Friedrich Risner, Vitellonis De Optica: Liber II
▲ Liber I ▲

Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber secvndvs.

VNiuerſalibus huius ſcientiæ axiomatibus mathematicis præmißis: in hoc ſecundo libro (ut promiſimus) uniuerſali actioni ſenſibilium formarum quædã præambula naturalia præmittentes, de modo proiectionis luminis per mediũ unius diaphani, uel pluriũ ſuper diuerſas figuras corporum, & de proiectione umbrarũ, & de figuratione lucis cadentis per fenestras aggredimur tractatum, ut de ijs, ſine quibus ſermonẽ uiſibilium formarũ aggredi conueniens non fuit, prout in proceſſu postmodum patebit: quæ uerò præmittimus, ut nota ſenſui, ſunt iſta.

Definitiones.

1. Corpus luminoſum, dicitur omne corpus, quod eſt ſui luminis diffuſiuũ. 2. Cor pus diaphanum dicitur omne corpus, per quod lumini patet tranſitus. 3. Corpus umbroſum dicitur corpus, per quod lumini non patet tranſitus. 4. Lux prima diciturilla, quæ efficit ſecundã, ſicut lux intrans domũ per feneſtrã, & illuminãs domũ reſiduã in loco, cui incidit, dicitur prima: in angulis uerò domus dicitur lux ſecunda. 5. Lux minima dicitur, quæ ſi diuidi intelligatur, nõ habebit amplius actũ lucis. 6. Radius dicitur linea luminoſa. 7. Linea radialis dicitur linea, per quam fit diffuſio formarũ. 8. Linea refracta dicitur linea, cuius partes angulũ continẽt. 9. Pyramis radialis dicitur pyramis, cuius baſis eſt in ſuperficie corporis ſuã formã diffundentis, & uertex in puncto alterius corporis cuiuſcunq. 10. Pyramis illuminatiõis dicitur illa, cuius uertex eſt in pũcto corporis luminoſi, & baſis in ſuperficie rei illuminatę.

Petitiones.

Petimus autẽ hæc, ut per ſe ſenſui nota: 1. Lucẽ cõpreſſam fortiorẽ eſſe luce diſgregata. 2. Item lucem fortiorem uehementius illuminare, & lõgius ſe diffundere. 3. Item in abſentia luminis umbram fieri. 4. Item in allatione luminis umbram defi cere. 5. Item aliquam umbram in ſui termino acui, & ad punctum terminari. 6. Item lucẽ ad omnẽ poſitionis differentiam ęqualiter diffundi. 7. Item lucẽ res coloratas pertrãſeuntẽ illarũ coloribus colorari, ut patet de luce trãſeunte uitreas feneſtras, quę illorũ uitrorũ colorib. informat̃, ſecũ formas illorũ colorũ ſuper obiecta corpora deferendo. 8. Itẽ quòd natura nihil fruſtra agit, ſicut nec deficit in neceſſarijs.

Theoremata

1. Radij quorumcun luminum & multiplicationes formarum, ſecundum rectas lineas protenduntur. Alhazen 2 n 7.

HOc quod hic proponitur, non demonſtratione, ſed inſtrumentaliter poteſt declarari: diuerſitas tamen antiquorũ ad hoc proban dũ pluribus & diuerſis uſa eſt inſtrumentis, nos uerò utimuriſto, quod hic ſubſcribimus, quòd regularius huic ꝓpoſito credimus cõuenire. Aſſumaturitaq uas æneum rotundũ cõuenienter ſpiſſum, ad modum matris aſtrolabij, cuius fundi latitudo ſit unius cubiti, uel maior, & altitudo oræ eius ſit æqualis latitudini duorũ digitorũ perpẽdicularis ſuper baſim uaſis: & in medio dorſi huius uaſis ſit perpendiculariter erectũ aliquod corpus plurimũ rotundũ columnare, cuius longitudo ſit æqualis la titudini trium digitorũ, latitudo uerò eius ſit minor uno digito: & ponatur hoc uas ſecũdũ ſui puncta media in tornatorio, & tornetur quouſq peripheria eius ſit intrinſecus & extrinſecus ueræ rotunditatis, & adæquentur planæ ſuperficies ipſius, & corpus columnare, quod eſt in medio dorſi, fiat rotundũ. Signentur itaq in interiori ſuperficie fundi huius uaſis duæ diametri orthogonaliter ſe ſecantes, quæ ſint a b & c d: palàm, quoniam illę diametri tranſeunt per centrum circuli fundi, quod ſit e: deinde ſignetur in baſi oræ iſtius uaſis, quæ eſt circulus a c b d, in diſtantia extremitatis alterius diametrorum productarum, ut diametri a b, ſecundum latitudinem unius digiti pun page 62 ctum, quod ſit f: & ex hoc puncto tertia trahatur diameter per centrũ e, quę ſit f g: & à duob. terminis iſtius diámetri f g ducãtur duę lineę in intrinſeca

Fig. 394

h n m l ‡ a x r t s c e d z b g o p q k
ſuperficie orę uaſis: quę neceſſariò erunt perpẽdiculares ſuper ſuperficiẽ fundi laminę, ideo, q ſuperficies orę, in qua perpẽdiculares iſtę ꝓducuntur, ſunt erectę ſuper ſuperficiẽ fundi, ut patet ſuprà. Illę quoque perpendiculares ſint f h & g k: & in altera iſtarũ linearũ, ut in f h, ſignentur tria puncta æquidiſtantia ſecundũ quãtitatẽ medietatis grani hordei, quę ſint l, m, n, quorũ primũ, q eſt l, ſit propinquius baſi uaſis & ipſi puncto f, à quo diſtet per quantitatẽ medie tatis grani hordei. Et deinde reducatur uas ad torna torium, & ſignẽtur in ipſo tres circuli æquidiſtãtes, tranſeuntes ք illa tria pũcta l, m, n: ք circuli diuident lineã g k iſti diuiſę lineę, quę eſt f h, oppoſitã, ꝓportionaliter prius diuiſę per 17 p 11, ſintq́ diuiſiones lineę g k puncta o, p, q: & fient in in unoquoq iſtorũ triũ circulorũ duo pũcta oppoſita, q̃ ſunt extremitates alicuius diametri illorũ circulorũ: ut pũcto diuiſionis lineę fh (q eſt punctũ l) opponitur in linea g k punctũ o, & fit linea l o diameter circuli æquidiſtantis circulo a c b d: & ſimiliter linea m p fit diameter alterius circuli, & linea n q fit diameter circulitertij. Diuidatur itaq medius iſtorũ ctrculorũ in 360 partes, & ſi poſsibile fuerit, ք minu ta: deinde ſuper lineã f h alterã duarũ linearũ perpẽdiculariũ, quę ſunt f h & g k, punctũ mediũ, q eſt m, perforetur foramẽ rotundũ: & ſit medietas diametri foraminis ſecundũ quantitatẽ diſtantię circulorũ, quę eſt linea m l: attinget ergo foramẽ illud ambos circulos extremos, & medius circulo rũ diuidet circulũ foraminis ք æqualia, quoniã trãſit ք centrũ foraminis. Deinde accipiatur lamina ænea plana aliquantulum ſpiſſa, & ſit eius ſpiſsitudo ſicut orę ipſius inſtrumẽti, & eius lõgitudo ſit duorũ digitorũ, ſicut & ora uaſis, & eius latitudo ſit prope hoc, & ſit ęquidiſtantiũ ſuperficierũ: pla neturq́ adeò, ut cõmunis ſectio ſuperficierũ ſuę latitudinis & ſpiſsitudinis ſit linea recta, quę ſit r s, diui daturq́ in duo æqualia ք 10 p 1: & ab eius medio puncto, q ſit t, ducatur linea recta perpendiculariter ſuper ipſam lineã r s in ſuperficie latitudinis, quę ſit t u: & hęc, ut patet ex pręmiſsis & per 29 p 1, neceſſario ęquidiſtabit ambabus lineis lõgitudinis, diuidens ſuperficiẽ tabulę per ęqualia: & in hac linea perpendiculari, quę eſt t u, à parte lineę r s, cui ſuperſtat, incipiendo, ſignentur tria pun cta ęqualiter diſtantia ab inuicẽ ſecũdũ quãtitatẽ medietatis grani hordei, quę ſint x, y, z, & à medio iſtorũ pũctorũ, quod eſt y, pforetur lamina foramine rotũdo: ſicq́ foraminis peripheria ad alia duo puncta pertinget, eritq́ hoc foramen ęquale foramini l m n prius facto in
Fig. 395

u g z y x r t s
ora uaſis. Deinde in duo ęqualia diuidatur ſemidiameter uaſis fundi, quę eſt f e, cuius extremitati in ora uaſis ſuperſtat una linearũ perpendiculariũ, quę eſt f h: ſitq́ punctus diuiſionis t: & ab hoc puncto medio t ducatur linea perpen dicularis ſuper eandẽ diametrum, quę ſit r t s: deinde ponatur baſis paruę laminę ſuper hãc lineã, donec linea, quę eſt differẽtia cõmunis latitudinis & ꝓfunditatis laminę, quę eſt r t s, ſupponatur lineę iſti perpen diculari ductę ſuper diametrũ, quę ſimiliter eſt r t s: ſitq́ punctus diuidens lineã laminę, quę eſt cõmunis differentia ſuperficierum latitudinis & profunditatis, qui eſt punctus t, ſuperpoſitus puncto t, ſignato in linea f e ſemi diametro uaſis: deinde cõſolidetur parua lamina fundo uaſis: erit quoq tũc foramẽ
Fig. 396

x y z, quod eſt in parua lamina, quę eſt r u s, directè oppoſitũ foramini l m n, q eſt in uaſis ora: & erit linea recta, quę eſt m y, copulãs cẽtra iſtorũ foraminũ in ſuperficie cir culi medij triũ circulorũ prius ſignatorũ, cuius diameter eſt linea m p: eritq́ linea m y ęquidiſtans diametro uaſis, quę eſt f e. Deinde reſecetur ex ora uaſis pars interiacẽs duas diametros orthogonaliter ſe ſecãtes, quę ſit pars quarta proximè ſequẽs quartã illã, in qua eſt foramẽ, cui foramẽ laminę opponitur: & eſt in circulo a c b d, correſpõdens arcui a d, & planetur locus ſectionis, donec fiat una ſuperficies cũ ſuperficie fun di uaſis. Et ducta quarta circuli, quę ſit a d, ſecundũ quãtitatẽ circuli orę diuidatur in 90 grad. & diuidantur grad. in minuta: & iſti uaſi taliter informato & figurato, deinceps damus nomẽ inſtrumẽti. Deinde accipiatur regula ęnea quadrãgula, cuius lõgi tudo ſit unius cubiti, & ſint quatuor ſuperficies ipſam cõtinentes, latitudinis duorũ digitorũ, & adęquẽtur ſuperficies eius, donec fiant ęquales rectãgulę. Deinde in medio pũcto lõgitudinis regulę, & in medio alicuius illarũ ſuperficierũ fiat foramen rotundũ, cuius amplitudo ſit capax corporis, q eſt in dorſo inſtrumẽti: & ſit foramen perpẽdiculare ſuper ſuperficiẽ regulę trãſiens ad aliã partẽ ſuperficiei oppoſitę, fiatq́ taliter, q reuoluatur in ipſo inſtrumentũ nõ leui reuolutione, ponaturq́ inſtrumen tũ ſuper regulã immiſſo corpore, q eſt in eius dorſo in foramẽ regulę, donec ſuperfi cies inſtrumẽti cõiungatur ſuքficiei regulę: erit q́ lõ git udo regulę ęqualis diametro page 63 inſtrumenti: fiantq́ duæ pinnulæ latitudinis & ſpiſsitudinis regulæ, ſed lõgitudinis pluſquã unius digiti, quę cõſolidẽtur ſuper extremitates regulę, ita, quòd ipſorũ præeminẽtia ſuper extremitates regulæ ſit unius digiti, uel parũ plus, uel minus, & pinnulę illæ cõſolidatę ſint ſuper ſuperficiẽ regu lę nõ perforatã. Et quia latitudo regulę eſt duorũ digitorũ, altitudo uerò corporis in dorſo inſtrumẽti eſt triũ digitorũ, ille tertius digitus, quo corpus pręeminet regulæ, perforetur, ſicut in aſtrolabio, & immittatur cuſpis cõtinens regulã cũ inſtrumẽto. Deinde aſſumatur alia regula ænea, cuius latitudo ſit dupla ſuæ ſpiſs itudini, ſpiſsitudo uerò ſit æqualis diametro foraminis, q eſt in ora inſtrumẽti, & lõgitudo eius ſit æqualis medietati cubiti, fiatq́ hæc regula recta & uera, & eius ſuperfi cies æquales & æquidiſtãtes. Deinde ſecetur illa regula in una ſui parte obliquè, donec finis lõgitu dinis eius cõtineat cũ termino latitudinis angulũ acutũ, ut facilius ualeat moueri. In parte uero altera ſit finis latitudinis eius perpendicularis ſuper finẽ lõgitudinis. Deinde diuidatur linea eius latitudinis in duo æqualia, & à puncto ſectionis ducatur linea ęquidiſtans lineis lõgitudinis: quę erit perpen dicularis ſuper lineã latitudinis per 29 p 1. Cũ itaq hæc regula fuerit ſuperpoſita ſuperficiei fundi inſtrumẽti taliter, ut eius ſpiſsitudo ſit orthogonaliter erecta ſuper fundũ inſtrumenti, & ſuperficies latitudinis applicetur ſuperficiei fundi ipſius inſtrumẽti: tũc erit eius ſuperior ſuperficies in ſuperficie circuli medij triũ circulorũ in ora inſtrumenti protractorum, cuius diameter eſt linea m p: ideo, quia ſpiſsitudo regulę eſt æqualis diametro foraminis, & diameter foraminis, quę eſt n l, eſt æqualis lineæ perpẽdiculari exeunti à cẽtro foraminis ſuper ſuperficiẽ planã inſtrumẽti, quę eſt linea m f, cui adiacet linea ſpiſsitudinis regulę, æqualis ipſi. Cũ itaq propoſitã concluſionẽ experimentaliter placuerit declarare, opponatur inſtrumẽtum pręmiſſum corpori ſolari, uel alteri corpo ri luminoſo cuicunq, uel etiá candelæ, & applicetur cẽtrum foraminis inſtrumẽti, q eſt punctum m, oppoſito corporis luminoſi, ſecundum q melius fuerit poſsibile, tranſibitq́ radius luminoſus cẽtra amborũ oppoſitorũ foraminũ unius in ora inſtrumẽti, & alterius in tabella perforata exiſtentium, quę ſunt m & y: deſcribeturq́ circulus luminoſus in parte orę inſtrumẽti oppoſita foramini l m n directè per diametrũ m p: eritq́ cẽtrum illius circuli luminoſi in puncto p: quod faciliter patê re poteſt, ſi à puncto p ad utranq partẽ peripheriæ circuli medij illorũ trium circulorũ ſecundũ gra dus & minuta diuiſi, partes interiacẽtes luminoſi circuli peripheriã cõputentur: inuenientur enim æquales numeri hinc inde. Eſt ergo punctũ p cẽtrum illius circuli luminoſi: linea itaq m p, ſecundum quã incidit radius, trãſiẽs per cẽtrum circuli utriuſq foraminis, & per centrũ circuli luminoſi, tota eſt in ſuperficie plana circuli medij illorũ trium circulorũ, & eſt diameter illius circuli. Eſt ergo linea recta. Et ſi aliquod corpus forti colore medio coloratũ, ut uiride uel rubeum, ponatur extra foramen oræ inſtrumenti, ita, ut lumẽ ſolis uel alterius corporis tranſiẽs per illud corpus, poſtmodũ incidat foraminibus inſtrumenti, & tranſeat per illa: tunc, ut patuit per 7 pręmiſſarũ ſuppoſi tionũ, circa pũctũ p in ora inſtrumẽti deſcribetur circulus luminis colorati illo colore. Color ergo mixtim cũ lumine diffundit formã ſuã ſecũdũ lineas rectas, ſicut & ipſũ lumẽ. Patet ergo, q radij quorũcũq luminũ & multiplicatiões formarũ ſecũdũ lineas rectas ꝓtendũtur. Et hoc eſt ꝓpoſitũ.

2. Lumen non impeditum, per totum ſibi proportionatum medium in inſtantineceſſa
Fig. 397

a b c d
rium eſt deferri.

Sit linea proportionata delationi luminis fortioris, ut eſt in lumine ſolis mũdi diameter, quę ſit linea a b c d, & ſit corpus fortiter luminoſum in puncto a. Si ergo dicatur, q lumẽ in tẽpore defertur per lineã a b c d, & nõ in inſtãti: ergo in parte illius tẽporis defertur per lineã a b, & in minimo tẽpore ſenſibili feretur ք minimã partẽ ſenſibilẽ lineę a b: quoniã ſi in tempore ſenſibili ferretur per ſpatium inſenſibile, cõtingeret ſpatium ſenſibile ex inſenſibilibus cõponi, ſicut tẽpus mẽſuratum poſt illud ſpatium cõpoſitum ex tẽporibus ſenſibilib. in ſuis partibus: feretur ergo in tẽpore minimo ſenſibili per minimum ſpatiũ ſenſibile: ſed in eodẽ tẽpore feretur per idẽ ſpatium forma luminoſi corporis debilioris illo corpore fortiori lumi noſo: quoniã minimo ſpatio ſenſibili nõ eſt aliquod ſpatiũ ſenſibile minus: etiã minimo tem pore ſenſibili nõ eſt aliquod ſenſibile tẽpus minus. Æ qualis ergo uirtutis erunt lumẽ fortius & debilius: quod eſt impoſsibile, quoniã implicãtur cõtradictoria. Eſt ergo impoſsibile lumẽ in tẽpore per proportionatum ſibi medium diffundi: neceſſe eſt ergo, q illa diffuſio fiat in inſtãti. Quod eſt ꝓpoſitum. Ad hoc etiã aliquę deſeruiunt naturales rationes Ariſtotelis, quas, qui uoluerit, percurrat, quia ſufficit nobis hoc unum inconueniens ſecutum.

3. Omnis linea, qua peruenit lux à corpore luminoſo ad corpus oppoſitum, eſt linea naturalis ſenſibilis, latitudinem quandam habens, in qua est linea mathematica imaginabiliter aſſumenda. Alhazen 16 n 4.

