Friedrich Risner, Vitellonis De Optica: Liber IV
▲ Liber III ▲

Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber qvartvs.

TRACTAVIMVS in præmiſſo tertio libro deproprietatibus organi ui ſiui, & de eſſentialibus modis uidendi: nunc aũt restat, ut in hoc quarto li bro proſequamur proprietates omnium uiſibiliũ, quæ, ut in principio tertij diximus, ſunt uigintiduo, quorum tantũ duo, ſcilicet lux & color ſunt per ſe uiſibilia: alia uerò uidentur per accidens: uel quia pluribus alijs ſenſibus percipiuntur: uel quia non uidentur, niſi propter luces & colores, ut patet in ſingulis ipſorũ. Et quoniã in præmiſſo tertio libro de uiſione lucis & coloris ſatis præmiſimus: ideo nũc alia 20 uiſi bilia reſtant pertractãda. Hæc ita omnia, paßiones quo et deceptiones, quæ accidunt uiſib. & potentijs intrinſecis animæ circa illa naturaliter uel mathematicè, prout naturarei et poßibilitas noſtra fert, ſub modo demõſtratiõis ſuo ordine per curremus, unicui ipſorũ ſuæ u‡ſis modũ, et in ſe et in ſuis partib. præmittentes: deceptiones quo, quæ in ipſo uel tantũ uirtuti uiſiuæ, uel etiam potentijs animæ intrinſecis, ut quæ uirtuti diſtinctiuæ & ratiocinatiuæ accidũt, cũ ſtudio ſubiungemus: quæ aũt præmittimus, ſunt iſta.

Definitiones.

1. Forma dicitur directè uiſibus incidere, à qua producta linea recta ſuper ſuperficiem uiſus eſt perpendicularis, incidens ipſi centro foraminis uueæ. 2. Obliquè uerò incidere dicitur, à qua producta recta dicto modo, nõ eſt perpẽdicularis. 3. Li nea directè uiſui oppoſita dicitur illa, cuiaxis radialis perpendiculariter incidit ſecundum aliquod eius punctum. 4. Linea obliquata ad uiſum dicitur, cui axis radialis ad nullum ſui punctum perpendiculariter poteſt incidere. 5. Superficies directè oppoſita dicitur, quando axis radialis perpendiculariter erigitur ſuper illam. 6. Superficies uerò obliquata ad uiſum dicitur, quando axis radialis punctis illius ſuperficiei incidit obliquè. 7. Complementũ directionis in oppoſitione uiſus eſt, cum axis perpēdicularis incidit medio ſuperficiei, uel lineæ oppoſitæ uiſui: & quãtò magis punctus, cui incidit axis perpendiculariter, fuerit medio ſuperficiei aut lineæ propinquior, tantò erit ſuperficies uel linea maioris directionis in oppoſitione. 8. Vera comprehenſio per uiſum, diciturilla, inter quã & ueritatem rei uiſæ non eſt diuerſitas ſenſibilis omnino, reſpectu totius rei uiſæ. 9. Remotio unius rei ab altera, eſt priuatio contactus interilla. 10. Conus dicitur pyra page 118 mis rotunda, uel uertex pyramidis cuiuſcunque rotundæ uellateratæ.

Petitiones.

Petimus autem hæc. J. Sub eleuatioribus radijs uiſa eleuatiora apparere, ſub decliuioribus uerò decliuiora: & ſimiliter ſub dexterioribus radijs uiſa dexteriora ap parere, ſub ſiniſterioribus uerò ſiniſteriora. 2. Item ſub pluribus angulis uiſa perſpicatius uideri. 3. Item omnes uiſus æqualis diſpoſitionis æquè ueloces eſſe. 4. Item omne to tum uideri maius ſua parte.

Theoremata

1. Ex intemperata proportione circumſtantiarum formarum uiſibilium ad uiſum fit deceptio in uiſu, non ſolùm ſecundũ ſe, ſed ſecundum uirtutẽ animæ diſtinctiuam. Alhazen 1 n 3.

Exhis, quæ declarata ſunt in libro tertio, patet octo eſſe neceſſaria ad perfectam operationem uiſus, quæ ſunt: lux per 1 th 3 huius. Item diſtantia uiſibilis à uiſu per 15 th 3 huius. Item ſitus oppoſitionis ipſius uiſus per 2 th 3 huius: uel ſitus reſpectu axis cõmunis per 44 th 3 huius. Item magnitudo corporis per 19 th 3 huius. Item ſoliditas corporis uidendi per 14 th 3 huius. Item diaphanitas aeris per 13 th 3 huius. Item tempus conueniens intuitioni faciendę per 56 th 3 huius. Item fanitas uiſus per 16 th 3 huius. Quodlibet autem iſtorum latitudinem habet proportionatam ad rem uiſam. Lux enim habet latitudinem, quoniam lux maxima impedit uiſum, & lux debilis non educit uiſibilia in actum agendi in uiſum: unde corpora minuta uel intentiones uiſibiles minutæ non uidentur in luce debili: ſed eſt etiam latitudo in ea luce, quæ eſt magnitudini corporis proportiona ta. Diſtantia quoq uiſibilis à uiſu ſiue ipſius remotio latitudinem habet: corpus enim aliquod ab aliqua diſtantia plenè comprehenditur, & ab alia non plenè: & inter illas diſtantias eſt latitudo magna, in qua fit plena comprehenſio corporis illius, & ſecundum quod maius fuerit corpus, maior erit latitudo diſtantiæ ſpatij, ſecundum quam ipſum poterit uideri. Similiter cum magna fuerit declinatio alicuius corporis à directione oppoſitionis ipſius uiſus, non comprehenduntur particulæ uel notæ paruæ, quæ ſunt in ipſo, quę in parua declinatione corporis uiderentur: & eſt etiam inter illas declinationes latitudo. Similiter corpus paruum ſitum extra axem communem uidebitur mul tum elongatum & occultatum, & idem corpus ſitum circa axem communem uidebitur apertè: palàm autem, quòd ſitus reſpectu axis communis habet latitudinem, quoniã habet habitudinẽ proportionatam ad corporis magnitudinem & minutias ipſius. Magnitudo etiam corporis habet latitudinem: ſi enim partes rei uiſæ non fuerint proportionales totali magnitudini uiſæ, occultabun tur uiſui: & ſi fuerint proportionales totali uiſę magnitudini, ſit tamen corpus totale modicum, adhuc non uidebuntur. unde in picturis modicis aliquas particulas non ſtatim percipimus uiſu, licet proportionales ſint ſuis totis: latitudo ergo magnitudinis rei uiſæ proportionata debet eſſe ad totale corpus, cuius fuerit pars illa uiſa magnitudo. Soliditas quoque habet latitudinem proportionatam ad rem uiſam. Sienim in corpore aliquo color ualde acutus fuerit, licet ipſum ſit paucæ ſoliditatis: illud tamen corpus uideri poterit, quod non accideret maiori ſoliditate in illo corpore exiſtente, quoniam fortè color propter reflexionem uehementem luminis impediret uiſum, quæ reflexio fieret propter magnam corporis ſoliditatem: & ſi color fuerit obſcurus, tunc fortè accidet minus ſolidum debilius uideri colore eius obſcuro exiſtente. Diaphanitas etiam aeris habet latitudinem: quia per flammas & per ſumos non fit uiſio rerum minutarum, ſed ſortè groſſarum, ſicut ſi per ipſa uideretur charta, non ſcriptura. Tempus etiam conueniens intuitioni facien dæ latitudinem habet: quia corpus ſubitò uiſum pertranſiens, non comprehenditur à uiſu, & quandoque motus trochi non uidetur, quia eſt uelociſsimus in tempore ualde paruo. Sanitas etiam uiſus latitudinem habet: in quibuſdam enim infirmitatibus minutiæ corporis, niſi abſcondantur, in minori ſpa tio percipiuntur, & uiſus debiliores non uident illa, quæ occurrunt uiſibus fortioribus. Vniuerſaliter ergo quilibet iſtorum modorum, in quo non uerificatur forma rei uiſæ, ſicut eſt in rei ueritate, eſt egreſſus à temperantia ad rem illam uidendam proportionata: & hęc omnia ſe alterutrum reſpiciunt ſecundum conuenientes adinuicem proportiones: & quodlibet ipſorum ad alia octo con uenientem oportet quòd habeat diſpoſitionem, quorum pertractationem relin quimus conſiderationi animæ res propinquius intuentis.

2. Impoßibile eſt uiſum unam intentionum uiſibilium per ſe ſolam comprehendere. Alhazen 63 n 2.

Viſus enim perſe comprehendit formas uiſibilium, quæ ſunt corporales: omnes autem formæ corporales ſunt compoſitę ex multis intentionibus uiſibilibus particularib. prædictis: ſicut magni tudo nõ eſt ſine figura, & figura nõ eſt ſine ſitu: & hæc omnia nõ ſunt ſine colore, & color nõ eſt ſine luce, & luxnon diffunditur niſi in corpore. Viſus itaq non comprehendit aliquam iſtarum particu lariũ intentionũ, niſi ex cõprehenſione formarũ uiſibiliũ cõpoſitarũ ex plurib. intentionibus particularibus, quarũ quãlibet ſimul cõprehendit uiſus. Et quoniã nulla intentionũ per ſe ſola cõplet ali page 119 quá formarum corporalium ſenſibiliũ: palá, quòd impoſsibile eſt uiſum cóprehendere aliquã illarũ intentionum ſolam per ſe, ſed ſemper ſunt plures illarum intentionum ſimul in forma ſenſibili congregatæ. Viſus ergo cõprehendit ſimul ſemper multas intentiones particulares, quę ſolũ diſtinguũ tur anxilio uirtutis diftinctiuæ per imaginationẽ: & ſic demum uiſus comprehendit intentionem particularium quamlibet diſtinctam. Quod eſt propoſitum.

3. Non ſub quocun angulo res ſenſibiles uidentur.

Quod omne quod uidetur, ſub angulo uideatur, patet per corollarium 18 t 3 huius: & etiam cum per 19 th 3 huius, corpus uiſibile, oportet, ut ſit alicuius quantitatis reſpectu uiſus, ad hoc ut actu uideatur: palàm ergo, quòd ſub angulo contingentiæ, qui eſt indiuiſibilis per 16 p 3, non erit poſsibile aliquam rem uideri. Omnis enim angulus, ſub quo poteſt fieri uiſio, eſt diuiſibilis per axem pyrami dis radialis ſuperficiei ipſius uiſus perpendiculariter incidentem: eò quòd omnis uiſio fit per pyramidem uiſualem, cuius baſis ſuperficies rei uiſę per 18 t 3 huius: uel ad minus ille angulus eft ſub illo axe, & ſub alia linea longitudinis radialis pyramidis contentus, ut declaratum eſt in 54 th 3 huius: eſt ergo rectilineus: eſt ergo diuiſibilis per 9 p 1. Et quoniam maximus angulorum, ſub quo fit uiſio, eſt quaſi rectus, ideo, quòd diameter foraminis uueæ, quæ ſubtenditur illi angulo in centro uiſus, eſt quaſi æ qualis lateri cubi inſcriptibilis ſphæræ uueę, uel lateri quadrati inſcriptibilis circulo magno illius ſphæræ, ut oſten dim us in 4 t 3 huius: illi autem lateri ſemper ſubtenditur angulus rectus per 33 p 6: quoniam eius chorda eſt quarta circuli. Si ergo uiſio fieret ac ſi lineæ radiales in centro uueę concurrerent: tunc maximus angulus, ſecun dum quem fit uiſio, eſſet quaſi angulus rectus ſolidus, ita quòd pyramis uifualis maxima fieret rectangula, & ſemidiameter baſis illius pyramidis fie ret æqualis axi: fit autem uiſio ac ſi lineę concurrant in centro uiſus, ut patet per 73 th 3 huius: centrum uerò uiſus eſt remotius in profundo, quàm centrum uueę per 8 th 3 huius. Maior ergo angulus, ſecundum quem fit uiſio, eſt minor recto, ſed non multùm minor, quia illorum centrorum, ſphę ræ ſcilicet uueę & oculi, non eſt magna diſtantia: & fit axis maximæ pyramidis uiſualis maior ſemidiametro baſis eius, ſed non multò maior. Et hoc patet etiam experimento: quoniam ſi aliquis ſtet in campo plano erectus, & aperiat oculum, ut amplius poteſt, tunc uidebit quaſi quartá circuli maioris ſphærę cœleſtis per Zenith capitis tranſeuntis: & per anguli huius diuiſionem fit uiſio partiũ illius, & omnium rerum illis angulis ſubtenſarum, quouſq perueniatur ad angulum minimum, qui ſi diuideretur, non fieret uiſio ſecundum illum. Licet enim omnis angulus rectilineus mathematicus ſit in inſinitum diuiſibilis: in angulis tamen naturalib. ſecundum quorum diſpoſitionem fit paſſio operationis ſenſibilis, oportet ut ſit ſtatus in diuiſione, quãdo minus ſenſibile illo non erit: neq ergo erit uiſio ſenſibilis ſecundũ illũ: ſed omnis uiſio eſt ſenſibilis, cũ ſit actio ſenſitiua: nulla ergo ui ſio erit ſecũdum angulum minorem illo. Non ergo ſub quocunq angulo res ſenſibiles uidentur: & hoc intelligendũ eſt ſecun dum lineas radiales perpendiculariter ſuperficiebus uiſuũ incidentes, nõ obliquè, ſecundum quas obliquas fit incerta uiſio, & confuſio formarum rerum uiſibilium in uiſu, ut oſtendimus in 17 th 3 huius. Patet ergo propoſitum.

4. Forma lineæ perpendiculariter ſuperficiei uiſus oppoſitæ non uidetur: quoniam per ipſam ſolùm fit distinctio punctualis: oppoſitæ uerò uiſui ſecundum longitudinem, ſecundum ſui formam propriam uidetur.

Eſto, ut uiſui, cuius centrum ſit d, perpendiculariter incidat linea a b, quæ ſit linea ſenſibilis, utpo te corpus longum inſenſibilem habens latitudinem, ut pilus, qui, licet ſit columna rotunda, uellaterata, ba

Fig. 447

d a b a d b c
ſis tamen eius à uiſu percipi non poteſt: dico, quòd ta le corpus taliter diſpoſitum non uidetur: eſt enim an gulus in centro uiſus, cui ſubtenditur baſis eius diametri penitus inſenſibilis, ſecundum quẽ non poteſt fieri uiſio per præmiſſam. In formis tamen alijs uiſis fiet per incidentiam formæ huiuſmodi corporis ali qua diſtinctio pũctualis inſenſibilis: quoniam forma puncti illius perpendiculariter incidentis ſe formis punctorum circumſtantium aliarum formarum immiſcebit: & cum non ſit de genere illorum, neceſſariò aliquam faciet diſtinctionem, ita, ut illorum corporũ formæ actu, licet non multum ſenſibiliter diſtinguan tur, nec ad naturam continuitatis unius lineæ pertingant. Oppoſita uerò linea uiſui ſecundum longitudinem, ſiue ſit poſitio directa uel obliqua, ſemper ipſa ſecundũ ſui formã propriam uidebitur: quoniã tota eius lõgitudo ſub angulo uno, & partes eius ſub angulis ſenſibilib. perueniẽt ad uiſum: ut ſi linea a b c opponatur uiſui d ſecũ dũ ſuilõ gitudinẽ, & ſit diſtãtia cõueniens: tũc ipſa tota uidebitur ſub angu lo a d c: & pars eius a b ſub angulo a d b, & pars eius b c ſub angulo b d c: & ſiue ſit recta uel curua, uel irregularis, ſemք aliqua lõgitudo ſecũdũ latitudinẽ deſcribetur in oculi ſuքficie, ſecundũ q eſt in 120 ipſa linea, & per longitudinem ſenſibilem & latitudinem non ſenſatam uirtus diſtin ctiua formá lineę iudicabit, ut accidit in lineis naturalibus, quę ſunt, ut quidam pili. Patet ergo propoſitum.

5. Superficiei oppoſitæ uiſui taliter, ut imaginata protrahi ſecet oculum per eius cẽtrum, una tantum linea: oppoſitæ uerò uiſui ſecundum latitudinem forma propria uidetur.

Oppoſita enim uiſui ſuperficie quacunq per modum, quo proponitur, formæ omnium punctorum perpendiculariter incident ſuperſiciei uiſus, & concurrent in centro. Et quoniã ſorma cuiusli bet illorum punctorũ facit aliquam diſtinctionem in uiſu per pręcedentem: & omnia illa puncta ſecundum longitudinem incidentia coniuncta cadunt in quadam linea: patet, quòd illius ſuperficiei ſic diſpoſitę una tantùm linea uidetur. Oppoſita uerò illa ſuperficie ſecundum ſui longitudinem ui ſui, forma cuiuslibet ſuę lineę uidetur ſecundum ſui formam propriam linearis per pręcedentẽ. Tota ergo ſuperficies ſecundum ſui formam propriam uidetur, quoniam ſemper uidebitur longitudo & latitudo aliqua, ſiue illa ſuperficies ſit plana, ſiue concaua, uel conuexa: quia non eſt differentia in illis, quantum ad propoſitam paſsionem. Patet ergo propoſitum.

6. Corporum uiſibus oppoſitorum ſolæ ſuperficies à ſolo uiſu comprehenduntur.

Quia enim à ſolo uiſu corpora uidentur, ſecũdum quòd formę ipſorum uiſui ſe offerũt, & in eius ſuperficie depinguntur, ut patet per 17 t 3 huius: formę uerò profunditatis corporum uiſib. non offe runtur, ſed ſolùm ea, quibus ſecundum longum & latum lineę ductę à centro uiſus incidunt, ut patet per 2 t 3 huius: hęc aũt eſt diſpoſitio ſuperficialis. Corporum ergo uiſibus oppoſitorũ ſolę ſuperficies à ſolo uiſu comprehenduntur: & ſi una ſit corporis ſuperficies, ſiue ſit illud corpus ſphæricũ cócauum uel conuexum, una tantũ uidebitur ſuperficies: & ſi plures ſint corporis unius ſuperficies, utin corporibus omnium planarum ſuperficierum & columnarum rotundarum, & pyramidum & portionum ſphęricarum quarumcunq, ſemper non niſi plures ſuperficies uidebuntur, ac ſi non eſſet corpus, ſed quędam ſuperficies ſic extenſa, ſine corporis medij incluſione, Patet ergo propoſi tum. Quia itaq paſsio in lineis uiſui accidens, deſcendit in ſuperficierum uiſionem, & paſsio in ſuperficiebus uiſui accidens deſcendit in corporũ uiſionem, ſola uerò corpora per ſe uideantur, quia ſolùm corpora per ſe ſunt entia naturalia ſenſibilia, & ſuperficies & lineę in illis ſunt imaginabilia: parcendum nobis eſt, ſi uiſuales paſsiones corporum proponimus per modũ paſsionum uiſualium ſuperficierum uel linearum: quia quòd uiſibus in lineis accidit, corporum longitudini ſolùm uel latitudini ſolùm æſtimamus accidere, & quod ſuperficiebus accidit, corporum longitudini ſimul cũ latitudine neceſſarium eſt euenire: unde ſecundum iſtorum conueniẽtiam ſuperficiebus uel lineis nos poſterius utemur.

7. Omnium æqualium uiſibilium quod à propinquiori uidetur, ſub maiori angulo uidetur: quod uerò à remotiori, ſub minori. Euclides 5 th. opticorum.

Sint duę magnitudines ęquales b c & d e: ſitq́ centrum uiſus a: ſitq́ b c propinquior uiſui a, quá ipſa d e. Dico, quòd b c uidetur ſub maiori angulo quã

Fig. 448

d e d b c a
d e. Ducantur enim lineę a b & a c: & quoniam hę lineę concurrunt in puncto a, palàm quòd non ęquidiſtant per definitionem ęquidiſtantium llnearum: ſed neque concurrent in aliquo alio puncto quá in a: quia ſic duę rectę lineę ſuperficiem includerent, quod eſt impoſsibile. Nunquam ergo concurrent alibi quã in puncto a: protractę uerò ultra puncta b & c, ſemper ibunt in diſtantiam: ergo nunquã tangent lineam d e, nec erit uiſio aliquorum punctorũ lineę d e ſecundum illas per 2 th: 3 huius. Si ergo extrema puncta lineę d e uideri debent, hoc erit ſecũdum lineas cadentes intra lineas b a & c a, quę ſint lineę a d & a e. Siue ergo magnitudines b c & d e ęquidiſtent, ſiue non, ducta à puncto d ęquidi ſtante & ęquali ipſi b c per 31 p 1, patet per 34 t 1 huius, quoniam angulus b a c erit maior angulo d a e: lineæ ergo a d & a e ſunt angulum b a c diuidentes. Quia ue rò angulus partialis d a e eſt minor totali angulo b a c, patetid, quod proponebatur. Et ſimiliter demonſtrandũ eſt, ſi linearũ b c & c d ęqualiũ ſit idem ter minus, qui eſt c: uel ſi ſint adinuicem declinãtes: tũc enim idem accidit, quod prius. Totum tamen, quod hic proponitur per 108 th: 1 huius, perfectius patet: remotioris enim uiſi axis pyramidis radia lis, eſt lógior axe pyramidis radialis propinquioris uiſi: unde anguli ſolidi in uerticibus illarum pyramidum diuerſantur. Patet ergo propoſitum.

8. Vnumquod uiſorũ longitudinem habet ſpatij, ultra quod non uidetur. Eucli. 3 th. optico.

Sit centrũ oculi b: res autẽ d g ſit uiſa ſub minimo angulo uiſui determinato. Dico, quòd illa res, quę eſt d g, in ulteriori ſpatio nõ uidebitur. Sit enim poſitũ g d in ſpatio ulteriori, in quo ſit pũctus k: page 121 ſi igitur g d uideturin pũctok, neceſſe eſt per præmiſſam ipſam ſub minori angulo uideri quàm ſub illo minimo, qui eſt uiſui determinatus. Non autẽ ſub minori angulo

Fig. 449

k d g b
uiſibile potuit ad uiſum multiplicari: angulus enim multiplicationis formarũ ad uiſum tam diu poteſt diminui, donec formæ punctorum extremitatis rei uniantur, & fiant pũctus unus, nec res uidebitur niſi punctualis, uel nullo modo uidebitur. Patet ergo propoſitum.

9. Remotio rei uiſæ ab ipſo uiſu non eſt comprebenſibilis à ſolo ſenſu uiſus, ſed auxilio uirtutis animæ cognoſcitiue & diſtinctiuæ. Alhazen 24 n 2.

Intentio enim remotionis inter duo corpora eſt priuatio cótactus propter aliquod ſpatium inter illa duo corpora exiſtens:nó comprehenditur ergo remotio per ſe à uiſu, ſed auxilio uirtutis cognoſcitiuæ & diſtinctiuæ cognoſcentis utrumq extremorũ corporum & diſtinguentis inter illa: fit tamẽ talis comprehenſio non in tempore, ſed in inſtanti: quieſcunt enim in anima intẽtiones ſenſibiles, per quas com prehenditur remotio. Et quia illæ intentiones requieuerũt in anima per tempora longiora, ideo propter nimiam frequentationem & iterationem formarum illarum pluries in uiſu factam, nõ indiget uirtus diſtinctiua nouis collationibus temporalibus apud comprehenſionẽ illarum intentionũ, ſed ſtatim comprehendit remotionem ſimul cum rei comprehenſione propter cognitionem antecedentem. Quia enim oculis apertis res oppoſita uiſui ſtatim uidetur, & ſtatim clauſis oculis uelre ablata ab oppoſitione res non uidetur: concludit ratio, quòdillud, quod accidit eſſe in uiſu apud aliquem certum ſitum, & non manet poſt eius ablationem, non eſt fixum intra uiſum. Et quoniam forma ipſius, per quam uidetur, nó eſt intra uiſum: eſt ergo ab extrinſeco, à corpore ſcilicet exiſtente extra uiſum, non contingente uiſum: eſt ergo inter uiſum & illam rem uiſam remotio. Fit autem hæc argumentatio nô in tempore, ſed ſtatim ſimul cum ſimplici aſpectu uiſionis: quoniam ex frequẽtia uiſionis cum hac argumentatione quieſcit in anima uniuerſalis propoſitio, quam etiam anima non percipit apud ſe quieſcentem: & eſt, quòd omnia uiſibilia ſunt extra uiſum, & quòd inter quamlibet rem uiſam & ipſum uiſum eſt remotio. Patet ergo propoſitum.

10. Quantitas remotionis comprehenditur à uiſu auxilio uirtutis diſtinctiuæ, cum remotio reſpicit corpora ordinatæ & continuata. Alhazen 24 n 2.

Quantitas remotionis diuerſa eſt ab intẽtione remotionis in eo, quòd eſt remotio: quoniam intentio remotionis facit priuationem contactus aliquorum duorum corporum propter ſpatium inter illa duo corpora exiſtẽs: ſed quantitas remotionis eſt quantitas ſpatij inter illa duo corpora remota exiſtentis. Nulla itaq quantitas remotionis omnium uiſibilium comprehenditur per ſolum ſenſum uiſus etiam cum auxilio uirtutis diſtinctiuæ, niſi quantitas remotionis illorum uiſibilium, quorum remotio reſpicit corpora ordinata & continuata, & quorum remotio eſt mediocris: tunc enim cum uiſus comprehẽdit corpora ordinata & continuata, reſpicientia remotiones aliquorum corporum, & certificat menſuras illorũ corporum: conſequenter quoq certificat remotionis men ſuram per menſuras illorum corporum & per quantitates ſpatiorum, quæ ſunt inter extremitates corum: ſpatium enim, quod eſt inter duas extremitates uiſus & corporis, reſpicit rem otionem, quę eſtinter uiſum & rem illam uiſam. Vnde cum uiſus comprehenderit menſuram illius ſpatij, comprehendet etiam menſuram remotionis rei uiſæ: & hoc fit certitudinaliter per corpora ordinata & continuata in illo ſpatio exiſtentia & uerè comprehenſa, & cum remotio eſt mediocris. Dicimus uerò corpora ordinata & continuata, quæ ſunt in aliqua linea quaſi recta diſpoſita, in æquali quaſi ab inuicem diſtátia, ut ſunt arbores, uel montes, uel altæ turres, & ſimilia: per iſtorum enim numerationem cum ipſorum diſtantia ab inuicem aliqualiter fuerit nota, & innoteſcit quantitas remotionis eius, quòd ſecundum illam lineam à uiſibus eſt remotum. Mediocris uerò remotio eſt illa, in qua non latet omnino quantitas rei ſenſibilis reſpectu quantitatis totius remotionis. Solum itaq illorum corporum remotio à uiſu comprehenditur uera comprehenſione, quorum remotio reſpicit corpora ordinata & continuata; quorum corporum & ſpatiorum ipſa interiacentium quantitas & menſura à uiſu poteſt comprehendi uera comprehenſione, & cum remotio eſt mediocris. Vnde ſiue deficiat comprehenſio corporum cõtinuatorum & ordinatorum, ſiue deficiat mediocritas remotionis, nunquam comprehendetur remotio illorum corporum uera comprehẽſione, ſed ſolùm ſecundum æſtimationem. Vnde uidens nubes in loco non montuoſo, æſtimabit nubes ualde propinquas cœlo: ſi autem nubes uideantur ſuper cacumina montiũ, uel ſub illis, tunc ſciet uiſus, quia nubes ſunt propinquæ terræ. Cum ergo uiſus comprehendit uiſibilia, quorum remotionum quantitates non certificantur à uiſu: tunc uirtus diſtinctiua cognoſcit menſuras rem otionis eorum ſecundum æſtimationem, non ſecundum certitudinem, & comparat remotionem earum ad remotionem ſibi ſim lium ex uiſibilibus prius comprehenſis à uiſu. Quando itaq uiſus comprehendit aliquam rem uiſam remotam, ſtatim uirtus diſtinctiua comprehendit remotionem eius & menſuram remotionis eius ſecundum quod poterit comprehendere, aut per certitudinem, aut per æſti 122 mationem, & ſtatim remotio illius rei habebit in anima menſuram imaginatam. Corpora ucrò ordinata & continuata reſpicientia remotiones uiſibilium, ſunt utplurim um partes terræ & uiſibiliæ affueta, quæ ſemper uel frequentius comprehenduntur à uiſu, ut quæ ſunt ſuper terræ ſuperficiem, & corpus terrę interiacet illa corpora, ſicut etiam interiacetilla & corpus hominis aſpicientis: corpus autem terræ in teriacens illa corpora, menſuratur à uiſu per numerum pedum, quoniam pes eſt minima menſura conſueta hominibus ad menſurandum partes terræ propinquas, per quas partes terræ propin quas mẽſurantur partes terræ remotæ per uim diſtinctiuam animæ, propter frequentationem comprehenſionis ſimilium partium illi parti terræ, quarum partium menſura quieſcit in anima, ita, quòd etiam anima non percipit illarum partium quietem apud ſe ipſam. Peruenit autem hæc menſura ad animam, quoniam quantitas ſpatiorum, quæ ſunt apud pedes hominum, comprehenduntur à uiſu: menſurátur enim etiam ſine intentione per pedes hominum, quando frequenter ambulant fuper illa ſpatia, ſicut etiam menſurantur per extêſiones brachiorum, & uirtus diſtinctiua comprehen dit iſtam ueram menſurationem, & certificat ex ea quátitates partium terræ continuatarum cum corpore hominis uidentis: & hoc quieſcens in anima eſt principium menſurationis omnium remotionum ſecundum æſtimationem. Cum enim uiſus comprehen dit ſemper quan titatem partium terræ ſibi uicinarum, remanet apud animam etiam quantitas linearum protenſarum ab extremitatibus illarum partium terrę ad uiſum, & quantitas partis ſuperficiei membri ſencientis, ad quam peruenit forma illarom partium terræ & per conſequens quantitates angulorum peruenientium in centro uiſus, quos reſpiciunt illæ partes ſuperficierum uiſus per 73 th. 3 huius: unde ſi homo erectus aſpexerit terram, quæ eſt ante pedes eius, tũclongitudo linearum radialium erit quantitas lineæ erectionis, & ſuperducta ſuperiori palpebra uiſui, erit quaſi indiuiſibilis (ſicut angulus contingentiæ) ille angulus, ſecũdum quem fit uiſio: & cum proſpexerit ulterius, augmentabuntur lineæ radiales per 47 p 1, & eleuata ſuperiori palpebra, augebitur angulus, ita, ut cũ quan titas ſpatij uiſi ad quantitatem ſemidiametri mundi acceſſerit, etiá quantitas anguli peruenit quaſi ad rectum angulum, quoniam illi angulo ſubtendetur quarta circuli magniipſius ſphæræ cœleſtis uiſæ. Cum itaq hæ intentiones linearum & angulorum in anima quieuerint, fiunt principia comprehenſionis quantitatum remotionum quarumcunq: quoniam æ quales lineæ radiales & anguli æſtimantur partibus æqualibus correſpondere, & utitur ijs uidens præteríntentionem comparationis, & coadiuuatin hoc quantitas angulorum & augmẽtatio ipſorum in longiori quantitate reſpectu breuioris: & ſimiliter eſt in proportione longitudinis linearũ radialium, quam per ſe ſentit uiſus auxilio uirtutis diſtin ctiuæ, perpendẽs quòd omne totum eſt maius ſua parte. Hoc itaq modo comprehendit uiſus auxilio uirtutis diſtinctiuę quantitatem remotionis rerum uiſarum ſecundum lineas diſtantiarum ſuarum abinuicem & à uiſu, ſicut etiam uiſus quandoq per uirtutem diſtinctiuam comprehendit quantitates altitudinum aliquorum corporum eleuatorum ſuper ſuperficiem terrę, ſicut turrium, parietum & montium, maximè cum remotio fuerit mediocris, uel etiam altitudo, Cum autem remotio uel altitudo fuerit maxima: tunc partes paruæ, quæ ſunt in ultimo ſpatij, non comprehenduntur à uiſu, nec diſtinguuntur per uirtutem diſtinctiuam, quoniam parua quantitas in rem otione maxima latet uiſum: non enim facit angulum ſenſibilem apud centrum uiſus, propter quod quantitas illorum nó certificatur per 3 huius. Nihil itaq ex quantitatibus remotionum uiſibilium certificatur, niſi per corpora ordinata & cõtinuata mediocris diſtantiæ ab inuicem & æqualis. Nulla quoq remotio poteſt certificari, niſi cum uiſus aſsimilatrem otionẽ rei uiſæ remotioni ſibi ſimili ex remotionibus aſſuetis & notis: remotio uerò mediocris, cuius quantitas certificatur à uiſu, eſt rem otio, apud cuius ultimum non latet uiſum pars habẽs proportionem ſenſibilem ad totam rem otionem: & cum uidens ſcit quantitatem anguli, ſecũdum quam uidetremotionem certam cognitam ſibi: tunc ſecun dũ exceſſum uel diminutionem, uel æqualitatẽ, ad illum angulum notum uirtus diſtinctiua iudicat remotiones ignotas, accipiendo ſecũdum quantitatem anguli, quantitatem ipſius remotionis. Et etiã certificatur remotio per motum uiſus ſuper corpus re piciens remotiones extremorũ alicuius ſuperficiei aut ſpatij. Generaliter autem forma rei uiſæ & forma remotionis rei uiſæ, cuius remotio eſt mediocris, & reſpiciens corpora ordinata & continuata, perueniunt communiter in imaginatione ſimul apud intuitionem rei uiſæ, & uirtus diſtinctiua illam dijudicat modo dicto. Pater ergo propoſitum.

