d per 47 p 1, quia linea b d eſt perpẽdicularis ſuper lineam c d ex hypotheſi. Quadratum itaq lineæ a c eſt æquale tribus quadratis trium linearum, quæ ſunt a b & b d & c d: ſed quadratum lineæ a d eſt æquale duobus quadratis duarum linearum a b & b d: quadratum ergo lineæ a c eſt æquale duobus quadratis duarum linearum a d & d c. Ergo per 48 p 1 angulus a d c eſt rectus. Patet ergo, quòd linea a d eſt perpendicularis ſuper lineam d c: quod eſt propoſitum.

23. Duabus planis ſuperficiebus æquidiſtantibus, una linea rect a incidente, quæ ad alteram earũ erit perpendicularis, erit quo ad reliquã perpendicularis. Conuerſa 14 p 11 elem.

Sit, ut duabus ſuperficiebus planis & æquidiſtantibus incidatun a linea, quæ a b, uni ipſarum in puncto a, & reliquæ in puncto b. Dico, quòd ſi linea a b fuerit

Fig. 277

c d a b
perpendicularis ſuper unam iſtarum ſuperficierum, quòd erit perpendicularis & ſuper reliquam. Nam à puncto a ducatur in altera ſuperficierum illarum linea recta, quæ a c, & in reliqua à puncto b ducatur linea b d. Palàm itaque, quoniam lineæ a c & b d æquidiſtant: in infinitum enim protractæ non concurrent, quia & ſuperficies in quibus ſunt, non concurrunt. Si itaque alter angulorum, qui b a c uel a b d fueritrectus: palàm ſemper per 29 p 1, quoniam & reliquus ipſorum erit rectus. Et quoniam eodem modo poteſt hoc declarari de omnibus lineis in ſuperficiebus hinc inde ductis à punctis a & b: patet, quòd linea a b cum ſingulis ſibi conterminalibus lineis in utraque ſuperficierum illarum productis angulos rectos facit. Si eſt ergo linea a b perpendicularis ſuper alteram ſuperficierum, palàm, quia erit perpendicularis ſuper reliquam ipſarum: & hoc eſt propoſitum.

24. Si duæ ſuperficies uni ſuperficiei æquidiſtantes fuerint, eædem inter ſe erunt æquidiſtan tes: ſuperficies quoque concurrens cum una æquidiſtantium ſuperficierum & cum reliqua concurret. É 30 p 1 & 9 p 11 elementorum.

Sint duæ ſuperficies a b c & g h k æquidiſtantes uni ſuperficiei, quæ d e f. Dico, quòd illæ duæ ſuperficies a b c & g h k neceſſariò adinuicem æquidiſtabunt. Educatur enim à puncto l ſuperficiei a b c linea perpendicularis ſuper illam ſuperficiem per 12 p undecimi, quæ page 12 ſit l m. Palàm itaque per præmiſſſam, quoniã illa linea l m erit perpendicularis ſuper ſuperficiẽ d e f æquieiſtantẽ ſuperficiei a b c. Producta ergo linea l m ultra alterutrũ

Fig. 278

b c l a e f d h k m g
ſuorũ terminorũ, erit ipſa ք eandẽ pręmiſſam քpendicularis ſuper ſu perficiẽ g h k, æquidiſtãtẽ ſuքficiei a b c. Quia itaq una linea l m ſuք duas ſuperficies a b c & g h k orthogonaliter inſiſtit, patet per 14 p 11, quòd illę duę ſuperficies, etiam ſi in infinitũ protrahantur, nunquã concurrent. Sunt ergo ęquidiſtantes: patet ergo propoſitum primũ: & per hoc & per 2 huius patet etiam ſecundum propoſitum.

25. Omnes lineæ perpendiculares inter lineas uel ſuperficies æquidiſtãtes du
Fig. 279

k a e i l g b c ſ h d
ctæ, ſunt æqui diſtantes & æquales: & ſi lineærectæ lineis uel ſuperficie bus æquidiſt an tibus ad angulos æquales incidant, ſunt æquales.

Sint duę lineę a b & c d æquidiſtãtes, inter quas ducãtur lineę perpẽdiculares, quę ſint e f & g h. Dico, quòd lineæ e f & g h ſunt ęquidiſtantes & æquales. Quòd enim ſunt ęquidiſtãtes, hoc patet ք 28 p 1: quòd etiã ſunt ęquales, patet per 34 p 1. Et eodẽ modo demonſtrãdũ eſt, ſi lineę a b & c d ſint in ſuperficiebus ęquidiſtantibus ſignatę. Quòd ſi lineę e f & g h non perpendiculariter, ſed ad angu los ęquales incidãt, ductis lineis uel ſuperficiebus, ita, ut angulus g h c ſit ęqualis angulo e f d, erũt etiam lineę g h & e f ęquales: concurrent enim per 14 huius: ſit ergo punctus concurſus k. Quia itaque angulus k f h eſt ęqualis angulo k h f, ex hypotheſi: erit per 6 p 1 trigoni k f h latus k f ęquale lateri k h. Sed per 29 & 26 p 1 erit trigoni k i llatus k i ęquale lateri k l: relinquitur ergo linea i f ęqualis lineæ l h: quod eſt propoſitum. In ſuperficiebus quoq æquidiſtantibus ſignatis lineis a b & c d eadem eſt demonſtratio: patet ergo illud, quod proponebatur.

26. Cuilibet angulo dato baſim, æqualem datæ lineæ, ſub
Fig. 280

d e b f h g l a k c
tendere.

Eſto angulus datus a b c, & linea data d e: ſeparetur itaque à linea b c, ex parte puncti b linea b f, non maior medietate lineæ d e per 3 p 1, & in puncto f poſito pede circini immobili, deſcribatur circulus ſecundum quantitatem ſemidiametri d e: hic itaq ſecabit neceſſariò latus b a per 20 p 1, cum latus b f non ſit maius medietate lineæ d e. Sit ergo, ut ſecet ipſum in puncto g, & ducatur linea g f: hęc itaque neceſſariò erit æqualis lineæ d e per circuli definitionem 15 defin: 1 elemen: patet ergo propoſitum. Poteſt & idem aliter demon ſtrari. Á puncto enim b ducatur linea b h angulariter, ut conting it, ſuper lineam a b, quæ per 3 p 1 fiat æqualis datæ lineę d e: & à puncto h ducatur æquidiſtans lineę a b per 31 p 1, quæ per 2 huius neceſſariò concurret cum linea b c. Sit punctus concurſus k, & à puncto k ducatur linea æquidiſtans lineæ b h, quæ ſit k l: erit quo que ſuperficies b h k l æquidiſtantium laterum: ergo per 34 p 1, linea l k eſt æqualis lineæ b h: ergo & lineæ datæ, quæ eſt d e: patet ergo propoſitum.

27. Datis duobus angulis inæqualibus, ex maiore
Fig. 281

b a g c e d f
ipſorum æquum minorireſecare. É 23 p 1 element.

Sint duo anguli dati a b c, d e f: ſit a b c maior & d e f mi nor. Propoſitum eſt, ut ex angulo a b c reſecetur angulus æqualis angulo d e f: hoc autem fiet per 23 p 1, ſi ſuper b ter minum lineæ a b intra angulum a b c fiat angulus æqualis angulo d e f, qui ſit a b g: & hoc eſt propoſitum.

28. Datum angulum rectum in tres partes æquales diuidere.

Nõ indiguimus quò ad præſens propoſitum diuiſione aliorum angulorum in partes tres æquales, ſed ſolum recto: & ob hoc non proponimus hic, niſi de page 13 recto: in uniuerſaliori ſcientia, ut in ea, quę de elementatis concluſionibus, uniuerſaliorem dignã propoſitione exiſtimantes. Sit ita que angu

Fig. 282

b a h c ſ d g e
lus rectus a b c, quem in partes tres ęquales uo lumus diuidere: aſſumatur ergo linea quęcunque, & ſit d e: ſuper quam conſtituatur trigo nũ ęquilaterum per 1 p 1: quòd ſit d f e, cuius angulus d f e diuidatur per ęqualia per 9 p 1 ducta li nea f g: erit ergo angulus d f g tertia pars unius recti, cum ipſe ſit ſexta pars duorum rectorum per 32 p 1: ergo per pręcedentem ab angulo recto a b c reſecetur angulus a b h ęqualis angulo d f g, & diuidatur angulus h b c per ęqualia per 9 p 1: patet ergo propoſitum.

29. Linea diuidens angulum alicuius trigoni, producta, baſim ſubtenſam illi angulo neceſſa riò ſecabit: & ſi linea ſecans baſim, ad punctum concurſus laterum trigoni producatur: illa angulum baſi oppoſitum ſecabit.

Sit, ut linea b d ſecet angulum a b c trigoni a b c. Dico, quòd eadem linea b d producta, neceſſariò ſecabit baſim a c illi angulo ſubtenſam. Si enim non ſecabit baſim a c, concurret tamen cũ producta a c per 14 huius: ideo quia anguli b a c & a b f ſunt

Fig. 283

b a d c f
minores duobus rectis ex hypotheſi & per 32 p 1: ſit ergo concurſus in puncto fultra punctum c. Eſt ergo trigonorum a b c & a b f angulus b a c cõmunis, & angulus b c a maior angulo b f c per 16 p 1: erit ergo per 32 p 1 angulus a b f maior angulo a b c: non ergo ſecat linea b f angulum a b c: cadet itaq neceſſariò inter puncta a & c: & ita ſecabit baſim a c: quia ſi etiam caderet in punctũ a, uel in punctum c, non adhuc diuideret angulum a b c: patet ergo ꝓpoſitum primum. Patet etiã & reliquum propoſitorum: quoniam ſi linea b d ſecet baſim trigoni a b c, & applicetur puncto b, quod eſt punctus concurſus laterum a b & c b: patet, quòd linea b d ſecabit angulum a b c: ſit enim per 16 p 1 angulus a d b maior angulo b a c b: ſed angulus a c eſt cõmunis ambobus tri gonis a b c & a b d: ergo per 32 p 1 angulus a b d eſt minor angulo a b c. Eſt ergo ſectus angulus a b c per lineam b d: quod eſt ſecundum propoſitorum.

30. Ab angulo dati trigoni linea perpendiculariter ad baſim producta, ſirectangulum ſub partibus baſis contentum, maius fuerit quadrato perpendicularis: neceſſe est angulum (à quo fit ductio) obtuſum eſſe: ſi minus, acutum: ſi æquale, rectum.

Sit datus trigonus a b c, à cuius angulo b a c ducatur linea perpendicularis ſuper baſim b c: ſecetq́ ipſam in puncto d: & ſit a d: ſitq́ illud, quod fit ex ductu b d in d c maius quadrato lineæ a d. Dico, quòd angulus b a c eſt obtuſus. Patet e

Fig. 284

a b d c
Fig. 285

g e
Fig. 286

a b d c
Fig. 287

a b d f c
nim per 17 p 6, quia non eſt proportio lineæ b d ad lineam a d, quæ lineæ a d ad lineam d c. ſit ergo per 12 p 6, ut quæ eſt proportio lineæ b d ad lineam a d, eadem ſit lineæ a d ad lineã g e: erit ergo illud, quod fit ex ductu lineæ b d in lineam g e æquale quadrato lineæ a d per 17 p 6: quia illud, quod fit ex ductu lineę b d in lineam d c, eſt maius quadrato lineę a d: patet, quòd linea g e eſt minor quàm linea d c per 1 p 6. Abſcindatur ergo à linea d c æqualis lineę g e per 3 p 1, & ſit d f, ducaturq́ linea a f. Quia itaq illud, quod fit ex ductu lineæ b d in lineam d f, eſt æquale quadrato lineæ a d: patet per 17 p 6, quoniam eſt proportio lineæ b d ad lineã a d, ſicut lineæ a d ad lineã d f: erit ergo per conuerſam 8 p 6 angulus b a f rectus. Ergo angulus b a c eſt eſt maior recto. Similiterq́ demonſtrandum, quòd ſi illud, quòd fit ex ductu b d in d c ſit minus quadrato a d, quoniam angulus b a c eſt acutus: nam per eadem fit demonftratio. Pater etiam per eandem conuerſam 8 p 6, quoniam ſi illud, quod fit ex du ctu lineæ b d in lineam d c, ſit æquale quadrato lineæ a d, quoniam angulus b a c eſt rectus: patet ergo propoſitum.

31. Abangulo iſoſcelis ducta perpendicularis ſuper baſim in duos partiales ſimiles trigonos diuidit iſoſcelem. Ex quo patet, quòd linea perpendicularis ad medium punctum baſis neceſſariò pertingit.

Sit iſoſceles a b c, cuius latera a b & a c ſint æqualia: & ab angulo b a c ducatur ſuper ba page 14 ſim b c perpendicularis a d. Dico, quòd propoſitus iſoſceles diuiſus eſt in duos trigonos partiales ſimiles. Quoniam enim per 5 p 1 angulus a b d eſt æqualis angulo a c d, ſed & per definitionem perpendicularis 10 defin. 1. elem. anguli a d b & a d c ſunt æqua

Fig. 288

a b d c
les, quia recti: patet per 32 p 1, quòd anguli b a d & c a d ſunt æquales. Ergo trigoni a b d & a c d ſunt æquianguli: ergo per 4 p 6 latera illorum trigonorũ æquos angulos reſpicientia, ſunt proportionalia: ſunt ergo illa trigona partialia, quæ a b d & a c d ſimilia per definitionem ſimilium trigonorum: patet ergo propoſitum primum. Et quoniam illa trigona a b d & a c d ſunt ſimilia, & eorum latera a b & a c ſunt æqualia, & latus a d cõmune: patet, quòd etiam latera c d & b d ſunt æqualia. Linea ergo քpendicularis, quę a d, neceſſariò pertingit ad medium punctum lineæ b c: quod eſt propoſitum ſecundum.

32. Linea ducta à quocun puncto unius lateris trigoni producti, ultr a trigonum ſecans latus ab illo puncto remotius, & propinquius illi neceſſariò ſecabit.

Sit trigonum a b c, cuius latus a b producatur ultra punctum b ad punctum d: & à puncto d ducatur linea d e ſecans latus trigoni a c in puncto e. Dico, quòd d e neceſſariò ſecabit latus b c. Si enim non ſecabit latus b c, ſed ſolum latus

Fig. 289

d b a e c f f
a c, ducatur linea d c, & producatur in continuum & directum: ſecabit itaq linea d c in aliquo puncto lineam d e: quoniam cum linea d c exeat â puncto d, à quo exit etiam linea d e, & terminetur ad pũctum c interiacens punctum e, neceſſariò illam ſecabit: ſit punctus ſectionis f. Palàm itaq, quoniam duæ rectæ lineæ, quæ ſunt d f & d e f includunt ſuperficiem: quod eſt impoſsibile. Idem quoque accidit, ſi linea d e ducatur extra lineam b c ultra punctum a: quod eſt propoſitum.

33. Si à punctis terminalibus unius lateris trianguli duæ rectæ exeuntes, intr a trigonum ad punctum unum conueniant: erit angu lus inferior æqualis ſuperiori, & duobus angulis inter lineas duct as ad alia duo later a trigoni contentis.

Sit trigonum a b c, à cuius unius laterum a b punctis terminalibus, quæ ſunt a & b, ducantur lineæ taliter, ut intra trigonum a b c concurrant in puncto d. Dico, quòd angulus a d b eſt æqualis angulo a c b, & inſuper duobus angulis c a d & c b d. Quòd enim angulus a d b ſit maior angulo a c b, hoc patet per 21 p 1. Producatur itaq linea c d ultra punctum d uſq ad punctum e.

Fig. 290

c d e a b
Eſt itaq per 32 p 1 angulus e d a æqualis duobus angulis d c a & d a c: & ſimiliter angulus e d b æqualis eſt duobus angulis d b c & d c b. Totus ergo angulus a d b ęqualis eſt angulo a c b, & angulis d a c & d b c: quod eſt propoſitum.

34. Linea æqualis & æquidiſtans baſi alicuius trigoni, uicinior angulo ſupremo, maiori angulo neceſſariò ſubtenditur.

Eſto trigonum a b c, cuius baſi a c: uicinior angulo a b c ducatur linea æqualis & æquidiſtans, quæ ſit d e. Dico, quòd ſi à puncto b ducantur lineæ b d & b e, quòd angulus d b e eſt maior angulo a b c. Quia enim linea d e eſt æqualis lineæ a c, palàm, quòd ipſa ſic producta ſecat lineas a b & b c, argumento 16 huius: quòd etiã patet ex alijs. Nam omnis linea cadens intra trigonum ſecans latera eius & æquidiſtans, eſt minor baſi per 29 p 1 & 4 p 6. Secet ergo linea d e latus b a in puncto f, & latus b c in puncto g. Quia ita que per 16 p 1 angulus b g f eſt maior angulo b e g: erit per 29 p 1 angulus b c a maior angulo b e d: & ea

Fig. 291

b d f g e a c
dem ratione angulus b a c eſt maior angulo b d e: neceſſariò ergo per 32 p 1 erit angulus d b e cum angulis minoribus ualens duos rectos, maior angulo a b c, ualente cum duobus angulis maioribus duos rectos: patet ergo propoſitum.

35. In trigono orthogonio ab uno reliquorum angulorum producta linea ad baſim: erit remotioris anguli ad propinquiorem recto minor proportio, quàm 15 partis b aſis remotioris ad propinquiorem. 5 p geometriæ Iordani.

Sit trigonum orthogonium a b c, cuius angulus b a c ſit rectus: & à puncto b ducatur ad latus a c (quod eſt baſis anguli a b c) linea recta, quæ ſit b d. Dico, quòd minor eſt proportio anguli c b d remotioris ab angulo recto, ad angulum d b a propinquiorem ipſi recto, quàm partis baſis remotioris ab angulo recto (quæ eſt c d) ad latus d a propinquius ipſi angulo recto. Quoniam enim angulus b a c eſt rectus, patet, quia angulus b d a eſt acutus per

Fig. 292

c d f e a b
32 p 1: ergo per 13 p 1, angulus b d c eſt obtuſus: ergo per 19 p 1 latus b d eſt maius latere a b, & minus latere b c. Á centro itaque b ſecundum quantitatem ſemidiametri b d deſcribatur arcus circuli ſecans lineam b c in puncto e: & ad ipſum producatur linea b a, in pun ctum f: factiq́ue erunt duo ſectores b d e minor trigono b d c, & b d f maior trigono b d a. Et quoniam eſt proportio ſectoris ad ſectorem, ſicut arcus f d ad arcum d e, ut patet per modum demonſtrationis 1 p 6: quoniam omnes ſectores eiuſdem circuli, ſunt eiuſdẽ altitudinis, & æquemultiplicia arcuum faciunt æquemultiplicia ipſorum ſectorum: proportio uerò arcus d fad arcum d e eſt ſicut anguli d b f ad angulum d b e per 33 p 6. Cum itaque trigonum c d b ſit maius quàm ſector e d b, & ſector f d b ſit maior trigonoa d b: erit per 9 huius trigoni c d b primi ad trigonum d b a ſecũdum maior proportio, quàm ſectoris e b d tertij ad ſectorem d b f quartum. Eſt autem per 1 p 6 trigoni c b d ad trigonum d b a, ſicut baſis c d ad baſim d a: ſectoris uerò e d f ad ſectorem d b f, ut patet expræmiſsis, eſt proportio ſicut anguli e b d ad angulũ d b f. Patet ergo, quòd maior eſt proportio lineæ c d ad lineam d a, quàm anguli c b d ad angulum d b a. Ergo minor eſt proportio anguli c b d ad angulum d b a, quàm lateris c d ad latus d a: quod eſt propoſitum.

36. Cuiuslibet trigoni duo latera producta, aliud trigonum
Fig. 293

e d b a c
priori ſimile principiant, lateribus poſitione & ſitu tranſmutatis.

Sit trigonum a b c, cuius latus a b ſit dextrum, & latus b c ſiniſtrũ, quæ producantur ultra punctum b: & proportionaliter prioribus lateribus abſcindantur per 12 p 6, linea ſcilicet a b in puncto d, & linea c b in puncto e: & coniungatur linea d e. Erit ita que trigonum d b e ſimile trigono a b c: ſed & latus d b erit ſiniſtrum, & latus e b dextrũ. Sunt ita que latera iſtorum trigonorum poſitione, & ſitu tranſmutata: quod eſt propoſitum.

37. Omnium duorum trigonorum rectangulorum, quorum unius unum laterum rectos angulos continentium fuerit maius altero alterius, reliquum uerò minus reliquo: erit angulus acutus unius maius latus reſpiciens, maior angulo alterius ſuum relatiuum latus reſpiciente.

Verbi gratia: ſint duo trianguli rectanguli a b c & a c d:

Fig. 294

a f h b e d c g
ſintq́ anguli a b c & a d c recti: & ſit latus b c trianguli a b c maius latere c d trianguli a c d, & reliquum laterum rectos angulos continentium a b unius ſit minus reliquo latere alterius, quod eſt a d, ut patet in propoſita figuratione, ſi linea a b intelligatur erecta ſuper lineam b c & ſuperficiem eius, & linea b d intelligatur perpendicularis ſuper lineam d c in eadem ſuperficie iacentem: tunc enim erit linea a d perpendicularis ſuper lineam d c per 22 huius: quod etiam patet, ſi in ſuperficie iacente ducatur linea b e æquidiſtanter lineæ d c per 31 p 1. Et quoniam linea a b eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem iacentem, in qua ſunt lineæ b d, d c, b e, palàm per definitionem lineæ erectæ, quoniam angulus a b e eſt rectus: ſed & angulus e b d eſt rectus per 29 p 1, cum angulus b d c ſit rectus per 22 huius, & lineæ b e & d c æquidiſtẽt: ergo per 4 p 11 linea b e eſt erecta ſuper ſuperficiem trigoni a b d: ergo per 8 p 11 linea d c eſt perpen dicularis ſuper eandem ſuperficiem trigoni a b d: angulus ergo a d c eſt rectus: ſed & latus a d maius eſt latere a b per 19 p 1: quoniam angulus a b d eſt rectus. Dico ergo, quòd angulus a c d eſt maior angulo a c b. quoniam enim latus a d eſt maius latere b a per 19 p 1, cum angulus a b d ſit rectus: patet, quòd præſens figuratio eſt cõformis hypotheſi. Reſecetur ergo per 3 p 1 page 16 à latere d a æquale lateri b a, quod ſit linea d f. Et quia linea d c eſt minor latere b c per 19 p 1: quoniã angulus b d c eſt rectus: protrahatur linea d c, & reſecetur in pũcto g taliter, ut ſit linea d g ęqua lis lineæ b c. Quia ergo trigoni f d g duo latera f d & d g ſunt æqualia duobus lateribus a b & b c trigoni a b c, & angulus f d g æqualis eſt angulo a b c: quia uterq rectus: erit per 4 p 1 baſis f g æqualis baſi a c, & reliqui anguli reliquis angulis: angulus ergo f g d æqualis erit angulo a c b. Quia uerò puncta a & fſunt in linea a d, & puncta c & g ſunt in linea d g: palàm, quia lineæ a c & f g ſunt in una ſuperficie, quæ eſt a d g per 2 p 11: ergo interſecant ſe lineæ g f & c a: ſit earũ interſectio in puncto h. Quia uerò in trigono c h g latus g c protrahitur, palàm ex 16 p 1, quoniã angulus h c d maior eſt angulo h g c: ergo & eius æquali, ſcilicet angulo a c b: angulus ergo a c d maior eſt angulo a c b: quod eſt propoſitũ. Similiterq́ demonſtrandũ in alijs: ſi enim trigona propoſita fuerint in diuerſis locis conſtituta, palàm, quia ipſis æqualia & æquiangula trigona ſic poſſunt ordinari, ut in figura diſponuntur, & demonſtratio facta de ijs ſe extendit ad alia. Patet ergo uniuerſaliter propoſitum. Et ex hoc patet, quòd angulus b a c eſt maior angulo d a c per 32 p 1.

38. Omnium duorum trigonorum rectangulorũ, quorũ latus ſubtenſum recto angulo unius ad minus latus eiuſdem proportionem habuerit maiorem, quàm latus ſubtenſum recto angulo alterius ad minus latus eiuſdem: erit angulus linearum maioris proportionis maior angulo linearum minoris proportionis: & econuerſo.

Sint duo trigona rectangula a b c & d e f, quorũ anguli a b c & d e f ſint recti: ſitq́ latus b c minus latere a b, & latus e f minus latere d e: ſitq́ maior proportio lineæ a c ad lineam f e. Dico, quòd angulus a c b maior eſt angulo d f e. Quia enim maior eſt proportio lineæ a c ad lineã c b, quàm lineæ d f ad lineam f e: ſed per 47 p 1 quadratũ lineæ

Fig. 295

a k b c
Fig. 296

d e f
Fig. 297

h g
a c ualet quadrata duarum linearũ a b & c b: & quadratũ lineæ d fualet quadrata duarũ linea rum, quæ ſunt d e & f e: & quia per 20 p 6 proportio quadratorũ eſt proportio duplicata laterũ: patet, quòd maior eſt proportio quadra. tia c ad quadratum c b, quàm quadrati d f ad quadratũ f e: eſt ergo per 11 huius maior proportio amborũ quadratorũ linearũ a b & b c ad quadra tũ b c, quàm am borũ quadratorũ linearũ d e & f e a d quadratũ f e: ergo per 12 huius maior eſt proportio quadrati a b ad quadratum b c, quàm quadrati d e ad quadratũ e f: eſt ergo per 22 p 6 maior proportio lineę a b ad lineam b c, quàm lineæ d e ad lineã e f. Eſto, ut, quæ eſt proportio lineæ d e ad lineã e f, eadẽ ſit alicuius lineæ, ut g h ad lineam c b per 3 huius: erit ergo linea g h minor quàm linea a b per 10 p 5. Reſecetur ergo per 3 p 1 ex linea a b æqualis lineæ g h: & ſit b k, & continuetur linea c k: erunt ergo per 6 p 6 trigona d e f & k b c æquiangula: angulus itaq b c k eſt æqualis angulo e f d: ſed angulus b c a eſt maior angulo b c k, totũ parte. Angulus itaq a c b maior eſt angulo d f e: & hoc eſt ꝓpoſitũ: ex quo etiã patet, quòd eius cõuerſa eſt uera: quoniã in talibus trigonis lineæ maiores angulos continentes, maiorem habent ad ſeinuicem proportionem.

39. A puncto in aere dato ad ſubſtratam planãſuperficiẽ una linea perpendiculariter, alia obliquè incidente, & linea recta inter pũcta incidentiæ in ipſa ſu
Fig. 298

a c e f b d
perficie protracta: erit angulus à non perpendiculari cũ iacẽte linea contentus, minimus omnium angulorum ſub illa obliqua & quacun linea in ſubſtrata ſuperſicie protracta contentorum: & omnis angulus illi propinquior, eſt minor remotiore: & duo ex utra parte æqualiter approximantes, ſunt æquales. Lemma ad 37 the. opticorum Euclidis. 43 theor 6 libri συναγωγυζμ μαθκματiκυζμ Pappi.

Sit punctus in aere datus a, cui ſit ſub ſtrata ſuperficies plana, quę b c d, fuper quã ab illo puncto ducatur obliquè linea a b, ducaturq́ perpendiculariter linea a c, & copuletur linea b c. Dico, quòd angulus a b c eſt minimus omnium angulorũ contentorũ ſub linea obliqua a b, & ſub unaquaq linearũ à puncto b ductarũ in ſuperficie b c d: & quòd ſemper propinquior ipſi eſt minor quàm remotior: & quòd duo anguli æquales ſolũ ex utraq parte ipſius cõſiſtunt. Duca tur enim in data plana ſuperficie, utcunq contingit, linea b d, & à puncto c ducatur in eadem ſuperficie linea perpendicularis ſuper lineam b d per 11 p 1, quæ ſit c d, & copuletur à puncto a linea a d: eſt ita q per 22 huius linea a d perpẽdicularis ſuper lineam b d. Et quoniam angulus a c d eſt rectus, palàm per 19 p 1, quoniam obliqua linea a d maior eſt catheto a c: linea itaq b a ad lineam a c maiorẽ habet proportionẽ quàm ad lineã a d per 8 p 5: & anguli b c a & page 17 b d a ſunt recti: erit itaq ք præ cedẽtẽ proximã angulus b a c maior angulo b a d: erit ergo per 32 p 1 angulus a b c minor angulo a b d. Similiterq́ patet, quoniã angulus a b c minimus eſt omniũ angulorũ cõtẽtorũ ſub linea obliquè incidẽte à pũcto a lineę b c, & ſub ipſa linea b c. Propinquior quoq illi eſt minor remotiore. Ducatur enim à pũcto b in ſubſtrata ſuperficie linea, ut cõtingit, quę ſit b e, & à pũcto c ducatur in eadẽ ſuperficie linea քpẽdicularis ſuper lineã b e, q̃ ſit linea c e, & ꝓducatur linea a e, quę ք 22 huius erit perpẽdicularis ſuper lineã b e. Et quoniã angulus b d c eſt rectus, & angulus c e b rectus, & angulus b c d maior eſt angulo b c e per cõuerſam pręmiſſæ, quoniã linea e c ad lineã c b maiorẽ habet ꝓportionẽ  linea d c ad lineã c b. Linea itaq e c eſt multõ maior  linea c d: ſed cathetus a c քpendiculariter incidit lineis c e & c d ք definitionẽ lineę erectæ: maior ergo eſt linea a e  linea a d ք 47 p 1: linea enim c e eſt maior  linea c d. Linea itaq b a ad lineã a d maiorẽ habet proportionẽ  ad lineã e a ք 8 p 5: & anguli a d b & a e b ſunt recti: angulus itaq b a d eſt maior angulo b a e per præcedentẽ: ergo per 32 p 1 angulus a b d minor eſt angulo a b e. Similiter quoque demonſtrandũ, quòd ſemper angulus propinquior, minor eſt remotiore: ſolũ uerò duo ex utraque parte æquales cõſiſtunt: ſuper punctũ enim b terminũ lineæ c b in ſubiecta ſuperficie conſtituatur angulus æqualis angulo d b c per 23 p 1, qui ſit c b f: & à puncto c ducatur linea c f perpendiculariter ſuper lineã b f per 12 p 1, & ducatur linea a f. Quia itaq angulus c b d eſt æqualis angulo c b f ex hypo theſi, & angulus c d b eſt rectus æqualis angulo c f b recto, & linea c b eſt cõmunis ambobus trigonis b c d & b c f: palàm per 26 p 1, quoniam latus b d eſt æquale lateri b f, & latus d c eſt æquale lateri c f: ſed quia linea a c eſt cathetus ſuper ſuperficiẽ b c d, eſt per pendicularis ſuper ambas lineas d c & f c. Eſt itaq linea a d æqualis lineæ a f. Quoniã itaq æqualis eſt linea d b lineæ b f, & linea b a eſt cõmunis ambobus trigonis d b a & b a f, & linea d a æqualis lineæ a f, erit angulus a b d æqualis angulo a b f per 8 p 1. Similiter quoq demonſtrandũ, quoniã angulo a b d non erit aliquis alius æqualis. Eſt ergo angulus a b c minimus, &c. ut proponitur: patet itaq intentum.

40. Omnium ſuperficierum æquidiſtantiũ laterũ diagonij per æqualia ſe ſecãt: ex quo patet, quòd pun
Fig. 299

b f c h e k a g d
ctum interſectionis diagoniorum eſt medium punctum eiuſdem ſuperficiei.

Sit ſuperficies æquidiſtantiũ laterũ, ſiue ſit quadra ta, ſiue altera parte longior, quæ a b c d, in qua ducantur diagonij, quæſint a c & b d, ſecantes ſe in puncto e. Dico, quòd diagonij ſecant ſe adinuicem per ęqualia: & quòd punctũ e eſt mediũ punctũ ſuperficiei a b c d. Palàm enim, quia trigona b e c & a e d per 15 & 29 p 1 ſunt æquiangula: & erit angulus e b c æqualis angulo e d a, ꝗa ſunt coalterni. Similiter quoq angulus e c b, eſt æ qualis angulo e a d: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ b e ad lineam e d, ſicut lineæ c e ad lineam e a: & ſicut lineæ b c ad lineã a d: ſed linea b c eſt æqualis lineæ a d per 34 p 1. Linea ergo b e eſt æqualis lineę e d, & linea c e æqualis lineę e a. Illę ergo diagonij diuidũt ſe adinuicẽ per æqualia. Et ք hoc manifeſtũ eſt corollariũ: punctũ enim e æqualiter diſtat ab omnibus extremis: in quo tñ ſi aliquod dubiũ fuerit, ducãtur à pũcto e lineę æquidiſtantes lateribus ſuperficiei propoſitę per 31 p 1, quę ſint f g & h k: ſequeturq́ propter æqualitatem partiũ ipſarũ diagoniorũ modo prædicto argumẽtãdo, lineã f e æqualẽ fieri lineę e g, & lineã h e æqualẽ fieri lineæ e k. Patet itaq, quoniã ſecundum omnem modum, punctum e æqualiter diſtat à punctis extrem arum linearum: directè igitur oppoſitum eſt: ergo medium inter illa: quod eſt propoſitum.

41. Datæ ſuperficiei æquidiſtantium laterũ ſimilem ſuperficiẽ,
Fig. 300

a b n l e p m d c
cuius latera æquidiſtent datæ ſuperficiei lateribus, inſcribere.

Data ſuperficies ęquidiſtãtiũ laterũ, cui altera inſcribi modo prędicto debeat, ſit a b c d, in qua ducãtur diagonij a c & b d, ſecãtes ſe in puncto e: palamq́ per proximã pręcedentẽ, quoniã illæ diagonij per æqualia ſe ſecantin puncto e: ſed & ipſæ adinuicẽ ſunt æquales: & ſi quidẽ data ſuperficies fuerit rectangula: tunc patet per 34 & 47 p 1, quoniã ipſarũ diagonij ſunt æquales, & ipſarũ medietates æquales. Á puncto itaq e, à medietatibus diagoniorũ partes æquales abſcin dantur ք 3 p 1. Et ſi data ſuperficies nõ fuerit rectangula: tũc erũt dia gonij forſitan inęquales: ab illis ergo partes proportionales refecen tur, ſecundũ 3 huius: utcunq autẽ hoc contingat, abſcindantur illæ partes ex parte puncti e, quæ ſint e l, e m, e n, e p, & ducantur lineæ l m, l n, n p, m p. Dico itaq, quòd ſuperficies l m p n eſt datæ ſuperficiei ſimilis, & quòd latera ipſius æquidiſtant lateribus datę ſuperficiei. Quoniã enim in trigono b e c reſecta ſunt latera b e & c e in pun ctis l & m, & eſt proportio b l ad l e, ſicut c m ad m e: patet ergo per 2 p 6, quoniam linea l m æquidiſtat lineæ b c. Similiter quoq linea l n page 18 æ quidiſtat lateri a b, & linea n p lateri a d, & linea p m lateri c d. Ergo ք 29 p 1 anguli ſuperficiei l m p n ſunt æquales angulis datæ ſuperficiei a b c d, & latera eorum ſunt proportionalia per 4 p 6. Patet ergo, quòd illæ ſuperficies ſunt ſimiles: & hoc proponebatur faciendũ: patet ergo propoſitum.

42. Omnis angulus à diametro & quacun linea ſuper circumferentiam circuli contẽtus, neceſſariò est acutus. Alhazen 60 n 5.

Sit circulus a b c, cuius diameter a b, & ducatur linea a c, utcunq contingit. Dico, quòd angulus b a c neceſſariò eſt acutus. Producatur enim linea b c

Fig. 301

c a b
ad peripheriam in pũctum c. Et quoniã angulus a c b eſt rectus per 31 p 3, patet per 32 p 1, quia angulus b a c eſt acutus: & ſimiliter angulus a b c. Patet itaq propo ſitum: & de hoc theoremate nõ ſeruimus intellectui, ſed breuitati, quia hanc demonſtrationem toties, ut occurrit, repetere, tædium fuit.

43. Omnes angulos æqualium ucl ſimilium portionum eiuſdem circuli ſub arcu & recta contentos æquales: angulos uerò cuiuſcun minoris portionis minores, & maioris maiores eſſe neceſſe eſt. Ex quo patet, omnes angulos ſemicir culorum æquales eſſe.