Lux enim nõ procedit niſi à corpore, quoniã nõ eſt niſi in corpore: unde patet, quia in minima lu ce, quę ſumi poteſt, eſt latitudo: quoniã minimã lucẽ dicimus, quæ ſi diuidatur, non habet am plius actum lucis, quia nõ erit uiſibilis, ſed utraq pars extinguetur, quia neutra pars eius erit lux, neque apparebit ſenſui. Eſt ergo in linea radiali, ſecũdum quã fit diffuſio luminis, aliqua latitudo, propter quã ineſt ei ſenſibilitas, & in medio illius lineæ eſt linea mathematica imaginabilis, cui oẽs aliæ lineæ mathematicæ in illa linea naturali ęquidiſtantes erunt. Et quoniã lux minima procedit ad minimã corporis partẽ, quã lux occupare poteſt: neceſſe eſt, quòd proceſſus eius ſit ſecundum lineam page 64 mathematicã, quę eſt in medio lineę ſenſibilis, & ſecundum lineas extremas ęquidiſtãtes lineę mediæ: neq cadit lux minima in punctum mathematicum corporis oppoſiti, ſed in punctum ſenſibilẽ correſpondentẽ omnibus punctis mathematicis indiuiſibilibus, ad quos lineæ mathematicæ ipſius lineæ ſenſibilis poſſunt terminari: & ob hoc utemur in demonſtrandis paſsionibus lucis figuratione linearum mathematicarum in proceſſu.

4. Corpora diaphana ſunt apta penetrationi luminis & coloris ſine eſſentiali ſui tranſmuta tione. Alhazen 28 n 1.

Hęc enim corpora ꝓprietatẽ habẽt, ut nõ ꝓhibeant formas lucis & coloris ſe penetrare: attamẽ nõ mutantur à lucibus uel coloribus, nec alterantur ab eis alteratione fixa: ſed fit per illa diffuſio lu cis & coloris ſecundum lineas rectas per 1 huius: quarum aliquæ ſunt ęquidiſtãtes, aliquę ſecantes ſe, & quæ dã diuerſi ſitus: & omnium iſtarum linearum diſtinctio fit per diſtinctum ſitum corporis luminoſi, à quo fit diffuſio illius lucis uel coloris. Formæ itaq lucis & coloris extẽſæ à corporibus diuerſis in e o dẽ diaphano, extenduntur quęlibet ipſarum ſecundum lineam rectã, & pertranſeunt ad corpora oppoſita. Corpus uero diaphanũ nõ tingitur per luces uel colores, ſed ſolùm penetratur: neq enim talia corpora propter luces & colores perdunt ſuas formas, neq tinguntur per luces & colores tinctura fixa: quia in eis non remanent formę lucis uel coloris poſt receſſum lucis uel co loris ab ipſorum oppoſitione. Non ergo tranſmutantur illa corpora eſſentiali tranſmutatione per luces & colores. Quod eſt propoſitum.

5. Luces & colores in corporibus diaphanis non admiſcentur adinuicem, ſed penetrant diſtincti. Alhazen 29 n 1.

Huius rei experimẽtaliter declarãdæ cauſſa, ponãtur in loco aliquo candelæ multæ localiter diſtinctæ: & ſint oẽs oppoſitę uni foramini pertrãſeunti ad locũ obſcurum, & opponatur foramini in loco obſcuro aliquod corpus non diaphanum. Luces itaq cãdelarum apparent ſuper illud corpus diſtinctè ſecundum numerum candelarũ, & quælibet illarum apparet oppoſita uni candelę ſecundum lineã rectã tranſeuntẽ per foramẽ & per medium luminis candelæ: & ſi cooperiatur una cãdela, deſtruetur unum lumẽ oppoſitum illi cãdelæ tantùm, & diſcooperta cãdela, reuertitur lumẽ. Pa làm itaq, q luces in medio foraminis, ubi ſe interſecãt oẽs uel plures in puncto uno, nõ admiſcen tur in eodẽ puncto, ſed ſunt diſtinctæ per ſui ipſarum eſſentias: & ob hoc cum ulterius ꝓtẽduntur, tunc ſecundum locorum, quibus incidũt, diuerſitatẽ localiter diſtinguuntur. Et quoniã luxres coloratas pertranſiẽs, illarum coloribus coloratur, ut ſuppoſitum eſt: palàm, ſi lumẽ penetrat diſtinctum, & colores, qui feruntur cum lumine, penetrabunt diſtincti. Patet ergo propoſitum.

6. Proportio uirtutis totius corporis luminoſi ad totum corpus luminoſum eſt, ſicut determinatæ partis uirtutis ad partem corporis ſibi proportionalem.

Sit corpus aliquod luminoſum a b. Dico, quòd ꝓportio uirtutis totius corporis a b ad totũ cor pus a b eſt, ſicut proportio partis uirtutis, quæ

Fig. 398

a b g d
eſt a, ad partẽ corporis, quę eſt a. Si enim non eſt iſtorum eadẽ ꝓportio: aut ergo maior, aut minor: ſit primũ maior: & ſit uirtus totius cor poris a b ſignata per lineã g d: ſitq́ g uirtus partis corporis, quæ eſt a, & d ſit uirtus partis corporis, quæ eſt b: quę eſt ergo proportio g ad a, eadẽ eſt ꝓportio d ad b: ergo per 18 p 5 erit cõiunctim g d ad a b, ſicut g a d a. Si ergo ꝓportio g ad a eſt maior ꝓportione g d ad a b: erit quoq maior ꝓportio g d ad a b,  g d ad a b: quod eſt impoſsibile: nõ enim poterunt eſſe unius rei ad aliã duę ꝓportiões, quarum una ſit maior alia. Idẽ quoq accidit impoſsibile danti, q minor ſit ꝓportio g partis uirtu tis ad partẽ corporis, quę eſt a,  g d uirtutis ad a b corpus. Si enim minor eſt proportio g ad a,  g d ad a b: & quę eſt g ad a, eadẽ eſt d ad b: erit ergo per 18 p 5 cõiunctim proportio totius uirtutis, quæ eſt g d, ad corpus a b, minor proportione g d ad a b: quod eſt impoſsibile. Eſt ergo proportio g ad a, ſicut g d ad a b. Et hoc eſt propoſitum: & eſt uniuerſale, niſi fortè aliquid cõferat unio uirtuti: quoniam uirtus unita ſemper eſt fortior ſe ipſa diuiſa: unde tenet noſtra demonſtratio, quando partes non diuiſæ à toto, agunt in ipſo toto non actualiter diſtinctę: cum enim diſtinctæ ſunt à toto, tunc non ſunt partes: quia nomen partis, id quod dicit philoſophus, ſignat potentiam, non actum: & de hoc completus in alijs ſermo fuit.

7. Omnis corporis luminoſi intr anſmutabilis ſecun dũ formã & ſitũ, in corpus aliud æquale et homogeneũ
Fig. 399

a b g c d
idẽ immediatè uel per medium uniforme oppoſitũ, eſt ſemper actio æqualis & uniformis.

Sit enim dati alicuius corporis luminoſi uirtus a: & ſit corpus æquale & homogeneũ eidẽ oppoſitũ b g: & ſit im preſsio uirtutis a in b g corpus ſignata ք c. Dico, quòd a ſemper imprimit in corpus b g impreſsionẽ c, quę eſt ſem per æqualis ſibijpſi & uniformis. Si enim detur, quòd a quãdoq imprimit in corpus b g impreſsionem, quę eſt c, quãdoq uerò nõ imprimit c, ſed aliud maius uel minus ipſo c, ut d: tũc cũ corpus obiectũ ſit homo page 65 geneum & uniforme: erit diuerſitas impreſsionis nõ à corpore b g patiente, ſed à uirtute a diuerſifi cata in ſe: hoc aũt eſt impoſsibile, cũ corpus luminoſum poſitum ſit intranſmutabile ſec undum for mam & ſitum. Eſt ergo ipſius actio ſemper æqualis & uniformis in corpus eidẽ immediatè uel per medium uniforme oppoſitum. Et hoc eſt propoſitum.

8. Neceſſe eſt terminum longitudinis cuiuslibet umbræ radium luminoſum eſſe.

Quod hic ꝓponitur, ſatis patet ք p̃miſſa principia. Quoniã enim ք 3 ſuppoſitionẽ ſolũ in abſentia luminis fit umbra, & ք 4 ſuppoſitionẽ in allatione luminis umbra deficit: tũc neceſſariò oportet in tanto ſpatio umbrã cauſſari, in quãto lumẽ deficit: & ubi lumen accedit, ibi umbra deficit. T ermi nus ergo lõgitudinis cuiuslibet umbrę cum ſit linea: patet, quòd oportet, ut illa linea ſit luminoſa. Eſt ergo illa linea radius luminoſus per 6 definitionem. Patet ergo propoſitum.

9. À[?] terminis æquidiſt ãtiũ altitudinũ corporis luminoſi altioris, & corporis umbroſi baßioris productæ lineæ cõcurrẽtes, ſunt ſuis altitudinib. proportionales. Ex quo patet, quòd eadẽ altitudo corporis umbroſi ex lumine baßiori longiorem proijcit umbram quàm ex lumine altiori.

Sit altitudo corporis umbroſi cuiuſcũq linea a b: & ſit altitudo alia illi æquidiſtãs ipſius corporis luminoſi, quæ ſit d e: ſitq́ linea d e maior quàm li

Fig. 400

l h a e b g k
nea a b: ꝓducãturq́ lineæ e b & d a, quę ꝓtractæ concurrent ad aliquam partẽ in puncto g per 16 t 1 huius. Dico, quòd erit ꝓportio lineę g b ad lineã g e, & lineę g a ad lineã g d, ſicut lineæ a b ad lineã d e. Quia enim linea b a æquidiſtat lineæ d e ex hypotheſi: palàm ergo ք 29 p 1, quoniã angulus g b a eſt æqualis angulo g e d, & angulus g a b æqualis angulo g d e: angulus quoq b g a cõmunis eſt ambobus trigonis d g e & a g b: ergo ք 4 p 6 eſt ꝓportio lineæ g b ad lineã g e, ſicut lineæ b a ad lineã e d: ergo ք 5 t 1 huius, erit è cõtrario proportio lineę g e ad lineã b g, ſicut lineę e d ad lineã a b. Palàm ergo eſt ꝓpoſitũ: quoniã eodem modo demonſtrari poteſt de lineis g a & g d. Et ex hoc patet, quoniã eadem altitudo corporis umbroſi ex lumine baſsiori lõgiorẽ proijcit umbram  ex lumine altiori. Eſto enim q aliquod corpus luminoſum ſit in puncto h: cadatq́ radius h a in punctũ lineæ e g, q ſit k: eritq́ ք pręmiſſum modũ ꝓportio e k ad b k, ſicut h e ad a b: ſed ք 8 p 5 ꝓportio h e ad a b eſt minor  d e ad a b: ſed ꝓportio d e ad a b eſt, ſicut ꝓportio e g ad b g, ut patuit: ergo ք 11 p 5 ꝓportio e k ad b k eſt minor  e g ad b g. Multũ ergo excreuit umbra b k reſpectu umbrę b g, ut patet ք 10 p 5 & per 4 t 1 huius. Et ex hoc accidit, quòd umbræ lunares ſemper ſunt lõgiores quàm umbrę ſolares: & ita eſt de alijs corporibus luminoſis altioribus & baſsioribus quibuſcunq. Patet ergo propoſitum.

10. Omnem r adium luminoſum per medium unius diaphani trans uerticem alicuius corporis umbroſi protenſum, neceſſe est eſſe lineam unam rectam.

Remaneat totalis diſpoſitio proximæ præcedẽtis, & ſit punctus g finis umbrę. Quia itaq, ut patet ք 8 huius, cuiuslibet umbrę terminus eſt radius

Fig. 401

d u a u e b g
luminoſus: dico, quòd ille radius terminãs umbrã eſt linea recta, ut eſt in propoſita figura linea d a g. Si enim nõ eſt recta linea d a g, tũc cũ d a linea ſit recta ք 1 huius, ideoq́ nullã habet cauſſam impedimẽti in ꝓgreſſu, & linea a g ſimiliter eſt recta ք idẽ: cõiũgun tur ergo lineę d a & a g angulariter in pũcto a: ſubtẽdatur ergo illi angulo, utcũq cõtingat, baſis à pũctis d & g: & ſit linea d u g recta: & ꝓtrahatur uel abſcindatur linea a b: trigonũ itaq e d b g diuiditur ք lineã b u æquidiſtãtẽ lineæ e d: ergo ք 29 p 1 erũt trigoni e d g & b u g æquianguli: ergo ք 4 p 6 erit ꝓportio lineę g e ad lineã g b, ſicut lineæ e d ad lineã b u: ſed ք proximã p̃miſſam eſt ꝓportio lineæ g e ad lineã g b, ſicut lineæ d e ad lineã b a. Eſt ergo ք 11 p 5 eadẽ proportio lineę d e ad ambas lineas b u & b a: q eſt cõtra 8 p 5 & impoſsibile: ad minorẽ enim maior, & ad maiorem minor eſt proportio: uel ſequetur maiorem lineam eſſe æqualem minori per 9 p 5: hoc au tem eſt impoſsibile. Oportet ergo ut radius d a g ſit linea una recta. Quod eſt propoſitum.

11. Omnia corpora denſa non diaphana in partem luminoſo corpori aduerſam, umbrã proijciunt uſ ad incidentiam radij per rei denſæ uerticem producti.

Quia enim in corporibus dẽſis nõ diaphanis natura diaphanitatis & tranſparentiæ eſt impedita ք admixtionẽ corporũ opacorũ terreorũ: ſunt enim omnia talia naturæ terre à dño: neceſſo eſt er page 66 go, ut trãſitũ luminis im pediãt: ergo ք 3 petitionẽ in abſentia luminis umbroſitatẽ efficiũt in ea par te, in qua ք ipſas luminis acceſſus impeditur: hoc aũt

Fig. 402

d a b c
eſt in parte aduerſa corpori luminoſo. Sit aũt aliquod taliũ umbroſorũ corporũ, cuius altitudo ab horizõte ſit a b, & eius uertex a: & ſit corpus luminoſum altius  linea a b, cuius aliquis ſupremus punctus ſit d: radij itaq in tota linea a b incidẽtes, impediuntur à trãſitu ꝓpter corporis opacitatẽ: cadat uerò radius d c pro xi mus ſupra radiũ d a: hic ergo radius, ꝗ a nõ impeditur, trãſit ultra corpus a b: in ſua ergo incidentia, q̃ ſit c, affert lumen. Deficit ergo umbra. Et patet propoſitum.

12. Aequalium altitudinum corporum umbroſorum, quod fuerit corpori luminoſo ſe altiori propinquius, breuiorem facit umbram.

Sit ſupremus pũctus corporis luminoſi g, q ſit altius duob. corporibus umbroſis: cuius altitudo à ſupficie horizontis ſit linea a g: ſintq́ duorũ corporũ um broſorũ æquales altitudines erectę ſuper lineã a b, ꝓductã in ipſa ſuperficie horizõtis, q̃ ſint d e & z h: qua

Fig. 403

g e h a d z t k b
rũ d e ſit ꝓpinquior corpori luminoſo a g, & z h remo tior: ducaturq́ ք uerticẽ corporis d e radius g e t, ꝗ erit line a una ք 10 huius: & ք uerticẽ corporis z h duca tur radius g h b: erit itaq ք p̃miſſam corporis d e umbra d e t: & corporis z h umbra z h b. Dico, q umbra d e t eſt minor  umbra z h b. Ducatur enim à pũcto h linea æquidiſtãs lineæ e t ք 31 p 1, q̃ ſit h k: palãq́ ք 2 t 1 huius, quoniã linea h k cõcurret cum linea a b, cũ qua cõcurrit eius ęquidiſtãs, q̃ eſt linea e t. Et quoniã lineę h b & e t cõcurrũt in pũcto g ſupremo pũcto coporis luminoſi: cadet ergo punctũ k ք 2 & 14 t 1 huius inter duo pũcta t & b. Copuletur ergo linea e h, q̃ ք 33 p 1 & ex hypotheſi æqualis & æquidiſtãs erit lineæ d z: ſed per 34 p 1 lineę e h & t k ſunt æquales: lineę ergo t k & d z ſunt ęquales. Addita ergo linea z t utriq, erit linea d t æqualis lineæ z k: ergo per 1 p 6 umbra z h k eſt æqualis umbrę d e t: quoniam ſunt eiuſdem altitudinis ex hypotheſi: ſed umbra z h k eſt minor quàm umbra z h b: quoniam eſt pars eius. Ergo & umbra d e t eſt minor quàm umbra z h b. Patet ergo propoſitum.

13. Vmbra lineæ rectæ perpendiculariter corpori luminoſo oppoſitæ, infixæ ſuperſiciei corporis denſi nulla eſt: eleuatæ uerò eſt linearis: apparet autem punctualis.

Si enim ք ſuppoſitionẽ 3 in abſentia luminis fit umbra: tũc patet, q ſi lineã mathematicã naturalis corporis ſuքficiei infixã accidat luminoſo corpori քpendiculariter offerri, nõ impedietur, niſi unica linea radialis à trãſitu cũ alijs lineis radialibus, q̃ tráſeunt ad ſuքficiẽ illius corporis: nulla uerò aliarũ linearũ radialiũ impeditur ꝓpter obiectũ illius lineę: aliàs enim accideret duas uel plures lineas radiales cũ una linea քpendiculari ipſis obiecta in uno pũcto cõcurrere: q eſt impoſsibile, ꝗa indiuiſibilia in nullo ſe excedũt. Cũ aũt radius nõ ſit aliud  linea luminoſa, ut patet ք 6 definiti onẽ: palã, q radius ad modũ lineę incidit ſuքficiei corporis ſecũdũ pũctũ: ergo & impeditur ſecũdũ pũctũ: ſed in allatione luminis umbra deficit ք 4 ſuppoſitionẽ. Quia ergo unicus radius eſt impeditus, & ille incidit ſecũdũ pũctũ: palã, q nõ manet aliqua umbra. Cũ uerò linea eleuatur fuper dẽſi corporis ſuքficiẽ, ubicũq ſub linea ponatur dẽſa ſuքficies, umbra inuenitur: & ſi ք diuerſa pun cta fiat deſcẽſus, palã ꝗa umbra proijcitur linearis, eò q inter quælibet duo pũcta eſt lineã mediã ducere: apparet aũt ſemper punctualis in cõcurſu ſui cum ſuperficie corporis denſi: quia ibi ſolùm cum umbra denſitatis ſuperficiei commiſcetur. Patet ergo illud, quod proponebatur.

14. Vmbra ſuperficiei planæ cuiuſcun figuræ perpendicularis ſuper ſuperficiẽ corporis lumi noſi, infixæ corpori denſo nulla eſt: eleuatæ uerò eſt ſuperficialis: ſed apparet linearis recta.