11. Aequalibus quantitatibus ex inæquali diſtantia uiſis: maior eſt proportio diſtantiæ maioris ad minorem, quàm maioris anguli, ſub quo fit uiſio, ad minorem. Euclides 8 th opt.

Sint, exempli cauſſa, datæ æquales & æquidiſtantes magnitudines, quæ a b & g d: ſitq́ centrum uiſus punctum e: & ſit g d propinquior uiſui, a b uerò remotior: ſitq́ illarum magnitudinum una remota ab altera, & utraq ipſarum ab ipſo centro uiſus ſenſibili remotione: ſtatuanturq́ taliter, ut puncta b & d, quæ ſunt extremitates illarum duarum magnitudinum, ſint in uno axe pyramidis uiſualis: & ſecundum illum axem formæ illorum punctorum perueniát ad uiſum. Cum itaq puncta b & d ſecundum eandem lineam ad uiſum ſe multiplicent: palam quòd oportet puncta a & g ſecundum diuerſas lineas, quę a e & g e, ad uiſum peruenire. Et quoniã, ut patet per 7 huius, magnitudo a b, quę eſt remotior à uiſu, ſub minori angulo uidetur, patet quòd linea e a ſecat angulum g e d: ergo per 29 th. 1 huius ipſa ſecabit baſim g d: ſitq́ punctus, in quo linea a e interſecat lineam g d, punctus z: & centro exiſtente puncto e fiat arcus circuli ad quantitatem ſemidiametri e z: quine page 123 ceſſariò ſecabit lineas e g & e b, cum linea e z, quæ eſt ſemidiameter, ſit minor illis ambabus lineis, linea ſcilicet e b ex hypotheſi, & linea e g per 21 p 1:

Fig. 450

a g i z b t d e
ſecet ergo lineam e gin pũcto i, & lineã e b in puncto t: ſitq́ ille arcus i z t. Quia itaq trigonum e g z eſt maius ſectore e z i, & trigonũ e z d minus ſectore e z t: ergo per 9 th. 1 huius trigonum e g z maiorẽ habet proportionem ad trigonũ e z d, quàm ſector e ziad ſectorẽ e z t: ergo per 11 th. 1 huius erit coniunctim maior proportio trigonie g d ad trigonum e z d, quàm ſectoris eit ad ſectorẽ e zt: ſed proportio e g d trigoni ad e z d trigonum per 1 p 6 eſt, ſicut proportio lineæ g d ad lineam z d: ſed linea d g eſt æqualis lineę a b ex hypotheſi: ergo per 7 p 5 linearum g d & a b ad lineam d z eſt eadẽ proportio. Et quoniam per 29 p 1 & ex hypotheſi trigona a e b & e z d ſunt æquiangula, quia ambobus ipſis angulus a e b eſt communis: eſt ergo per 4 p 6 proportio lineæ a b ad lineam d z, ſicut lineæ b e ad lineam e d: ergo per 11 p 5 erit proportio lineæ b e a d lineam d e maior quàm proportio ſectoris e i t ad ſectorem e z t: ſed ſicut ſe habet ſector e i t a d ſectorem e z t, ita ſe habet arcus it ad arcum z t: quod patet per 1 p 6, & nos hoc declarauimus in 35 th. 1 huius: eſt autem proportio arcus i t ad arcum z t, ſicut anguli i e t ad angulum z e t per 33 p 6. Eſt ergo maior proportio lineę b e ad lineam d e, quàm anguli i e t ad angulum z e t. Palàm ergo, quòd maior eſt proportio diſtantiæ maioris ad diſtantiam minorem, quàm anguli maioris, ſub quo fit uiſio, ad angulum minorem. Et hoc proponebatur. Illud enim, quod in æquidiſtantibus magnitudinibus declaratum eſt, in non æquidiſtantibus amplius patet: quoniam tunc uiſionis anguli minuuntur, ut oſten dimus in 7 huius. Patet ergo propoſitum.

12. Aequalitas remotionis extremorum lineæ uel ſuperficiei rei uiſæ à centro uiſus, directionis comprehenſinis uiſiuæ eſt cauſſa, ſicut inæqualitas eadem corundem eſt cauſſa obliquationis. Alhazen 45 n 2.

Aequalitas enim rem otionis extremorum lineæ uel ſuperficiei rei uiſæ cauſſat æqualitatem an

Fig. 451

d n a b c c
gulorum ipſorum axium radialium illi lineæ uel ſuperficiei incidẽtium ſecundum media ipſorum puncta. Vt ſi lineæ a b c extrema, quæ ſunt a & c, æqualiter diſtent à centro uiſus, quod eſt d: & ducatur axis radialis, qui d b : & lineæ radiales, quæ d a & d c: tunc patet ex hypotheſi, & per 8 p 1, quoniã anguli d b a & d b c ſunt æquales. Siuero extrema puncta, quæ ſunt a & c, inæqualiter diſtent à centro d: tũc lineæ d a & d c fiuntinæquales: & ſimiliter anguli d b a & d b c fiunt inæquales, & fit uiſio obliqua. Si itaq linea uel ſuperficies rei uiſę fuerit directè oppoſita uiſui: ſentiet uiſus directionem eius ex ſenſu æqualitatis remotionum ſuarũ partium ab axe uiſuali perpendiculariter illi lineæ uel ſuperficiei incidente: quoniam tunc per definitionem lineæ uel ſuperficiei directè uiſibus oppoſitæ, & per 38th 3 huius patet, quoniam ambo axes radiales cõtinent hinc & inde angulos æquales. Et ſi ſuperficies rei uiſæ fuerit obliqua: tũc ſentiet uiſus obliquationem eius ex ſenſu inæqualitatis quantitatum remotionum extremorum eius, & etiam angulorum eius: & ſic incipit latere quantitas magnitudinis eius uirtu tem diſtinctiuam. Quoniam uirtus diſtinctiua comprehẽdit ex in æqualitate remotionum diametrorum extrem orũ illius obliqui ſpatij, obliquationem pyramidis continentis ipſum. Quare ſentit diminutionem magnitudinis baſis eius propter obliquationem: & non conuenit ſecundum aſsimilationem quãtitas magnitudinis obliquè uiſui oppoſitæ quantitati magnicudinis directè uiſui oppoſitæ niſi tunc, quando comparatio fuerit ad angulum ſolum: ſed ſi fiat comparatio ad angulum & ad longitudines linearum radialium interiacentium uiſum & extrema rei uiſæ: tunc nullum erit dubium in diuerſitate quantitatum magnitudinis hinc inde: rem otiſsima enim remotionũ mediocrium, reſpectu rei uiſæ per obliquatio. nem, eſt minor remotiſsima remotionum mediocrium, reſpectu illius eiuſdẽ rei uiſæ per directionem. Rem otio uerò mediocris, reſpectu rei uiſæ, eſt, in qua nõ latet uiſum pars rei uiſæ proportionem habẽs ſenſibilẽ ad totá rem uiſam. Tota itaq res obliquata uiſui latet in remotione minori illa remotiõe, in qua latet illa res uiſa in directiõe, & diminuitur quátitas eius in remotione minori illa remotione, in qua minuitur quãtitas eius, quádo fuerit directè uiſui oppoſita.Patet ergo ꝓpoſitũ.

13. Horizon uidetur quaſiperipheriæ terræcohærere: diſtantiæ tamẽ maioris apparet, quàm zenith capitis uidentis.

Quia enim inter horizontem (qui eſt circulus terminator uiſus ad cœli concauam ſuperficiem) page 124 & inter extremã terræ peripheriam, quæ eſt ultima pars terrę uiſibilis, non comprehẽditur aliquod ſpatium ſenſibile per uiſum, non poteſt uiſus illorũ certam rem otionẽ ad inuicem diſcernere: quoniam, ut patet per 10 huius, quantitas remotionis tũc ſolùm comprehenditur à uiſu auxilio uirtutis diſtin ctiuæ, cum remotio reſpicit corpora cõtinuata & ordinata: & quia inter peripheriam terræ & concauum cœli non ſunt huiuſmodi corpora: uidetur ergo horizon quaſi peripheriæ terræ cohærere. Diſtantia uerò peripheriæ horizontis à ſuo cẽtro (quod eſt centrũ uiſus) apparet ſenſibiliter maior quàm diſtãtia zenith capitis uidẽtis, quod eſt polus horizõtis. Quia licet ſecundũ ueritatem. illa quantitas diſtantiæ aut eadẽ ſit, aut inſenſibiliter maior (propter quod quaſi in omnibus aſtronomicis cõſiderationibus, quæ per uiſum fiunt, centrũ uiſus ponitur centrũ mundi) apparet tamẽ ſenſibiliter maior uiſui uirtute etiã diſtin ctiua ſic iudicãte: quod accidit propter latitudinẽ ſpatij ſuperficiei terræ, quod ſentitur inter uiſum & horizõta, cũ inter zenith capitis & terrá nihil percipiatur. Quia enim ex corporũ mediorũ ſenſibili diſtantia quãtitas remotionis cognoſcitur ք 10 huius, neceſſe eſt, ubi maior ſẽſibilis quãtitas interiacere uidetur, maior diſtãtia iudicetur: multò ergo maior uidetur diſtãtia peripherię horizõtis  diſtãtia zenith capitis uidẽtis: & ſimiliter eſt de qualibet parte alia cœli uiſa: ꝓpter hoc, q uiſus in medio terræ latitudinẽ cõprehẽdit. Patet ergo ꝓpoſitũ.

14. Locus rei uiſæ comprehenditur à uiſu ex remotione, & ex parte uniuerſi, & ex quantitate remotionis, auxilio uirtutis diſtinctiuæ. Alhazen 22 n 2.

Quia enim intentio remotionis non eſt ipſa quantitas remotionis: intentio enim remotionis eſt priuatio contactus duorum corporum, & ex conſequenti comprehenſio cuiuſdam ſitus rerum ab inuicem remotarum: comprehenſio uerò quantitatis rem otionis eſt comprehenſio quantitatis uel magnitudinis ſpatij illa corpora interiacentis: palàm ergo, quòd comprehenſio loci rei uiſæ non eſt comprehenſio remotionis cius. Conſiſtit autem comprehenſio loci rei uiſæ ex comprehẽſione lucis & coloris rei & remotionis rei, & partis uniuerſi, in qua eſt res illa uiſa, reſpectu uidentis, & ex comprehenſione quantitatis remotionis, quando hæc omnia ſimul comprehenduntur per uiam cognitionis: & etiam quia, ut patet per 17 th. 3 huius, uiſio diſtincta fit ex peruẽtu formarum ſecundum lineas perpendiculares ſuper ſuperficiem oculi incidentium ad ipſum uiſum. Cum ergo uiſus ſenſerit formam ſic a duenientem, æſtimabit uirtus diſtinctiua rem uiſam eſſe apud extremitatem illius lineæ, & ſecundum directionem illius lineæ comprehendet locum rei uiſæ. Locus ergo rei uiſæ comprehenditur à ſentiente ex comprehẽſione ſitus rei uiſæ apud uiſionem per directionem lineæ radialis ab illo loco ad uiſum. Cum itaq forma rei uiſæ peruenit ad uiſum: tunc ſentiet uiſus partem membri ſentientis, ad quam peruenit illa ſorma, & uirtus diſtinctiua comprehendet ſtatim locum rei uiſæ per directiònem lineæ radialis ab illo loco: & quoniam intẽtio remotionis eſt quieſcens in anima ipſa: ergo comprehendet locum & remotionem in ſimulin comprehenſione formæ ab ipſo uiſu. Patet ergo propoſitum.

15. Aequalium uiſibilium inæqualiter à uiſu diſtantium æquali intuitu uiſorum, propinquioris certior eſt uiſio. Euclides 2 the. opt. Alhazen 40 n 2.

Sit centrum uiſus b: ſintq́ duo uiſibilia g d & k linæ qualiter diſtantia à centro uiſus b, quæ nunc exempli cauſſa, ponantur æ quidiſtantia inter ſe (quoniam ſi ſint ſe contingentia uel ſecantia, patet quòd ipſain puncto contactus uel ſectionis æqualiter diſtant à puncto b: de alijs uerò ipſorũ punctis eadem eſt demonſtratio, quæ de ipſis æquidiſtantibus, ipſorum partibus uariatis ſecũdum approximationem uel remotionem à uiſu, quantum ad modum certitudinis uiſionis.) Ponãtur itaq g d & k l æ quidiſtare: & ſit g d propin quius uiſui: per

Fig. 452

c k d g b
ueniantq́ ad uiſum formæ punctorum terminalium per lineas d b, g b, k b, l b: fientq́ trigoni b g d & b k l: ducanturq́ lineæ l d & k g, quæ per 33 p 1 erunt æquidiſtantes & æquales. Forma itaq punctil multiplicás ſe ad uiſum b, nõ tranſibit punctũd, neq forma puncti k punctum g: quoniam ſi ſic, eſſet linea k g b linea una, & linea l d b linea una: ergo lineæ k g & l d concurrent in puncto b, quæ ſunt æquidiſtantes: hoc autem impoſsibile. Sed neq fient formarum punctorũ k & l multiplicationes ad uiſum b, extra aliquod pũctum lineæ g d: quia tunc, cum in trigono l k b cadat linea d g æquidiſtanter lineæ k l, palàm per 2 p 6, quoniam erit linea g d minor quàm linea k l: poſita autẽ eſt ęqualis illi: palàm ergo, quoniã lineæ k b & l b pertranſeunt aliqua pũcta lineæ g d: erit ergo aliqua pars lineæ g d intra pyramidẽ uiſionis, quæ b k l. Sub quocunq ergo angulo uidetur k l, ſub eodẽ uidetur & aliquid ipſius g d, & nõ econuerſo: quoniá ut patet per 34 th. 1 huius, uel ք 7 huius, angulus g d b eſt maior angulo k b l. Quicquid ergo uirtutis uifiuæ applicatur ipſi k l, applicatur etiam ipſi g d, & non econuerſo: fortius autem patet illud per 108 th. 1 huius. Sub plurib. ergo uiſibus & angulis uidetur g d quàm k l: ergo perſpicatius uidetur per 5 ſuppoſitionẽ præmiſſam in principio libri huius. Ipſius ergo certior eſt uiſio. Et hoc eſt propoſitũ.

page 125

16.Viſioni uirtutis diſtinctiuæ error accidit in remotionis uiſione ex intẽperata diſpoſitione octo circumſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 23. 34. 45. 52. 58. 64. 66. 69 n 3.

Accidit enim uirtuti diſtinctiuæ in uiſione remotionis ex intemperata lucis diſpoſitione error in remotione rerum uiſarum. Exiſtẽte enim remotione temperata, non multum certa & debili luce, ſi fiat hominum uel aliarum rerum talis diſpoſitio, ut unus poſt alium ſit poſitus: tunc de nocte uel in crepuſculis, & maximè uno uiſo adhibito, uidebuntur illi homines uel res aliæ ſibi quaſi cohærere, quia propter lucis debilitatem non comprehenditur diſtantia inter illa: & ſi illi homines ad eandem partem moueantur æquali motu, ſemper ſimul moueri putabuntur, & non perpendetur diſtantia inter illa, ſed uidebuntur quaſi res una. Similiter etiam ex nimia diſtantia uirtuti diſtin ctiuæ accidit error in rerum uiſarum remotione ab inuicem. Cum enim quis arbores ualde remotas inſpexerit, licet illæ plurimum diſtent inter ſe, uidebuntur tamen quaſi coniunctæ uel quaſi propinquæ ad inuicem: & ita ſtellæ cœli aliquæ reputantur quaſi coniunctæ, licet plurimum à ſe diſtent in ueritate: propter egreſſum etiam diſtantiæ à temperãtia ſtellæ uagantes æſtimantur ferri in eadem ſuperficie cum ſtellis fixis, licet plurimum diſtent ab illis. Ex intemperata etiam diſpoſitione ſitus in oppoſitione rei uiſibilis ad uiſum error accidit in remotionis uiſione: ut ſi uideantur duo corpora, quorum unum ſit retro alterum, ita quòd anterius cooperiat partẽ poſterioris, & alia pars emineat, nec inter ea fuerint aliqua corpora uiſa, & ſit remotio temperata non multum certa: tunc non plenè æſtimabitur menſura longitudinis unius ad alterum, & fortè iudicabit uiſus ipſa eſſe ſibi ualde propinqua: & eſt hic error ex ſola ſitus oppoſitionis intemperãtia, quoniam ſi unum non occultaret partem alterius, ſed utrunq totum exponeretur uiſui, ita ut eſſet ſenſibilis diuerſitas inter illa, tunc diſcerneretur diſtãtia unius ab alio: & ita patet, quòd ille error eſt propter intemperantiam ſitus, quoniam ſolo ſitu ad temperantiam reducto non accideret error talis. Ex intemperantia etiam di poſitionis quãtitatis error accidit in uiſione remotionis: unde ſi ſint duo corpora æqualiter à uiſu diſtantia ſecũdum temperatam remotionem non multum certam, quorũ unum ſit lòngè maius alio, æſtimabitur maius propin quius uiſui, quia certius uidebitur: & ſic propter quantitatem erit deceptio in rem otione, quoniam æ què rem otorum unum uidetur remotius altero. Ex intemperata quoq ſoliditate corporũ accidit error uiſui in remotionis uiſione: ſi enim corpus fuerit ualde rarum minimæ ſoliditatis, ſicut eſt cryſtallus pura, & ſit retro ipſum corpus ualde coloratum lucidum: tunc non plenè comprehenditur cryſtallus, ſed quaſi non eſſet intermedia, comprehendetur corpus per ipſam: & accidit error in comprehenſione cryſtalli propter remotionem cryſtalli à uiſu. Exintemperãtia etiam diaphanitatis error accidit uiſui in remotionis uiſione: ſi enim ſuerit aer nubiloſus, ſicut accidit plerunq in crepuſculis: tunc res aliqua, ut turris oppoſita uiſui in longitudine temperata, æſtimabitur à uiſu plus elongata quàm ſit ſecundũ ueritatem: quia tunc propter denſitatem aeris non comprehenditur quantitas terræ interiacens uiſum & rem uiſam, per quam accipitur menſura elongationis turris: fitq́ erroris cauſa ex ipſa intemperantia diaphanitatis aeris. Ex intemperantia etiã temporis fit error uiſui in remotione: ſi enim intueatur quis aliquod remotum à turri a ta, quod ſtatim uiſui ſurripiatur: tũc uirtus diſtinctiua non poterit plenè diſcernere inter remotionem illius à turri, & iudica bit fortè aut minus remotum à turri, aut magis, quàm fuerit in rei ueritate: quoniam in tam modico tempore non percipitur à uidente quantitas terræ interiacens turrim & aliam rem uiſam, ſecundum quam per 10 huius perpenditur menſura remotionis illorum ab inuicem: nec enim in tam breui tempore potuit axis uiſualis quãtitatem terræ intermediam per diligentem intuitum tranſcurrere: unde illam non plenè comprehendit: & ſic ex breuitate tem poris fit error in rem otione. Exintem perantia etiam debilitatis uiſus error accidit uiſui in remotione: ſi enim opponantur uiſui duo corpora, quorum unum, quod eſt remotius à uiſu, ſit coloris fortis, & alterum, quod eſt propinquius, ſit coloris debilis: tunc debilitas uiſus incertam faciet collationem: & quia apud fortes uiſus expertum eſt, & patet per præcedentem, quòd corpus uiſui propinquius eſt maioris certitudinis: æſtimabit uiſus debilis illud, quod eſt certius, eſſe propinquius: & ſic quia fortior color à uiſu debili melius percipitur, iudicabit uiſibile fortiori colore coloratum propinquius ſibi, licet ſit remotius ſecundum ueritatem: & fit error in remotione ex uiſus debilitate. Et etiam quia ab oculis groſſa humiditate infectis fit reflexio formarú, ſicut ctiam à ſpeculis, cum ab uno uiſuum facta reflexio peruenit ad alterum propter groſsitudinem aeris extrinſecam, uidebit uiſus debilis formam ſibi propinquam, quæ eſt forma rei remotæ ſcilicet. Sic ergo uiſioni uirtutis diſtinctiuæ error accidit in remotione ex intéperata diſpoſitione circumſtantiarum quarumlibet rei uiſæ, quæ ſunt tantum octo, ut patuit per 1 th. huius, quarum euentum percurrimus his exemplis & experimentationibus per ſenotis. Patet itaq propoſitum.

17. Magnitudo rei uiſæ comprehenditur à uiſu ſecundum magnitudinem partis ſuperficiei uiſus, ad quam peruenit forma rei, & anguli ſolidi, qui fit in centro uiſus. Alhazen 37 n 2.

Pars enim ſuperficiei uiſus, ad quam peruenit forma rei uiſæ, per angulum uerticis pyramidis radiàlis, ſecundum quam per 18th. 3 huius fit rei obiectæ uiſio, qui eſt apud centrum uiſus, ſemper menſuratur. Quamuis enim uirtus ſenſitiua comprehendat quantitatem illius anguli ex comprehenſione partis ſuperficiei uiſus, in qua figuratur forma rei uiſæ, ut patet per 73 th. 3 huius: propriè tamen angulus eſt per ſe cauſſa menſurationis illius ſuperficiei: eſt enim ſemper proportio illius 126 partis ſuperficiei oculi ad totam ſphęricam ſuperficiem oculi, ſicut illius anguli ad octo angulos rectos ſolidos per 87 th. 1 huius. Cú enim pyramidis radialis baſis ſemper ſit in ſuperficie rei uiſæ per 18 th. 3 huius, ſecatur tamen ipſa pyramis quaſi æquidiſtanter ſuæ baſi per ſuperficiem ipſius uiſus, & ſic unus angulus fit ambabus pyramidibus communis, radiali uidelicet totali & eius parti reſectæ per ipſam ſuperficiem oculi: magnitudo itaq partis ſuperficiei uiſus, ad quam peruenit forma rei, & angulus, quem continet pyramis radialis, continens illam partem ſuperficiei uiſus, ſunt ambo radix comprehenſionis magnitudinis rei uiſæ. Quamuis autem & hic angulus & hæc pars ſuperficiei uiſus diuerſificentur ſecundum diuerſitatem remotionis: quantò enim magis elongatur res, tantò magis ille angulus minorabitur per 106 th. 1 huius, quia pyramis radialis fit ftrictior, & quaſi una pyramidum radialium, quæ eſt rei uiſæ remotioris, infcribitur pyramidi radiali, quę eſt rei uiſæ propin quioris: angulus ergo in cẽtro uiſus fit acutior, & pars ſuperficiei uiſus correſpondens illi angulo fit minor, & quantò plus approximat res uiſui, tantò plus ampliatur magnitudo. Semper tamen magnitudo rei uiſæ comprehenditur à uiſu ſecundum magnitudinem partis præmiſſæ ſuperficiei uiſus, & anguli illius ſolidi, qui fit in centro uiſus. Patet ergo propoſitum.

18. Magnitudines omnes comprehenſæ à uiſu ſecundum oppoſitionem, ſunt quantitates ſuperficierum uiſibilium & partium illarum ſuperficierum: nec non ſuorum terminorum & ſpatiorum inter uiſibilia diſtinctorum. Alhazen 41 n 2.

Quantitas enim totius corporis rei uiſæ non comprehenditur à uiſu: quoniam uiſus non comprehendit totam ſuperficiem corporis, ſed ſolum illud, quod ſibi opponitur ex ſuperficie corporis aut ex ſuperficiebus eius, quamuis corpus ſit paruum: utpote illud, inter quod & aliquam partem ſuperficiei uiſus duci poſsint lineę rectæ per 2 th. 3 huius. Sic ergo uiſus comprehendit ſolam rei ſuperficiem: & ſi uiſus comprehenderit corporeitatem corporis: non propter hoc cõprehendet quan titatem eius, ſed tantùm figuram corporeitatis: quòd ſi fortaſſe corpus fuerit motum aut uiſus motus, ita quòd uiſus comprehendet totam corporis ſuperficiem: tunc uirtus diſtinctiua comprehendet quantitates corporeitatis eius alia operatione quàm uiſa ſit apud uiſionem: & ſimiliter eſt de partibus corporis. Quantitates ergo, quas uiſus comprehendit per oppoſitionem, non ſunt, nifi quantitates ſuperficierum & linearum terminantium illas ſuperficies uel ipſas menſurantium ſecundum longum uel ſecundum latum. Et quoniam comprehenſis diuerſorum corporum ſuperficiebus diuerſis & ipſarum terminis, neceſſariò cõprehenditur diſtantia inter illa corpora per comprehenſiones partium ſuperficiei uiſus nó coloratarum colore uiſorum corporum, ſed interiacentium partes ſuperficiei uiſus coloratas coloribus illorum corporũ, nec ſunt plures magnitudines, quæ uiſu comprehendantur: patet ergo propoſitum.

19. Omnia uiſa ſub eodem angulo, quorum diſtantia ab inuicem non perpenditur, æqualia uidentur. Euclides 7 hypotheſi opticorum.

Sit uiſus centrum punctum a: & ſit res uiſa linea b g: ſintq́ lineæ, ſecundum quas puncta g & b perueniunt ad uiſum, g a & b a: uidetur itaq linea b g ſub angulo g a b: ſitq́ alia res, quæ eſt d e, cadens inter eaſdem lineas g a & b a, ita ut ipſa uideatur

Fig. 453

b d g e a
ſub eodem angulo g a b: dico, quòd lineæ g b & d e uidebuntur æquales, ſi lineæ d b & e g non perpendan tur à uiſu. Quia enim uiſus a comprehendit duo puncta d & b ſuper unam lineam, quæ eſt a b, & duo puncta e & g ſuper unam lineam, quæ eſt a g: non ergo uidet aliquem terminum alicuius duarum quantitatum b g & d e egredi ab alia, ſed uidet fines extremitatum æquales. Et quia nó perpendit quantitatem linearum d b & e g eſſe aliquam, apparet uiſui punctus d ſuper punctum b, & punctus e ſuper punctum g: eorum uerò, quorum alterum alteri ſuperpoſitum non excedit reliquum, nec exceditur ab illo, illa ſunt ad inuicem æqualia: duæ ergo lineæ d e & b g uidentur æquales: quoniam ſecundum iudicium uiſus una ipſarũ aliam cooperit, neq extremitates unius ſuperant alterius extremitates. Et per hũc modum in noctibus aliqualiter lucidis, ut cum luna lucet de ſub nubibus, uel in horis crepuſcularibus, ſi accidat hominẽ uel aliud aliquid cum alta arbore uel turri ſub eodem angulo uideri: iudicabitur homo uel res alia fortè altitudinis ipſius arboris uel turris: & fit propter hoc multa deceptio in uiſu. Patet itaq propoſitum.