Sit circulus, cuius centrum a, & diameter g f: & in c o ſignentur arcus æquales, qui ſint b c & d e, productis chordis b c & d e. Dico, quòd anguli g b c, & f d e, ſub arcubus & chordis contenti ſunt æquales. Ducatur enim à puncto b linea contingens circulum per 17 p 3, quæ ſit b l, & à puncto d linea d m: & ducantur à centro lineę a b, a c, a d, a e, eruntq́ per 5 p 1 anguli a b c & a c b æquales: & anguli a d e & a e d æquales: ſed trigona a b c & a d e ſunt æquiangula per 4 p 1: angulus enim b a c eſt æqualis angulo d a e, per 27 p 3: angulus quoq a b l eſt æqualis angulo

Fig. 302

ſ q r n g o b c s c a d e f m
a d m, quoniam uterq eorũ eſt rectus per 18 p 3: ſed angulus contingentiæ l b g eſt æqualis angulo contingentiæ m d f: quoniam uterq ipſorum eſt minimus acutorum per 18 p 3. Relin quitur ergo angulus g b c a b arcu b g, & recta b c con tentus, æqualis angulo f d e, ab arcu f d, & recta d e contento: ſed & angulus g c b eſt ęqualis angulo g b c eadem ratione: ſimiliter quoq angulus f e d eſt æqualis angulo f d e. Omnes itaq hi anguli ſunt æquales. Sit quoq arcus minor ar cu b c, quireſecetur ab arcu b c, qui ſit arcus n o, & ducãtur lineæ a n, a o: ducatur quoq chorda n o: & ducantur contin gẽtes n q & o r. Quia itaq trigoni a n o anguli ad baſim ſunt æquales per 5 p 1, & angulus o a n minor angulo c a b, per 33 p 6: erit per 32 p 1 quilibet angulorum a n o & a o n maior quolibet angulorum a b c & a c b. Sit itaq angulus o n a m a ior angulo c b a: ſed angulus contingentię q n g eſt ęqualis angulo cõtingentię l b g: relinquitur ergo angulus g n o minor angulo g b c, cum anguli l b a & q n a ſint æquales: quia uterq rectus per 18 p 3. Sit iam arcus maior arcu b c, qui ſit s c, & ducatur chorda s c: & quia angulus c a s eſt maior angulo c a b per 33 p 6: patet tũc, quòd angulus a s c eſt minor angulo a b c: & ita concludetur, ut prius, quoniã angulus g s c contentus ſub arcu g s, & chorda s c eſt maior angulo g b c: ergo & angulo g n o. Patet & hocidem de ſimilibus arcubus quibuſcunq eorundem circulorum, quoniam per definitionem ſimilium arcuũ ipſi angulos ſuſcipiunt æquales per 10 defin. 3. Ex quo patet corollarium, quoniam omnes anguli ſemicirculorum ſunt æquales: omnes enim ſemicirculi ſunt ſimiles: & eiuſdem circuli ſimiles & ęquales: hoc itaq proponebatur.

44. Si idem angulus ſuper centrum unius æqualium circulorum, & ſuper peripheriam alterius conſiſtat, arcus reſpondens angulo ſuper peripheriã conſtituto, reliquo arcui duplus erit. In circulis uerò inæqualibus illorũ arcuum proportio ad ſuas totales peripherias duplicatur.

Sint duo circuli æquales, unus a b c d, cuius centrum g: & alius e f g, cuius centrum b, punctum peripheriæ circuli a b c d: & producantur lineę a b & c b, ſecantes circulum e g f in punctis e & f. Palàm itaq quoniam angulus a b c erit ſuper peripheriam circuli a b c & ſuper centrum circuli e g f. Dico, quòd arcus a d c capiens angulũ a b c ſuper circũferentiam ſui circuli, eſt duplus arcui e g f, ca pienti eundẽ angulũ ſuper eius centrũ b. Sit enim, ut linea b a ſecet circulũ e g f in puncto e, & linea b cin puncto f: ducatur quoq linea e f, & ducta linea g h ſuper centrũ g, fiat per 23 p 1 angulus æqua lis angulo a b c, qui ſit h g l, ductis lineis g h & g l ad circumferentiam circuli a b c d: & ducantur lineę b h, b l, h l. Palàm itaq per 20 p 3, q́uoniam angulus h g l eſt duplus angulo h b l: ergo etiam angulus a b c eſt duplus eidem: ergo per 33 p 6 arcus a d c eſt duplus arcui h d l: ſed arcus h d l page 19 eſt æqualis arcui e g f per 26 p 3: erit ergo arcus a d c duplus arcui e g f: quod eſt propoſitum primũ. Quòd ſi circulus a b c d ſit minor circulo e g f, & angulus m g n ſit æ

Fig. 303

h d l a c e g f p q b n d n a c g b
qualis angulo a g c, facto angulo p b q ſuper centrum b, per 23 p 1 æquali angulo a g c, & ductis lineis g p, g q, b p, b q: erit angulus p b q duplus angulo p g q, per 20 p 3. Ergo angulus a g c eſt duplus angulo p g q. Proportio itaq arcus m f n ad ſui totam circumferentiã duplicatur reſpectu arcus a c ad totam ſui peripheriam. Quoniã enim angulus m g n eſt duplus angulo p g q, erit per 33 p 6 arcus m f n duplus arcui p f q: ſed arcus p f q eiuſdem eſt proportionis ad ſui peripheriã, cuius eſt arcus a d c ad ſuam: arcus enim a d c ſi fuerit quinq partiũ reſpectu ſuæ circum ferentiæ: erit arcus m f n decem partium reſpectu ſuæ peripheriæ: & hoc eſt propoſitum.

45. À terminis lineæ intra circulum collocatæ partib. æqualib. reſectis, & à punctis ſectionum perpendicularibus ſuper illam lineam ad circumferentiam productis: neceſſe eſt ductas perpendiculares æquales eſſe. Et ſi ductæ perpẽdiculares ſunt æquales: neceſſariũ eſt à terminis illius lineæ partes reſectas æquales eſſe.

Sit circulus a k d, cuius cẽtrum r: in quo circulo collocata ſit linea a d: à cuius terminis a & d reſecentur lineæ a b & d g æquales: & à prædictis b & g erigantur duæ lineæ perpẽdiculares ſuper lineã d a, quę productę ad circũferentiã, ſint g k & b c. Dico, quòd linea g k eſt ęqualis lineę b c. Ducatur enim â centror linea æquidiſtans lineæ a d per 31 p 1, quæ ſit l m diameter: & diuidatur linea d a in duo æqualia in puncto e per 10 p 1, & à puncto e, ducatur per

Fig. 304

k c d g e b a l n r f m
pendicularis ſuper l m per 12 p 1: hęc ergo per 1 p 3 tranſibit cẽtrum circuli, quod eſt punctũ r: eritq́ linea e r. Educatur aũt linea k g ultra punctum g ad diametrum l m in punctũ n, & linea c b in punctũ f, & copulẽtur lineę k r & c r. Quia ita q linea d e eſt ęqualis lineæ a e, & lineę d g & b a ex hypotheſi ſunt ęquales: remanet ergo linea g e æqualis lineę e b: ſed per 34 p 1, linea g e eſt æqualis lineæ n r, & linea e b ęqualis lineę r f: ſunt ergo lineæ n r & r f æquales: ſed per 47 p 1, quadratum lineę r k ualet duo quadrata linearum k n & r n: quia ex præmiſsis angulus k n r eſt rectus: & ſimiliter quadratum lineę c r ualet duo quadrata linearũ c f & r f: eſt aũt qua dratum lineę k r ęquale quadrato lineæ c r, quoniã linea k r eſt ęqualis lineæ c r per definitionem circuli: & quadratũ lineæ n r eſt ęquale quadrato lineæ f r. Relin quitur ergo quadratũ lineæ k n ęquale quadrato lineæ c f. E ſt ergo linea k n æqualis lineę c f: ſed per 25 huius linea g n eſt æqualis b f. Relinquitur ergo linea k g ęqualis lineę c b: quod eſt primũ propoſitũ. Conuerſa etiã patet, manente totali diſpoſitione, ut prius. Quia enim linea g n eſt æqualis lineæ b f per 34 p 1, & linea k g æqualis lineæ c b ex hypotheſi: erit tota linea k n ęqualis toti lineę c f. Ergo per 47 p 1 erit linea n r ęqualis lineę r f. Ergo & linea g e ipſi lineę e b ęqualis erit, & linea d g ipſi lineę b a: quod eſt propoſitum ſecundum. Patet ergo, quod proponebatur.

46. In duobus circulis inæqualibus duobus ſimilib. arcubus ſumptis, productis́, præter illos, ad arcus alios ſimiles, ſemidiametris: ſi à punctis extra circulos proportionaliter ſemidiametris diſtantibus ab utriſ extremitatibus amborum arcuum, per terminos ſimilium arcuum, lineæ ad diametros ducantur: pars diametri interiacens lineas arcus circuli maioris eſt maior parte interiacente lineas arcus circuli minoris.

Sint duo circuli inæquales, quorum maior ſit a b c, & eius centrum d, & ſemidiameter d a: minor uerò ſit e f g. cuius centrum h, & ſemidiameter h e: ſignenturq́ in ipſis arcus ſimiles, in maiori circu lo arcus b c, & in minori arcus f g: ſitq́ue arcus a b ſimilis arcui e f: ſit q́ punctũ k extra circulũ maiorem, & punctum l extra circulum minorem, taliter data, utilla puncta ſecundum proportionem ſemidiametri d a, ad ſemidiametrum h e diſtent ab utriſque terminis dictorum arcuum: erit ergo proportio lineę k b ad lineam l f, & lineæ k c ad lineam l g, ſicut ſemidiametri a d ad h e: & producãtur li neę ad ſemidiametros, k b in punctum m, & k c in punctum n. Similiter quoq producatur linea l f in punctum o, & l g in punctum p. Dico, quòd linea m n, pars ſemidiametri a d, eſt maior quã linea o p, pars ſemidiametri e h. Ducantur enim chordę b c & f g: & copulentur à centris lineæ d b, d c, h f, h g: palamq́ propter inæqualitatem circulorum, quoniam linea d b eſt maior quã linea h f: ſed propter ſimilitudinem arcuum angulus b d c eſt ęqualis angulo f h g: ergo per 5 p 1 trigona b c d & f g h ſunt ęquiangula. Ergo per 4 p 6 latera ſunt proportionalia: eſt ergo proportio lineæ b c ad lineam f g, ſicut lineę b d ad lineam f h: ergo ex hypotheſi & per 11 p 5, ſicut k b ad l f, & ſicut k c ad l g: 20 ergo per 5 p 6 angulus b k c eſt ęqualis angulo f l g: & angulus k b c æqualis angulo l f g: ſed exprę

Fig. 305

‡ b c a m n d
Fig. 306

l f g e o p h
miſsis anguli d b c & h f g ſunt ęqua les: eſt ergo angulus d b k æqualis angulo h f l. Ducãtur ergo lineæ d k & h l. Quia itaq in trigonis b d k & f h l anguli ęquales (qui d b k & h f l) ſunt laterib. ꝓportiõalib. cõtẽti, patet ք 6 p 6, quoniã illa trigona ſunt æquiangula: ergo angulus b k d eſt ęqualis angulo fl h, & angulus b d k ęqualis angulo f h l: ſed angulus a d b eſt æqualis angulo e h f ex hypotheſi, propter ſimilitudinem arcuũ a b & e f. Totus ergo angulus m d k eſt æqualis toti angulo o h l: ergo ք 32 p 1 trigona d k m & h l o ſunt ęqui angula, & angulus k m d eſt ęqualis angulo l o h: ergo per 4 p 6 erit pro portio lineę m k ad lineã o l, ſicut lineę k d ad lineã l h: ergo ք 11 p 5 ſicut lineę a d ad lineam e h. Quia itaq ex pręmiſsis angulus m k n eſt ęqualis angulo o l p, & angulus k m n ęqualis angulo l o p: patet per 32 p 1, quoniã trigona k m n & l o p ſunt ęquiangula: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę m n ad lineam o p, ſicut lineæ m k ad lineã o l: ergo per 11 p 5, ſicut lineæ a d ad lineã e h. Quia itaq a d ſemidia meter maior eſt ſemidiametro e h: erit linea m n maior quã linea o p: patet ergo propoſitum.

47. À quocun puncto diametri circuli producta linea adperipheriam, ſi maior, quã illa, fuerit una pars diametri: erit pars illa, maior reliqua ſui parte: & ſiminor, minor.

Fig. 307

c a d b

Eſto circulus a b c, cuius diameter a b: in qua ſumatur punctũ d, utcunq cõtingit: & ducatur linea d c ad circũferentiam, ita quòd pars diametri, quę eſt a d, ſit maior  linea d c. Dico, quòd linea a d eſt maior quã li nea d b, quę eſt reliqua pars ipſius diametri: quod patet, ſi copulẽtur lineę a c & b c. Quia itaq linea a d ma ior eſt quã linea d c ex hypotheſi: ergo ք 18 p 1 angulus a c d maior eſt angulo c a d, & angulus a c b eſt rectus per 31 p 3: palã ergo per 32 p 1, quoniã angulus c b d ma ior eſt angulo d c b. Quia enim angulus c b d cũ angulo c a b ualet rectũ, & angulus d c b cũ angulo a c d, qui eſt maior angulo c a d, ualet rectũ: patet, quòd angulus c b d eſt maior angulo d c b: ergo per 19 p 1 erit latus d c maius latere d b: ſed latus a d eſt maius latere d c. Ergo multo maius erit latus a d quã latus d b. Et hoc eſt unum propoſitorum. Eodem quoq modo demonſtrandum, ſi pars diametri, quæ eſt a d, ſit minor quã linea d c: quoniã erit linea a d minor quã linea d b: & hoc proponebatur.

48. Si à quocun puncto diametri circuli duæ lineæ (quarum ſemper una ſit maior reliqua) ad circuli peripheriã ducantur: erit pars diametri, cuimaior linea propinquior ducitur, maior reliqua ſui parte.

Fig. 308

c g f e a h d b

Sit circulus a b e c, cuius diameter ſit a b: in qua ſumatur punctus d, ut libuerit: ducanturq́ à puncto d lineę, d c maior & d e minor: ſit aũt c ſuperior uerſus a, & e inferior uerſus b. Dico, quòd pars diametri, quę eſt a d, maior eſt quã d b. Ducatur enim linea c e, & ſuper lineam c e ducatur à puncto d per 12 p 1 linea perpẽdicularis, quę ſit d f. Quia itaq quadratũ lineę d c per 47 p 1 ualet ambo quadrata linearũ d f & f c, & quadratũ d e ualet ambo quadrata duarũ linearũ d f & f e, quadratũ uerò lineę d c maius eſt quadrato lineę d e: i deo, quia linea d c eſt maior  linea d e: ablato itaq quadra to lineæ d f: relinquitur quadratũ lineæ c f, maius quadrato lineæ f e. Diuidatur itaq linea c e in partes æqua les in puncto g per 10 p 1, & ab illo puncto g ducatur linea g h ad diametrum æquidiſtanter lineæ d f per 31 p 1: erititaque per 29 p 1 linea h g perpendicularis ſuper lineam c e: ſecat autem h g ipſam c e in duo ęqualia: tranſit ergo linea h g ք centrũ circuli page 21 per 1 p 3. Et quoniam punctum h cadit in diametrum a b: palàm, quia ipſum punctum h eſt centrum circuli. Eſt ergo linea a d, pars diametri a b, maior quàm linea d b: & hoc eſt propoſitum.

49. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates ſuarũ baſiũ æqualiũ una perpendicula riter, alia obliquè æquales lineæ duc antur, ſit́ quælibet duct arum maior medietate ſuæ baſis: erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, maior angulo alterius trigoni, à quo linea ducitur obliqua.

Sint duo trigona a b c & d e f, quorum baſes b c, & e f, ſint æquales: quæ ſecentur per 10 p 1 in partes æquales, b c in puncto g, & e f in puncto h: & ducantur ab angulis ad baſes lineæ a g & d h, quæ ſint ęquales: ſitq́ linea a g ք

Fig. 309

a b ſ m g c k
Fig. 310

d e h f
pẽdicularis ſuper lineã b c, linea uerò d h nõ ſit perpẽdicu laris ſuք lineã e f. Sitq́ linea perpendicularis a g maior linea b g parte baſis: item obliqua d h maior linea e h parte baſis. Dico, quod angulus b a c eſt maior angulo e d f. Circũſcribatur enim trigono a b c circulus per 5 p 4, & producatur linea a g ad circũferentiã in punctũ k: hoc aũt poſsibile. Quoniã uerò ſuppoſitũ eſt lineã a g eſſe maiorẽ linea g b, erit per 47 huius linea a g maior  linea g k: ergo per 1 p 3 centrũ circuli eſt in linea a g inter pũcta a & g: & erit a k diameter, & per 7 p 3 linea g a eſt lõgiſsima omnium linearũ à puncto g ad circũferentiã productarũ: & linea g k erit omniũ linearũ illarum minima: & quęlibet propinquior lineę g a eſt maior remotiore. Fiat itaq per 23 p 1 ſuper punctũ g termini lineę, c g angulus ęqualis angulo f h d minori angulo d h e, qui ſit l g c, producta linea g l uſq ad peripheriã circuli. Palã itaq ex 7 p 3, quoniã linea g a eſt maior  linea g l: ergo & linea d h, quę ex hypotheſi eſt ęqualis lineę a g, eſt maior  linea g l. Producatur itaq linea g l, quouſq ſit ęqualis lineę d h per 3 p 1, & ſit linea g m ęqualis lineę d h: & ducantur lineę m b & m c: angulus itaq b m c eſt ęqualis angulo e d f ex hypotheſi per 4. 13 p 1. Sed angulus b a c eſt ma ior angulo b m c. Producantur enim lineę b l & c l: palã, quia angulus b l c eſt maior angulo b m c per 21 p 1: ſed angulus b a c eſt æqualis angulo b l c per 21 p 3. Erit ergo angulus b a c maior angulo b m c: ergo & angulo e d f: & hoc proponebatur.

50. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates ſuarum baſium æqualium una perpẽdiculariter, alia obliquè, æquales lineæ ducantur, ſit́ quælibet ductarum minor medietate baſis ſuæ: erit angulus trigoni, à quo ducitur perpendicularis, minor angulo alterius trigoni, à quo linea ducitur obliqua.

Remaneat diſpoſitio pręcedentis, niſi quòd perpendicularis a g ſit minor medietate baſis b g. Di co, q angulus b a c eſt mi

Fig. 311

a l n b g c k
Fig. 312

d c h f
nor angulo e d f. Sit enim, ut prius, angulus c g l ęqualis angulo d h f. Et quoniã li nea a g eſt minor quã linea b g, & linea a k eſt diameter: palã per 47 huius, quoniam cẽtrũ circuli eſt inter puncta g & k: ergo per 7 p 3 linea g a eſt minima omniũ linearũ à puncto gad peripheriã circuli productarũ: eſt ergo linea g l maior  linea g a: ergo & maior quã li nea d h. Fiat itaq per 3 p 1 li nea g n ęqualis lineæ d h: & copulẽtur lineę bn & c n: erit itaq, ut in pręmiſſa, angulus e d f æqualis angulo b n c: ſed angulus b n e maior eſt angulo b l c per 21 p 1, & angulus b l c æqualis angulo b a c per 21 p 3. Erit ergo angulus b a c minor angulo b n c: ergo & eius æquali, angulo e d f: & hoc eſt propoſitum.

51. Si ab angulis duorum trigonorum ad medietates ſuarum baſium æqualium duæ lineæ æquales, obliquè incidant ad angulos inæquales, & ſi quælibet linearum incidentium maior fuerit medietate ſuæ baſis: erit angulus ſuperior illius trigoni, cuius incidens linea maiorem angu page 22 lum cum baſi continet, maior angulo ſuperiori alterius: & ſi minor, minor.

Sint itẽ duo trianguli a b c & d e f, habentes baſes b c & e f æquales: diuidaturq́ baſis b c ք ęqualia in puncto g, & baſis e f in

Fig. 313

k a n m b g c l
Fig. 314

d e h f
pũcto h: & ducãtur lineę a g, d h, quę ſint ęquales, & utraq ipſarum incidat obliquè ſuæ baſi: ſit aũt angulus a g c maior angulo d h f. Dico, quòd ſi maior ſit linea a g,  linea g c: erit angulus b a c maior an gulo e d f: & ſi linea a g ſit minor,  linea g c, erit angulus b a c minor angulo e d f. Circum ſcribatur enim per 5 p 4 trigono a b c circulus: & duca tur à puncto g perpendicularis ſuper lineã b c per 11 p 1: quæ producta ad circũferentiam, ſit g k. Erit itaq g k per 1 p 3 pars diametri circuli propoſiti, quę cõpleta, ſit k l. Sit itaq, ut prius, linea a g maior  linea g c: eſt aũt linea k g maior,  linea g l per 48 huius. In linea ergo g k eſt centrũ circuli: eſt ergo linea k g maior  linea a g per 7 p 3: ergo & maior  linea d h, quę eſt ęqualis ipſi a g ex hypotheſi. Fiat itaq per 23 p 1 ſuper punctũ g terminũ lineę g c, angulus ęqualis angulo d h f, qui ſit m g c: cadatq́ pũctũ m in peripheriã circuli. E ſt itaq ք 7 p 3 linea a g maior  linea m g: ergo & linea d h eſt maior  linea m g. Producatur itaq, donec linea g m ſit ęqualis lineę d h: & ducãtur lineę n c & n b. Erit itaq angulus b n c ęqualis angulo e d f: ſed angulus b m c eſt maior angulo b n c: eſt ergo angulus b a c maior angulo e d f per modum pręoſtẽſum. Similiter quoq demonſtrandũ, ſi linea a g ſit minor  linea g c, quòd minor eſt angulus b a c angulo e d f: quod proponebatur demonſtrandũ.

52. Siduas lineas rectas ſecantes circulũ, æqua
Fig. 315

l n m d f e a g c h o k d f e b
les arcus interiaceant, illæ neceſſariò ſunt æquidiſtantes: idem́ accidit, ſi una earum fuerit ſecans & alia contingens.

Sit circulus a b c, cuius centrum ſit punctum o: ſecentq́ duæ lineę a c & d e illum circulum taliter, ut ar cus d a ſit ęqualis arcui e c. Dico, quòd lineæ a c & d e ſunt ęquidiſtantes. Autitaq o centrũ circuli eſt in altera illarum linearum, aut in neurra: & tuncuel inter utraſq, uel extra utraſq. Si ſit in altera ipſarum: eſto quòd ſit in linea a c, & à centro o ducatur linea perpẽ dicularis ſuper a c per 11 p 1, & producatur ad circũfe rentiã, ſitq́ o b ſecans lineã d e in puncto f: & ducantur lineę o d, o e, quę cum ſint ęquales, erunt per 5 p 1, anguli o d f & o e f æquales: ſed angulus f o a eſt ęqua lis angulo f o c, ꝗ a ſunt recti: angulus uerò d o a ęqua lis eſt angulo e o c per 27 p 3, cum ex hypotheſi arcus d a ſit æqualis arcui e c: erit ergo angulus d o f æqualis angulo e o f: ergo per 32 p 1 erit angulus d f o ęqualis angulo e f o: eſt ergo linea of perpendi cularis ſuper lineã d e. Erunt ergo per 28 p 1 lineę d e,

Fig. 316

a o c d f e b
& a c ęquidiſtãtes. Si uerò centrũ o fuerit inter ipſas lineas a c & d e: ductis lineis à centro perpẽdicularib. ſuper utranq illarũ, quę ſint o f, & o g, & ductis lineis ad terminos linearum a c & d e, à cẽtro o, quę ſint o a, o c, o d, o e, & diametro h k: fient ex utraq parte centri o quatuor anguli ęquales duobus rectis ideo quia anguli circa centrum ualent quatuor rectos, quo, ex ęquo diuidit quælibet diameter: ſed angulus e o c eſt ęqualis angulo d o a per 27 p 3: remanet ergo angulus d o e ęqualis angulo a o c: per definitionẽ ergo circuli & per 6 p 6 trianguli d o e & a o c ſunt inuicẽ ęquiã guli: ergo erit angulus g c o æqualis angulo o d f: ſed angulus o g c eſt ęqualis angulo o f d: quia uterq rectus ex pręmiſsis: ergo per 32 p 1 trigona g o c, d o f ſunt æquiangula: ergo per 14 p 1 lineę d o & o c coniunctæ ſunt linea una: quia anguli c o h & d o h ex præmiſsis ſunt ęquales duobus rectis. Ergo per 27 p 1 patet propoſitum. Quòd ſi centrum o fuerit extra utraſque: ducatur perpendicularis à centro o ſuperipſarum alteram: & ſit linea o g perpendicularis ſuper lineam a c, quæ diuidet page 23 ipſam a c in duo æqualia per 3 p 3, producaturq́ linea o g, ut ſecet lineam d e in puncto f: & ductis lineis o a, o c, o d, o e: palàm per 4 p 1, cum in trigonis a g o & c g o duo latera a g & g c ſint æqualia, & latus g o commune, & anguli ad g recti ex hypotheſi: quòd angulus a o g eſt æqualis angulo c o g: ſed angulus a o d æqualis eſt angulo c o e per 27 p 3: relin quitur ergo angulus d o f æqualis angulo f o e: ſed latus d o æquale lateri e o, & latus o f commune: erit ergo per 4 p 1 angulus o f d æqualis an gulo o fe: uterq ergo eſt rectus. Eſt ergo angulus o f d æqualis angulo o g a: ergo per 28 p 1 lineę d e & a c ſunt æquidiſtantes: quod eſt propoſitum primum. Quòd ſi una illarum duarum linearum ſecet circulum, & alia ipſum contingat: ſi ſecans tranſit centrũ, & ſit diameter, quæ h k, & linea l m con tingat in puncto n: ſitq́ arcus n h æqualis arcui n k: palàm, quòd illorum arcuum quilibet eſt quarta circuli: ducatur ita que linea n o: ergo per 18 p 3 angulus l n o eſt rectus: ſed & angulus n o h eſt rectus: ergo per 28 p 1 lineæ l m & h k ęquidiſtant: quod eſt ſecundũ propoſitum. Quòd ſi linea l m circulum contingente in puncto n, linea d e ſecet circulum nõ per centrũ: ducantur lineę o d l & o e m, & à centro o ad punctum contactus, quod eſt n, ducatur linea o n ſecãs lineam d e in puncto f. Quia ita que arcus n d eſt æqualis arcui n e: erit per 27 p 3 angulus l o n ęqualis angulo m o n: ſed per 18 p 3 angulus o n l eſt æqualis angulo o n m: quia ambo ſunt recti. Item per 4 p 1 angulus o f d eſt æqualis angulo o f e: ſunt ergo recti. Ergo per 28 p 1 patet propoſitum tertium.

53. Lineas æquidiſt antes trans circuli ſuperficiem productas, ſiue ambæ ſecent, ſiue ambæ cõtingant, ſiue una ſecet & alia contingat, arcus interiacent æquales.

Sit circulus a c b d, cuius centrum e: contingantq́ ipſum duæ lineæ ęquidiſtãtes f g in puncto d, & h q in puncto c: & à puncto contingentiæ, quod eſt d,

Fig. 317

f m a h k d p e o c l g n b q
ducatur linea d e ad centrum e. Eſt ergo per 18 p 3 linea d e perpendicularis ſuper lineam in illo puncto contingentem, quæ f g. Ducatur quoque linea c e à puncto cõ tingentiæ ad centrum e: erit ergo linea c e perpendicularis ſuper lineam h q contingentem in puncto c. Duca tur quoq à centro e linea ęquidiſtans lineę f g per 31 p 1, quæ ſit n m: hæc quoq etiam æquidiſtabit lineæ h q per 30 p 1: ergo per 29 p 1 angulus m e d eſt æqualis angulo m e c: ergo per 14 p 1 lineæ d e & e c cõiunctæ, ſunt linea una: eſt ergo linea d c diameter circuli, cum trãſeat per centrum e: arcus itaque d a c eſt ſemicirculus æqualis ſemicirculo d b c. Sed & ſi linea a b ſecet circulum æqui diſtans lineæ h q contingenti in puncto e, erit iterum ar cus a c æqualis arcui c b. Quia enim ſemidiameter e c ſecat lineam contingẽtem, quæ h q: palàm per 2 huius, quoniam ſecabit & eius æquidiſtantem, quæ eſt linea a b: ſit, ut ſecet ipſam in puncto o. Et quia angulus h c e eſtrectus per 18 p 3, palàm per 29 p 1, quoniam angulus b o e eſt rectus: ergo per 3 p 3 linea a b diuiditur per æqualia in puncto o. Ducantur itaq lineę a c & c b: palamq́ per 4 p 1, quoniã illę erunt æquales: ergo per 28 p 3 arcus a c eſt æqualis arcui b c. Quòd ſi linea æquidiſtans lineę b a ſecet circulũ: quæ ſit k l: palàm, quoniam ſemidiameter e c producta ſecabit lineam k l per ęqualia per 29 p 1. 3 p 3: ſecet ergo ipſam per æqualia & orthogonaliter in puncto p: & ducãtur lineæ p a, p b, k a, l b: erit ergo in trigonis p a c, p b c ք præmiſſa, & 4 p 1 latus p a ęquale lateri p b: & angulus p b c æqualis angulo a p c: relin quitur ergo angulus k p a æqualis angulo b p l: ſed linea k p eſt æqualis lineæ p l: erit ergo per 4 p 1 linea k a æqualis lineæ l b. Ergo per 28 p 3 erit arcus k a æqualis arcui l b: quod eſt propoſitum.

Fig. 318

a h b g e f d c ‡

54. Duabus chordis in aliquo circulo ſe ſecantibus: erit quilibet angulus ſectionis æqualis angulo apud circumferentiam, cadenti in arcum æqualem duobus arcubus ſcilicet eidem angulo & ſuo cõ trapoſito ſubtenſis. Albazen 24 n 7.

Sit circulus a b c d, in quo ſecẽt ſe duę chordę a c & b d: & ſit pũctũ ſectionis e. Dico, quòd angulus a e b eſt æqualis angulo, qui eſt in circumferentia, quam ſubtẽdunt duo arcus a b & c d: & quòd angulus b e c eſt ęqualis angulo in circumferẽtia, quã ſubtendunt duo arcus d g a & b z c. Ducatur enim à puncto b linea b z ęquidiſtanter lineę a c per 31 p 1. Si ergo linea b z ſecat circulum, palã, quia arcus c z eſt ęqualis arcui a b per præcedentem: arcus itaq z d æqualis eſt ambobus arcubus a b & d c: quoniam arcus d c utrobiq eſt cõmunis: fed arcus d z reſpicit angulũ d b z, page 24 qui eſt æqualis angulo a e b per 29 p 1: angulus itaque a e b eſt æqualis angulo in circumferentia, ca denti in arcum æqualem duobus arcubus b a, & c d. Item d ucatur linea d z, & producatur linea z b extra circulum in punctum h: erit ergo angulus h b d ext rinſecus æqualis duobus angulis intrinſecis b d z, & b z d per 32 p 1: ſed duo anguli b z d & b d z re ſpiciuntur à duobus arcubus b g d, & b f z: angulus ergo h b d eſt æqualis angulo, quem reſpiciunt duo arcus b g d & b f z: hic autem eſt arcus d a z: ſed arcus a b eſt æqualis arcui z c: arcus itaque d a z eſt æqualis duobus arcubus d g a & b z c. Cum itaque per 29 p 1 angulus h b e ſit æqualis angulo

Fig. 319

h a b e d z c
b e c: patet, quia angulus b e c eſt æqualis angulo, quem in circũferentia reſpiciunt duo arcus d g a & b z c. Quòd ſi linea h b z contingit circulum, & non ſecat: tunc patet per 32 p 3, quia angulus e b z eſt æqualis angulo cadenti in portionem circuli, quę eſt b a d, & angulus e b h eſt ęqualis angulo cadenti in portionem circuli b c d: ſed an gulus e b z eſt æqualis angulo b e a per 29 p 1. Angulus itaque b e a eſt æqualis angulo, qui apud circumferentiam cadit in arcum b c d: ſed arcus b c eſt æqualis arcui b a per proximam pręcedentem: arcus ergo b c d eſt æqualis duobus arcubus b a & c d. Angulus itaq b e a eſt æqualis angulo, qui apud circumferẽtiam reſpicit duos arcus a b & c d: quoniam angulus cadens in arcum b c d eſt conſiſtens in portione circuli, quæ eſt b g d. Similiter quoque poteſt declarari, quòd angulus b e c eſt æqualis angulo apud circumferentiam, quem reſpiciũt duo arcus b c & a d: quoniam angulus b e c eſt æqualis angulo h b d, cuius ęqualitas per 32 p 3 cadit in portionem circuli b c d, hoc eſt in arcum b a d: eſt autem ex præmiſsis arcus a b æqualis arcui b c: patet itaque propoſitum.

55. Angulus à duabus lineis ab uno puncto extra circulum dato, circulum ſecantibus contentus, æqualis eſt angulo ſuper circumferẽtiam cadenti in arcũ,
Fig. 320

e a b d f c
quo maior arcuum inter illas duas lineas comprehenſus, excedit minorem. Alhazen 25 n 7.

Eſto circulus a b c d, extra quem ſit datum punctum e: & ducantur à puncto e duę lineę ſecantes circulum, quæ ſint e a d & e b c. Dico itaq, quòd angulus d e c eſt æqualis angulo, qui eſt apud circumferentiam circuli, quem reſpicit arcus, in quo arcus d c excedit arcũ a b. À pũcto enim a ducatur per circulum linea a f ęquidiſtans lineę b c per 31 p 1: erit ergo per 53 huius arcus f c ęqualis arcui a b. Eſt itaq arcus d f exceſſus arcus d c ſuper arcum a b: ſed angulus d a f apud circumferentiã exiſtens cadit in arcum d f: & angulus d a f eſt æqualis angulo d e c per 29 p 1. Ergo angulus d e c eſt æqualis angulo cadenti ſuper circumferentiam in arcum d f: quod eſt propoſitum.

56. In dato ſemicirculo ad unum punctũ circumferentiæ, duabus lineis: una à termino diametri, & alia à centro ductis: ab eiſdem punctis ad aliud punctum quodcun ſemicirculi dati lineas duas prioribus duabus proportionales duci eſt impoßibile: in diuerſis uerò ſemicirculis hoc eſt poßibile.

Eſto datus ſemicirculus a d b: cuius diameter a b: centrum uerò c: & ſit aliquod punctum circũferentiæ d: & ducatur à puncto a termino dia

Fig. 321

g d f a e c h b
metri ad punctum d linea a d: & à cẽtro c linea c d. Dico, quòd ſi à punctis a & c duæ lineæ ad aliud punctum ſemicirculi ducantur: quòd illę duę ductę lineę duabus lineis a d & c d propor tionales non erunt. Sit enim, ſi poſsibile eſt, ut à punctis a & c ducantur ad punctum g duę lineæ a g & c g, & quę eſt proportio lineę a d ad lineam c d, eadem ſit lineæ a g ad lineam c g, erit permutatim per 16 p 5 proportio lineæ a d ad lineam a g, ſicut lineę c d ad lineam c g: ſe d li nea c d eſt æqualis lineę c g: quoniã ambę ſunt ex cẽtro ſemicirculi: ergo linea a d ęqualis erit lineę a g: hoc aũt eſt impoſsibile ex 7 p 3 & 19 p 1: maiori enim angulo ſubtẽditur linea a d  linea a g: & eſt uicinior diametro. Patet ergo ꝓpoſitũ primũ: quia à quocũq pũcto alio dato idẽ accidit impoſsibile, & eodẽ modo deducẽdũ. In diuerſis uerò ſe page 25 micirculis hoc eſt poſsibile. Si enim ſemicirculi æquales fuerint: tunc in centro alterius ſemicirculi ſuper ſemidiametrum conſtituto æquali angulo a c d, per 23 p 1, compleatur propoſitum ex 4 p 1, & 4 p 6. Quòd ſi alter ſemicirculus minor fuerit dato ſemicirculo: inſcribatur æqualis illi ſemicirculo ad idem centrum: eritq́ æquidiſtans primo, & in punctum, ubi linea c d ipſum ſecabit, (quod ſit f) ducatur linea à termino ſuæ ſemidiametri, quæ ſit e f: & patet propoſitum per definitionem circuli & 29 p 1, & 4 p 6. Quòd ſi dato ſemicirculo alter fuerit maior, circumſcribatur æquidiſtãter eidem, & producta linea à centro primi ſemicirculi ad datum punctum d, quouſq tangat peripheriam alterius ſemicirculi, & coniungatur à puncto contactus alia linea ad terminum diametri: & deinde compleatur, ut prius, demonſtratio: & patet propoſitum.