Hoc patet ք p̃cedẽtẽ: ad quẽlibet enim pũctũ lineę terminãtis quãcunq datã ſuperficiẽ corpori luminoſo քpẽdiculariter oppoſitã, cõtingit ducere lineã քpẽdiculariter oppoſitã corpori luminoſo. Vmbra ergo cuius libet illarũ linearũ, ſuքficie ꝓpoſita exiſtẽte infixa corpori denſo, nulla eſt: ergo neq umbra totius ſuքficiei fit aliqua. Eleuata uerò ſuperficie oppoſita ab illo dẽſo corpore, umbra cuiuslibet illarum linearũ ք præcedentẽ propoſitionẽ eſt punctualis: aggregata uerò talia pun cta uidentur lineam conſtituere: apparet ergo umbra ſuperficiei taliter eleuatæ umbra linearis. Et quoniam ſuperficies circulares ex ſuis diametris uel alijs perpendiculariter ſuper corpus luminoſum productis, non accipiunt niſi puncta umbrarum, quæ ad lineam rectam inferius concurrunt, quia impediunt tranſitum rectæ lineæ, fit ipſarum umbra linearis recta: non enim cauſſantur um page 67 bræ à figura quorumlibet obiectorum, niſi ſecundum quod tranſitus luminis impeditur. Cuiuſcunque ergo figuræ fuerit propoſita ſuperficies, umbra apparẽs ſemper erit ſuperficialis: uidebitur autem linearis propter præmiſſas cauſas. Patet ergo propoſitum.

15. Omnis corporis denſi, cuius æqualis uel amplior eſt baſis, contrapoſita ſibi ſuperficie perẽdiculariter corpori luminoſo oppoſiti, infixi corpori denſo umbra nulla eſt: eleuati uerò eſt corporalis: uidetur autem ſuperficialis.

Verbi gratia: ſit columna rotunda, uel aliud corpus, cuius baſis ſit æqualis uel amplior ſuperficie illius eiuſdem corporis contrapoſita ipſi baſi, ſi ipſius corporis ſuperficies nõ terminetur ad unum punctum, ut eſt in pyramide, quod infigatur ſuperficiei alicuius corporis ſolidi, & perpendiculariter opponatur corpori luminoſo: dico, quòd uerũ eſt, quod proponitur. Si enim illud corpus ſit columna rotunda uel aliud corpus, cuius baſis ſit ęqualis ſuperficiei contrapoſitę baſis, & aduerſę cor pori luminoſo, patet, quoniam radij luminoſi ex omni parte ſecundum lineas longitudinis perueniunt ad baſim: nulla ergo fit umbra. Et idem patet, ſi illud corpus ſit pyramidale: uel ſi baſis ſit maior ſibi contrapoſita ſuperficie aduerſa corpori luminoſo: tunc enim lumen nullatenus impeditur, quod tamen accideret, ſi ſuperficies aduerſa corpori luminoſo, eſſet amplior ipſa baſi corporis umbroſi: tunc enim impedito tranſitu luminis, cauſſaretur umbra. Sed quacunq figura corporis exiſtẽ te, ſi ipſum eleuetur ab alio corpore, cui fuit infixũ, apparebit umbra ſuperficialis: ſuperficies enim ſecantes corpus, & perpendiculariter ſuperficiei corporis luminoſi incidentes, umbram conſtituũt linearẽ per pręmiſſam. Et quia tota ſuperficies corporis oppoſita luminoſo corpori per tales ſuքficies exhauritur, lineę uerò tales cõiunctę ſuperficiẽ conſtituũt: palã, omnis corporis ſic diſpoſiti um bram ſuperficialem apparere: erit autem illa umbra neceſſariò corporalis: quoniam erit dimenſionata dimenſionibus corporis: quod poteſt declarari, ut prius. Patet ergo propoſitum.

16. Longior radius ad ſphæramuel circulum columnæ uelpyramidis rotundarum perueniẽs, quaſi linea contingens eſt.

Sit circulus magnus ſphæræ uel columnæ uel pyramidis rotundę, qui d g: cuius centrum ſit pun ctum a, & diameter d g. Et quoniam lumen ad omnem differen

Fig. 404

g a d b e z
tiam poſitionis ſe diffundit, ſicut patet per 6 ſuppoſitionem: ſit punctum corporis luminoſi z, cuius lumen ſe diffundat ſuper circulum d g: ducaturq́ linea z a à pũcto corporis luminoſi ad centrum illuminati circuli: & ſecundum diametrum a z deſcribatur circulus, ſecans circulum d g in punctis e & b: & copulen tur radij z e, z b. Dico, quòd radij z e & z b ſunt contingentes ſphæram, uel aliud aliorum corporum: & quòd nulli radij longiores illis poſſunt ad illa corpora peruenire. Ducantur enim à centro circuli d g (quod eſt punctum a) ad puncta ſectionum b & e, lineę a e & a b. Palàm ergo per 31 p 3, quoniam duo anguli z e a & z b a ſunt recti: ergo per 16 p 3 patet, quòd lineæ z e & z b contingunt circulum d g: productæ ergo non ſecabunt circulum d g: ſuntitaq lineæ z e & z b longiores lineę, quę à puncto z ad illa corpora duci poſſunt. Si enim detur, quòd aliqui longiores radij duci poſsint à puncto z ad illa corpora: patet per 8 p 3, quòd illę non cadent in arcum e b: ipſæ ergo productę ſecabunt lineas z e & z b prius, quàm perueniant ad arcus e d uel b g: duę itaq lineę rectę includent ſuperficiem: quod eſt impoſsibile. Et hoc quidem non ſolùm demonſtrabile eſt in corporibus illuminandis, ſed etiam per eundem modum demonſtrari poteſt de corporibus luminoſis: quia & ab illis longior radius in obiecta corpora incidens, ipſa corpora l‡ minoſa eſt contingens. Patet ergo propoſitum.

17. Impoßibile eſt, ut lumen egrediens à corpore luminoſo, egrediatur tantùm à centro corporis luminoſi. Ex quo patet, quòd neceſſe eſt à quolibet puncto ſuperficiei corporis luminoſi diffundi radios luminoſos.

Si enim dicatur, quòd radij luminoſi tantùm

Fig. 405

u d b ‡ c h g z e a
egrediuntur à centro corporis luminoſi: ſit cor pus luminoſum circulus a b: cuius centrum g: ſitq́ corpus illuminatum circulus d e: & à centro g corporis luminoſi egrediantur duo radij longiſsimi, qui poſſunt ab illo puncto g corpori illuminando incidere, qui per præmiſſam erunt duæ lineæ contingentes fines corporis illuminati, quę ſint g d u, & g e z: & puncta contactuũ, quæ ſint d & e, copulentur per lineã d e: & ei æquidiſtanter ducatur linea u z per 31 p 1, eritq́ue pars corporis illuminati, ſuper quam cadit lumen, pars d h e: & pars obſcura, ſuper quam non cadit lumen, quæ d c e. Et quia pars, ſupra quam page 68 non cadit radius, non illuminatur: ergo pars contenta ſub terminis u d c e z eſt umbroſa, o bſcurans lineas d e & u z ęquidiſtantes: ſunt itaq per 29 p 1 trigoni u g z & d g e æquiãguli: quia angulus d g e eſt communis ambobus trigonis. Eſt ergo per 4 p 6 proportio lineæ g e ad lineã g z, ſicut lineæ d e ad lineam u z: ſed linea z g eſt maior quàm linea e g: ergo linea u z eſt maior quàm linea d e. Vmbra ergo corporum omnium (cuiuſcunq ſint proportionis ipſarum diametri ad diametros corporis lu minoſi) ſemper eſt maior corpore umbroſo, & ſemper augmentantur ſecundum modum, quo elon gantur ultra corpus umbroſum, cuius contrarium notum eſt ſenſui, Vnde fuit ſuppoſitum in princi pio aliquam umbram in ſui termino acui, & ad punctum terminari. Palàm ergo eſt propoſitum. Et cum lumen egrediatur à corpore luminoſo, & non ſolùm à centro, ut oſtendimus, manifeſtum eſt corollarium: quoniam à quolibet puncto ſuperficiei corporis luminoſi neceſſe habet egredi ad cor pora illuminanda: corpus enim luminoſum ſecũdum quodlibet ſui punctum unigeneum eſt: unde qua ratione dabitur ab uno puncto ſuæ ſuperficiei lumen diffundi, eadem ratione dabitur de quoli bet aliorum punctorum. Patet ergo propoſitum.

18. Impoßibile eſt, ut à ſuperficie corporis luminoſi egrediantur radij ſolùm æquidiſtanter corpori illuminando incidentes.

Si enim hoc dicatur eſſe neceſſarium, tunc ſequeretur euidens impoſ

Fig. 406

a b z z g d u h e
ſibile. Sit enim corpus luminoſum, cuius diameter a b: & corpus illumina tum d g: & producantur à corpore luminoſo duo radij longiores, qui per 16 huius erunt duę lineę contingentes fines corporis g d: quę ſint a g u & b d e, & ſint æquidiſtantes ex hypotheſi: pars quoq illuminata, ſuper quã cadit lumen, ſit g z d, & pars ſuper quã cadit umbra, ſit g h d. Vmbra ergo continetur à duabus lineis e d & u g, quę ſunt æquidiſtantes. Si ergo unicuiq corpori illuminando correſpondeat æqualis ſibi pars corporis illuminantis (tunc enim ſolum ſecundum lineas æquidiſtantes radij incidẽt per 33 p 1) patet ergo, quòd omnis umbra in omni ſui parte æqualis erit ſuæ rei umbroſæ: igitur non augebitur umbra, neq minuetur, ſed proten detur ſemper in infinitum: quod eſt contra ſuppoſitionem: habet enim aliqua umbrarum terminum acutum: eſt ergo hoc impoſsibile: oppoſitum eſt ergo neceſſarium. Et hoc eſt propoſitum.

19. Omnis punctus corporis luminoſi eam partem corporis umbroſi illuminat, ad quã ab eodem pũcto rectas lineas poßibile eſt produci. Ex quo patet, quòd unus punctus luminoſi corporis non illuminat omne umbroſum corpus.

Sunt enim corpora luminoſa unigenea in ſuis partibus: non ergo diuerſificatur effectus ſuarum partium, neq eſt poſsibile, ut ab una parte illuminent, & non ab alia: non tamen ab uno puncto cor poris luminoſi ad quodlibet punctum umbroſi corporis poſſunt rectæ lineæ produci: & ob hoc unus punctus non illuminat omnia, ſed illuminantur corpora umbroſa à diuerſis punctis corporis luminoſi. Sit enim corpus luminoſum circulus a b: quem contingat linea d g ſuper punctum a per 17 p 3:

Fig. 407

g z a h d t e u b
ſitq́ corpus illuminatum concauum arcus e u, & ſecet ipſum linea d g ſuper duo pũcta z & h. Dico, quòd poſ ſibile eſt omnem arcum z h illuminari à puncto a corporis luminoſi: quoniam, ut patet, poſsibile eſt, ut ab omni puncto arcus z h ducatur linea recta ad punctũ a: ſed ab arcu z e, & ab arcu h u aliquas lineas duci ad punctum a eſt impoſsibile per 16 p 3: quoniam inter li neam g d contin gentem circulum, & inter ipſum circu lum a b aliquam lineam rectam intercipi eſt impoſsibi le. Si ergo aliqua linea ab aliquo punctorum illorũ arcuũ ducatur ad punctũ a, illa neceſſariò ſecabit circulum, ſicut linea u a ſecat circulum a b in puncto t, priuſquã perueniat ad pũctũ a. Et ſimiliter eſt de omnib. lineis à quocunq puncto arcuum u h & z e ad punctũ a productis: oẽs enim ſecant circulũ a b in alio puncto ab ipſo puncto a, priuſquã perueniãt ad punctũ a. Radius itaq exiẽs à puncto a, nõ illuminat ambos arcus u h & z e, ſed ſolũ arcũ h z: ſed illos arcus ab alijs punctis luminoſi corporis circuli a b, à quib. ad eoſdem arcus rectę poſſunt produci lineę, nihil prohibet illuminari. Et ſimiliter eſt de alijs quibuſcunq corporib illuminatis: quoniã ſi corpora cõcaua (de quibus plus uidetur, quòd poſsint ab uno puncto illuminari) nõ illuminantur ab uno puncto corporis luminoſi: ergo multo minus corpora recta plures planas ſuperficies habentia, uel corpora ſphærica, uel alia conuexa, poſſũnt ab uno puncto luminoſi corporis illuminari. Patet ergo propoſitum & eius corollarium.

20. À puncto cuiuslibet corporis luminoſi lumen diffunditur ſecundum omnem rectam li page 69 neam, quæ ab illo puncto ad oppoſit am ſuperficiem duci poteſt: unicatantùm linea perpendiculariter ſuperficiei obiecti corporis incidente. Ex quo patet, lucem cuiuslibet puncti corporis lumi noſi ſecundum pyramidem illuminationis diffundi.

Quòd enim lux cuiuslibet puncti corporis luminoſi diffun datur ſecundum omnem lineã ducibilem ab illo puncto ſuper ſuperficiem corporis obiecti, ad omnem poſitionis differentiã, hoc patet per præmiſſam. Quòd autem unica tantũ linearum ab aliquo uno puncto corporis luminoſi produ ctarũ ad ſuperficiẽ unam corporis oppoſiti ſit perpendicularis, hoc patet ex 20 t 1 huius. Vnica ergo linea perpendiculariter incidit ſuperficiei ſibi oppoſitæ: omnes uerò aliæ lineæ ab eodem puncto productæ incidunt obliquè. Patet ergo ex hoc, quòd cuiuslibet puncti corporis luminoſi lumen ſecundum pyramidem illuminationis diffunditur, cuius uertex eſt in puncto corporis luminoſi & ba ſis in ſuperficie corporis obiecti: & hoc quidem inſtrumẽtaliter patet per 1 huius. Lumine enim trã ſeunte foramen inſtrumenti, cuius cẽtrum eſt punctum m, & diffuſo ipſo in partem oppoſitam oræ inſtrumenti ſecundum circulum, cuius centrum eſt punctum p: erit circulus p maior circulo m: q ſenſibiliter poteſt uidèri, computatis hinc inde partibus in ora inſtrumenti, quę interiacẽt peripherias illorum circulorum & centra. Patet ergo propoſitum.

21. Corporis umbroſipars, cui à pluribus partibus corporis luminoſi lumen incidit, plus illuminatur, quàm pars, cui à pauciorib. Ex quo patet, unumquod umbroſum circa radium ſibi ṕerpendiculariter incidentem plus illuminari.

Sit corpus luminoſum circulus a b g: cuius centrum ſit punctũ d: ſitq́ arcus ſui cõuexitate reſpiciens corpus illuminandum (qui a b g) diuiſus per æqualia in puncto b: & ducatur linea z c contingens circulum in puncto b per 17 p 3: & in puncto g contingat circulum linea i k, & in puncto a linea t h: ſitq́ue corpus umbroſum arcus k z t i c h: ducatur quoq linea d b l à centro corporis luminoſi ad corpus umbroſum: eritq́ hęc perpendicularis ſuper lineã c z,

Fig. 408

t ſ ‡ z b c ‡ a k h d
contingẽtem circulũ in puncto b per 18 p 3: unaquęq igitur partium arcus h t illuminatur à puncto a corpo ris luminoſi per 19 huius: punctus ergo lilluminatur à puncto a. Similiterq́ arcus k i illuminatur à puncto g: ergo & punctus l, totusq́ arcus z c illuminatur à pũ cto b: ergo & punctus l: punctus itaq l illuminatur à tribus punctis corporis luminoſi, ſcilicet punctis a, b, g, & totus arcus t i eſt communis illuminationi trium punctorum a, b, g: arcus uerò c i eſt cõmunis duabus tãtùm illuminationib. punctorum a & b: arcus quoq z t eſt ſimiliter cõmunis duabus tãtũ illuminationib. punctorum b & g: quoniam eſt cõmunis arcubus z c & k i ab illis duobus punctis illuminatis: arcus uerò h c illuminatur tãtùm ab uno puncto a, & arcus z k ab uno tantũ puncto g. Illuminatio ergo arcus ti triplicatum habet lumen, quod arcus z t & c i habent duplum, & quod arcus c z & z k habent ſimplũ: magis ergo omnib. alijs arcubus illuminatur arcus ti, qui eſt circa lineam perpendicularẽ, quæ eſt l d: & illuminatio duorum arcuũ z t & c i eſt ęqualis: quoniam à totidem punctis corporis luminoſi illuminatur unus ut alius: ipſorũ uerò amborum illuminatio maior eſt illuminatione duorum arcuum c h & z k: eritq́ ſemper proportio exceſſus illu minationis ſecundum numerum punctorum corporis illuminantis, reſpicientis partem corporis illuminati. Patet itaq exijs, quoniã ſemper id, quod eſt propinquius perpendiculari, fortius illumi natur illo, quod eſt remotius ab eadem perpendiculari: ſuper ipſum namq plus luminis cadit, quòd à pluribus luminoſis partibus illuminatur. Quod enim nunc demonſtratum eſt in arcu k h, ſimiliter accidit in alio corporum quocunq: exemplificauimus aũt iſtum in corpore concauo, quoniam illud uidetur plus uniformiter debere illuminari. Patet ergo propoſitum.

22. Omne corpus umbroſum puncto luminoſo propinquius, illuminatur ab illo puncto fortius corpore plus diſtante.

Sit corpus luminoſum in puncto a: & corpus illuminatum ſit apud lineã b g: & copulentur lineę a b & a g. Virtus itaq corporis a illuminans corpus b g, illuminat etiã aerẽ mediũ, qui continetur in triangulo a b g: & ducatur linea d e ęquidiſtans lineę b g per 31 p 1: ſitq́ linea b g propinquior corpori luminoſo in puncto a exiſtenti  corpus d e. Dico, quòd corpus b g fortius illuminatur quã corpus d e. Sit enim, ut radius a b cadatin punctum d, & radius a g in punctum e: & à puncto b ducatur ſuper lineam b e linea perpendicularis, quę ſit b u: & à puncto g perpendicularis, quę ſit g z per 12 p 1. Erit ergo per 34 p 1 linea u z ęqualis lineę b g, & linea b u ęqualis lineæ g z. Ducãtur itaq lineæ u a & z a: hæ ergo ſecabunt lineam b g per 2 t 1 huius: ſecet ergo ipſam linea u a in puncto h, & linea z a in puncto t. Quia ergo uirtus imprimens lumen in corpus b g eſt diffuſa per totum triangulũ a b g: uirtus autem illuminans corpus u z æquale corpori b g, eſt diffuſa ſolùm per trigonum a h t: & page 70 quia per 1 p 6 triangulus a b g eſt maior triãgulo a h t, quoniam baſis b g eſt maior baſi h t: plus itaq luminis diffuſum eſt in trigono a b g, quàm in trigono a h t: in quolibet enim iſtorum triangulorum puncto eſt lumen ęqualiter diffuſum. Lumen ergo in

Fig. 409

a b h t g d u z e
cidens corpori exiſtenti in linea u z, illud corpus debi lius illuminat quã corpus b g: quia paucius ſibi lumen incidit: proportio enim uirtutis luminis incidentis lineę h t ad impreſsionẽ ſuã in corpus u z, eſt minor ꝓportione uirtutis incidentis lineę b g ad impreſsionẽ ſuam in corpus u z per 8 p 5: quoniam, ut patet ex prę miſsis, lumen incidens lineę b g, eſt plus lumine incidente lineę h t. Proportio uerò uirtutis incidẽtis lineę h t ad impreſsionẽ ſuam in corpus u z, eſt ſicut propor tio uirtutis incidentis lineæ b g ad impreſsionẽ ſuam in corpus b g per 6 huius: ergo per 16 p 5 erit permuta tim proportio uirtutis perueniẽtis ad lineã h t, ad uirtutẽ peruenientẽ ad lineã b g, ſicut impreſsionis factę in corpus u z ad impreſsionẽ factã in corpus b g: ſed ք p̃miſſa lumẽ քueniens ad lineã h t eſt debilius lumine քueniẽte ad lineã b g. Ergo impreſsio քueniẽs à linea h t in corpus u z, eſt debilior impreſsiõe քueniẽte à uirtute luminis incidẽtis lineę b g in corpus b g. Corpꝯ itaq ꝓpinꝗus corpori luminoſo fortiꝯ illuminatur  remotius ab eodẽ. Et hoc eſt ꝓpoſitũ.