20. Omne quod ſub maiori angulo uidetur, maius uidetur, & quod ſub minori minus: ex quo patet idem ſub maiori angulo uiſum apparere maius ſe ipſo ſub minori angulo uiſo: & uniuerſaliter ſecundum proportioncm anguli fit proportio quantitatis rei directè uel ſub eadem obliquitate uiſæ. Euclides 5 & 6 hypotheſi opt.

page 127

Eſto centrum uiſus in puncto a: & ſit res, quę f e, uiſa ſub angulo f a e: productis quoq lineis a f & a e, producatur inter ipſas linea g b æ quidiſtanter lineæ f e: uidebitur ergo linea g b ſub angulo f a e, quam fortè accidet uideri eſſe æqualem lineæ f e per præmiſſam, ut ſi lineas g f & b e non contingat uideri, ſed uiſis lineis g f & b e, uidetur minor, quia eſt ſecundum ueritatem per 4 p 6 linea g b minor, quàm ſit linea f e, cum linea a g ſit minor quàm linea a f ex hypotheſi. Ducatur itaq à puncto e linea æquidiſtans lineæ a g per 31 p 1, quæ ſecet protractam lineam g b in puncto d: erit ergo per 34 p 1 linea g d æqualis lineæ f e: ducaturq́ linea a d, ſecans protractam lineam e f in puncto h: e ritq́ linea h f maior quàm linea e f: & angulus f a h

Fig. 454

f g k e b a h d
eſt maior angulo f a e per 29 th. 1 huius. Et quoniam angulus f a e eſt pars anguli f a h, linea uerò f h uidetur maior quàm linea e f, & linea d g uidetur maior quàm linea b g: quia uiſus partem à toto dijudicat: quod ergo ſub minori angulo uidetur, minus uidetur: ſed & quandoq f e per præcedentem uidetur æqualis lineæ g b: ergo poteſt uideri linea e f minor quàm linea g d, quæ eſt æqualis lineæ f e, ut patet ex pręmiſsis: quod ergo ſub maiori angulo uidetur, maius uidetur, & quod uidetur ſub minori, uidetur minus. Conus itaq pyramidis uiſualis, quæ eſt f a e, ſecundum quam uidetur res remotior, quæ eſt f e, minor & acutior eſt quàm conus pyramidis g a d. Et quoniam ſuperficies oculi ſecat ambas iſtas pyramides, cum ipſarum ambarum conus ſit quaſi in centro oculi per 18 th. 3 huius, neceſſe eſt ergo baſim pyrami dis abſciſſæ à pyramide f a e minorem eſſe baſi pyramidis abſciſſæ à totali pyramide g a d per 109 th. 1 huius, cum illæ duæ a bſciſſæ pyramides æ qualis ſint altitudinis: quoniam linea producta à cen tro foraminis gyrationis nerui concaui ad ſuperficiem oculi extrinſecam eſt axis ambarum illarum pyramidum abſciſſarum. Pars ergo ſuperficiei uiſus ibi figurata per formam rei uiſæ, quæ eſt g d, eſt maior quàm pars eiuſdem ſuperficiei figurata per formam rei uiſæ, quæ eſt f e: uidetur ergo linea g d maior quàm linea fe. Et quoniam ſecundum quantitatem illarum partium ſuperficiei ipſius uiſus uirtus ſenſitiua comprehendit angulum, quem lineæ radiales continentin centro per 73 th. 3 huius: patet quòd rei, quæ uidetur maior, correſpondet angulus maior, & rei, quæ uidetur minor, correſpondet angulus minor: quoniam ſecundum quod forma rei uiſæ recipitur in ſuperficie organi uiſiui, ſecundum hoc accipitur quantitas anguli, ſub quo fit uiſio, & ſecundum hoc idem etiam fit iudicium quantitatis rei uiſæ. Omnis ergo res ſub maiori angulo uiſa maior uidetur ſe ipſa uiſa ſub angulo minori. Et uniuerſaliter in rebus directè uiſis ſecundum excrem entum angu li fit excrementum quantitatis rei uiſæ: unde ſub duplo angulo uiſum duplum uidetur, & ſub triplo triplum, & ſic ſecundum proportionem angulorum. In obliquè tamen uiſis, uel in his, quorum unum uidetur directè, & aliud obliquè, non ſic. Si enim trigonum a e f fit orthogonium, ita ut eius angulus a e f ſit rectus, diuidaturq́ angulus f a e per æ qualia, producta linea a k, ſecante lineam f e in puncto k: non propter hoc diuidetur linea e f per æqualia in puncto k: quoniã, ut patet per 35 th. 1 huius, minor eſt proportio anguli f a k ad angulũ k a e, quàm lineæ f k ad lineam k e: & ſic ſecundum proportionem anguli ad angulum, non ſemper fit proportio quantitatis uiſæ ad quantitatem uiſam: neq enim talia uiſa ſecundum eandem uidentur diſpoſitionem & ſitum reſpectu ipſius uiſus. In conformibus autem uiſibilibus ſecundum diſtantiam & ſitum & alia accidentia, quæ requiruntur ad conditionem & circunſtantiam uidendi, quæ patent per 1 the. huius, ſemper ſecundum proportionem anguli uidetur proportionaliter quantitas rei uiſæ: unde etiam illud, quod ſub minimo angulo uidetur, minimum uidetur, & quod ſub nullo uel inſenſibili angulo peruenit ad uiſus ſuperficiem, nullo modo uldetur, ut patet per 19 th. 3 huius. Patet ergo propoſitum.

21. Parallelæ lineæ ſecundum remotiores à uiſu partes quaſi concurrere uidentur: nunquam tamen uidebuntur concurrentes. Euclides 6 the. opt.

Vniuerſale eſt quod proponitur, uiſu quocunq modo ſe habente ad illas lineas parallelas: ſiue enim uiſus ſit in illarum ſuperficie, ſiue ſupra illam, ſiue ſub illa, ſemper eadem paſsio uiſui accidit. Sit ergo primò uiſus in illarum ſuperficie, & ſint duæ parallelæ lineæ a b & g d: hæ ergo per 1 th. 1 huius neceſſariò erunt in eadem ſuperficie: ſit ergo in ipſarum ſuperficie uiſus, qui ſit e, uel prope illam. Dico, quòd ſuperficiei interiacentis lineas a b & g d, in æqualis apparebit latitudo: & quòd pars ſui propinquior uiſui apparebit latior, quàm pars eius à uiſu remotior, & ita lineæ a b & g d quaſi concurrere uidebuntur. Signentur enim puncta æquidiſtanter & ſimiliter in lineis a b & g d, quæ ſint in linea a b puncta z & t, & in linea d g pucta l & k: & coniungantur illa puncta, & puncta terminalia ductis lineis b d, z l, t k, a g: quæ omnes erunt æ quidiſtantes ex hypotheſi & per 33 p 1: & producantur lineæ e b, e z, e t, e a: e d, e l, e k, e g. Et quoniam angulus b e d maior eſt angulo z e l. ſicut totum parte (quod patet per 34 theo. 1 huius) palàm per præmiſſam quia maior uidebitur page 128 linea b d quàm linea z l: & eodem modo maior uidebitur linea z l quàm linea t k, maiorq́ uidebitur linea t k quàm linea a g. Et quia ſic diminuuntur in uiſu lineæ latitudinis: palàm; quòd ſuperficies interiacens lineas minor uidebitur: li

Fig. 455

g a h c l z d b e
neæ ergo a b & g d quaſi concurrere uidebuntur: nunquam tamen ui debuntur concurrentes, quia ſemper lineæ latitudinis ſub aliquo angulo uidentur, cui in termino uiſionis ſubtenditur baſis cuiuſcunq ruerit paruitatis: nunquam ergo uidebuntur concurrentes. Si uerò uiſui, qui ſit a, parallelæ ſubiaceant, quæ ſint lineæ l g & x e, ità quòd uiſus ſit erectus ſuper ſuperficiem horizontis, & lineæ illæ ſint in ſuperficie ipſius horizontis, adhuc illæ lineæ ſecundum remotiores à uiſu partes quaſi concurrere uidebuntur. Dimittatur enim à uiſu a perpendicularis ſuper ſuperficiem horizontis per 11 p 11, quæ ſit a b: ſintq́, ut prius, lineæ l x, k n, t m parallelæ. Dico, quoniam adhuc inæqualis latitudinis apparet ſuperficies interiacens lineas l g & x e: & partes linearum remotiores à uiſu quaſi concurrere uidentur. Ducarur enim linea à puncto b perpendiculariter ſuper lineam l x, quę ſit b r: eruntq́, lineæ b r & l x in eadem ſuperficie per 2 p 11: & producatur linea b r ſuper lineam g e in punctum f: ſecetq́ lineam k n in puncto p, & lineam t m in puncto c: & ducantur lineæ l a, k a, t a, x a, n a, m a: ſimiliter etiá ducantur lineæ a r, a p, a c. Quoniã itaq angulus a b r eſt rectus, palàm quòd ſuperficies a b c erecta eſt ſuper ſuperficiẽ l x e g, & earum communis ſectio eſt linea b f per 19 th. 1 huius: quoniam illa lineà b f eſt in ambabus illis ſuperficiebus. Quia ergo linea a r producta eſt in ſuperficie a b c,
Fig. 456

g f e t c m k p n l r x b a
& ſimiliter lineæ a p & a f: palàm per definitionem, quoniam anguli a r x & a p n & a c m ſunt recti: & ita illi trigoni, qui ſunt a b r, & a b p, & a b c ſunt orthogonij: ſed linèà p n eſt æ qualis lineæ r x ex hypotheſi, & per 34 p 1. Quia uerò angulus a b r eſt rectus, erit angulus a r b acutus per 32 p 1: ergo per 13 p 1 angulus a r p eſt obtuſus: linea ergo a p maior eſt quàm linea a r per 19 p 1: angulus ergo r a x per 34 the. 1 huius maior eſt angulo p a n: maior ergo uidebitur linea r x quàm linea p n, per præmiſſam: ſimiliterq́ maior uidebitur linea lr quàm linea k p: quoniam eadem eſt demonſtratio: eſt enim linea lr æqualis lineę k p per principium: ſi ab ęqualibus, &c. Tota ergo linea l x uidebitur maior quàm tota linea k n: eodemq́ modo tota linea k n uidebitur maior quàm tota linea t m. Superficiei ergo l x g e partes remotiores uiſui uidebuntur ſtrictiores: lineæ ergo l g & x e uidebun tur quaſi concurrere: nó tamen uidebuntur unquam concurrentes, quia ſemper ſub angulo aliquo uidebuntur. Et eodem penitus modo demonſtrandum, ſi lineæ parallelæ uiſæ ſint uiſu ſuperiores, ut ſi uiſu inferius exiſtente lineæ ipſæ paralellæ ſint in aliqua ſuperficie ſuper uiſum, ut accidit in tectis domuum, & ſimilibus, uiſu exiſtente inferius. Patet ergo propoſitum.

22. Lineis pluribus æqualiter ab inuicem æquidiſtantibus, obiectis uiſui: diſtantia remotiorũ minor uiſui apparet. Euclides 4 theo. opt.

Eſto, utin præmiſſa, uiſus, cuius centrum ſit a, erectus in aere ſe

Fig. 457

g f e t c m k p n l r x b a
cundum erectionem uidentis: in ſuperficie quoq horizontis ſubiaceant uiſui lineæ æquales & æquidiſtantes, & ſecundum æqualem di ſtantiam ab inuicem diſtantes, quæ ſint l x, k n, t m, g e, hoc ordine po ſitæ ut linea l x ſit uiſui propinquior, aliæ uerò ſuæ nominationis ordine ſint remotiores à uiſu. Dico, quòd linearum k n & t m diſtantia minor uidebitur quàm linearum l x & k n. Cum enim iſtæ lineæ ſint æquales & æquidiſtantes, quæ ſunt l x, k n, & t m: copulatis ipſarũ ter minis per lineas l g & x e: erit per 30 & 33 p 1, linea l g æqualis lineæ x e: & ducatur, ut in proxima præcedente, linea a b perpendicularis ſu per ſuperficiẽ l x g e: & facta demonſtratione, ut in illa, ſequetur angu lum r a p eſſe maiorẽ angulo p a c. Facilius tamen patet hoc per 35 th. 1 huius: quoniã in trigono orthogonio a b f partes æquales fũt abſciſſę ab uno laterũ rectũ angulũ cõtinentiũ, quę r p, & p c, & c f: eſt ergo an gulus r a p maior angulo p a c ք 10 p 5: linea ergo r p ք 20 huius uidebitur maior  linea p c, & linea ṕ c maior  linea c f. Remotior ergo iſtarũ diſtantiarũ, quęſunt r p, & p c, & c f, minor apparet uiſui per 20 huius. Et hoc eſt propoſitũ. Et uniuerſaliter in omni uiſus diſpoſitióe ad datàs parallelas poteſt hocidem, ut in præcedenti, demonſtrari.

page 129

23. Aequalium partium eiuſdem uiſibilis lineæ connectenti centra for aminum gyrationis neruo rum concauorum æquidiſtantis, remotior à uiſu minor uidetur. Euclides 4 theor. opt.

Sit linea r t connectens centra foraminum gyrationis neruorum concauorum: ſintq́ æquales partes eiuſdem uiſibilis ſuper lineam æquidiſtantem lineæ r t collocatæ: quæ ſint a b, b g, g d, d f: trahaturq́ perpendicularis a e, in qua ſit centrum oculi e. Dico, quòd maior apparebit pars a b quàm b g, & b g quàm g d, & g d quàm d f. Cum enim perpẽdi

Fig. 458

f r d g b a z z z e c
cularis e a ſit breuior omnibus lineis ducibilibus à puncto e ad lineam a d, ut omnibus lineis e b, e g, e d, quod per 47 p 1 palàm eſt: manifeſtum eſt ergo, quoniam pars a b eſt propinquior uiſui omnibus illis partibus, quæ ſunt b g & g d & d f. Ducantur enim lineæ, per quas accedunt formæ punctorum ad uiſum, quæ ſint b e, g e, d e, f e: & ducatur per 31 p 1 linea b z æquidi ſtans lineæ g e. Quia igitur in trigono a e g linea b z æquidiſtat lateri e g: palàm per 2 p 6, quoniam eſt proportio lineæ a z ad lineã z e, ſicut lineæ a b ad lineam b g: ſed linea a b æqualis eſt lineæ b g ex hypotheſi: ergo linea a z eſt æqualis lineæ z e: ſed per 47 p 1 linea z b eſt maior quàm linea z a: ergo linea b z eſt maior quàm linea z e: angulus ergo z e b per 18 p 1 maior eſt angulo z b e: ſed angulus z b e per 29 p 1 æqualis eſt angulo b e g, quia ſunt coalterni inter lineas æquidiſtantes, quæ ſunt z b & e g: ergo angulus a e b maior eſt angulo b e g. Ergo per 20 huius maius uidebitur a b quam b g: ſub maiori enim angulo uidebitur. Similiter quoq ducta à puncto g linea æquidiſtante lineæ e d, eadem eſt demonſtratio. Idem quoq accidit, ſi lineæ e a, e b, e g, e d, e f non ſunt in una linea naturali, dum tamẽ linea mathematica inter ipſas imaginata æquidiſtet lineæ g e. Et hoc eſt propoſitum.

24. Aequalium diuerſorum uiſibilium ſecundum eandem rectam lineam æquidiſtantem li neæ connectenti centra for aminum gyrationis neruorum concauorum uiſuiobiectorum, quod propinquius est uiſui, apparet maius. Euclides 7 theo. opt.

Sint duo uiſibilia diſcontinuata diuerſa, ſed æqualia a b & g d, oppoſita uiſui ſecundum lineam a d: quæ ſit æquidiſtans lineæ r t, connectenti centra foraminum gyrationis neruorum concauorum: & ſint in æqualiter diſtantes à centro uiſus, quod ſit e: ducanturq́ lineæ à terminis uiſibilium ad centrum uiſus, quæ ſint e d & e a: & ſit linea e a maior quâm linea d e. Dico, quòd g d apparebit uiſui maius quàm a b. Producantur enim lineæ e g & e b: & circa trigonum a e d deſcribatur circulus per 5 p 4: & producatur linea e g ad circumferentiã in pun ctum l, & linea e b in punctum z: & à puncto g duca tur perpendicularis ſuper a d per 11 p 1, quę protracta

Fig. 459

a z c b l k g d e f
ad circumferentiam ſit g k: & à puncto b ducàtur linea b c æquidiſtans lineæ g k: erit ergo per 29 p 1 linea b c perpendicularis ſuper lineam a d: ſecetq́ peripheriam circuli in puncto c. Quia itaq à terminis lineæ a d intra circulum collocatæ æquales partes ſunt reſectæ, quæ ſunt a b & g d, quoniam illæ ſunt æquales ex hypotheſi: & à punctis ſectionum ſunt duę lineæ perpendiculares ſuper lineam d a productæ ad peripheriam illius circuli, quæ ſunt g k & b c: erit ergo per 45 th. 1 huius linea b c æqualis lineæ g k: ſed & linea a b eſt æqualis lineæ g d ex hypotheſi, & angulus a b c æqualis eſt angulo k g d, quia uterq rectus: ergo chorda k d æqualis eſt chordæ c a per 4 p 1: ergo per 28 p 3 arcus d k æqualis eſt arcui c a: ſed arcus c a eſt maior arcu z a: ergo & arcus k d ma ior eſt arcu z a: arcus uerò l d maior eſt arcu k d: ergo multò maior eſt arcus l d arcu z a: ſed in arcum z a cadit angulus a e z, & in arcũ l d cadit angulus l e d: ergo per 33 p 6 angulus l e d maior eſt angulo z e a: ſed ſub angulo a e z uidetur linea a b, & ſub angulo l e d uidetur linea g d: maior ergo apparet uiſui linea g d, quàm linea a b per 20 huius. Quod eſt propoſitum.

25. Aequalium & æquidistantium magnitudinum inæqualiter à uiſu distantium propinquior ſemper maior uidetur: non tamen proportionaliter ſuis distantijs uidetur. Euclides 5 theo. opticorum.

page 130

Sint duæ magnitudines uiſæ a b & g d inæqualiter diſtantes ab oculo: cuius centrum ſit e, ſitq́ ui ſui propinquior g d quàm a b. Dico, quòd maior apparebit g d quàm a b. Producantur enim lineæ e a, e b, e d, e g: uidebiturq́ g d ſub angulo g e d, qui eſt maior angulo a e b, ut parte ſua per 34 th. 1 huius. Patet ergo per 20 huius, quia linea g d uidebitur maior quàm

Fig. 460

b a d g e
linea a b. Et hoc eodem modo demonſtrandum, ſiue centrum uiſus & res uiſæ ſint in eadem altitudine, ſiue in diuerſis: ut ſi uiſus ſit altior rebus uiſis, uel etiam econtrà. Non tamen uidentur hæc propor tionaliter ſuis diſtantijs, uidelicet ut proportio g d maioris ſecundũ apparentiam ad a b minorem ſecundum apparentiam ſit, ſicut b e di ſtantiæ maioris ad d e diſtantiam minorem: quoniam, ut patet per 11 huius, maior eſt proportio b e diſtantiæ maioris ad d e diſtantiam mi norem, quàm anguli g e d maioris ad angulum a e b minorem. Sed quantùm angulus g e d eſt maior angulo a e b, tantò linea g d uidetur maior quàm linea a b, ut diximus in 20 huius, quoniam illa uiſibilia conformiter ordinantur ad uiſum. Non uidentur ergo lineæ g d & a b proportinaliter ſuis diſtantijs: quoniam diſtantiarum maior eſt proportio. Ethoc eſt propoſitum.

26. Omne uiſibile obliquatum à uiſu, minus uidetur ſe ipſo, ſecundum proximum ſui terminum directè uiſui oppoſito.

Sit enim linea connectens centra oculorum r t: ſitq́ centrum uiſus a: & ſit uiſibile obliquatum à uiſu, b c: ducanturq́ lineæ a b & a c: & à puncto c, qui ſit terminus rei uiſæ proximus uiſui, ducatur linea c d, æqualis lineæ c b, & æquidiſtans lineæ r t, connectenti centra oculorum, quod fieri poteſt per 39 th. 3 huius: illa ergo directè uiſui opponetur per 1 definitionem huius: ducatur quoq linea a d. Et quoniam per 7 huius linea c d ſub maiori angulo uidetur

Fig. 461

b d r c a t
quàm linea c b: patet per 20 huius, quoniam minor uidetur linea c b obliquata quàm ſua æqualis, quæ eſt linea c d, directè uiſui oppoſita ſecundum proximum terminum ipſius lineæ c b, quo uiſui plus appropinquat, qui eſt punctus c. Et hoc eſt propoſitum.

27. Vera rerum quantitas non comprehenditur à uiſu, niſi auxilio uirtutis diſtinctiuæ. Alhazen 36. 38 n 2.

Quoniam enim, ut patet ex præmiſsis, anguli, qui formantur in centro uiſus, & partes ſuperficierum uiſus, ſecundum quas fit comprehenſio magnitudinis rei uiſæ, ſemper diuerſantur ſecundum approximatio nem & remotionẽ eiuſdem rei, & ſecundum eandem directionem uel obliquationem ſe habentis ad uiſum & ad axes radiales: uirtus ergo diſtinctiua diſtinguens quantitaẽ ueram rei uiſæ, non conſiderabit ſolum angulum uel ſolam remotionẽ: quoniam neutrum illorum per ſe ſufficit, ſed conſiderabit angulum & remotionẽ ſimul. Quantitates ergo ueræ ipſorum uiſibilium non comprehendentur niſi per diſtinctionem & comparationem: hæc autem comparatio erit ſimul: & erit ipſius baſis pyramidis radialis (quæ per 18 th. 3 huius eſt ſuperficies rei uiſæ) ad angulum pyramidis, & ad quantitatem longitudinis axis pyramidis, quæ eſt linea remotionis rei uiſæ à uiſu. Conſideratio uerò uirtutis diſtinctiuę ipſius ſuperficiei eſt ſemper in parte colorata ſuperficiei uiſus, angulo dicto correſponden ti, cum conſideratione rem otionis ipſius rei uiſæ à ſuperficie uiſus: quoniam quantitas illius partis coloratæ ſuperficiei uiſus ſemper eſt ſecundum quantitatẽ illius anguli per 73 th 3 huius. Nó eſt autem in illa conſideratione uirtutis diſtinctiuæ inter remotionem rei uiſæ à ſuperficie uiſus & remotionẽ eius à centro uiſus diuerſitas ſenſibilis. Cum itaq uiſus comprehendit lineas pyramidis radialis perpendiculariter ſibi incidentes: tunc uirtus diſtinctiua imaginabitur quantitatem exten ſionis, ſecundum quantitatẽ extenſionis iſtarum linearum à centro uiſus uſq ad terminos rei uiſæ: & quando cũ hoc comprehenderit quantitatẽ remotionis rei uiſæ per 10 huius: tunc imaginabitur quantitatẽ longitudinũ iſtarum linearũ & quantitatẽ ſpatiorũ, quæ ſunt inter ipſarũ extremitates, quæ ſpatia ſunt diametri ipſius rei uiſæ. Quando ergo uirtus diſtinctiua imaginabitur quantitatẽ anguli, & quantitatẽ partis ſuperficiei uiſus, correſpondentis illi angulo, & quantitatẽ longitudinis linearum radialium, & quantitatem ſitus ipſarum adinuicem, & quantitatem ſpatiorum, quæ ſunt inter extremitates earum: tunc ipſa comprehendet quantitatem rei uiſæ ſecundum ſuum eſſe: quoniam tunc nihil eorum, quibus comprehenditur magnitudo rei uiſæ, remanet incomprehenſum. Hæc eſt ita que qualitas comprehenſionis magnitudinis rerum uiſarum, & fit plurimum propter page 131 affuetudinem uiſus in diſtinctione remotionum uiſibilium: qui quando ſenſerit formam & remotionem rei uiſæ, ſtatim imaginabitur quantitatem loci & quantitatem remotionis, & ex ijs comprehendet magnitudinem rei uiſæ. Patet ergo illud, quod proponebatur.

28. In magnitudinis uiſione uirtuti diſtinctiua error accidit ex intemperata diſpoſitione octo circunſtantiarum cuiuslibet reiuiſa Alhazen 26. 37. 47. 54. 59. 64. 66. 69 n 3.

Exintemperata enim lucis diſpoſitione, ut de nocte uel in crepuſculis cum lux eſt dubia, inſpecto homine & uiſo nemore aut pariete remotis ab illo homine, cum latuerit hominem uidentem di ſtantia inter hominem & nemus aut parietem uiſum, quamuis illa diſtantia ſecundum ueritatem ſit plurima: tunc uidebitur propinquitas hominis ad nemus uel ad parietem: & ſi accidit, utidem radius pertingens ad caputhominis perueniat ad cacumen nemoris: tunc per 19 huius uidebuntur homo & nemus aut paries eiuſdem altitudinis: quooiá ſub eodem angulo uidentur: & forſitan homo uidebitur maioris altitudinis ipſo nemore: ut ſi radius tranſiens caput hominis ad nemoris uel parietis altitudinem non pertingat. Et huius ſimile accidit iuxta ciuitatem Vratislauiæ apud nemus uillæ Boret: uiſt ſunt enim homines ibi in crepuſculis altiores nemore illo alto: & uiſus eſt lupus iuxta lignum & caſtrum Poloniæ æqualis altitudinis ipſi nemori: ſed hoc accidit in horis crepuſcularibus: cum lux eſt dubia: & æſtimata ſunt illa uiſa fuiſſe phantaſmata à uidentibus. Non accideret autem aliquid talium, luce exiſtente in temperamento, quoniam tunc diſtantia hominis à nemore diſceroeretur, & altitudo uniuſcuiuſq ſecundum terminum ipſius apparentem menſuraretur. Similiter etiam ex coloris debilitate accidit error in uiſione magnitudinis: quoniam ſi in aliquo loco ſtatuatur aliquod corpus fortis coloris, non latebit uiſum: quòd ſi in eodem loco ponatur eorpus æquale priori, ſed coloris debilis, non uidebitur illud corpus. Sic etiam accidit error iſte ex colorum identitate in corpore medio & in re uiſa. Vnde corpus album in loco aliquo poſitum effuſa aliqua albedine in ſuperficie terræ interiacentis uiſum & rẽ uiſam, nõ uidebitur: remota uerò albedine ſpatij interiacẽtis: ſtatim forma illius albi corporis cóprehendetut. Fit ergo tũc occultatio ex conuenientia colorum: quoniam ſi loco illius albi corporis ponatur corpus æquale ſibi alterius coloris, bene uidebitur ipſum trans medium dealbatum. Exintemperara etiam longitudinis diſtantia fit error in magnitudinis uiſione: quoniam tunc uidebitur res multò minor quàm ſit in ueritate per 24 th. huius: tunc enim etiam partes eiuſdem rei improportionales ſuo tori abſconduntur uiſui, quia non poſſunt in tanta diſtantia uideri per 23 th. huius: & fit minor totalis rei apparentia: quoniam plura inſenſibiliter abſcondita faciuntrei ſenſibilem ablationem, quæ non fieret in diſtantia temperata. Intemperata etiam approximatio errorem inducit in uiſione magnitudinis: quoniam corpus approximatum oculo, uidetur maioris quantitatis quàm ſit reuera: quoniã propter magnitudinem anguli corpus uidetur maius, ut prius propter paruitatẽ anguli corpus uiſum eſt minus: & patent hæc per 20 th. huius: ſecundum quantitatem enim ampliorem anguli pyramidà lis amplior ſuperficies uiſus informatur, ut patet per 87 th 1 huius: unde ſecũdum quantitatẽ illius anguli & elongationem corporis fit æſtimatio quantitatis rei uiſæ, ut præ miſſum eſt in præcedente propoſitione: nec enim longitudo diſtantiæ rei ad interiora uidentis penetrat; cum pars capitis interior non ſit capax totius quantitatis radialium linearú, nec poteſt certitudinaliter menſurari: & propter hoc rei quantitas refertur ad anguli capacitatem & notam longitudinem. Vera autem reinotio corporis atten ditur ſecundum lineam à centro u ſus ad ſuperſiciem rei procedentem, reſpectu cuius lineæ ſemidiameter oculi incipit eſſe inſenſibilis: unde non facit aliquem ſenſibilem errorem in longitudinis illius æſtimatione: ſed corpore approximato uiſui ultra illam diſtantiam, tune fit ſemidiameter oculi proportionalis diſtantiæ corporis proportione ſenſibili: erit enim aliquando maior, aliquando æ qualis, aliquan do minor proportione modica, ut fortè ſubdupla uel ſubtripla, uel huiuſmodi: unde in tali propinquitate rei uiſæ, magnitudo angul pytamid pytamidalis, & ſenſibilis minoricas longitudinis æſtimatæ, reſpectu ueræ inducunt ſenſibilem apparentiam maioritatis in corpore. Exinordinata etiam ſitus oppoſitione fit error in magnitudinis uiſione: cum enim aliquis in alto exiſtens uidet ſub illa altitudine aliqua exiſtentia inter ſe æqualia, quorum eſt unum poſt aliud in ordine diſpoſitum: tunc enim per 25 huius iudicabitur poſtremum, quod eſt uidenti propin quius, altius omnibus alijs uel maius: ut uigil ſtans in turris alicuius eminentia, uidens homines uel arbores æquales, inæ qualiter à ſe diſtantes, propinquiorem ſibi æſtimat altiorem. Ex intemperata etiam quantitatis rei uiſæ diſpoſitione accidit error in magnitudinis uiſione: propoſitis enim uiſui duobus corporibus, quorum unum ſit modicum maius alio, aut in ſola longitudine, aut in latitudine, aut in utraq ipſarum: forſitan illa indicabuntur æqualia in omni dimenſione, quoniam paruitas ill us exceſſus non ſentitur propter ſui paruitatem: non enim excedit fines temperantiæ reſpectu ipſius uiſus. Exintemperata etiam ſoliditate fit error in uiſione magnitudinis: in cryſtallo enim angulata, extrema angulorum, quia parum ſolida ſunt, quandoq non uidentur, cum corporis ſolidi anguli uideri poſſent. Exintemperantia etiam raritatis in uiſione magnitudinis error accidit: quoniam in aere nubiloſo obſcuro, ut in horis crepuſcularibus plurimum accidit, quòd corpus uiſum maius apparet quàm in aere temperato, ut nos infrà declarabimus, cum tra ctatum de ijs, quæ uidentur per medium ſecundi diaphani faciemus. Ex intemperantia eriam temporis fit error in uiſione quantiatis: cum enim ardens titio ſæpius per aliquod ſpatium uelociter mouetur, apparet totum ſpatium ignitum: quia non perpenditur quantitas temporis, page 132 propter uelocitatem motus titionis: & ſic ignis paruus æſtimatur maior propter ſui motus temperis breuitatem. Exintemperantia & uiſus debilitate in magnitudinis uiſione error accidit: quia etiam res fortè parua nullo modo uidetur: ut patet in ſenibus, qui non poſſunt diſcernore literam mi nutam. Patet ergo propoſitum.

29. Viſio comprehendit omnem ſitum per comprehenſionem debitæ remotionis in ipſis rebus ſituatis. Alhazen 26 n 2.

Siue enim nomen ſitus dicat totius rei uiſę, ſiue partium eius oppoſitionem ad uiſum ſecundum directionem uel obliquationem: ſiue dicat ordinationem ſuperficierum rei uiſæ, uel partium eius apud ſuperficiem ipſius uiſus, ut cum res uiſa eſt multarũ ſuperficierum apparentium uiſui: ſiue no men ſitus dicat ſituationem linearum, quæ ſuntipſarum ſuperficierum uiſibilium: ſiue dicat ſitum. ſpatiorũ, quæ ſunt inter quælibet duo uiſibilia ſimul comprehenſa à uiſu: ſemper accepto ſitu ſecun dum quemcunq iſtorum modorum, hæc omnia & ſingula comprehendit uiſus, ut hæc ſunt diſp oſita in corporibus lucidis uel coloratis, ut in per ſe uiſibilibus & in illis ſundata: & ſemper cóprehendit quemlibet modũ ſitus, cóprehenſa remotione à uiſu uel inter ſe, quæ debentur ipſis totis uel par tibus ſituatis. Pater ergo propoſitũ: quoniá hos modos particulariter in ſequentibus proſequemur.

30. Situs oppoſitionis rei uiſa & partium eius ad uiſum, comprehenditur à ſenſu uiſus auxi lio uirtutis diſtinctiua. Alhazen 27 n 2.