57. À puncto uno ad datum ſemicir culum unam tantum lineam contingentẽ poßibile eſt duci. Ex quo patet, quòd omnis linea ab eodẽ puncto ſub contingẽte ducta,
Fig. 322

d a g b f e c
ſecat ſemicirculũ in uno pũcto ſupr a punctũ cõtingẽtiæ, & in alio ſub ipſo.

Eſto datus ſemicirculus a b c, cuius cẽtrum e: & ſit extrà datus punctus d: à quo ad ſemicirculũ ducatur linea contingẽs, quæ ſit d b. Dico, quòd à puncto d ad ſemicirculum a b c, aliam contingẽtem; quàm lineam d b duci eſt impoſſibile. Si enim hoc ſit poſsibile, ducatur: hæc ergo contingens aut cadet ultra punctum b, aut citra: ſit primò, ut cadat ultra punctum b, uerſus c in punctũ f, & ſit d f: ducantur itaq à centro e ad puncta contingentiæ, lineæ e f, e b, & pro ducatur diameter c e a uſq ad punctum d. Palàm ergo per 18 p 3, quoniam angulus e b d eſt rectus: ſimiliter angulus e f d eſt rectus. Sunt itaq æquales, & cadunt in trigonum e f d: quod eſt contra 21 p 1. Idẽ quoq accidit impoſsibile, ſi linea contingẽs ducta à puncto d ad ſemicirculum a b c, cadat inter puncta b & a: ut linea d g. Palàm ergo corollarium: quoniam enim linea d g non contingit ſemicirculum: ergo ipſa producta ſecat ipſum: & hoc eſt propoſitum.

58. Quælibet duæ lineæ ab uno puncto productæ circulum contingẽtes, ſunt æquales: & arcus interiacens puncta contingentiæ eſt minor ſemicirculo. Linea quo diuidens angulum illarum per æqualia: & arcum interiacentem diuidit per æqualia: & linea per æqualia diuidens arcum, hæc producta per æqualia diuidit & angulum à lineis contingentibus contentum. Conſectarium ſecundum Campani ad 36 p 3.

Sit circulus a b c, cuius centrum f: & ſit, ut à puncto e ducantur duę lineæ circulum contingentes per 17 p 3, quæ ſint e a & e c. Dico, quòd lineæ e a, e c ſunt æqua

Fig. 323

e b a g c f d
les: & quòd arcus a b c interiacens puncta contingentiæ eſt minor ſemicirculo: & ſi producatur à puncto e linea e b, diuidẽs angulum a e c per æqualia: dico; quòd linea e b in puncto b diuidet arcum a c per æqualia: & ſi linea d e diuidat arcum a c per æqualia, diuidet etiam angulum a e c per æqualia. Ducatur enim primò linea e f diuidens a e c, quæ producta ſecabit circulũ: ſecet ergo ipſum in punctis b & d. Palàm itaq per 36 p 3, quoniam illud, quod fit ex ductu lineæ d e in lineam e b, æquale eſt quadrato lineæ a e: & eadẽ ratione quadrato lineæ e c. Ergo quadratum lineæ a c eſt ęquale quadrato lineæ e c. Ergo & linea a e eſt æqualis lineæ c e: & hoc eſt primum propoſitorũ. Sed quia ductis lineis f a & f c, erunt anguli f c e & f a e recti, per 18 p 3: ſunt ergo æquales: ergo per 4 p 1 linea f e diuidit angulum a e c per æqualia. Et quia lineæ c e & a e concurrunt in puncto e: palàm per 32 p 1, quoniã anguli e f c & e f a ſunt minores duobus rectis. Arcus ergo a b c eſt minor ſemicirculo per 33 p 6: quod eſt ſecundum. Ducatur quoq linea a c ſecans lineam e d in puncto g: & ducantur lineæ a b & a c. Quia ergo linea e g ſecat angulum a e c per æqualia: patet per 4 p 1, cum linea a e ſit æqualis lineæ e c, & latus e g ſit commune, quoniã linea a g eſt æqualis lineæ c g, & angulus e g a eſt æqua lis angulo e g c. Sed & trigonis a b g & c b g latus b g eſt comune: ergo per 4 p 1 erit linea a b æqualis lineæ b c: ergo per 28 p 3 arcus a b eſt æqualis arcui b c. Eodem quoq modo patet, quòd ſi linea g e ſecat arcum a c per æqualia in puncto b, quòd ipſa etiam diuidet per æqualia angulũ a e c. Quia enim trigona a e b & c e b ſunt æquilatera, ut patet: palam ergo per 8 p 1, quoniam angulus a e b eſt æqualis angulo c e b: & hoc eſt totum quod proponebatur.

59. Arcubus æqualibus, minoribus quolibet, quarta circuli ex utra parte diametri circuli reſectis: à terminis illorũ arcuum ductas contingentes in uno puncto eductæ diametri concurrere eſt neceſſe: & ab uno puncto diametri ductas contingẽtes in terminis æqualiũ arcuum contingere eſt neceſſe. Ex quo patet, quoniam omnem angulum & arcum à lineis contingentibus contentum diuidit diameter educta per æqualia.

page 26

Eſto circulus a b c, cuius centrum ſit d, & eius diameter c e, quæ producatur indefinitè ad punctum f: & ab unaquaq parte puncti e ſint a e & b e arcus æquales: & à punctis a & b ducantur lineæ circulũ contingentes per 17 p 3. Dico, quòd illæ duę lineæ concurrẽt

Fig. 324

f h g a e b d c
in uno puncto eductæ diametri e f. Quod ſi dicatur ipſas nõ concurrere in puncto uno diametri, concurrent tamen ambæ contingentes cũ diametro d f: productis enim lineis d a, d b: erũtanguli ad puncta a & b recti: ſed anguli e d a & e d b ſunt acuti per 33 p 6: arcus enim a e, b e ſunt minores, quilibet, quarta circuli: ergo per 14 huius linearũ contingentium utraq concurret cum linea d f. Si itaq non fit hoc in eodem puncto: ſit, ut linea contingẽs ducta à puncto a, concurrat cũ linea d f in puncto g: & contingens ducta à puncto b concurrat cum d fin puncto h, quod ſit ultra punctum g: & ducatur linea a h: eritq́ per 27 p 3, & exhypotheſi angulus h d a æqualis angulo h d b: ergo per 4 p 1 erit angulus h a d æqualis angulo h b a: & per 18 p 3 uterq ipſorũ eſt rectus. Quia itaq angulus d a g eſt rectus per 18 p 3: patet, quòd ipſe eſt ęqualis angulo d a h recto, & angulus a d g eſt communis: erit ergo per 32 p 1 angulus a g d ęqualis angulo a h d, extrinſecus ſcilicet intrinſeco in trigono a h g: quod eſt contra 16 p 1 & impoſsibile. Patet ergo primum. Sed & ſi à puncto diametri h ducantur duæ lineæ circulum contingentes in punctis a & b: erunt arcus a e & b e æquales: trigona enim a h d & h b d ſunt æquilatera per præcedentẽ: ergo ſunt æquiangula per 8 p 1: eſt ergo angulus a d h æqualis angulo b d h. Ergo per 26 p 3 arcus a e eſt æqual s arcui b e: quod eſt propoſitum: & patet corollarium.

60. Si intra duas lineas circulum contingẽtes ab uno puncto ductas, aliæ duæ lineæ eundem circulam contingentes ducantur: cadent puncta contingẽtiæ interiorum intra puncta contingentiæ exteriorum: & ſiarcus hinc inde interiacentes puncta contingentiæ, fuerint æquales, erit utrarum concurſus ſemper in eadẽ diametro circuli educta: interiores quo ad utram partem productæ cum exterioribus neceſſariò concurrent.

Eſto circulus a b c d e, cuius cẽtrũ k: & eius diameter e h educatur: & ſit, ut ab aliquo puncto ſuo, quod ſit f, lineæ f a & f d contingentes circulũ ducantur: & inter lineas f a & f d ducantur ab aliquo puncto ſuperficiei a f d, quod ſit g, lineæ g b & g c circulũ contingen

Fig. 325

f g g m b p h c a k d b e
tes in punctis b & c Dico, quòd puncta b & c cadent intra pũcta a & d. Si enim nõ caduntintra puncta a & d: aut cadũt in illa puncta aut extra: ſi in illa, ducãtur lineæ k a & k d à cẽtro k ad puncta contingen tiæ a & d: erit itaq per 18 p 3 angulus k a frectus: & ſimiliter angulus k a g rectus: & ſic rectus maior recto. Itẽ inter contingentẽ f a & circulum, alia linea capitur, ut g a: hoc autẽ eſt cõtra 16 p 3. Palàm ergo, quoniã impoſsibile. Si uerò detur, quòd puncta b & c cadant extra pũcta a & d: ſit punctũ b ultra a punctũ, ſecabitq́ linea g b producta lineam f a per 14 huius. Et quoniã eſt contingẽs ſolum in puncto b, erit punctus ſectionis extra circulũ: ſit ille punctus m. Palàm itaq, quoniã lineæ m a & m b ab uno pũcto m productæ ſemicirculũ contingunt: quod eſt contra 57 huius. Non ergo cadit punctum b ultra punctũ a, ſed intra. Similiterq́ demonſtrabitur, quia punctũ c cadit intra punctum d. Cadũt ergo puncta contingẽtiæ interiorum intra puncta contingẽtiæ exteriorũ. Sed & arcubus a b & c d exiſtẽtibus ęqualibus, punctũ g neceſſariò cadit in diametro e h f. Si enim extra illã, ducatur linea k g ſecãs circũferentiã in pũcto p. Quia ergo arcus b p eſt æqualis arcui p c per præcedentẽ: arcus quoq a b eſt æqualis arcui c d ex hypotheſi: remanet ergo arcus c h æqualis arcui h b: ſed arcus h b eſt maior arcu p b: ergo arcus c h eſt maior arcu c p, pars ſuo toto: q eſt impoſsibile. Nõ ergo cadit pũctũ g extra diametrũ e h f. Palàm etiã eſt ք 14 huius, quoniã linea g b ꝓducta ultra pũctũ b, neceſſariò cõcurret cũ linea f a, & linea c g ꝓducta ultra pũctũ c, cõcurret neceſſariò cũ linea f d: linea enim k c rectũ angulũ cõtinẽs cũ linea a g, cõtinet acutũ cũ linea f d: patet ergo ꝓpoſitũ.

61. Si ad mediũ punctũ arcus interiacẽtis punct a contingẽtiæ duarũ linearũ, abuno puncto ad circulũ productarũ, linea cõtingens circulũ ad alias contingẽtes producatur: illa in puncto ſuæ contingentiæ per æqualia diuiditur: & ab alys lineis cõtingentib. partes abſcindit æquales.

Sit circulus a b c, quẽ contingãt duæ lineæ d a & d c, à puncto d productæ: producatur ergo diameter g b d: & palàm ք 59 huius, quoniã ipſa diuidit angulũ a d c, & arcũ a c per æqualia in pũcto b. À puncto itaq b producatur linea contingens circulũ per 17 p 3: h æ c itaq quoniã eſt orthogonalis ſuper diametrum g b, ut patet per 18 p 3: palàm per 14 huius, quia ipſa producta ſecabit lineas d a & d c: ſit ergo ut ſecet lineam d a in puncto e, & lineam d c in puncto f. Quia itaq e d b & f d b anguli ‡unt æquales per 59 huius, & anguli d b e & d b f ſunt recti: palàm, quia trigona e b d & f d b ſunt 27 æquiangula per 32 p 1: ergo per 4 p 6 latera ſunt proportionalia: ſed latus d b eſt æquale ſibi: erit ergo linea e b æqualis lineæ b f, & linea d e ęqualis

Fig. 326

a e g b d c f
lineæ d f. Quod etiam ſic patere poteſt. Quia enim à puncto e ducuntur duæ lineæ contingentes circulum, ſcilicet e a & e b, patet per 58 huius, quòd ipſæ ſunt æquales. Omnes ergo lineæ a e, e b, b f, f c ſunt æquales. Ergo lineæ e d & f d ſunt æquales: patet ergo propoſitum.

62. A duobus puuctis æqualiter diſtantibus ab uno termino eductæ diametri, & à linea circulum in termino propiore diametri cõ tingente, duabus lineis ad alium terminũ diametri productis: arcus interiacẽtes illarum line arum alter am & diametrum, ſunt æquales: illis uerò ad alium punctum circumferentiæ produ
Fig. 327

g f h k b l a c e m d n
ctis, arcus interiacent inæquales.

Sit circulus a b c d, cuius centrum e: diameterq́ eius d b educatur ad punctũ f: ſintq́ duo puncta g & h ęqualiter diſtãtia à pũcto f eductę diametri: ducãtúrque duę lineę g d & h d adaliũ terminũ diametri ſecãtes circulũ: linea g d in pũcto a, & linea h d in pũcto c: & à puncto b ducatur linea cõtingens circulũ, quę ſit k b l, à qua ęqualiter diſtẽt pũcta g & h. Dico, quòd arcus a b & b c ſunt æquales. Ducatur enim linea g f h: erit ergo ex hypotheſi linea g f æqualis lineę h f: ideo, quia puncta g & h ęqualiter diſtãt à puncto f: & ducãturlineę h l & g k perpẽdiculariter ſuper lineã k b l cõ tingẽtẽ, ք 12 p 1: erũt ergo ex hypotheſi & illę ęquales: ergo ք 33 p 1 linea g h ęꝗdiſtat lineę k l. Ergo ք 18 p 3 & 29 p 1 anguli d f h & d f g ſunt recti: ergo ք 4 p 1 anguli g d f & h d f ſunt ęquales. Ergo ք 26 p 3 arcus a b eſt ęqualis arcui b c. Patet quoq manifeſtè, quòd ſi à pũctis g & h lineę ad aliud pũctũ circũferentię quã ad pũctũ d ꝓducãtur, ut ad pũcta m ueln: quòd illę lineę arcus reſecabũt inęquales: quęlibet enim illarũ, quę ſecat diametrũ, abſcindit minorẽ arcum, & alia maiorẽ: & hoc eſt, quod proponebatur.

63. Diameter circuli diuidens hexagonum, eidẽ cir
Fig. 328

g b c a f d e
culo inſcriptum, ab oppoſitis angulis per æqualia, duob. lateribus medijs hexagoni erit æquidiſtans.

Sit circulus, cuius centrũ ſit punctũ a: inſcriptus hexagonus, qui b c d e f g: & ab oppoſitis angulis illius hexago ni ducatur diameter b a e. Dico, quòd illa diameter æquidiſtat duobus medijs lateribus hexagoni, quæ ſunt c d & g f. Ducantur enim lineæ a c & a d. Quia itaque lineę b c & c d, (quę ſunt latera hexagoni) ſunt inter ſe ęqualia, & utrunq ipſorũ eſt ęquale ſemidiametro circuli per 15 p 4: patetergo, quòd trigona a b c & a c d ſunt ęquilatera: ergo per 8 p 1 ipſa ſunt ęquiangula: erit ergo angulus c a b ęqualis angulo a c d. Ergo per 27 p 1 lineæ a b & c d ęquidi ſtant. Similiter quoq poteſt demonſtrari de lineis a b & f g. Patet ergo, quoniam diameter b e ęquidiſtat medijs la teribus hexagoni: quod eſt propoſitum.

Fig. 329

g f c b d a

64. Duobus circulis inæqualibus ſe ſecantibus, it a ut minor pertrãſeat centrum maioris: arcum minor is interiacentem peripheriã maioris in centro maioris per æqualia diuidi eſt neceſſe.

Sint duo circuli c f d maior, cuius centrũ ſit a: & c g d minor, cuius cen trum ſit b: ſecentq́ ſe hi circuli in punctis c & d: tranſeatq́ minor (qui c g d) per centrũ maioris, quod eſt a: eritq́ arcus c a d minoris circuli con tentus intra peripheriam maioris. Dico, quòd arcus c a d diuiditur per æqualia in puncto a. Ducatur enim linea copulans centra, quę ſit a b: & hec producta compleat diametrũ minoris circuli, quæ ſit a b g: & ad pũcta ſectionum c & d, ducantur lineæ a d, a c, b d, b c. Quia itaque in trigonis a b c & a b d, duo latera a b & b c unius ſunt æqualia duobus laterib. a b & b d alterius: quoniam omnes ſunt rectę ex puncto b centro circuli page 28 minoris ductæ ad peripheriam, & baſis a c eſt æqualis baſi a d: quoniam ſunt ex centro circuli maio ris. Ergo per 8 p 1 anguli æquis lateribus contenti ſunt ęquales: angulus ergo c a b eſt æqualis angu lo d a b: ergo per 26 p 3 arcus c g eſt ęqualis arcui d g: reliqui ergo arcus ſemicirculorum, qui ſunt a c & a d, ſunt ęquales. Arcus ergo c a d diuiditur per æqualia in puncto a: quod eſt propoſitum.

65. Omnes lineæ rectæ ductæ à polo ad peripheriam ſui circuli
Fig. 330

e a d b c
ſunt æquales. 5 def. 1 ſphæ. Theodo.

Eſto circulus a b c, cuius centrum d: & erigatur perpendiculariter ſuper circulum à centro linea d e, ita, ut per definitionem polus circuli ſit punctũ e: & ducantur lineæ e a, e b, e c. Dico, quòd ipſæ oẽs ſunt æquales. Ducantur enim lineę a d, b d, c d. Quia itaq quadratũ lineę a e eſt ęquale quadrato lineę e d & lineę d a: quadratum quoq lineæ b e æquale eſt quadrato lineæ e d & lineæ d b per 47 p 1: quadratum uerò lineæ e d eſt æquale ſibijpſi, & quadratũ lineę d a ęquale quadrato lineæ d b per circuli definitionem: palàm quia quadratum lineæ a e eſt æquale quadrato lineę b e, & ſimiliter quadrato lineæ c e. Palàm ergo, quoniam lineę a e, b e, c e, & quæcunq ſimiliter ductæ, ſunt æquales: & hoc eſt propoſitum.

66. Omnis linea centrum ſphæræ cum centro circuli non magni illius ſphæræ continuans eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem illius circuli. 7 & 23 th. 1 ſphæ. Theodo.

Sit centrum ſphærę punctum z, ſitq́ punctum e centrum circuli non magni illius ſphæræ, qui ſit a b g d, & ducatur linea z e. Dico, quòd linea z e eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli a b g d. Ducantur enim lineę a e, b e, quę productæ cõpleant duas

Fig. 331

b z g a e d
diametros circuli, quæ ſint a g, & b d: & ducantur lineę z a & z b & z d & z g, quę omnes erunt æquales per definitionem ſphæræ: ſed & lineæ e a, e b, e d, e g ſunt æquales per definitionem circuli: linea itaq z e exiſtente communi, pa tet quòd trigona z a e, z b e, z d e, z g e omnia ſunt ęquilatera: ergo per 8 p 1 ipſorum anguli ęqualibus laterib. contenti ſunt ęquales. Oęs ergo anguli z e a, z e g, z e b, z e d ſunt ęquales: ſunt ergo recti. Eodemq́ modo poteſt demõſtra. ri de omnibus angulis contentis ſub linea z e & omni ſemi diametro circuli a b g d. Linea ergo z e eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli a b g d: & hoc eſt propoſitum.

67. À centro ſphæræ ductã perpendicularẽ ſuք ſuperficiẽ circuli non magni ipſius ſphæræ, eiuſdẽ circuli cẽtro incidere eſt neceſſe. Cõſectariũ ſecundũ 1 th. 1 ſphæ. Theo.

Sit, ut in præmiſſa, centrum ſphęræ punctum z: ſitq́ punctum e centrum circuli non magni illius ſphęrę, qui ſit a b g d: & ducatur à puncto z centro ſphærę linea perpendiculariter ſuper ſuperficiẽ circuli a b g d, quæ ſit z e. Dico, quòd punctum e eſt centrum circuli a b g d. Ducantur enim lineæ z a, z b, z g, quæ erũt ęquales per definitionẽ ſphęrę. Quoniã ergo anguli a e z, b e z, d e z, g e z ſunt re cti: patet per 47 p 1 quoniam quadratũ lineę z a ualet quadrata linearum a e & z e, & quadratum lineę z b ualet ambo quadrata linearum b e & z e: & ſimiliter quadratũ lineę z g ualet ambo quadrata linearum g e & z e: lineę uerò z a, z b, z g ſunt ęquales, & quadrata ipſarum ęqualia: ablato itaque quadrato lineę z e omnib. cõmuni, relinquitur ut quadrata linearum

Fig. 332

b f c a d g e
a e, b e, g e ſint ęqualia: ergo & ipſę lineę a e, b e, g e ſunt ęquales. Ergo per 9 p 3 punctum e eſt centrum circuli a b g d: quod eſt propoſitum.

68. Aequidiſtantium in ſphæra circulorum centra in eadẽ dia metro ſphæræ conſiſtere eſt neceſſe. Ex quo patet, quòd omnes circuli in ſphæra æquidiſtantes eoſdem habent polos: & ſi eoſdem habent polos, ſunt æquidiſtantes. 1 & 2 th. 2 ſphæ. Theodo.

Sit ſphęra, cuius centrũ ſit punctũ a, & in ipſa ſint duo circuli ęquidi ſtãtes: b c, cuius cẽtrũ ſit f: & d e, cuius cẽtrũ g: & ducatur linea a f, quę ꝓducta erit diameter ſphęrę, cũ ipſa trãſeat centrũ ſphęrę a: ergo ք 66 huius lineá a f eſt erecta ſup ſupficiẽ circuli b c: ergo ք 23 huius erit ea dẽ diameter erecta ſuք ſuքficiẽ circuli d e: ergo ք pmiſſam ipſa trãſit ք centrũ circuli d e. Sunt ergo centra illorũ circulorũ in eadẽ diametro ſphęrę: q eſt ꝓpoſitũ. Et exhoc patet, q illi circuli eoſdẽ habẽt po page 29 los per definitionẽ poli. Et ſi aliqui circuli eoſdẽ habent polos, patet per 14 p 11, quòd ipſi ſunt æquidiſtantes: & hoc proponebatur. Quòd ſi etiã reliquus circulorũ æquidiſtantium eſſet circulus magnus, eadem eſſet demonſtratio. Duo uerò circuli magni eiuſdem ſphęræ ſibi inuicem æquidiſtare non poſſunt: quoniam amborum illorum eſt idem centrum, quod eſt centrum ſphæræ.

69. Si plana ſuperficies ſecet ſphærã, cõmunis ſectio erit circulus. Ex quo patet, quoniã à quolibet puncto in diametro uel ſuperficie ſphærica dato, eſt poſsibile totali ſuperficiei ſphæricæ circulumcircumduci, alij etiam circulo illius æquidiſtantem. 1 th. 1 ſphær. Theodoſy.

Sit ſphęra, cuius centrũ a, ſeceturq́ per planam ſuperficiẽ. Dico, quòd cõmunis ſectio ſuperficiei ſphęricæ & planæ eſt circulus. Si enim fiat ſectio ք centrũ

Fig. 333

d f b c e d
a: tũc patet, quòd oẽs lineæ ductæ à cẽtro a ad ſphæræ ſuperficiẽ, quę ſunt in illa plana ſuքficie ſecãte, & terminantur ad cõmunem terminũ illorũ, ſunt æquales per definitionẽ ſphęræ: ergo per definitionẽ circuli, illa cõmunis ſectio eſt circulus. Si aũt ſuperficies plana ſecet ſphærã datã nõ per centrũ a: ducatur per 11 p 11 à centro a perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſecantẽ, quę ſit a b, & cõtinuẽtur lineæ a c, a d, a e, a f, & quot quis uoluerit ad illã ſectionem communem à cẽtro ipſius ſphęræ: ducãtur quoq lineę c b, d b, e b, f b, in ipſa ſuperficie ſecãte, ad puncta, quibus incidũt lineę ex centro ſphęræ ductæ. Palàm ergo per 47 p 1, quoniã quadratũ lineæ a c eſt ęquale duobus quadratis linearum a b & b c: & ſimiliter quadratum lineę a d eſt æquale duob. quadratis linearũ a b & b d: ſed quadratũ lineæ a c eſt æquale quadrato lineæ a d: quoniã linea a c eſt æqualis lineæ a d per definitionẽ ſphęræ, & quadratũ lineæ a b eſt ęquale ſibijpſi: relinquitur ergo quadratũ lineæ c b æquale quadrato lineæ d b: eſt ergo linea c b æqualis lineæ d b: & ſimiliter erit linea d b æqualis lineis e b & f b: eadẽ enim eſt demonſtratio, quotcunq alijs lineis à cẽtro ſphærę a ad illam communẽ ſectionem productis. Omnes itaq lineæ à puncto b ad illã communem ſectionẽ ductæ, ſunt æquales: ergo per 9 p 3 & per definitionẽ circuli, ut prius, punctũ b eſt centrũ circuli. Cõmunis ergo ſectio iſtarũ ſuperficierũ eſt circulus: & hoc eſt propoſitũ. Patet etiã ex hoc corollariũ: quoniã à pũcto dato per 12 p 1 producta perpẽdiculari ſuper diametrũ ſphęræ, imaginetur ſuperficies plana ſecãs ſphærã ſecundũ illã perpendicularẽ: & patet propoſitũ per præmiſſa. Quòd ſi alicui circulo in ſphęra ſignato æquidiſtãs duci debeat: à dato pũcto ducatur perpẽdicularis ſuper ſphęræ diametrũ tranſeuntẽ circuli centrũ, cui æquidiſtãs debet duci circulus, & ꝓducatur in continuũ uſq ad aliã ſphęræ ſuperficiẽ, & ducatur alia linea à pũcto diametri utcũq ſuք productã, & orthogonaliter ſuper diametrũ ſphęræ, imagineturq́ ſuperficies plana trãſiens terminos iſtarũ linearũ in ipſa ſuperficie ſphęræ faciẽs ſectionẽ: quę per præmiſſa neceſſariò erit circulus: quia ք 4 p 11 diameter ſphęrę, ſuper quã ducitur linea à pũcto dato, erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ in punctis illis, ut præmittitur, ſphæram ſecantem: unde à centro ſphæræ ductis lineis, ut prius, patet quod proponebatur.

70. À dato puncto ad datam ſphæram lineam contingentem ducere.

Sit enim datũ punctũ a, & centrũ datę ſphę

Fig. 334

c a d b
ræ ſit punctũ b: & ducatur linea a b: & à cẽtro ſphæræ, quod eſt b, ducatur linea b c, ut cõtingit, & copuletur linea a c: palamq́ ք 2 p 11, quo niam trigonũ a b c eſt in una ſuperficie plana: hęcitaq per præcedẽtem ſecabit ſphęrã ſecũdũ circulũ, cui per 17 p 3 à pũcto a ducatur cõtingẽs in pũcto d, quæ ſit a d: & patet ꝓpoſitũ.

71. Omnis ſuperficies plana contingens ſphæram, ſecundũ unicum punctum eſt contingens. 3 th. 1 ſphær. Theodoſij.

Ducatur in plana ſuperficie contingente ſphæram, linea recta trans locum cõtactus, & in ſuperficie ſphęræ circulus magnus. Si ergo ſuperficies plana contingit ſphæram ſecundum aliud quàm ſecundum punctum, & linea recta continget circulum ſecundum idem: non ergo ſecundum punctum continget linea recta circulum: quod eſt contra 16 p 3: palàm ergo propoſitum.

72. À dato pũcto ſuքficiei ſphæricæ ſuքficiẽ planã cõtingentẽ ducere. Ex quo patet, ꝗ omnis linea centrũ ſphæræ trãſiens, eſt perpẽdicularis ſuք eius ſuperficiẽ: & ſieſt perpendicularis ſuper ſphæricam ſuperficiem, neceſſariò tranſit centrũ ſphæræ. È[?] 4 th. 1 ſphær. Theodoſy. Alh. 25 n 4.

Eſto ſphęra, cuius centrũ ſit a, & circulus eius magnus b d c: ducaturq́ linea a b à cẽtro ad circũferentiã: & à pũcto b ducatur linea cõtingẽs circulũ, quę ſit f b e ք 17 p 3: erũt ergo anguli a b e & a b f recti. Imaginatis quoq ք 69 huius circulis quotcũq in ſuքficie ſphęrę ſecantib. ſe in pũcto b, & ductis lineis, cõtingentib. illos circulos in pũcto b: palàm ք 18 p 3, quoniã linea b a cũ omnib. illis lineis cõtinetangulos rectos. Ergo oẽs illę lineæ ſunt in una ſuքficie plana ք 2 p 11. Illa itaq ſuքficies con page 30 tingit ſphęrã ք definitionẽ ſuքficiei planę ſphęrã cõtingẽtis. Ex hoc itaq patet, quoniã omnis linea à cẽtro ſphęræ ducta, ſit erecta ſuք planã ſuքficiẽ, ſphęrã ipſam in pũ

Fig. 335

g h e b f d a
cto ſuæ incidẽtię cõtingentẽ, & anguli incidẽtiæ ſint æquales: quoniã ipſa eſt perpẽdicularis ſuք ſphęrę ſuperficiẽ, ք definitionẽ perpẽdicularis: anguli enim ſemicirculorũ oẽs ſunt æquales ք 43 huius. Et quoniã linea ab ꝓducta ad punctũ g, eſt adhuc erecta ſuք ſuքficiẽ planã, ſphęrã cõtingentẽ in pũcto b: palã, ք a linea g b, & quęcũq alia քpẽdicularis erigi poteſt ſuք ſuքficiẽ planã in pũcto b, cõtingẽtẽ ſphęrã, trãſit cẽtrũ ſphęræ a: ꝗ a ſi à pũcto b poſsit alia linea erigi ſuք ſuքficiẽ cõtingẽtẽ, nõ trãſiẽs cetrũ ſphærę a: ſit illa h b d, & ſit angulꝯ h b e rectus: ſed angulꝯ g b e eſt rectus ք 13 p 1, cũ angulꝯ a b e ſit rectꝯ ex hypotheſi: erit itaq rectus maior recto: q eſt impoſsibile: patet ergo ꝓpoſitũ.

73. Omnium ſphærarum, quarum conuexæ ſuperficies æquidiſtant, uel ſecundũ ſe totas ſe contingunt, neceſſariò eſt idẽ centrum.

Sint duę ſphęræ, quarũ cõuexæ ſuքficies æquidiſtẽt, ſectæ ք æqualia ք unã planã ſuքficiẽ: cõmunis ergo ſectio ſuperficierũ illarũ ſphæ ricarũ & huius planæ erũt circuli: ſitq́ magnus circulus maioris ſphęræ a b, & centrũ eius e: minoris uerò ſphęrę circulus magnus ſit c d. Dico, quòd idẽ

Fig. 336

a c e h d b
punctũ e etiã erit cẽtrũ circuli c d. Ducatur enim linea a e b taliter, ut ſi e nõ ſit cẽtrũ amborũ circulorũ, linea tñ a e b trãſeat ք ambo cẽtra (q poteſt fieri cõtinuatis cẽtris ք lineã rectã) & ꝓducta illa ad քipheriã maioris ſphęrę: hęc itaq erit diameter circuli a b. Et quoniã circuli a b & c d ſunt in eadẽ ſuքficie: ſit ut diameter a b ſecet քipheriã circuli c d in pũctis c & d: eritq́ recta c d diameter circuli c d. Quia ergo ꝓpter æquidiſtantiã circulorũ linea a c eſt æqualis lineæ b d, & linea a e eſt æqualis lineæ e b: remanet linea c e æqualis lineę e d. Et ꝗ a diameter c d diuiditur ք ęqualia in pũcto e: patet, quòd pũctus e eſt cẽtrũ circuli c d. Si enim nõ ſit pũctus e centrũ circuli c d: ſit cẽtrũ eius pũctus h: eritq́ ք definitionẽ circuli linea h d æqualis lineæ a c: erit ergo linea h a æqualis lineæ h b: ſed linea h a eſt maior quàm linea a e: ergo h b eſt maior quã linea e b, pars ſuo toto: quod eſt impoſsibile. Eſt ergo pũctus e neceſſariò cẽtrum circuli c d. Et quia circulus c d eſt magnus circulus ſuę ſphęræ, patet quòd æquidiſtantium ſphęrarum eſt idem cẽtrum: quod eſt propoſitum primum. Et eodem modo de ſphæris ſecundum totas ſuas ſuperficies contingentibus, eſt demonſtrandum. Lineæ enim ductæ à centro ad concauum maioris & ad cõuexum minoris, ſunt ęquales: patet ergo illud quod proponebatur.

74. Si duæ ſphæræ fuerint æquidiſtãtes, uel ſecundũ totas ſuքficies ſe cõtingẽtes: quæcũ lineæ ſuք unius earũ ſuperficiẽ perpẽdicularis fuerit, ſuք alterius quo ſuperficiẽ perpẽdicularis erit.

Iſtud faciliter patet. Quoniã enim ex præmiſſa tales ſphęræ idẽ centrum habere neceſſariò comprobantur: ergo per 72 huius linea perpendicularis ſuper alteram iſtarum ſphęrarum, centrũ ipſius tranſit: ſed centrum ipſius eſt cẽtrum alterius. Ergo per eandem 72 huius ſuper alterius etiã ſphæræ ſuperficiem illa linea perpendicularis erit: & hoc eſt propoſitum.

75. Si duæ ſphæræ cẽtra diuerſa habuerint: impoßibile eſt, ut lineæ քpẽdiculares ſuք unius ſuperficiẽ, ſint perpẽdiculares ſuper alterius ſuperficiẽ, niſi unatantũ, quæ trãſit cẽtra ambarum.

Quocũq modo ſe habẽtibus adinuicẽ ſphęris, ſiue extrinſecus ſiue intrinſecus ſe cõtingẽtibus, uel etiam ſe nõ contingẽtibus, uel etiã ſe adinuicẽ ſecãtibus, ſemper patet ex 72 huius, quoniã linea tranſiens per cẽtra ipſarũ, eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ utriuſq;: aliã quoq lineã ſuper utriuſq ſuperficiẽ perpendicularẽ eſſe, eſt impoſsibile. Si enim ſit poſsibile: ducatur aliqua alia perpẽdiculariter ſuper utriuſq ſphęræ ſuperficiẽ: palamq́ erit ex eadẽ 72 huius ipſam per utriuſq centrũ trãſire: quod eſt oppoſitũ hypotheſi. Patet ergo, quoniã nullã aliam lineã, præter eã, quę tranſit centra ambarũ, perpẽdiculariter duci ſuք utriuſq ſphęrarũ ſuperficies eſt poſsibile. Et hoc eſt propoſitũ.

76. Si ſphæra ſphærã intrinſecꝯ aut extrinſecꝯ cõtingat: in uno tãtũ pũcto cõtingere eſt neceſſe.

Si enim ſphęræ contingẽtes ſe intrinſecus, nõ in puncto ſe contingant: neceſſe eſt circulos ſuos maiores a dinuicem applicatos non ſe in puncto contingere: quod eſt contra 13 p 3, & impoſsibile. Quòd ſi ſphęræ extrinſecus ſe contingentes, non ſe contingant in puncto: etiam hoc eſt contra naturam circulorum extrinſecus ſe contingentium, & contra eandẽ 13 p 3. Poteſt & hoc aliter demonſtrari. Si enim inter illas ſphęras, quę ſe extrinſecus contingunt, imaginata fuerit ſuperficies plana: palàm ex 71 huius, quoniam utraq illarum ſphęrarum illã ſuperficiem planam contingit in puncto. Ergo & ſeinuicem in puncto contingẽt: & propinquior eſt utriq ſphærarum ipſa plana ſuperficies interpoſita, quàm ſphæræ inter ſe. Et hoc eſt propoſitum.

page 31

77. Sphærarum ſe contingentium, centra diuerſa eſſe eſt neceſſe.

Signentur enim in utralibet ſphærarum à puncto contactus duo circuli maiores per 69 huius, ſecantes eorum ſuperficiebus planis ſphæras per ſua centra, & per puncta contactuum. Et quia cen tra horum circulorum ſunt centra ſphærarum ſuarum per definitionem circulorum magnorũ: hos autem circulos centra diuerſa habere eſt concluſio 6 p 3. Patet ergo propoſitum.