23. Puncto remotiori à corpore luminoſo incidunt radij à plurib. pun ctis corporis luminoſi, quàm puncto propinquiori.

Fig. 410

g h c e f a b d

Sit corporis luminoſi circulus a b c, cuius centrum d: & ducatur perpen dicularis d g, in qua ſignentur duo puncta g remotior, & h propinquior. Di co, quòd puncto remotiori, qui eſt g, incidunt radij à plurib. punctis corpo ris luminoſi,  ipſi puncto h. Ducãtur enim radij longiſsimi à corpore lumi noſo ad punctum g. Et ſimiliter ducantur radij lõgiſsimi à corpore lumino ſo ad punctũ h: erunt itaq per 16 huius illi radij cõtingentes ſphęrã. Contin gant itaq radij incidentes puncto g in punctis a & b, & radij incidentes pũ cto h, contingant ſphæram in punctis e & f: palamq́ per 60 t 1 huius, quoniam puncta contingentiæ e & f cadent intra puncta a & b. Quia itaq punctum h ſolum irradiatur à punctis arcus e c f, & non ab alijs: punctũ uerò g irradiatur à punctis arcus a c b, qui eſt maior arcu e c f, patet propoſitũ: quo niam punctũ g illuminabitur à ſuperficie corporis luminoſi, quã per ęqualia diuidit arcus a c b: & punctum h illuminabitur à ſuperficie corporis luminoſi, quã per ęqualia diuidit arcus e c f: tamen propter radiorum fortitudinem, quæ conſequitur ipſorum breuitatem, fortius illuminabitur punctũ h à paucioribus radijs, quã punctum g à plurib. multiplicitas enim luminis in puncto remotiori eſt ex concurſu radiorum multorum obliquè incidentium & debilium, ſed in puncto propinquiori fortificatur lux ex breuitate radij, ſecundum quam à corpore luminoſo immittitur plus uirtutis.

24. Omne corpus luminoſum minus ſpatium, à quo non egreditur, fortius illuminat quàm ſpatium maius illo.

Quod hic proponitur, ſatis patet per exemplũ: u

Fig. 411

a e h f b d g
na enim candela paruam cameram fortius illuminat quã domum uel cameram maiorem: poteſt tamen idem figuraliter demonſtrari. Eſto enim, ut ſit pũctus aliquis corporis luminoſi a: à quo per ſpatiũ magnũ, in quo ſit linea b g, diffundantur radij a g, a b, a d: & ſit radius a d perpendicularis ſuper lineam b g: illuminatur itaq ſpatium totum b g ſecundum has lineas à puncto a ſibi incidentes. Abſcindatur itaq à linea a b linea a e, ut placuerit, & â linea a g abſcindetur linea a f æqualis lineæ a e: productaq́ linea e f ſecet lineam perpẽdicularẽ, quę eſt a d, in puncto h. Si ergo in linea e h f terminetur ſpatium, ne lumen ultrà pertranſeat, erit illud ſpatium minus ſpatio terminato ք lineam b d g per 2 p 6. Omnes autem radij peruenien tes ad lineam b g, perueniunt ad lineam e f: plus ergo aggregantur radij in ſpatio e f quã in ſpatio b g: fortiores ergo fiunt, cum ſint uirtutis plus unitæ: ma gis ergo agunt quã in ſpatio b g, in quo ſunt diffuſiores. Plus ergo illuminatur ſpatium minus, cùm ad eius terminos uirtus luminis terminatur, quàm ſpatium maius illo. Et hoc eſt propoſitum.

page 71

25. Omnis axis uel diameter corporis umbroſi non perpendiculariter reſpiciens ſuperficiem corporis ſphærici luminoſi: alicui diametro illius corporis æquidiſtat.

Sit enim axis uel diameter corporis umbroſi linea a b, non perpendiculariter reſpiciens ſuperficiem corporis luminoſi ſphęrici, cuius centrũ ſit punctum c. Dico, quòd linea a b æquidiſtat alicui diametrorũ corporis c. Ducatur enim linea a c à termino lineę a b ad centrum corporis luminoſi: & ſuper punctum c terminum lineæ a c fiat an

Fig. 412

e c d b a
Fig. 413

a g b e d u f z h
gulus æqualis angulo b a c per 23 p 1, qui ſit d c a, producta linea d c taliter, ut anguli b a c & a c d fiant coalterni: lineę ergo d c & a b ęquidiſtant adinuicem per 27 p 1. Et quoniam linea c d eſt ducta à cẽtro corporis luminoſi: patet, quòd ipſa eſt pars diametri ſphærici illius corporis. Producta ergo diametro d c e, patet, quòd ipſa æquidiſtat lineæ a b. Et hoc eſt propoſitum.

26. Diametro corporis luminoſi ſphærici exiſtente æquali diametro corporis illuminãdi: tantũ eius medietas illuminatur: & umbra fit æqualis rei in infinitum pro= tenſa. Ariſtarchus Samius in libro de ma gnitudinib. & interuallis ſolis & lunæ.

Eſto corporis illuminantis diameter a g: cuius pars aſpiciens corpus illuminandũ ſit a b g: diameter uerò corporis illuminandi ſit d u ęqualis ex hypotheſi, & per pręmiſſam ęquidiſtãs diametro a g: & ſuperficies illuminata ſit d e u. Dico, quòd d e u eſt medietas ſuperficiei corporis illuminandi. Ducantur enim radij a d & g u. Quia itaque diameter a g eſt æqualis & ęquidiſtans diametro d u ք hypotheſim & per pręmiſſam: palàm, quòd radij a d & d u ſunt æquidiſtantes & æquales per 33 p 1: ergo in infinitum protracti nunquã cõ current: non ergo illuminatur aliqua pars corporis d e u ultra diametrũ d u. Eius ergo corporis tan tùm medietas illuminatur: protenditur enim umbra in infinitum æqualis diametri cum diametro corporis: & eſt extenſa inter lineas d z & u h, & eſt linea z h ęqualis lineæ d u. Portio itaque arcus d f u, quę eſt medietas totius ſuperficiei corporis d e u: & linea d z & u h continent umbram æqualẽ rei umbroſæ, quæ protenditur in infinitum. Patet ergo propoſitum.

27. Diametro corporis luminoſi ſphærici existẽte maiore dia
Fig. 414

e d g b a
metro corporis ſphærici illuminandi: plus medietate corporis illuminatur: & baſis umbræ eſt minor magno circulo corporis illuminati, concurrens ad punctum unũ retro corpus. Ariſtarchꝯ Samius in libro de magnitudinib. et interuallis ſolis et lunæ.

Sit corpus luminoſum contentum circulo a b: & ſit corpus umbroſum illuminandũ contentũ circulo g d: & ſit diameter circuli a b maior diametro circuli g d: & ſint radij incidentes a g & b d: ij ergo radij neceſſariò cõcurrent ultra corpus g d. Si enim nõ cõcur rant, tunc ęquidiſtabunt: neceſſariũ ergo erit diametros a b & g d eſſe æquales, quod eſt cõtra hypotheſim: cõcurrant itaq in pũcto e: patet ergo, quòd radij a g & b d nõ tranſeunt terminos diametri circuli g d: ſi enim tranſeãt, palã, cũ illi radij per 16 huius circulum g d contingant, quia anguli e g d & e d g erũt recti per 18 p 3. In triã gulo ergo g d e ſunt duo anguli recti, quod eſt impoſsibile & contra 32 p 1: palã ergo, quòd radij a e & b e nõ tranſeunt per terminos diametri circuli g d, ſed ultra illos cõtingunt ſuperficiẽ corporis il luminãdi: magis ergo medietate corporis illuminatur. Et quia mi nor circulus illius ſphęrici corporis cõtinet umbram, patet, quòd baſis umbræ minor eſt magno circulo corporis illuminati. Quod eſt propoſitum.

28. Diametro corporis luminoſi ſphærici exiſtẽte minore diame tro corporis illuminãdi ſphærici: minus medietate illuminatur: & eſt umbra multò maior corpore illuminato in infinitũ ꝓtẽſa.

Sit corpus luminoſum, cuius maior circulus ſit d g: & corpus illuminãdum, cuius maior circulus ſit a b: & ſit diameter circuli d g minor diametro circuli a b: concurrent itaque radij g a & b d ultra corpus luminoſum g d perpræ 72 miſſam diametrorum proportionem: concurrant ergo in puncto e ultra diametrum corporis d g: ij ergo radij non contingunt terminos diametri circuli a b: quia ſi ſic erunt, ut in pręmiſſa per 16 & 18 p 3 trigoni a b e duo anguli recti: quod eſt impoſsibile: minus ergo medi‡tate corporis a b illuminatur. Et quoniam magnus circulus corpo

Fig. 415

e d g c b a
Fig. 416

g e f d b c a
ris a b cadit intra umbram, & umbra ultra illum protenſa ſemper dilatatur, cum per 14 t 1 huius radios g a & g b ad illam partem cõcurrere ſit impoſsibile: patet, quòd umbra extẽdetur in infinitum. Et hoc eſt quod proponitur. Et per hęc pręmiſſa penitus ſimiliter in columnis & pyramidib. poteſt demonſtrari: idem enim in illis eſt demonſtrandi modus.

29. Superficiem planam ſuper mediũ umbræ erectam, corpus umbroſum & corpus luminoſum, per æqualia diuidere eſt neceſſe.

Sit corpus luminoſum a b, cuius centrum c: & corpus umbroſum ſit d e, cuius centrum f: ſitq́ punctus in medio umbrę, qui ſit g: & copuletur linea f g: cadet itaq linea f g in mediũ umbrę: ſuperficies itaq erecta ſuper medium umbræ, neceſſariò erit erecta ſuք lineam g f: tranſit ergo illa ſuperficies centrum corporis umbroſi & centrum corporis luminoſi: neceſſariò ergo diuidet illa corpora per ęqua lia per ea, quæ oſtenſa ſunt in principio huius. Patet ergo propoſitum.

30. Superficiem planam corpus luminoſum & corpus umbroſum per æqualia diuidentem, ſu per medium umbræ erigi eſt neceſſe. Ex quo patet, tot eſſe umbras eiuſdẽ umbroſi corporis, quot ipſum opponitur corporibus luminoſis.

Sit corpus ſuper quod cadit lumen, quod cõtinetur à circulo a b, cuius centrũ eſt punctũ g: & ſit unum corporũ luminoſorũ contentũ à circulo d e, cu

Fig. 417

b d c n ‡ a b e g k a b ‡ m q l n
ius centrũ eſt u: ſitq́ aliud corpus luminoſum cõtẽtũ à circulo z h, cuius cẽtrũ eſt c: uidebitur itaq umbra oppoſita luminoſo corpori d e, contenta à lineis a k, b l, cu ius medius punctus ſit m. Cũ ergo aliqua ſuperficies di uiſerit corpus luminoſum & corpus umbroſum per ęqualia: illa neceſſariò trãſibit ք lineã u g m: ſecabit ergo per ęqualia ipſam umbrã: quia perpẽdiculariter erecta trãſit per ipſius corporis centrũ, quod eſt punctũ g. Similiter quoq ſuքficies diuidẽs per ęqualia ambo corpora z h, & a b tranſit per lineam c g ductã per centra il lorũ corporum: ſed eadem pertranſit centrũ umbrę cõ tentę ſub lineis a n & b s ſecundum punctũ medium ipſius, qui ſit q. Illa ergo ſuperficies diuidens corpora z h & a b in duo media, diuidet etiã umbram per duo ęqualia. Et quoniã ſuperficies planæ ſecantes corpora umbroſa & luminoſa hinc inde ք æqualia ſunt diuiſæ: patet quòd ſecundũ ipſas numerantur etiam & umbrę: patet ergo propoſitum. Vniuerſaliter enim tot erunt umbrę eiuſdem umbroſi corporis, quotipſum opponitur corporibus luminoſis.

31. Corporis umbroſi remotioris à corpore luminoſo umbra minus umbreſcit: propinquioris uerò magis.

Quoniam enim, ut patet per 22 huius, omne corpus umbroſum corpori luminoſo propinquius, illuminatur fortius corpore plus diſtãte: patet, quòd umbra corporis propinquioris plus priuat luminis: radij quoq ipſam terminantes ſunt fortioris luminis: umbra ergo inter illos radios apparet nigrior, & plus umbreſcit: quoniã radij terminantes illas umbras, ſunt plus luminoſi, propter quod etiam plus apparent umbræ in pręſentia illorũ: Corporis uerò remotioris à corpore luminoſo umbra minus priuat luminis: radij quoque continentes ipſam umbram ſunt debilioris luminis: umbra ergo inter illos radios apparet debilior: minus ergo umbreſcit. Patet ergo propoſitum.

32. Omnis umbra multiplicata plus umbreſcit.

Eſto enim, ut ſit unũ corpus umbroſum obiectũ pluribus corporib. luminoſis: palã ergo per 30 huius, quoniam tot erunt umbræ eiuſdem corporis umbroſi, quot ipſum opponitur corporib. lumi noſis. Si itaq accidat, ut umbrę ſe interſecent: dico, quòd umbra multiplicata plus umbreſcit: quęlibet enim umbrarum aufert aliquod lumen: multiplicata ergo umbra plura auferet lumina, quæ page 73 remanẽt in alijs partibus medij, in quibus umbra nõ multiplicatur, ſed remanet ſimpliciter umbra. Ergo illa ſimplex քfunditur aliquo lumine, q ad umbrã multiplicatã nõ քtingit. Multiplicata ergo umbra plus umbreſcit: quoniã plurimo lumine priuatur locus illius umbræ. Patet ergo ꝓpoſitum.

33. Duo corpora, quorum unum obumbrat reliquum ſecũdum ſui medium, in eadem ſuperficie erecta ſuper corpus luminoſum conſiſtere neceſſe eſt: & ſi in eadem ſuperficie, propinqua adinuicem conſiſtunt: unum reliquum ſecundum ſui medium obumbrabit.

Hoc, quãtùm ad primam partem, patet per 30 huius: quoniam enim ſuperficies plana corpus luminoſum & corpus umbroſum per æqualia diuidens eſt erecta ſuper ſuperficiem corporis luminoſi, & ipſa erigitur ſuper medium umbræ rei umbroſæ: umbra uerò cadit ſuper lumẽ corporis obumbrati: ergo oportet, quòd illud corpus obumbratum ſecundum ſui medium ſit in ſuperficie erecta ſuper ſuperficiem corporis luminoſi. Ex hoc etiam patet ſecunda pars præſentis theorematis: quoniam ſi duo corpora propinqua adinuicem ſecundũ ſui partes medias in eadẽ ſuperficie erecta ſuper ſuperficiem luminoſi corporis conſiſtunt, unum reliquum obumbrabit: quoniam remotius à lumine, quando fuerit propinquum illi, quod plus accedit ad lumen, cadet in umbra illius, quod eſt propinquius lumini: ut quando idem radius tranſiens uerticem propinquioris, tranſit etiam uerticem remotioris, uel punctum aliquod, quod ſit altius illo. Patet ergo propoſitum.

34. Aequidiſtantia linearum radialium uel ipſarum concurſus non eſt totaliter per ſe ex natura radiorum, ſed ex proportione diametri corporis luminoſi ad diametros corporum umbroſorum. Ex quo patet, quòd lumen diffunditur uniformiter per aerem circumſtantem.

Hoc patet per 17 & 18 huius: & poteſt ſic exemplariter declarari. Sit enim corpus luminoſum circulus a b: & una linearum radialium ab ipſa egredientium ſit linea a g, & alia linea b g, & cõcurrant illæ in pũcto g: ſit item una linea e u, & alia d z: & ſint e u & d z æquidi

Fig. 418

g ‡ t b a d e l k z u
ſtantes, ſitq́ corpus unum (cuius diameter ſit minor diametro corporis luminoſi) ſuper quod cadit lumen, poſitum inter duas a g & b g ſe contingentes, cuius maior circulus ſit ti: & contingat ipſum linea b g in puncto i, & linea a g in puncto t: & corpus aliud æquale corpori luminoſo, ſuper quod cadit lumen, ſit poſitum inter duas lineas æquidiſtantes e u & d z, illud corpus contingentes, cuius diameter ſit k l: contingaturq́ à linea e u in puncto k, & à linea d z in puncto l. V mbra itaq proueniens à corpore t i, minuitur & terminatur, & fit pyramidalis per 27 huius, ideo quia radij contingentes corpus t i, qui ſunt a g, b g, concurrunt in puncto g: umbra ergo corporis t i cõtinetur à duabus lineis i g & t g, & ſuperficie corporis t i, quæ eſt à parte g. Vmbra ergo finitur apud punctum g. Vmbra uerò corporis k l protenſa inter lineas æquidiſtantes l z & k u, ut patet per 26 huius, non terminatur ad aliquod punctum: quoniam illæ lineæ continentes umbram in infinitum protractæ non concurrunt. Si uerò corpus ti motum extra lineas a g & b g ponatur intra lineas e u & d z, concurrent lineæ e u & d z, & uariabitur umbra ab ipſis prius contenta ſecundum diuerſitatem proportionis diametrorum corporis t i, & corporis k l ad diametrum corporis luminoſi. Et exhoc patet, quòd radij per ſe non ſunt lineæ neq regulares, neq irregulares, neq æquidiſtantes, neq concurrentes: ſed accidit eis lineatio per reſpectum ad corpora, quibus incidunt: & æquidiſtantia & concurſus accidunt eis per proportionem diametrorum corporum umbroſorum ad diametros corporis luminoſi. Diffunditur ergo lumẽ uniformiter per totum aerem circumſtantem, ita, ut omnis punctus aeris, à quo poſsibile eſt produci lineam rectam ad aliquod punctum corporis luminoſi, illuminetur à lumine corporis luminoſi, ut patet per 19 huius. Patet ergo propoſitum.