Cum enim ſitus cuiuslibet habentis ſitum ad aliud, componatur ex remotione illorum duorum ad inuicem: palàm, quòd oppoſitio rei uiſæ ad uiſum, quæ quidem ſitus eſt, componitur ex remotio ne rei uiſæ à uiſu, & ex parte uniuerſi, in qua eſt res uiſa reſpectu uiſus. Comprehenſio autem remotionis rei uiſæeſt ab ipſa uirtute diſtinctiua per intentionem quieſcentem in anima, ut oſtenſum eſt per 9 & 10 the. huius. Cum ergo uirtus diſtinctiua comprehendet locum rei uiſæ & ſuam remotionem: tunc in ſimul cum illis comprehendet rei oppoſitionem: uerus autem locus rei uiſæ comprehenditur ex ſitu ipſius uiſus, & ex ſitu ipſius rei uiſæ apud uiſionem, quoniam uiſus nõ comprehen dit rem uiſam niſi ex oppoſitione. Diſtinguet ergo uirtus diſtinctiua inter locum obliquum uiſui, & locum propinquum ei: uirtus enim diſtinctiua comprehendit omnia loca rerum locatarũ per comprehenſionem remotionis & partis uniuerſi, ad quam eſt illa remotio, ut patuit per 14 huius: unde etiam comprehendet locum oppoſitum uiſui apud comprehenſionẽ rei uiſæ. Et quoniam uiſu abla to ab illa re uiſa, deſtruitur uiſio illius rei, tunc uirtus diſtinctiua comprehendit, quòd res uiſa non eſt, niſi in parte oppoſita uiſui apud uiſionem illius rei uiſæ: & ſecundum hunc modum diſtinguunturloca uiſibilium, quoniam uiſibilia diſtincta non diſtinguuntur à uiſu niſi ex diſtinctione locorum diſtinctorum in ſuperficie membri ſentientis, ad quod perueniunt formæ uiſibilium diſtinctorum. Sicutitaq loca uocum & ſonorum comprehenduntur à ſenſu auditus: & deinde mediante au ditu à uirtute diſtinctiua: ita loca uiſibilium comprehenduntur mediante uiſu à uirtute diſtinctiua. Cum enim forma rei uiſę peruenerit in ſuperſiciem uiſus, ſentiet uirtus uidens locum membri ſentientis, ad quem peruenit illa forma, & ex rectitudine lineæ perpendiculariter incidentis illi loco comprehendet uirtus diſtinctiua locum rei uiſæ: & quia intentio remotionis eſt quieſcenns apudipſam animam, ipſa ergo comprehendet locum rei uiſæ, & remotionem eius in ſimul apud comprehenſionem formæ à uiſu ſentiente. In peruentu ergo formæ uiſę ad uiſum comprehendit uiſus lu cem & colorem rei uiſæ, & partem ſuperficiei uiſus, quæ illuminatur & coloratur ab iſta forma, & uirtus diſtinctiua comprehendit locum & remotionem rei uiſæ, & per conſequens oppoſitionem ipſius totius rei uiſæ & omnium partium eius adinuicem in ſuo toto, & omnnium iſtorum comprehenſio ſit ſimul. Situs ergo oppoſitionis rei uiſæ & partium eius ad uiſum comprehenditur à ſenſu uiſus auxilio uirtutis diſtinctiuæ. Quod eſt propoſitum.

31. Viſus comprehendit directionem & obliquationem line arum, ſuperſicierum, & ſpatiorum ex comprehenſione diuerſitate remotionum ſuarum extremit atum, auxilio uirtutis diſtin ctiua. Alhazen 28 n 2.

Cum enim axes radiales ſecant lineas, uel ſuperſicies, uel ſpatia, ut ſuper illa perpendiculariter erecti: tunc uiſus comprehendit ſuperſiciem rei uiſæ, & remotiones extremitatum eius æ quales ex utraq parte axis erecti: & tunc comprehendit illam ſuperſiciem eſſe directè uiſui oppoſitam, & iudicabit uirtus diſtinctiua ſuperficiem illam directè oppoſitam uiſui. Cum autem uiſus comprehenderit remotionem extremitatum ſuperſiciei uiſæ diuerſam, & à puncto coniunctionis axium extra lineam, in quam incidunt axes perpendiculariter, non inuenit in tota ſuperſicie ſibi oppoſita duo puncta æ qualis remotionis à ſuperficie uiſus: tunc comprehendet illam ſuperſiciem obliquatam in eius oppoſitione, & uirtus diſtinctiua iudicabitipſam obliquatam. Et ſimiliter eſt de ſuibus linearum & ſpatiorum cadentium inter res plures uiſas ſimul: ipſorum enim directionem & obliquationem iudicabit uiſus auxilio uirtutis diſtinctiuæ. Et iſta æqualitas directionis & diuerſitas obliquationis multotiens comprehenditur à ſentiente per ſolam æſtimationem & per ſigna: in maxima enim diſtantia uel remotione comprehendetur ſuperſicies uel linea uel ſpatium, quod eſt obliquatum, quaſi ſit directum, quando ſcilicet non perfectè comprehenditur diuerſitas, quæ eſt inter remotiones extremitatũ eius: unde ad hoc, quòd uiſus bene hoc comprehendat, oportet ut talium page 133 uiſibilium ſit diſtantia mediocris: quia etiam in magna diſtantia parum obliquata uidentur, ut peni tus directa. Et licet ſecundum modum prędictum ſuperficies aliqua, uel linea, uel ſpatium uiſui ſint directè oppoſita: nulla tamen pars illius ſuperficiei, lineæ, uel ſpatij per ſe directè opponitur uiſui: quoniam axes radiales ubicunq extra unum punctum perpendicularitatis incidant, ſemper incidunt obliquè, & ſecundum angulos in æ quales per 20 th. 1 huius. Si autem ſuperficies, lineę, uel ſpatia æquidiſtent axibus uiſualibus, nec ſecentur ab illis, opponantur autem uiſui: tunc etiam ſitus ipſorum in directione & obliquatione comprehenditur à uiſu per remotionem ſuarum extremitatum: & poteſt fieri proportio iſtorum ad ſuperficies, lineas, uel ſpatia, quæ ſecant axes radiales, quibus axibus ipſa æquidiſtant. Patet itaq illud, quod proponebatur.

32. Situs partium & ſitus terminorum ſuperficiei rei uiſa aut ſitus ſuperficierum eius adin uicem: & ſitus plurium uiſibilium ſimul uiſorum ex comprebenſione diuerſitatis in remotione & ordinatione formarum peruenientium ad uiſum, comprehenditur à uiſu auxilio uirtutis di ctinctiua. Alhazen 30 n 2.

Quoniam enim forma cuiuslibet partis ſuperficiei rei uiſæ peruenit ad aliquam partem ſuperficiei uiſus, ad quam peruenit forma totius rei uiſæ: unde cum ſuperficies rei uiſæ fuerit diuerſorum colorum diſtinctorum: tunc erit forma perueniens in uiſum, diuerſorum colorum, & erunt partes eius diſtinctæ ſecundum diſtinctionem partium ſuperficiei rei uiſæ. Tunc itaq uiſus ſentiet quamlibet partem formæ uiſæ exſenſu colorum illarum partium & lucis, quæ eſt in eis, & ſentit loca formarum partium in ſuperficie uiſus ex ſenſu colorum partium illarum & lucis earũ: & uirtus diſtinctiua cõprehendit ordinationẽ illorum colorum ex cõprehenſione diuerſitatis partiũ formę, & ex comprehenſione differentiarũ ipſarũ partiũ: & ſic cõprehendit aliquid cõtiguũ & aliquid ſeparatũ. Similiter etiã eſt de ipſis uiſibilibus contiguis uel diſiunctis. Situs uerò partium rei uiſæ adinuicẽ ſecundũ acceſsionem & remotionẽ, uel ſecundũ præeminentiá unius ipſarũ ſuper alterá, & profun dationẽ unius ipſarũ ſub altera, cõprehenditur à uiſu ex cõprehenſione quantitatis remotionis par tium ſecundũ magis & minus. Termini aũt ſuperficiei rei uiſæ aut ſuperficierũ eius, quę ſunt lineæ ipſas ſuperficies terminantes, & ordinatio ipſorũ, cõprehenditur à uiſu per comprehenſionẽ partis ſuperficiei eius, in quã peruenit color ipſius ſuperficiei rei uiſę per illos terminos uel lineas termina tæ, & lux eius, & per comprehenſionem terminorum illius partis & ordinationis illius partis, auxilio uirtutis diſtin ctiuæ. Et quoniam omnia propoſita ſecundum hunc modum comprehenduntur: patetergo illud, quod proponebatur.

33. Omnis linea uel ſuperficies reì uiſa directè uiſibus ueluiſui oppoſita, perfectius uidetur quàm obliquata: & ſecundũ quantitatẽ obliquationis fit imperfectio uiſionis. Alhazen 17 n 3.

Eſto centrum uiſus a: & ſit, exempli gratia, ſuperficies plana rei uiſæ directè uiſibus oppoſitæ, in qua ſit linea b c d e f: & ſint b c, c d, d e, e f partes illius lineæ æquales uel inæquales: ſitq́ ſuperficies obliquata uiſibus, in qua ſit linea f g

Fig. 462

f g e h m d a i n c k o b
h i k: & ſit taliter, ut obliquatio illius ſuperficiei incipiat à puncto f: ſitq́ li nea a d perpendicularis ſuper lineã b f: ducanturq́ à centro uiſus lineæ a f, a e, a d, a c, a b: quæ omnes producantur ad ſuperficiem obliquatam: incidatq́ linea a e in punctum g, & li nea a d in punctum h, & linea a c in punctum i, & linea a b in punctum k. Et quia per 13 p 1 angulus h d f eſt rectus, quia angulus a d f eſt rectus ex hypotheſi: palàm ergo ք 47 p 1, quoniam linea f h eſt maior quàm linea f d. Et ſi à puncto g ducatur linea ęqui diſtans lineę f d per 31 p 1, quę ſit g in: erit per 29 p 1, & 4 p 6, & 47 p 1, linea g h maior quàm linea e d: & ſimiliter fiet de omnibus punctis inter punctaf & h datis. Item à puncto h ducatur linea æ quidiſtans lineę d c: quæ ſit h n. Et quoniam per 32 p 1 angulus a c d eſt acutus, erit per 13 p 1 angulus i c d obtuſus: ergo per 29 p 1 angulus in h eſt obtuſus: ergo per 19 p 1 & per 4 p 6 linea h i eſt maior quàm d c. Eodẽ inodo fit de omnibus punctis lineæ h k. Patet ergo, quòd eidem angulo, qui fit in centro uiſus, ſem per ſubten duntur maiores partes lineæ obliquatæ, quàm lineæ directè oppoſitæ uiſui. Partes itaq ſuperficiei rei uiſæ directè uiſui uel uiſibus oppoſitę, æqualiter diſtantes à puncto axis, uel à puncto coniunctionis, ſimiliter uirtuti uiſiuę offeruntur per 45 th. 3 huius, propter quod perfectius tota illa ſuperficies uidetur, & oẽs ſubtiles intentiones, quę ſunt in ipſa: ſuperficies uerò obliquata uiſibus acquirit formam dubitabilem, ſiue per unũ uiſum uideatur, ſiue per ambos: & ſiue illa forma per axes perueniat ad uiſum, ſiue extra axes: & etiã ſi diſtantia ſit mediocris ipſius ſuperficiei obliquatæ page 134 à uiſu: partes enim ſuperficiei illius æquales partibus ſuperficiei directè uiſui oppofitæ, ut patet ex prædemonſtratis, ſub minori angulo uidentur, quàm ſi eſſent directè uiſibus oppoſitæ: quia lineæ ſuarum extremitatum à centro uiſus productæ, minoribus angulis ſubtenduntur. Sic ergo totales illæ ſuperficies inſtituuntur in ſuperficiebus uiſus, quaſi congregatæ propter ſuam obliquationem: angulus enim, quem ſubtendit ſuperficies ipſius uiſus, quæ eſt informata forma ſuperficiei obliqua tæ, eſt paruus & ſenſibiliter minor eo, quem faceret eadem ſuperficies uiſibus oppoſita directè, uel ſuperficies aliqua alia æqualis ſuperficiei obliquatæ. Quia ergo ipſa ſuperficies uiſus informata ex illa obliquata ſuperficie eſt minor, & partes paruæ illius ſuperficiei obliquatæ incidunt angulis quaſi inſenſibilibus, propter maximam obliquationem: ideo de neceſsitate illa ſuperficies obliquata uidetur minus perfectè. Cum enim parua ſuperficies fuerit multũ obliquata: tunc duæ lineæ exeuntes à centro uiſus ad extrema illius partis, fient quaſi linea una: quapropter ſentiens non com prehendet angulum contentum interillas, neq partem, quam diſtinguunt ex ſuperficie uiſus. To ta ergo ſuperficies obliquata uiſui multũ amittit ſenſibilitatis: quia ſi in ipſa fuerint ſubtiles aliquę intentiones, non comprehendentur à uiſu, propter latitantiã ſuarum partium paruarum. Et quoniã ſuperficiebus plus obliquatis plus accidit propoſitæ paſsionis: ideo ſecundum quantitatẽ obliquationis fit imperfectio uiſionis. Patet ergo illud, quod proponebatur.

34. Exceſſu remotionis nimio exiſtente: res à uiſibus obliquata quando uidetur directè oppoſita. Alhazen 29 n 2.

Quoniam enim, ut patet per 10 huius, quantitas remotionis attenditur ſecundum quantitatem diametrorum rei uiſæ: ideo & nimietas exceſſus remotionis attenditur ſecundum quantitatem dia metrorum rei uiſæ. Quæ enim magno uiſibili non eſt nimia diſtantia à uiſu, hæc minori uiſibili eſt nimia:

Fig. 463

c c b a
quoniam nõ eodem modo in eadem diſtantia maius & minus percipiuntur à uiſu, ut patet per 7 & 20 huius. Sititaq centrũ uiſus a: & res uiſa obliquata, quæ b c: cuius alter terminorum, qui ſit b, propinquior ſit uiſui: ſitq́ illa res uiſa ſub angulo b a c: erit ergo argu mento 26 & 20 huius angulus b a c minor, quàm ſi ipſa res uiſa (quæ b c) à proximo ſui termino ad uiſum (qui eſt a) directè uideretur: ſed per 11 huius in omni bus uiſis maior eſt proportio diſtantiæ maioris ad di ſtantiam minoris, quàm ſit anguli maioris ad angulũ minorem: in nimia aũt remotione diſtantiarum proportio diſtantiæ maioris unius extremorum rei uiſę, utin propoſito ipſius c ad diſtantiã minorẽ alterius extremorũ, ut ipſius b, eſt differentia inſenſibilis, ut lineæ a c longioris ad lineã a b breuiorẽ: ergo multò magis inſenſibilis eſt differentia ipſorum angulorũ. Videbitur ergo b c in maxima remotione quaſi directè uiſibus oppoſita, cum ſit obliquata. Ethoe eſt propoſitum.

35. Omne uiſum exiſtens extra communem axem, in uno tantùm axe uiſuali: uelper radios propinquos axi: uel etiam per propinquos ambobus axibus uiſualibus comprebenſum, uidetur axi communi approximare plus eius ſitu uero.

Axis enim radialis, ut patet ք 37 th. 3 huius, ſemper defert punctũ, cui incidit ad punctũ medium nerui cõmunis, cui ſemper in hæret terminus axis cõmunis. Cum ergo uiſus comprehendit rem uiſam ſecundũ quod eſt, & inſtituitur forma in concauitate cõmunis nerui in uno loco, & continua ſibi adinuicem ſecundum continuationẽ rei uiſæ, & punctus rei uiſæ, qui eſt ſuper radialem axem, licet non fuerit ſuper axem cõmunem, uidetur tamen in loco propinquiori axi communi, quàm ſit in ſuo uero loco: tunc puncta reſidua etiam uidentur in loco propinquiori axi communi, quàm ſint in ſuo uero loco: quia ſunt continuata cum parte, quę eſt apud extremum axis: & ſi axes amborum uiſuum concurrerintin aliqua re uiſa extra axem communem: uidebitur tunc illa res in loco propinquiori communi axi, quàm ſit in ſuo loco uero. Hoc tamen rarò accidit, quia cum axes uiſuales con currerint in aliquo uiſo: tunc ut plurimũ axis communis tranſibit per illud uiſum: quia rarò axes amborum uiſuum concurrunt in aliquo uiſo extra axem communem, niſi per laborem aut impedimentum cogens uiſum ad hoc: unde hæc diſpoſitio non eſt uiſibus aſſueta, quia ſi eſſet talis diſpoſitio uiſibus multum aſſueta: tunc ipſa accideret in omni uiſione uel in pluribus: quod tamen non eſt uerum. Patet itaq propoſitum.

36. Omnium uiſibilium ſecundum ſui longitudinem ante oculos extenſorum: quæ ſunt à dextris in ſiniſtram, & quæ in ſiniſtris, ad dextr am educi uidentur partem Euclides 12. th opt.

Sint duo uiſibilia ſecundũ ſui longitudinẽ ante oculos extenſa, quæ exẽpli cauſſa ſint ęquidiſtantia: & ſint a b & d g: ſitq́ centrũ uiſus e: ducãturq́ lineæ ad puncta illorũ uiſibiſiũ: in dexteriore quidẽ parte, quę ſit a b, ducãtur lineę e b, e c, e k, e a: & in ſiniſteriore, quę ſit g d, ducãtur lineæ e d, e z, e i, page 135 e g. Dico, quòd lineę e z, e i, e g uidentur quaſi in partẽ ſiniſtrã productæ, & lineæ e c, e k, e a uidentur quaſi protractæ in partẽ dextrã. Sit enim linea e d perpendicularis ſuper lineã d g, & linea e b perpendicularis ſuper lineam b a: erit ergo per 19 p 1 linea e d breuior omnibus lineis e z, e i, e g: & linea e b breuior omnibus lineis e c, e k, e a. Lineæ ergo e d & e b minimam à uiſu denotabunt diſtantiam linearũ g d & a b: ſecundum illas ergo

Fig. 464

g a i k z c d e b
lineas perſectior ſit uiſio partiũ rerum uiſarum, quibus incidunt per 23 huius: linea ergo e d apparebit dexterior omnibus lineis ſuo uiſibili incidentibus, & linea e b ſiniſterior omnibus lineis ſuo uiſiincidentibus: illis quoq lineis propin quis incidentes mutabunt ſitus diſpoſitionem ſecundum receſſum ab illis lineis: eritq́ linea e z dexterior quàm linea e i, & linea e i dexterior quàm linea e g. Palàm ergo, quoniam linea e g uidetur in ſiniſtra à linea e i, & linea e i ſimiliter uidetur in ſiniſtra à linea e z. Eodem quoq modo uidebitur linea e a in dextram educi à linea e k, & linea e k uidetur in dextram educi à linea e c: punctum ergo z plus approximat ad ſiniſtram quàm punctum d, & punctum i plus quàm punctum z, & punctum g plus quàm punctum i. Tota ergo linea d g uidetur ſiniſtrari, & tota linea b a uidetur dextrari: quoniam puncto b exiſtente ſiniſtro, punctum c uidetur plus dextrum illo, & item punctum k plus dextrum puncto c, & punctum a plus dextrum puncto k. Patet ergo propoſitum: quoniam ſimiliter eſt in quibuslibet alijs punctis demonſtrandum: quæ enim ſub dexterioribus radijs uidentur, dexteriora apparent, & quæ ſub ſiniſterioribus ſiniſteriora, ut patet per 1 ſuppoſitionem huius. Hæc autem omnia ideo accidunt, quia lineæ parallelæ ſecundum remotiores ſui â uiſu partes concurrere uidentur per 21 huius. Et hoc eſt propoſitum.

37. Superſicierum ſub oculo iacentium, remotiores à uiſu, altiores uidentur. Euclides 10 theo. opticorum.

Sit centrum uiſus a in altiori ſitu collocatum, quàm ſuperſicies rei uiſæ, in qua ſint lineæ b e, e d, d g: ducanturq́ lineę a b, a e, a d, a g: ſitq́ cauſſa exempli ſitus talis, ut linea a b ſit perpendicularis ſu per lineam b g, in qua collocantur lineæ b e, e d, d g: quoniã in alijs ſitibus maior eſt diuerſitas. Dico quòd linea d g altior uidetur quàm linea d e, & linea

Fig. 465

a i t k b z e d g
d e altior quàm linea b e. Sumatur enim in linea b e, punctus z, à quo ducatur per 11 p 1 linea z i perpendicularis ſuper lineam b e. Quoniam ergo punctorum formæ g, d, e procedentes ad uiſum, primò pertranſeunt lineam z i, quàm perueniant ad punctum a cen trũ uiſus: ſit, ut linea g a ſecet lineam z i in puncto i, & linea d a in puncto t, & & linea e a in pũcto k. Quia ergo punctus i eleuatior eſt puncto t, & punctus t puncto k: ideo quòd linea a t maior eſt quàm linea a i, & linea a k maior  linea a t per 19 p 1: & in linea, in qua eſt punctum i, eſt etiam punctum g, & in linea, in qua eſt punctum t, eſt etiam punctũ d, & in linea, in qua eſt punctum k, eſt etiam punctum e: per comprehenſionem uerò punctorum d & g uidetur linea d g: & per puncta e & d uidetur linea e d: palàm, quo niam linea g d eleuatior apparebit quàm linea d e: & ſimiliter d e apparebit eleuatior quàm linea b e. Cuius enim pũcti forma multiplicando ſe ad uiſum magis eleuatur, hoc altius apparet uiſui per 1 ſuppoſitionẽ huius, quia in altiori ſitu offertur uiſui, & ſecundum illum modũ ſiguratur in ſuperſicie uiſus. Patet ergo propoſitũ. Et patet ex hoc, quòd multum exaltato uiſu ſuperficies planæ iacentes longè à uiſu concauæ uidebuntur: tendunt enim formæ talium punctorum ad uiſum per modum circumferentiæ circa centrũ uiſus propter æqualitatẽ uirtutis uiſiuę. Patet ergo propoſitũ.

38. Superſicierum uiſui ſuperiacentium remotiores à uiſu decliuiores uidentur. Euclides 11 theo. opticorum.

Sit centrum uiſus punctus a in inferiori ſitu collocatum, quàm ſuperficies rei uiſæ, in qua ſint lineæ b e, e d, d g: & ducantur, ſicut in præcedenti, lineæ a b, a e, a d, a g: quarum a b ſit perpendicularis ſuper ſuperſiciem ſuppoſitam uiſui. Dico, quòd linea g d apparebit decliuior quàm linea d e, & linea d e decliuior quàm linea b e. Ducatur enim, utin præcedente, linea z i æquidiſtans lineæ a b, ſecans lineam g a in puncto i, & lineam d a in puncto c, & lineam e a in puncto k: ergo per ea, quæ in præcedenti diximus, forma puncti g decliuior uidebitur quàm forma puncti d, & forma puncti d 136 decliuior quàm forma punctie, & forma puncti e decliuior quàm forma puncti b: ſed per formas punctorum g & d forma lineæ g d occurrit uiſui, & per for

Fig. 466

b z e d g k c i a
mas punctorum d & e uidebitur forma lineæ d e, & per formas punctorum e & b uidebitur forma lineæ e b. Quoniam itaq, ut oſtendimus in præmiſſa, linea a c eſt maior quàm linea a i, & linea a k maior quàm linea a c: & ſecundum harum linearum diſpoſitionem fit formarum illorum punctorum uiſio. Palàm ergo, quoniá centro uiſus & ipſo uiſibili ſic diſpoſitis, remo tiora à uiſu, decliuiora uiſui occurrunt, quàm propinquiora. Et hoc eſt propoſitum.

39. Aequalium magnitudinum ſub eodem uiſu erect arum, remotiores altiores apparent. Euclides 13 tbeo. opticorum.

Sit centrum uiſus punctum i: & ſint uiſæ æquales magnitudines, quæ ſub ipſo uiſu ſint erectæ, quæ ſint a b, g d, e z: ſitq́ a b remotior à uiſu, & deinde g d, & deinde e z: & ſit centrum oculi punctum i eleuatius exiſtẽs illis magnitudinibus: ducanturq́ lineæ i a, i g, i e. Dico, quòd magnitudinum illarum a b apparet altiour quàm g d, & g d altior quàm e z. Quoniã enim linea i a eſt eleuation quàm linea i g, & linea i g eleuatior quàm linea i e, & in linea, cui incidunt lineæ i a, i g, i e ſunt pũcta a, g, e, & per 37 huius uidẽtur puncta remotiora uiſui altiora: pũcta uerò a, g, e ſunt

Fig. 467

i a g e b d z
in magnitudinibus a b, g d, e z: ergo magnitudo a b apparet eleuatior quàm ipſa magnitudo g d, & magnitudo g d apparet altior quàm ipſa e z. Quod eſt propoſitũ. Et quia de qualibet magnitudine longiori poteſt abſcindi æ qualis breuiori: ideo in omnibus magnitudinibus ſubiacentibus uiſui præſens tenet demonſtratio: quoniam ſemper remotiores uidentur altiores, quàm ſint ſecundum ueritatem.

40. Aequalium magnitudinum uiſui ſuperere ctarum remotiores decliuiores apparent. Euclides 14 theo. opt.

Eſto, ſicut in præcedenti, centrum uiſus punctum i: & ſint æquales magnitudines, quæ a b, g d, e z, erectæ ſuperſtantes uiſui: ſitq́ a b remotior uiſui quàm aliæ, & e z propinquior. Dico, quòd magnitudo a b apparet decliuior quàm g d, & ma

Fig. 468

a g e b d z i
gnitudo g d decliuior quàm e z. Ducantur enim, ut in præmiſſa, lineę i b, i d, i z. Quoniam ergo, ſicut patet per 38 huius, forma ueniẽs per lineam i b, eſt decliuiori modo uiſui incidens, quàm forma ueniens per lineam id, & forma uiſui adueniens per lineam i d, decliuiori modo incidit, quàm forma ueniẽs per lineam i z: ſed in linea, cui incidunt lineæ i z, i d, i b, ſunt puncta z, d, b, quę puncta ſunt in magnitudinibus a b, g d, e z. Palàm ergo, quoniam iſtarũ magnitudinũ illa, quę eſt a b, decliuior apparet quàm g d, & g d quàm e z. Et hoc eſt propoſitũ. Eſt autem uni uerſale illo modo, quo diximus in præcedenti.

41. Altioris magnitudinis uiſibilis per uerti cem inferioris aſpectæ, accedente & recedente uiſu ſecundum lineam uertici inferioris perpendiculariter incidentem: ſemper idem erit exceſſus, non uidebitur autem idem. Euclides 17 th. opt.

Sint duæ uiſæ magnitudines inæquales a b maior, & g d minot: quarum uertices ſint a & g: & ſit centrum uiſus punctum e: ducaturq́ linea g e perpendicularis ſuper lineam g d, ſecans lineam a b in puncto z. Dico, quòd oculo accedente & recedente ſecundum lineam g e, ſemperidem uidebitur exceſſus lineæ a b ſuper lineam g d, qui exceſſus eſt linea z a. Accedat enim uiſus ad punctum i, propinquius puncto g quàm punctum e, uel remoueatur ad aliud punctum f, remotius quàm punctum e: ſemper autem perpendiculariter non incidet forma alicuius punctorum lineæ g d ipſi uiſui, page 137 niſi ſola forma puncti z, in quam cadit perpendiculariter e z: quoniam per 20 th. 1 huius duas lineas eidem ſuperficiei ab eodem puncto ductas perpen

Fig. 469

a z g i e f b d
diculariter inſiſtere eſt impoſsibile: palàm ergo pro poſitum. Videbitur tamen linea a z minui uel augumentari ſecun dum diuerſitatẽ angulorum, ſub quibus fiet uiſio per 20 huius. Et eſt, ut patet ex pręmiſſis, & per 21 p 1, angulus a i z maior angulo a e z, & angulus a e z maior angulo a f z: ſecundum hoc autem diuerſificatur in uiſu quãtitas lineæ a z: ſemper tamen illius lineæ a z eadem eſt quantitas in ſeipſa. Et hoc eſt propoſitum.

42. Altioris uiſibilis per uerticem inferioris aſpecti, accedente uiſu ſecundum lineam exceſſui altioris perpendiculariter incidentẽ: maior pars altioris uidetur, recedente uerò uiſu ſecundũ eandem lineam minor pars altioris uidetur: ſecundũ aliam uerò lineam accedente uel recedente uiſu, accidit econuerſo. Euclides 16 the. opt.

Sint, ut in præmiſſa, duæ in æquales magnitudines, quæ a b & g d, quarum maior ſit a b: & ſit centrum uiſus in puncto e poſitũ in linea e a, perpendiculariter incidente puncto a, qui ſit altior terminus lineę a b: ambę ergo magnitudines tam a b quàm g d ſubiacebunt uiſui, cum uertex altioris (qui eſt a) ſit in perpen diculari ducta à centro uiſus ad magnitudinem altiorem: ſint enim magnitudines a b & g d taliter erectæ, ut punctum a ſit altius, quàm punctum g, perueniatq́ forma alicuius punctorũ lineæ a b, quod ſit z, per uerticem

Fig. 470

a i e f i e z g z t i b d
lineę d g, qui ſit g, ad uiſum e: & ſit linea, ſecundũ quã aduenit illa forma, linea z e. Sub linea itaq z e uidetur linea z a, pars magnitudinis a b, & tota magnitudo d g, remanetq́ pars lineæ a b, quæ non uidetur per uerticem g: & hęc eſt linea z b. Accedat autem uiſus propinquius ad punctum a, ut fiat in eadem linea in puncto i. Palàm quoq, quia in hoc ſitu aliquis punctus lineæ a b inferior puncto z peruenit ad uiſum, qui ſit punctus t: & ducatur linea ti per uerticem g ad uiſum: ſub linea ergo it uidetur pars magnitudinis a b, quæ eſt t a, & tota magni tudo g d, remanetq́ pars lineæ a b, quæ eſt a t, uiſa, Et quoniam linea a teſt maior quàm linea z a, quæ uidebatur uiſu exiſtente remotiore: neceſſarium autem eſt lineamt a fieri maiorẽ quàm ſit linea z a: ideo quòd angulus ait eſt maior angulo a e z per 16 p 1: illud ergo, quod ui detur ſub angulo ait, eſt maius illo, quod uidetur ſub angulo a e z ք 20 huius: linea ergo a t maior uidebitur: & per 19 p 1 maior eſt quàm linea a z. Et quando linea, in qua e centrum uiſus, perpendiculariter incidit cuicunq puncto exceſſus lineæ a b ſuper lineam g d, eadem eſt demonſtratio. Palàm ergo, quòd accedente uiſu ſuperapparens pars lineæ a b ſemper fit maior, recedente uerò uiſu fit minor. Et hoc eſt propoſitum primum. Secundum aliam uerò lineam, quæ ſit perpendicularis ſuper lineam a b,
Fig. 471

a t z g s i e b d
non tamen incidat in punctum a, uel in aliquod punctum exceſſus, ſed in aliquod aliud punctum lineæ a b, baſsius toto exceſſu lineæ a b ſuper lineam g d, ut in punctum f: uiſu accedente uel recedente accidit ecóuerſo. Nam accedente uiſu, totius magnitudinis a b minus uidetur per uerticem g, & recedente uiſu, magis: exiſtente enim uiſu in pũcto e, multiplicabitur ad uiſum forma lineę z a, accedente uerò uiſu in punctumi, & ductis lineis e g z & i g t, patet, quòd illæ lineæ ſecabunt ſe in puncto g, & non perueniet ad uiſum forma alicuius punctorum lineæ z t, ſed ſolùm forma lineæ t a, quę eſt neceſſariò mi nor quàm linea z a. Patet ergo propoſitum.