78. Centrorum, ſphærarum ſe extrinſecus contingentium, diſtantiam ſecundum lineam com poſitam ex ambarum ſphærarum ſemidiametris. intrinſecus uerò ſe contingentium, ſecundum exceſſum ſemidiametri maioris ad ſemidiametrum minoris eſſe, palàm est.

Hoc patet per 76 huius. Quoniam enim contactus ſphærarum fit ſecundum unum tantùm punctum: punctus uerò eſt, cui pars nõ eſt: tunc euidẽs eſt, quòd punctus ille cõmunis in utraq interſe ctione nihil adimit de diametrorum quantitate: indiuiſibile enim (cum non ſit pars quanti) nec addit nec minuit aliquid de quanto. Et ſic patet propoſitum.

79. Si concauũ alicuius ſphæræ, ſuperficiem aliquam ſecundum eam totam contingat: neceſſe eſt ſuperficiem contactam partem ſphæræ minoris eſſe.

Sit, ut aliqua ſphæra ſecundũ ſuum concauũ contingat aliquã ſuperficiem ſecundũ oẽs illius par tes, ſicut uas ſphæricũ ſuperficiem aquę contentę. Dico, quòd uerũ eſt quod proponitur. Ducantur enim lineę plurimę à centro ſphærę ad locum contactus ſui cum illa ſuperficie. Et quia omnes lineę productæ ad cõcauũ ſphærę ſunt æquales inter ſe ex definitione ſphæræ, & ſunt æquales productis lineis ad conuexũ ſuperficiei cõtactę: patet ex dicta definitiõe, quoniã illa ſuքficies eſt pars ſphærę: & quælibet intellecta exten di ſecundũ cõcauũ ambientis ſphærę, ſphærã minorẽ cõplebit. Eſt ergo pars minoris ſphærę. Linea quoq in illa ſuperficie ſignata, eſt pars circuli ex 9 p 3, idem habens cen trum cum circulo, cui applicatur. Et ſic illa ſuperficies eſt pars minoris ſphærę. Quod eſt propoſitũ.

80. Si ſphæra ſphæram interſecet, communis ſectio ſuperficierum ſphæricarum ſe interſecantium erit peripheria circuli.

Quod hic proponitur, patet. Imaginetur enim ſuperficies ſecans ambas ſphæras ſecundum lineã cõmunẽ ſectionis ſphærarũ, qualiſcũq fuerit. Hæc ergo ſuperficies propter ſimilitudinẽ corporũ ſe interſecantiũ plana erit: cõmunis ergo ſectio illius ſuperficiei & utriuſq ſphærarũ erit circulus per 69 huius. Palàm ergo, quòd cõmunis linea interſectionis ſuperficierũ ſphærarum illarum erit peripheria circuli, in qua incluſa ſuperficies, erit circulus communis illi ſectioni: quoniam aliàs corpus, quo utræq ſphærę communicant, eſt corpus cõmune ſphærarum interſectioni: & eſt corpus irregu lare, duabus ſcilicet ſuperficiebus ſphæricis contentum & diuerſis, ſecundum diſpoſitionẽ ſe interſecantium ſphærarum. Patet ergo propoſitum.

81. Sphærarum ſe interſecantium, maiores circulos ſe inuicem ſecare palàm est. Ex quo patet interſecantium ſe ſphærarum centra diuerſa eſſe.

Primum patet ex definitione ſphærarum ſe interſecantium. Quoniam enim interſecantibus ſe ſphæris, diameter unius per alteram abſcinditur, & maiorum circulorũ diametri ſunt etiam diametri ſuarum ſphærarum (diuidunt enim circuli magni ſuas ſphæras per æqualia) tunc patet, quòd circulis unius ſphæræ & alterius ſe interſecantium aliqua linea eſt cõmunis. Cum ergo unus circulus aliũ non cõtineat, quia nec una ſphæra ſphæram aliam continet: palàm, quia tales circuli ſe inuicem ſecant ex definitione taliũ circulorũ. Quia uerò ex 5 p 3 circulorũ ſe inuicem ſecantiũ centra eſſe di uerſa neceſſe eſt, & idem eſt centrũ ſphærę, quod eſt centrũ circuli magni in illa ſphæra: patet corolarium, ſcilicet, quia interſecantium ſe ſphærarum centra ſunt diuerſa. Et hoc proponebatur.

82. Si ſphæra ſphæram interſecet: linea, quæ centra illarum ſphærarum tranſit, centrũ circuli peripheriæ cõmunis ſectionis tranſire, & ſuper ipſius ſuperficiem perpendicularẽ eſſe, neceſſe eſt.

Circulus cõmunis ſectiõis ſphærarũ aut eſt circulus maior alterius ſpherarũ ſe interſecantiũ, aut minor: ſi maior: hoc erit ſolũ, cũ maior ſphæra minorẽ interſecat. Si enim æquales ſphærę ſecundũ circulũ maiorẽ ſe interſecarẽt, nõ eſſet ſphærarũ interſectio, ſed unius ſphærę ex duobus hemiſphæ rijs æqualibus cõpoſitio. Si ergo circulus cõis ſectionis ſphęrarũ ſit circulus maior, nõ erit ille circu lus maior, niſi in ſphæris inæqualibus ſe interſecãtibus, circulus ſphærę minoris: quoniã ipſum eſſe circulũ maiorẽ ſphærę maioris eſt impoſsibile: quoniã maior circulus ſphærę maioris nõ poteſt cadere in ſuperficiẽ ſphęrę minoris. Sit itaq circulus talis a b c: & ſit centrũ maioris ſphærę d: ſphærę uerò minoris e: erit quoq e centrũ circuli a b c ex hypotheſi. Ducatur ergo linea d e: & patebit propoſitum primum. Item ducantur lineę d a, b d, d c, & lineę a e, b e, c e: eruntq́ triangulorum d a e & d b e latera æqualia: ideo, quoniam linea d e latus eſt commune, & latus d a æquale eſt lateri d b ex definitione ſphærę: latus quoque a e ęquale eſt lateri b e ex definitione circuli: ergo per 8 p 1 anguli ęquis lateribus contenti, erunt ęquales. Angulus ergo d e b ęqualis erit angulo d e a: ſimiliter an gulus d e c erit ęqualis angulo d e b: & uniuerſaliter à quocunq puncto circuli a b c ducantur lineę ad e centrum ſphærę, anguli ſuper centrum e ſemper erunt æquales. Et quia ſuper eandem diametrum oppoſitis punctis ſignatis linea d e æquales angulos conſtituit: patet per definitionem perpendicularis, quoniam ipſa linea d e ſuper omnes diametros perpendicularis erit. Ergo per 4 p 11 linea d e ſuper ſuperficiem circuli a b c erecta eſt, & ſupeream perpendicularis. Si uerò circu page 32 lus a b c non ſit circulus maior alicuius ſphærarũ ſe interſecantiũ, ſed minor: intelligatur in ipſo protracta diameter, quæ ſit l f per pũcta l & f, & utraq ſphæra

Fig. 337

l h g b e c k a d f
rum imaginetur ſecta per ſuperficiem planam trans centrũ, & ք puncta f & l, quę ſunt in ſuperficie utriuſq ſphæ rę. Erit ergo per præmiſſa quilibet illorum circulorum circulus maior in utraq ſphærarum ſe interſecantiũ, ſecabitq́ circulum a b c uterq illorum circulorũ maiorum per æqualia: quoniam arcus f l eſt medietas circumferen tię circuli a b c: tranſeunt ergo ambo illi circuli maiores per centrũ illius circuli a b c, quod eſt e. Imaginẽtur item duo circuli alij maiores in eiſdem ſphæris, quorum quilibet ſecet portionẽ circuli maioris ſuę ſphærę erectã ſuper circulum a b c per æqualia: quod fieri poterit ex 30 p 3, diuiſo arcu f l utriuſq circuli ſphærarum ſe interſecantium per ęqualia, & à puncto ſectionis utriuſq circuli imagina ta ſuperficie plana tranſeunte centrum ſphærę utriuſq. Fiat itaq ſectio arcus ſphęrę maioris in puncto g: & ſectio arcus ſphæræ minoris in puncto h: & ſiue hi circuli maiores cum illis circulis, quos ſecãt, angulos æquales ſphærales uel inæquales contineant, patet, cum à polo circuli a b c per centra ſphærarum ambarum tranſeant, quoniam ambo ſecabunt circulum a b c per æqualia. Tranſibunt ergo per centrum ipſius, quod eſt e. Linea ergo d g, quę per definitionem maiorum circulorum, & 3 p 11 eſt communis ſectio duorum circulorum maiorũ in ſphęra maiori ſe ſecantium, tranſit per centrum e: quoniã cum centrum e ſit in ſuperficie utriuſq illorũ circulorum, neceſſe eſt, ut ſit in linea cõmuni utriſq. Similiter etiã linea e h (quę eſt cõmunis ſectio circulorum maiorũ in ſphæra minori ſe interſecantiũ) tranſit per centrũ e. Sed quia lineę e h, & lineę d g per defi nitionem circulorũ ſe ſecantiũ, eſt aliqua linea recta cõmunis, ut e g, erit illa per 1 p 11 in eadẽ ſuperfi cie cum illis: ergo erunt linea una. Tota ergo linea d e g h eſt linea una tranſiens per ambo centra ſphærarum ſe interſecantiũ, & per centrum circuli, qui eſt cõmunis ſectio, cuius centrum eſt in peri pheria cõmunis ſectionis ſuperficierum ſphęricarum ſe interſecantium. Patet ergo propoſitum pri mum. Secundũ uerò patet ex pręmiſsis. Circuli enim maiores per ęqualia diuidentes circulum minorem orthogonaliter eum ſecant, & eorum communis ſectio, ut linea d h per 19 p 11 ſuper eundem circulum perpendicularis erit. Et hoc eſt propoſitum. Poteſt & idem per 66 & 67 huius facilius demonſtrari diligentiam adhibenti.

83. Si ſphæra ſphærã interſecet: lineã tranſeuntẽ centrũ circuli peripheriæ cõmunis ſectionis perpendiculariter ſuper ipſius ſuperficiẽ inſiſtentẽ, ambarũ ſphærarũ centra tranſire neceſſe eſt.

Hęc eſt cõuerſa pręcedẽtis, nec oportet in ipſius demonſtratiõe aliter immorari. Si enim ſit poſsibile, ducatur linea per e centrũ circuli cõmunis ſectiõis ſphęrarũ, (qui eſt a b c) perpendiculariter ſu per ipſius ſuperficiẽ ad aliũ aliquẽ punctũ, pręter centum ambarũ, uel alterius ſphęrarũ: & ſit linea e k: & ducatur item per centra ambarũ ſphęrarũ alia linea, quę ſit d h. Patet aũt per pręcedentẽ, quoniam hęc erit tranſiens per centrũ e, & erit perpendicularis ſuper ſuperficiẽ circuli a b c. Ab eodem ergo pũcto ſuperficiei circuli a b c, utpote centro e, duę exeũt perpendiculares ſuper eandẽ circuli ſuperficiem a b c, quę ſunt e d & e k: quod eſt contra 13 p 11, & impoſsibile. Patet ergo propoſitum.

84. Si ſphæra ſphærã intrinſecus interſecet: neceſſe eſt centra illarũ ſphærarũ, reſpectu ſitus ſui contactus ſecundum quantitatẽ peripheriæ circuli, qui eſt cõmu
Fig. 338

f c c l a
nis ſectio ſuarum ſuperficierũ plus diſtare: centrum ſphæræ continentis plus profundari.

Sphærę datę interſecare ſe debẽtes, ſi ęquales fuerint, & taliter ad inuicẽ collocentur, ut nõ ſe interſecẽt: tunc ipſarũ idẽ erit centrũ: facta uerò interſectiõe ipſarũ, cẽtra diuerſantur per 81 huius: & ſecundũ quod circuli քipheria, quę eſt cõmunis ſectio illarũ ſuperficierũ ſphęricarũ, fit maior uel minor: ſecũdũ hoc plus uel minus diſtabũt centra. Quòd ſi ſphęrę fuerint inęquales, quarũ una alterã intrinſecus cõtingere poterit: tunc in ſitu ſuę cõtingentię centrorũ ſuorũ di ſtantia ք 78 huius eſt exceſſus ſemidiametri ſphęrę maioris ad ſemi diametrum minoris. Demus ergo, quòd centrum maioris ſit a, centrũ minoris b, punctus cõtactus ſit c. Et quia cõtactus fit in puncto per 76 huius, interſectio uerò fit ſecundũ circulũ per 80 huius: palã, quia facta interſectione ſphærarum, abſcindet ſphęra a diametrũ b c in puncto alio quàm in termino ſuo, qui eſt punctus c. Sit ergo punctus, in quo ipſum abſcindit, punctus e: ponaturq́, ut linea f e ſit æqualis diametro ſphęrę b. Quoniam itaq linea a c excedit lineam b c in linea a b: linea uerò f e eſt ęqualis ſemidiametro b c: quoniam ſunt ſemidiametri eiuſdem ſphęrę. Linea ergo a c excedit lineam page 33 f e in linea a b: ſed linea f e eſt maior quàm linea e c: ergo a e, in qua linea a c excedit lineam e c, eſt maior quàm linea a b. Plus ergo diſtant centra ſphærarum in interſectione, quàm in ſitu contactus: & ſecundum quòd peripheria circuli, quæ eſt communis ſectio ſuarum ſuperficierum, minoratu‡, ſecundum hoc diſtantia centrorum augetur: & ſecundum quòd illa peripheria augetur, ſecundum hoc diſtantia centrorum minuitur: & reſpectu partis uniuerſi, ad quam fit interſectio, plus profundatur centrum ſphæræ continentis, reſpectu contactus, in tanto, quantò linea a e fit maior quàm li nea a b. Et hoc eſt, quod proponebatur.

85. Si duæ ſphæræ intra tertiam ſecundum circulũ æqualem circulo maiori ſphæræ, intra quã fit interſectio, ſe interſecent: utra illarum ſphærarum ſphæram, intra quam fit interſectio, interſecabit: et omniũ illarũ ſuperficierũ ſphæricarũ cõmunis ſectio erit peripheria circuli unius.

Verbi gratia: ſit, ut ſphæra, cuius centrum a, interſecet ſphæram, cuius centrum ſit b, intra ſphæram, cuius centrum ſit c, ſecundum circulũ æqualẽ circulo maiori ſphę

Fig. 339

b c a
rę c. Dico, quòd ſphæra a & ſphæra b interſecabũt ſphæram c: & omniũ ſuperficierum ſphæricarum illarum ſphærarum erit communis ſectio peripheria circuli illius, ſecundum quẽ ſphærarum a & b fiebat interſectio, hoc eſt cuiuſdam circuli magni ſphæræ c. Quoniam enim circulus maior diuidit ſphæram per æqualia, quia tranſit per centrũ eius ex definitione: tũc patet, quòd æqualis eidẽ, (undecunq contingat eũ in ſphæ ra produci) diuidet eã per æqualia: & ſic interſecabit ſecun dũ illum cir culum utraq ſphærarum, ſcilicet a & b ſphæram c. Sphæra autem a interſecante ſphæram b, communis ſectio eſt peripheria circuli per 80 hu ius: diuidit autem iſte circulus ſphæram c per æqualia: ergo interſecat. Eſt ergo eius peripheria in ſuperficie ſphærę c: ſed & eadem peripheria eſt in ſuperficiebus ſphærarum a & b. In omniũ ergo ſphærarum illarũ triũ ſuperficieb. eſt illa circuli peripheria. Eſt ergo ipſa cõmunis ſectio omnium ſuperficierum dictarum ſphærarum. Quod eſt propoſitum.

86. Lineam à centro ſphæræ per centrum circuli ſphæram ſecantis, orthogonaliter ductam‡ medio abſciſſæ portionis eſt neceſſarium applicari.

Sit ſphæra, cuius centrum a, & ſit circulus b c d, cuius centrum ſit

Fig. 340

c f b e d a
e, abſcindens portionem ſphærę: ducaturq́ linea a e, & producatur uſq ad ſuperficiem ſphæricam, cui incidat in puncto f. Dico, quòd li nea a e neceſſariò applicatur puncto, qui eſt medium abſciſſę portio nis ſphærę in conuexo uel concauo ipſius: & quòd hoc eſt punctum f. Ducantur enim lineæ a b, a c & a d, & copulentur lineę e b, e c, e d: erunt itaq trigona a e b, a e c & a e d omnia ſecundum latera ęquales angulos reſpiciẽtia adinuicem proportionalia: quoniam illa ipſorũ latera ſunt adinuicẽ æqualia, ut patet per ſphęrę & circuli definitiones, & quia latus a e eſt omnibus commune: anguli itaq b a e, c a e, d a e omnes ſunt æquales per 5 p 6: ergo per 26 p 3 arcus b f, c f, d f ſunt æquales. Et quoniam productis quibuslibet lineis à centro ſphæræ a ad peripheriam circuli b c d, idem ſemper accidit: palàm, quia pun ctus f eſt in medio portiõis abſciſſę de ſphęra. Et hoc proponebatur.

87. Proportionem partis ſuperficiei ſphæricæ ad totalem ſuperficiem ſuæ ſphæræ, ſicut anguli ſolidi in ipſam à centro ſphæræ cadentis, ad octo rectos ſolidos neceſſe eſt eſſe. È[?] Nicolao Cabaſilla in 3 librum magnæ conſtructionis Ptolemæi.

Fig. 341

a b d c

Verbi gratia: ſit a b c pars ſuperficiei ſphæricę alicuius ſphærę, cuius centum ſit d: & ducantur lineæ a d, b d, c d: & in ipſa ſuperficie ducantur lineæ a b, b c, a c: fietq́ pyramis, cuius uertex eſt punctum d, & baſis a b c. Palàm quoq, quoniã angulus circa punctum d eſt ſolidus, tribus angulis ſuperficialibus cõtentus. Dico, quòd quę eſt proportio illius anguli ad 8 rectos angulos ſolidos, qui replent locum ſolidum circa centrum d, eadem erit proportio ſuperficiei ſphæricæ, quæ eſt a b c, ad totam ſphæricam ſuperficiem ſuę ſphæræ. Imaginentur enim plurimi circuli magni, tranſeuntes per omnia puncta illius ſuperficiei, non ſecantes ſe ſuper illam. Patet itaq, quoniã aliqui arcus illorum circulorũ determinãtur per lineas terminales illius ſuperficiei: omniũ aũt illorũ arcuũ partialiũ ad totos ſuos circulos eſt ꝓpor page 34 tio, ſicut angulorum contentorum ſub lineis à centro d ad ipſorum terminos productis ad 4 rectos ſuperficiales per 33 p 6. Patet ergo propoſitum. Et etiam poteſt patere ex hoc, quoniam ſicut ille angulus correſpõdet illi parti ſuperficiei ſphæricæ: ſic reſiduum 8 ſolidorum angulorũ rectorũ totali reſiduo ſuperficiei illius ſphæræ reſpondet: ergo per 16 p 5 erit permutatim anguli ad angulum, ſicut ſuperficiei ad ſuperficiem, & per 18 p 5 coniunctim, & per 5 huius è contrario patet propoſitũ.

88. Si inter duas quartas circulorũ æqualium in ſphæræ ſuperficie ſe ſecantium, ad extremitates arcuum æqualium lineæ rectæ ducantur: illæ erũt æquidiſtantes: & remotior à puncto ſectionis erit longior. È[?] 14 p 12 ele. in Campano.

Sint arcus magnorum circulorũ in ſuperficie alicuius ſphæræ ſe ſecantiũ, qui a b c & a d e, ſecantes ſe in puncto a: in quibus ſignentur arcus æquales, ita, ut arcus a b ſit æqualis arcui a d, & arcus b c ſit æqualis arcui d e, & cõtinuentur lineæ rectę, quę

Fig. 342

a b d c e
ſint b d & c e. Dico, quòd lineæ c e & b d ſunt æquidiſtantes: & quòd linea c e eſt maior  linea b d. Quia itaq arcus a b eſt æqualis arcui a d: palàm ք 29 p 3 & per 65 huius, quoniã punctus a eſt polus circuli trãſeuntis per pũcta d & b: ideo quòd rectę lineę, quę a d & a b, ſunt æquales: & ſimiliter eſt de circulo trãſeũte per pũcta c & e. Circũducatur ergo ſuperficiei ſphęrę per puncta d, b circulus erectus ſuper diametrũ ſphæ rę per 69 huius, & ſimiliter per puncta e & c. Erũt ergo illi circuli æquidiſtãtes per 14 p 11. Erunt ergo lineæ c e & b d æquidiſtantes per 16 p 11, imaginata ſuperficie plana, in qua ſunt puncta b, c, d, e, circulos ſecundum illas lineas ſecãte. Sed & linea c e eſt maior quàm linea d b. Si enim ſit æqualis, cũ ſit æquidiſtãs: palàm, quia circuli a b c & a e d æquidiſtantes erunt: quod eſt cõtra hypotheſim: ſupponũtur enim ſe ſeca re in puncto a: aut ſequetur circulum tranſeuntẽ per puncta b & d æqualem fieri circulo tranſeunti per puncta c & d, quorum circulorum polus eſt pun ctum a: quod iterum eſt impoſsibile. Et ſi linea c e ſit minor quàm linea b d, concurrent circuli a b c & a d e ultra lineam c e potius quàm ultra lineam b d. Eſt ergo linea b d remotior à puncto ſectiõis. Quod eſt propoſitum hypotheſis.

89. Omnes lineæ longitudinis unius pyramidis rotundæ, ſunt æquales: & cum ſemidiametris baſis æquales, ſed acutos angulos continentes. Ex quo patet omnem pũctum uerticis pyramidis eſſe polum circuli ſuæ b a ſis: omnem́ lineam longitudinis eſſe in eadẽ ſuperficie cum axe: ipſum quo axem centrum circuli baſis orthogonaliter attingere. È[?] 18 defin. 11 element.

Quoniã enim per principium 11 Euclidis pyramis rotunda fit per trãſitum trianguli rectanguli, alterutro ſuorum laterum rectum angulum continentiũ fixo, donec

Fig. 343

a d b c
ad locum ſuum, unde in cœpit, redeat, triangulo ipſo circumducto: qui triangulus, ſi fuerit duorum laterum æqualium: & unum laterũ æqualium rectum angulum continentium fuerit fixum, cauſſabitur pyramis rectãgula: ideo, quòd angulus duplicati ſui trianguli ad uer ticem pyramidis eſt rectus per 5 & 32 p 1. Et ſi fixũ latus fuerit minus latere moto, erit pyramis amblygonia: quoniã per 19 p 1 angulus ad uerticem fit obtuſus. Et ſi latus fixum fuerit maius latere moto, erit pyramis oxygonia: quia per eandem 19 p 1 angulus eius ad uerticem remanet acutus, adiuuãte ſemper 32 p 1. Sic ergo diuerſantur formæ pyramidum ſecundum diuerſitatem proportionis lateris fixi ad alte rum latus motum rectum angulum cõtinens cum fixo. Et quia latus ſubtenſum angulo recto, cauſſat omnes lineas longitudinis in quali bet pyramide: palàm, quòd omnes lineæ longitudinis totius rotundæ pyramidis uni lineæ ſunt æquales ei, ſcilicet q̃ in trigono rectangulo opponitur angulo recto. Ergo & oẽs inter ſe ſunt æquales. Si ergo trigonũ orthogoniũ cauſſans pyramidẽ, ſit a b c, cuius angulus a b c ſit rectus: erit per 32 p 1 angulus a c b acutus: & eſt a c b angulus, cui omnes anguli cõtenti à lineis lõgitudinis & ſemidiametris baſis, ſunt æquales: & hoc proponebatur. Patet etiã ex ijs, quoniã punctus uerticis pyramidis cuiuslibet eſt polus circuli ſuę baſis per 65 huius. Et quoniã linea a c eſt in eadẽ ſuperficie trigona cum linea a b, patet, quoniam omnes lineæ longitudinis ſuntin eadem ſuperficie cum axe a b. Et quoniam linea b c motu ſuo deſcribit circulum baſis, patet, quòd axis a b centrum circuli baſis orthogonaliter attingit per 8 p 1: quia ex circuli definitione & prima parte præſen page 35 tis, axe exiſtente cõmuni, omnes anguli ad centrum b cõſtituti ſunt æquales. Patet ergo propoſitũ.

90. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem rotundam uel lateratam ſecundum axis longitudinem & ſuperficiei conicæ communis ſectio eſt trigonum duabus lineis longitudinis pyramidis & diametro baſis contentũ. Ex quo patet, quoniam illa ſuperficies diuidit pyramidem per æqualia: & quòd ſuperficies, quæpyramidem ſecundum lineam longitudinis per æqualia ſecuerit, ſecundum axem neceſſariò ſecabit. È[?] 18 defin. 11 element. item 3. theor. 1 Conicorum Apollonij.

Eſto pyramis rotunda a b c, cuius uertex a: & diameter baſis b c: & ſit centrum baſis d. Et palàm per pręmiſſam, quoniã linea a d eſt axis illius pyramidis. Superficies

Fig. 344

a b d c
itaq plana ſecans pyramidem rotundam ſecundum axis longitudinem, pertranſit puncta a & d: erit itaq illa ſuperficies plana orthogonaliter erecta ſuper baſim pyramidis per 18 p 11. Communis itaq ſectio baſis pyramidis & illius ſuperficiei planę eſt linea recta per 3 p 11, quæ eſt diameter baſis: & ſit hæc b c. Trigonũ itaq a b c eſt in ſuperficie ſecante: ſed & idem trigonum eſt in ſuperficie conica pyr midis. Et quoniam trigonum orthogonium b a d eſt illud, ex cuius pertranſitu deſcribitur pyramis a b c, & trigonum a b c eſt duplum illi per 1 p 6, patet illud, quod primò proponitur de pyramide rotunda. Patet etiam, quòd illa ſuperficies taliter pyramidem ſecans, diuidit ipſam per æqualia: quoniam tranſiens uerticem & concluſa diametro, per æqualia diuidit & baſim. In laterata uerò pyramide, aut ſuperficies plana ſecans tranſit latus aut angulum: eritq́ productis lineis ad terminum axis pyramidis, illa communis ſectio ſemper trigo nus maior uel minor. Patet ergo propoſitum: quoniam & conuerſa per ſe & ex præmiſsis patet.

91. Omnis pyramidis rotundæ uel lateratæ lineæ lõgitudinis ſu per axem in uertice tantùm ſe interſecant: productæ quo aliam ſimilem pyramidem principiant, cuius lineæ longitudinis ſecundum poſitionem & ſitum priori pyramidi modo contrario ſe habent. È[?] 18 defin. 11 elemen. item 1 defin. 1 Conicorum Apollonij.

Quòd omnes lineę longitudinis pyramidis cuiuſcunq prod ctę ſe ſuper axem in uertice ſecent, euidens eſt: quoniam concurrunt omnes in illo puncto uerticis. Et quoniam omnes ſunt æquales per 89 huius: patet, quia citra uerticem nulla ipſarum aliam interſe

Fig. 345

d e a b c
cat. Quòd etiam product æ aliam pyramidem priori ſimilem principient, patet. Secet enim ſuperficies plana pyramidem ſecundũ axis longitudinem: erit ergo per præcedentem communis ſectio iſtius ſuperficiei & ſuperficiei conicę pyramidis, trigonum æquum duplo trigoni rectanguli pyramidem cauſſantis: ſed palàm per 36 huius, quòd latera cuiuslibet trigoni producta principiant alium trigonũ priori ſimile, cuius latera poſitionem & ſitum prioris trigoni lateribus contrarium habent. Et quoniam tot poſſunt imaginari planæ ſu perficies trans axem pyramidem ſecantes, quot ſunt lineæ longitudinis imaginabiles in medietate pyramidis, pater, quoniam omnes lineæ longitudinis productæ, principiant aliam pyramidem priori ſimilem, lineis longitudinis à dextro prioris prodeuntibus in ſiniſtrum poſterioris, & à ſiniſtro prioris in dextrũ poſterioris, & è conuerſo. Patet ergo propoſitum.

92. Omnes lineæ longitudinis unius columnæ rotundæ ſunt æquales, rectos angulos cum ſemidiametris ſuarum baſium continentes, & in eadem ſuperficie cum axe exiſtentes. Ex quo patet, quoniam axis cuiuslibet columnæ rotundæ centris ſuaru baſium orthogonaliter inſiſtit. È[?] 21 defin. 11 element.

Hoc non indiget demonſtratione alia, niſi ſimili illi, quæ fit in 89 huius. Sicut enim trigonum orthogonium altero laterum rectum angulum continentium fixo, per reuolutionem ſuam cauſſat pyramidem rotundum: ſic quadrilaterum rectangulum altero ſuorum laterum fixo manente, alijs tribus, quouſque ad locum ſuum redeant, circumductis, cauſſat motu ſuo figuram columnarem rotundam. fiet ergo probatio omnium eorum, quæ proponunttur hîc, ut in illa: quia patet totum euidenter.

page 36

93. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis columnam rotundam ſecundum axis longitudinem & ſuperficiei columnæ communis ſectio eſt rectangulum ſub duabus lineis longitudinis columnæ, & duabus diametris baſium contentum. Ex quo patet, quoniam illa ſuperficies per æqualia diui dit columnam. È[?] 21 defin. 11. element.

Columna rotunda ſit, cuius axis e f: ſecetq́ ipſam per e f ſuperfi

Fig. 346

g a m e n b h i c p f o d k l
cies plana, ſitq́ communis ſectio ſecundum puncta a, b, c, d. Dico, quòd ſectio a b c d eſt quadrangula rectangula ſub lineis longitudinis columnæ, & duabus diametris baſium contenta. Ducatur enim linea e a in baſi columnæ & in ſuperficie ſecante: hæc eſt ergo ſemidiameter circuli baſis columnæ. Producatur itaq taliter, ut linea e g compleat diametrum baſis columnæ, cadetq́ linea e g in ſuperficie plana columnam ſecante. Si enim linea e g nõ eſt ducta in ſuperficie plana columnam ſecante: ducatur linea b e in illa ſuperficie ſecante. Lineæ ergo b e & e a ſunt linea una: quoniam ſunt in una ſuperficie productæ ambæ orthogonaliter ſuper axem e f cõtinuè: ſimiliterq́ quia linea e g complet diametrum a e, non in ſuperficie ſecante, ſed alia: erit ergo lineæ a g pars in plano, pars in ſublimi: quod eſt contra 1 p 11. Palàm itaq, quoniam linea a b eſt diameter baſis, & quòd punctus g cadit ſuper punctum b. Similiterq́ declarandum de linea c d, quoniam eſt diameter alterius baſis. Lineæ quoq a c & b d ſunt lineæ longitudinis columnæ. Quod eſt propoſitum. Ex hoc itaq pa tet, quoniã cum illa ſectio diuidat per æqualia baſes columnæ, quòd etiam diuidit per æqualia columnam.

94. Superficiei ſecantis columnam rotundam æquidistanter ſuperficiei per axem ſecanti & ſuperficiei columnaris, cõmunis ſectio eſt rectangulum ſub duabus lineis longitudinis columnæ, & duabus lineis minoribus diametris baſium contentum. È[?] 21 defin. 11 elem.

Sit, ut in præcedenti propoſitione, columna ſecta per planam ſuperficiem ſecundum ſectionem, rectangula a b c d: cuius axis ſit e f: ſitq́ nunc ſuperficies plana columnã ſecans, æquidiſtans ſuperficiei a b c d, cuius communis ſectio cum ſuperficie columnæ ſit h i k l: ducanturq́ à punctis h & i li neæ perpendiculares ſuper diametrum a b per 12 p 1, quæ ſint h m, i n. Erit itaq linea m n æqualis lineæ h i, ut patet per 34 p 1: lineæ enim a b & h i ſunt æquidiſtantes ex hypotheſi, & lineæ h m & i n ſunt æquidiſtantes per 28 p 1. Eſt ergo linea h i minor diametro a b. Similiter quoq l k minor eſt dia metro c d, ductis perpendicularibus lineis, quæ l o & k p: ſed lineæ h k & i l ſunt lineæ longitudinis columnæ. Patet ergo propoſitum.

95. Omnis ſuperficies plana contingens pyramidem, uel columnam rotundam: ſecundum lineam longitudinis eſt contingens.

Non enim ſecundum punctũ contingit ſuperficies plana propoſita corpora ſicut ſphæram: quoniam in ipſis eſt longitudo, quæ non eſt in ſphæra: ſed nec contingit ipſa ſecundũ ſuperficiem: quoniam cum in quolibet iſtorum corporũ ſint infiniti circuli ſuis baſibus æquidiſtantes & ipſæ baſes: accideret illos ſecundum lineas in ſuperficie plana contingente ductas ad ipſorum contactum, non contingi ſecundum punctũ, ſed ſecari: quod eſt contra 16 p 3, & impoſsibile. Non ergo continget ſuperficies plana propoſita corpora ſecundũ ſuperficiem. Reſtat ergo,

Fig. 347

a e d c g b
ut ſecundũ lineam contingat. Et quia contingit in pyramide uerticem & baſim & in columna ambas baſes: patet, quòd utrunq illorum ſecundum lineas ſuarum longitudinum eſt contingens. Patet ergo propoſitum.

96. Omnis linea perpendicularis ſuper curuam ſuperficiem py rami dis, uel columnæ rotundæ: neceſſariò trãſit per ipſarũ axem.

Pyramis rotunda uel columna ſit, cuius linea longitudinis ſit a b: & eius axis a g: & ſit linea d e perpendicularis ſuper curuam illius ſu perficiẽ. Dico, quòd linea e d tranſit per axem a g. Ducatur enim ſemidiameter baſis, quæ ſit b g. Quia ergo linea e d eſt perpendicularis ſuper curuam ſuperficiem propoſitam: palàm per definitionem, quoniã linea e d eſt perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem contingentem pyramidem ſecundum aliquam lineam ſuę longitudinis: ſit hoc ſecundum lineam a b. Cadit ergo linea e d ſuper lineam a b. Palàm ergo per 2 p 11, quoniam lineę d e & a b ſunt in eadem ſuperficie. Et quia linea d e eſt perpendicularis ſuper curuam ſuperficiem pyramidis: patet, quòd illa ſuperficies erit erecta ſuper ſuperficiem conicam pyramidis, & in ipſa eſt linea a b. Producta ergo transpyra midem, ſecabit ipſam ſecundũ lineam longitudinis a b per æqualia diuidens pyramidem, & tranſi page 37 bit per axem a g per 90 huius. Trigonum ergo a b g cum linea d e eſt in eadem ſuperficie. Quia ergo linea e d cum uno latere trigoni b a g, quod eſt a b, continet angulũ rectum, qui eſt d e a: angulus uerò e a g eſt acutus: palàm, quia linea d e concurret cum linea a g per 14 huius. Tranſit ergo per axem pyramidis uel columnæ rotundę. Quod eſt propoſitum: quoniã in columna rotunda eodem modo demonſtandũ. In illa enim, quia linea longitudinis a b æquidiſtat axi, & lineę d e & a b & axis ſunt in eadem ſuperficie: patet per 2 huius, quia linea d e concurrẽs cum una linearum æquidiſtantium, ideo cum a b & cum axe neceſſariò concurret. Et hoc proponebatur.

97. Omnis ſuperficies plana ſuperficiei contingenti pyramidem uel columnam in loco contactus orthogonaliter inſiſtens, neceſſariò ſecat pyramidem uel columnam per ipſius axem.

Sit pyramis uel columna rotunda, quam contingat ſuperficies plana. Palàm ergo per 95 huius, quoniã continget illam ſecundũ lineã longitudinis. Superficies itaq huic ſuperficiei orthogonaliter in loco contactus inſiſtẽs, eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ curuam pyramidis uel columnę: & ipſarũ cõmunis ſectio eſt linea longitudinis, ſuper quã in ſuperficie erecta ducantur perpendiculares. Eæ itaq lineæ per præmiſſam tranſibunt axem pyramidis uel columnæ rotundæ. Er go & ſuperficies illa axem tranſiens, ſecabit pyramidẽ uel columnã ſecundum axem. Et hoc proponebatur.

98. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem rotundam non per uerticẽ, & ſuperficiei conicæ pyramidis communem ſectionem figuram triangularem eſſe impoßibile.