35. Radij ab uno puncto luminoſi corporis procedentes, ſecũdum linearum longitudinem ad æquidiſtantiam ſenſibilem plus accedunt.

Eſto, ut à puncto medio corporis luminoſi (quod ſit a) egrediantur radij a b & a g ęquales: copuletur quoq baſis b g, & ducatur linea d e ſecans trigonum a b g citra medium ſui lateris a g æquidiſtanter baſi b g per 10 & 31 p 1: protrahaturq́ à puncto a linea a z perpendiculariter ſuper baſim b g per 12 p 1, quæ ſecet lineam d e in puncto u: diuidaturq́ linea e g in duo æqualia in puncto h per 10 p 1, & linea d b in puncto t: ducaturq́ linea h t: linea ergo h t erit æquidiſtans baſi g b per 2 p 6: ſecabit ergo lineam u z per 2 t 1 huius: ſit punctus ſectionis k. Ducãtur item à punctis e, d, h, t lineæ perpendiculares ſuper baſim b g: quæ ſint e l, d m, h n, t s: ſecabit quoq perpendicularis e l lineam h t: ſit punctus ſectionis q, & punctus ſectionis linearum d m & h t ſit f: erit ergo linea q f æqualis lineæ e d per 34 p 1: patet ergo, quòd linea h t eſt maior quàm linea e d. Quia itaq trigona a u e & e h q ſunt æquiangula per 29 & 32 p 1: erunt per 4 p 6 latera ipſorum proportionalia. Quia ergo, ut patuit ſuprà, linea a e eſt maior quàm linea e h: erit ergo linea e u maior quàm linea h q: ſed linea h t eſt maior quàm linea e d, ut præoſtenſum eſt: ergo per 9 t 1 huius maior eſt proportio lineæ e u ad lineam e d, 74 quàm lineæ h q ad lineam h t: eſt enim proportio lineæ e u ad lineam e d, ſicut lineæ h k ad lineam ‡ t per 4 p 6 & per 11 & 16 p 5: ſed linea h q eſt pars li

Fig. 419

a e u d h q k f t g n l z m s b
neæ h k: ergo per 8 p 5 minor eſt proportio h q ad h t, quàm h k ad h t. Minor eſt ergo proportio lineę h q ad h t, quàm e u ad e d. Eodemq́ modo demonſtrãdum, quod lineæ g n ad lineã g b minor eſt proportio, quã lineæ h q ad lineã h t: exceſſus itaq baſis g b ſuper baſim h t eſt minor exceſſu baſis h t ſuper baſim d e: & quãtò baſes ſunt remotiores à puncto a corporis luminoſi, tantò exceſſus remotiorum baſium ſuper baſes uiciniores plus minuẽtur. Palàm ergo, quia in remotiori diſtantia radij quaſi ad æquidiſtantiam plus procedunt: & cũ quantitas exceſſus baſium ſit quantitatis non ſenſibilis: tunc lineæ radiales erunt quaſi æquidiſtãtes. Quoniam enim linea b g ſenſibiliter nõ excedit lineã h t: tunc erunt h g & t b radij quaſi ęquidiſtantes ſecũdum ſenſum. Et hoc eſt propoſitum. Et fortè ad iſtud multũ cooperatur proprietas radiorũ, quę ſemper, ut poteſt, approximat ſuæ perpẽdiculari: propter quod radij omniũ punctorũ totius corporis luminoſi ſemper concurrunt in quolibet puncto corporis illuminãdi: & ſic cõſtituunt pyramidẽ radialẽ.

36. Lumine incidente per feneſtram ſuper corpus oppoſitum ſolidũ: erit luminis perimeter amplior perimetro feneſtræ.

Eſto corpus luminoſum, cuius centrum a: & circulus magnus d e g: & ſit diameter feneſtræ b c: ſitq́ linea t z in ſuperficie corporis ſolidi oppoſita lumini, cui incidit

Fig. 420

z t b c f g e a d
radius: producantur quoq lineæ radiales tangentes peripheriã feneſtræ: quæ ſint e b & g c: hæ itaq lineæ ſecabunt ſe in aliqua parte medij: ſit pũctus cõmunis ſectionis f: & hæ lineæ productę incidãt ſuperficiei corporis oppoſitæ lumini: cadatq́ linea e b in punctũ z, & linea g c in punctũ t. Quia itaq in trigono f t z, latus t z eſt maius latere b c: quoniam trigonum f t z maius eſt trigono f c b. Et quoniã per omnem punctum peripheriæ feneſtræ ſic incidũt radij ſe ſecãtes: ideo quòd à quolibet pũcto corporis luminoſi in totam feneſtrã fit miſsio luminis ք 20 huius: palàm, quoniã perimeter luminis incidẽtis corpori ſolido oppoſito feneſtræ, eſt maior perimetro feneſtræ. Et hoc ꝓponebatur.

37. Ad centrũ circularis for aminis radio à centro corporis luminoſi perpẽdiculariter incidẽte: lumen in ſuperficie denſi corporis æquidiſtante ſuperficiei for aminis eſt uerè circulare.

Sit circulus foraminis a b g d, cuius cẽtrum e: cui ſit ęquidiſtans ſuperficies ſolidi corporis f h k l: & erigatur à centro e linea e z, perpendiculariter ſuper ſuperficiem a b g d circuli: in quocunq itaq puncto lineæ e z ſit

Fig. 421

‡ a z d h e b m g k l
centrum corporis luminoſi, dico, quòd lumen incidẽs ſuperficiei f h k l, eſt uerè circulare. Palàm enim per 65 t 1 huius, quoniam omnes lineę z a, z b, z g, z d ductæ à polo z ad circumferentiam, ſunt æquales, & æquales angulos cõtinent cũ linea e z per 8 p 1. Producatur itaq linea z e ultra punctũ e ad ſuperficiem æquidiſtãtem circulo foraminis, quæ eſt f h k l: incidetq́ perpendiculariter ſuper illam per 14 p 11: ſit ut incidat in punctum m: producaturq́ linea z b ad ſuperficiem f h k l in punctum k, & linea z a in punctũ f, & linea z d in punctum h, & linea z g in punctum l: eruntq́ lineæ a f, b k, d h, g l per 25 t 1 huius æquales propter æquidiſtantiam ſuperficierum & æqualitatom angulorum: tota ergo linea z f erit æqualis toti lineæ z h: & z k æqualis lineæ z l. Ducantur quoq lineæ f m, h m, k m, l m. In trigono itaq f m z baſis f m erit æqualis baſi h m trigoni h m z per 4 p 1: eodemq́ modo erit linea k m ęqualis lineæ h m, & linea l m æqualis lineæ k m. Palàm ergo per 9 p 3, quoniam ſuperficies f h k l eſt circularis: & ipſa eſt, ad quam terminantur radij luminis incidentis per feneſtram a b g d: quoniam de omnibus alijs lineis eadem eſt demonſtratio. Patet ergo propoſitum.

page 75

38. Per centrũ circularis foraminis radio luminoſo obliquè incidẽte ſuperficiei denſi corporis ſubſtratæ ſuperficiei for aminis: lumẽ incidẽs erit figuræ ſectionis pyramidalis, cuius maior diameter erit in ſuperficie erecta ſuper ſuperficiem feneſtræ, & ſuper ſuperficiẽ corporis ſubſtrati.

Eſto foramen circulare a b c d, cuius centrum e: cui ſit ſuperficies æquidiſtans h m k l: & ſit f centrum corporis luminoſi: ſitq́ primò ut linea f e obliquè cadat ſuper ſuperficiem circuli a b c d: hæc itaq producta incidet ſuperficiei h m k l ſimiliter obliquè propter æquidiſtantiam ſuperficierũ, argumento 23 t 1 huius: incidat itaq in punctum g: & ducatur linea a e b diameter circuli: ſit itaq angulus a e f acutus: erit ergo per 13 p 1 angulus b e f obtuſus: ducãtur ergo lineę f a, f b. Et quia quadratum lineæ f a ualet minus duobus quadratis linearum e f & e a, per 13 p 2, & quadratum lineæ b f eſt maius quadrato lineæ f e, & quadrato lineæ b e per

Fig. 422

p q m a f c e d h g k b ‡
12 p 2: quadratũ uerò lineæ b e æquale eſt quadrato lineæ a e: quia ſunt æquales ſemidiametri: & quadra tum lineæ f e eſt commune: patet, quòd quadratum lineæ f b eſt maius quadrato lineæ f a: ergo linea f b eſt maior quàm linea f a: productisq́ lineis f a & f b ad ſuperficiem h m k l: ſi linea f a incidat ad pũctum m, & linea f b ad punctum l: erit linea f l maior quàm linea f m per eadem, quæ prius: copulatisq́ lineis l g & m g ad punctum g, cui incidit radius trãſiens centrum foraminis feneſtræ: erit quoq per 2 p 6 & per 11 p 5 proportio lineæ l g ad lineam b e, ſicut lineæ g m ad lineam e a: quoniã utrarumq illarum proportio eſt adinuicẽ, ſicut lineæ g f ad lineam f e: eſt ergo per 16 p 5 proportio lineæ l g ad lineam m g, ſicut lineæ b e ad lineam e a: ſed linea b e eſt æqualis lineæ e a: ergo linea l g eſt ęqualis lineæ g m. Ducatur tunc c d diameter ſuper a b diametrum orthogonaliter, & continuentur lineæ f c, f d: producanturq́ ad ſuperficiem h m k l in puncta h & k: & ducatur linea h g k. Et quoniam ſuperficies, in qua ſunt lineæ f e & a b, ſola eſt erecta ſuper circulum feneſtræ, quoniam omnes alię ſuperficies, in quibus eſt linea f e, incidunt illi ſuperficiei obliquè (ſic enim accipimus lineam a b) erit ergo ſuperficies a f b erecta ſuper ſuperficiẽ circuli feneſtræ. Palàm ergo, quia angulus f e d eſt æqualis angulo f e c: eſt ergo per 4 p 1 linea f d æqualis lineæ f c: ergo, ut prius, erit linea h g æqualis k g, & linea f h æqualis lineæ f k, & f g eſt communis: & quia linea h k eſt perpendicularis ſuper lineam m l, & ſuper lineam f g: palàm per 4 p 11, quòd linea h g eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt lineæ f g & m g: ergo per 18 p 11 erit ſuperficies h m k l erecta ſuper ſuperficiem f m g: ergo & ſuperficies f m g eſt erecta ſuper ſuperficiem h m k l. Imaginetur ergo à puncto g termino axis, qui eſt f g, circumduci pyramidi illuminationis circulus per 102 t 1 huius: erit ergo per 100 & 89 t 1 huius axis f g erectus ſuper illum circulum, & ipſe eſt obliquus ſuper ſuperficiẽ h m k l: erit ergo per 103 t 1 huius linea h m k l ſectio pyramidalis, cuius maior diameter erit in ſuperficie f m l erecta ſuper ſuperficiem h m k l. Patet ergo propoſitum. Et ſi ſuperficies feneſtræ circularis ſit baſis pyramidis illuminationis, ita quòd cẽtrum corporis luminoſi ſit polus circuli feneſtræ, & axis erectus ſit ſuper ſuperficiẽ feneſtræ, ſuperficies uerò ſolidi corporis excipientis radios luminis, non fuerit æquidiſtans ſuperficiei feneſtræ: adhuc erit figura luminis ſectio pyramidalis: quod eſt præmiſſo modo demonſtrandũ: ducta enim per 102 t 1 huius à pũcto l termino longioris radij, qui eſt f l, ſuperficie æquidiſtante ſuperficiei feneſtræ: patet per 100 t 1 huius, quòd illa ſuperficies ſecabit pyramidẽ illuminationis ſecundũ circulum, qui ſit 1 p q. Ergo ſuperficies h m k l ſecat ipſam ſecundũ pyramidalem ſectionem. Patet ergo propoſitum.

39. Omne lumen per foramina angularia incidens rotundatur.

Quod hic proponitur, patet per 35 huius. Quoniam enim omnes radij ab uno puncto luminoſi corporis procedentes ſecundum linearum longitudinem ad æquidiſtantiam ſenſibilem plus accedunt: patet, quòd radij ſecundum foraminum angularium diſpoſitionem ipſis angulis incidẽtes, ſe applicant æquidiſtantiæ radij perpẽdiculariter uel circa ſuperficiei foraminis incidentis: retrahunt ergo ſe ab angularitate, & ſic lumen ſuperficiei foramini obiectæ incidẽs incipit rotundari. Et quoniam, ut patet per 20 huius, à puncto cuiuslibet corporis luminoſi lumen diffunditur ſecundum omnem lineam, quæ ab illo pũcto ad oppoſitam ſuperficiẽ duci poteſt: omnes enim illi radij in quolibet puncto medij concurrunt: patet, quòd ipſi in quolibet puncto ſe interſecent, & radij inferiorum punctorum ipſius corporis luminoſi in punctis linearũ feneſtrę alios radios ſuperiorum punctorum ſecant, & ultrà protenduntur: & ſic lumen huiuſmodi feneſtras pertranſiens rotundatur: quod non adeò accideret, ſi ſolùm ab uno puncto luminoſi corporis egrederentur radij feneſtram penetrantes. Patet ergo propoſitum.

40. Radio luminoſo medio puncto foraminis quadrati perpendiculariter incidente: lumen ſuperficiei corporis æquidiſtantis ſuperficiei for aminis incidens, eſt quadr atum ad circulaxit atem aliquam accedens.

Sit centrum corporis luminoſi e: & foramẽ quadratum ſit a b c d: cuius puncto medio (qui ſit f) page 76 incidat perpendiculariter radius e f: ſitq́ ſuperficies corporis denſi æquidiſtans ſuperficiei foraminis, quæ eſt g h k l. Dico, quòd lumẽ incidens illi ſu

Fig. 423

g h a b f e d c c k
perficiei, erit figuræ quadratæ: fiunt enim duæ pyra mides unum uerticem habentes punctum e, quarũ maioris baſis eſt g h k l, minoris uerò baſis eſt a b c d, & earum baſes ſunt ęquidiſtantes: ſunt ergo ſimiles per 99 t 1 huius. Quia ergo baſis a b c d ex hypotheſi eſt quadrata, patet, quòd & baſis g h k l eſt qua drata. Et eſt hoc propoſitum primum. Quoniã uerò per 35 huius radij longiores ad aliquam ęquidiſtantiam accedunt: accedit & hęc figura ad aliquam circularitatem, propter compreſsionem radiorum, uel propter ipſorum interſectionem in punctis linearũ terminãtium feneſtras, ut diximus in præmiſſa. Patet ergo propoſitum.

41. Per medium quadr ati foraminis radio obliquè incidente ſuperficiei denſi corporis ſubſtratæ ſuperficiei for aminis: lumen incidens erit figura altera parte longior ſuis angulis æqualiter arcuatis.

Eſto, ut in pręmiſſa, centrũ corporis luminoſi punctũ e: & peripheria quadrati foraminis a b c d, cuius medio puncto, qui ſit e, obliquè incidat radius e f: ſitq́ ſuքficies corporis dẽſi ſubſtrati illi foramini, quæ g h k l, cui ſimiliter obliquè incidat radius. Dico, quòd figura luminis in ſubſtrata ſuքficie erit altera parte longior. Quoniam enim illæ ſuperficies non ſunt baſes pyramidum illuminationis, ſed ſolùm ſecantes illas pyramides obliquè, patet per 99 t 1 huius, quoniam ambæ figuræ a b c d & g h k l (ſiue earum ſuperficies æquidiſtent, ſiue non æquidiſtent) ſunt figuræ altera parte longiores: quoniam illæ figuræ, quę ſecundum illa puncta, quibus axis e f propoſitis ſuperficiebus obliquè incidit, pyramides terminant, ſunt ambæ quadratæ: reliquæ uerò obliquè ſecundum illa pũcta axi incidẽtes, ſunt ambæ altera parte lõgiores. Patet ergo ꝓpoſitũ primũ. Et quoniã, ut patet per 35 huius, radij longiores quaſi ad aliquã æquidiſtantiam accedũt, patet, quòd anguli illius figuræ luminis aliqualiter arcuantur, ſicut & in duabus pręmiſsis declaratũ eſt. Et hoc eſt propoſitũ.

42. Per medium ſecũdi diaphani denſioris primo radius perpendicularis ductus à cẽtro corporis luminoſi ſuper ſuperficiẽ obiecti corporis ſemper penetrat irrefractus. Alhazen 3 n 7.