43. Inæqualium uiſibilium uerticibus in eadem linea æquidictante horiz onti existentibus: pars inferior longioris uiſa per baſim breuioris accedente uiſu ſecundum lineã exceſſui longiouis per pendiculariter in cidentem, maior pars longioris unidebitur: recedente uerò uiſu ſecũdũ eandẽ lineã minor pars altioris uidebitur: ſecundũ aliam uerò lineam accidit econuerſo. Euclides 15 th. opt.

Hæc non differt in hypotheſi à præmiſſa, niſi quòd in illa uiſibilia ſunt ſubiacẽtia uiſui, in hac uerò ſunt ſuperſtantia. Sint ergo inæqua les quantitates a b & g d: quarũ maior fit a b: ſintq́ uertices illarum 138 quantitatum b & d: & fit linea b d æ quidiſtans horizonti: ſitq́ centrum uiſus in puncto e: multipliceturq́ forma alicuius puncti lineæ a b, ut z, per baſim g ad uiſum e: ſiatq́ linea z g e: ſub linea ergo z e continentur z a & g d: & b z non apparet uiſui, propter interpoſi

Fig. 472

b d f i e t z g f z i r t a
tionem ipſius g d: inferior uerò ipſius pars decliuior apparet per 40 huius, remanetq́ a z pars lineæ a b apparens uiſui ultra lineam g d. Accedat ergo uiſus, & ſit in puncto i propin quiori ad punctum a, in eadẽlinea perpen diculari ſuper lineã a b, quæ ſit e f: hæc enim æ quidiſtat uerticibus ipſorum uiſorum, qui ſunt b & d: multiplicabiturq́ forma alicuius puncti lineæ a b per punctum g ad uiſum exiſtentem in puncto i: ſit ille punctus t: & ducatur linea t g i: ſub linea ergo t g i cótinentur magnitudines g d & t a: ſub linea uerò e z cõtinentur magnitudines z a & g d. Et quoniam linea t z a maior eſt quàm linea z a, cum angulus tifper 16 p 1 ſit maior angulo z e ſiergo per 20 huius lineat fuiſa ſub angulo tif maior eſt quàm linea z f, uiſa ſub angulo z e f. Et non ſolùm apparebit uiſui maior: imò & erit maior. Quia itaq ambabus lineis t f & z f communis eſt linea f a: pater, quòd tota linea t a erit maior quàm linea z a. Et hoc eſt primum propoſitorum. Siue rò uiſus accedat non ſecundum lineam e f, ſed fiat in punctoi, extra illam lineam e f, in alia linea e f perpendiculariter incidente lineæ a b, non in aliquod punctorum exceſſus a b ſuper d g: dico, quòd acci det econuerſo: erit enim linea t a minor quàm linea z a. Ducantur enim lineæ t g i, & a i, & i z: palàm quoq per 32 p 1 quoniam angulus a i t eft minor angulo a i z: ideo quia angulus a z i minor eſt angulo a t i per 21 p 1, & angulus t a i communis: uiſum ergo à puncto i ſub angulo a i t eſt minus uiſo ſub angulo aiz: linea ergo z a eſt maior quàm linea t a: & uidetur maior. Et hoc accidit, cum centrum uiſus collocatur ſupra lineam primã e f, & altius quàm illa: ſi uerò ipſum collocetur inferius, quàm linea prima e f: tunc accidit econuerſo. Patet ergo propoſitum.

44. In ſitus uiſione uirtutidiſtinctiuæ error accidit ex intemper ata diſpoſitione octo circunſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 24. 35. 46 53. 58. 64. 66. 69 n 3.

Exintemperantia enim lucis uirtuti diſtinctiuæ error accidit in uiſione ſitus: ut ſi in nocte non obſcura aliquid modicè declinet à uiſu: tunc æſtimabitur in eo ſitus rectitudo propter debilitatem lucis egreſſam à temperamento. Nimia etiam remotio in uiſione ſitus errorẽ inducit: unde res uiſibilis ualde remota à uiſu & obliquata uiſui, uidebitur directè oppoſita per 34 huius. Intemperátia etiam ſitus errorẽ facit in ſitus uiſione: cadente enim axe uiſuali in corpus ſecundum temperatã diſtantiã uiſui oppoſitũ, & ſum pto alio corpore multũ elongato ab axe, & declinato modicũ ſuper lineam imaginatã, ſuper quã cadit axis radialis perpendiculariter: tunc uiſus non cõprehendit corpo ris illius declinati onẽ propter ſitum à temperamento egreſſum: quoniã non fit plena cõprehenſio corporũ longè ab axe poſitorũ per 45 th. 3 huius: & ita propter hunc errorẽ res obliquè uiſibus oppoſita, iudicabitur oppoſita directè. Intemperãtia etiã magnitudinis in uiſione ſitus eſſicit errorẽ: quoniã granũ ſinapis ſi fuerit ab oculis declinatũ, uidetur tamẽ ac ſi eſſet directè oppoſitũ: quia eius declinatio propter paruitatẽ corporis non poteſt comprehẽdi: nec enim eſt ſenſibilis declinatio hu ius grani ab axe cõmuni orthogonaliter ſuper uiſibilia cadente, ſecundũ quã diſcernitur obliquatio rerum uiſarũ reſpectu uiſus: quoniã nõ plenè diſcernitur diftãtia inter hunc axem & extremitates grani, quæ eſt quaſi minima linea omniũ linearũ ſenſibiliũ. Ex intẽperata etiã ſoliditate error accidit uiſui in ſitu: quoniã ſi corporis rari ſitus, reſpectu uiſus, fuerit declinatus, occultabitur eius decli natio, & ſi fortè uidebitur directè opponi: una enim extremitatũ illius corporis eiuſdẽ diſtantiæ reputabitur cũ alia, cũ tamen ſint diuerſæ: & accidit hoc propter nimiã raritatẽ non terminantẽ certitudinaliter uiſibilẽ operationẽ, & inducentẽ incertitudinẽ in quãtitate anguli, ſub quo fit uiſio. Intemperata etiã diaphanitas efſicit errorẽ uiſui in ſitu: ſi enim corpus uiſum ſub parua obliquatione obijciatur uiſui in aere denſo obſcuro, ſicut accidit in horis cre puſcularibus, occultabitur declinatio, quę pateret in aere lucido claro: fit ergo error in ſitu oppoſitiõis corporis ad uiſum. Exintẽpera ta etiã quantitate tẽporis fit error uiſui in ſitu: ut cũ aliquid occurrit uiſui ſubitò, q ſtatim recedit: hoc enim fortè directè uiſui oppoſitũ reputabitur obliquatũ, uel ecõuerſo, ſi fuerit obliquatũ uiſui, fortè reputabitur rectũ. Ex diſpoſitiõe etiã uiſus in ſanitate fit error uiſui in ſitu: ut ſi ab aliquãta di ſtãtia licet tẽperata corpus aliq in oppoſitiõe uiſus modicũ obliquetur: tũc enim uiſu exiſtẽte debili, nõ ſentietur obliquatio, cũ tamẽ ſit obliquatio ſecũdũ uerũ. Sic ergo in ſitus uiſiõe uirtuti diſtin ctiuę error accidit ex intẽperata diſpoſitiõe octo circũſtantiarũ cuiuslibet rei uiſæ, ut ꝓponebatur.

45. Figura circularis ſuperſicieirei uiſæ cõprehenditur à uiſu ex circularitate formæ in ſuperficie oculi deſcriptæ. Alhazen 32 n 2.

Quoniã enim formę rerũ deſcribuntur in oculi ſuperficie, ſicut ſunt in rebus extrà per 17 th. 3 huius, & formæ ſecundũ figurã, qua deſcribuntur in oculi ſuperficie, ſic perueniũt ad neruũ cõmunẽ, & circa eius punctũ mediũ figurantur, prout patet ք 37 th. 3 huius, & ibi cõprehenduntur ab anima ſecundũ ſui diſpoſitionẽ: tũ c patet, quòd forma circularis ſuperficiei rei uiſæ cõprehenditur à uiſu page 139 ex circularitate formę in ſuperficie oculi deſcriptæ: & ſimiliter comprehen ditur circularitas cuiuſlibet partium ſuperficiei rei uiſæ. Certificatur autem hæc uiſio, cum uidens mouerit axes radiales ambos uel ſaltem unum per totam circum ferentiam rei uiſæ aut partis eius: ſic enim ex certificatione ſituum terminorum formæ comprehen det figuram ſuperficiei circularem ex conſimilitudine uel diſsimilitu dine partium, & ex comprehẽſione æqualitatis uel in æqualitatis remotionis partium rei uiſæ ab inuicem, uel æ qualitatis uel linæ qualitatis eleuationum, partium rei uiſæ ad inuicem. Patet ergo propoſitum.

46. Figura rectilinea comprehenditur à uiſu ex ſuorum terminorum comprehenſione.

Quoniam enim figura eſt, quæ termino uel terminis continetur: termini autem figurarum ſunt lineæ, quæ comprehenduntur uiſu non decepto ſecũdum ipſarum ſituationem in ſuperficie oculi, ficut eſt ipſarum ſituatio in ſuperficie rei uiſæ. Palàm ergo, quoniam ipſarum comprehenſio à uiſu eſt comprehenſio figuræ in ipſis contentæ, cuius ſunt termini illi. Et hoc eſt propoſitum. Sed in his omnibus uiſus requirit diſtantiam mediocrem & alias circumſtantias uiſui debitas, ne fortè fiat deceptio in ipſo uiſu.

47. Planicies ſuperſiciei ſecũdum mediocrem diſtantiam directè uiſui oppoſitæ comprehenditur ex comprehenſione æqualitatis remotionis partium, & conſimilitudinis ordinationis ipſarum. Alhazen 35 n z.

Sit ſuperficies plana a b c d: & ſit centrum uiſus e: à quo ducatur ſuper datam ſuperficiẽ perpen.

Fig. 473

e a b f c d
dicularis e f. Et quoniam ſup erficies illa eſt directè uiſui oppoſita, ſic quòd perpendicularis incidat in medium punctum illius ſuperficiei: producantur quoq ad puncta æqualiter à puncto f diſtantia, qu æ ſunt a, b, c, d lineæ e a, e b, e c, e d: & continuentur lineæ f a, f b, f c, f d: quæ omnes erunt æquales propter æqualem ipſarum diſtantiam à puncto f. Cum ergo omnes illæ lineæ f a, f b, f c, f d per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ fint perpendiculares ſuper lineam e f: patet per 4 p 1, quoniam lineæ e a, e b, e c, e d ſunt æquales: ſup erficies itaq a b c d ſecun dum illos eius terminos æ qualiter diſtat à uiſu. Sed & alijs lineis ad puncta alia æqualiter diſtantia à puncto f, à centro uiſus productis, illarum omnium ad inuicem ex præmiſsis concluditur æqualitas. Tota ergo ſuperficies ſecundum omnes ſui partes æ qualiter diſtantes ex omni parte à puncto f confimiliter peruenit ad uiſum. Tota itaq ſuperficies uidebitur plana ex comprehenſione æqualitatis remotionis partium & conſimilitudinis ordinationis ipſarum. Et hoc eſt propoſitum. Sed & ſi axes radiales non incidant ad medium, nihilominus per eadem demonſtrandum: ſemp er enim termini cuiuslibet partiũ ſuperficiei erunt lineæ rectæ. Superficies ergo eſt plana.

48. Conuexitas ſuperficiei comprehenditur à uiſu ex propinquit ate partium mediarum, & æquali remotione partium extremarum. Alhazen 33 n 2.

Cum enim ſuperficies conuexa directè uiſui opponitur ſecundum mediocrem diſtantiam: tunc cum omnis regularis ſup erficies conuexa ſit pars alicuius ſphæræ uel columnæ rotundæ uel pyramidis rotundæ per 118th. 1 huius: ſi ſuperficies illa oppoſita uiſui ſit pars ſphæricæ ſuperficiei, & fi à centro uiſus ad centrum ſphæræ linea recta ducatur, aliæq́ præter centrum lineæ plurimæ producantur, patet per 72 th. 1 huius, quòd ſola illa, quæ centrum tranſit, eſt perpendicularis ſuper ſphęræ ſuperficiem: aliæ uerò omnes lineæ à centro uiſus ad illam ſphæricam ſuperficiem productæ, ſunt ſuper illam ſuperficiẽ incidentes obliquè. Erit ergo per 8 p 3 pars perpendicularis interiacens centrum uiſus & ſup erficiem ſphæricam omnium aliarum linearum breuiſsima: ergo ſecundum illam fit maxima approximatio ad uiſum, & omnes circuli ſecundum punctum, cui incidit illa perpendicularis, in ſup erficie ſphæræ deſcripti, erunt uiſui proximiores ſecundum illa puncta, & ſecun dum alias lineas obliquè incidẽtes, erunt uiſui remotiores: quia omnes lineæ perpendiculari lineæ propinquiores modo dicto, ſunt minores remotioribus: quoniam per prænominatam 8 p 3 omnes lineæ à centro uiſus ad peripherias maiorum circulorũ productæ ſunt longiores lineis propinquioribus ipſi perpendiculari. Ex comprehenſione ergo propin quitatis partium mediarum in illa ſuperficie, & remotione aliarum partium, quæ ſunt in terminis, apparet maior eleuatio partium mediarum quàm extremarum: & ex inæqualitate eleuationis partium ſup erficiei uidetur gibbofitas; quæ eſt cauſſa conuexitatis. Et quoniam in omnl puncto ſuperficiei ſphæricæ ſecant ſe circuli magni tranſeuntes per centrum illius ſphæræ, & omnes lineæ, quę lineæ breuiſsimæ utrinq æquè appropinquant, ſunt æquales: ideo ſecundum æ qualem diſtantiam à perpendiculari fit æqualitas omnium linearum ad ſphæræ ſuperficiem à centro uiſus productarũ, & apparet deflexio gibbofitatis æqualis ſecundũ omnem differentiam poſitionis in ſphæricis ſuperficiebus, maximè cũ directè uiſibus opponũtur. Si uerò ſup erficies cõuexa oppoſita uiſui fuerit pars ſuperficiei columnaris aut pyramidalis rotundarum: tunc fit eadẽ dem onftratio productis lineis perpendicularibus à centro page 140 uiſus ad centrum circuli baſis, & omnium circulorum æquidiſtantium baſi: alijs quoq lineis pluribus ab eodem cẽtro uiſus non perpendiculariter per eoſdem circulos productis, complebitur demonſtratio ut prius. Et ſi illæ ſuperficies quomodocunq obliquatæ ſint ad uiſum, nihilominus per eadem eſt demonſtrandum: ſiue enim gibboſitas ſit inferius, ſiue ſuperius, ſiue à dextris, ſiue à ſiniſtris, ſemper partium in æqualis diſtantia propoſitum cõcludet: & de irregularibus conuexitatibus per eadem fit comprehenſio in uiſu. Patet ergo propoſitum. Vniuerſaliter enim conuexitas comprehenditur à uiſu ex propin quitate partiũ mediarum, & æquali remotione partium extremarum. Patet ergo quod proponebatur.

49. Concauit as ſuperficiei comprehẽditur à uiſu ex remotione partium mediarũ, & æquali appropinquatione partium extremarum. Alhazen 34 n 2.

Per eadem, quæ in præcedenti, demonſtrandum, & ſimiliter per omnem ſuperficiem tranſcurrendum. Semper enim per 8 p 3 linea à centro uiſus ad centrum ſphæræ uel circuli producta, quia continet diametrum, eſt omnium longiſsima, & ſibi propinquiores ſunt cæteris remotioribus maiores, & omnes æqualiter ab illa diſtantes ſunt æquales. Ergo termini illius ſuperficiei uidebuntur arcuales, & tota ſuperficies uidebitur concaua. Et ſi illæ ſuperficies fint obliquatæ uiſibus, ſiue arcualitas terminorum ſit ſuperius, ſiue inferius, ſiue à dextris, ſiue à ſiniſtris, ſemper per eandem demonſtrandum. Patet ergo propoſitum.

50. Centro for aminis uueæ & circumferentia circuli in eadẽ ſuperficie exiſtẽtibus: circumferentia ad aliquam rectitudinem accedere uidetur. Euclides in præfat. & 22 the. opt.

Eſto foraminis uueæ centrum a, in eadem exiſtens ſuperficie cum circumferentia circuli uiſi: ita

Fig. 474

k g c i z e d b a
quòd plana ſuperficies circuli imaginata produci ſecet ſphærã oculi trans centrum: illius quoq circumferentia circuli ſit g b: & eius centrum k: & à punctis illius circumferentiæ ducantur lineæ plurimæ ad uiſum a: quæ ſint b a, d a, e a, z a, i a, c a, g a: ſecũdum quas lineas formæ illorum punctorum accedunt ad uiſum. Dico, quoniam arcus b g apparet uiſui linea recta. Ducãtur enim à centro illius circuli lineæ k b, k d, k e, k z, k i, k c, k g. Quoniam ergo linea k b uidetur ſub angulo k a b, & linea k d ſub angulo k a d, qui minor eſt angulo k a b, quoniam pars eius eſt: ergo per 20 huius palàm eſt, quia maior uidebitur linea k b quàm k d, quoniam ſub maiori angulo uidetur: & ſimiliter uidebitur linea k d maior quàm k e, & k e maior quàm k z: & eodem modo uidebitur k g maior quàm k e, & k c maior quàm k i, & k i maior quàm k z. Punctus quoq z inter omnes datos punctos, quoniã cadit in perpendiculari a k, propinquior uidebitur centro k quàm punctus e, & punctus e propinquior quàm punctus d, & punctus d propinquior quàm punctus b. In apparentia ergo uiſui aliquid tollitur de curuitate arcus z b. Et ſimiliter eſt de arcu z g. Accedere ergo uidetur ad rectitudinem arcus g b. Cum enim per 8 p 3 linea a z fit omnium breuiſsima, & linea a e breuior ſit quàm linea a d, & a d breuior quàm a b: patet quòd in uiſu aliquid remanet curuitatis apprehẽſæ & ſic non uidebitur tota peripheria linea recta, ſed ad rectitudinem aliqualiter accedens. Patet ergo propoſi
Fig. 475

b e c d a
tum. Ethoc idẽ accidet cõuexis & concauis partibus peripheriæ circuli uiſui oppoſitis. Quia ſi à puncto z ducatur aliqua perpendicularis ſuper lineam a z: tunc non eſt differentia magna uiſui inter arcum & lineam contingentem, cum per maius ſpatium uiſio fit, propè uerò exiſtente uiſu, maior percipitur conuexitas uel concauitas: & magis apparet. Quòd ſi centrum oculi & circulus non ſint in eadem ſuperficie: tunc circum ferentia circuli uidebitur curua: quoniam tũc ſitus partiũ lineę circularis ſecundũ ſuũ ſitũ & eſſe propriũ peruenit ad uiſum, & depingitur ſecundũ ſuã curuitatẽ in ſuperficie illius, licet quãdoq forma ſphærica illius curuitatis ſecundũ aliquid ſui uarietur.

51. Circulo centro́ for aminis uueæ in eadem ſuperficie exiſtentibus: minus ſemicirculo uidetur.

Sit centrum foraminis uueæ, quod ſit punctum a: & circulus b c d, cuius diameter b e, in eadem ſuperficie plana exiſtentia: uideaturq́ arcus b c d: dico, quòd minus ſemicirculo uidebitur. Si enim arcus b c d, qui uidetur, ſit ſemicirculus, neceſſe eſt lineas a b & a e ſuper terminos diametri b e incidere: aliter enim ſemicirculus non uidebitur: quia ſola diameter eſt, quæ diuidit circulũ per æqualia per 17 defin. 1. Ergo lineæ a b & a e ſemper contingent circulum, quoniam à terminis diametri producuntur. Palàm ergo per 18 p 3, quoniam utraq cum diametro b e angulũ rectum contin ebit: triangulus itaq a b e habebit duos angulos rectos, & tertium angulum: quod eſt cõtra 32 p 1, & impoſsibile. Patet ergo propoſitum.

page 141

52. Centro foraminis uueæ exiſtente in circumferentia uel in centro circuli: totalis circulus uidetur.

Eſto centrum ſoraminis uueæ punctum a in circumferentia circuli d b: dico, quòd totus circulus d b uidebitur. Nec enim eſt punctus in

Fig. 476

b a a d
toto circulo, à quo ad quemlibet punctum datum in circumferentia duci linea recta non poſsit. Et quia, ut oſtenſum eſt per 2 th. 3 huius, poſsibilile eſtſolum illud uideri, inter cuius quodlibet pũctum & ali quod punctum ſuperficiei uiſus produci lineas rectas eſt poſsibile: formæ ergo omnium punctorum circuli pertingere poſſunt ad uiſum nullo extrinſeco corpore impediente. Totalis ergo circulus ſecundũ omnia ſua puncta uideri poterit cẽtro foraminis uueæ in illius circuli circumferentia collocata. Et quoniam centro foraminis uueæ in centro circuli exiſtente, adhuc omnes lineæ ducibiles à punctis circumferentiæ ad centrum, ad ipſum uiſum perueniunt: patet, quia fiet uiſio ſecundum lineas, quæ à punctis circum ferentiæ ducũtur ad centrum uiſus per 17 th. 3 huius. Ethoc eſt propoſitum.

53. Exiſtente cẽtro oculi in linea à centro circuli ſuper ſuperficiem circuli erecta, aut in termino lineæ obliquè ſuperficiei circuli inſiſtẽtis æqualis ſemidiametro: omnes diametri in eodem circulo productæ æquales uiſui apparebunt. Euclides 35. 36 th. 0pt.

Eſto circulus d e g: cuius centrum ſit punctus a: erigaturq́ linea a b perpendiculariter ſuper circuli ſuperficiem: & ducãtur diametri e z & d g: ponaturq́ centrũ oculi in linea a b in puncto b. Dico, quòd omnes diametri ductæ trãs ſuperficiem circuli, ut e z & d g, æ quales adinuicem uidebuntur. Ducantur enim à centro uiſus line æ b e, b z, b d, b g. Quoniam ergo linea z a æqualis eſt lineæ a

Fig. 477

b e d a g f k h v
g, & linea b a cõmunis ambobus trigonis a b g & a b z, anguli quoq ad centrum a ſunt æ quales, quia recti: palàm per 4 p 1, quoniam linea b g eſt æ qualis lineæ b z, & angulus a b z eſt æqualis angulo a b: g: & eodem modo erit angulus a b d æqualis angulo a b e, & omnes anguliad centrum uiſus inter ſe ſunt æquales. Ergo per 19 uel 20 huius omnes ſemidiametri æquales apparent: imò & ipſi diametri: ſub æqualibus enim angulis omnia uidẽtur, & totales diametri & partes. Sed & omnes lineæ æquidiſtantes alteri diametrorum, uidentur minores diametris, & remotiores minores propinquioribus: quod patet ducta linea ſh æquidiſtante diametro d g, cuius medio pũcto, qui ſit k, incidat linea b k: & copulentur lineæ b f, & b h, & a k: eritq́ linea a k per 3 p 3 per pẽdicularis ſuper lineam fh, quoniam ueniens à centro diuidit ipſam per æqualia in puncto k. Quia itaq in trigonis b a g & b k h anguli b a g & b k h ſunt recti, ut b a g ex hypotheſi, & b k h per 22 th. 1 huius: linea uerò b k eſt maior quàm linea b a, & linea a g eſt maior quàm linea k h: ergo per 37 th. 1 huius angulus b h k eſt maior angulo b g a: ſimiliter quoq angulus b f h erit maior angulo b d a. In trigonis ergo d b g & f b h erit per 32 p 1 angulus d b g maior angulo f b h: diameter ergo d g uidebitur maior, quàm linea fh per 20 huius. Similiter quoq eſt de omnibus alijs lineis æquidiſtantibus dia metro, reſpectu ipſius diametri, & ad inuicem demonſtrãdum. Quælibet ergo minor uidebitur mi
Fig. 478

b g e a z d
nor: & ita totus circulus uidebitur propriæ ſuæ figurę. Et hoc eſt propoſitum primum. Si uerò linea a b non ſit erecta ſuper circuli ſuperficiem, ſed obliquè inſiſtens, ſit tamen æqualis ſemidiametro circuli, ad huc diametri d g & z e uidebuntur æquales, centro uiſus in puncto b exiſtente. Gum enim ex hypotheſi z a ſemidiameter ſit æqualis lineæ a b, & ſemidiameter a e æqualis ſit eidem: palàm quoniam lineæ a b, a e, a z ſunt æquales. Si ergo ſuper punctum a ad quantitatem ſemidiametri e a circulus deſcribatur in ſuperficie, in qua ſunt lineæ a e, a z, a b: palàm quia tranſibit per punctum b: ergo per 31 p 3 angulus e b z eſt rectus: ſimiliter quoq oſtendetur angulum g b d eſſe rectum. Et quia omnes anguli recti ſunt æquales, & ſub æqualibus angulis uiſa æqualia apparẽt ք 19 uel 20 huius: palàm quia omnes diametri illius circuli quotcũq ducãtur, ęquales apparebũt, ſicut diameter e z ipſi diametro g d: q eſt ꝓpoſitũ ſecundũ. Patet ergo totũ, quod ꝓponebatur.

54. Centro oculi exiſtente in termino lineæ maioris uel minoris ſemidiametro circuli (cuius ſuperſiciei in centro obliquè eſt inſiſtens) æquales angulos cum diuerſis ſemidiametris continentis: illæ diametri eiuſdem circuli æquales apparebunt. Euclides ſecunda parte 30 & 38 th. opt.

Sit circulus b g d e, cuius centrũ a: & ſit centrũ uiſus z: ſitq́ linea a z nõ erecta, ſed obliquè incidẽs page 142 ſuperficiei circuli maior uel minor ſemidiametro d a: ſit tamẽ angulus d a z æqualis angulo g a z, & angulus e a z æqualis angulo b a z. Dico, quòd adhuc diametri d b & e g uidebuntur æquales: quo

Fig. 479

e z b a d g z
niam enim linea d a eſt ęqualis a g, & linea z a communis duobus trigonis z a g, & z a d: eſt quoq ex hypotheſi angulus d a z æqualis angulo g a z: erit per 4 p 1 linea z d æqualis lineæ z g, & angulus d z a æqualis angulo g z a: ergo per 19 uel 20 huius baſis d a uidebitur æqualis g a baſi. Similiter quoq per eadem demonſtrabitur angulus e z a æqualis angulo b z a: & per pręmiſſa uidebitur linea e a ęqualis lineæ b a, & angulus a z g æqualis eſt angulo a z d, & angulus e z a æqualis angulo a z g: ideo accidit ut totalis angulus d z b totali angulo e z g ſit æqualis. Videbitur ergo, ut ſuprà patuit, diameter d b æqualis diametro e g. Quod eſt propoſitum. Poſsibile eſt autem hoc in quibuſdam diametris accidere, non autem in omnibus diametris circuli taliter uiſui oppoſiti: nõ ergo oportet quòd omnes diametri illius circuli uideantur æquales: non enim illæ diametri uidebuntur æquales, cum quibus linea z a facit angulos in æquales.

55. Sirect a linea à centro circuli centro oculi incidens, non erigatur ſuper ſuperficiem circuli, ne æquales angulos contineat cum diametris, ſit́ maior ſemidiametro: diametri illius circuliinæquales apparebunt: totus́ circulus uidebitur ſectio columnaris: cuius maxima eſt diameter illa, cui perpendiculariter incidit linea radialis. Euclides 37. 39 th. opt.