Eſto pyramis, cuius uertex a, diameter baſis b c, centrũ baſis d, & axis a d, quã ſecundum axis lon gitudinem ſecet ſuperficies plana ſecundum trigonũ a b c per 90 huius: ſecetq́ ipſam alia ſuperficies erecta ſuper trigonũ a

Fig. 348

d f f f g g b h h d c h e e c
b c, nõ per uerticem, ſecundum ſectionẽ, quæ ſit e f g, cuius ſupremus pũctus ſit f, & ſit linea e g æquidiſtãs alicui diametro baſis pyramidis, cuius medius punctus ſit h: & ducatur linea f h à ſupremo puncto ſectionis ad mediũ ſuæ baſis. Et quia linea e g eſt linea recta, quę eſt æquidiſtãs diametro baſis pyramidis, & punctũ f ſignatum eſt in ſuperficie conica in ſupremo, ſuperficies e f g ſecat conicam ſuperficiẽ. Si itaq ſectio e f g ſit trigonũ ſcilicet rectilineum: patet, quoniã duæ lineæ longitudinis pyramidis, quæ ſunt e f & g f, concurrunt in puncto f, præter uerticem pyramidis, quod eſt impoſsibile & cõtra 91 huius. Trigonũ quoq curuilineũ fieri eſt impoſsibile: quoniã ſuperficies ſecans ſupponitur eſſe plana, & ſuperficies illius trigoni eſt curua, ut patet ex definitione. Erit ergo linea e f g linea una. Cum itaq illa ſectio ſit linea una: dicatur ſectio conica uel pyramidalis. Si itaq́ axis pyramidis, qui eſt a d, ſit æqualis ſemidiametro baſis, quæ eſt d b: palàm, quia pyramis a b c eſt orthogonia, quoniam angulus b a c trigoni a b c eſt rectus. Si ergo linea f h, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei e f g, & trigoni a b c æquidiſtet lineæ a c, quæ eſt latus trigoni, & linea longitudinis pyramidis: palàm per 29 p 1, cum angulus b a c ſit rectus, quòd etiam angulus b f h erit rectus: & ſimiliter angulus h f a: tunc itaq ſectio e f g dicetur ſectio rectangu la, uel parabola: & eſt illa, quam Arabes dicunt mukefi. Si uerò lineæ h f & a c non æquidiſtent, ſed concurrant: ſi concurſus fiat ad partem puncti a, qui eſt uertex pyramidis: tunc patet per 14 huius, quòd angulus h f a erit obtuſus: & tunc ſectio e f g dicetur amblygonia uel hyperbole uel mukefi addita. Si uerò lineæ h f & a c concurrant uerſus punctum c, qui non eſt uertex pyramidis: tunc per 14 huius erit angulus h f a acutus: & tunc ſectio e f g dicetur oxygonia, uel ellipſis uel mukefi diminuta. Et ſecundum hunc modum iſtæ ſectiones & earum paſsiones ampliſsimè uariantur.

99. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem uel columnam lateratã trans axem æquidistanter baſi & ſuperficiei pyramidalis uel columnaris cõmunis ſectio eſt ſimilis peripheriæ baſis: & ſi illa ſectio peripheriæ baſis eſt ſimilis, ſuperficies ſecans æquidistat baſi pyramidis uel colũnæ.

Si enim illa ſectio baſi æquidiſtat, omnes trigoni laterales totius pyramidis & partiales trigoni ſunt æquianguli per 29 p 1. Patet ergo per 4 p 6, quòd tota peripheria ſectionis eſt ſimilis baſi pyramidis, quoniam omnia latera trigonorum totalium & partialium erunt proportionalia. Et ſi illa ſectio eſt baſi ſimilis, eſt etiam baſi æquidiſtans. Quoniam ſi nõ eſt æquidiſtans, erit alia ſecundum idem punctum ſecans axem, æquidiſtans baſi, ſimilis peripheriæ baſis per præmiſſa, Sequitur itaq ut una ſimilis, alia quoq non ſimilis, ſecundum idem punctum ſecent axem pyramidis. Alia uerò page 38 æquidiſtans baſi fieri poterit per 31 p 1, ducta ab uno puncto primæ ſectiõis linea æquidiſtante alicui linearum baſis pyramidis, & à terminis illius alijs lineis æquidiſtantibus reliquis lineis baſis produ ctis.) Ex hoc autem accidit impoſsibile, quoniã ſequitur ex hypotheſi angulum extrinſecum propter trigonorum ſimilitudinem æqualem fieri intrinſeco: cum ab uno puncto exeant duæ lineæ æquales angulos cõtinentes angulis illis, qui fiunt per lineã aliquã longitudinis & per lineam aliquã peripherię baſis. Patet ergo propoſitum in pyramidibus. Et eodem modo demonſtrandũ eſt in columnis lateratis, & facilius propter æqualitatem linearum per 34 primi.

100. Omnis ſuperficiei planæ ſecantis pyramidem uel columnam rotundam trans axem æquidiſtanter baſi, & curuæ ſuperficiei pyramidis uel columnæ communis ſectio eſt circulus: & ſi illa ſectio eſt circulus, ſuperficies ſecans eſt æquidiſtans baſi. Ex quo patet, quòd omnis plana ſuperficies æquidiſtanter baſi ſecans pyramidem uel columnam, nouam pyramidem conſtituit uel columnam. 4 theor. 1 Conicorum Apollonij, & 5 the. Cylindricorum Sereni.

Sit pyramis rotũda a b c, cuius uertex a: diameter baſis b c, & centrũ baſis d: ſecetq́ ipſam ſuperfi cies plana æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio ſuperficiei illius & ſuperficiei conicæ pyramidis linea e f g. Dico, quòd linea e f g eſt peripheria circuli. Secet enim alia ſuperficies plana pyramidem per uerticem & per axem, qui eſt a d. Cõmunis itaq illius ſuperficiei & pyramidis ſectio eſt trigonũ (quod ſit a b c) per 90 huius: ſecetq́ ſuperficies e f g axem a d in puncto h: & trigonum a b c ſecet ſuperficiem e f g in linea e h f. Erit ergo linea e h æquidiſtans lineæ b d

Fig. 349

a e h f g b d c
per 16 p 11: eſt ergo per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b a ad e a, ſicut lineæ c a ad lineam a f: ergo per 7 huius erit euerſim proportio lineę b a ad lineam b e, ſicut lineę c a ad lineam c f: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio lineę b a ad lineam c a, ſicut lineę b e ad lineã c f. Sed linea b a eſt ęqualis ipſi c a per 89 huius: ergo erit linea b e æqualis lineę c f. Ducantur itaq lineæ d e, d f. Et quoniã per 89 huius, anguli, quos continent lineę longitudinis pyramidum cum ſemidia metris baſium, ſunt æquales: palàm per 4 p 1, quia linea d e eſt æqualis lineæ d f: & angulus e d b eſt æqualis angulo f d c. Quia uerò angulus h d b æqualis angulo h d c: quoniã ambo ſunt recti: & angulus e d b æqualis angulo f d c: remanet angulus e d h æqualis angulo f d h: quoniã ſunt reſiduę partes rectorũ ſupér angulos æquales. Palàm ergo per 4 p 1 quoniã linea e h eſt ęquà[?]lis lineę h f. Similiterq́ ductis lineis h g & d g, & cõpleta, prout in præmiſsis, figuratione, declarabitur, quoniã linea f h eſt æqualis lineæ g h: ſunt enim trigona æquiangula, ut patet intendenti. Ergo per 9 p 3 punctum h eſt centrũ circuli. Eſt ergo e f g linea circũferentia circuli. Quod eſt propoſitũ. Et ſi ſectio e f g eſt circulus, palàm quoniã ſuperficies plana ſecundum illum circulum ſecans pyramidem, eſt æquidiſtans baſi: erit enim e a f pyramis, cuius axis a h, & centrum baſis h: erit itaq linea longitudinis, quę eſt e a, æqualis lineę f a per 89 huius: ſed & linea b a æqualis eſt ipſi c a: remanet ergo linea b e æqualis ipſi e f. Erit quoq linea e d æqualis lineę f d per 4 p 1. Et quia trigona e h d & f h d ſunt æqualia inter ſe latera habentia: ergo per 8 p 1 angulus e h d eſt æqualis angulo f h d. Ergo per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectę patet, quod linea d h erecta eſt ſuper ſuperficiem e f g: ſed eadem linea h d eſt erecta ſuper baſim pyramidis, cuius diameter eſt b c. Ergo per 14 p 11 ſuperficies e f g eſt æquidiſtans baſi datę pyra midis. Quod eſt propoſitum: quoniam ſimpliciter ſecundum præmiſſum in pyramidibus modum, in columnis quoq rotundis poteſt demonſtrari, & propter æquidiſtantiam linearum longitudinis columnę facilitas accedit demõſtrationi. Fiunt enim lineę d f, d g, d e æquales: ergo & lineę h e, h g, h f: eritq́ ſectio e g f circulus per 9 p 3. Et conuerſa ſimpliciter patet per 14 p 11, ut prius. Et hoc proponebatur. Per hæc itaq patet manifeſtè, quoniam omnis plana ſuperficies ſecans quamcunq pyramidem ęquidiſtanter ſuę baſi, nouã conſtituit pyramidem, cuius in pyramide rotunda, baſis eſt circulus, & in laterata pyramide ſuperficies ſimilis baſi illius ſectę pyramidis, ut patet per 99 huius. Semper tamen uertex illius pyramidis abſciſſę eſt idem cum uertice prioris, & axis abſciſſę, pars axis ipſius prioris datę: baſis quoq æquidiſtat baſi. Similiter quoq fit in columnis rotundis uel late ratis: ſuperficies enim ęquidiſtanter baſibus ſecans quamcunq columnam, nouam efficit columnã rotundam uel lateratam: imò duas, ſcilicet abſciſſam & ipſam reſiduam: quod non accidit in pyrami dibus. Patet ergo totum, quod proponebatur.

101. In qualibet columna uel pyramide à dato in eius ſuperficie puncto, lineam longitudinis ducere. 7 theo. Cylindricorum Sereni.

Imaginetur enim ſuperficies plana ſecãs pyramidem uel columnã trans illius punctum & trans axem: quod fiet, ſi à puncto dato ducatur linea recta ſuper axẽ: illa ergo linea & axis ſunt in una ſuperficie per 2 p 11: quę ſuperficies ſecabit pyramidem ſecundum lineam longitudinis per illud punctum tranſeuntem per 90 huius: columnam quoq per 92 huius. Patet ergo propoſitum.

102. À[?] dato puncto, ſiue in axe, ſiue in ſuperficie curua datæ pyramidis rotundæ uel colũnæ, circulum circumducere.

page 39

Eſto pyramis, cuius uertex punctũ a, axis uerò a d: in quo ſit datus punctus e, à quo debemus cir culum totali ſuperficiei conicæ circunducere. Sit itaq, ut ſuperficies plana ſecet pyramidẽ ſecundũ axem a d trans punctũ e: cõmunis itaq ſectio illius ſuperficiei planæ & ſuperficiei conicæ erit trigo num per 90 huius: cuius baſis ſit b c, quę erit diameter baſis pyrami

Fig. 350

a f e g h b d c
dis. In hac itaq ſuperficie per 11 p 1 ducatur à puncto e linea perpendi culariter ſuper axem a d, quæ producta ad conicã ſuperficiem ſit e f: & item ab eodẽ puncto e ducatur linea e g perpendiculariter ſuper axẽ a d: cadatq́ punctũ g in conica pyramidis ſuperficie: & ſimiliter ducatur linea e h perpendiculariter ſuper axem a d: cadatq́ punctus h in conica ſuperficie. Quia ergo linea a e ſuper cõmunem terminum linearũ e f, e g, e h orthogonaliter inſiſtit, palàm per 5 p 11, quoniã illæ lineę ſunt in una ſuperficie: eritq́ per 4 p 11 linea a e perpẽdiculariter erecta ſuper illã ſuperficiẽ f g h. Et quoniã linea a d erecta eſt perpendiculariter ſuper baſim pyramidis per 89 huius, & per definitionẽ p y ramidis: patet per 14 p 11, quoniã ſuperficies f g h æquidiſtat baſi pyra midis. Eſt ergo per 100 huius f g h circulus. Quòd ſi pũctus datus ſit in ſuperficie conica, ſit ille punctus f: & ducatur à puncto f perpendicularis ſuper axem a d, quę ſit f e, per 12 p 1: educanturq́ à puncto e lineæ e g & e h perpendiculares ſuper axem a d per 11 p 1: & deinde, ut prius, compleatur demonſtratio. Patet itaq propoſitum: quoniã ſim pliciter eodem modo negotiandum eſt in columnis.

103. Omnis ſuperficiei ſecantis pyramidem uel columnã rotundam trans axem non æquidiſtanter baſibus, & ſuperficiei curuæ communem ſectionem circulum eſſe eſt impoßibile. 5 theo. 1 Conicorum Apollonij. item 9 theor. Cylindricorum Sereni.

Sit pyramis, cuius uertex a, diameter baſis b c: & centrum baſis d, & axis a d: ſecetq́ ipſam ſuperficies plana trans axem a d in puncto e, nõ æquidiſtanter baſi: & ſit cõmunis ſectio huius ſuperficiei planæ & ſuperficiei conicæ linea f g h k. Dico quòd hæc ſectio non eſt poſsibile, ut ſit circulus. Eſto enim, ut circa punctum e in pyramidis conica ſuperficie ducatur circulus per præmiſſam: hic itaq æquidiſtabit baſi per 100 huius: ſitq́ f g l m: & ſignentur lineę longi

Fig. 351

a k f l e m h g b d c
tudinis pyramidis a f, a g, a l, a m. Eæ itaq omnes erunt æquales per 89 huius, ideo quòd ſuperficies æquidiſtans baſi pyramidis nouã py ramidem abſcindit per 100 huius. Et quoniã ſectio f g h k nõ æquidiſtat baſi pyramidis, patet quòd non æqualiter diſtat à uertice pyrami dis, qui eſt punctus a: ſit itaq punctus h remotior à uertice a, & cadat in linea a l producta, & punctus k ſit propinquior uertici a, & cadat in linea a m. Erit itaq linea a h maior quàm linea a l, & linea a k minor eſt quàm linea a m: & continuentur lineę h e, k e, f e, g e, & lineæ e l, e m. Et quoniã angulus a l e eſt acutus per 89 huius, erit angulus h l e obtuſus per 13 p 1. Ergo per 19 p 1 latus h e trigoni h e l eſt maius latere e l: ſed latus e l eſt æquale lateri e f per definitionẽ circuli. Linea uerò e f uenit à puncto axis ad punctũ ſectionis: quia eſt cõmunis ſectio circuli & ſuperficiei obliquè pyramidem ſecantis: inæ quales itaq lineę ab hoc puncto e producuntur ad peripheriã ſectionis. Non eſt ergo ſectio illa circulus per circuli definitionẽ. Dicemus ergo illam ſectionẽ in pyramidibus pyramidalem, & in columnis colu mnalem. Eſt tamẽ illa ſectio in pyramidibus in 98 huius prius dicta ſectio oxygonia uel ellipſis. Et quoniam talis ſectio eſt figuræ oblon gæ, patet quòd ipſa habet diametros plurimas omnes inæquales, & per idem punctum axis ſecti corporis tranſeuntes, ipſam quoq ſectionem per æqualia diuidentes: quarum maxima eſt, quæ tranſit longitudinem ſectionis, minima uerò eſt, quæ pertranſit latitudinem: & eſt ſuper maximam diametrum orthogonaliter erecta. Patet itaq propoſitum.

104. Omnium duarum planarum ſuperficierũ ſecantium pyramidem uel columnam rotundam trans idem punctum axis, ſi una æquidiſtanter baſi, & alia nõ æquidiſtanter ſecuerit: com munis ſectio eſt linea recta tranſiens pyramidem uel columnam, orhogonalis ſuper axem. Ex quo patet, quòd ſiue circuli peripheria, ſiue ſectio alia quæcun non in eadem ſuperficie, quamcun ſecuerit ſectionem, in duobus tantùm punctis ipſam interſecabit.

Sit, ut pyramis, cuius uertex a: & axis a d ſecetur ſecundum punctum axis e, per‡duas planas ſuperficies, quarum una ſecet æquidiſtanter baſi, ut f g h, alia uerò non æquidiſtanter, ut f g k l. Dico, quòd communis ſectio iſtarum ſuperficierum eſt linea tranſiens pyramidem, orthogonalis ſuper axem, ut eſt linea f e g. Quòd enim illæ ſuperficies ſe interſecent, patet per hoc, quòd aliquæ li page 40 neæ in ipſis productę, ad unum communem terminum copulantur,

Fig. 352

a l f e h k g b d c
& in illo ſe interſecant, ut in puncto e. Quòd enim illarum ſuperficie rum communis ſectio ſit linea recta, patet per 3 p 11: quòd autem illa linea (quæ eſt illarum linearum communis ſectio) ſit orthogonalis ſuper axem pyramidis, qui eſt a d: patet: quoniam per 14 p 11 axis a d eſt քpendicularis ſuper baſim pyramidis & ſuք ſuperficiẽ f g h: quoniam illæ ſuperficies ſunt ex hypotheſi æquidiſtantes. Ergo per defi nitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ, omnis linea ducta à puncto axis e in ſuperficie f g h eſt perpendicularis ſuper axem a d. Linea uerò, quę eſt communis ſectio iſtarum ſuperficierũ ſecantium, neceſſariò cadit in ſuperficie f g h: alioquin nõ eſſet cõmunis ſectio. Palàm ergo propoſitum primum: quoniam communis ſectio ſuperficierum taliter, ut proponitur, pyramidem ſecantium, eſt orthogonalis ſuper axem pyramidis. Et eodem modo demonſtrando, idem patet in columnis rotundis. Ex quo patet & corollarium: quoniam communis ſectio talium ſuperficierum eſt linea recta. In duobus autem tantùm punctis, qui ſunt termini illius lineæ, fiet interſectio illarum ſectionum, quamuis in pluribus punctis hoc ſit fieri poſsibile, cum ſe interſecant in eadẽ plana ſuperficie. Patet ergo propoſitũ.

105. Ex aliquo puncto baſis peripheriæ columnæ rotundæ ſemicirculo in ſuperficie cõuexa uel cõcaua columnari circumducto: neceſſe eſt lineam ſemicirculum illum per æqualia diuidentem ad ſuperficiem baſis erect am eſſe.

Fig. 353

d a b c

Sit, ut ex aliquo puncto peripheriæ baſis colũnæ rotundę, q ſit a, circumducatur ſemicirculus in ſuperficie columnæ concaua uel con uexa, qui ſit b c d, & eius centrum erit punctum a: ſitq́ ita, ut linea a d diuidat illum ſemicirculum per æqualia in puncto d. Dico, quòd linea a d eſt erecta ſuper ſuperficiem baſis columnę. Quoniam enim arcus d b eſt æqualis arcui d c: patet, quòd angulus d a b eſt æqualis angulo d a c per 27 p 3. Eſt igitur linea a d pars unius linearũ longitudinis colũnę. Eſt ergo erecta ſuper baſim per 92 huius. Patet ergo propoſitũ.

106. Datæ pyramidirotundæ pyramidem eiuſdem uel diuerſæ al titudinis inſcribere. Ex quo patet inſcriptæ angulum ad baſim, angulo circumſcribentis maiorẽ eſse: & ſi inſcripta pyramis ad aliam baſim priori baſi æquidiſtantem producatur, anguli productæ ad baſim, angulis datæ pyramidis maiores erunt: & quantumcun anguli ad baſim augment antur, tantum anguli ad uerti cem minuuntur.

Fig. 354

a x e i b g d h c k f o l n m p

Eſto exempli gratia, ut pyramis, cui alia eiuſdem altitudinis debet inſcribi, ſit orthogonia, & ſit a b, a c, a e, a f lineis ſuæ longit udi nis ſignata: & axis eius ſit a d: abſcindatur itaq ſemidiameter baſis, quæ eſt d c, ut libuerit, & ſit abſciſſa in puncto h: producaturq́ linea a h, & habetur triãgulus a d h, cuius latera a h, d h latere a d fixo manente, reuoluantur ad locũ, unde moueri incœperũt, ꝓuenietq́ pyramisa g h i k, cuius axis a d. Et ſic poteſt fieri inſcriptio ad quodcũq punctũ lineæ d c. Et hoc eſt, q ꝓponebatur primũ. Quod ſi diuerſę altitudinis pyramidẽ ad baſim cõmunẽ inſcribere placuerit ſimilem priori datæ: ſignato puncto, ubi uolueris, in linea axis a d, uel extra: tum intra corpus pyramidis, quod ſit x, producantur lineæ à puncto x ad totam peripheriam, ut x b, x c, x e, x f. Et patet propoſitum. Similiter erit faciendum, ſi quis inſcribere uoluerit pyramidem ad baſim minorem baſi pyramidis datæ. Patet autem ex præmiſsis, cum omnes anguli cuiuſcunq pyramidis ad baſim ſint æquales per 89 huius, quoniã ex motu anguli unius trianguli, omnes illi anguli cauſſantur: palàm, quòd quicquid in triangulo cauſſante maiorem pyramidem reſpectu trianguli cauſſantis minorem pyramidem proueniet, in omnibus ſimilibus & æqualibus triangulis maioris pyramidis ad ſimiles triangulos mi noris prouenire neceſſe eſt. Cum ergo in triangulo d h a angulus a h d ſit per 16 p 1 maior angulo a c d trianguli d c a: quoniã eſt extrinſecus: patet, quòd omnes anguli pyramidis a g h i k ad baſim page 41 ſunt maiores omnibus angulis pyramidis a b c e f ad baſim exiſtentibus. Et eodẽ modo poteſt demonſtrari in pyramide inſcripta pyramidi a g h i k. Et hoc eſt ſecundum propoſitũ. Quòd ſi linea lon gitudinis, quæ eſt a h, protrahatur ad punctum m, & axis a d ad punctum n, fiatq́ angulus a n m rectus, & ſecundum eum compleatur pyramis a l m o p ſuper axem a n: patet tertium propoſitũ, quòd anguli productæ pyramidis, qui fiunt ad baſim, erunt maiores angulis ad baſim primæ datæ pyrami dis: quoniam ex 29 p 1 angulus n m a ęqualis eſt angulo d h a, & angulus d h a maior eſt angulo d c a: ergo angulus n m a maior eſt angulo d c a. Omnes ergo anguli ad baſim pyramidis a l m o p angulis ad baſim pyramidis a b c e f ſunt maiores, quilibet ſcilicet ſuo correſpondenti. Eodem autẽ modo demonſtrari poterit, & ſi pyramis inſcripta pyramidi a g h i k, producatur ad baſim dictæ pyramidis priori baſi æquidiſtantem: eſt enim idem modus. Patetq́ ex prædictis ultimum propoſitũ, ſcilicet, quia quantùm anguli ad baſim ampliantur, tantùm anguli ad uerticem eiuſdem pyramidis minuun tur: quilibet enim anguli cuiuslibet trianguli cum ſint ęquales duobus rectis per 32 p 1: angulo ergo recto in omnibus permanente, reliqui duo ualent unum rectum: quod ergo in uno illorum additur, neceſſe eſt, ut in reliquo minuatur. Et hoc eſt totum quod proponebatur.

107. Si pyramis rotunda pyramidi rotundæ inſcribatur ſic, ut ambarum eadem baſi exiſtente diuerſi ſint axes: centrũ axis, & uertices ambarũ pyramidum in eadẽ linea cõſiſtere eſt neceſſe.

Eſto pyramis data, quæ ſit a b c e f: cuius baſis ſit circulus b c e f: & eius centum d: ſitq́ axis pyraramidis a d: & ſit exempli gratia orthogonia: inſcribaturq́ ei per præcedentem ad eandem baſim py ramis breuioris axis taliter, quòd intra illam cõtineatur. Dico, quòd

Fig. 355

a g g e b d c f
centrum circuli baſis ambarum pyramidum, quod eſt d, & uertex datæ pyramidis, qui eſt a, & uertex inſcriptæ pyramidis, qui ſit g, omnes erunt in eadem linea a d. Et hoc quidem patet de punctis a & d. Quòd autem punctum g in eadem ſit linea, probatur. Si enim non eſt in eadem: ergo ad aliquam partem extra illam lineam declinat: ſit ergo nunc eius declinatio ad partem dextram uerſus lineam a c in ſuperficie trianguli a d c. Producatur linea g d. Quia itaq per 89 huius omnes lineæ longitudinis eiuſdem pyramidis ſunt æquales: patet, quòd latera g b & g c ſunt æqualia: ſed & b d eſt æqualis ipſi c d, & axis g d cõmunis: ergo per 8 p 1 angulus g d c eſt æqualis angulo g d b: uterq ergo eſt rectus. Sicut autem angulus a d c eſt rectus, ſic & angulus g d c erit rectus. Ergo rectus eſt pars recti: hoc autem eſt impoſsibile. Patet ergo, cum ubicunq extra lineam a d ſignato puncto g, ſemper idem accidat impoſsibile, quoniam punctus g neceſſariò erit in linea a d. Quod eſt propoſitum. Quòd ſi à puncto g ad baſim pyramidis productus axis dicatur nõ cadere in punctum d, centrum circuli baſis: ſequetur aliud impoſsibile contra hypotheſim, ſci licet quòd ad eandem baſim illa pyramis non ſit inſcripta: quod eſt cõtra præmiſſa: uel ſequetur, quòd lineæ ductæ à centro ad circumferentiam non ſint æquales: quod totum eſt impoſsibile. Patet ergo illud quod proponebatur.

108. Duarum pyr amidum rotundarũ uel later at arum æqualium baſium & inæqualium alti tudinum, uerticem altioris acutioris anguli eſſe neceſſe eſt.

Duarum pyramidum rotundarum uel lateratarum ſit a b c altior, cuius axis a d, & uertex a: & py ramis e f g, cuius uertex f, & axis f h

Fig. 356

a k b d c
Fig. 357

f e h g
ſit baſsior: ſintq́ ipſarum baſes b c & e g æquales: & axis f h breuior axe a d. Dico, quòd angulus b a c eſt minor angulo e f g. Reſecetur enim ab axe a d æqualis axi f h: qui ſit d k: & ducãtur lineæ b k & c k: erit itaq pyramis b c k æqualis e f g: ſecetq́ ſuperficies plana ambas pyramides a b c & b k c per axem: eruntq́ per 90 huius communes ipſarũ ſectiones trigoni. Sit ergo ut ſecetur pyra mis a b c ſecundum trigonum b a c, & pyramis b k c ſecundum trigonũ b k c: erit ergo angulus b k c maior angulo b a c, per 33 huius: ductisq́ alijs ſuperficiebus ſecantibus: erũt ſemper trigona iſtis æqualia & æquiangula. Patet ergo propoſitum.

109. Si à uerticibus duarũ pyramidum rotundarũ uel later atarũ inæqualium altitudinũ & æqualium baſium, duæ pyramides æqualis inter ſe altitudinis abſcindantur: neceſſe eſt baſim py page 42 ramidis abſciſſæ ab altiori, baſi alterius abſciſſæ minorem eſſe.

Duarum pyramidũ rotundarum ambarũ, uel lateratarũ ambarum, ęqualiũ baſium, ſit altior a b c, cuius axis ſit a d, & uertex a: & baſsior pyramis ſit e f g, cuius axis ſit f h, & uertex f: a b ſcindaturq́ a b axe a d linea a k æqualis lineę f l abſciſſæ ab axe f h. Secetur itaq pyramis altior per ſuperficiẽ planã per axem: eritq́ per 90 huius ſectio

Fig. 358

a m k n b d c
Fig. 359

f o l p p h g
cõmunis trigonus, qui ſit a b c. Et ſimiliter ſecetur altera pyramis per axem: & ſit ſectio trigonus e f g: & à puncto k ducatur linea k m æquidiſtanter baſi b d. Et ſimiliter à puncto l ducatur linea l o æquidiſtanter baſi e h per 31 p 1: eritq́ per 29 p 1 & 4 p 6 proportio lineæ b d ad lineam k m, ſicut lineæ d a ad lineã a k: & propor tio lineæ e h ad lineam o l, ſicut lineę h f ad lineam f l: eſt aũt linea a k ęqua lis lineę f l, & linea d a maior quàm li nea f h ex hypotheſi. Ergo per 8 p 5 maior eſt ꝓportio lineę d a ad lineã a k,  ſit linea h f ad lineã f l: eſt ergo maior proportio lineę b d ad lineam m k,  lineæ e h ad lineã o l: ſed linea b d eſt æqualis ipſi e h ex hypotheſi. Ergo per 10 p 5 linea o l eſt maior  linea k m. Et ſimiliter producta m k ad latus trigoni a c, & linea o l ad latus trigoni f g, ſequetur lineã l p eſſe maiorẽ,  ſit linea k n: & tota linea o p erit maior, quàm linea m n. Circũducãtur itaq per 102 huius pyramidibus datis duo circuli, quorũ unius diameter ſit m n, & alterius o p: eritq́ circulus o p maior circulo m n. Et ꝗa circuli illi æquidiſtant baſibus pyramidium, patet per 100 huius, quoniã à uerticibus abſcindunt py ramides, quarũ axes ſunt a k & f l, quę ex pręmiſsis ſunt æquales. I demq́ penitus accidit in lateratis pyramidibus aſſumptis trigonis, & ductis lineis æquidiſtantibus baſibus trigoni, hoc eſt lateribus baſis datę pyramidis & lineis ad axes æquidiſtãtibus, ꝗbuſdã lineis ꝓductis à terminis laterũ baſiũ ipſarũ pyramidum ad punctum terminantẽ axem ſuper baſim. Patet ergo propoſitũ per 99 huius.

110. Si pyramis rotunda ſphæram interſecet, nec eius conica ſuperficies à ſuperficie ſphæræ interſecetur: communis ſectio ſuperficierum ſphæræ & pyramidis erit circumferentia circuli baſis pyramidis.

Quoniam enim per 69 huius ſuperficies plana ſecundum circulum ſecat ſphærã, baſisq́ pyramidis ſuperficies plana eſt, quia circulus: palàm, quòd illa baſis ſphæram ſecundum circulum interſecabit: interſecat autem pyramis ſphæræ ſuperficiem ſecundum totam ſuam baſim: quia ſuperficies eius cõuexa conica à ſuperficie ſphæræ non interſecatur, ut patet per hypotheſim. Patet itaq, quòd communis ſectio ſuperficierum dictarum erit circumferentia circuli baſis pyramidis, ſuperficiesq́ illa circumferentia contenta (quæ eſt circulus, qui eſt baſis pyramidis) erit ſuperficies communis: quamuis aliàs corpuſculum (quod eſt pars ſphæræ) reſectum à ſphæra per illam ſuperficiem, ſit corpus utriq dictorum corporum commune.

111. Si pyramis ſphæram interſecet ſic, ut circulus baſis pyramidis in ſphæræ ſuperficie circulo maiori ſphæræ æquidiſtet: diametrum ſphæræ ſuper illum circulum maiorem erectã, centrum circuli baſis pyramidis orthogonaliter tranſire neceſſe eſt. Ex quo manifeſtum eſt, diametrum ſphæræ & axem pyramidis coniuncta eſſe lineam unam.

Quia enim per præcedentem circulus (qui eſt baſis pyramidis) communis eſt ſphæræ, ſicut pyramidi: tunc per 68 huius patet propoſitum. Quia enim circulus (qui eſt baſis pyramidis) æquidiſtat circulo magno ſphæræ, & ij circuli æquidiſtãtes ſunt ambo in ſuperficie ſphærę: erit diameter ſphæ ræ centrũ circuli baſis pyramidis orthogonaliter tranſiens: tranſit enim orthogonaliter centra amborum illorum circulorum. Et quoniam à termino alicuius lineæ ductæ à centro communis circuli ad circumferentiam, exeunt duæ lineæ orthogonaliter ſuper ipſam inſiſtentes, ſcilicet axis pyramidis, ut patet per 89 huius, & diameter ſphæræ, ut præmiſſum eſt: patet ex 14 p 1, quoniam illę duæ lineæ coniunctæ, ſunt linea una. Diametrum ergo ſphærę & axem pyramidis coniuncta eſſe lineam unam neceſſe eſt. Et hoc eſt quod proponebatur.

112. Omnium linearum perpendicularium ſuper peripheriam oxygoniæ ſectionis product a rum trans eius ſuperficiem, unica eſt perpendicularis ſuper ſecti corporis axem: & ipſa eſt minima diametrorum ſectionis.

Sicut enim patet per 104 huius, communis ſectio ſuperficiei ipſius ſectionis oxygoniæ & circuli ſecundum idem punctum axem ſecantium, eſt linea orthogonalis ſuper axem ſecti corporis: in alijs page 43 autem omnibus punctis ſectionis perpendiculares ſuper ſectionẽ productæ obliquè incidunt axi: quoniam ſi aliqua ipſarum ipſi axi perpẽdiculariter inciderit: tunc per 4 p 11 axis ſuper ſuperficiem ſectionis perpendicularis erit: quod eſt contra naturam ſectionis. Patet ergo propoſitum.

113. In ſectione pyramidali tranſeunte punctum datum ſuperficiei pyramidis rotundæ, à puncto dato perpendicularem in ſuperficie ſectionis ductam ſuper ſuperficiem pyramidis, cum perpendiculari ducta à puncto eiuſdem ſectionis remotiore à uertice pyramidis ſuper lineam in illo puncto ſectionem contingentem, ſub axe pyramidis concurrere eſt neceſſe: dum tamen linea ducta à puncto inferiori cum perpendiculari ducta à puncto ſuperiori ſuper axem pyramidis, angulum contineat acutum. Alhazen 30 n 6.