Huius propoſitionis probatio plus experientiæ inſtrumẽtorum innititur, quàm alteri demonſtrationum. Cum ergo quis experiri uoluerit modum fractionis radiorum luminoſorum in medio ſecũdi diaphani denſioris primo, ut in aqua, quæ eſt denſior aere: aſſumat uas rectarũ orarum qualiſcunq uoluerit materiæ uel figuræ, dum tamẽ ſit altitudo orarum maior medietate cubiti, & diameter latitudinis eius ſit non minor diametro inſtrumenti, quod faciendum præmiſimus in prima huius: & planẽtur oræ illius uaſis, donec ſuperficies per eius oras tranſiens ſit æqualis plana: & ponatur in fundo uaſis aliquod corpuſculum coloratum uiſibile, ut aliquod numiſma uel res picta diuerſi coloris: deinde impleatur uas aqua clara. Cùm ergo quieuerit motus aquæ, ſi aſpiciens uiſum perpendiculariter proiecerit ſuper medium numiſmatis, uel picturæ: inueniet figuram & colorem & ipſorum ſitum & partium ordinationem eo modo, quo ſunt ſecundũ ſe ordinata, ſi in aere uiderentur. Cõſideret ergo experimentator illũ ſui corporis ſitum, ſiue ſit ſtans ſiue ſedẽs, & ſui diſtantiam à uaſe, & ſitum ipſius uaſis, & omnia circumſtãtia illam uiſionem. Ponatur itaq uas iſtud plenum aqua clara in loco, in quo ſplendet ſol, & ſiſtatur uas taliter, ut ſuperficies circumferẽtiæ uaſis ſit æquidiſtãs horizonti: hoc autẽ poteſt perpẽdi ex hoc, ſi ſuperficies aquę ſit æquidiſtãs peripheriæ uaſis. Deinde imponatur inſtrumentũ in hoc uas, ita quòd pinnulæ ſuper extre mitates regulæ exiſtẽtes ſuperponãtur oræ uaſis ex utraq parte: tũc ergo medietas inſtrumenti cũ tota regula erit intra uas: deinde auferatur aqua, donec ſuperficies aquæ ſecet cẽtrum inſtrumẽti: & reuoluatur inſtrumẽtum in circuitu uaſis, donec oræ ſuper aquã obumbrent alias ſub aqua: & tunc retẽta regula cum altera manuum, reuoluatur inſtrumẽtum cum reliqua manu in circuitu ſui centri, donec lumẽ ſolis pertranſeat foramẽ l m n, quod eſt in ora inſtrumẽti, & foramẽ laminæ quadratæ, & perueniat ad ſuperficiẽ aquæ, quia lumẽ pertranſiens foramen rotundũ ampliatur ſemper per 36 huius. Siſtatur quoq taliter inſtrumentum, utlumen cadens ſuper laminam ſecundi foraminis, quod eſt x y z, ſitum habeat æqualẽ: & tunc experimẽtator reductis manibus ab inſtrumento, ſecundum omnem ſitum & modum, quo prius aſpexit numiſma, inſpiciat ad fundũ aquæ ex parte quartæ inſtrumẽti, cuius ora eſt abſciſſa, quæ eſt a d: inuenietq́ lumẽ pertranſiẽs ex duobus foraminibus ſuper ſuperficiem oræ alterius, quæ eſt intra aquam, & lumen inter duos circulos extremos trium circulorum æquidiſtanter ſignatorum, aut addens ſuper diſtantiam illorum circulorum modicùm: & erit additio æqualis ex duobus lateribus circulorum. Ex quo patet, quòd medium punctum huius luminis cadit in aliquod punctum circumferẽtiæ medij circuli illorum trium circulorum, ut in punctum p. Deinde acus ferrea uel lignũ minutum in interiori parte foraminis oræ inſtrumenti applicata pertranſeat medium foraminis diametraliter, & tunc inſpiciẽti, ut prius, uidebitur umbra acus in me page 77 dio lucis oppoſitæ, per 11 huius, diuidens eum per æqualia. Deinde retrahatur acus, donec acumen eius ſit in medio foraminis, & erit umbra extremitatis acus in medio lucis, quæ eſt in ſuքficie aquę, & eius, quæ eſt intra aquam: & uniuerſaliter ſecundum quam proportionem acus peripheriam foraminis ut chorda abſciderit, ſecundum eandem proportionem umbra acus peripheriam lucis in ſuperficie aquæ & ſub aqua exiſtentis abſcindet: acu uerò penitus remota, lumẽ reuertetur. Palàm ergo ex his, quòd punctus, qui eſt in medio lucis intra aquam exiſtẽtis, exit à‡puncto medio lucis in ſuperficie aquæ exiſtentis: & quòd punctus medius huius lucis exit à luce, quæ eſt in centro foraminis ſuperioris. Lux ergo, quæ peruenit ad cẽtrum lucis in ſuperficie aquæ exiſtentis, extenditur ſecundum rectitudinem lineæ rectæ per duo puncta m & y, quę ſunt centra amborum foraminum, tranſeuntis: & hęc linea eſt in ſuperficie medij circuli trium circulorũ: & eſt pars diametri illius circuli, quæ eſt m p, cũ ſit æquidiſtans diametro circuli in baſi inſtrumenti exiſtẽtis, quæ eſt f e g. Punctus ergo, qui eſt in medio lucis, quæ eſt in ſuperficie aquæ, eſt in ſuperficie huius medij circuli: ſed & punctus in medio lucis intra aquam exiſtentis, eſt in circumferentia medij circuli: hæc ergo duo puncta erũt in ſuperficie medij circuli: ergo & tota illa linea erit in ſuperficie medij circuli per 1 p 11. Quòd ſi lux, quę eſt in ſuperficie aquæ, non fuerit manifeſta: mittatur regula minor in aquam, & ſuperficies eius, in qua ſignata eſt linea, diuidens ſuperficiem eius latitudinis per æqualia, applicetur ſuperficiei aquæ, ut fiat una ſuperficies cum illa, & alia eius ſuperficies applicetur ſuperficiei baſis inſtrumẽti. Palàm ergo ex præmiſsis in 1 huius, quia linea, quæ eſt in ſuperficie regulæ, eſt in ſuperficie medij circul‡ per m & y centra duorum foraminum tranſeuntis: apparebitq́ lux, quæ eſt in ſuperficie aquæ, ſuper ſuperficiem regulæ, & mediũ illius lucis ſuper lineam, quæ eſt in medio regulæ. Et ſi acus fuerit poſita ſuper medium foraminis ſuperioris, obumbrabitur linea, quæ eſt in medio regulæ: & ſi acumen acus ponatur ſuper cẽtrum foraminis, cadet umbra acuminis acus in medio lucis, quæ eſt ſuper regulam, & ablata acu redibit lumen. Sic ergo apparebit lumẽ cadens ſuper ſuperficiem aquæ, apparitione manifeſta: & patebit, quòd lux incidens cẽtro foraminis ſuperioris, ipſa eſt ſuper lineam tranſeuntem per centra duorum foraminum. Et quoniã ſuperficies aquę tranſit centrum inſtrumenti, & ſuperficies regulæ eſt una cum ſuperficie aquæ: ſuperficies itaq regulæ tranſibit centrum inſtrumenti. Erit ergo remotio centri lucis à centro inſtrumenti, æqualis medietati latitudinis regulæ, quæ eſt æqualis perpendiculari, cadenti à centro foraminis ſuper ſuperficiẽ baſis inſtrumenti: erit ergo centrum lucis, quæ eſt in ſuperficie regulæ uel aquæ, cẽtrum medij circuli. Reuoluatur ergo regula, donec angulus ipſius acutus tranſeat per centrũ inſtrumenti, & pars inferior lineæ diuidentis angulũ eius per æqualia, ſit in centro luminis, quod eſt intra aquam: acuitas ergo ſuperior regulæ tranſibit centrum circuli medij: punctus ergo lineæ ſuperficiei ſuperioris regulæ, qui eſt in ſuperficie aquæ, eſt centrũ medij circuli, & lucis, quæ eſt in ſuperficie aquæ: & erit illa linea ſemidiameter circuli medij. Immittatur ergo acus longa in aquam ita, ut acumen ipſius ſit in puncto anguli regulæ, ſecabitq́ umbra acus lucem, quæ eſt intra aquam, eritq́ umbra acuminis acus ad finem regulæ, quæ eſt in medio lucis. Et ſi fixo acumine acus, moueatur acus: umbra acus mutabit ſitum ad diuerſas partes lucis: umbra tamen acuminis non mutata à medio lucis: ablata uerò totaliter acu, redibit lux totalis. Idem quoq accidit, in quocunq puncto lineæ, quæ eſt in ſuperficie regulæ, poſitum fuerit acumen acus. Ex quo patet, quòd lux exiſtens in aliquo puncto lucis intra aquã, procedit à puncto ſibi ſimili in luce, quæ eſt in ſuperficie aquæ, & quòd à medio puncto lucis, quæ ſuper aquam ad medium punctum lucis intra aquam protenditur radius ſecundũ lineam rectam, quæ eſt medium regulæ. Ex quo patet, quòd tranſitus lucis per corpus aquæ eſt ſecundum lineas rectas per 1 p 11. Et hoc eſt, quod circa propoſitam propoſitionem experimentaliter intendimus declarare.

43. In medio ſecũdi diaphani, quod eſt denſius primo diaphano, fit refr actio radiorum obliquorum ab anteriori ſuperficie diaphani ſecundi ad perpendicularem, exeuntem à puncto refractionis ſuper ſuperficiem corporis ſecundi. Alhazen 4 n 7.

Experimentaliter etiã & hoc propoſitũ theorema poteſt declarari. Oppoſito enim foramine ſuperioris inſtrumenti obliquè ipſi corpori ſolari, ita, ut radius obliquè incidat ad oram inſtrumenti oppoſitã foramini, & perſcrutato per modũ, quo in præmiſſa, centro lucis, quę eſt intra aquã: ſignetur illud per puncturam ferri duri in ſuperficie ipſa inſtrumẽti, & inuenietur illud centrũ non in li‡ nea g k perpendiculariter erecta ſuper g terminũ diametri oppoſita lineæ f h, in qua eſt foramẽ oræ inſtrumenti, ſed declinabit ab illa linea ad partem, in qua eſt ſol: eritq́ inter hoc centrũ lucis & pũctum p, (quod eſt communis differentia lineæ g k, perpendicularis ſuper terminũ diametri inſtrumenti, & circũferentiæ circuli medij tranſeũtis per m & y cẽtra foraminũ) diſtantia ſenſibilis. Mittatur itaq regula in aquam, & applicetur ſuperficiei laminæ, ita, quòd terminus latior regulæ ſit ſupra centrũ laminæ: & moueatur regula, quouſq acuitas eius ſit perpendicularis ſuper ſuperficiem aquæ, quo ad ſenſum: erit itaq centrum lucis, quod eſt intra aquam, inter acumẽ regulæ, & lineam g k perpendicularem ſuper f g diametrũ baſis inſtrumenti. Patet ergo ex hoc, quòd hęc refractio eſt ad partẽ perpendicularis, exeuntis à loco refractionis perpẽdiculariter ſuper ſuperficiẽ aquæ. Hoc ita inuento ſignetur in circũferentia circuli medij trium ſignatorum circulorũ ſuper punctũ extremum perpendicularis, exeuntis à centro eiuſdem circuli perpendiculariter ſuper ſuperficiẽ aquæ, ſignum fixũ per ferri duri puncturam. Et quia patuit per præmiſſam, quòd inſtrumento directè ſoli page 78 oppoſito, & radio ſolis ſibi perpendiculariter incidente, lux, quæ peruenit ad cẽtrum lucis, quæ e‡ intra aquam, eſt lux extenſa ſecundũ rectitudinem lineæ continuantis duo centra foraminum, quę linea peruenit ad centrum medij circuli æquidiſtantis ſuperficiei baſis inſtrumenti, & eſt diameter illius: ſi hæc linea fuerit imaginata extendi ſecundum rectitudinem intra aquam, donec perueniat ad oram inſtrumenti: tunc erit totaliter æquidiſtans diametro inſtrumenti, & perueniet ad lineam g k perpendicularem ſuper diametrum f g, in interiore parte oræ inſtrumenti ductam. Et quando centrum lucis, quæ nunc eſt intra aquam, nõ eſt ſuper illam lineam perpendicularem in ora inſtrumenti productam: tũc patet, quòd lux extenſa à medio lucis, quæ eſt in ſuperficie aquæ, non extenditur ad medium lucis, quæ eſt intra aquam, ſecundum rectitudinem lineæ tranſeuntis per centra duorum foraminum, ſed refringitur ab illa: declaratum eſt autem per 1 huius, quòd hæc lux extenditur rectè à medio lucis, quæ eſt in ſuperficie aquæ, ad mediũ lucis, quæ eſt intra aquam. Eſt ergo huius lucis refractio apud ſuperficiem aquæ. Quod eſt propoſitum.

44. Per medium ſecundi diaphani rarioris primo, radius perpẽdiculariter incidens, à centro corporis luminoſi ſuper ſuperficiem corporis obiecti penetrat irrefr actus. Alhazen 6 n 7.

Inſtrumentali ſimiliter experiẽtia propoſitum theorema poteſt declarari. Aſſumatur enim uitri clari uel cryſtalli fruſtum figuræ cubicæ, longitudinis duplæ diametri foraminis oræ inſtrumenti: & fiant planę ſuperficies eorum æquales & æquidiſtantes, & latera ipſorum ſint recta, & multũ poliantur: deinde ſignetur per ſculpturam ferri duri in medio baſis inſtrumenti linea recta, tranſiens per centrum ipſius, quod eſt e, perpendiculariter ſuper ipſius diametrũ, quæ eſt f g, ſuper cuius extremitates ſunt in ora inſtrumenti productæ duę perpendiculares f h & g k: & producatur illa linea in utranq partem ſuperficiei circuli baſis, & ſit z e x. Ponatur itaq unum uitrorum iſtorũ ſuper ſaperficiem baſis inſtrumenti, & applicetur unum laterum ſuorum perpendiculariter ductæ, quæ eſt z e x, taliter, ut medium lateris uitri ſit uerè ſuper punctum e centrum inſtrumẽti: & ſit totum corpus uitri ex parte foraminum, ſcilicet inter foramina oræ & tabulæ, & inter centrum inſtrumenti, quod eſt e. Tranſit ergo dicta diameter inſtrumẽti (quæ eſt f g) per medium ſuperficiei uitri ſuperpoſitæ baſi inſtrumenti. Applicetur itaq uitrum baſi inſtrumẽti forti applicatione per bitumen firmum, taliter tamen, quòd poſsit auferri, quando placuerit: deinde ponatur alterũ uitrum ultra primũ ſcilicet, ex eadẽ parte foraminũ: & applicetur aliqua ſuperficierũ eius ſuperficiei primi uitri, & applicetur baſi inſtrumenti applicatione fixa: deinde tertiũ uitrum applicetur ſecundo, & adæquetur ſuperficies eius cum duabus ſuperficiebus laterum ſecundi uitri, & applicetur baſi inſtrumẽti, & ſic fiat de pluribus uitris, quouſq perueniant uitra ad aliam perpendicularem ſuper ſuperficiem baſis inſtrumenti aut propè, ſcilicet uerſus punctum t. Cum itaq uitra fuerint applicata ſuperficiei baſis inſtrumenti ſecundum prædictum modum: palàm quoniam præmiſſa diameter inſtrumenti (quæ eſt f g) tranſibit per medium omniũ ſuperficierum uitrorum ſuperpoſitorũ baſi inſtrumenti: & altitudo omnium uitrorum eſt dupla diametro foraminis: diameter uerò foraminis eſt æqualis perpendiculari m f exeunti à centro foraminis ſuper ſuperficiem baſis inſtrumenti, & ſuper diametrum eius f g: unaquæq ergo perpendicularium, exeuntium à centris ſuperficierum uitrorum perpendicularium ſuper diametrũ baſis inſtrumenti, eſt æqualis lineæ m f, ſcilicet perpendiculari exeunti à centro foraminis ſuper ſuperficiem baſis inſtrumenti. Linea ergo, quæ tranſit centra amborum foraminum, tranſibit centra ſuperficierum uitrorum perpendicularium ſuper ſuperficiem baſis inſtrumenti. Accipiatur ergo regula ſubtilis, cuius formam præmiſimus: & erigatur ſuper oram inſtrumenti in ſuperficie baſis inſtrumẽti: & ponatur ſuperficies regulæ, in qua ſignata eſt linea ex parte primi uitri, quod eſt ſupra e cẽtrum baſis inſtrumenti: & ponatur regula prope uitrum, & applicetur taliter ut linea, quę eſt in ſuperficie regulæ, ſit in ſuperficie medij circuli, ſecabitq́ linea recta, tranſiens per centra amborum foraminum, & per centra ſuperficierum uitrorum lineam latitudinis regulæ perpendiculariter, & tranſibit ad punctum g. Tunc itaq ponatur inſtrumentũ in uas prædictum uacuum aqua, & ponatur uas in ſole directè oppoſitum centro ſolis, ut accipiat radium perpẽdicularẽ: hoc aũt pteoſt fieri, ſi moueatur inſtrumentũ, quouſq lux ſolis trãſeat per ambo foramina, & fiat apud ſecundũ foramẽ lux æqualis: & aſpiciatur ſuperficies regulæ oppoſita uitro, & uidebitur lux exiens à duobus foraminibus ipſius inſtrumẽti, extenſa ſuper ſuperficiẽ ipſius regulæ: & illud umbroſum, quod circumdat lucẽ in ſuperficie regulæ, obumbrabitur per umbrã oræ inſtrumẽti: eritq́ centrũ uiſus ipſius aſpiciẽtis ſuք lineã, quæ eſt in ſuքficie regulæ. Deinde acus ſubtilis ponatur ſuք ſuperius foramẽ, ita quòd extremitas acus ſit perpẽdicularis ſuper centrũ foraminis: cadetq́ tũc umbra extremitatis acus ſuք centrũ lucis in linea, quæ eſt in ſuperficie regulæ. Tũc itaq ſignetur pũctus illius umbræ cũ incauſto ſubtiliter: & auferatur acus à ſuperiori foramine: & eius extremitas ponatur ſuper centrũ inferioris foraminis: cadetq́ iterũ umbra extremitatis acus ſuper punctũ ſignatum in ſuperficie regulæ: ablata quoq acu lux reuertitur. Ex quo patet, quoniã lux, quæ eſt ſuք punctũ, quod eſt in ſuperficie regulæ, tranſit per cẽtra amborũ foraminum. Deinde cũ incauſto ſignetur nota nigra in pũcto medio ſuperficiei uitri ex parte regulæ (poteſt aũt ille pũctus inueniri per 40 t 1 huius, quoniã ille pũctus eſt cõmunis ſectio duarũ diametrorũ ſuքficiei uitri) & tũc intuens lucẽ, quæ eſt ſuper regulã, inueniet umbrã puncti, qui eſt in medio uitri ſuք punctum, quod eſt in ſuperficie regulæ. Patet ergo ex hoc, quoniã lux, quæ trãſit per centra duorũ foraminum, tranſit per punctum, quod eſt in medio uitri. Deinde euellatur uitrum primum, quod eſt page 79 ſuper centrũ inſtrumenti, punctũ e: & in ſuperficie ſecundi uitri ſignetur punctũ medium, ut prius factum eſt in ſuperficie uitri primi: & componatur inſtrumentũ ſecundò, & moueatur, quouſq lux tranſeat per duo foramina, peruenietq́ lux tranſiens per centra duorum foraminũ ad centrũ lucis, quod eſt in ſuperficie regulę. Patet itaq ex hoc, quòd lux pertranſiẽs centra duorũ foraminũ, tranſit per punctum, quod eſt in medio ſuperficiei ſecundi uitri: & quòd lux, quę tranſit per centra duorum foraminũ in prima experimentatione, tranſit etiã per punctũ, quod eſt in medio ſecundi uitri. Extrahatur itaq ſecũdũ uitrum, & opponatur tertiũ, & ſic de cęteris uſq ad ultimũ. Et patet uniuer ſaliter, quòd lux tranſiẽs per centra duorũ foraminũ, perueniens ad ſuperficiem regulæ, tranſit etiã per centra ſuperficierũ uitrorũ omniũ, poſitorũ ſuper ſuperficiẽ laminę: & ſunt omnia centra ſuperficierum uitrorũ omniũ in una linea recta cõtinuante centra duorũ foraminũ. Lux itaq pertranſiẽs centra foraminũ tam in corpore uitri  extra corpus in aere, extenditur ſecundũ lineam rectã conti nuantẽ centra duorũ foraminũ: & eſt illa linea m p, perpendicularis ſuper ſuperficies omniũ uitrorum oppoſitas foramini ք 14 p 11: illa enim linea m p eſt æquidiſtans lineę f g, diametro laminæ, quæ eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ uitrorũ, cum ſit perpendicularis ſuper differentiã cõmunem ſu perficiei uitri, & ſuperficiei laminę. Et ſi omnibus uitris uel ipſorũ aliquo præmiſſo modo ſuper fun dum inſtrumẽti diſpoſito, infundatur aqua uaſi uſq ad concauũ ſuperficiei uitri: accidet tamen idẽ quod prius, quoniã radius perpẽdicularis ſemper penetrat irrefractus. Itẽ ne putet aliquis, quòd rectitudo radiorũ perpendiculariũ adiuuetur per cubicã figurã uitri: accipiatur medietas ſphærę uitreæ clarę uel cryſtallinæ, cuius ſemidiameter ſit minor diſtantia, quę eſt inter punctũ c & centrum laminę, q eſt punctũ e: & inueniatur cẽtrũ baſis eius, ſuper q ſignetur linea ſubtilis cũ incauſto. Deinde ex hac linea ex parte centri ſphærę ſeparetur linea æqualis l n diame