Eſto circulus a g b d: cuius centrum z: & ducantur diametri a b & g d, ſe ad inuicem orthogona liter ſecantes: ſitq́ centrum oculi e: à quo ducatur linea e z ad centrum circuli, diametro quidem d g ſecundum angulum rectum perpendiculariter incidens, diametro uerò a b obliquè, ut acciderit: non erit ergo linea e z erecta ſuper ſuperficiem circuli: ſitq́ linea e z maior ſemidiametro circuli. Dico, quòd diametri a b & g d uidebuntur in æquales: & g d maxima quidem, a b uerò minima: & quòd totus circulus uidebitur altera parte longior, ueluti ſectio columnaris: & quòd omnis diameter circuli, quæ ceciderit propior minimæ, uidebitur minor remotiore ab illa: & duæ tãtùm diametri apparebunt æquales, ut illæ, quæ æqualiter diſtant ab utraq parte à minima diametro, quæ eſt a b. Quoniam enim diameter g d eſt perpendicularis ſuper diametrum a b, & ſuper lineam z e, palàm per 4 p 11 quoniam linea g z eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt lineæ e z & a z, uel a b: ergo per 18 p 11 erit circulus propoſitus orthogonalis ſuper ſuperficiem e a z: ergo & e a z ſuperficies erecta erit ſuper circulum. Ducatur ergo à puncto e ſuper ſuperficiem circuli a b g d

Fig. 480

k e a i p g z d s b t
perpendicularis per 11 p 11: hæc itaque per præmiſſa neceſſariò cadet in communem ſectionem illarum ſuperficierum, quæ eſt a b: cadat ergo, & ſit e k: & ducantur lineæ e a, e b, e d, e g: producaturq́ diameter circuli alia, quæ ſit s z p, conſtituens cum diametro g z d angulum p z d æqualem angulo g z s per 15 p 1: ducatur quoque alia diameter, quæ ſit i z t: ita ut anguli g z s & i z g ſint æquales. Quia itaque à puncto e in aere dato ſuper ſubſtratam planam ſuperficiem circuli, qui eſt a b g d, ducuntur duæ lineæ, una perpendiculariter, quæ eſt e k, & alia obliquè, quæ eſt e z, & inter puncta incidentiæ, quæ ſunt k & z, copulatur linea z k in ipſa ſuperſicie: patet per 39 th. 1 huius, quoniam angulus e z k minimus eſt omnium angulorum ſub linea e z obliquè incidente, & ſemidiametro z i uel z p, uel quacunq alia diametro con tentorum: & omnis angulus iſtorum angulorum propinquior angulo e z k eſt minor remotiore: duo quo que anguli ex utraque parte æqualiter angulo e z k approximantes, ut ſunt anguli i z k, & p z k inter ſe ſunt æquales. Copulentur quoq lineæ e i, e s, e p, e t. Quia itaq ab angulis duorũ trigonorũ d e g & t e i, ad medietates ſuarũ baſiũ æqualiũ in trigono d e g linea e z perpẽdiculariter incidit, & in trigono tei obliquè, eſtq́ linea e z ma ior medietate utriuſq illarũ baſium g d, & i t, ut patet ex hypotheſi: ergo ք 49 th. 1 huius erit angulus d e g maior angulo t e i: ergo ք 20 huius diameter d g uidebitur maior diametro i t. Et quoniã, ut oſtẽſum eſt ք 39 th. 1 huius, angulus e z i eſt maior angulo e z a, ambabus uerò baſib. trigonorũ t e i & a e b, quæ ſunt i t & a b, ad 143 medium punctum, quod eſt z, linea e z incidit obliquè: erit per 51 th. 1 huius angulus t e i maior angulo a e b: ergo per 20 huius diameter it uidebitur maior diametro a b. Et ſic per præmiſſa de qualibet aliarum diametrorum, reſpectu diametri a b, eſt demonſtrandum. Omnium itaq diametrorum circuli propoſiti g d uidetur maxima, & a b minima: & propinquiores diametro g d uidẽtur maiores, & propinquiores diametro a b uidentur minores: duæ quoq diametri æqualiter hinc inde diſtantes, uidentur æquales, ut ſuntit & s p per præmiſſam: quoniam propter æqualitatem angulorum aliquorum, qui ſunt e z i & e z p per 39 th. 1 huius, anguli t e i & s e p fiunt æquales per 4 p 1 Totus ergo circulus uidetur altera parte longior, ueluti ſectio colũnaris. Sed & ſuppoſitis ijs, quæ per 39 th 1 huius declarata ſunt, poteſt reliquum aliter demonſtrari. Extra hanc enim figuram protrahatur lineal m æqualis diametro d g per 3 p 1, & diuidatur linea l m per æqualia in puncto n per 10 p 1: & à puncto n ducatur linea n x perpendiculariter ſuper lineam l m per 11 p 1, & reſecetur linea n x ad æqualitatem lineæ z e, quæ eſt ex hypoth eſi maior quàm linea n m, æqualis ſemidiametro z g, ut patet ex præmiſsis: ductisq́ lineis l x & m x, compleatur trigonum l m x: & per 5 p 4 circumſcriba
Fig. 481

p r o q x l n m
tur ei portio circuli, quę ſit l m x: eſt itaq illa portio circuli l m x maior ſemicirculo, ideo quia linea n x eſt maior utraq linearum n m & n l. Et quoniã trigonorum g z e & l n x latus g z eſt æquale lateri n l, & latus z e æquale lateri n x, & angulus g z e æqualis angulo l n x, quoniã, ut patet ex pręmiſsis, uterq ipſorũ eſt rectus: erit per 4 p 1 baſis ge æqualis baſi l x: & ſimiliter iterata demonſtratione in trigonis d z e & n x m: erit linea d e æqualis lineæ m x: & erit totus angulus l x m æqualis totali angulo g e d. Fiat quoq ſuper punctum n terminũ lineæ l n per 23 p 1 angulus æqualis angulo i z e: & ſit angulus l n o: fiatq́ per 3 p 1 linea n o æqualis lineæ e z: & ducãtur lineæ l o & m o: deſcribaturq́, ut ſuprà, circa trigo num l o m portio circuli, quæ ſit l o m: erit quoq ſecundum præmiſſum probandi modum angulus lo m æqualis angulo i e t. Item, ut prius, per 23 p 1 conſtituatur ſuper punctum n terminum lineæ l n angulus l n p æqualis angulo a z e: & fiat linea n p æqualis lineæ e z: & ducantur lineæ l p & p m: & circa trigonum l p m delcribatur portio circuli, ut prius, quæ ſit l p m: erit quoq modo præmiſſo angulus l p m æqualis angulo a e b: ducaturq́ linea à puncto lad punctum ſectionis, ubi linea m o ſecat circumferentiã portionis circuli, quæ l x m, quæ linea ſit l q. Et quia per 27 p 3 angulus l q m æqualis eſt angulo l x m, cadũt enim in eundem arcum, quem chordat linea l m: angulus uerò l q m maior eſt angulo l o m per 16 p 1, patet quia angulus l x m maior eſt angulo l o m: angulus uerò l x m æqualis eſt angulo g e d, & angulus l o m æqualis eſt angulo i e t: palàm ergo, quoniá angulus g e d maior eſt angulo l e t. Similiter quoq ducta linea l r ad punctum ſectionis, in quo linea m p ſecat arcum l o m: palàm ut prius, quoniã angulus l o m maior eſt angulo l p m: & quoniá angulus l p m eſt æqualis angulo a e b: erit angulus i e t maior. angulo a e b: ergo per 20 huius maior apparebit uiſui in puncto e poſito diameter g d, quàm diameterit, & diameter i t maior diametro a b. Et quoniam de omnibus diametris cadentibus in arcum i a eadem eſt demonſtratio, reſpectu diametri a b: patet quòd omnibus illis maior uidebitur diameter g d, & minor uidebitur diameter a b. Omnium itaq diametrorum cõcurrentium cum linea e z in puncto z diameter a b uidetur minima, & g d maxima: diameter uerò media diuidẽs angulũ a z g per ęqualia, modo medio uidebitur inter diametros g d & a b. Et quia per præmiſſa angulus i e t æqualis eſt angulo s e p, palàm quia diametri i t & s p ęquales uidebuntur, quoniam ſunt à diametris g d & a b æqualiter diſtantes, ut pater per præmiſſam & per 15 p 1. Hoc ergo eſt propoſitum.

56. Silinea recta à centro circuli centro uiſus incidens, non erigatur ſuper ſuperficiem circuli, ne æquales angulos contineat cum diametris, ſit́ minor diametro: diametri illius circuli inæquales appærebunt: totus́ circulus uidebitur ſectio columnaris, cuius maxima diameter eſt illa, cui obliquè incidit linea radialis. Euclides 37. 39 th. opt.

Eſto circulus a b g d: cuius centrum e: & ducantur duæ diametri a g & b d ſe inuicem ad rectos angulos ſecantes in centro e: & ducatur linea e z, quæ neque ſit erecta ſuper ſuperficiem circuli dati, nec angulos æquales continens cum diametris a g & b d: & ſit minor ſemidiametro continens angulos rectos cum diametro ga, & in æquales cum diametro d b. Dico, quòd diametri propoſiti circuli apparebuntin æquales;: & quòd totus circulus uidebitur ſectio columnaris, cuius diameter g a apparebit omnium minima, & diameter d b maxima: diametri uerò æqualiter ab iſtis ambabus diametris diſtantes, æquales apparebunt oculo in puncto z exiſtente, ut ſunt diametri h p & s r. Quia enim angulus z e g eſt rectus: ducantur lineæ z g, z d, z a, z b: & ducantur ad diametrum h p lineæ z h, z p: & ad diametrum s r lineæ z s & z r, & omnibus alijs, ut in præmiſſa, diſpoſitis, ſcilicet ducta linea z k ſuper diametrum g a, cui perpendiculariter incidit linea z e. Per 39 itaque th. 1 huius patet, quòd angulus z e k eſt minimus omnium angulorum page 144 illorum: & omnis angulus illi propinquior eſt minor remotiore. Quia uerò ab angulo trigoni g z a

Fig. 482

d s z p g k e d h b r
deſcendit linea z e ad medium baſis, quæ eſt a g, perpendiculariter, & ab angulo trigonih z p deſcẽdit eadem linea z e obliquè ad medium baſis h p: eſtq́ linea z e minor medietate utriuſq illarum baſium æqualiũ, ut patet ex hypotheſi: palàm per 50 th. 1 huius, quoniã angulus g z a eſt minor angulo h z p: item per 51 th. 1 huius angulus h z p eſt minor angulo d z b. Similiter quoq de quibuſcunq diametris medijs demonſtrandum. Patet ergo per 20 huius, quoniam omnium illarum diametrorum a guidetur minima, & d b maxima, & mediæ medio modo ſe habentes, ſecundum quod plus approximant hinc & inde. Duæ quoq diametri æqualiter diſtantes ab extremis, uidentur ęquales per 54 huius. Patet ergo propoſitum. Sed & ſuppoſitis ijs, quæ per 39 th. 1 huius declarata ſunt, poteſt reliquum aliter demonſtrari: Aſſumatur, ut in præmiſſa, linea k l æqualis diametro g d: & diuidatur in duo æqualia in puncto m: & producatur à puncto m perpendiculariter linea m o æqualis lineæ e z: erit ergo linea m o ex hypotheſi minor ſemidiametro g e, & minor
Fig. 483

o x k q m l
linea k m: & ducãtur lineę k o & l o. Trigono quoq k o l circumſcribatur circuli portio per 5 p 4, quę ſit k o l: eſt autem illa portio minor ſemicirculo: quia linea m o eſt minor ſemidiametro: eritq́ per 4 & 8 piangulus k o l æqualis angulo g z a. Sititem per 23 p 1 angulo p e z æqualis angulus k m x: & ſit linea x m æqualis lineæ e z: ductisq́ lineis k x & l x, circumſcribatur trigono k x l portio circuli k x l: & erit modo præmiſſo angulus k x l æqualis angulo h z p. Item ſit angulus k m q æqualis angulo a e z: & ſit linea m q æqualis e z: ductisq́ lineis k q & l q, ut prius, deſcribatur portio circuli k q l: & êrit angulus k q l æqualis angulo d z b. Et quia ut in præmiſſa patuit, erit angulus k o l minor angulo k x l, & angulus k x l minor angulo k q l: erit angulus g z a minorangulo h z p, & angulus h z p minor angulo d z b. Apparebit ergo diameter d b maior quàm diameter h p, & h p maior quàm g d. Diameter uerò h p & e i æqualiter condiſtans (quæ s r) à diametro g a, æquales apparebunt per 54 huius. Et hoc eſt propoſitum.

57. Centro uiſus exiſtente in linea erecta ſuper ſuperficiem quadrati in pũcto interſectionis duorũ diagoniorũ: latera quadrati æqualia apparent, & diametri æquales. Euclides 59 th. opt.

Sittetragonus a b g d: & protrahátur in ipſo diagonij a g, b d: & earum interſectio ſit e: erigatur e z ſuper ſuperficiem tetragoni per 12 p 11: ponatur̀q́ oculus in aliquo

Fig. 484

z a b e g d
puncto lineæ e z, ut in z: & ducátur lineæ z a, z b, z d, z g. Quia itaq per 40 th. 1 huius medietates diagoniorum inter ſe ſunt æquales, ut d e & g e, & linea e z eſt communis duobus trigonis d z e & g z e, & anguli circa e ſunt recti per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ: erit per 4 p 1 baſis z g æ qualis baſi z d, & angulus e z g ęqualis angulo e z d: uidebitur ita q linea d e æ qualis line æ g e per 20 huius. Et ſimiliter per eadem, quia angulus a z e eſt ęqualis angulo b z e, uidebitur ergo linea a e æ qualis line æ b e: tota quoq linea d b apparebit æ qualis toti lineæ a g. Et quoniá linea g z eſt æ qualis lineæ b z, & linea a z æqualis lineæ d z, & linea a b eſt æ qualis ipſi g d: quoniam ſuntlatera eiuſdem quadrati, & ſic tria latera unius trigoni ſunt æ qualia tribus lateribus alterius: ergo per 8 p 1 anguli æ qualibus lateribus contenti ſunt æ quales: omnia itaq latera ipſius quadrati hoc modo æ qualia apparebunt. Et hoc eſt propoſitum: quoniam in omni puncto lineæ e z eadem eſt demonſtratio, concludendo ſem per per 20 huius.

58. Sirect a linea maior uel minor medietate diagonij quadrati, à medio puncto centro uiſus incidens, obliquata ſuper eius ſuperficiem, æquales angulos contineat cum diuerſis medietatibus diagoniorum: diagonij illius quadrati apparebunt æquales.

Sit quadratum a b c d: cuius medius punctus inueniatur per 40 th. 1 huius, quod ſit e: & ducãtur diagonija e b & c e d: ſitq́ cẽtrum uiſus f: & linea fe ſit maior quàm linea e a medietate diagonij, uel minor illa: ſit quoq linea f e obliquata ſuper ſuperficiem quadrati, ſit tamen angulus f e a æqualis angulo f e c. Dico, quòd adhuc diagonij ipſius quadrati ęquales apparebunt. Circa pũctuin enim e deſcribatur circulus ad quantitatem ſemidiametri e a: palàm ergo (cum omnes medietates diago page 145 niorum ſint ęquales per 40 th. 1 huius) quoniam per 9 p 3 circulus iſte circũſcribetur totali quadra

Fig. 485

a f c e d d b f
to, omnes terminos diagoniorũ attingens: erunt ergo diagonij quadrati diametri deſcripti circuli. Sed manifeſtum eſt per 54 huius, quoniam diametri circulorum in hac diſpoſitione omnes uidẽtur ęquales: ergo & diagonij quadrati, cum ſint eędem cũ illis. Et hoc eſt propoſitum. Idem quoq accidit in omnibus figuris polygonijs cuiuſc unq formæ: & per eadẽ ue ſimilia demonſtrandum.

59. Linea recta ad punctum medium ſuperficie i quadratæ obliquè à centro uiſus incidente, & in æquales angulos cum diagonijs continente, ſiue maior ſiue minor ſemidiagonio fuerit: ſemper diagonij quadrati inæquales apparebunt. Euclides 61 th. opticorum.

Remaneat diſpoſitio proximę preęcedentis: conti neatq́ linea ſe inęquales angulos cum diagonijs, ita quòd angulus ſe a ſit inęqualis angulo f e c: & circunducatur circulus quadrato circa centrum e, ut prius: & ſi linea fe fuerit maior ſemidiagonio a e, concludetur per 55 huius diametros circuli (qui ſunt diagonij propoſiti quadrati) inęquales uideri. Quòd ſi linea fe fuerit minor ſemidiagonio a e: tunc ſimiliter per 56 huius cõuincetur diagonios quadrati inęquales uideri. Diuerſitas tamẽ iſtarũ inęqualitatum fit ſecundum modum illic in circulis propoſitum, ſecundum diuerfitatem angulorũ incidentię hinc inde. Patet ergo propoſitum. Et eodem modo poteſt de alijs figuris, ut de quadrangulo altera parte longiore, & de hexagonis, octogonis, & uniuerſaliter de omnibus polygonijs parium angulorum faciliter demonſtrari, quòd ipſorum diagonij quandoq ęquales uidentur, & quan doq inæquales: nec in talibus duximus immorandum, quia quilibet huius ſcientiæ perſcrutator hoc faciliter comprehendet.

60. Centro for aminis uueæ in puncto medio ſuperficiei cuiuſcun figuræ recti lineæ exiſtente, ſemper figur a ſecundum ſui formam propriam uiſui occurret.

Verbi gratia ſit figura data, exempli cauſſa, quadrata: & inueniatur pũctus medius per 40 th. 1 hu ius, in quo ponatur centrum foraminis uueę: & hoc eſt, ut ſuperponatur oculus illi puncto. Et quoniam ab illo puncto ad omnem punctum laterum & angulorum poſſunt duci lineę ęquales uel proportionales ijs, quę in ipſa ſuperficie: patet, quòd forma cuius libetillorum punctorum uidebitur: & propter ęqualitatem linearũ radialium ad eas, quę in ſuperficie, lineas, figurabitur figura in oculi ſu perficie, ſicut eſt extrà in ſuperficie rei uiſę. Patet ergo, quòd totalis forma & figura illius ſuperficiei uidebitur, ſicut eſt propria illi figuratio, cuiuſcunq ſit figurę. Et hoc eſt propoſitum.

61. Figura quadr at a uno ſolo latere directè uiſui oppoſito, è di
Fig. 486

e b a d c
ſtantia uiſa alter a parte longior uidetur.

Sit enim figura quadrata a b c d: & centrum uiſus e: & latus quadrati, quod ſit a b, opponatur uiſui directè: palàm ergo, quoniam alia uiſui opponentur obliquè: fed per 26 huius quantitas obliquè uiſui oppoſita uidetur minor, quoniam ſub minori angulo uidetur: directè uerò uiſui oppoſita uidetur ſuę proprię quãtitatis, quàm obliquè uiſa: ſub maiori enim angulo uidentur omnia directè uiſibus oppoſi ta,  ſibi æqualia, quæ opponuntur uiſibus obliquè. Tota ergo figura quadrata uidebitur altera parte longior. Superficies uerò quadrata è diſtantia uiſa altera parte longior uidetur, ut proponitur: ſed & eſt poſsibile, altera parte longior appareat uiſui eſſe quadrata, ut ſi latus eius breuius directè opponatur uiſui & lõgius obliquè: tũc enim po teſt fieri propter diſpoſitionẽ obliquitatis, ut longius latus appareat æquale breuiori. Multa quoq ſimilia accidunt ex hac radice, utpote irregularitas in quibuslibet polygonijs figuris æquilateris & ęquian gulis. In alijs quoq accidit ſuę formę diuerſitas in uiſiõe, quę omnia relinquimus diligentię particulariter perquirentis: ſufficit enim nobis hoc uniuerſaliter propoſitum in radice.

62. Si quadr atum, cuius latus non ſit excedens diſtantiam oculorum, uiſibus propius apponatur: uidebitur alter a parte longius: & latera uiſibus obuiantia ex parte uiſuum concurrere uidebuntur.

Sit quadratum a b c d, utin præmiſſa, cuius latus a b non ſit excedens quantitatem lineæ connectentis centra oculorum, hoc eſt diſtantiam oculorum: & applicetur uiſibus, ut propius poteſt, ſe page 146 cundum latus ſuũ a b: dico, quòd uidebitur altera parte longius. Latera enim eius duo, ſcilicet a c & b d directè ſubij ciuntur uiſui, quoniam quo dlibet illorum laterum imaginatum extendi ſecundum ſuum continuum & directum, penetrat centrum uiſus, cui directè ſubijcitur: & ſic forma eius directè depingitur in ſuperficie ipſius uiſus, & latus c d directè opp onitur uiſui: uidebũtur ergo illa ſuæ proprię quantitatis per 26 huius: latus uerò a b uidetur obliquè, quoniam cadit intra axes uiſuales, nec ſuper ipſum erigitur aliquis axium uiſualium: uidetur ergo minus per eandem 26 huius. Totũ ergo quadratum a b c d uidetur altera parte longius, & lineæ c a & d b, quę ſunt latera illius quadrati uiſibus obuiantia, uidebuntur plus diſtare ſecundum lineam c d, quã ſecundum lineam a b: uiden tur ergo concurrere uerſus partem uiſus. Quod eſt propoſitum. Et eadem paſsio accidit figurę quadrangulæ altera parte longiori, nec eſt differentia quò ad illam: quod etiam per eadem poteſt demõ ſtrari. Patet ergo propoſitum. Et quoniam figura corporalis quæ dam figura eſt, licet uiſio corporeitatis ſit alia â uiſione figurę, quomodo uirtuti diſtinctiuæ error in uiſione figuræ accidat, duximus in poſterius differendum.

63. Corporeitas comprehenditur à uiſu, in quibuſdam corporibus per ſe, & in quibuſdã auxilio uirtutis iudicatiuæ. Alhazen 31 n 2.

Cum enim corporeitas ſit extenſio corporis ſecundum trinã dimẽſionem: dico, quòd ipſa quandoq comprehenditur in quibuſdam corporibus à uiſu per ſe: quæ dam enim corpora continentur à ſuperficiebus planis ſecantibus ſe rectè uel obliquè adinuicem: & quædam à ſuperficieb. cõcauis & conuexis: & quædam à ſuperficie bus cõuexis & planis: & quędã à ſuperficieb. concauis & planis: & quędam à diuerſis ſuperficiebus conuexis, cocauis & planis ſe interſecantibus: & quæ dã cõtinentur ab una ſola ſuperficie rotunda. Corpus itaq contentum à ſuperficiebus ſecantib. ſe, cuius una ſuperficies eſt plana: quando ſuperficies eius fuerit oppoſita uiſui ſecundum directã oppoſitio nem ſiue obliquatam, ita tamen, quòd cõmunis ſectio duarum ſuperficierum uideatur, & quòd ambę ſuperficies ſe ſecantes occurrant ſimul uiſui: tunc extenſio corporis ſecundum longitudinem & latitudinem, & ſecundum proſunditatẽ à uiſu comprehendetur. Sic ergo corporeitas comprehendetur. Corpora quoq, quorum ſuperficies eſt conuexa, ſiue ſit una, ſiue multæ, cum opponuntur ui ſui ſecundum directionem uel obliquationem, erunt remotiores partiũ eius à uiſu inæ quales, & erit mediũ cõuexi eius propin quius extremitatibus uiſus per 8 p 3: reliquę uerò partes eius erunt à uiſu remotiores, qua comprehenſione ſentiet uiſus corporeitatem: quoniam cõprehendet profunditatem partium plus remotarum à ſe reſpectu partium propinquiorum ſibi: & cum hoc comprehẽ det longitudinem & latitudinem dimenſionum illorum corporum. Corporis quoq concaui conca uitas percipi poteſt à uiſu ſecun dum mediocrem diſtantiam: tunc enim, quia medium eius maxime elõgatur à uiſu per 8 p 3, ut prius: profunditas illius corporis cõprehẽditur à uiſu propter maiorem diſtantiam unius partis reſpectu aliarum: ſed ex conſequenti lõgitudo & latitudo patent. Quòd ſi plures ſunt in ipſo ſuperficies ſe ſecãtes, quarũ communes ſectiones ſe ad uiſum offerant, corporeitas ipſorum cõprehenditur à uiſu cum ſentitur obliquitas illarum ſuperficierum. In ijs aũt omnib. attendenda eſt mediocritas diſtantię, quoniam in maximis remotionib. eſt ſecus: tunc enim per uiſum nudum non comprehenditur corpus propter uiſionem ſuperficiei, ſed auxilio uirtutis animæ ſuperioris: eſt enim principium quieſcens in anima ex conſuetudine uiſionum: & eſt tale, quòd nihil uidetur niſi corpus. Vnde quando uiſus uidet aliquam uiſibilem ſuperficiem, ſtatim uirtus iudicatiua animæ dicet, quòd uidens uidet corpus, quamuis non comprehendat uiſus extenſionem eius in profundum. Nam latitudinem & longitudinem per ſe comprehendet uiſus per comprehenſionem ſuperficiei cuiuſcunque per 17 th. 3 huius: non autem comprehendet ſemper corporum profunditatem, quę eſt tertia dimenſio ipſorum, niſi auxilio uirtutis ſuperioris ipſius animę. Patet ergo propoſitum.

64. Longior linea ab aliquo puncto ſuperficiei conuexæ
Fig. 487

g a d e b z
ſphæricæ ad uiſum accedens, eſt linea contingens cir culum magnum illius ſphæræ.

Eſto data ſphæra d g: cuius centrum ſit a: circulus eius ma gnus d g e b: quę ſphęra ſit uiſa ab oculo, cuius centrũ ſit pũctum z: & ſuper lineam diſtantiæ centri ſphęrę, quod eſt a, & centri oculi, quod eſt z, poſitam pro diametro, quæ ſit a z, figuretur circulus a b e z: & ducantur ad ſectiones circulorũ iſtorum lineę z b & z e. Dico, quòd hę lineę cõtingunt circulum d g e b, qui eſt circulus magnus ꝓpoſitę ſphęrę: & quòd ipſæ ſunt lõgiores omnibus alijs lineis ducibilib. à quibuſcunq punctis ſuperficiei ſphærę ad centrum uiſus. Ducantur enim à centro ſphærę, quod eſta, duę lineę ad terminos linearum z e & z b, quę facient cum eis angulos rectos: fient enim anguli a e z & a b z recti per 31 p 3, quia uterq illorum cadit in ſemicirculo: ergo per 16 p 3 illæ duę lineę z e & z b ſunt contingentes circulum d g e b: protractæ ergo circulũ page 147 non ſecabunt. Si uerò dicatur, quòd illę cõtingentes nõ ſunt longiſsimę, quę perueniunt à punctis ſuperficiei ſphærę uiſę ad centrum uiſus z: ſint alię longiores. Et quia, ut patet ex præmiſsis, ſi linea z b protrahatur, ipſa non ſecabit circulum, quem contingit per 16 p 3: ergo ſi à pũcto z centro uiſus in ſuperficie, in qua ſunt lineę z e & z b, protrahatur linea longior quã ſit linea z b uſq ad circulum: palàm ergo, quia iſta recta cum linea z b ſup erficiem includet: quod eſt impoſsibile. Illæ ergo duæ lineę contingentes circulum, ſunt omnibus alijs lineis longiores. Quod eſt propoſitum.

65. Sphæræ à remotiſsimo uiſæ ſuperficies cõuexa uel cõcaua uidetur plana. Euclides 25 th. opt.

Sit ſphæra, cuius centrum ſit a: & in ea circulus magnus b c d: & ſit centrum uiſus e: ducanturq́ li neę e a, e b, e c, e d: palamq́ per 50 huius, quoniam forma arcus b c d ipſi

Fig. 488

e c d b a
uiſui e à remotiori incidentiæ arcus b c d, accedit ad rectitudinem: & idem eſt de alijs arcubus quibuſcunq uiſus incidit in tota data ſphæra. Totalis ergo portio conuexæ ſuperficiei ſphęrę, cui uiſus incidit, uidetur plana: & ſicut arcus circulorum in ſuperficie ipſius deſcriptibilium accedunt ad rectitudinẽ linearum, ſic totalis ſphærę ſuperficies ad planiciem accedit. Et per eadem poteſt fieri dem onſtratio de concaua ſuperficie ipſius ſphærę. Cum enim nulla partium rei uiſę plus altera diſtare uidetur, neceſſe eſt unius diſpoſitionis apparere totam ſuperficiẽ rei uiſæ. Cum itaque totum conuexum corpus uel concauum in remo tione maxima ſuerit à uiſu: tunc uiſus non comprehend det concauitatẽ uel conuexitatem, ſed comprehendet ipſum quaſi planũ: quia ſitus par tium ſuperficiei ſuę adinuicem nõ comprehẽduntur à uiſu in aliqua diuerſitate, ſed ſecundum continuitatem ęqualem perueniunt ad uiſum, & in ipſius uiſus ſuperficie ſecundum diuerſitatẽ ſitus figurantur: unde plana iudicantur, & plana uidebitur totalis ſuperficies rei uiſæ. Et o b hoc figuræ ſuperficierum ſolis & lunę uidentur planæ: ſemidiametri enim ipſorum ad lineam ſuæ diſtantię, quę à centro uiſus ad ipſorum ſolis & lunę centra ducitur, non habet aliquã ſenſibilem proportionẽ: un de nihil aufert à quantitate lineę à centro uiſus productę contingente ſphæras illas per præmiſſam. Longior enim linea ab aliquo puncto ſuperficiei conuexę ipſius ſphę rę ad uiſum accedens, eſt linea circulum magnum illius ſphęrę contingens: & illæ lineę omnes ſunt ęquales inter ſe per 58 th. 1 huius. Et quoniam ſenſibiliter non excedunt lineam à centro uiſus ſuper ſuperficies illaram ſphęrarum productas: ideo omnes illæ lineę uidentur quaſi ęquales ipſis perpẽdicularibus, quę tranſeunt centra illorum corporum à centro uiſus productę, & arcus interiacentes rectitudini accedunt: unde totales ſuperficies uidẽtur planę. Et hoc idem propter eandem cauſſam accidit in omnibus alijs ſtellis, quę propter remotionem maximã quaſi quędam ſuperficies paruorum circulorum uidentur. Patet ergo propoſitum.

66. Sphæricæ ſuperficiei conuxæ illuminatæ uno oculo uiſæ, ſemper minus hemiſphærio appa ret: & pars eius uiſa circulo continetur. Euclides 23 th. opt.

Sit ſphærę uiſę centrũ a: & ſit centrum uiſus b: producaturq́ linea a b: ſitq́, ut ſuperficies plana tranſiens punctum b, ſecet ſphęram: erit ergo per 69 th. 1 huius communis ſectio illius ſuperficiei & ſphærę circulus: ſit ille cir

Fig. 489

i a t g k d b
culus g d: & ſuper diametrum a b, quæ interiacet centrum uiſus & centrum ſphærę uiſæ, deſcribatur circulus, qui ſit a g d b: & producãtur lineæ g b, d b, a g, a d. Quia ergo arcus a g b eſt ſemicirculus, palàm per 31 p 3, quia angulus a g b eſt rectus: ſimiliter autem & angulus a d b eſt rectus: ergo lineæ b g & b d ſunt contingentes circulum per 16 p 3. Copuletur itaq linea g d ducta ք puncta contactuum, quã ſecabit linea b a per æ qualia per 58 th. 1 huius: ſit ergo punctus ſectionis k: eruntq́ per 4 p 1 trigona g k b & d k b æquiangula: patet & hoc per 3 p 3. Ducatur quoque per centrum a linea it æquidiſtanter lineæ g d per 31 p 1: erit ergo per 29 p 1 linea a b perpendicularis ſuper lineam it, cum ipſa ſit perpendicularis ſuper lineam g d ęquidiſtantem lineę it: er go per 16 p 3 erit linea i a contingens circulum a g b d: & ipſa eſt diameter circuli d g: arcus ergo d g, qui uidetur, minor eſt ſemicirculo, prout etiam patet per 51 huius. Trigonus itaq b g k, ma nente fixo latere b k, intelligatur circũduci, quouſq redeat ad locum unde cœpit: & palàm, quoniam linea b g contingens circulum d g, unumquodq punctũ ſuperficiei ſphęrę, cui ipſa circũducitur, continget, & linea k g motu ſuo faciet circuli ſectionem, fietq́ pyramis, cuius uertex erit punctum b, quod eſt centrum uiſus, baſisq́ eius erit circulus per motum lineę k g factus: pars ergo uiſa ſub circulo continetur. Palàm quo que, quoniam uidetur minus hemi ſphærio: eſt enim, ut præmiſſum eſt, ſphæræ uiſæ diameterit, & linea g d illi ęquidiſtans minor dia page 148 metro: eſt autem linea g d diameter baſis pyramidis uiſionis: minus ergo hemiſphærio uidetur. Quod eſt prop oſitum.

67. Viſu ſphæræ illuminatæ conuexæ approximante, minus ſuperficiei ſphæræ uidetur: apparet autem quaſi magis uideatur. Euclides 24 th. opt.

Eſto, ut in præ miſſa, ſphæra, cuius centrum a: ſit quoq centrum uiſus b: & ducatur linea a b: & cir ca diam etrum a b deſcribatur circulus g b d: & ducatur à pũcto

Fig. 490

e a z g k l d c b
a linea e a z perpendiculariter ſuper lineam a b per 11 p 1. Et quia lineæ a b & e z ſunt in una ſuperficie per 2 p 11: intelligatur hæc ſu perficies plana ſecare ſphæram: ipſa autem per 69 th. 1 huius ſecabit ſphæram ſecundum circulum, qui ſit g e z d: eruntq́ puncta ſectionis duorum propoſitorum circulorum, quę g & d: & ducan tur lineæ g a, d a, b g, b d: & patet per modum proximæ præcedẽ, tis, quoniam lineę b g & b d contingunt ſphæram, & uidetur ab oculo exiſtente in puncto b pars ſphæræ g d. Sit ergo, ut appropinquet oculus ſphęrę, & fiat in pũcto c: ducaturq́ c a, circa quã, ut diametrum, deſcribatur circulus a k c l: ducanturq́ lineæ c k, c l, a k, a l: ergo ք pręmiſſam uidebitur ab oculo exiſtẽte in pũcto c, pars ſphærę, quę eſt k l, quæ minor eſt parte ſphærę g d uiſæ ab oculo exiſtente in puncto b: quoniã arcus cadẽs inter puncta cõ tingentię linearum c k & c l, quę per 64 huius contingunt ſphę. ram, minor eſt arcu g d, qui cadit inter puncta contingentiæ linearũ b g & b d: quod patet per 60 th. 1 huius. Palàm ergo quoniam appropinquante oculo ipſi ſphęrę, minus ſuperficiei ſphę ricę uidetur. Quia uerò, ut patet per 60 th. 1 huius, lineę g b & c k concurrunt, ſi producantur uerſus punctum g: palàm per 16 p 1, quoniam angulus k c a maior eſt angulo g b a: ſimiliter angulus a clma ior eſt angulo a b d: totus ergo angulus k c l eſt maior toto angulo g b d. Pars ergo ſphęrę, in qua eſt arcus k l, ſub maiori angulo uidebitur, quã pars ſphęrę, in qua eſt arcus g d. Apparet ergo per 20 huius maior uiſui pars ſphęrę, quę eſt k l, quàm pars eius, quæ eſt g d. Et hoc eſt propoſitum.