Eſto pyramis, cuius uertex ſit a, & eius axis ſit a c k: ſitq́ in ſuperficie conica huius pyramidis ſignatus punctus e, quem pertranſeat ſectio pyramidalis, quæ ſit e f z, in qua etiam ſit punctus z remotior à puncto a uertice pyramidis, quã ſit punctus e: contineatq́ linea ducta à puncto z ad axem cum perpẽdiculari ducta à puncto e angulum acutum. Dico, quòd ſi ducatur à puncto z linea perpendicularis ſuper lineam in illo puncto z ipſam ſectionem oxygoniam contingentem: & alia perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem pyramidem in puncto e ducatur à puncto e, quòd illæ duæ perpendiculares concurrent ſub axe a c k. Sit enim, ut ſuperficies plana ſecet pyramidem ſuper punctum z æquidiſtanter baſi: & hæc quidem per 100 huius ſecabit eam ſecũdum circulum: ſit ille circulus g b r z, cuius cẽtrum ſit c: communisq́ ſectio huius circuli & ſectionis oxygoniæ ſit diameter ut chorda circuli, qui eſt g b r z per 104 huius: & à pũcto uerticis pyramidis per 101 huius

Fig. 360

a e t g o f z h d c p y k b r q
ducantur per ſignata in ſuperficie pyramidis puncta e & z lineæ longitudinis pyramidis, quæ ſint lineæ a z & a e: & producatur linea a e, donecipſa ſit æqualis lineæ a z. Veniet quidem ad circulum, eò quòd eſt linea longitudinis, & quia punctus e propinquior eſt uertici pyramidis, quàm ſit punctus z. Cadat ergo linea a e producta in punctum circuli o: & à pũcto dato (qui eſt e) ducatur linea perpẽdicularis ſuper ſuperficiem contingentem pyramidem: hæc quidẽ per 96 huius concurret cum axe pyramidis, qui eſt a c k. Concurrat ergo in puncto d: & ſit illa perpendicula. ris e d: copuletur quoq linea z d, cõtinens angulum acutum cum perpẽdiculari e d, qui ſit angulus z d e. Et quoniam linea d z eſt in ſuperficie ſectionis per 1 p 11, ſicut & puncta d & z: tunc à puncto o lineæ longitudinis a e o ducatur perpẽdicularis ſuper lineam a o per 11 p 1, & ducatur à cẽtro circuli g b r z, q eſt c, ſemidiameter c o. Quia ergo per 89 huius angulus c o a eſt acutus, patet, quòd perpendicularis ſuper lineam a o ducta à puncto o, cadet ſub cẽtro circuli, quod eſt c, in aliud punctum axis. Sit ergo ut cõcurrat cum axe in puncto k: & erit o k ęquidiſtans lineæ e d per 6 p 11: & ducatur linea k z: & ducatur linea cõtingens ſectionem in puncto z, quę ſit t q: & ducatur alia contingens circulum b g z in puncto z per 17 p 3, quæ ſit z y: & ducatur diameter circuli, quę ſit b c z: & à centro c ducatur ſemidiameter perpendicularis ſuper diametrum b c z, quæ ſit c r. Et quia axis a c k orthogonaliter erigitur ſuper centrum circuli b g z per 89 huius, erit linea c r perpendicularis ſuper axem a c k, quoniam eſt ſemidiameter circuli. Ergo per 4 p 11 linea c r eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem a c z ſecantem pyramidem per axem: ſed & linea c r eſt æquidiſtans lineæ contingenti circulum in puncto z, quæ eſt y z, per 28 p 1. Ergo per 8 p 11 linea z y eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem a c z. Linea ergo t q contingens ſectionem oxygoniam e f z in puncto z, continet angulum acutum cum linea y z. Et quia linea t q continet angulum acutũ cum y z: patet, quòd linea t q non eſt perpẽdicularis ſuper illam ſuperficiẽ a c z. Verùm, quia punctus k (qui eſt punctus axis) ut patet per 89 huius & per definitionẽ poli factã in principio, eſt polus ad circulũ b r z: palàm per 65 huius, quia lineæ k o & k z ſunt æquales, & axis a k cõmunis: ſed & linea a o eſt æqualis lineæ a z per 89 huius, cũ ſint lineæ longitudinis, ut patet per præmiſſa. Ergo per 8 p 1 trianguli a o k & a z k ſunt ęquianguli: erit ergo angulus a o k ęqualis angulo a z k. Et quoniã angulꝯ a o k eſt rectus, ideo quòd linea o k ducta eſt perpẽdiculariter ſuper lineã a o, ut patet ք præmiſſa: erit ergo etiã angulus a z k rectus. Cum ergo linea k z ſit perpẽ licularis ſuք lineã a z, quæ eſt linea lõgitudinis pyramidis: palàm, quia linea k z erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ contingentem pyramidẽ ſecundum lineã a z lineã longitudinis: ſed linea t q eſt in ſuperficie illa contingẽte, quia eſt cõmunis ſectio ſuperficiei contingẽtis & ſuperficiei ſectionis e f z, quoniã eſt in ſuperficie contingente pyramidẽ, ducta contingens ſectionem. Eſtigitur linea k z perpendicularis ſuper lineam t q per definitionem lineæ ſu page 44 per ſuperficiem erectæ. Ducatur quoq à puncto z in ipſa ſuperficie ſectionis per 11 p 1 perpendicularis ſuper lineam t q, quæ ſit linea z h. Cum itaq linea k z ſit extra ſuperficiem ſectionis cõcurrens cum linea h z in puncto z: palàm, quòd ipſa ſecabit lineam h z, nec erit una linea cum illa per 1 p 11. Sunt itaq lineæ k z & h z in una ſuperficie per 2 p 11. Superficies ergo k z h ſecat ſuperficiem ſectionis ſuper lineam eis ambabus communem, quæ eſt h z, per 19 huius: & ſecat lineam t q in puncto z: & ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z h ſuper lineam communem ambabus illis ſuperficiebus, quæ eſt linea h z p. Verùm linea d z eſt in ſuperficie ſectionis, ut ſuprà patuit, & ſecatur à linea k z in puncto z: & punctus t eſt ſupra ſuperficiẽ k z h, & punctus q infra illam: & ita ſuperficies k z h ſecat ſuperficiem d z q ſuper lineam communem, quæ eſt perpendicularis ſuper lineam t q: & eſt linea z h: quia linea illa eſt in ſuperficie h z k, & ſuper eam eſt perpendicularis linea t q, ut patet ex præmiſſis. Et quoniam ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z q, & declinatio ſuperficiei h z k à ſuperficie ſectionis, cuius pars eſt ſuperficies d z q, fit ex parte ſemidiametri z c: erit linea, quæ eſt cõmunis ſectio illarum ſuperficierum (& eſt linea h z p) cadens inter lineas q z & d z. Et ita linea z h, quæ eſt à puncto z ducta perpendiculariter ſuper lineam ſectionem oxygoniam e f z in illo puncto contingentem, concurret cum perpendiculari e d ſub axe a c k. Quoniam perpendicularis e d ſecat axem pyramidis, quæ eſt a c k in puncto d. Quòd autem concurrant, patet per 14 huius. Producatur enim linea h z ultra punctum z intra ſectionem in punctum p. Quia ergo angulus z d e eſt acutus, & angulus d z p acutus: palàm, quoniam concurrent lineæ z h & e d ſub puucto d: & ſit concurſus punctum p. Patet ergo propoſitum.

114. Ab altero duorum punctorum in ſectione columnari ſignatorum ducta perpẽdiculari ſuper axem columnæ in ipſa ſuperficie ſectionis, & à reliquo puncto ducta linea acutum angulum cum illa perpendiculari ſuper axem columnæ continente: ſi ab eodem puncto reliquo ducatur perpendicularis ſuper ipſam ſectionem: hæc concurret cum priori perpendiculari ſub axe, & ſub puncto concurſus prioris lineæ cum perpendiculari. Alhazen 24 n 6.

Sit ſectio columnaris, quæ a b c e: in qua ſignati ſint duo puncti, qui ſint b & e: ſitq́ columnæ, in cuius ſuperficie cadit illa ſectio, axis linea h d k: & ab altero ſignatorum punctorum, ut à puncto b, ducatur in ipſa ſuperficie ſectionis linea b d, perpendiculariter ſuper axem incidens puncto d: & ducatur item in ſuperficie ſectionis à reliquo datorum punctorum, quod eſt e, linea e d acutum angulum continens cũ perpendiculari d b, qui ſit e d b: ſitq́ linea cõtingens ſectionẽ in puncto e, quæ ſit exempli cauſſa, linea l e q. Dico, quòd perpendicularis à puncto e ducta ſuper lineam l e q, concurret cum perpendiculari b d ſub axe h k, & ſub puncto d, qui eſt punctus cõcurſus lineæ e d cum perpendiculari b d. Fiat enim per 102 huius ſuper punctũ ſectionis, quod eſt b, circulus ęquidiſtans baſibus columnæ, qui ſit b t o, cuius centrũ ſit d: & ducatur à puncto e linea longitudinis columnæ per 101 huius, quæ ſit e t: & à puncto d per 11 p 1 ducatur linea d g perpendicularis ſuper lineam b d in ipſa circuli ſuperficie. Palàm ergo, quòd ſuperficies h d g cum per axem tranſeat (qui erectus eſt ſuper circuli ſuperficiem) perpendicularis eſt ſuper eandem circuli ſuperficiem per 18 p 11. Super

Fig. 361

n q e t o l g f m d K d h c a s u p z b
ficies uerò contingens columnam in puncto b, erit æquidiſtãs ſuperficiei b d g. Ideo enim, quia linea lõgitudinis columnæ ducta à puncto b eſt æquidiſtãs axi h k per 92 huius, & 28 p 1, & linea circulum b t o contingens ſuper punctũ b, eſt æquidiſtans lineæ d g per 28 p 1: angulus enim g d b eſt rectus ex pręmiſsis, & angulus contentus ſub linea d b, & ſub linea contingente in puncto b eſt rectus per 18 p 3. Ergo illæ ſuperficies æquidiſtant per 15 p 11. Igitur ſuperficies, in qua ſunt lineæ l e & et non eſt æquidiſtans ſuperficiei b d g per 24 huius: quoniam ſuperficies contingẽs ſectionem oxygoniam in puncto b, non eſt æquidiſtans ſuperficiei contingenti eandem ſectionem in puncto e, in qua ſunt lineæ, l e q contingens ſectionem, & linea longitudinis, quæ eſt e t: angulus enim e d b eſt acutus ex hypotheſi. Superficies ergo b d g non æquidiſtat ſuperficiei l e t. Ergo concurret cum illa. Concurrat ergo in linea l g per 3 p 11: & ducatur linea g t: quæ neceſſariò erit contingens circulum b t o, cuius ſuperficies, in qua ipſa ducitur, columnam fit contingens. Ducta autem linea t d, erit angulus g t d rectus per 18 p 3: quoniam linea t d eſt ſemidiameter circuli, & linea g t contingit circulum in puncto t. Fiat quoq, ut prius, ſuper e punctum ſectionis circulus æquidiſtans baſibus columnæ, qui ſit e s z p, & cẽtrum huius circuli ſit punctus axis, qui k: & ducatur linea k e: & ducatur etiam linea d l: quæ quidem ſecabit ſuperficiem e s p: ſecet ergo illã in puncto f. Quia itaq punctũ d eſt in ſuperficie ſectionis, ut patet ex præmiſsis & exhypotheſi, & punctũ l, quod eſt punctũ lineæ contingẽtis ſectionem, eſt in eadẽ ſuperficie ſectionis: ergo per 1 p 11 tota linea d l eſt in ſuperficie ſectionis. Punctũ ergo f eſt in ſuperficie ſectionis & circuli e s z p: ſed & punctum e eſt in eiſdem ambabus ſuperficiebus: ergo per 1 p 11 linea e f producta erit in ambabus illis ſuperficiebus. Ergo per 19 huius ſecundum lineam e f ſecantſe ſuperficies ſectionis & circuli e s z p. Ducatur itaq linea k f: & à puncto f ducatur linea perpendicularis page 45 ſuper ſuperficiem circuli b t o per 11 p 11, quæ ſit f m: cadetq́ punctus m in linea d g, ut patet ex præmiſsis: & ducatur linea t m. Palàm ergo, quoniam linea k d æqualis & æquidiſtans eſt lineæ f m per 25 huius. Sunt enim lineæ k d & f m ambæ perpendiculares ſuper ſuperficiem circuli b t o & ſuper ſuperficiem circuli e s z p: quoniam illi circuli æquidiſtant per 24 huius: utraq enim ipſarum æquidiſtat ambabus baſibus columnæ per 100 huius. Quia itaq linea f m eſt æqualis & æquidiſtans lineæ d k, quæ eſt pars axis: ergo per 33 p 1 linea k f æqualis & æquidiſtans eſt lineæ d m. Et ſimiliter erit linea f m æqualis & æquidiſtans lineæ longitudinis, quæ eſt e t per 30 p 1: quoniam linea e t eſt æqualis & æquidiſtans axi k d per 92 huius, cũ ſit linea longitudinis: & erit, ut prius, linea k e æqualis & æquidiſtans lineæ d t, & linea e f æqualis & æquidiſtans lineæ t m per eandem 33 p 1. Verùm etiam ſuperficies k d l (quia tranſit axem columnę, & angulus g d b eſt rectus) eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem ſectionis oxygoniæ a e c b, per definitionem ſuperficiei erectę ſuper ſuperficiem: & eadem ſuperficies k d l eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem circuli e s p. Quoniam enim illa ſuperficies k d l trãſiens per axem, per 18 p 11 erecta eſt ſuper baſes columnæ: ergo & ſuper ſuperficiem circuli e s p æqui diſtantem baſibus columnæ, erecta eſt eadem ſuperficies k d l. Quia itaq dicta ſuperficies k d l eſt erecta ſuper ſuperficiem ſectionis oxygoniæ & circuli e s p: ergo per 19 p 11 eſt ipſa orthogonalis ſuper lineam communem dictæ ſectioni & circulo, quæ eſt linea e f. Et quia linea e f eſt erecta ſuper ſuperficiem k d l, in qua ducta eſt linea k f: igitur per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ, angulus e f k eſt rectus: ergo angulus t m d eſt rectus per 10 p 11: latera enim illos angulos continẽtia in æquidiſtantibus circulorum ſuperficiebus protracta, æqualia ſunt & æquidiſtantia, ut patet ex præmiſsis. Cum ergo angulus d m t ſit rectus, & angulus g d t ſit rectus per 18 p 3: in trigono ergo orthogonio d t g ducta eſt ab angulo ad baſim perpendicularis, quæ t m: ergo per 8 & 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d m in lineam g m eſt æquale quadrato lineæ m t. Et quoniam linea g t contingit circulum b t o, cum ſit in ſuperficie contingente ducta ad punctum contingẽtiæ, quod eſt t: palàm, quoniam linea l g eſt æquidiſtans axi k d. Quoniam enim ſuperficies ſecũdum lineam longitudinis columnam contingẽs, quæ eſt l e t g, & ſuperficies ſecans columnã trans axem, quæ eſt h d g l, ſunt erectæ ſuper baſium columnæ ſuperficies per 92 huius, & per 18 p 11. Ergo per 19 p 11 earum communis ſectio, quæ eſt in propoſito, linea l g, ſuper eaſdem ſuperficies baſium perpen dicularis erit. Aequidiſtabit ergo axi h k per 6 p 11: ergo etiam æquidiſtat lineæ f m per 30 p 1. Quia ergo in trigono l d g linea f m æquidiſtat baſi l g, patet per 2 p 6, quòd linea f m ſecat illa latera proportionaliter: eſt ergo proportio lineæ d f a d lineam f l, ſicut lineæ d m ad lineam m g: ergo permutatim per 16 p 5 erit proportio lineæ d f ad lineã d m, ſicut lineæ f l ad lineam m g: ſed linea d f maior eſt quàm linea d m per 19 p 1, quoniam in trigono f d m angulus f d m eſt rectus per 8 p 11: ergo & linea f l eſt maior quàm linea m g. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ f d in lineam f l, maius eſt illo, quod fit ex ductu lineæ d m in lineã m g. Ergo & quadrato lineæ t m: ſed linea t m eſt æqualis lineæ e f, ut patet ex præmiſsis. Ergo illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f l maius eſt quadrato lineæ e f. Eſt ergo in trigono d e l angulus l e d maior recto per 30 huius: quia ſi eſſet rectus, cum linea e f ſit perpendicularis ſuper lineã d l: eſſet per 8 & 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d f in lineam f l æquale quadrato lineæ e f. Reſtat ergo ut linea perpendicularis ſuper lineam contingẽtem ſectionem a e c b (quæ eſt q l, ducta à puncto e) cadat ſub linea e d, nõ perueniens in punctum d. Sit ergo illa perpendicularis linea e u. Et quia angulus e d b eſt acutus, & angulus d e u eſt acutus: quoniam angulus u e q eſt rectus. Ergo per 14 huius lineæ e u & d b productæ concurrent in puncto aliquo ſub axe h k, & ſub concurſu lineæ e d cum linea d b: quod eſt euidens. Patet ergo propoſitum: perpendicularis enim ſuper lineam ſectionem contingentem, eſt perpendicularis ſuper ipſam ſectionem columnarem per 5 definitionẽ factam in principio huius libri.

Fig. 362

e b h a f c l m k d g

115. Omnis recta perpẽdicularis ſuper oxygoniam ſectionem, productataliter diuidet ſectionem, ut in unaqua illarum partium unicus tantùm ſit punctus, à quo ducta contingens æquidiſtet ipſi perpendiculari.

Eſto ſectio oxygonia, quę a b c d: quã perpẽdicularis e b d ſecet in duas partes, quæ ſint b c d & b a d. Dico quòd in unaquaq illarum partium eſt unicus tantùm punctus, à quo ducta contingens æquidiſtat perpendiculari e b d. Quoniam enim perpẽdicularis e b d diuidit ſectionem, diuidatur eius pars b d cadens intra ſectionem per æqualia per 10 p 1 in puncto f: & ab illo pũcto f erigatur per 11 p 1 per pendicularis ſuper lineam b d: quę producta ad peripheriam ſectionis in punctum c, ſit f c: & à puncto c ducatur perpendicularis ſuper lineam f c, quæ ſit g c h: eritq́ linea g c h contingens ſectionem: quoniam ad utranq partẽ producta non ſecabit illam. Palàm itaq, quoniam linea g c n æquidiſtat perpendiculari ſuper ſectionem, quæ eſt e b d per 28 p 1. Quòd ſi ab alio aliquo puncto partis ſectionis, quæ b c d, ut à puncto k, producatur linea contingens ſectionem, quæ ſit k l: patet, quoniam illa concurret cum linea g c h per 14 huíus: quia ducta linea recta c k à puncto contactus c ad illum alium punctum k: fient anguli c k l & k c g minores duobus rectis, ideo quòd angulus f c g eſt rectus, & linea k l cũ aliqua linea ſecante lineam page 46 b d, continet angulum rectum, ut fortè cum linea k m. Quia itaq anguli c k l & k c g ſunt minores duobus rectis: concurret linea k l cum perpendiculari h c g per 14 huius. Ergo per 2 huius illa linea contingens, quę k l, concurret cum perpendiculari e b d. Similiter quoq in parte ſectionis, quæ eſt b a d, facta deductione, patet propoſitum.

116. Omnes oxygoniæ pyramidales ſectiones ampliantur exparte baſis pyramidis: quod nõ accidit in columnis.

Hoc quod proponitur, accidit propter corporis pyramidalis acuitatẽ, & propter columnarum æqualitatem. Si enim ſecundum punctum axis pyramidis, cui incidit linea perpendicularis ſuper ſectionem pyramidalem, circumducatur pyramidi circulus per 102 huius, & imaginetur columna, cuius baſis ſit ille circulus: patet, quòd inferior pars pyramidis excedit illam columnam, & columna excedit ſuperiorem partem pyramidis: & ſic inferior pars ſectionis pyramidalis continebit inferiorem partem ſectionis columnaris, & ſuperior pars ſectionis columnaris cõtinebit ſuperiorem ſectionis partem pyramidalis. Partes autem ſectionis columnaris ſunt æquales propter æqualitatem corporis & angulorum ſuper axem per 92 huius. Patet ergo propoſitum.

117. Omnis ſuperficiei planæ ſuper axem fixum reuolutæ, donec ad locũ, unde exiuit, redeat, linea mota deſcribit ſuperficiem corporis ſibi ſimilem, cuius ſuperficiei corporis & ſuperficiei planæ ipſum corpus per axem ſecantis, communis ſectio eſt linea ſimilis motæ lineæ illam ſuperficiem cauſſanti.

Quod hic proponitur, patet ſatis euidenter in lineis rectis motis: quælibet enim illarum linearum circa axem aliquem mota deſcribit ſuperficiem, cuius omnes lineæ ſunt ſimiles ipſi lineæ motæ cauſſanti motu ſuo illam ſuperficiem. Hoc enim patet in ſuperficie rectangula, quæ uno latere fixo ſuo & alijs tribus motis deſcribit columnam rotundã, cuius ſuperficiei & ſuperficiei planę columnam per axem ſecantis, communis ſectio eſt linea ſimilis lineæ priori motæ. Et hoc idem patet in triangulo moto, qui motu ſuorum duorum laterum, fixo tertio, efficit pyramidem rotundam: &, ut patet per 90 huius, omnis ſuperficiei planæ ſecantis ipſam pyramidem per axem & ſuperficiei conicæ pyramidis, communis ſectio eſt triangulus continens lineas ſimiles prioribus lineis motis & axi. Hoc idem etiã in ſemicirculo moto, cuius diametro fixa deſcribitur ſphæra, & omnis ſuperficiei planæ ſecantis ſphæram per axem, qui eſt diameter, & ſuperficiei ſphæricæ communis ſectio eſt circulus, ut patent hæc omnia ex principijs lib. 11. Quòd ſi linea mota circa axem fixum (qui ſit

Fig. 363

b d a c e f g
Fig. 364

a b c d e f
fg) fuerit compoſita ex lineis rectis, ut ex a b & b c & c d & d e, continẽtibus angulos a b c, b c d, c d e: uel ſi linea mo ta fuerit compoſita ex lineis rectis & curuis actu, ut ſi a b & c d ſint rectę, qua rũ media b c utrãq rectarum illarũ copulans, ſit curua, fiatq́ motus circa axẽ fixum, qui e f, fiet adhuc ſuperficies corporis deſcripti ſimiles habẽs lineas ipſis lineis cauſſantibus illam rotundam ſuperficiem motu ſuo. Quòd ſi linea mota fuerit compoſita eſſentialiter ex natura linearum rectarũ & curuarum, ut ſunt multæ lineæ, quæ
Fig. 365

a h b z d ‡ g
fiunt per motũ, uerbi gratia, aliqua ſectio conica, ut ſi ſectionis parabolæ medietas, quæ mouetur, ſit a b g, cuius axis a d, & ſit linea g d perpẽdicularis ſuper ipſum axem a d, figaturq́ axis a d, & reuoluatur ſectio a b g, donec redeat ad locum, à quo exiuit: tũc fiet ex motu illius lineæ ſuperficies cõcaua uel conuexa, cuius baſis erit circulus proueniens ex motu lineæ rectæ, quæ eſt d g: ſitq́ ille circulus g e z, & eius centrum eſt punctum d: quoniam punctum g motu ſuo illius circuli peripheriam deſcribit, eritq́ uertex illius cauſſati corporis pũctum a. Egrediatur quoq ex axe illius corporis, qui eſt a d, ſuperficies plana, utcũq id ſit poſsibile accidere, & ſecet illius corporis ſuperficiẽ. Palàm itaq per 3 p 11, quoniã illius ſuperficiei & ſuperficiei corporis cõmunis eſt linea, quę ſit a h e. Dico, quòd linea a h e eſt ſectio parabola ęqualis & ſimilis ſectioni a b g. Ducatur enim linea d e, & imaginetur moueri ſectio a b g circa axẽ a d. Cum ergo punctũ g քuenit ad punctũ e, cooperit tota ſuքficies a b g d totã ſuperficiẽ a h e d, & fiẽt ſuքficies una. Et quoniã ſectio a b g d facit euenire ſuքficiẽ concauã uel cõuexam: palàm, page 47 quoniam linea a b g d ſemper, ubicunq reuoluatur ſectio, eſt cõmunis differẽtia inter ſuperficiem ſibi continuam & inter ſuperficiem planam ſecantem. Cum itaq ſuperponitur ſectio a b g d ſectioni a h e d, erit communis ſectio inter ſuperficiem ſecantem & ſuperficiem corporis linea a b g d: ſed & eadem cõmunis ſectio eſt linea a h e d. Linea ergo a b g d & linea a h e d ſibi adinuicem ſuperpoſitæ ſunt linea una. Linea ergo a h e eſt peripheria ſectionis parabolæ æqualis & ſimilis lineæ a b g. Superficies ergo a h e d eſt ſectio parabola. Et idẽ patet in omnibus lineis illius corporis, quę ſunt communes ſectiones ſuperficiei planæ ſecãtis corpus per axem a d, & omnis ſuperficiei illius corporis. Patet ergo propoſitum in illis ſectionibus conicis quibuſcunq Patet etiam eodẽ modo propoſitum de quacunq linea regulari uel irregulari. Et hoc eſt propoſitum principale.

118. Omnis ſuperficies conuexa uel concaua regularis, aut eſt pars ſuperficiei ſphæræ: aut columnæ: aut pyramidis rotundæ.

Omnis enim linea regularis, quę uniformis eſt in qualibet ſui parte, aut eſt circulus: aut linea recta. Circulus uerò motu ſuo facit ſphæram: quoniam ſphæra eſt tranſitus circumferentiæ dimidij circuli, ut patet ex principio 11. Linea uerò recta una motu ſuo non poteſt cauſſare niſi pyramidem, cum eſt latus trigoni, uel columnam, cum eſt latus quadranguli: quoniam in omnibus alijs figuris motis, uno latere remanente fixo, eſt angulus cauſſans diuerſitatem formæ in ſuperficie figuræ pro ductæ. Non ergo efficit conuexam ſuperficiem uel concauam regularem. Patet ergo, quòd omnis ſuperficies conuexa uel concaua regularis eſt talis, ut proponitur.

119. Lineã datam ſecundũ quamlibet proportionẽ duarum datarũ diuidere. 10 p 6 element.

Fig. 366

c d e f a g k h b

Sit linea a b data, quæ debeat diuidi ſecundũ proportionem duarum datarum linearum c d & e f. A puncto itaq a datæ lineæ a b ducatur linea indefinitè angulariter coniuncta cum linea a b: & à puncto a incipiendo abſcindatur æqualis lineæ c d per 3 p 1, quę ſit a g, & à puncto g incipiendo abſcindatur linea g h æqualis lineæ e f: & ducatur linea b h: & à puncto g ducatur linea æquidiſtanter lineæ b h per 31 p 1: hęc itaq producta ſecabit lineam a b per 2 huius: ſecet ergo in puncto k. Linea itaq a b indiuiſa propoſita erit diuiſa ſecundum modũ diuiſionis lineæ a h diuiſæ: erit enim per 2 p 6 proportio lineæ a k ad lineam k b, ſicut lineæ a g ad lineam g h. Ergo ſicut lineæ c d ad lineam e f per 7 p 5. Et hoc eſt propoſitum.

120. Ducta à puncto dato linea, aliam lineam ſecũdum datam proportionem partium illarum linearum ſecãte: ab eodem puncto inter eaſdem rectas, quæ prius diuiſam ab eiſdem terminis ſeruata denominatione proportionis, ſecundum eandem proportionem ſecet, aliam lineam duci eſt impoßibile.

Verbi gratia: ſit, ut linea a b ducta à dato puncto a, ſecet lineam d e in puncto c ſecundum aliquam datam proportionem. Dico, quòd à puncto a non poteſt duci alia linea ad lineam d c, quę ipſam ſecet ſecundum eandem datam proportionem, ita, ut denominatio proportionis, ſeruetur ab eiſdem terminis lineæ d e. Si enim à puncto a lineam aliam duci taliter ſit poſsibile, fiat ſuper punctum d terminum lineæ e d per 23 p 1 angulus maior recto uerſus punctum b terminum lineæ a b: & producatur linea b d, fiatq́ angulus c d b obtuſus: & producatur linea d b in continuum uerſus punctum at

Fig. 367

e a c k h b i g d f
& à puncto a ducatur linea perpendicularis ſuper lineam d b, quæ ſit a f: & ducatur linea a g ſecans lineã e d in puncto h ſecundũ proportionem prius datam, quę eſt lineæ d c ad lineã c e: & ducatur linea h i æquidiſtans lineæ c b per 31 p 1. Erit itaque linea h i maior quã linea h g per 19 p 1. Angulus enim i g h eſt maior recto b f a per 16 p 1: angulus uerò b f a rectus eſt maior angulo f b a per 32 p 1: ſed angulus g i h eſt per 29 p 1 æqualis angulo f b a: angulus ergo i g h eſt maior angulo g i h. Ergo per 19 p 1 linea i h eſt maior quàm linea h g. Et ducatur à puncto h linea h k æquidiſtans lineæ d b: erit ergo per 34 p 1 linea b k æqualis lineæ i h: ſed linea b c eſt maior quàm linea k b: ergo linea c b eſt maior quàm linea h i: ergo c b eſt maior quã linea h g: ſed & linea h e maior eſt quã linea c e, quoniã totũ maius eſt ſua parte: erit ergo per 9 huius maior proportio lineæ b c ad lineam c e, quàm lineę g h ad lineã h e. Non eſt ergo eadẽ proportio: quod eſt contra hypotheſim: aut ſequetur lineam e c eſſe maiorem quàm ſit linea e h per 14 p 5: quod totũ eſt impoſsibile. Faciliter uerò idẽ patet in linea d e, cũ linea d h ſit minor quã linea d c, & h e ſit maior quã c e: per 9 ergo huius cõcludatur, ut prius. Nõ eſt ergo poſsibile à puncto a duci aliã lineã ſecantẽ lineã d e ſecundũ datã proportionẽ. Quod eſt ppoſitu.

page 48

121. Lineam datam in duobus punctis taliter ſecare, ut ſui totius proportio ad unã ſuarum extremarum partium ſit ſimilis proportioni alterius extremæ partis ad eam partẽ, quæ utraſ interiacet ſectiones. E 10 p 6 element.

Eſto data linea a b, quam ſecundum modum propoſitum debemus diuidere. Diuidatur itaq ſecundum proportionem, quam libuerit: & ſit diuiſa in puncto c: & ſit pars eius a c maior quàm pars

Fig. 368

a d c b
cius c b. Quia itaq propoſitæ ſunt nobis tres lineæ a b, a c, c b: diuidatur ergo per 119 huius linea a c ſecundum portionem lineæ a b ad lineam c b: fiatq́ diuiſio in puncto d ita, ut ſit proportio lineæ a d ad lineam d c, ſicut lineæ totius a b ad lineã c b. Palàm ergo, quòd linea a b eſt modo propoſito diuiſa: eſt enim proportio totius lineæ a b ad unam extremarum ſuarum partium, quæ eſt c b, ſicut reliquæ ſuæ partis extremę, quæ eſt a d, ad partem, quę utraſq interiacet ſectiones, quę eſt d c. Patet ergo factum eſſe, quod proponebatur.

122. Diuiſa linea recta taliter, ut ſuitotius proportio ad unam ſuarum extremarũ partium ſit ſimilis proportioni partis alterius extremæ ad eam ſui partem, quæutraſ interiacet ſectiones: ſi fuerint lineæ ductæ abuno termino datæ lineæ, & à punctis ſectionum æquidiſt antes inter ſe: à termino́ reliquo datæ lineæ producatur linea ſecans illas tres æquidiſtantes: erit linea producta ſecundum eandem proportionem diuiſa. Alhazen 10 n 6.

Fig. 369

c h z b d g d

Sit linea a b diuiſa in punctis g & d taliter, ut lineę a b ad lineam d b ſit proportio, ſicut lineæ a g ad lineam g d: & ab uno termino datę lineæ, qui eſt b, & à punctis ſectionũ g & d per 31 primi ducantur lineæ ad inuicem æquidiſtantes, quæ ſint b c, d h, g z: & ab altero termino datæ lineæ, quę eſt a, producatur linea ſecans illas æquidiſtantes in punctis z, h, c, quæ ſit a z h c. Dico, quòd linea a c ſecundũ hanc proportionem erit diuiſa. Cũ enim linea d h ſit æquidiſtans lineæ g z ex hypotheſi, erit ex 2 p 6 proportio lineæ a z ad lineã z h, ſicut lineæ a g ad lineam g d. Et cum linea b c ſit æquidiſtans lineæ d h, erit per eandem 2 p 6 & 18 p 5 proportio lineæ a b ad lineam b d, ſicut lineæ a c ad lineam c h: ſed ex hypotheſi fuit proportio lineæ a b ad lineam b d, ſicut lineæ a g ad lineam d g. Erit ergo per 11 p 5 proportio lineæ a c ad lineam c h, ſicut lineæ a z ad lineam z h. Linea ergo a c, quæ producitur à puncto a termino lineæ datæ, ſecat ductas lineas æquidiſtantes b c, d h, g z, & ſecatur per illas ſecundum proportionem partium diuiſionis lineæ datæ a b. Et hoc eſt propoſitum.

123. Linea in duobus punctis taliter diuiſa, ut ſui totius proportio adunam ſuarum extremarum partium ſimilis ſit proportioni alterius extremæ partis ad eam ſui partem, quæ utraſ interiacet ſectiones: ſi ab uno termino illius lineæ, & à punctis ſectionis ducantur tres lineæ con currentes in punctum unum, & ab alio termino producatur linea ſecans illas tres ductas: erit linea producta ſecundum prædictum modum pro portionaliter diuiſa. Alhazen 8 n 6.

Fig. 370

e c q h m z b d g a

Eſto linea propoſita a b taliter diuiſa in punctis g & d, ut ſit proportio totius lineæ a b ad lineam b d, ſicut lineæ a g ad lineam g d: & à puncto b, & à punctis ſectionũ g & d ducantur tres lineæ concurrentes in unum punctũ e, quę ſint g e, d e, b e: & à pũcto a ducatur linea, quæ ſit a c, ſecãs illas tres lineas, ſcilicet g e in puncto z, & d e in puncto h, & b e in puncto c. Dico, quòd erit proportio lineæ a c ad lineam c h, ſicut lineæ a z ad lineã z h. Ducatur enim à puncto h linea æquidiſtans lineæ a b per 31 p 1, quę ſit q h. Palàm ergo per 13 huius, quoniã ‡ proportio lineæ a b ad lineam b d, conſtat ex proportionibus lineæ a b ad lineam h q, & lineæ h q ad lineã b d. Sed quoniam linea q h ęquidiſtat lineę a b, erit per 29 p 1 an gulus c q h ęqualis angulo c b a: ſed angulus c b a eſt communis ambobus trigonis a b c & q h c: ergo per 32 p 1 illa trigona ſunt ęquiangula. Ergo per 4 p 6 erit proportio lineę a b ad lineam q h, ſicut lineę a cad lineam c h. Similiter quoq trigona q e h & b e d ſunt ſimilia. Eſt ergo proportio lineę q h ad lineam b d, ſicut lineę h e ad lineam d e. Proportio ergo lineę a b ad lineam b d per 13 huius componi page 49 tur ex proportione lineæ a c ad lineam e h, & lineę h e ad lineam e d. Producatur itaque in directum linea q h ad lineam ge, quã ſecet in puncto m. Proportio itaq lineę a g ad lineam g d per 13 huius cõ ſtat ex proportione lineæ a g ad lineã h m, & lineæ h m ad lineam g d. Sed cũ angulus e m h ſit ęqualis angulo z g d per 29 p 1, erit per 13 & 29 p 1 angulus h m z æqualis angulo z g a: ergo per 15 & 32 p 1 triangulus a g z erit æquiangulus triangulo h z m. Ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ a z ad lineam h z, ſicut lineæ a g ad lineam h m: ſed triangulus h e m, ut ſuprà patuit, ſimilis erit triangulo g e d: erit ergo proportio lineæ h m ad lineam d g, ſicut lineę h e ad lineam d e. Ergo proportio lineæ a g ad lineam d g conſtat ex proportione lineę a z ad lineam z h, & lineæ h e ad lineam e d: ſed ex hypotheſi eadem eſt proportio lineæ a b ad lineam b d, quæ lineæ a g ad lineam g d. Proportio igitur lineæ a b ad lineam b d conſtat ex proportione lineæ a z ad lineam z h, & lineæ h e ad lineam e d: conſtabat au tem ex proportione lineæ a c ad lineam c h, & lineæ h e ad lineam e d. Ablata ergo utrinque propor tione lineæ h e ad lineam d e: reſtat, ut ſit eadem proportio lineæ a c ad lineam c h, quæ lineæ a z ad lineam z h. Et hoc eſt propoſitum. Non tamẽ oportet, quòd lineę a b & a c ſint eiuſdem ſpeciei proportionis reſpectu ſuarum partium: quoniam cum ex præmiſsis lineæ a b ad lineam q h ſit proportio, quæ lineæ a c ad lineam c h, & linea q h ſit minor quã linea b d per 4 p 6: palàm per 8 p 5, quoniã minor eſt proportio lineæ a b ad lineam b d quàm ſit lineę a c ad lineam c h. Sunt ergo proportiona les ſecundum generalem ſimilitudinem proportionis. Eadem quoque demonſtratio eſt, quęcunq lineæ ducantur à puncto a, ſecantes illas tres lineas à tribus punctis a, d, g ad quodcunque punctũ productas, ut ſupra e, uel ſub e, uel etiam ad aliam partem lineę a b: ſemper enim linea ducta à puncto a ſecans illas tres lineas, ſecabitur modo dicto. Patet ergo propoſitum.

124. Duabus lineis angulariter coniunctis, diuiſis́ ſic ambabus, ut cuiuslibet ipſarum proportio adunam ſuarum extremarum partium ſit, ſicut alterius extremæ partis ad illa ſui partem, quæutraſ interiacet ſectiones: ſi producta baſi à punctis diuiſionis unius ducantur lineæ ad puncta diuiſionis alterius, non æquidiſtantes adinuicẽ, ne baſi: neceſſe eſt productas lineas ambas concurrere cum baſi, producta in puncto uno. Alhazen 9 n 6.