Fig. 424

metro foraminis orę inſtrumẽti: erit ergo hæc linea æqualis lineę m f, quę eſt inter m centrũ foraminis, q eſt in ora inſtrumẽti, & ſuperficiẽ laminę: deinde ſuք extremitatẽ huius lineę ſeparatę à diametro ꝓducatur perpẽdicularis ad utramq partẽ ſuperfici‡i ſphæricę, q poteſt fieri per 11 p 1: & ſecetur ſphæra uitrea ſecundũ illã lineã, planeturq́ ſuperficies uitri ſecti, donec ſit penitus æqualis, fiatq́ perpendi culariter erecta ſuper ſuperficiem planã hemiſphęrij (quod per angulũ rectum corporeum poterit menſurari) erit ergo tunc cõmunis differentia iſtius ſuperficiei erectę, & ſuperficiei baſis ſphærę linea recta, ſuper quã erit perpendicularis linea prius à centro ſphærę producta: ergo etiã erit perpen dicularis ſuper ſuperficiem erectã. Deinde in medio illius lineæ, quæ eſt cõmunis ſectio, fiat ſignum cum incauſto: deinde uitrũ illud politũ optimè ſuper hanc ſuperficiem ſectã, ponatur ſuper ſuperficiem laminę inſtrumenti, ita quòd gibboſitas eius reſpiciat foramina, & mediũ lineę, quę eſt cõmunis ſectio duarum ſuperficierum planarum uitri, applicetur centro laminæ, & figatur uitrum ſuper laminã, ne cadat. Deinde ponatur regula ſubtilis ſuper ſuperficiem laminę inſtrumenti, ſicut in experimentatione uitrorũ cubicorum, ita quòd ſuperficies regulæ, in qua eſt linea recta latitudinis ſit ex parte uitri, & prope illud. Deinde imponatur inſtrumentũ in uas prædictũ, & ponatur uas in ſole uacuum aqua, & moueatur inſtrumentũ, donec lux ſolis tranſeat ambo foramina: cadetq́ lux ſuper ſuperficiem regulę. Deinde ponatur extremitas acus uel ſtili ferrei ſuper centrum ſuperioris foraminis: cadetq́ umbra extremitatis acus ſuper centrum lucis: ablato quoq ſtilo, reuertetur lumẽ ad locum ſuũ. Idem quoq accidit ponenti extremitatẽ acus ſuper centrum foraminis ſecundi. Deinde ponatur extremitas acus ſuper centrũ ſphærę uitreę: cadetq́ umbra extremitatis acus ſuper centrũ lucis. Ex quo patet, quia lux tranſiens per centra duorũ foraminũ, tranſit etiã per centrũ ſphærę uitreę, & per mediũ ſuperficiei lucis, quę eſt in cõuexo uitri. Patet etiã ex his, q lux tranſiens in corpus uitri, extenditur ſecundũ rectitudinẽ lineę tranſeuntis per centra duorũ foraminũ: & eſt illa linea ſemidiameter ſphærę. Nam perpendicularis, exiens à centro baſis uitri ad laminam, eſt æqualis diametro foraminis & lineę exeunti à centro foraminis perpendiculariter ad ſuperficiem laminę: & quoniam hę duę perpendiculares cadunt ſuper diametrum laminę: palàm, quòd linea tranſiens per centra duorũ foraminũ, cum extenditur in rectitudinẽ, peruenit ad centrum ſphærę uitreę: eſt ergo in illa linea diameter huius ſphærę uitreę: eſt ergo perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ huius ſphęrę ք 72 t 1 huius: quoniã enim trãſit centrũ ſphęrę, patet quòd ipſa eſt perpẽdicularis ſuper conuexã ſuperficiẽ ſphærę, ſicut ſuperius patuit in uitris cubicis. Auferatur itaq regula ſubtilis applicata ad ſuper ficiem laminæ, & ponatur inſtrumentũ ſecundò in uas, ut prius, & moueatur quouſq lux tranſeat per duo foramina: inuenieturq́ lux ſuper oram inſtrumenti, & inuenietur centrũ lucis in puncto p, quod eſt differentia cõmunis inter circumferentiã circuli medij, & lineam g k, perpendicularẽ in ora inſtrumẽti: hoc eſt in extremitate diametri circuli medij, quæ eſt m p, tranſeuntis per centra duorum foraminum m & y. Ex quo patet, quoniã lux tranſiens in corpus uitri, & perueniens ad centrũ eius, prodiensq́ in corpus aeris, extenditur ſecundũ lineã, quę extendebatur in corpore uitri. Cum enim linea recta tranſiens centra amborũ foraminũ, perpendicularis ſit ſuper ſuperficiẽ uitri: patet quòd ipſa neceſſariò eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ aeris tangentis uitri ſuperficiẽ. Itaq ſi uaſi infundatur aqua, remanente uitro in ſua poſitione, donec aqua ſuperfluat centro uitri: adhuc inuenietur centrũ lucis ſuper extremitatẽ diametri circuli medij: & ſi ſphæra uitrea tranſuertatur, ita ut cõuexũ eius ſituetur ad ſecundũ foramẽ, & plana ſuperficies ad centrũ inſtrumẽti, ſcilicet punctũ e, ſiue aqua ſuperfundatur, ſiue nõ, adhuc omnia alia accidẽt, quę in priori ſitu accidebãt: quoniã ſemք radius trãſiens per cẽtra amborũ foraminũ, tranſibit etiã per centrũ ſphærę. Ex his omnibus ք uitra page 80 cubica & ſphærica patet, quòd ſiue medium ſecundi diaphani fuerit denſius uel rarius, dum tamen linea, per quam extenditur radius, fuerit perpendicularis ſuper ſuperficiem ſecũdi corporis, quòd lux extenditur in ſecundo corpore ſecundum rectitudinẽ lineæ, per quam extendebatur in corpore primo. Patet ergo propoſitum: corpus enim uitri eſt denſioris diaphanitatis, quàm corpus aeris, & etiam quàm corpus aquæ.

45. In medio ſecundi diaphani rarioris primo diaphano, fit refractio radiorum obliquè incidentium à poſteriore ſuperficie ſecundi diaphani, à perpendiculari exeunte à puncto refractionis ſuper ſuperficiem corporis ſecundi. Alhazen 7 n 7.

Hoc quod nunc hic proponitur, eſt cõformiter prioribus per inſtrumentalẽ experientiã declaran dum. Aſſumatur enim illud uitrũ ſphæricũ, quo iam in præcedenti ꝓximo theoremate uſi ſumus, & ponatur ſuper laminã inſtrumẽti, ita q ſuperficies plana ipſius reſpiciat foramina, & quòd mediũ lineæ rectę, quæ eſt in ipſo, ſit ſuper centrũ laminę, & linea, quæ eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ planarũ uitri, cadat obliquè ſuper diametrũ laminæ quacũq obliquatiõe. Palàm ergo, quòd linea tranſiens centra duorũ foraminũ, obliqua eſt ſuper ſuperficiẽ planã uitri. Cõiungatur itaq uitrũ laminę inſtrumẽti ſecundũ hunc ſitũ firmiter: & ponatur inſtrumentũ in uas, & uas in ſole, moueaturq́ inſtrumentũ, donec lux tranſeat per duo foramina: cadetq́ lux in interiori ora inſtrumenti: & centrũ lucis erit in circunferẽtia medij circuli, ſed extra illũ punctũ p, qui eſt cõmunis differẽtia circũferen tię medij circuli, & lineę ſtanti in ora inſtrumenti, quę eſt g k: & erit declinatio eius ad partẽ, in qua eſt ſol: erit ergo ad partẽ perpendicularis exeuntis à loco refractiõis ſuper ſuperficiẽ ſphæricã uitri. Et quoniã hæc lux extenditur in aere ſecundũ rectitudinẽ lineę tranſeuntis per centra duorũ foraminũ, ut patet per 1 huius: & hæc linea in hoc ſitu քuenit ad centrũ ſphærę uitreę: & eſt obliqua ſuք ſuperficiẽ ſphærę planã: palã ergo, quia terminatio extenſiõis illius lucis eſt in centro uitri. Extendi tur ergo lux in corpus uitri ſecundũ lineã rectã, exeuntẽ à cẽtro ſphærę ad circunferentiã, quę linea cũ ſit diameter, palàm per 72 t 1 huius, quoniã ipſa eſt perpẽdicularis ſuper ſphęricã ſuperficiẽ uitri: ergo & ſuper concauã ſuperficiẽ aeris continentis ſphærã uitri: nõ ergo refringitur in aere ſecundo, ſicutneq in primo, ſed neq refringitur in corpore uitri, nec in cõuexo ipſius: refringitur ergo apud centrum uitri, quia fuit obliqua ſuper ſuperficiem eius planã, in qua eſt centrũ uitri. Palàm itaq ex his experimentationibus illud, quod eſt etiã ſuperius declaratũ, ſcilicet quoniã lux, ſi fuerit extenſa in corpore ſubtiliori obliquè incidens ſuperficiei corporis groſsioris, refringetur ab ipſo: & erit eius refractio ad partẽ perpendicularis ſuper ſuperficiẽ ſphæricã corporis groſsioris, ſicut ք 43 huius patuit: ut ſi fiat refractio ex aere ad aquã, erit illa refractio ad partẽ perpẽdicularis exeũtis à loco refractionis ſuper ſuperficiẽ aquæ, & nõ peruenit refractio ad perpendicularẽ. Quòd ſi uitrũ è conuerſo ſituetur, ſcilicet ut ſuperficies eius ſphęrica conuexa reſpiciat ſuperius foramẽ, & punctũ mediũ lineę (quę eſt cõmunis differentia ſuperficierũ planarũ) quod eſt centrũ ſphærę uitreę, ſit ſuper centrũ inſtrumenti, cadatq́ hæc linea obliquè ſuper diametrũ laminæ: ducaturq́ in ipſa ſuperficie laminæ à centro laminæ linea perpendicularis ſuper lineã, quæ eſt cõmunis ſectio illarum planarũ ſuperficierũ, quę neceſſariò erit perpendicularis ſuper ſuperficiem planam uitri erectã ſuper ſuperficiem laminæ: ponaturq́ inſtrumentũ in uaſe ſine aqua, & moueatur, quouſq lux pertranſeat duo foramina: cadet centrum lucis in circunferentia medij circuli extra punctum p, quod eſt differentia cõmunis medij circuli, & lineæ g k perpendicularis ſuper ſuperficiẽ laminæ ducta in ora inſtrumen ti, quod punctum p eſt extremitas diametri medij circuli, quæ eſt m p: eritq́ declinatio lucis ad partem contrariam illi, in qua eſt perpendicularis educta à loco refractionis ſuper planam ſuperficiem uitri. Hæc autẽ lux extenditur in uitro ſecundum rectitudinẽ lineæ tranſeuntis per centra duorum foraminum: quoniã illa linea cum per centrum ſphæræ uitreæ tranſeat, eſt illa diameter ſphæræ uitreæ: fit itaq refractio lucis apud centrum ſphæræ uitreæ: quoniam lux tranſiens centra amborum foraminum fit obliqua ſuper ſuperficiem planam uitri, & ſuper ſuperficiem aeris contingentis uitrum. Et ſi aqua infundatur uaſi, quouſq ſuperemineat centro inſtrumenti: cadet adhuc centrũ lucis in circumferentia medij circuli extra extremitatem ſui diametri obliquè ad partem contrariam illi parti, ſuper quam cadit perpendicularis. Et quoniã aer eſt ſubtilior quàm aqua, & aqua ſubtilior uitro: maior fiet diſtantia centri lucis ab extremitate diametri medij circuli in aere, quàm in aqua. Quòd ſi uitrum ponatur aliter in ſuperficie laminæ, ſcilicet ut linea, quæ eſt communis differentia duarum ſuperficierũ planarum ipſius uitri, ſit ſuper lineam perpendiculariter diametrum laminæ ſecantem, non tamen ſit eius medius punctus (qui eſt centrum ſphæræ uitreæ) ſuper centrum laminæ, & uertatur conuexum uitri ad foramina, & figatur regula ſubtilis ſuper ſuperficiem laminę erecta ſuper oram eius, ſitq́ ſuperficies eius, in qua eſt linea, ex parte uitri: & terminus regulæ ſecet dia metrum laminæ perpendiculariter: palàm, quia linea tranſiens per centra foraminum duorum, non tranſit per centrũ ſphæræ, ſed per aliud punctum ſuperficiei planæ ipſius uitri: & erit obliqua ſuper ſphæricam ſuperficiem per 72 t 1 huius. Ponatur itaq inſtrumentum in uaſe, & uas in ſole, & moueatur inſtrumentum, quouſq lux tranſeat per centra duorum foraminum: & non cadet lux directè ſuper ſuperficiem regulæ, neq centrum lucis cadet in linea, quæ eſt in ſuperficie regulæ, ſed declinabit obliquè extra lineam, quæ tranſit per centra duorum foraminum ad partem, in qua eſt centrum uitri, hoc eſt ad partem contrariam perpendicularis, exeuntis à loco refractionis perpendiculariter ſuper ſuperficiem uitri ſphæricam: eritq́ linea pertranſiens centra duorum fo page 81 raminum perpendicularis ſuper ſuperficiem ultri planã per 8 p 11: quoniã illa linea eſt æquidiſtans lineæ f g diametro laminæ, quæ ex hypotheſi eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem planam uitri. Si ergo lux tranſiret per centra duorum foraminũ, & extenderetur ſecundũ rectitudinem ad planã uitri ſuperficiem: palàm, quòd tunc extenderetur ſecundũ rectitudinem in aere: ſed centrũ lucis, quæ eſt in regula, cum nõ cadat in rectitudinẽ huius lineę: patet, quòd lux nõ extenditur in eius rectitudine ad ſuperficiem planã uitri: eſt ergo lux refracta, ſed nõ refringitur in aere, neq in corpore uitri. Refringitur itaq apud ſphæricã ſuperficiem uitri: incidit enim obliquè ſuper ſphæricã ſuperficiem, quoniã linea tranſiens centra duorũ foraminũ, nõ tranſit per centrũ uitri: & hæc lux egrediẽs à plana ſuperficie uitri, quoniã obliquè aeri incidit, plus refringitur. Quòd ſi uitrũ è cõtrario diſponatur, ut eius ſuperficies plana opponatur foramini primò ſic, quòd cõmunis differentia ſit ſuper lineam ſecantẽ diametrum laminæ perpendiculariter, & medius punctus illius lineæ ſit extra centrum laminæ: tunc ergo linea pertranſiens centra duorũ foraminum non tranſit per centrum uitri, ſed per alium punctũ illius planę ſuperficiei, & eſt perpendicularis ſuper illam ſuperficiem. Moueatur itaq inſtrumentũ in ſole, donec lux tranſeat per ambo foramina: cadetq́ centrum lucis, quę cadit in inte riore parte oræ ipſius inſtrumenti in peripheria medij circuli, extra punctũ p, quod eſt extremitas diametri medij circuli, quæ eſt linea m p, ſed declinabit ad partẽ, in qua eſt centrũ uitreæ ſphærę: & linea, quę egreditur à centro huius ſphærę in imaginatione ad locum refractionis, eſt perpendicula ris ſuper ſuperficiem huius ſphærę: eſt ergo perpendicularis ſuper ſuperficiem aeris contingentis ſuperficiem ſphærę uitreæ. Hæc itaq refractio eſt ad partem contrariã illi, in qua eſt perpendicularis, exiens à loco refractionis ſuper ſuperficiem aeris cõtingentis ſphæram. Lux uerò tranſiens cen tra‡duorum foraminũ, pertranſit corpus uitri rectè, cũ ſit perpẽdicularis ſuper ſuperficiem planam uitri: ſed non eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ conuexam, cum non pertranſeat centrũ ſphæræ: ergo etiam non eſt hæc lux perpendicularis ſuper ſuperficiem aeris contingentis conuexũ uitri: & quia hæc lux refracta inuenitur: refringitur ergo apud cõuexam ſuperficiem ſphæræ uitreæ. Quòd ſi a qua tunc infundatur uaſi infra centrum laminæ: inuenietur etiam lux refracta ad partem, in qua eſt centrum uitri: hoc autem eſt ad partẽ contrariam illi, in quam cadit perpendicularis, exiẽs à loco refractionis, quæ extenditur in corpore aeris, perpendicularis ſuper concauam ipſius aeris ſuperficiem conuexam uitri contingentem. Et hoc eſt propoſitum.