68. Diametro ſphæræ illuminatæ conuexæ, lineæ connectentic entra amborum oculorumæquali exiſtente: hemiſphærium eſt, quod ambobus uiſibus uidetur. Euclides 26 th. opt.

Fig. 491

g a b e z d

Sphæræ datę ſit centrum a: ſitq́ circulus eius maior, cuius diame ter ſti b g: quę ex hypotheſi ſit ęqualis diſtantiæ oculorum, hoc eſt lineę connectenti centra uiſuum amborum, qui ſint e & d. Ducantur quoq à punctis b & g perpendiculares b d & g e, quę fiant ęquales per 3 p 1: & copuletur linea d e: quæ per 33 p 1 & ex hypotheſi erit æqualis & ęquidiſtans lineæ g b. Ducatur quo que perpendicularis à puncto a centro ſphęrę ſuper lineam g b per 11 p 1: quę producta ad lineam d e ſecet ipſam in puncto z. Palàm ergo per 29 p 1, quoniam linea a z eſt per pendicularis ſuper lineam e d, & per 28 p 1 erit linea a z ęquidiſtãs lineę g e: ergo per 33 p 1 patet, quòd linea e d diuiditur per æqualia in puncto z, quia, ut patet ex hypotheſi, oculi ſunt in punctis d & e: dico, quòd hemiſphęrium eſt quod uidetur. Manente enim fixa linea a z, circumuoluatur parallelogrãmum a b z d, donec redeat ad locum, unde incœpit: linea ergo a b mota deſcribet cir culum ęqualem circulo g b, cuius ipſa eſt ſemidiam eter: eſt autẽ circulus magnus ſphęrę datæ circulus g d: ergo per motũ lineę a b deſcribitur circulus magnus: hic autem ſphęram diuidit in duo ęqualia. Patet ergo propoſitum.

69. Linea connectens centra amborum oculorum, ſimaior diametro ſphæræ illuminatæ conuexæ fuerit: plus hemiſphærio eſt, quod ambo
Fig. 492

u e f c a h d b g
bus uiſibus uidetur. Euclides 27 th. opt.

Sit ſphæra data, cuius centrum a: & eius circu lus magnus ſit e c d i: ſintq́ centra amborum oculorum b & g: ſitq́ linea b g producta maior dia metro datę ſphęræ & eius circuli magni. Dico, quòd ambobus uiſibus maius hemiſphęrio uidebitur. Ducantur enim à centris oculorum lineæ b e & g d contingentes circulum e d ci per 17 p 3: contingantq́ in punctis e & d: & ducatur à puncto a diameter ſphęrę ęquidiſtãs lineę b g page 149 per 31 p 1. Et quia diameter ſphęrę ex hypotheſi eſt minor quàm linea b g, palàm quoniam lineæ b e & g d ultra diametrum fh concurrent per 16 th. 1 huius concurrant ergo in puncto z. Quia ergo ab uno puncto z ducuntur duę lineę contingentes circulum, ſcilicet e z & z d: palàm, quia portio circuli, quæ eſt e c d eſt minor ſemicirculo per 58 th. 1 huius: ergo portio eiuſdem circuli reliqua, quæ eſt e i d eſt m aior ſemicirculo: hęc autem portio eſt illa, quę uidetur. Et quia idem eſt de omnib. circulis magnis in tota ſphęra ſignatis: palàm, quia maius hemiſphęrio eſt, q de ſuperficie ſphęrica, hypotheſi tali exiſtente, uidetur. Et hoc eſt propoſitum.

70. Linea connectens centra amborum uiſuum, ſi diametro ſphæ
Fig. 493

f a h b y i d e z
ræ conuexæ minor fuerit: minus hemiſphærio eſt, quod uidetur. Euclides 28 th. opt.

Sit ſphęra data, cuius centrum a: & circuli eius magni diameter ſit f h: ſintq́ centra oculorum d & e: & producatur linea d e, connectens centra oculorum minor exiſtens diametro ſ h: ducanturq́ lineæ illũ circulum cõtingentes, quę ſint d b & e g. Dico, quòd minus hemiſphę rio eſt illud, quod uidetur. Protrahantur enim lineę b d & g e. Et quoniam linea d e, eſt minor diametro f h, palàm per 16 th. 1 huius, quoniã lineæ b d & g e, concurrent ultra ambos uiſus: ſit ergo concurſus pun ctus z Palàm per 58 th. 1 huius, quoniam cum à puncto z ducãtur duę lineæ unum circulum contingentes, quæ ſunt z b & z g, quòd arcus b i g eſt minor ſemicirculo: minus ergo ſemicirculo b g uidetur ſub ocu lis d & e. Ergo, ut prius, minus hemiſphærio uidebitur ſub oculis d & e. Et hoc eſt, quod proponebatur.

71. Centro for aminis uueæ in ſuperficie ſphæræ concauæ illumina tæ exiſtente, tota ſphæræ intrinſeca ſuperficies uidetur. Alhazen 44 n 4.

Eſto centrum ſoraminis uueæ punctus a: & ſit ſphæra data, cuius maior circulus ſit b a g tranſiẽs per centrum a. Patet ergo per 52 huius, quoniam ſic uiſu diſpoſito totus circulus b a g poterit uideri. Et quia plurimi circuli magni ſphęræ

Fig. 494

a b g
ſe ſecant ſuper polos ſphęrę, quilibet autem punctus ſphęræ eſt polus ſphæræ: palàm, quia omnes circuli magni ſphærę datę, qui per omnia puncta ſuperficiei ſphęrę imagin ari poſſunt, tranſeuntes ſe interſecabunt ſuper punctum a: erit ergo punctum a, quod eſt centrum ſorami nis ipſius uueæ in quolibet illorum magnorum circulorũ: omnes aũt illi circuli magni ſphæræ totam ſphæræ ſuperficiem euacuant: quia non eſt dare punctum in ſphærę ſuperficie, quem aliquis circulus magnus non tranſeat. Viſu ergo taliter diſpoſito, tota concaua ſphærę ſu perficies uidebitur. Et hoc eſt propoſitum.

72. Centro for aminis uueæ intra ſphæræ concauæ illuminatæ ſuperficiem, uel extra illam exi ſtente, portio circularis ſphæræ uidebitur, cui incidunt æquales lineæ à centro uiſus ductæ: erit́ uiſum quando hemiſphærium: quando mairo portio: quando minor. Alhazen 44 n 4.

Eſto centrum foraminis uueę punctum a, & ſit ſphęra concaua, cuius circulus magnus ſit b c d: & centrum ſphærę ſit punctum e. Si ergo centrum uiſus ſuerit in puncto e centro ſphæræ, quod eſt etiam centrum circuli magni, qui eſt b c d, per definitionem circuli magni: tunc manifeſtum eſt per 52 huius, quòd totus circulus b c d uidebitur: ſed & per eandẽ 52 huius, omnes alij circuli ſubiecti hemiſphærij æquidiſtantes circulo b

Fig. 495

b c a e d
c d uidebuntur, quoniam omnium illorum polus erit centrum uiſus: omnes quoq lineę rectæ ductę à polo ad peripheriam ſui circuli ſunt æquales per 65 th. 1 huius: & quoniam hi omnes circuli totum hemiſphęrium exhauriunt: patet, quòd in hoc ſitu exiſtente uiſu, totum hemiſphęrium uidebitur. Quòd ſi punctum a, centrum foraminis uueæ ſit ſub centro ſphæræ, quod eſt punctum e, tunc per eadem minus hemiſphęrio uidebitur: ſi ſit ſupra centrum e, ſiue ſit intra ſphęram, ſiue extra: tũc ſimiliter per 2 th. 3 huius, omnes circuli, ad quorum circum ferentias poſſunt produci lineę rectę, uidebuntur: maius ergo hemiſphęrio uidebitur. Et ſi linea à centro uiſus ad ſuperficem ſphæræ ducta, obliquè incidat ſuperficiei ipſius ſphęrę: tunc palàm, quòd etiam ſuperficiebus multorum circulorũ obliquè incidet: & poteſt accidere, quòd tota figura ſphærę uidebitur inęqualis, ſuorum circulorum peripherijs quibuſdam ten dentibus ad figuram ſectionis columnaris per 55 & 56 huius. Patet ergo propoſitum.

page 150

73. Viſu hemiſphærio concauo appropinquante, minus ſuperficiei ſphæræ uidebitur: apparet autem plus uideri.

Hęc poteſt demonſtrari, ſicut & 67 huius, de ſphæra cõuexa eſt demonſtrata: eſt enim per omnia idem hinc inde demonſtrandi modus. Vnde hic ſphæra concaua figuretur, ut illic conuexa, & ſub eiſdem literis conſignetur figuratio totalis, & per eadem concludetur. Et hæc quidem de uiſione ſphærarum dicta ſunt, ſuperficie bus ipſarum oppoſitis uiſui totaliter exiſtentibus luminoſis per ſe, uel illuminatis aliun de: quoniam hoc non exiſtente, licet in ſphærarum ſuperficiebus permaneat dictorum modorum uiſibilitas, non tam en actu uidebuntur, niſi luminis interuentu, ut patet per 1 th. 3 huius, & ſecundum diuerſitatem lumin oſitatis in partibus ſuperficiei ſphærarum, quæ uidentur, nouæ paſsiones uiſibus generantur, quales ſunt hæ, quas nunc intendimus explicare.

74. Diametro ſphæræ uiſæ illuminatæ maiore diſtantia oculorum exiſtente, & diametro ſphæ ræ illuminantis eidem æquali uel maiore, circulo́ baſis pyr amidis uiſionis æquidiſtante circulo baſis pyr amidis illuminationis uel ipſum intrinſecus contingente: tota ſuperficies baſis pyramidis uiſionis illuminata uiſibus occurrit: uidetur autem in maiori diſtantia quaſi plana.

Patet enim per 26 uel 27 th. 2 huius, quoniam tanta exiſtente quantitate diametrorum iſtorum corporum, ut proponitur: tunc baſis pyramidis illuminationis aut eſt circulus magnus ſphæræ illu minatæ, aut æquidiſtans ei. Circulus autem, qui eſt baſis pyramidis uiſionis, ut patet per 70 huius, ſemper eſt minor circulo magno ſphęrę uiſę, quoniam, ut patet ex hypotheſi, diameter ſphęræ uiſæ eſt maior quàm diſtantia oculorum. Si ergo circũferentia circuli minoris ſit ęquidiſtans circumferentiæ circuli maioris: tunc per 68 th. 1 huius, centra duorum illorum circulorum in eadem ſphærę diametro conſiſtunt, & tota baſis pyramidis uiſionis occurrit uiſibus, quia tota eſt illuminata: uidetur autem ſuperficies plana per 65 huius. Et hoc proponebatur. Sed etiam ſi centra iſtorum circu lorum uſq ad punctum contactus circumferentiarum mutentur, quandiu unus circulus alium non ſecat, ſemper tota baſis pyramidis uiſionis uidetur illuminata: & lumen in ſphæræ uiſę ſuperficie ui detur ſemper circulare, & tota baſis pyramidis illuminata: plus tamen tenebreſcit baſis pyramidis uiſionis ad illam partem, ubi fit contactus illorum circulorum per 21 th 3 huius. Patet ergo propoſitum. Et quod hic de duobus oculis oſtenſum eſt, euidentius patet, ſi uiſio tantùm uno fiat oculo, per 66 huius.

75. Si diametro ſphæræ uiſæ illuminatæ maiore diſtantia oculorũ exiſtente, diametro́ ſphæræ illuminantis eidem æquali uel maiore, baſis pyramidis uiſionis inter ſecet baſim pyramidis illuminationis, it a ut ambo centra baſium ſint ſub ſuperficie communis ſectionis: erit illa communis ſectio pars ſuperficiei ſphæricæ irregularis: uidebitur́ ſuperficies plana gibberoſa, ut duabus curuis lineis inæqualis quantitatis & curuit atis contenta.

Imaginentur enim centra baſium (quę per pręcedentem in eadem diametro ſphęrę uiſę fore diſponuntur) tantùm ab inuicem elongari, ut circuli baſium ſe ſecent quantumcunq, dum tamen cẽtra ambarum baſium ſub ſuperficie, quæ eſt communis ambabus illis baſibus, remaneant: tunc illa communis ſectio erit pars ſuperficiei ſphęricæ figurę irregularis: quoniam, ut patet per 26 uel per 27 th. 2 huius, & ex 70 huius, & ut oſtenſum eſt in præmiſſa proxima, arcus circuli baſis pyramidis illuminationis eſt maior arcu circuli baſis pyramidis uiſionis: & ſi illius ſuperficiei acciperetur pun ctus medius, lineæ ab illo puncto ad peripherias arcuum ductę, eſſent inęquales. Videtur autem ſuperficies illa eſſe plana per 65 huius: & erit gibberoſa, ut duabus præmiſsis curuis lineis in æqualis quantitatis & curuitatis contenta: quoniã arcus circuli pyramidis uiſionis eſt curuior & maior por tio ſuę circumferentię, quàm arcus circuli baſis pyramidis illuminationis ſit portio ſuę circumferẽtię. Quod accidit propter inęqualitatem circulorum. Patet ergo propoſitum.

76. Baſi pyramidis uiſionis ſphæræ interſecante baſim pyramidis illuminationis, ita quòd ipſorum axes angulum rectum contineant: communis earum ſectio est quarta ſuperficiei ſphæricæ: uidetur autem in maiori diftantia plana ſuperficies una recta linea & ſemicirculo contenta.

Quòd illuminatio cuiuslibet ſphæræ fiat ſecundum pyramidem, cuius baſis in ſuperficie ſphærę illuminatę eſt circulus, hoc patet per 26 & 27 & 28 th. 2 huius: quòd etiam baſis pyramidis uiſionis omnis ſphęrę ſit circulus, patet per 66 & 68 & 69 & & 70 huius. Et quoniam axes iſtarum pyramidũ ex hypotheſi producti ad inuicem angulũ rectũ continent: tunc patet per 33 p 6, quòd ab illorũ axiũ cõcurſus puncto ſecũdũquantitatẽ ſemidiametri ſphæræ uiſę circũducto circulo, interiacebit quar ta circuli inter axes. Et quoniã uterq axiũ eſt per pendicularis ſuper ſuperficiẽ ſphæræ illuminatæ uiſæ, palã per 111 th. 1 huius, quòd uterq axiũ tranſibit per centrum illius ſphęrę: punctus itaq interſectionis axium eſt in cẽtro illius ſphæræ: & ſolũ ille punctus, qui eſt centrũ ſphærę, ambobus axib. erit cõmunis. Axibus itaq interiacet quarta magni circuli ſphæræ ęqualiter diſtãtis à duobus punctis duarũ interſectionũ circulorũ baſis pyramidis illuminationis & baſis pyramidis uiſionis: cõmu page 151 nis itaq́ ſectio iſtarum duarum baſiũ eſt quarta ſuperficiei ſphę;. Et quoniá tota ſuperficies ſphę; rica in maiori diſtantia uidetur plana ſuperficies per 65 huius: palàm & hãc ſuperficiem ſphęricam planá à maiori diſtantia uideri: axis enim pyramidis uiſionis caditin ſuperficie circuli baſis pyrami dis illuminationis, propter erectionem ſui ſuper axem illius pyramidis, quod patetper 4 p 11. Palàm ergo cum centrũ uiſus ſit in uertice axis pyramidis uiſionis, quoniam circulus baſis pyramidis illuminationies eſt in eadem ſuperficie cũ centro uiſus: palà ergo per 50 huius quoniá ipſe uidetur linea recta. Semicirculus uerò baſis illuminationis, quia non eſt in eadé ſuperficie cũ centro uiſus, uidetur circularis. Sic ergo illa ſuperficies communis ſectionis uidetur ſuperficies plana, una li nea recta & alia curua contenta. Quod eſt propoſitum.

77. Baſi pyramidis uiſionis ſphæræ interſecante baſim pyramidis illuminationis, earum communis ſectio, cui neutrius axis incidit, ect portio minor quarta parte ſuperficiei ſphæricæ: uidetur autem plana ſuperficies duobus quaſiæqualibus circunferentiarum baſium arcubus contenta.

Quia enim, ut in proxima præ miſſum eſt, omnis illuminatio ſphærę fit ſecundũ pyramidẽ, cuíus baſis eſt circulus, ut patet per plures propoſitiones ſecũdi huius, & ſimiliter baſis pyramidis uiſionis eſt circulus per 66 huius: palàm ſi iſti circuli, qui ſunt baſes pyramidũ, ſe non ſecent, ut quia ipſi ſiti ſuntin oppoſitis quaſi partibus ſuperficiei ſphærę, cuius una pars eſt illuminata uel aliàs uiſa, nec incidentia luminis, quæ ſic ſuperficiei ſphærę incidit, aliqualiter à uiſu perpen detur, utpote ſi globum ligneum uel cereum, cuius diameter ſit maior diſtantia oculorum, oculis & lumini directè interponas, reuoluto aũt globo ita ut lumẽ ſuperficiei ſphęriæ ipſius globi in cidens aliqualiter ap pareat, tunc uidebitur ipſius ſuperficiei globi illuminata pars, quã recipit circũſerentiam baſis pyramidis uiſionis. Et quoniam illa pars uiſa, ut illuminata eſt, terminatur per circũſerentiam baſis pyramidis illuminationis: patet quòdilla uiſa portio ſphærę eſt minor quarta parte ſuperficiei ſphærę. Cum enim neutrius pyramidũ axis incidat ſuperficiei cómunis ſectionis, ut patet ex hypotheſi: palàm per 33 p 6, quia arcus diuidẽs illã ſuperficiẽ,æ qualiter diſtãs à duobus punctis interſectionũ circulorũ dictarũ baſium, diuidens totã ſphę & illã cõmunem ſectionis ſuperficiẽ per æ qualia, eſt minor quarta circuli. Quoniam enim angulus ei ſubtenſus eſt minor recto, patet quòd arcus ille eſt minor quarta circuli: & ipſa uiſa ſuperficies uidetur plana per 65 huius. Et quia nullus illorũ circulorum uel arcuũ directè uiſibus opponitur: quiblibet illorũ in ſua uidetur curuitate, quoniam forma punctorum cuiuslibet illorum arcuum ſecundũ ſitũ ſuum peruenit ad uiſum. Illa ergo portio communis ſectionis baſium dictarum pyramidum uidetur quaſi duo bus æ qualibus arcubus contenta propter inſenſibilitatem in æ qualitatis, maximè cũ à remotiori ſpatio fituiſio per 50 huius. Certũ tamẽ eſt per 27 th. 2 huius, & per 70 huius, quia arcus baſis pyramidis illuminationis eſt pars maio tis circuli, quàm arcus baſis pyramidis uiſionis: quoniã diameter ſphærę corporis illuminantis eſt maior diametro ſphęrę illuminatæ, & diſtantia oculorũ minor illa. Pater ergo propoſitum. Ex his itaq quatuor theorematibus patet, quare forma lunæ ſit in receſſu à coniunctioe nouacularis. In tempore enim coniunctionis luna non uidetur, inſi fiat eclipſis ſolis, ita quòd radij ſolis penetrantes diaphanitatem corporis lunæ propter differentiã denſitatis corporis lunaris ad diaphanitatem partium ſuæ ſphęræ uicinarum, & peruenientes ad uiſum faciant corpus ſphæricum lunę uiſibile: tunc enim uidetur luna ſecundum ſui figuram diſtinctè: ſed proprio lumine priuata. In alijs autem coniunctionibus quia radij perpendiculariter incidentes corporilunę, aut ualde obliquè aut nullo modo peruenient ad uiſum: tunc corpus lunę non uidetur, eò quòd baſis pyramidis uifionis inciditin partem oppoſitam baſi pyramidis illuminationis, nec ſecat una illarum baſium aliam. Cum autem luna recedente à ſole, iſtę baſes ſe incipiuntinterſecare: tũcipſorum communis ſectio (quę eſt portio ſuperficiei ſphærici corporis lunę) uidetur, & propter magnitudinem diſtantię uidetur illa portio ſphęrę quaſi plana ſuperficies duabus curuis lineis ſecundunm eius conuexum & concauum contenta, quę uidentur æ quales propter remotionem: non ſunt autem æ quales, ſed ſemperil la, quę eſt in conuexo, quia eſt arcus circuli baſis pyramidis illuminationis, eſt pars maioris circuli, quàm illa, quę eſt in concauo, quę eſt arcus circul baſis pyramidis uiſionis. Et quoniam axis pyramidis illuminationis ſemper eſt perpendicularis ſuper corpus ſolis, ut patet per 111 th. 1 huius: ideo ſemper conuexum lunæ eſt auerſum ſoli, & cornua uidentur ſemper reſpicere ad ſolem. Vnde illorum ſitus ſemper uariatur ſecundum ſitum ſolis, & ſecundum latitudinẽ motus lunæ. Et durat ſem per in luna hæc figura. quouſq axes pyramidum ſecant ſe ad angulos rectos per 76 huius: tuncenim luna uidebitur in quadratura, quoniam quarta part ſuę ſphęrę interiacens peripherias dictarum baſium uidebitur: & in prima quadratura & in ſecun da ſemper arcus illluminationis, quia directè uiſibus opponitur, uidebitur linearecta, & arcus pyramidis illuminationis ſemper curuus. Mutato autem hoc ſitu, tunc centra baſium ambarum pyramidum ſunt in ſuperficie communis ſectionis: uidebitur ergo luna gibberoſa & planę ſuperficiei per 65 huius: & hoc durabit, quouſque circuli baſium intrinſecus ſe contingant, tunc enim luna uidetur plena. Et quando centra circulorum dictarum baſium ſibi ad inuicem ſuperponentur, ita ut ambo fiant in linea una, ut quando illi circuli baſiunt ęquidiſtantes in eadem ſuperficie ſphęrę lunę, ut patet per 68 th. 1 huius: tunc erit uera lunę impletio, & limen ex omni parte circunſertur ęauale: & deinde luna mota uſque ad concauum circulorum ipſarum baſium, uidetur ſemper plena, tamen aliquantum obfuſcatur lumen 152 approximans tenebroſitati: & ſic procedit luna in figuris eidem diſtantiæ competentibus ab oppo ſitione ad coniunctionem, ſicut à coniumctione ad oppoſitionem. Ethoc quidem in luna propter eius propinquitatẽ ad uiſus noſtros euidentius apparet: in alijs tamen ominibus ſtellis ſuum lumẽ & actualitatem ſuiluminis à ſole uel ab alijs ſtellis accipientibus, neceſſe eſt eaſdem figuras expręmiſsis tribus theorematibus prouenire. Et ſecundum hoc cœleſtium influentiarum aſpectus & mo di diuerſificantur: non apparet aũt hoc uiſibiliter in ſtellis alijs à luna, propter ipſarum magnam re motionem à uiſu, ratione cuius accidit error uiſui, ut patet per 16 huius. Videntur itaq omnes aliæ ſtellæ, præter lunam ſemper rotundæ propter ſui remotionem à uiſibus, propter quod etiam ignis remotus à uiſibus uidetur rotundus. Videntur aũt ſtellæ eædem maximè plenæ quádoq maiores quandoq minores, quodnos eidé cauſſæ paucitati ſcilicent ſuæ illuminationis uel multitudini credimus expræmiſsis adſcribendum. De his tamen ſuo loco ſermo erit, ad præſens uerò nobis ſufficiat ex pręmiſsis propoſitionibus demonſtrationem præſentibus attuliſle: ſiue enim ſtellarum dia metri ſint omnes ad inuicem æ quales, ſiue una ipſarum ſit maior altera: ſemper tamen pater, quòd omnis diameter cuiuſcunq ſtelię eſt maior quàm ſit diſtantia oculorum cuiuſcũq uidentis: & ſic hãc paſsionem uiſibus in ipſarum illuminatione accidere eſt neceſſe, quamuis illam diſtinctè non comprehendat uiſus. Et hoc quidem & ante nos dixit arabs Meſſahala, ſed ſuper hoc nullam attulit demonſtrationem.

78. Columnærotundæ uel cylindri conuexi ſub uno oculo uiſi, minus medietate curuæ ſuperficiei uidetur. Euclides 29 th. opt.

Eſto columna rotunda, cuius una baſis ſit circulus gb: & eius diameter f h: & centrum a: ſitq́ in ſuperficie illius circuli centrũ oculi punctũd: & producatur linea d a, copulans centrũ uiſus cũ cen tro circuli baſis columnę: & ducantur lineæ d b & d g: quę contingant circulũg b per17 p 3: & producantur à punctis g & b duę lineæ longitudinis colum

Fig. 496

d b g h a f e z h f
nę per 101th. 1 huius, quę ſint b e & g z: & erunt illę lineę orthogonaliter ſuper baſim g b erectę per 92th. 1 huius: ſitq́, ut per lineas b e & b d unatranſeat ſuperficies plana, & per lineas g d & g z alia ſuperficies plana. Neutra ergo iſtarum ſuperficierum ſecat columnam: quoniam lineę d b & d g ſunt contingentes circulũ baſis, & lineæ b e & g z ſunt lineę; longitudinis in ſuperficie columnæ non ſecantes illá: ſunt ergo illę ſuperficies ipſam colum nam contingentes. Iſtarum quoq ſuperficierum contin gentium columnã (quia ambæ tranſeunt centra uiſus, ut patet expręmiſsis, & ipſarum communis ſectio eſt linea recta per 3 p 11) interſectio fit in quadá linea tranſeunte centrum uiſus æquidiſtanter axi columnę: & hoc, quod inter ipſas de ſuperficie colũnę intercipitur, hoc ſolũ uidetur. Quia uerò lineę longitudinis b e & g z ſunt æ quidiſtantes per 6 p 11, palâm per 33 p 1, quoniam chor dę arcuum baſium inter ipſas cadentes, quę ſunt g b & z e, ſuntęquales: ergo per 28 p 3, arcus illis chordis correſpondentes eruntęquales. Portiones itaq circulorũ ipſarum baſium interceptę inter has lineas lógitudinis colũnę b e & g z, & omniũ circulorum ęquidiſtantiũ ba ſibus, ſunt ę quales portioni circuli g b: eſt autẽ hęc minor ſemicirculo per 51 huius: ergo & oẽs portiões aliorũ circulorũ ſunt minores ſuis ſemicirculis. Videbitur ergo minus medietate colũnę. Quod eſt propoſitũ. Idẽ quoq accideret in columnis lateratis, niſi quòd anguli quandoq impediunt, quòdoq iuuant uiſionis quátitaté, quorũ uiſionis modũ propter infinitatem numerorũ omittimus: quia radice pręſenti ſuppoſita diligens inueſtigator multa particularia concludet.

79. Linea connectens centra amborum uiſuum ſiæqualis diametro baſis cylindrifuerit, ſemicylindri conuexum uidebitur: ſi maior, mainus: ſi minor, minus.

Eſto circulus baſis cylindri, cuius centrum ſit punctum a: punctus uerò extrà ſignatus ſit z: & ducatur linea a z: & producatur à puncto a diameter g d orthogonaliter ſuper lineam z a per 11 p 1: & deſcribatur ſuper lineam a z, ut ſuper diametrum, circulus a b z e: & producantur lineę a b, b z, a e, e z: duę itaque lineę, quę z e & z b, contingunt circulum b e d g per 31 & 16 p 3. Producantur ergo à punctis b & e per 101 th. 1 huius duę lineę longitudinis: quę erunt perpendiculares ſuper lineas a e, a b per 92 th. 1 huius: ideo quòd ſunt erectę ſuper bafim. Superficies quoque ductę ſupper lineas z e & z b, & per lineas longitudinum ſibi conter page 153 minales ſecabunt ſe in linea per centrum commune amborum uiſuum, quod eſt in medio puncto nterſectionis nerui concaui, ducta æquidiſtanter axi columnę, quando linea connectens cétraam borũ uiſuũ fuerit minor diametro baſis colũnę: quę ſi maior fuerit,

Fig. 497

g a d h e z
illæ diametri cócurrét ad partẽ oppoſitã in aliqua linea ſuperficiei ductæ per lineam ductam per centrum cómun æquidiſtanter axi, & per ipſum axem. Si uerò fuerint diametri baſis columnæ uiſæ & linea cónectenscentra oculorum æquales: tunc lineę longitudinis ductæ cadunt ſuper terminos diametri æquidiſtantis centris oculorum, & ſuperficies productæ nunauã concurrent. Superficies au tẽ columnæ inter has ſuperficies columnã cótingentes intercepta eſt portio ſuperficiei columnę, quę uidetur: ſunt aũt omnes portio nes circulorũ interceptæ inter eas, æquales portioni baſis interceptæ. Si ergo illa ſuerit ſemicirculus, medietas cylindri uidebitur: ſi minor ſemicirculo, ut eſt in propoſito arcus b e: tũc minus ſemicylindro uidebitur: ſi maior, maius: horum autem omnium deducti o eſt euidens expræmiſsis pluries repetitis. Patet ergo propoſitu m.

80. Viſu appropinquante cylindro conuexo, minus curuæ ſuperficiei uidebitur: apparet autem ac ſi magis uideatur. Euclides 30th. opt.

Sit cylindri baſis circulus b g: cuius centrũ ſit a: & diameter f h: oculi uerò cẽtrum ſit in puncto e: & ducatur linea e a inter illa centra: & ducantur line æ e b & e g circulũ cõtingentes per 17 p 3:& du cantur à punctis b & g per 101 th. 1 huius lineæ longitudinis cylindri, quæ ſint b i & g z. Videtur itaq per modũ pręmiſſarũ ſub oculo exiſtente in puncto e, ſuperficies cylindri i b g z: quæ minor eſt ſemicylindro per 78 huius. Appropinquet ergo uiſus columnæ: & ſit in puncto t:& ducantur lineæ cótingentes baſim columnæ, quæ ſint t k & t l: & à punctis k & l ducantur lineę longitu dinis cylindri, quę ſintl n & k m. Videbitur ergo ſub uiſu exiſtente in puncto t, ſu perficies cylindri, quę eſt l n k m, quę minor eſt ſuքficie i b g z uiſa in puncto e: cuius declaratio eſt ſimilis declarartioni factę in 67 hu

Fig. 498

f a h b l k g t i n m z e
ius. Appropinquante ergo uiſu ad cylin drum, minus ipſius ſuperfr ciei uidetur:apparet aũt ac ſi magis uideatur: quoniam per 60 th. 1 huius, & per 21 p 1 angulus l t k maior eſt angulo b e g: concurrunt enim lineæ t k & e g uerſus pũctũ g. Pater ergo ꝓpoſitũ ք 20 huius.