Sit data linea a b taliter, ut proponitur, diuiſa in punctis d & g ſcilicet, ut ſit proportio totius lineæ a b ad lineam b d, ſicut lineę a g ad lineam g d, a diunctaq́ ſibi angulariter linea a c eodem modo

Fig. 371

e n c h z l b d g a
diuiſa in punctis h, z ita, ut ſit proportio lineæ a c ad c h, ſicut lineæ a z, ad z h: ſi producatur baſis b c, ut fiat triangulus b c a, & protrahatur b c in directum, & ducantur lineæ à punctis ſectionum unius ad pũ ctum ſectionis alterius, ut d h, g z, protrahanturq́ue omnes illæ lineę in continuum & directum. Dico, quòd omnes concurrent in puncto uno. Cum enim lineæ b c & d h non ſint æquidiſtantes ex hypotheſi, patet quòd neceſſariò concurrent: concurrant er go in puncto, quod ſit e: linea quoque g z neceſſariò concurret cum illis: cum non æquidiſtet alicui illarum. Aut ergo ad idem punctum e. Et ſic habemus propoſitum. Aut ad alium punctum cum aliqua illarum concurret: ſit illud punctum n, in quo concur rit cum linea d e. Ducatur itaque linea e g: ſecabit ergo linea e g lineam a c in alio pũcto,  in puncto z: quoniã in pũcto z ſecat ipſam linea n g: ſit illud pũ ctũ l. Erit ergo per pręmiſſa proportio lineæ a c ad li neã c h, ſicut lineæ a l ad lineã l h: fuit aũt ex hypotheſi proportio lineæ a c ad lineam c h, ſicut lineę a z ad lineã z h: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ a l ad lineam l h, ſicut lineæ a z ad lineã z h: ergo ք 18 p 5 erit proportio lineæ a h ad lineã h z, ſicut lineæ a h ad lineã h l: erit ergo per 9 p 5 linea h z æqua lis lineæ h l, maior minori: quod eſt impoſsibile. Idẽ etiã patet per 120 huius, quoniã à puncto g ꝓdu ctæ ſunt duæ lineę ſecantes lineã a h. Palàm ergo, quòd linea g z nõ concurret cũ lineis b c, d h in alio puncto quã in puncto e. Quod eſt propoſitum. Similiter ſi ponatur quòd linea g z concurrat cũ linea d h in puncto e: erit prædicto modo demonſtrandum, quòd linea b c concurret cum ambabus illis in puncto e. Et ſi lineæ b c & g z concurrant in puncto e, cõcurret linea d h cum eiſdem in eodem puncto e. Patet ergo propoſitum.

125. Linea taliter diuiſa, ut ſui totius ad alteram ſuarum extremarum partiũ ſit proportio, ſicut alterius ſuæ partis extremæ ad eam ſui partem, quæutraſ interiacet ſectiones: ſi à puncto concurſus linearum à termino, & à duobus punctis ſectionis product arum in puncto concurſus æquales angulos cõtinentium, linea ad alium eius terminũ ducatur: neceſſe eſt ipſam ſuper mediam productarum perpendicularem eſſe.

Sit linea b k in punctis c & d taliter diuiſa, ut proponitur: ſitq́ proportio lineæ b k ad lineam k d, ſicut lineę b c ad lineam c d: producanturq́ue à punctis b, c, d lineę nõ æquidiſtantes: quę per proxi page 50 mam concurrent in puncto uno: ſit punctus concurſus z: & lineæ productę ſint b z, c z, d z: ſitq́ue an gulus b z c ęqualis angulo c z d: & ducatur linea z k. Dico, quòd angulus c z k eſt rectus. A puncto

Fig. 372

z b g c d k h
enim c ducatur per 31 p 1 linea ęquidiſtãs lineę z k, quæ ſit c h: quæ producta ſecabit lineam z b per 2 huius: ſecet ergo ipſam in puncto g: & producatur linea z d, donec concurrat cum linea g c h (concurret autem per 2 huius) & ſit cõcurſus punctus h. Quia igitur ex hypotheſi eſt proportio lineę b k ad lineam k d, ſicut lineę b c ad lineam c d, erit per 16 p 5 permutatim proportio lineę b k ad lineam b c, ſicut lineę k d ad lineam d c: ſed per 29 p 1 trigona b z k & b g c ſunt ęquiangula: ergo per 4 p 6 eſt proportio lineę b k ad lineam b c, quę eſt lineę z k ad lineam g c: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ z k ad lineam g c, ſicut lineæ k d ad lineam d c: ſed quæ eſt proportio lineæ k d ad lineam d c, eadem eſt lineæ k z ad lineam c h per 15 & 29 p 1 & per 4 p 6: ꝗa trigona k d z & c d h ſunt æquiangula. Habet itaque linea z k ad ambas lineas g c & h c eandem proportionem: ergo per 9 p 5 linea g c eſt æqualis lineæ c h: ſed per 3 p 6 eſt proportio lineæ g c ad lineã c h, ſicut lineæ g z ad lineam z h, cum linea z c diuidat angulum g z h per æqualia. Eſt ergo linea g z æqualis lineę z h. Et quoniam linea g c eſt æqualis lineæ c h, & linea g z ęqualis lineæ z h, & latus c z eſt commune ambobus trigonis g z c & h z c: erit per 8 p 1 angulus z c h æqualis angulo z c g: uterque ergo ipſorũ eſt rectus. Ergo per 29 p 1 angulus k z c eſt rectus: lineæ enim z k & c h ſunt æquidiſtantes. Patet ergo propoſitum.

126. Diuiſa linea per inæqualia: poßibile est minoriſüæ parti lineam adiungi, ita, ut illud, quod fit ex ductu totius lineæ diuiſæ cum adiecta in ipſam adiectam, æquale ſit quadrato eius, quæ constat ex minore & adiecta.

Sit data linea a b diuiſa per inęqualia in puncto c: ſitq́ linea a c maior quã linea b c. Dico, quòd eſt poſsibile inuenire quandam lineam, quæ adiecta ipſi lineæ b c, id efficiat, ut hoc, quod fit ex ductu lineę compoſitæ ex linea a b, & ex adiecta in ipſam adiectam ſit æquale quadrato lineæ, quæ conſtat ex b c parte minore, & ex adiecta. Aſſumatur enim quædam alia linea æqualis, uel minor linea a b, quæ ſit d e, & quæ eſt proportio lineæ a c ad lineam b c, eadem ſit proportio lineæ d e ad quandam

Fig. 373

e d f
Fig. 374

g h a c b i
aliam lineã per 3 huius: quæ ſit e f: aſſumatúrque linea d f ęqualis lineæ a b. Et quoniam exlineis d e, e f, d f quęcun q duę ſimul iunctæ maiores ſunt tertia, ut patet ex præmiſsis, poſsibile eſt conſtitui triangulum per 22 p 1. Conſtituatur ergo, & ſit d e f. Super terminum itaque lineæ a b, qui eſt a, conſtituatur angulus æqualis angulo e d f per 23 p 1, qui ſit g a b: & reſecetur linea a g ad ęqualitatem lineæ d e, & ducatur linea g b. Er go per 4 p 1, cum linea d f ſit æqualis lineæ a b, & linea a g æqualis lineę d e, & angulus g a b ſit ęqualis angulo e d f: erit linea g b æqualis lineæ e f, & reliqui anguli trigoni a g b æquales erunt reliquis angulis trigoni d e f. Ducatur itaq linea g c. Et quoniam proportio lineæ d e ad lineã e f, ſicut lineæ a c ad lineam c b: erit proportio lineæ a g ad lineam g b, ſicut lineæ a c ad lineam c b per 7 p 5: ergo ք 3 p 6 angulus a g b diuiſus eſt per æqualia: palã autem, quòd angulus g c b eſt acutus: ſienim ſit rectus, tunc trianguli a g c & g c b æquianguli per 32 p 1, quoniam ad punctum g duo ipſorum anguli ſunt æquales: ergo latera eorum ſunt proportionalia per 4 p 6: erit ergo proportio lateris a c ad c b, ſicut lateris g c ad ſeipſum: æqualis eſt ergo linea a c lineę c b: quod eſt contra hypotheſin & impoſſibile. Si uerò angulus g c b detur eſſe obtuſus, maior angulo g c a, palã per 32 p 1, quoniam angulus g b c eſt minor angulo g a c. Ergo per 19 p 1 in trigono a g b latus g b maius eſt latere a g. Et quia eſt proportio lineę b g ad lineam g a, ſicut lineę b c ad lineam c a: erit per 5 huius, per proportionem ſcilicet, è contrario latus b c maius quàm latus a c: quod eſt contra hypotheſim. Palàm ergo, quoniam angulus g c b eſt acutus. Ducatur itaque per 31 p 1, à pũcto c linea c h ęquidiſtans lineę g a, ſecans lineam g b in puncto h: erit ergo per 29 p 1 angulus g c h æqualis angulo c g a: ergo & angulo c g h: erit quoque angulus h c b ęqualis angulo g a c. Super punctum itaque g terminum lineę b g fiat per 23 p 1 angulus ęqualis angulo g a c: ergo & angulo h c b, qui ſit b g i. Et quia angulus g c b eſt æqualis duobus angulis c g a & c a g, ut patet ex pręmiſsis, & per 32 p 1: erit angulùs i g c ęqualis angulo g c b. Et quoniam angulus g c b eſt acutus: palã ergo per 14 huius, quoniam lineę g i & c b concurrẽt: ſit punctus concurſus i. Ergo per 6 p 1 erit latus g i ęquale lateri c i. Quia itaq angulus b g i eſt ęqualis angulo g a i, & angulus g i a communis ambobus trigonis a g i & b g i: erit per 32 p 1 angulus a g i æqualis angulo g b i. Ergo per 4 p 6 erit proportio lineę a i ad lineam i g, ſicut lineæ i g ad lineam page 51 b i: ſed linea i c eſt ęqualis lineæ g i: ergo per 7 p 5 eſt proportio lineę a i ad lineam c i, ſicut lineę c i ad lineam b i. Ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ a i in lineam b i eſt ęquale quadrato lineę c i: eſt autem linea b i lineę b c adiecta. Palàm ergo propoſitum.

127. Propoſitis duabus lineis: poßibile eſt uni ipſarum lineam aliam adiungere, ita, ut illud, quodfit ex ductu totius lineæ cum adiunctain adiunctam, æquale ſit quadrato reliquæ datarũ. E 36 p 3 element.

Verbi gratia, proponantur duæ lineæ q e & a g. Dico, quòd poſsibile eſt uni ipſarum, ut lineę q e,

Fig. 375

h a g f
Fig. 376

a g q e m q e z
adiungere quãdam aliam lineam cuiuſcũq ſit quãtitatis, ita quòd id, quod fit ex ductu lineę q e, cũ adiuncta in ipſam adiunctã, ęquale ſit quadrato lineæ a g. Quadretur ergo linea a g per 46 p 1, & ſit eius quadratum a h: & linea a g producta reſe cetur in pũcto f ita, ut linea g f ſit æqualis lineæ a g: ducaturq́ linea h f. Palã, quoniam triangulus a h f æqualis eſt quadrato a h: eſt enim parallelogrammum a h duplum trigoni a h g per 41 p 1, & trigonum a h f eſt duplum eiuſdem trigoni a h g per 1 p 6. Hac ergo triangula ſuperficie propoſita, & linea q e, poſsibile eſt per 29 p 6 ſuper datam lineam q e datę ſuperficiei trilaterę a h f ęquum parallelogrammum conſtituere, quod addat ſuper cõpletionem datę lineæ q e ſuperficiem quadratã, dato quadrato a h ſimilem. Sit ergo conſtituta, & parallelogrãmum ſit q m ęquale trigono a h f conſtitutum ſuper lineã q e, addẽs ſuper cõpletionem datę lineę q e quadratũ e m, ſimile quadrato a h. Palã ergo, quòd illud, quod fit ex ductu datę lineę q e, cum adiecta e z in ipſam adiectam lineam e z, uel eius ęqualem lineam z m,
Fig. 377

q a a e g b e g q
eſt ęquale propoſito trigono a h f. Ergo & eius ęquali, ſcilicet quadrato a h. Et hoc eſt propo ſitum: quoniam linea e z eſt lineę q e taliter, ut proponitur, adiuncta. Poteſt & idẽ aliter demonſtrari. Deſcribatur enim circulus, cuius diameter ſit q e, & eius cẽtrum b, ducaturq́ linea contingens circulum, ut contingit in pun cto g per 17 p 3: & reſecetur ad ęqualitatem lineę a g: & ſit g a: & ab eius termino a ducatur li nea per centrũ b ſecans peripheriam circuli in punctis e & q. Quia ergo id, quod fit ex ductu lineę q a in lineam a e, eſt æquale quadrato lineę a g per 36 p 3: patet, quòd lineę q e eſt adiecta linea e a, ut proponebatur.

128. Sumpta circuli diametro, & ſumpto in circumferentia puncto æqualiter diſtante à terminis diametri: poßibile eſt ab eodem puncto ad diametrũ eductã extra circulum, ducere lineam rectam, quæ à circumferentia cir culi extra circulum uſ ad concurſum cum diametro, ſit datæ lineæ æqualis.

Fig. 378

d ‡ q g h e a z b

Eſto data linea q e: ſitq́ g b diameter dati circuli, qui ſit a b g: & ſit a punctus datus in circuli circũferentia æqualiter diſtans ab extremis terminis diametri, qui ſunt g & b. Dico, quòd poſsibile eſt ab a pũcto peripheriæ circuli duci lineã uſq ad eductã diametrũ g b, quę ſit ęqualis datę lineæ q e. Ducantur. n. duæ lineæ a b & a g: illæ ergo neceſſariò erunt æquales ex hypotheſi, quoniã punctus a ęqualiter diſtat à terminis diametri g & b: & adiũgatur lineæ q e linea talis, ut illud, q fit ex ductu totius lineę cũ adiuncta in adiunctã, æquale ſit quadrato lineæ a g per pręcedentẽ proximã: & ſit adiũcta e z. Cũ ergo id, quod fit ex ductu q z in e z ſit æquale ei, q fit ex ductu lineę a g in ſeipſam: erit linea q z maior  linea a g, & linea e z minor illa. Si enim linea e z fuerit maior, uel ęqualis lineę a g, tũc eſt impoſsibile, utid, q fit ex ductu lineę q z in lineã e z, ſit ęquale quadrato lineę a g: quoniã linea q z eſt maior  linea e z, ut totũ parte. Si aũt linea e z ſit minor  linea a g, palã, quoniã linea q z eſt maior  linea a g: ꝓducatur ergo linea a g, donec fiat ęqualis lineę e q per 3 p 1: & ſit a g t. Poſito ergo pede circini ſuք pũctũ a, fiat circulus ſecundũ quantitatẽ lineæ a g t, qui circulus ſecabit diametrũ b g eductam: ſecet ergo page 52 ipſam in puncto d: & ducatur linea a d, quæ neceſſariò ſecabit circulũ: quoniã concurrit cũ diametro: ſi enim non ſecet circulum, cõtingens erit & æquidiſtans diametro g b, nunquã cõcurrens cum eadem: quia ex hypotheſi linea a g & a b ſunt æquales, & punctum a ęqualiter diſtat ab utriſq termi nis diametri, ſcilicet b & g. Secet ergo linea d a circulum a g b in puncto h: & ducatur linea g h. Palã ergo, quòd cum ſuperficies a b g h ſit quadrangulum intra circulũ deſcriptum, quòd duo eius angu li oppoſiti, ſcilicet a b g & a h g ualent duos rectos per 22 p 3: ſed a g b angulus æqualis eſt angulo a b g per 5 p 1: angulus ergo a g b cũ angulo a h g ualet duos rectos. Cũ itaq ք 13 p 1 angulus d g a cũ angulo a g b ualeat duos rectos: palã, quia angulus a h g erit ęqualis angulo d g a: & angulus h a g cõmu nis eſt totali triangulo a d g, & partiali trigono, qui eſt h a g: reſtat ergo per 32 p 1, ut angulus h d g ſit ęqualis angulo h g a, & totalis triangulus d g a ęquiãgulus triangulo g h a. Ergo per 4 p 6 latera ipſorũ æquos angulos reſpicientia ſunt proportionalia. Eſt ergo proportio lateris d a ad latus a g, ficut lateris a g ad latus a h. Illud ergo q fit ex ductu lineę d a in lineã a h, eſt ęquale quadrato lineę a g ք 17 p 6: ſed linea d a eſt ęqualis lineæ a t per definitionem circuli. Ergo linea d a eſt ęqualis lineę q z, quoniã linea t a ex pręmiſsis eſt ęqualis lineę q z. Quia uerò illud, quod fit ex ductu lineę d a in lineã h a eſt ęquale quadrato lineę a g, quod ex pręmiſsis eſt ęquale ei, quod fit ex ductu lineę q z in lineã e z: patet, q id, q fit ex ductu lineę a d in lineã h a, eſt ęquale ei, quod fit ex ductu lineę q z in lineã e z: & linea d a eſt ęquális lineę q z: relin quitur ergo, ut linea a h ſit æqualis lineę e z. Erit ergo linea d h æqualis ipſi lineę q e, quę eſt data linea: eſt autem à dato in peripheria circuli puncto a ad cõcurſum diametri b g ſic producta. Patet ergo propoſitum.

129. Inter duas rectas angulariter cõiunctas à dato puncto rectãducere, cuius una partium interiacens unã cõiunctarũ, & datũ punctũ, ſit cuicun datæ lineæ, & inſuper reliquæ ſuæ par ti, datũ punctũ & alterã coniunctarum interiacenti æqualis. 4 theor. 2 conicorũ Apollonij.

Exẽpli cauſa, ſit, ut duę lineę rectę in puncto uno angulariter coniungantur: quę ſint f k, & t k, cõ

Fig. 379

k f t ſ c m o
currentes in pũcto k, inter quas ſit datus pũctus m, & ſit data linea m c: proponitur nobis, ut à puncto m ducatur linea recta intra lineas f k & t k, ſecans illas in pũctis o & lita, ut eius pars, quę eſt l m, ſit ęqualis datę lineæ m c, & inſuper reliquę ſuę parti, quæ eſt m o. Ad hoc aũt ք lineas rectas uel circulares demõſtrandũ, lõgus labor & multæ diuerſitatis nobis incidit, & nõ fuit nobis hoc poſsibile cõplere ք huiuſmodi lineas abſq motu & imaginatione mechanica, ita ut cũ lineę f k & t k datę ſint nobis indefinitę, linea l o fixa in puncto m, imaginetur moueri, quouſq nobis accidat res quęſita. Hoc tñ Apollonius Pergę us in libro ſuo de conicis elementis libro ſecũdo, ꝓpoſitione quarta, ք ductionẽ ſectionis amblygonię à dato pũ cto inter duas lineas aſymptotas, nullã earũ linearũ ſecã tis demonſtrauit: cuius nos demonſtrationem, ut à multis ſui libri principijs pręambulis dependentẽ hic ſupponimus, & ipſa utimur ſicut demonſtrata.

130. Sumpta circuli diametro, & ſumpto in circũfererẽtia puncto inæqualiter diſtante à terminis diametri: poßibile eſt à ſumpto puncto ad eductã diametrũ lineã ducere, q̃, uel cuius pars interiacẽs քipheriã et diametrũ ſit datæ lineæ æqualis. Alha. 30 n 5.

Fig. 380

q d n g e a b

Diſponantur omnia, ut in 128 huius, niſi quòd pũctus datus in circumferentia circuli, qui ſit a, inęqualiter diſtet à terminis diametri, ꝗ ſint g & b: eruntq́ lineę a b & a g inęquales: ideo quòd punctũ a inæqualiter eſt diſtans à punctis g & b. Protrahatur ergo à pũcto g linea ęquidiſtans lineę a b per 31 p 1, quę ſit g n, & ſumatur linea quęcunq, utpote z t, & fiat ſuper punctum eius z angulus æqualis angulo a g d per 23 p 1, qui ſit angulus t z f, ducta linea z f: & ducatur à puncto t linea ęquidiſtans lineę z f, ut prius, quę ſit t m: & ex angulo t z f, ſecetur angulus ęqualis angulo d g n ք 27 huius, qui ſit t z m, ducta linea z m, quę ք z huius neceſſariò cõcurret cũ linea t m, cũ ſit ducta inter ęquidiſtantes: ſit ergo punctus concurſus m: reſtat ergo ut angulus m z f ſit ęqualis angulo a g n. A pũcto itaq t ducatur linea ęquidiſtãs lineę z m, quę ſit t o hęc quoq neceſſariò cõcurret cũ linea f z ք 2 huius: ſit ergo earum cõcurſus in puncto k. Sumatur quoq ք 3 huius linea, cuius proportio ad lineã z t, ſit ſicut diameter g b ad lineã q e lineã datã: & hęc ſit linea i. Deinde à pũcto m dato inter duas lineas k f & k o du catur per pręmiſſam linea, quę ſit l c m o ſecans lineã l k in pũcto l, & lineã k o in pũcto o, ita, ut eius pars c m ſit ęqualis datæ lineę i, & eius pars l c ſit ęqualis lineę m o: & à puncto t ducatur linea t f ęquidiſtãs lineę l o per 31 p 1: hęc quoq per 29 huius ſecabitur à linea z m: ſit ergo punctus ſectionis y. Fiat ergo ſupra punctum a terminũ lineę g a (punctũ ſcilicet, qui eſt in circumferẽtia circuli) angulus d a g page 53 æqualis angulo z f t per lineam a n d. Palàm autem, quòd hęc linea concurret cum producta diametro g d. Cũ enim angulus d a g ſit ęqualis angulo z f t, & angulus a g n æqualis angulo f z m, & angu

Fig. 381

k t o z u y m f c l i
lus d g n eſt æqualis angulo t z m, totusq́ angulus a g d æqualis toti angulo f z t, & cũ lineę f t & z t cõcurrãt: ergo & lineę a d & g d cõcur rẽt: ergo linea a d aut cõtinget circulũ, aut ſecabit ipſum. Sit ergo linea a d primò contingens circulum in puncto a. Cum ergo angulus g a n ſit æqualis angulo z f t, & angulus a g n ſit ęqualis angulo f z y: palàm per 32 p 1, quia angulus a n g erit ęqualis angulo z y f: eritq́ tri angulus a g n ęquiangulus triangulo z f y: ergo eſt per 4 p 6 proportio lineę a n ad lineam a g, ſicut lineę f y ad lineam f z. Similiter cum angulus a g d ſit æqualis angulo f z t, & angulus g a d ęqualis angulo z f t: erit per eandem triangulus a g d ſimilis triãgulo f z t: ergo ut pri us, quæ eſt proportio lineæ a g ad lineam g d, eadem eſt lineę f z ad lineam z t. Si ergo, quę eſt proportio lineę a n ad lineam a g, eadẽ eſt lineę f y ad lineam f z, & quę eſt proportio lineæ a g ad lineam g d, ea dem eſt lineę f z ad lineam z t: erit ergo per ęquam proportionalitatem per 22 p 5, ut quę eſt proportio lineę a n ad lineam g d, eadem ſit lineę f y ad lineam z t. Quia uerò linea t m eſt ęquidiſtans lineę f l, & linea f t ęquidiſtans lineę l m: erit ſuperficies l f t m ęquidiſtantibus contenta lateribus: palã ergo per 34 p 1, quoniam linea f t eſt ęqualis lineę l m. Quare erit linea f t ęqualis lineę c o, quoniam linea m o eſt ęqualis ipſi l c per pręmiſſam: linea ergo c m addita utriq, adhuc erũt æquales: eritq́ linea l m ęqualis lineæ c o: ſed linea m o eſt ęqualis lineæ y t per 34 p 1, & linea y m eſt æqualis lineæ t o: reſtat ergo, ut linea f y ſit ęqualis lineę c m: ſed linea c m ex præmiſsis eſt ęqualis lineæ i. Quare f y eſt æqualis i: eſt autem ex præmiſsis & per 5 huius proportio lineę i ad lineam z t, ſicut diametri b g ad lineam e q: erit ergo per 7 p 5 proportio lineæ f y ad lineam t z, ſicut diametri b g ad lineã e q. Quia uerò eſt proportio lineæ a n ad lineam g d, ſicut lineæ f y ad lineam z t: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ a n ad lineam g d, ſicut lineæ g b ad lineam e q. Verùm angulus g a n eſt ęqualis angulo g b a per 32 p 3: ſed angulus n g d eſt æqualis angulo g b a per 29 p 1, quia linea n g ęquidiſtat lineę b a: igitur angulus n g d ęqualis eſt angulo n a g: & angulus n d g eſt communis ambobus trigonis n d g & a d g: ergo per 32 p 1 erit angulus d n g æqualis angulo d g a: ſunt ergo dicti trianguli æquianguli: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ a d ad d g, ſicut lineæ g d ad n d. Ergo per 17 p 6 erit id, quod fit ex ductu lineę a d in d n ęquale quadrato g d: ſed id, quod fit ex ductu lineæ b d & d g, per 36 p 3 eſt æquale quadrato d a: quadratum uerò lineæ d a eſt æquale ei, quod fit ex ductu lineæ a d in d n, & a d in n a per 2 p 2: & id, quod fit ex ductu lineę b d in d g, eſt ęquale quadrato lineę d g, & ei quod fit ex ductu b g in d g per 3 p 2. Ablatis ergo æqualibus hinc inde (quæ ſunt quadratũ g d & rectangulum a d n) reſtatutid, quod fit ex ductu lineę a d in an, ſit ęquale ei, quod fit ex ductu lineę b g in d g, eritq́ue per 16 p 6 proportio lineæ a n primæ ad lineam g d ſecundam, ſicut lineę b g tertiæ ad lineam a d quartam: oſtenſum eſt autem ſuprà, quòd eſt proportio lineæ a n ad lineam g d, ſicut lineæ b g ad lineam e q. Erit ergo per 9 p 5 linea e q æqualis lineæ a d. Quod eſt propoſitum: quoniam ipſa linea a d eſt datæ lineæ æqualis: interiacet autem peripheriam circuli & eductam diametrum, eò quòd eſt contingens circulum. Quòd ſi linea a d
Fig. 382

q d n e g h a b
non ſit contingens, ſed ſecans circulum: aut igitur linea a g eſt maior quàm linea a b: aut è contrario. Sit autem nunc linea a g maior quàm linea b a: palàm, quia linea à puncto a ad diametrum b g extra circulum ducta ſecabit circulum in arcu a g. Sit ergo, ut ſe cet ipſum in puncto h: & ducatur linea h g. Palàm itaq, cũ quadran gulum a b g h ſit inſcriptum circulo, quia duo anguli a h g & a b g per 22 p 3 ſunt ęquales duobus rectis. Ducatur quoque linea g n ęquidiſtans lineę b a: erit ergo per 29 p 1 angulus n g d ęqualis angu lo g b a: ergo angulus n g d, & angulus a h g ſunt æquales duobus rectis: ſed per 13 p 1 angulus n h g cũ angulo a h g ualet duos rectos: ergo angulus n g d eſt ęqualis angulo n h g: angulus uerò n d g eſt cõmunis ambobus trigonis g d n & h g d: erit ergo tertius angulus, qui eſt d n g, ęqualis tertio, qui eſt d g h per 32 p 1. Ergo per 4 p 6 latera æquos angulos reſpicientia ſunt proportionalia: eſt igitur ꝓportio lineę h d ad lineam d g, ſicut lineæ d g ad lineam d n. Ergo ք 17 p 6 illud, quod fit ex ductu h d in d n eſt ęquale quadrato d g: & illud, quod fit ex ductu a d in d h eſt ęquale ei, quod fit ex ductu b d in d g per 36 p 3. Item illud, quod fit ex ductu a d in d h eſt ęquale ei, quod fit ex ductu d h in d n, & d h in a n ք 1 p 2: illud uerò quod fit ex ductu b d in d g eſt ęquale ei, quod fit ex ductu b g in g d, & quadra to g d ք 3 p 2. A blatis igitur ęqualib. ab utriſq (ſcilicet quadrato d g ex una parte, & illo, quod fit ex ductu d h in d n ex altera) reſtat utillud, q fit ex ductu d h in a n, ſit ęquale ei, quod fit ex ductu b g page 54 in d g: erit ergo per 16 p 6 proportio a n primi ad g d ſecundum, ſicut b g tertij ad d h quartũ: ſed pro batum eſt in præcedentibus, quòd proportio lineæ a n ad lineam d g eſt, ſicut diameter b g ad lineã e q. Igitur per 9 p 5 linea d h eſt æqualis lineę e q. Quod eſt propoſitum. Si uerò linea a g ſit minor  linea a b, ſecabit linea d a circulum in arcu a b. Sit ergo ut ſecet ipſum in puncto h: & ducatur linea
Fig. 383

d q n g a e b h
g h & linea g n, æquidiſtans lineę b a. Palã ergo ք 29 p 1, quoniã angulus n g d eſt ęqualis angulo a b g: ſed angulus a b g eſt ęqualis angulo a h g per 27 p 3: quoniã ambo cadunt in arcũ g a, & ſunt ſuք cir cumferentiã circuli: ergo angulus n g d eſt æqualis angulo a h g: & angulus n d g cõmunis eſt ambobus trigonis, ſcilicet n d g & d h g: eſt ergo tertius d n g ęqualis tertio, ſcilicet d g h ք 32 p 1. Ergo per 4 p 6 erit proportio lineę h d ad lineam d g, ſicut lineæ d g ad lineam d n: ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu h d in d n eſt ęquale quadrato lineę g d: ſed illud, q fit ex ductu b d in d g ք 36 p 3, eſt ęquale ei quod fit ex ductu h d in d a: illud aũt, quod fit ex ductu h d in d a, eſt ք 1 p 2 ęquale ei, q fit ex ductu lineę h d in d n, & lineę h d in n a: illud uerò quod fit ex ductu lineę b d in d g, per 3 p 2 ualet illud, q fit ex ductu lineæ b g in g d & quadratũ g d. Ablatis ergo ęqualibus hinc inde, erit illud, quod fit ex ductu h d in n a ęquale ei, quod fit ex ductu b g in g d: erit ergo, ut prius, ꝓportio lineæ a n ad lineam d g, ſicut lineę b g ad lineã h d. Sed iã oſtenſum eſt ſuprà, quòd eſt ꝓpor tio lineę a n ad lineã d g, ſicut lineę b g ad lineã e q. Igitur linea e q eſt æqualis lineę h d per 9 p 5. Quod eſt propoſitum: quoniã à puncto a dato ducta eſt linea ſecãs circulũ, cuius pars à pũcto ſectionis uſque ad concurſum cum diametro producta, æqualis eſt datæ lineæ. Patet ergo quod proponebatur.

131. Inter duas rectas ſe ſecantes ex unaparte à puncto dato hyperbolẽ, illas lineas nõ cõtingẽ tem ducere, ex alia parte cõmunis puncti illarũ linearũ hyperbolẽ priori oppoſit ã deſignare. Ex quo patet, quòd cũ fuerint duæ ſectiones oppoſitæ inter duas lineas, et producatur linea minima ab una ſectione ad aliã: erit pars illius lineæ interiacens unã ſectionũ, & reliquãlineam æqualis ſuæ partialiam ſectionem, & reliquam lineam interiacenti. 4. 8 th. 2 conicorum Apollonij.

Quod hic proponitur, demonſtratum eſt ab Apollonio in libro ſuo de conicis elementis: dicun

Fig. 384

n u l c u x g t c m f q t k p h p z
tur aũt ſectiones am blygonię ſiue hyper bolæ oppoſitæ, qñ gibboſitas unius ipſarũ ſequitur gibboſitatẽ alterius, ita utillæ gibboſitates ſe reſpiciãt, & amba rum diametri ſintin una linea recta. Ver bi gratia: ſit, ut duæ lineæ h l & z n ſecẽt ſe in puncto x, & ex una parte ipſarum, ſcilicet ſub angulo h x z, uel ſub angulo h x n à dato puncto, qui ſit t, ducatur ſectio amblygonia, quæ ſit t p, & ex altera parte ſub angulo n x l, uel ſub angulo z x l ducatur ſectio illi opp oſita, quæ ſit c u, ita, quòd diametri quarumlibet oppoſitarum ambarum ſectionum illarũ ſint in una linea, quæ t c, à uertice unius ad uerticẽ alterius producta: quę neceſſariò eſt minima omnium linearum inter illas duas ſectiones productarum. Et ex ijs declarauit Apollonius illud, quod corollatiuè proponitur, ſcilicet, quòd ſi linea t c ſecet lineam h l in puncto f, & lineã z n in puncto q, quòd linea t q erit ęqualis lineæ c f: & ſi linea t c pertrãſeat punctum x, erit linea t x ęqualis lineę x c: & nos utimur hoc illo, ut per Apollonium demonſtrato, & propter conformitatẽ portionis ſectionum reſpectu linearum ſe interſecantium. Patet ergo propoſitum.

132. In uertice alterius conicarum ſectionum poſito pede circini immobili, ſecundum quantitatem lineæ breuißimæ inter illas ſectiones ductæ, deſcriptus circulus ſectionem reliquam continget: ſecundum uerò maiorem, in duobus tantùm punctis reliquam ſecabit.

Quod hic proponitur, facile eſt, & ſola indiget declaratione. Sint ut enim in præcedenti propoſi tione duæ ſectiones conicæ oppoſitæ adinuicẽ, quę ſint t p & c u, inter quas linea minima uertices, ſcilicet ambarum ſectionum continuans, ſit linea t c: & poſito in altero punctorum tuel c pede circini, utpote in puncto t, deſcribatur circulus ſecundum quantitatem diametri t c. Hic ergo circulus, quia ſectionem c u non attingit niſi in puncto c, & omnes alię lineæ ducibiles interipſas ſectiones, ſunt maiores quã linea t c: ſunt ergo maiores ſemidiametro circuli: ſecabuntur ergo oẽs per circulũ, nec attinget circulus alicubi ſectionem niſi in puncto c. Patet ergo primũ propoſitorũ. Q ſi linea t c ſemidiameter circuli ſit maior  linearũ minima, inter oppoſitas ſectiões ꝓductarũ, 55 ut eſt t c: patet, quoniã illa minima linea intra ſuperficiem ſectionis producetur ad peripheriam cir culi, ut in punctum m: aliqua ergo ſuperficies cõmunis erit circulo & ſectioni: circulus ergo & ſectio ſe ſecabunt. Hęc itaq ſectio nõ erit niſi in duobus tantũ punctis g & k: quod per modum 10 p 3 conuinci poteſt. Patet ergo propoſitum.

133. A pũcto dato in circuli circũferẽtia extra diametrũ: poßibile eſt ducere lineãք diametrũ ad circũferentiã, ita, ut pars eius interiacẽs diametrũ & reliquãpartẽ circũferẽtiæ, ſit æqualis lineæ datæ eidẽ circulo inſcriptibili præmiſſo modo: ſed harum linearum æqualium ab eodẽ pun cto dato in eodem circulo producibiles ſunt tantùm duæ. Alhazen 34 n 5.