46. Omnem radium incidentem & refractum in eadem plana ſuperficie conſiſtere eſt neceſſe. Alhazen 5 n 7.

Sed & id, quod nunc proponitur, poteſt experimẽtaliter declarari. Quoniã enim omnibus diſpo ſitis, ut in 43 huius, lux incidens centro lucis, quę eſt in ſuperficie aquæ, & à centro lucis exiſtentis ſuper ſuperficiem aquæ, quod eſt centrum medij circuli, incidens centro lucis intra aquam exiſtentis, quod eſt in circumferentia circuli medij, tranſit per centra amborũ foraminũ, quæ ſimiliter ſunt in ſuperficie medij circuli: palàm, quoniã linea, ſecundũ quã lumẽ incidit ſuperficiei aquę per mediũ aerẽ, & ſecundũ quã refringitur in aquę medio, ſunt in eadem ſuperficie: quoniã utraq ipſarũ eſt in ſuperficie medij circuli trium aſsignatorũ circulorum. Inuenitur autẽ hæc refractio in radio ſolari, quando radius ſolaris tranſiens per centra foraminum, fuerit obliquus ſuper aquæ ſuperficiem, nõ quãdo fuerit perpendicularis: & propter obliquitatẽ ſitus inſtrumenti à centro ſphærę aquæ, nun fiet hæc linea radialis perpendicularis ſuper ſuperficiẽ aquæ, niſi ſol fuerit perpendiculariter ſuper zenith capitis: ſole uerò ultra uel citra zenith capitum exiſtente, ſatis euidens eſt hæc experimenta tio omni tẽpore. Patet ergo id, quod proponebatur. Et hanc ſuperficiẽ dicimus ſuperficiẽ refractionis. Patet itaq exijs omnibus quinq præmiſsis propoſitionibus, quoniã omnis lux pertrãſit quæcunq corpora diaphana ſecundũ lineas rectas: & quãdiu lineę ſunt քpendiculares ſuք ſuperficies corporũ, quantũcunq etiã diuerſę ſint diaphanitatis, ſemper extẽditur ſecundũ rectitudinẽ eiuſdẽ lineę, & nõ refringitur. In corpore uerò diuerſę diaphanitatis omnis lux ſuperficiei ſecũdi corporis obliquè incidẽs, refringitur ſecundũ lineas rectas alias ab illis, ſecundũ quas incidebat primo corpori: quę tamẽ lineę ſemper erũt in eadẽ ſuperficie plana, imaginatę ſecare utrunq illorũ corporũ: & hæc ſuperficies in inſpectiõe inſtrumẽti eſt medius circulus triũ circulorũ ſignatorũ in interiore parte orę inſtrumẽti, cuius diameter eſt linea m p. Cũ uerò lux obliqua exiuerit à corpore ſubtiliori ad groſsius: refringetur ad partẽ քpendicularis exeũtis à loco refractionis, quę eſt քpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ groſsioris ſecũdi corporis: & cũ lux obliqua exiuit à corpore groſsiori ad ſubtilius, re fringetur ad partẽ cõtrariã prędicto modo ductę ſuք ſuperficiẽ corporis ſecundi, ſcilicet ſubtilioris.

47. Radio perpendiculari omne corpus diaphanũ penetrante, radius obliquè incidens in medio ſecũdi diaphani denſioris refringitur ad perpẽdicularẽ ductã à pũcto incidẽtiæ ſuper ſecundi diaphani ſuperficiẽ: & in medio ſecundi diaphani rarioris refringitur ab eadẽ. Alhazen 8 n 7.

Illud, quod particularibus experientijs hactenus inſtrumentaliter probatũ eſt, naturali demonſtratiõe intendimus adiuuare. Omnes enim motus naturales, qui fiunt ſecundũ lineas perpendiculares, ſunt fortiores, quoniã coadiuuãtur uirtute uniuerſali cœleſti ſecundũ lineã rectã breuiſsimã, omni ſubiecto corpori influẽte. Impulſiones ꝓiectationũ factarũ perpendiculariter, ſunt fortiores eis, quę fiunt obliquè: & ſimiliter percuſsiones, quę fiunt perpendiculariter, ſunt omnibus obliquis percuſsionib. fortiores: & inter oẽs obliquas, fortiores ſunt illę, quæ plus accedũt ad perpẽdicularitatẽ. Quia itaq omnis corporis dẽſitas impedit tranſitũ luminis, neceſſe eſt lumẽ imaginari repelli à page 82 tranſitu per reſiſtentiã corporis denſi, & plus per reſiſtentiã corporis denſioris: & per hanc reſiſtentiam qualitatis paſsiuæ, quæ eſt denſitas ad qualitatẽ actiuam, quæ eſt lumen, intelligimus quendã modũ motionis luminis per medium corporũ reſiſtentiũ, quæ ſecundũ plus & minus capacia ſunt impreſsionis luminaris, nõ quòd in tranſmutatione locali ipſius luminis ſit aliquis motus, ut patet per 2 huius: ſed quia lumen in eodẽ inſtanti ſecundũ diuerſitatẽ mediorũ ſe plus comprimit uel diffundit: & hoc uocamus hic motũ ipſius lucis. Omnis itaq lux pertrãſiẽs corpus diaphanũ, motu ue lociſsimo & inſenſibili pertrãſit: ſic tamẽ, quòd per magis diaphana uelocior fit motus  per minus diaphana. Omne enim corpus diaphanũ plus & minus reſiſtit penetrationi lucis, ſecundũ quod eſt participans diaphanitate plus uel minus: groſsities enim corporũ reſiſtens eſt ſemper luminis pene trationi. Cũ ergo lux pertranſiuerit corpus aliquod diaphanũ obliquè, & occurrerit corpori alij diaphano groſsiori: tũc corpus groſsius reſiſtit luci uehementius,  prius corpus rarius reſiſtebat: neceſſe eſt ergo, quòd ꝓpter reſiſtentiã illius corporis denſioris motus lucis trãſmutetur: & ſi reſiſten tia fuerit fortis, tunc motus ille ad partẽ contrariã refringetur: quia uerò nõ reſiſtit fortiter, ideo lumen nõ redibit in partẽ, ad quã mouebatur. Si uerò reſiſtentia fuerit debilis ꝓpter maiorẽ raritatẽ corporis plus diaphani: tũc lux incidens nõ refringetur ad contrariã partẽ, nec poterit per illã lineã ꝓcedere, per quã inceperat, ſed mutabitur in ſitu: cũ uerò քpendiculariter inciderit quibuslibet cor poribus diaphanis & quantũcunq diuerſæ diaphanitatis, nõ mutabitur, ſed directè omnia penetra bit: quoniã perpendicularis fortior eſt omnibus, & obliqui uiciniores perpẽdiculari, ſunt fortiores omnibus remotioribus. Cũ itaq corpori diaphano groſsiori lux incidit obliquè, extenditur ſecundum lineã rectam approximantẽ ad perpendicularẽ, exeuntẽ à puncto, in quo lux occurrit ſuperficiei corporis diaphani groſsi, productã ſuper ſuperficiẽ corporis groſsioris, ideo, quia facilimus mo tuũ eſt ſecundũ lineam perpendicularẽ. Si ergo radius lucis inciderit ſuper lineã perpendicularẽ, tranſibit rectè ꝓpter fortitudinẽ motus ſuper perpendicularẽ: & ſi radius inciderit obliquè, tunc nõ poterit tranſire ꝓpter debilitatẽ motus ſuper lineas obliquas. Accidit ergo ut declinet ad partẽ aliquã, per quã facilior ſit tranſitus,  per illam partẽ, ad quã per lineam incidentię mouebatur: facilior aũt motuũ, & plus adiutus cœleſti influentia eſt ſupèr lineã perpendicularẽ: quod enim uicinius eſt perpendiculari, facilioris eſt tranſitus,  remotius ab illa. Sit itaq ut à puncto a corporis luminoſi incidant radij quàm plures per mediũ a b ſuper ſuperficiem alterius diaphani corporis, in qua ſit linea b c d e: & ſit b f linea profunditatis illius corporis: & ſit

Fig. 425

a h e d c b k q l g f
linea a b perpendicularis ſuper illam ſuperficiẽ. Palàm itaq ſecundũ rationẽ præmiſſam fortitudinis perpendiculariũ, & per experientias inſtrumẽtales ք 42 & 44 huius, quoniã radius incidẽs ſecundũ lineã a b perpẽdiculariter, penetrat totũ corpus b e f. Radius uerò incidens ſecundũ lineã a c, ſi directè trãſeat corpus b e f: tunc nõ erit diuerſitas in diapha nitate corporũ a b e & b e f: q eſt cõtra hypotheſim: linea itaq a c ꝓpter diuerſitatẽ reſiſtentiæ nõ erit linea cõtinua. Sed ſi per corpus minus reſiſtẽs mouebatur liberè per lineã a c, nõ poteſt in corpore plus uel minus reſiſtẽte per eandẽ lineã moueri. Si ergo corpus b e f ſit denſius corpore a b e, patet ex præmiſsis, quòd difficilior eſt trãſitus per illud. Si itaq linea a c refringitur à linea perpẽdiculari, ducta à puncto c ſuper ſuperficiẽ corporis b c d e, quę ſit c g, debilitabitur, nec ad aliquid perueniet effectus eius: fruſtra ergo inci debat: natura aũt fruſtra nihil agit, ſicut in principio ſuppoſitũ eſt: linea ergo a c (ut etiã oſtenſum eſt experimentaliter ք 43 huius) refringitur neceſſariò ad partẽ perpendicularis c g, ut fortificetur actio eius: ſimiliter quoq eſt de radijs incidentib. ſecundũ lineas a d & a e. Q ſi corpus, in cuius ſu perficie eſt linea b c d e, fuerit diaphanitatis rarioris,  ſit corpus a b e, adhuc ꝓpter fortitudinẽ actionis, radius perpendicularis, ꝗ eſt a b, penetrat irrefractus, radius uerò ſecundũ lineã a c tranſiens corpus denſius, & in puncto c inci dens ſuperficiei corporis rarioris, nõ inuenit reſiſtentiã quã prius. Et quia formarũ propriũ eſt ſemք ſe diffundere ſecundũ amplitudinẽ omnis capacis materię: patet, quòd radius a c nõ ꝓcedit ſecundũ lineã a c: quia ſic diſpoſitio diaphanorũ corporũ ſecundũ reſiſtentiã ad receptionẽ luminis eſſet uniformis, q eſt contra hypotheſim: refringitur ergo radius a c, ſed nõ ad perpendicularẽ c g: quoniã illa refractio nõ fit propter reſiſtentiã materię, ſed ꝓpter ui ctoriã formæ agentis ſuper materiã plus diſpoſitã  prius: unde forma diffundit ſe uirtute ꝓpria ab incepto ꝓgreſſu ſecundũ lineã a c, & ad partẽ cõtrariã ipſius perpendicularis c g, & eius æquidiſtan tis, quę b f: & ſimiliter eſt de omnib. alijs obliquis radijs ut a d & a e. Motus itaq radij incidentis obliquè ſecũdũ lineã a c in corpore ſecũdi diaphani denſioris, q eſt b e f, cõponitur ex motu in partẽ քpendicularis a b, trãſeuntis per corpus b e f, in quo eſt motus, & ex motu facto ſuper lineã c b, quæ eſt perpẽdicularis ſuper lineã c g. Quoniã enim trãſitus perpẽdicularis eſt fortiſsimus & facillimus motuũ, & denſitas corporis reſiſtit termino motus, ad quẽ intẽdebat, linea a c neceſſariò mouebitur page 83 ad perpendicularem c g, exeuntem à puncto c, in quo radius a c occurrit ſuperficiei corporis denſioris. Et quoniã illi motui reſiſtitur propter groſsiciem medij, & etiam propter naturã alterius m otus, qui eſt ſuper lineam c b, qui propter reſiſtentiã medij non omnino dimittitur, ſed tantùm impeditur: declinabit ergo lumen uerſus punctum b, ſemper approximans perpendiculari a b f: fit itaq in medio ſecundę diaphanitatis groſsiore medio primo, refractio radij a c ſecundũ lineam c l, propinquiorẽ perpendiculari c g, exeũti à puncto c, in quo occurrit corpori denſiori, quàm linea a c, per quam incidebat ſuperficiei illius corporis, producta ultra punctum c a d punctũ h, propinqua fuerit eidem perpendiculari eductæ ultra punctũ c ad punctum h, ita, ut angulus a c h ſit maior angulo l c g: non concurret tamen cum perpendiculari b f uerſus punctum f, ſed uerſus punctum a per 2 t 1 hu ius, quoniã concurrit cũ eius æquidiſtante linea c g in puncto c. Cum uerò radius a c exiuerit à corpore groſsiore ad ſubtilius: tunc quia minus habet reſiſtentiæ, erit motus eius uelociter & ma gis ſui diffuſiuus. Et quoniam reſiſtentia medij denſioris impellit ſemper lucem obliquam, ut coadune tur ad perpendicularẽ lineam à puncto incidentiæ ſuper ſuperficiem illius corporis productã, quæ eſt c g: patet, quòd in medio rarioris diaphani illa reſiſtentia erit minor quàm prima: fit ergo motus lucis ad partem, à qua per reſiſtentiã repellebatur motus maior. Mouetur ergo lux in corpore diaphano rariore plus ad partem contrariã parti perpendicularis, ita, quòd angulus g c k ſit maior angulo a c h: fit tamẽ ſemper motus lucis a c in refractione à corpore ſecundo rarioris diaphani quàm primum, inter lineas c g & c e: quoniam ‡um angulus g c e ſit rectus, angulus g ‡k nunquam poteſt fieri rectus. Patet ergo propoſitum.

48. À[?] ſuperficie plana corporis diaphani omnium radiorum illi ſuperficiei incidentiũ, non eſt poßibile fieri refractionem ad aliquod punctum unum.

Quoniã enim, ut patet per præmiſſas, in omni corpore diaphano ſemper fit refractio uel ad ipſas perpendiculares ductas à punctis incidentię radij ſuper ſuperficiem corporis diaphani, à qua fit refractio: uel ab illis perpendicularibus (quomodocunq autem hoc contingat) patet, cum illę perpen diculares ſuper planam ſuperficiem ſint æquidiſtantes per 6 p 11, quoniam ſiue ad ipſas perpendicu lares, ſiue ab ipſis fiat refractio: non eſt poſsibile, ut omnium radiorum illi planæ ſuperficiei inciden tium refractio fiat ad punctum unum Patet ergo propoſitum.

49. Nulla refractio tranſmutat ſitũ partiũ formæ refractæ, ſedſolũ auget uel minuit figurã.

Quoniam enim, ut patet per 47 huius, omnis refractio fit in medio ſecundi diaphani, & in rariori à perpendiculari, in denſiori uerò ad perpendicularẽ: palàm, quòd ſemper dexter radius remanet dexter, & ſiniſter ſiniſter: & ſimiliter de alijs differentijs poſitionis. Situs ergo partium formæ refra ctæ non mutantur, ſed ſemper permanẽt: modo aũt ſuo: cum à perpendiculari fit refractio, augetur forma ſecundum dilatationem: & cum ad perpendicularem fit refractio, minuitur: quoniam anguli ipſam continentes, anguſtantur. Patet ergo propoſitum.

50. In omni ſimili ſuperficie eiuſdem diaphani, radij ſecundum æquales angulos incidentes, ſecundũ æquales angulos refringuntur: & ſi maiores ſunt anguli incidentiæ, maiores ſunt angu li refractionum, & ſi minores, minores.

Siue enim refractionis modus attendatur à parte

Fig. 426

f h r q x b c d z a e p g k
ſuperficierum corporũ, in quibus fit refractio: quoniam alia fit refractio à ſuperficie ſphærica, & alia à plana: ſiue à parte diſpoſitionis diaphanorum: quoniam alia fit refractio à rariori diaphano, alia à denſiori, ut patet per plures propoſitiones libri huius: ſiue attendatur à parte angulorum incidentiæ, patet ſemper quòd angulis incidentiæ exiſtentibus æqua libus, ſecundum modum propoſitum nulla ſubeſt cauſſa diuerſitatis modi refractionis. Fiet ergo ſemper refractio ſecundum angulos æquales. Et hoc eſt propoſitũ primum. Et eſt huius exemplum, ut ſit corpus ſphæricum diaphanum denſius ipſo aere, in cuius ſuperficie ſit circulus a b c d e: cuius centrũ ſit p: & à puncto f corporis luminoſi incidant lineæ radiales, quæ ſint a f, b f, c f, d f, e f: incidatq́ radius f c perpẽdiculariter, & alij obliquè: patet, quòd omnes radij incidentes obliquè in ſuperficie illius corporis diaphani, refringentur per 47 huius. Sit ergo exempli cauſſa & breuitatis figuratiõis & denominatiõis linearũ, ut oẽs illi radij refracti cõcurrãt in puncto g: & ducãtur քpendiculariter ſuք ſuperficiẽ corporis li neę, quę ſint p d q & p b r & p a x & p e z. Dico, quòd ſi angulus incidẽtię (qui eſt f d q) ſit ęqualis angulo f b r, quòd angulus g d p erit æqualis angulo g b p, ք pręmiſſa, ꝓpter uniformitatẽ omniũ prędictarũ page 84 conditionum. Similiter quoq dico, quòd ſi angulus f d q ſit maior angulo f a x, quòd angulus p d g erit maior angulo p a g. Fiat enim ſuper punctũ a terminũ lineę x a angulus æ qualis angulo f d q per 23 p 1, qui ſit angulus h a x: refringaturq́ radius h a in puncto a: concurratq́ cum linea f g in puncto k: eritq́ per primam partem huius, angulus p a k æqualis angulo p d g: eſt autẽ angulus p a k maior angulo p a g: non enim eſt æqualis, quoniam tunc ex præmilsis ſequeretur angulos incidentiæ eſſe æquales, quod eſt contra hypotheſim, ſunt enim ſuppoſiti eſſe inęquales: ſed neq minor: quoniã ſic fieret refractio irregularis: quod eſt cõtra 43 & 45 huius: eſt ergo maior: ergo & angulus p d g eſt ma ior p a g. Idẽ quoq poteſt demõſtrari facilius, ut ſi angulus f e z fiat æqualis angulo f a x per 8 p 3, utpote ſi arcus a c & c e aſſumantur æquales: tũc enim anguli p a g & p e g erunt per præmiſſa ęquales: angulus uerò p d g minor eſt angulo p e g: quod patet etiã, ſi anguli refractiõis ponantur eſſe æquales. De hac autem materia hic ſummariè loquimur, quoniã ipſam in 10 huius libro, ubilocum proprium habet, perfectius perſequemur. Patet ergo propoſitum.

Fig. 427

a ‡ b z d

51. Datam altitudinem per umbram quanta ſit cognoſcere ſole apparente Euclides 18 theo. opticorum.

Sit data altitudo a b, quam proponimus, quanta ſit cognoſcere ſole apparẽte: & ſi illa altitudo eſt erecta ſuper ſuperficiem horizontis, ducatur in illa ſuperficie linea b d perpendicularis ſuper terminum altitudinis a b, qui ſit b: & incidat radius ſolaris per uerticem a b (qui ſit a) ipſi pũcto d: & ſit a d: ergo per 11 huius, erit linea b d umbra altitu dinis ipſius a b: erigaturq́ nota linea e z inter umbrã b d & radiũ a d æquidiſtanter altitudini a b, ut ſi z e ſit baculus notæ quantitatis. Erit ergo trigonus d z e per 29 p 1 æquiangulus trigono a b d: ergo per 4 p 6, uel per 9 huius, erit proportio d z ad z e, ſicut d b ad b a: ſed d z ad z e proportio eſt nota: quoniam cum z e ſit aſſumpta nota, poteſt & linea umbræ ſuæ, quæ eſt z d, modica menſuratione fieri nota: ergo d b ad b a proportio eſt nota: ſed d b poteſt menſurando fieri no ta. Ergo & a b erit nota. Quod eſt propoſitum, ut ſi linea a b ſit altitudo alicuius turris uel parietis, qui ualeat adiri ad menſuranda ſpatia umbrarum.

▼ Liber III ▼