Eſto circulus a b g, cuius diameter ſit b g: & punctus datus in ſui circũferentia ſita: & ſit h z linea data minor diametro b g, pręmiſſo modo poſsibilis inſcribi circulo. Dico, quòd â pũcto a poſsibile eſt ducere lineã tranſeuntẽ per diametrũ b g, cuius pars interiacens diametrũ b g & circũferentiam ſit ęqualis lineę datę, quę h z. Ducantur enim in circulo lineę b a & a g: & ſuper punctũ h lineę datę h z fiat angulus ęqualis angulo a g b: qui ſit m h z, ducta linea m h, & ſuper idẽ punctũ h fiat angulus æqualis angulo a b g, qui ſit l h z, ducta linea h l: & â puncto z ducatur linea æquidiſtans lineę h m, quę ſit z n: quę quidẽ ſecabit lineã h l: ſit, ut ſecet ipſam in puncto x: & à pũcto z iterũ ducatur alia li nea æquidiſtans lineę h l, quę ſit z t, ſecans lineã h m in puncto t: ſecabit autem per 2 huius: & à pun cto t ducatur ſectio conica, quæ ſit t p, ſicut præmiſſum eſt in 131 huius. Hæc itaq ſectio non contin git aliquam linearũ z n & h l, inter quas ipſa iacet. Similiter fiat ſectio alia conica, iſti oppoſita, inter

Fig. 385

a g e b d
eaſdem lineas ex parte alia, quę ſit c u: & inter illas ſectiones omnium linearum ductarum minima ducta à puncto t ad ſectionem c u, ſit linea t c. Hæc ergo linea t c ſi fuerit æqualis diametro circuli b g: circulus factus ſecundum ſemidiametrũ t c (poſito pede circini in puncto t) palàm, quia ſectionem c u cõtinget. Si uerò linea t c fuerit minor diametro b g: circulus factus modo prędicto ſecundum quantitatem lineæ b g ſecabit ſectionẽ c u in duobus punctis, ut patet per pręmiſſam. Sit ergo nunc primùm linea t c ęqualis diametro b g. Cum ergo linea t c ducatur ad ſectionem conicã, quæ interiacet lineas h l & z n: neceſſariò ſecabit linea t c illas ambas lineas: quas ſi in puncto x (ꝗ eſt pũctus communis ſectionis illarum linearũ) ſecuerit, erit linea t x æqualis lineæ x c: quòd ſi ipſas in alijs punctis ſecuerit: ſecet ergo lineã z n
Fig. 386

h n t f x q c u p m z f
in puncto q, & lineam h l ín puncto f: & ducatur à puncto z per 31 p 1 linea æquidiſtans ipſi lineæ t c: quæ per 2 huius ſecabit lineas h m & h l, ſicut etiam ſua ęquidiſtans t c: ſecet ergo eas in punctis m & l: & ſit ipſa linea m z l. Super diametri ergo g b terminum g per 23 p 1 fiat angulus æqualis angulo h l m, qui ſit angulus b g d: & ducantur duæ lineæ a d, d b. Palàm ergo, cum angulus g a b ſit rectus per 31 p 3, quòd alij duo anguli trianguli g a b, ſcili cet a g b & a b g ualent rectũ per 32 p 1: angulus ergo l h m (qui æqualis eſt illis duobus angulis) eſt rectus: ergo æqualis angulo g d b: angulus uerò h l m eſt æqualis angulo d g b: ergo per 32 p 1 angulus tertius unius, trigonorum g b d & h l m erit ęqualis angulo tertio alterius, ſcilicet angulus h m l, angulo g b d: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ g b ad b d, ſicut lineæ l m ad m h. Sit aũt pũctus, in quo linea a d ſecat diametrũ b g, punctus e. Quia ergo ք 27 p 3 angulus a d b eſt æqualis angulo b g a: quia cadũt in eundẽ arcũ (qui a b) & angulus b g a æqualis angulo m h z ex p̃miſsis: erit ergo angulus a d b æqualis angulo m h z: & patuit prius, q angulus d b g eſt æqualis angulo h m z: erit ergo tertius angulus trianguli d e b per 32 p 1 ęqualis tertio angulo trigoni m h z, ſcilicet angulus d e b angulo m z h. Quia ergo trigona d e b & m z h ſunt æquiangula, erit per 4 p 6 proportio lineę b d ad d e, ſicut lineę m h ad h z. Oſtẽſum eſt aũt ſuperius, q eſt ꝓportio lineę g b ad b d, ſicut lineę l m ad m h: ergo ք 22 p 5 erit ք ęquã ꝓportionalitatẽ ꝓportio lineę b g ad d e, ſicut lineę l m ad h z: ſed ſicut ք 131 huius declaratũ eſt, patet, q linea q t eſt ęqualis lineę f c: ſed linea t q eſt ęqualis lineę m z ք 34 p 1, cũ parallelogrãmũ m t q z ſit ęquidiſtãtiũ laterũ, ut patet ex pręmiſsis: eſt igitur linea m z ęqualis lineę f c: ſed ք 34 p 1 linea z l eſt æqualis lineę t f. Eſt igitur totalis linea m l æqualis totali lineę t c: ergo ք 7 p 5 eſt ꝓportio lineę t c ad h z, ſicut lineę l m ad h z. Eſt ergo ꝓportio lineæ g b ad lineã d e, ſicut lineę t c ad h z: & քmutatim. Cũ ergo linea t c ſit æqualis lineę g b, erit linea e d æqualis ipſi h z datę lineę. Quod eſt propoſitũ. Si au tem linea t c ſit minor diametro b g: producatur ultra ſectionem, donec ipſa ſit æqualis diametro page 56 b g, & ſecundum quantitatem eius fiat circulus. Palàm per pręmiſſam, quòd ille ſecabit ſectionem in punctis duobus, qui ſint c & u: à quibus lineæ ductę ad punctum t erunt æquales lineę b g per definitionem circuli: & tunc à puncto z ducatur linea æquidiſtans alteri illarum, & item alia a quidiſtans alteri: & tunc erit ducere à puncto a per modum prędictum duas lineas e d æquales lineæ datę: & erit idem penitus probandi modus, qui ſuprà. Patet ergo propoſitum.

134. Dato trigono orthogonio, & dato puncto in uno ſuorum laterum angulum rectum continentium: poßibile est ducere à puncto illo ad aliud laterum continentium angulum rectum lineam ſecantem baſim it a, quòd pars ductæ lineæ interiacens punctum ſectionis, & latus, in quo non est punctus datus, ſe habeat ad partem baſis, quæ est à ſectione ad latus, in quo eſt pun ctus datus, ſicut data linea ad datam lineam. Alhazen 35 n 5.

Eſto a b g triangulus datus, cuius angulus a b g ſit rectus: & in latere illius b g ſit pũctus datus, qui ſit d, extra triangulum aut intra: ſintq́ datę lineę duę e & z. Dico, quòd à puncto d poſsibile eſt ducere lineam ſecantem baſim a g, & concurrentem cum latere a b, ita, quòd pars lineæ ſecãtis in

Fig. 387

q ſ a e z a h t d m c b d g n
teriacens latus a b & baſim a g, ſit eiuſdem proportionis ad partem baſis a g, quę eſt ab illa linea uſq ad punctum g, cuius eſt data linea e ad datam lineam z. Sit enim primò pũctus d in ipſo trigono a b g: & ducatur ab eo linea æquidiſtans lineę a b per 31 p 1, quę ſit d m: & fiat circulus per tria puncta g, d, m per 5 p 4: eritq́ linea g m diameter huius circuli per 31 p 3: ſubtenditur enim angulo recto per 29 p 1: & protrahatur linea a d. Et quia per eandem 29 p 1 angulus g m d eſt æqualis angulo g a b: palàm, quia angulus g m d erit maior angulo g a d, cum angulus g a b ſit maior angulo g a d: ſecetur ergo ex angulo g m d angulus æqualis angulo g a d per 27 huius, ducta linea m n ad peripheriam circuli: ſitq́ angulus d m n: quę autem eſt proportio lineę e ad lineam z, eadẽ ſit per 3 huius proportio lineę a d ad lineã h: & à puncton, qui eſt punctus in peripheria circuli, ducatur linea ad diametrum g m, quę ſit n l, ſecans circulum in pũcto c, ita, ut eius pars interiacens peripheriam circuli & diametrum, quę eſt c l, ſit æqualis lineę datę h per 128 uel per 130 huius: & ducatur linea g c: & à pũcto d ducatur linea ad punctũ c, quę cũ cadat inter duas lineas ęquidiſtantes, quę ſunt d m & b a, tenens angulum acutũ cum earum altera, ut cũ m d, ſi producatur, neceſſariò concurret cũ reliqua per 2 huius: cõcurrat ergo in puncto q. Quia itaq per 27 p 3 angulus g m d eſt æqualis angulo g c d, & angulus g m d eſt ęqualis angulo g a b per 29 p 1: palàm, quòd angulus g c d eſt ęqualis angulo g a b: ergo per 13 p 1 erit angulus g c q ęqualis angulo b a l: ſed angulus b a l per 15 p 1 eſt ęqualis angulo g a q: angulus ergo g c q eſt æqualis an
Fig. 388

l d b q a a e z h d l g c e z h ‡ t g c b q a d m n a m n d
gulo g a q. Sit autẽ t punctus, in quo li nea d q ſecat lineam a g: erit ergo per 15 p 1 angulus g t c æqualis angulo at q. Quia ergo trigonorum a t q & t c g duo anguli ſunt ęquales, erit & tertius tertio ęqualis: trianguli ergo a t q & t c g ſunt æquianguli: ergo ք 4 p 6 erit proportio lineę q t ad t g, ſicut lineę a t ad t c: uerùm angulus n m d ex p̃miſsis eſt ęqualis angulo t a d. Quia enim anguli g m d & t a b ſunt ęquales: & anguli g m n & d a g ęquales: relinquitur n m a ęqualis angulo t a d: ſed & angulus n c d ք 27 p 3 eſt ęqualis angulo n m d: quare angulus n c d eſt ęqualis angulo t a d: ergo ք 15 p 1 angu lus t c l, qui eſt contra poſitus angulo n c d, eſt æqualis angulo t a d. Quia er go angulus t c l eſt cõmunis duobus trigonis, ſcilicet trigono t c l & trigono t a d, & anguli t c l & t a d ſunt ęquales: erũt ք 32 p 1 trigoni t c l & t a d ęquianguli: ergo ք 4 p 6 eſt ꝓportio lineę t a ad lineã t c, ſicut lineæ a d ad lineã l c. Fuit aũt oſtẽ ſum ſuperius, q eſt ꝓportio lineę t q ad lineã t g, ſicut lineę a t ad lineã t c: ergo ք 11 p 5 erit proportio lineę a d ad l c, ſicut lineę q t ad t g: ſed linea l c eſt æqualis lineę h, & proportio lineę a d, ad lineam h eſt, ſicut proportio lineæ e a d z. Ergo ք 7 & 11 p 5 erit ꝓportio lineæ q t ad lineã t g, ſicut lineę e ad lineã z. Quod eſt ꝓpoſitũ. Si uerò d pũctus datus ſit in latere trigoni, q eſt b g, extra triangulũ ꝓducto: ducatur prius à pun cto d linea ęquidiſtãs lineę a b: & ſit d m: & ducatur linea a g, donec cõcurrat cũ linea d m in pũcto page 57 m: & fiat, ut prius, circulus trãſiens ք tria pũcta g, d, m: erit ergo, ut prius, m g diameter iſtius circuli: & ducatur linea a d: erit ꝗ dẽ angulus g a d maior angulo g m d ք 16 p 1: fiat ergo, ut prius, ſuք pũctũ m lineæ d m angulus æqualis angulo g a d ք lineã m n, ꝗ ſit angulus d m n: & à puncto n, ꝗ ſit in circũferẽtia circuli, ducatur, ut prius, ք 128 uel ք 130 huius linea ad eductã diametrũ m g, cõcurrens cũ ipſa in pũcto l, & ſecãs peripheriã circuli in pũcto c, ita, ut linea c l ſit ęqualis lineę h aſſumptę, ut pri us, ſcilicet ut ք 3 huius ſit ꝓportio lineæ a d ad ipſam h, ſicut lineę datę e ad lineã datã z: & ducatur linea d c fecans lineã a g in pũcto t, & lineã a b in puncto q. Cũ ergo angulus n m d, & angulus n c d per 22 p 3 ſint æquales duobus rectis, & angulus n m d ſit æqualis angulo t a d ex præmiſsis: palàm ex 13 p 1, quoniam erit angulus t c l æqualis angulo t a d: erunt ergo duo triangulit c l & t a d per 15 & 32 p 1 æquianguli: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ d a ad lineam c l, ſicut lineæ t a ad lineã t c. Cum autem per 27 p 3 duo anguli g c d & g m d ſint æquales, quoniam cadunt in eundem arcum, qui eſt d g, angulus uerò t a q per 29 p 1 eſt æqualis angulo g m d: erit angulus t a q ęqualis angulo t c g: ſed & anguli q t a & g t c ſunt ęquales ք 15 p 1: erũt ergo trigoni g t c & t a q ęquiãguli ք 32 p 1: erit ergo per 4 p 6 proportio lineæ a t ad lineam t c, ſicut lineæ q t ad lineam t g. Eſt ergo ex præmiſsis & per 11 p 5 proportio lineę a d ad lineam c l, quę eſt æqualis lineæ h, ſicut lineæ q t ad lineam t g. Eſt ergo per 11 p 5 proportio lineæ e ad lineam z, ſicut lineę q t ad lineam t g. Quod eſt propoſitum.

135. Datis duobus punctis, uno in circulo, alio extra circulum, uelutro extra circulum: poſ ſibile eſt inuenire punctum in circumferentia dati circuli, ita, ut angulum contentum à lineis à prædictis punctis ad punctum inuentum ductis diuidat per æqualia, linea in illo puncto circulum contingens. Alhazen 36 n 5.

Sunto duo pũcti dati, qui e & d, quorũ primò unus, ꝗ ſit e, ſit in circulo, & reliquus extra illũ: & ſit datus circulus, cuius centrũ ſit g. Dico, quòd poſsibile eſt in peripheria circuli g inuenire pũctũ, in quo linea cõtingens circulũ ducta, ſecet angulũ cõtentũ à lineis à pũctis d & e ad illũ punctũ ductis per æqualia. Ducatur enim à pũcto e ad cẽtrũ g linea e g: & ꝓducatur uſq ad circumferentiã, & ſit e g s: deinde ducatur linea d g: eritq́ ex præmiſsis linea e g minor  linea d g. Aſſumatur quoq linea m i, quę in puncto c taliter diuidatur, ut ꝓportio lineæ i c ad lineã c m ſit, ſicut lineę d g ad lineã g e ք 119 huius: diuidaturq́ linea m i ք æqualia in puncto n: à quo ſuper lineã m i ducatur perpẽdicularis ք 11 p 1, q̃ ſit n o: & ſuper punctũ m ք 23 p 1 fiat angulus ęqualis medietati anguli d g s di uiſi per 9 p 1 ք æqualia: ducaturq́ linea m o. Palàm aũt, quòd angulus i m o erit minor recto, quoniã angulus d g s eſt minor duob. rectis: ſed angulus o n m eſt rectus: igitur per 14 huius linea m o concurret cum linea n o: ſit autem punctus concurſus o: à puncto uerò c ducatur linea ad triangulum m n o, quę ſit c k f, ita, ut proportio lineę k f ad lineã f m ſit, ſicut proportio lineæ e g ad lineam g s: quod fieri poteſt per pręcedentẽ. Ducatur quoq linea m k: & ſuper punctũ g terminũ lineę e g ք 23 p 1 fiat angulus ęqualis angulo m f k, ք lineã uſq ad circumferentiã productã: q̃ ſit a g: & ſit angulus a g e: & ducantur duælineæ a g & a d. Dico, quòd a eſt quęſitus punctus. Ducatur enim linea

Fig. 389

d a h l z s u g e t q
e a. Cum ergo ex pręmiſsis angulus m f k ſit æqualis angulo a g e, & ꝓportio lineę k f ad lineã f m, eſt, ſicut ꝓportio lineæ e g ad lineã g s: ergo ք 7 p 5 erit ꝓportio lineę k f ad lineã f m, ſicut lineę e g ad lineam g a, æqualem g s, quia ambę ex cẽtro: erit triangulus a g e ſimilis triangulo m f k ք 6 p 6: igitur angulus f m k eſt æqualis angulo e a g, & angulus a e g æqualis angulo m k f. Igitur à pũcto a duca tur linea tenẽs cũ linea a e angulũ æqualẽ angulo n m k: & ſit linea a z, q̃ neceſſariò cõcurret cũ linea e g: quoniã eſt proportio e g ad g a, ſicut k f ad f m, & angulus g a z æqualis eſt angulo f m c: fuit enim prius angulus e a g ęqua lis angulo f m k. Sicut ergo linea m o cõcurrit cũlinea k f in pũcto f, ſic cõcurret linea a z cũ linea g e. Sit ergo cõcurfus in pũcto z: & ꝓducatur linea a z uſq ad pũctũ q: donec linea a z ſe habeat ad lineã q z, ſicut linea m c ad c i ք 3 huius: erit ergo ꝓportio lineę a z ad lineã q z, ſicut lineæ d g ad lineã g e: & ducatur linea e q. Deinde à pũcto a ducatur linea æquidiſtãs lineę e q, q̃ ſit linea a t ք 31 p 1, & erit angulus a q e æqualis angulo q a t ք 29 p 1, quoniã duo anguli z e a & e a t ſunt minores duobus rectis, ideo, quia ք 29 p 1 anguli q e a & e a t ualẽt duos rectos: cõcurret linea a t neceſſariò cũ linea e z ք 14 huius. Sit ergo pũctus cõcurſus t. Quia uerò angulus e a z eſt æqualis angulo n m k, ut ſuprà pa tuit: ducta à pũcto e linea քpẽdiculari ſuք lineã a z ք 12 p 1, q̃ ſit e l, erũt trigoni a e l & n m k æquiã gu li ք 32 p 1: erit ergo angulus a e l æqualis angulo m k n, & angulꝯ a l e ęqualis angulo m n k, ꝗa uterq eſt rectꝯ: ſed etiã angulꝯ a e g eſt ex p̃miſsis ęqualis angulo m k f: reſtat ergo ք 13 p 1, ut angulꝯ l e z ſit ęqualis angulo n k c, & angulꝯ e l z rectus eſt ęqualis angulo k n c recto: erit ergo ք 32 p 1 angulꝯ e l z page 58 æqualis angulo k c n. Igitur per 13 p 1 erit angulus e z q æqualis angulo k c i. Palàm ergo ex præmiſsis, quòd triangulus a e g eſt æquiangulus triangulo f m k: & triangulus e a l æquiangulus eſt triangulo k m n: & triangulus e l z æquiangulus triangulo k n c: & triangulus e a z æquiangulus triangulo k m c. Eſt igitur per 4 p 6 proportio a z ad e z, ſicut m c ad c k: eſt autem proportio q z ad z a, ſicut proportio i c ad c m, utpatet ex præmiſsis: erit ergo per 22 p 5 proportio q z ad z e, ſicut i c ad c k: eſt ergo triangulus q z e per 6 p 6 æquiangulus triangulo i c k. Cum ergo triangu lus e l z ſit æquiangulus triangulo k n c: erit totus triangulus q l e æquiangulus toti triangulo i k n: eſt ergo per 4 p 6 proportio e l ad l q, ſicut k n ad n i: & ſimiliter eſt proportio a l ad l e, ſicut m n ad n k: erit ergo per 22 p 5 proportio n m ad n i, ſicut a l ad l q: ſed linea n m eſt æqualis n i ex hypotheſi: ergo linea a l eſt æqualis lineæ l q: ergo per 4 p 1 linea e q erit æqualis lineæ e a: & angulus l q e æqualis angulo l a e: ſed & angulus e q z per 29 p 1 eſt æqualis angulo t a l: angulus ergo e a l eſt æqualis angulo t a l: quia angulus e q z eſt æqualis angulo t a l: & angulus e z q eſt æqualis angulo a z t per 15 p 1: igitur tertius tertio: eritq́ triangulus z e q æquiangulus triangulo z a t. Eſt ergo per 4 p 6 proportio q z ad z a, ſicut e z ad z t, & ſicut e q ad a t: eſt autem ex præmiſsis linea e q æqualis lineæ e a: ergo per 7 p 5 eſt proportio q z ad z a, ſicut a e ad a t: ſed q z ad z a eſt ex pręmiſsis, ſicut e g ad g d. Igitur ք 11 p 5 eſt ꝓportio lineę a e ad a t, ſicut e g ad g d. Fiat aũt ſuper pũctũ a angulus ęqualis angulo g a e: qui ſit u a g. ꝓ ducta linea a u, ſi poſsibile fuerit, uſq ad lineã g s. Palàm ergo ex pręmiſsis, quoniã angulus g a l eſt medietas anguli u a t: cũ enim angulus e a q ex pręmiſsis & ք 5 p 1, ideo, quia lineę a e & e q ſunt æquales, ſit æqualis angulo a q e, qui per 29 p 1 eſt æqualis angulo q a t: patet, quòd angulus e a l eſt æqualis angulo l a t: ſed angulus g a e eſt ęqualis angulo u a g. Eſt ergo angulus g a l medietas anguli u a t: ſed angulus g a l cum ſit ex pręmiſsis ęqualis angulo f m c, qui conſtitutus eſt ęqualis medietati anguli d g s, ęqualis eſt medietati anguli d g u. Angulus ergo u a t eſt ęqualis angulo d g u: ſed anguli t a u & t u a ſunt minores duobus rectis argumento 32 p 1, cum lineę a t & u t concurrant in puncto t. Quare duo anguli t u a, d g u ſunt minores duobus rectis. Igitur linea a u concurret cum linea d g per 14 huius. Dico autem, quòd concurrent in puncto d: efficiet enim linea u a producta ad lineam g d cum lineis u g & g d, triangulum ſimilem triangulo a u t: quoniam iſti trigoni habent angulum a u g communem, & angulus t a u eſt æqualis angulo d g u: erit ergo tertius tertio æqualis: ergo per 4 p 6 eſt proportio a u ad a t. ſicutu g ad lineam, quã ſecat a u ex g d: & ꝓportio e a ad a u eſt, ſicut e g ad g u ꝓ 3 p 6: quia angulus u a g eſt ęqualis angulo g a e. Cum ergo ex pręmiſsis eadem ſit proportio e a ad a t, quę e g ad g d: & proportio e a ad a t ſit compoſita ex proportione e a ad a u, & a u ad a t: (quoniam per 13 huius proportio extremorum componitur ſemper ex proportione cuiuſcunq medię ad ambas extremas) erit proportio e g ad g d cõpoſita ex eiſdẽ proportionibus. Quare erit cõpoſita ex proportione e g ad g u, & g u adlineã, quã ſecat u a ex linea g d: ſed eſt cõpoſita ex proportionibus e g ad g u, & g u ad g d. Igitur linea, quã ſecat a u ex g d, eſt linea g d. Ergo a u ſecat g d in pũcto d. Producatur ergo per 17 p 3 à pũcto a linea cõtingens circulũ, quæ ſit a h: erit ergo angulus g a h rectus per 18 p 3: ſed angulus g a l eſt medietas anguli d g u, ut patet ex præmiſsis. Igiturangulus l a h eſt medietas anguli d g e: ideo, quia anguli d g u & d g e ualent duos rectos per 13 p 1, & angulus g a b eſt rectus. Sed cũ angulus t a u ſit æqualis angulo d g u, erit angulus t a d æqualis angulo d g e per 13 p 1. Igitur angulus l a h eſt medietas angu li t a d, & angulus e a l eſt medietas anguli e a t. Igitur angulus e a h eſt medietas anguli e a d. Quare patet, quòd linea a h cõtingens circulũ, diuidit angulũ e a d per ęqualia: quod eſt propoſitũ. Cũ uerò angulus u a g ſuper punctũ a terminũ lineæ g a factus, fuerit æqualis angulo g a e: tũc ſi linea a u
Fig. 390

d a u m f t h z q c g s
nõ cadit ſuper lineã e s extra circulũ uel intra circulum: palã, quia linea a u eſt ęquidiſtãs lineæ e s: quia in infinitũ protracta cum illa non concurrit: erit quoque per 29 p 1 angulus u a g æqualis angulo a g e: ſed per præmiſſa angulus g a e eſt æqualis angulo u a g: ergo angulus g a e æqualis erit angulo a g e. Ergo per 6 p 1 in trigono a g e latus a e eſt æquale lateri e g. Similiter angulus t a d erit æqualis angulo a t g per 29 p 1: ſunt enim coalterni linearum æquidiſtantium ex hypotheſi: ſed iam oſtenſum eſt, quod angulus t a d eſt æqualis angulo d g t. Igitur angulus a t g eſt ęqualis angulo d g t. Et ſimiliter duo anguli a d g & d g t ſunt æquales per 29 p 1: ergo duo anguli a d g & a t g ſunt æquales. Sequitur ergo exijs, quòd linea, quã ſecat a u ex linea g d, ſit æqualis lineæ a t: & iam præoſtenſum eſt, quòd linea e g eſt æqualis ipſi a e, eſt ergo ք 7 p 5 ꝓportio lineæ e g ad lineã, quã ſecat a u ex d g, ſicut a e ad a t: ſed oſtẽſum eſt, q a e ad a t eſt, ſicut e g ad g d. Igitur linea, quam ſecat a u ex g d, eſt g d. Et cũ ex pręmiſsis angulus t a d ſit ęqualis angulo d g t: erit angulus l a h medietas anguli t a d, ut ſuprà patuit: & angulus e a l medie tas anguli e a t. Erit ergo e a h medietas anguli e a d. Quod eſt ꝓpoſitũ. Eodẽq́ modo demõſtrãdũ, page 59 ſi ambo puncta e & d data ſint extra circulum. Patet ergo totum propoſitum.

136. Dato circulo & in eo diametro, puncto́ extra circulum: poßibile eſt à dato pũcto ad dia metrum ducere lineam, ſecantem circulum ſic, quòd pars ductæ lineæ interiacens circumferen tiam & diametrum, ſit æqualis parti diametri interiacenti ipſam & centrũ. Alhazen 37 n 5.

Eſto datus circulus, cuius centrum ſit g: & in eo data diameter ſit x g b: ſit quoq punctus e punctus extra circulum. Dico, quòd poſsibile eſt duci à puncto e ad diametrum x g b lineam ſecantem circulum ſecundum prædictum modum. Ducatur enim à puncto e perpendicularis ſuper diametrum x g b per 12 p 1, quæ ſit e c: & ſit exempli cauſſa, ut cadat illa perpendicularis ſuper ſemidiametrum b g, & ducatur linea e g: & aſſumatur linea q t æqualis lineę e c: & fiat per 33 p 3 ſuper lineam q t portio circuli talis, ut quilibet angulus cadens in hanc portionem, ſit æqualis angulo e g b: & compleatur circulus: & à medio puncto l, lineę q t, quod ſit ſuper ipſam q t ducatur perpendicularis per 10 & 11 p 1, & ducatur ex utraq parte uſq ád circumferentiam circuli: erit ergo ducta perpendicula ris diameter circuli illius per 1 p 3: & à puncto q ducatur linea ad hanc diametrum, ſecans ipſam in puncto f: & producatur uſq ad p punctum circumferentiæ, ita, ut eius pars, quę f p, ſit æqualis medietati lineę g b ſemidiametro dati circuli: quod fiet per 133 huius: & ducantur lineę p t & t f: & duca tur à puncto p linea p u ęquidiſtans diametro, concurrens cum linea t f in puncto u (concurret autem per 2 huius) & à puncto u ducatur linea æquidiſtans lineę q t, quę ſit u o, ſecans diametrum fl in puncto m, & lineam p q in puncto o: & à puncto t ducatur perpendicularis ſuper lineam p q per 12 p 1, quę ſit t n: & à puncto t ducatur linea æquidiſtãs lineę p q per 31 p 1, quę ſit t s: & à puncto u ducatur perpendicularis ſuper lineam p q, quę ſit u h. Dein de ex angulo b g e ſecetur angulus æqualis angulo q p u per 27 huius, qui ſit b g d, ducta linea g d ad peripheriã circuli: & à puncto e ducatur li

Fig. 391

p n f o m u q l c
Fig. 392

k b d z e i c g x
nea e d z. Dico, quòd linea d z eſt æqualis parti diametri, q̃ eſt z g, ſicut proponitur. Ducatur enim à pun cto d perpendicularis ſuper lineam b g, quę ſit d i: & ducatur à pũ cto d linea contingens circulũ per 17 p 3, quę ſit d k. Palã itaq (cũ ex præmiſsis diameter fi ſit perpendicularis ſuper lineam q t, & ſuper eius æquidiſtantem o u per 29 p 1, linea uerò p u ſit æquidiſtans illi diametro) quòd angulus o u p erit rectus per eandem 29 p 1. Et cum linea o u di uidatur per diametrum fl in partes æquales, & orthogonaliter per 29 p 1. 4 p 6 & 22 p 5, eò quòd linea q t ſibi ęquidiſtans ſimiliter eſt diuiſa: erũt per 4 p 1 trianguli o f m & u f m ęquianguli: ergo per 4 p 6 cum latus f m ſit ęquale ſibijpſi, erit o m ęquale m u, & f o ęquale f u. Sed cum duo anguli p o u & o p u ualeantunum rectum per 32 p 1, ideo quòd angulus p u o eſt rectus, ut patet ex pręmiſsis & 29 p 1, erit angulus f u p ęqualis angulo f p u: ideo, quia, ut pręmiſſum eſt, angulus f o u ęqualis eſt angulo f u o: ſed angulus f p u cum angulo f o u ualet unum rectum, ut pręoſtenſum eſt: ergo angulus f p u cum angulo f u o ualet unum rectum: eſt ergo angulus f u p æqualis angulo f p u, quia ſi ab ęqualibus ęqualia demas, quę relin quuntur, & c. Ergo per 6 p 1 latus f p ęquale erit lateri f u: erit ergo f p ęquale ipſi f o. Sic ergo erit linea p o ęqualis ſemidiametro g b, ergo & ipſi g d per definitionẽ circuli: & ita erit per 7 p 5 proportio lineę e c, quę eſt ęqualis lineę q t, ad lineam g d, ſicut lineę q t ad p o ęqualem g d. Sed cum angulus k d g ſit rectus per 18 p 3, ęqualis eſt ipſi angulo recto g i d, & angulus i g d eſt communis: erit ergo per 32 p 1 triangulus i g d ęquiangulus triangulo k g d: erit ergo per 4 p 6 proportio lineę g d ad d i, ſicut lineę g k ad k d: ſed angulus k g d eſt ęqualis angulo q p u, & angulus g d k, qui rectus eſt per 18 p 3, eſt ęqualis angulo recto o u p: erit ergo per 32 p 1 tertius tertio ęqualis, & triãgulus k d g ęquiangulus triangulo o u p: eſt ergo per 4 p 6 proportio lineę g k ad k d, ſicut lineę o p ad o u. Et quoniã ex pręmiſsis eſt proportio lineę g k ad k d, ſicut lineę g d ad d i: ergo per 11 p 5 eſt proportio lineę g d ad d i, ſicut lineę o p ad ou: fuit autem ex pręmiſsis proportio lineę e c ad g d, ſicut lineę t q ad p o: ergo per 22 p 5 erit ꝓportio lineę e c ad d i, ſicut lineę q t ad o u: ſed proportio q t ad o u eſt, ſicut t f ad f u per 29 p 1, & per 4 p 6, cum triangulus t f q ſit æquiangulus triangulo o f u. Verùm angulus u t s eſt æqualis angulo h f ù per 29 p 1, eſt enim coalternus illi inter lineas ęquidiſtantes, quę ſunt h q & s t: ſed & angulus u s t eſt rectus ęqualis angulo f h u recto, & angulus f u h æqualis eſt angulo s u t per 15 p 1: erit ergo triangulus u s t æquiangulus triangulo h u f: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ t u ad u f, ſicut lineæ s u ad u h: ergo per 18 p 5 erit cõiunctim proportio lineę t f ad f u, ſicut lineę s h ad h u: ſed linea t n ęqualis eſt lineę s h per 34 p 1: ergo per 7 p 5 erit proportio lineę t n ad lineã h u, ſicut lineę t f ad f u. Sed, ſicut patuit ex pręmiſsis, quę eſt proportio lineę t f ad f u, eadem eſt lineę q t ad o u per 4 p 6. Ergo per 11 p 5 proportio lineę q t ad o u eſt, ſicut lineę t n ad h u: ergo & proportio lineę e c ad d i eſt, ſicut lineę t n ad u h. Sed cum angulus g i d ſit rectus, eſt ęqualis angulo p h u recto, & angulus i g d æqualis angulo h p u page 60 expręmiſsis: erit ergo tertius tertio ęqualis ք 32 p 1: eſt ergo triangulus i g d ęquiangulus triangulo h p u: eſt ergo ք 4 p 6 ꝓportio lineę i d ad d g, ſicut lineę h u ad u p: quare erit ք 22 p 5 ꝓportio lineę e c ad g d, ſicut lineę t n ad u p. Sed cũ angulus c g e ſit æqualis angulo n p t ex hypotheſi, & angulus g c e rectus, ęqualis angulo p n t: erit trigonorũn p t & g c e angulus reliquus reliquo ęqualis. Ergo per 4 p 6 erit ꝓportio lineę e g ad e c, ſicut lineę p t ad n t: eſt igitur proportio lineę g e ad g d, ſicut lineę p t ad u p per 22 p 5: ſed & angulus d g e æqualis eſt angulo u p t ex hypotheſi: quia enim angu lus q p t eſt æqualis angulo b g e, & angulus q p u æqualis angulo b g d: remanet angulus u p t æqualis angulo d g e. Igitur triangulus d g e eſt æquian gulus triangulo u p t per 6 p 6: ergo angulus g d e ęqualis eſt angulo p u t: reſtat ergo per 13 p 1, ut angulus g d z ſit æqualis angulo f u p: ſed in tri gonis g d z & p f u eſt angulus d g z æqualis angulo u p f: quare tertius tertio per 32 p 1: eſt ergo ք 4 p 6 proportio lineę d z ad z g, ſicut lineę u f ad f p: ſed linea u f eſt ęqualis ipſi f p ex præmiſsis. Igitur linea d z æqualis eſt ipſi z g. Quod eſt propoſitũ. Eſt aũtuniuerſalis hęc propoſitio ſiue intra cir culũ ad aliquã partẽ diametri fiat ductio, ſiue ad ipſam peripheriã circuli, ita, ut lineę ductę pars intra circulum fiat ęqualis ſemidiametro: ſiue fiat ductio ad aliquem punctum diametri extra circulum ſic, quòd linea à puncto, quo tangit circuli peripheriam, ſit æqualis parti diametri, quam abſcindit. Patet ergo, quoniam hęc omnia eueniunt ſecundum quantitatem anguli k g d. Et hoc eſt propoſitum.

137. Dato trigono orthogonio, dato́ aliquo puncto in maiore ſuorum laterum rectum angulum continentium: poßibile eſt à dato puncto ducere lineam ad baſim ex alia ſui parte cum reliquo latere concurrentem, quæ ſe habeat ad inferiorem partem abſciſſam baſis, ſicut linea data ad lineam datam. Alhazen 38 n 5.

Sint datę duę lineę, z minor & e maior: & ſit datum trigonum orthogonium a b g, cuius angulus a b g ſit rectus, contentus à lineis g b & b a, & dato exempli cauſſa in g b latere maiore illius trigoni puncto d. Dico, quòd poſsibile eſt à puncto d ad baſim g a ducere lineam ſecantẽ baſim a g in puncto q, & ex alia ſui parte cum linea a b concurrentem in puncto t, ſic ut ipſa totalis linea t q habeat

Fig. 393

a a n m e z h q l b d g d t c
proportionem ad lineam q g illam, quã habet linea e ad lineã z. Ducatur enim à puncto d li nea æquidiſtans lineæ d a per 31 p 1, quę ſit d, m, & fiat circulus tranſiens per tria puncta d, m g per 5 p 4. Et quoniã angulus g d m eſt rectus per 29 p 1, quoniam angulus a b g eſt rectus, erit linea m g diameter circuli per 31 p 3: & ducatur linea d a. Sit quoq h quædam linea, ad quam ſe habeat linea d a, ſicut linea e ad z per 3 huius. Et cum per 29 p 1 angulus d, m, g ſit æqualis angulo b a g: ſecetur ex angulo d m g angulus æqualis angulo d a g per 27 huius: & ſit angulus c m d: & ducatur m c, donec ſecet circumferentiam in puncto c: & à puncto c ducatur linea ad diametrum m g, & uſque ad circumferentiam, quę ſit linea c n, ſecans diame trum m g in puncto l taliter, quòd linea l n ſit æqualis lineę h datę per 133 huius: & ducatur linea n g, & producatur d n linea concurrens cum linea a g in puncto q. Cum igitur angulus d m c ſit ęqualis angulo d n c per 27 p 3: cadunt enim in eundem arcum, qui eſt d c: palàm, quia erit angulus q n l æqualis angulo d a q: & angulus n q l eſt æqualis angulo d q a per 15 p 1: erit ergo per 32 p 1 triangulus n q l ęquangulus triangulo d q a: igitur per 4 p 6 erit proportio lineę a q ad q n, ſicut lineę a d ad n l. Sed cum angulus d m g ſit æqualis angulo d n g per 27 p 3: quia cadunt in eundem arcum d g: eſt au tem per 29 p 1 angulus d m g ęqualis angulo t a g: patet, quia angulus q n g ęqualis angulo t a g. Sit itaque t punctus, in quo linea d n concurrit cum a b: eritq́ per 15 p 1 angulus t q a ęqualis angulo n q g: ergo per 32 p 1 erit triangulus t q a ęquiangulus triangulo g q n: erit ergo per 4 p 6 proportio li neę a q ad lineam q n, ſicut lineę t q ad lineam q g: eſt igitur per 11 p 5 proportio lineę t q ad lineam q g, ſicut lineę a d ad lineam n l: ſed linea n l eſt æqualis h aſſumptæ lineæ, & proportio lineæ a d ad lineam h eſt, ſicut lineę e ad lineam z. Eſt ergo proportio lineę t q ad lineã q g, ſicut lineæ e ad lineam z. Quod eſt propoſitũ. Et ſi contingat quòd à puncto c poſsint duci duæ lineæ ſimiles lineę c l n: erit poſsibile à puncto d duci duas lineas ſimiles lineæ t q, ita ſcilicet, ut utriuſque ad partem, quam ſecat ex baſi a g, ſit proportio, ſicut lineę e ad lineam z: & erit eadem demonſtratio. Plures autem huiuſmodi lineas quàm duas nõ eſt poſsibile duci, ut patuit per 133 huius. Patet ergo propoſitum. Et licet hoc, quod hic proponitur, non uideatur penitus uniuerſale, quantum ad quælibet puncta data, & quaslibet lineas datas, ad quarum proportionem fieri debeat ipſius baſis proportio: nos tamen hoc propoſito theoremate non, niſi modo conuenienti & poſsibili in ſequentibus utemur.

page 61
▼ Liber II ▼