81. Axe unius tantũ uiſus cẽtro baſis colũnæ rotundæ uelia teratæ cuiuſcun incidente: uelſi diſtantia oculorũ æqualis, uel minor fuerit diametro baſis cylindri obiexctæ directè uiſui: ſola baſis uidetur: quæ ſi maior baſi ſuerit, totus uidebitur cylindrus, baſiremotiore duntaxat excepta.

Cum enim uno oculo fiat uiſio, & axis incidat centro circuli ba. ſis columnę rotundę uel lateratę: tunc quia oẽs lineę longito dinis ſunt perpendiculares ſuper baſim, ut patet per 92 th. 1 huius, nõ uidebitur forma puncti alicuius illarũ lin earũ, niſi ſolus pũctus communis lineę longitudinis & peripherię ſuperficiei baſis: uidebitur ergo ſola baſis. Etidem eſt ſi uiſio fiat ambobus uiſibus, ſi tamẽ diſtantia oculorum, queę eſt linea connectens cẽtra oculorum, fuerit æqualis uel minor diametro baſis: tunc enim, ut pater per 4 huius, nullalinearum longitudinis columnę perueniet ad ambos uiſus, niſi ſolùm, ut prius oſtenſum eſt, punctus, qui eſt communis ſectio alicuius illarũlinearũ & peripherię ipſus baſis. Siuerò maior fuerit diſtantia oculorum ipſa diametro baſis: tunc omnes loneę longi tudinis columnę perueniẽt ad ambos uiſus:& uidebitur tota con uexitas uiſę columnę, & baſis ſuperior uicinior uiſibus: in ferior ue rò baſis nõ uidetur: quia nullus eius punctus peruenit ad uiſum, ni ſi peripherię ſuę cũ lineis longitud nis columnę, quę ad illam peri pheriam terminãtur. Quòd ſi uno tantũ oculo uiſione ſacta. axis ceciderit extra centrum baſis: uidebitur aliqua pars linearum longitudinis totius columnæ: quoniã tunc peripheria baſis ſecat pyramidem uiſionis. Patet ergo illud, quod proponebatur. Eſt autẽ poſsibile, ut uiſu obliquè baſi columnę incidente, tota columna, & ſi regularis ſit, uideatur eius baſis altera parte longior, & tota co lumna figuræ irregolaris per 55 uel 56 hui us. Et hoc eſi nota tu dignum.

page 154

82. Vnius tantùm uiſus axe, centro columnaris ſectionis (quæ eſt baſis abſidis columnaris ro tundæ) incidente: totailla baſis & parts linearum longitudinis abſidis uidentur.

Sit enim aliqua columna rotun da taliter abſciſſa, ut axis non ſit perpendicularis erectus ſuper baſim: palàm ergo per 103 th. 1 huius, quòd baſis hæc eſt ſectio, quę dicitur colũnaris uel ſectio oxygonia: & ipſa pars columnæ abſciſſa dicitur abſis. Dico, quòd ſi axis uiſualis incidat centro illius ba ſis, quòd pars linearum longitudinis abſidis, illa ſcilicet, quæ in decliuiori parte approximat, uidebitur uno etiam uiſu. Huius autẽ cauſſa eſt obliquatio baſis, quæ ſub minoria angulo uidetur per 26 huius: propter quod etiam uidentur formæ punctorum linearum longitudinis illius obliquitatis remotiori parti adiacentium, cum reſidui anguli perueniunt ad uiſum: quod nõ accideret, ſi illa baſis poſſet directè uiſui opponi:hoc autem impoſsibile ſine linearum longitudinis abſidis uiſione. Patet ergo propoſitum.

83. Centro for aminis uueæ in ſuperficie illuminata concaua columnæ cuiuſcunæ exiſtente: ſemper columnæ tota concauit as uidetur: in alijs autem partinum columnarum concauarum ui ſionibus idem accidit, quod ſphærarum concauitati.

Diſpoſito enim uiſu ſecũdũ propoſitũ modũ, reſpectu cuiuslibet colũnę;cócauæ, formæ omniũ punctorũ linearũ lõgitudinis, quas ſecat ſuperficies ſoraminis uueæ, tũ oẽs perueniunt ad uiſum: ideo quòd ad centrũ illius foraminis ſecundũ lineas rectas pertingunt: & ſuperficiẽ o culi cõtingit tantùm una in illo centro: aliæ ueròipſam contingunt in punctis diuerſis circuli foraminis. Videbuntur ergo oẽs per 2 th. 3 huius. Et quoniã formæ omuiũ aliarũ linearũ longitudinũ, & oẽs puncti baſium directè uel obliquè perueniunt ad uiſum: palã, quia tota colũnę cócauitas uidetur ſecundũ omnia puncta ſuæ ſuperficiei. Sed fortè accidet figuræ uiſæ irregularitas propter aliquarũ ſuarum partiũ obliquarionẽ ad uiſum per 55 uel 56 huius. In alijs quoq uiſionibus partiũ columnarũ concauarũ idẽ accidit, quod in ſphęris cõcauis: quoniã uiſu poſito in pũcto medio quadranguli terminantis ſemicylindrum, ille totaliter uidebuitur per 60 huius. Sed & quodilbet punctorũ ſuperficiei concauæ & baſium uiſibus occurrit. Etrecedente uiſu ab illo puncto, ſemper uidebitur portio columnæ minor uel maior ſemicylindro. Pater ergo propoſitum.

84. Pyramidis rotundæ baſi in eadem ſuperficie cum centro unius oculorum exiſtente: minus medietate ſuperficiei conuexæ pyramidis uidetur. Euchlides 31th. opt.

Sit pyramis rotunda, cuius baſis ſit circulus, qui b g: cuius diameter fh: centrum k: uertex uerò illius pyramidis ſit punctũa: & ſit centrũ uiſus d: & ducantur lineæ

Fig. 499

a f k h b g d
d b & d g contingentes circulũ b g per 17 p 3: eſt ergo per 58 th. 1 hu ius arcus b g minor ſemicirculo. Ducátur quoq: à uertice a pyrami dis per101th. 1 huius lineæ longitudinis, quæſint a b & a g. Palàm itaq ad modũ eorũ. quæ demonſtrauimus in columinis, auoniã ſuperficies intercepta lineis a b & a g, ſola uidetur. Et quoniam hæ lineæ ex omnibus circulis ęquidiſtátibus baſi pyramidis partes ſimi les reſecant, & intra ſe illas cõtinẽt, & cũ per 58 th. 1 huius arcus b g ſit minor ſemicirculo: erunt neceſſariò arcus omnium aliorũ lorũ minores ſemicirculis ſuis: ergo portio uiſa minor erit hemico nio:quoniam ſicut tota conuexa ſuperficies pyramidis toti baſireſpondet: ſic pars proportionalis ad totá conuexam ſuperficiẽ parti proportionali baſis ad totã baſim: quoniam lineæ lõgitudinis productæ à uertice ad peripheriã baſis, ſicut diuidũ conicã ſuperficiẽ: ſic lineæ à terminis illarũ linearũ ad centrũ baſis pyramidis produ ctæ diuiduntipſam. Et poteſt hoc conuinci argumẽto 5 p 12 Eucli dis. Patet ergo propoſitum.

85. Cẽtris amborũ uiſuũ in eadẽ ſuperficie cũ baſiconiexiſten tibus, ſilinea cõnectens cẽtra uiſuũ æqualis fucrit diametro baſis, hemiconium uidebitur: ſi maior, maius: ſi minor, minus.

Diſpoſitione ordinata ad conũ, quæ in 79 huius ad columnam, hoc ſolo adiecto, quòd centra uiſuũ ſint ſolũ in eadẽ ſuperficie cũ baſi pyramidis, & non eleuentur ſecundũ lineam axi coni æquidi ſtantem, ſicut poteſt fieri in columna: ſi enim uiſus in lineaæ quidiſtante axi columnæ eleuetur, idem accidit, quod eo in baſi exiſtente: quia in columna ſufficit, etiá ſi ſint in ſuperficie baſi æ quidiſtanti. Patet ergo, quod hic proponitur, & eſt idem demonſtrandi modus. Vnde fruſtra eſt membranas denuò occupare.

86. Appropinquãte centro uiſus in ſuperficie baſis coni: minus conicæ ſuperficieiuidebitur: apparet autem plus uideri. Euclides 32 th. opt.

Sit circulus a b baſis coni: cuius cẽtrum l:& ſit uertex coni punctum g: cẽtrum quoq oculiſit d: page 155 ducatur linea d lad centrum uiſus à centro baſis pyramidis: & ducanturlineæ d b & d a contingen tes circulũ, qui eſt baſis coni, in pũctis b & a: & ducãtur à uertice pyra

Fig. 500

g l a z i b e d
midis lineæ lõgitudinis coni, quæ ſint g a & g b: ergo p̀er ea, quæ prius in pręcedẽtibus dicta ſunt, ſuperficies g a b uidetur ſub oculo d: & eſt minorhemiconio. Appropinquet aũt oculus, & fiat in pũcto e: du canturq́ lineæ e z, e i cõtingentes circulũ, qui eſt baſis coni: & à uerti ce coni cõtinuẽtur lineæ g z & g i. Videbitur itaq ab uno oculo exiſtente in puncto e portio ſuperficiei conicæ, quæ eſt g z i minor portione g a b. Videtur autẽ apparere maior portiõe g a b propter maioritatẽ anguli z e i ſupra angulum a d b. Ethoc eſt propoſitum.

87. Lineis à centro uiſus ad baſim coni cõtingenter ductis, & à punctis contactuum ductis lineis logitudinis coni: ſi in cõmuni ſectione ſuperficierum per eaſdem line as & per cẽtrum oculi productarum uiſus cono appropin quet: eadẽ portio ſuperficiei conicæ uidebitur, quæ prius, & eiuſdem quantitatis apparebit. Eucli-des 33th. opt.

Eſto conus, cuius baſis ſit circulus b z g: & uertex eius punctũ a: axis quoq ſit a h: centrumq́ oculi ſit d: & ducantur per 17 p 3 lineæ à centro uilus d contingentes circulũ b z g, quæ ſint d z & d g. Et quoniam hoc fit ex hypotheſi: tũc patet per 16 p 3 & 2 p 11, quoniã centrũ uiſus eſt in ſuperficie baſis coni uiſi. Et ducátur à punctis contactuũ z & g duæ lineæ longitudinis per coni uerticẽ punctũ a, quæ ſint z a & g a: quod fiet per 101 th. 1 huius: & à centro uiſus puncto d ad uerticem coni punctũ a ducatur linea d a: & ducátur duæ ſuperficies, una per lineas d g & g a, alia uerò per lineas d z & z a. Et quoniá eę ſuperficies cõcurrũtin centro uiſus d & in uertice conia: erit ipſarũ communis ſectio linea a d per 1 p 11 & per 19 th. 1 huius. Dico, quòd ſi ocu. lus appropinquet cono ſecundum lineam d a: non uidebitur maior conicæ ſuperficiei portio nũc quàm prius, oculo in puncto d exiſtente. Sit enim, ut approximando ipſrcono perueniat in punctum e lineæ d a: & ducantur à puncto e lineę æquidiſtantes lineis d g & d z a d ſuperficiẽ coni uiſam: hę eruntergo neceſſariò cõtingẽtes aliquẽ circulũ coni ęquidiſtátẽ baſi b z g:

Fig. 501

a e c d z h b g
ergo neceſſariò cadent in aliqua puncta linearum a z & a g: ideo quòd illæ ſecant proportionaliter baſim coni, & oẽs circulos ei æ quidiſtátes: quoniá ſecundũ lineas illas terminatur uiſus, & ſecundũ illas ſuperfi cies contingẽtes terminatur uiſio circulorũ. Si enim dicatur, quòd illæ lineę contingentes aliquẽ dictorũ circulorũ ductæ à puncto e, cadant extra lineas a z & a g, cũ lineæ à pũcto e in lineas a z & a g ductæ terminentuiſum, & ſimiliter illæ cõtingentes terminẽt uiſum: ſequetur uel lineas radiales eſſe refractas in medio unius diaphani: quod eſt cõtra ea, quæ demõſtra ta ſuntper 44 & ſequẽtes ſecũdi huius: uel ſequetur lineas radiales eſſe curuas: quod eſt cõtra 1 th. 2 huius: uel ſequetur duas rectas lineas ſuperficiẽ includere: quod eſt impoſsibile. Cadent ergo dictę lineæ pertingentes ad ſuperficiẽ conicã ductæ à puncto e in lineas a z & a g: cadant ita q in ipſarũ duo puncta, quę ſinti & c, & ſint lineę e i & e c. Quia ergo angulus c e i eſt æ qualis angulo g d z per 10 p 11, ſicut & anguli cõtenti ſub lineis c i & g z, quoniã oẽs illi anguli continentur ſub lineis æquidiſtantibus angulariter conrunctis, patet per 20 huius uerum eſſe quod proponi tur. Et quia ubicunq uiſus in linea d a ponitur, ſemper anguli ad uiſum ſunt æ quales per 10 p 11, palàm ergo eſt propoſitum. Et hocidem ſuo modo in ambobus poteſt uiſibus demonſtrari.

88. Eleuato uiſu, reſpectu ſuperficiei conicæ: maius erit, quod uidetur, uidebitur autem minus uideri: depreſſo uerò uiſu, minus erit quod uidebitur, ſed apparebit maius prius uiſo. Euclides 34th. optico.

Eſto conus, cuius baſis circulus b g: & uertex punctus a: & ducantur lineæ longitudinis, quæ page 156 fint a b & a g: & ducatur linea b g: & producatur uſq ad punctum l: & à puncto t, quod ſitinferius puncto a uertice coni, ducatur linea æquidiſtãs lineę

Fig. 502

a t k g h b p l i
a b per 31 p 1, quæ producta uerſus lineam b l, ſecetillam in pũcto p: & ſit aliquis pũctus eius inſerior pun cto t pũctus k: & ſit illa linea t k p. Dico, quòd oculo poſito ſuper pũctum t, qui eſt eleuatior pũcto k: pars ſuperficiei conicę uiſa, maior quidem erit, minor aũt uidebitur, quàm uideatur oculo exiſtẽte in pũcto k. Ducátur enim lineæ a k & a t: & producatur linea a t, donec cõcurrat cum linea b l: cõcurrent aũt per conuerſam 2 p 6. Quoniã enim linea t p eſt minor quàm linea a b, ut patet ex præmiſsis, & illæ lineæ æquidiſtant, patet quòd lineæ a t & b l cõcurrẽt: ſit ergo pun ctus cócurſus i: & ſimiliter lineæ a k & b l concurrẽt: ſitq́ pũctus concurſus l. Palàm itaq quia magis uidebitur de cono ſuper punctũ i, quàm ſuper pũctum l per 86 huius: ꝓpinquior enim eſt ipſi cono pũctus l, quàm pũctus i. Quod autẽ de ſuperficie conica uidetur, oculo exiſtente in pũcto i, idem per præceden tem proximam uidetur cẽtro uiſus exiſtẽte per totã lineam i a, utpote in pũcto t: & illud, quod uidetur ui ſu exiſtẽte in pũcto l, uidetur in quolibet pũcto lineę l a exiſtẽte uiſu: ergo & in pũcto k. Sed quod uidetur â pũcto i maius eſt eo, quod uidetur à puncto l, & mi nus eſſe uidetur per 86 huius: ergo illud, quod uidetur à pũcto t maius eſt illo, quod uidetur à pũcto k, & minus uidetur eſſe. Ethoc eſt quod proponi tur. Ethocidẽ etiam ſuo modo de ambobus uiſibus poteſt demonſtrari. Patet ergo propoſitum.

89. Linea à centro uiſus ad uerticem coni duct a perpendiculari existẽte ſuper axem: ſuperficiei conicæ medietas uidetur. Alhazen 36 n 4.

Verbi gratia ſit pyramis a c n: cuius axis a d, & uertex a: palàm ergo per 89 th. 1 huius, quòd pun ctum d eſt centrũ circuli baſis ipſius coni: ſitq̀; centrũ uiſus b: & ducatur linea b a faciens angulum b a d rectũ. Dico, quòd conicæ ſuperficiei a c n medietas uidebitur.

Fig. 503

b a f j g e k y n d c
Secet enim aliqua ſuperficies conum a c n æquidiſtáter baſi c n: hæc ergo per 100 th. 1 huius ſecabit ipſam ſecũdum circulũ, qui ſit f g: & eius cẽtrum, quod ſit pũctum l, erit in aliquo puncto axis a d: ſecetq́: ſuperficies plana pyramidẽ per axem a d, & per cẽtrũ uiſus d: illa ergo ſuperficies ſecabit circulum f g: linea quoq cõmunis huic ſuperficiei & circulo f g erit orthogonalis ſuper axem: quoniã axis eſt erectus ſuper ſuperficiẽ circuli, & tráſibit cẽtrũ circuli. Sit quoq illa linea k l: quę erit ք 28 p 1 æquidiſtás lineæ b a, & eſt cũilla in eadẽ ſuperficie. Ducatur quoq ք cẽtrum circuli diameter f l g orthogonalis ſuper lineá k l ք 11 p 1: & à terminis huius diametri protrahantur duę lineæ cótingentes circulũ per 17 p 3, quę ſint f e & g h: & ab eiſdẽ pũctis g & h ducãtur duę lineæ lógitudinis ad uerticẽ coni ք 101 th. 1 huius, quę ſint f a & g a: duę ergo ſuperficies planę, in quarũ una ſunt lineę f e & f a, & in quarũ altera ſunt lineæ g h & g a, palàm quoniam cõtingẽt pyramidẽ ſecũdũ lineas lõgitudinis, quę ſunt f a & g a ք 95 th. 1 huius. Et quoniã linea k l æquidiſtat lineæ b a, & lineis cotingen tibus circulũ, quę ſunt f e & g h, ut patet per 16 p 3, & per 28 p 1: erunt per 9 p 11 lineæ f e & g h æquidiſtãtes lineæ b a: quęlibet ergo ipſarũ eſt in eadẽ ſuperficie cũ illa per 1 th. 1 huius. Illę ergo duæ ſuperficies neceſſariò ſecabũt ſe ſuper lineã b a per 19 th. 1 huius: utraq ergo ſuperficierũ pyramidẽ propoſitã in terminis diametri unius ſuorũ circulorũ cótigentiũ trãſit per cẽtrum uiſus. Quod ergo ſuperficiei conicę inter illas ſuperficies cadit, apparet uiſui: eſt aũt hæc medietas pyramidis, quoniá illas li neas contingentes interiacet medietas circuli. In hoc ergo ſitu medietas ſuperficiei conicæ uidetur. Quod eſt propoſitum.

90. Linea à centro uiſus ad uerticem coni duct a angulũ obtuſum cũ axetenente, nec tamen cum aliqua line arum longitudinis coni unita: uidetur ſnperficiei conicæ pars maior medietate. Alhazen 37 n 4.

Sit pyramis b i m: cuius axis b d: uertex b: palamq́ per 89 th. 1 huius, quòd cẽtrũ circuli baſis eſt punctũ d: ſitq́ punctũ a centrũ uiſus: & ducta linea a b, fiat angulus a b d obtuſus, ita tamẽ, ut linea a b nõ fiat una linea cũ aliqua linearũ lõgitudinis coni, ſed ſecet eas utcũq poſsibile eſt productas oẽs: eritq́ tũc uiſus altior uertice pyramidis: ſitq́, ut in pręcedẽte, circulus e h æquidiſtás baſipy page 157 ramidis, quæ eſt i m: & linea communis huic ſuperficiei & circulo, (in quo eſt centrũ uiſus punctũ a, & axis coni, qui eſt b d) ſit linea e h: eritq́ linea e h perpendicularis ſuper axem b d: & producatur linea e h extra pyramidem, donec

Fig. 504

a g e c f h g r i d m
concurrat cum linea b a, producta ultra punctum b: cócurret autem ք 14 th. 1 huius: ideo, quia angulus a b d eſt obtuſus ex hypotheſi, & angulus d b h eſt acutus per 32 p 1, & linea e h eſt perpendicularis ſuper axem b d. Sit ergo concurſus punctus g: & â puncto g producantur duæ lineę g f & g r circulũ e h cõtingentes per 17 p 3: contingãtq́ circulũ in duobus punctis f & r: & ab ijs punctis per 101 th. 1 huius ꝓducantur lineæ longitudinis ad uerticem coni punctũ b, quę ſint f b & r b: ſuperficies ergo illæ, in quibus ſunt lineæ g f & f b, & lineæ g r & r b cõtingunt pyramidem, & in utraq iſtarum ſuperficierum erit uertex pyramidis punctus b, & punctus g, in quo concurrit linea a b cum linea e h: ergo linea a b g per 1 p 11 & 19 th. 1 huius eſt in utraq illarum ſuperficierum: ergo utraq ſuperficies tran ſit per punctũ a cen trum uiſus. Et quoniam per 58 th. 1 huius duæ lineæ g f & g r includunt minorem partem circuli: quoniam arcus circuli interiacẽs pun cta contingentię duarum linearum ab eodem puncto productarum, eſt minor ſemicirculo: tunc patet quòd illæ duę ſuperficies includũt minorem partẽ ſuperficiei conicę quàm ſit medietas: reſiduũ ergo il lius ſuperficiei eſt maius medietate: hoc autẽ uidetur à uiſu taliter, ut proponitur, collocato. Pars ergo ſuperficiei conicæ maior medietate taliter uidetur. Ethoc eſt propoſitum. Ambobus uero uiſibus adhuc uidetur magis.

91. Cum linea longitudinis coni producta ultra uerticem cum centro uiſus concurrerit, nihil uiſum totius ſuperficiei conicæ latebit: niſi linea longitudinis illa ſola. Alhazen 38 n 4.

Sit pyramis, cuius uertex ſit punctũ b: & linea longitudinis ſitq́ centrum uiſus punctũ a: & linea c b producta ultra punctũ b concurrat cũ cẽtro uiſus puncto a. Dico, quòd non latebit uiſum totius huius ſuperficiei conicæ pars aliqua, præter quandã lineam intellectualẽ, quæ eſt ipſa li nealongitudinis b c. Omnis enim ſuperficies, in qua eſt linea à centro uiſus ad aliquem punctum axis ducta, ſecabit pyramidẽ, excepta tantũ illa ſuperficie, in qua eſt linea a b c: hæc enim contingit pyramidem ſecundum lineam b c per 95 th. 1 huius. Et quoniam illud, quod ſub ſuperficie contingente pyramidem & tranſeunte centrum uiſus continetur, occurrit uiſui per 17 th. 3 huius: ſormæ enim omnium punctorũ ſuperficiei illius conicæ in ſuperficie uiſus depinguntur: palàm ergo quoniã tota ſuperficies conica uidetur, excepta

Fig. 505

a b h c
ſola linea intellectuali, quæ eſt b c. Dato enim quocunq puncto ſuperficiei pyramidalis extra lineam b c: dico, quòd illud uidebitur. Sit enim illud punctũ h: & ducatur ad ipſum à centro uiſus a linea a h: & ab illo eodẽ per 101 th. 1 huius ducatur linea longitudinis, quæ ſit h b: fietq́ triangulus h b a, qui neceſſariò eritin aliqua ſuperficie pyramidẽ ſecãte, per tranſeunte centrũ uiſus a: ex lineis aũt illius ſuperficiei non cadunt, niſi duæ in ſuperficiẽ conicã pyramidis, ſcilicet linea lõgitudinis b h, & linea oppoſita lineæ b h in alia parte pyramidis: quoniã, ut patet ք 90 th. 1 huius, planę ſuperficiei ſecantis conũ trans axem & ſuperficiei conicæ cõmunis ſection eſt trigonũ duabus lineis longitudinis pyramidis & diame tro baſis contentũ: linea uerò a h ſecat lineam b h in pũcto h, & linea c b ſecat eandem b h in puncto b per 91 th. 1 huius: lineæ ergo a h nulla linea cõcurret à uertice pyramidis niſi in puncto a: nec enim ad aliquod punctũ mediũ lineę a h à uertice b ductæ lineę incident: nõ occultabitur ergo pũctus h ab alìquo alio pũcto, quò minus perueniat ad centrũ uiſus a. Occurrit ergo punctus h uiſui, cũ inter ipſum & uiſum nõ accidat ſolidicorporis interpoſitio. Eadẽ quoq eſt probatio de quolibet alio dato puncto ſuperficiei pyramidis: in linea uerò b c, quę perpendicularis eſt ſuper ſuperficiẽ uiſus per 72 th. 1 huius, folũ tantũ punctũ poſsibile eſt uideri, ut oſtẽſum eſt in 4 hu ius: omnia uerò alia puncta lineæ b c neceſſariò occultãtur. Patet ergo propoſitũ. Patet itaq ex ijs, quoniã in hoc ſitu nulla ſuperficierũ pyramidũ contingẽtiũ peruenit ad cẽtrũ uiſus, pręter illã, quę in linea b c longitudinis centrũ uiſus tranſeuntis pyramidẽ cõtingit: & oẽs ſuperficies aliæ conum contingentes ſecant lineam productã à centro ad ipſam pyramidẽ inter uerticẽ coni & cẽtrũ uiſus.

92. Axe pyramidis cum centro uiſus uerſus uerticem concurrente: tota conica ſuperficies uno oculo uidetur. Alhazen 39 n 4.

Eſto data pyramis, cuius axis b c: uertex quoq punctus b: & ſit uiſus centrũ pũctũ a: ſitq́, ut axis b c ꝓductus currat in punctũ a. Dico, quòd in hoc ſitu oculi tota conica ſuperficies pyramidis occurrit uni uiſui: nullus enim punctus ſuperficiei conicæ totins pyramidis uiſui occultatur. Dato enim quocũq puncto, ſit ille l: & ducatur ad ipſum à cẽtro uiſus a linea a l: & ab ipſo pũcto l ducatur page 158 per 101 th. 1 huius linea longitudinis pyramidis, quæ ſit l b: fietq́ trigonũ l b a, quod neceſſariõ erit in ſuperficie pyramidẽ ſecante, ideo quòd linea a e ducta à cẽtro uiſus intratin ipſam pyramidẽ, ſecãs ipſam, & ipſa eſt in dicta ſuperficie per 1 p 11,

Fig. 506

a d b k j c
quoniã linea a b eſt in illa ſuperficie: linea uerò a l ſecat lineá b l in puncto l: ex lineis uerò ſuperficiei, in qua ſunt duæ lineæ a l & b l, nó ſunt, niſi duę tantũ lineæ in ſuperficie pyramidis, ſcilicet linea lõgitudinis, quæ eſt b l, & linea alia longitudinis illi oppoſita, quæ ſit b k, ut patet per 90 th. 1 huius: hęc ergo linea b k producta ultra punctũ b, cũ ſit in eadẽ ſuperficie cũ lineis a b & b l, neceſſariò ſecabit angulũ a b l: ergo per 29 th. 1 huius ipſa ſecabit & baſim a l: ſit ergo ut ſecet illã in puncto d. Et quia linea a l ſecat duas lineas k b & l b, quæ ſolæ ex lineis ſuperficiei pyramidẽ ſecãtis ſunt in pyramidis ſuperficie, ſecat enim linea a l lineá k b extra pyramidem in pũcto d, & lineam l b in ſuperficie pyramidis, in pũcto l: producta ergo linea a k in infinitũ, nõ concurret cũ aliqua illarũ linearũ: nõ interponetur ergo ſolidũ punctũ, quod eſt k inter uiſum & pũctũ l: ſed nec aliquod alio rũ punctorũ ipſius pyramidis: quoniã nullũ ipſorũ caditin illa ſuperficie. Nõ occultabitur ergo tũc uiſui exiſtẽti in pũcto a datũ punctũ l: cũinter ipſum & cẽtrũ uiſus nõ accidat aliqua ſolidi corporis interpoſitio. Et eadẽ eſt demonſtratio de quolibet dato pũcto in tota ſuperficie pyramidis. Patet ergo propoſitũ. Palàm itaq ex his, quoniã in hoc ſitu nulla ſuperfi cierũ cõtingentiũ pyramidẽ tranſit per centrũ uiſus, ſed quælibetipſarũ ſecabit lineam à centro uiſus per uerticem conum intrantem inter centrum uiſus & pyramidem, ſcilicet in uertice ipſius axis, ut patetintuenti.

93. Omnes lineæ uel ſuperficies, inter lineas uel ſuperficies cõtingentes colũnã uel pyramidẽ rotũdãſuքficiẽ uiſam terminãtes àcẽtro uiſus ꝓductæ, colũnã uel pyramidẽ neceſſariò ſecabũt.

Verbi gratia, ſint duæ lineæ lõgitudinis columnę uel pyramidis terminantes uiſam ſuperficiem, quę ſint a b & c d. Dico, quòd ſi à centro uiſus (quod eſte) ducatur linea e finter lineas illas a b & c d, quo

Fig. 507

c k a f y g e d g
niam linea e f ſecabit propoſitã columnã uel pyramic dẽ. Tranſeat enim ſuperficies plana columnã uel pyramidẽ ſecans ipſam in puncto f æquidiſtanter baſi: eritq́ per 100 th. 1 huius cõmunis ſectio circulus, qui ſit g f h: qui ſecet lineas lõgitudinis colũnę uel pyramidis, eam ſcilicet, quę a b, in pũcto g, & eam, quę eſt c d, in puncto h: & ducantur à pũcto e per 17 p 3 duæ lineę cõtingẽtes illũ circulũ, quę ſint e g & e h: palàm aũt per 57 th. 1 huius quoniá linea e fin eadẽ ſuperficie cũlineis illis exiftẽs, ſecat circulũ g fh: ergo ſeca bit columná uel pyramidẽ, quæ per eundẽ circulum ſecatur. Idẽ quoq accidit ſi per ſectionem lineæ lon gitudinis hoc placuerit demonſtrari, & in idem redit. Patet ergo propoſitum.

94. Pluribus planis ſuperficiebus centrum uiſus tranſeuntibus ſecundũ lineas longitudinis partis ſuperficiei uiſæ columnã uel pyramidẽ conuexam ſecantibus: ſolã ſuperficiẽ axem columnæ pertranſeuntẽ, ſuperficiẽ colũnarẽ uel pyramidalẽ uiſam per æqualia diuidere: & econuerſo ſuperficiẽ per æqualia illam uiſam ſuperficiem diuidentem, axem tranſire eſt neceſſe.

Sit colũna cõuexa, cuius ſuperficies uiſa ſit e d f g: & axis eius ſit h i: & ſit centrũ uiſus punctũ a: ſintq́ lineę longitudinis colũnæ, continẽtes uiſam ſuperficiẽ, quæ e d & f g. Imaginẽtur quoq multę planæ ſuperficies tranſeuntes centrũ uiſus a, & ſecantes e d f g uiſam ſuperficiẽ columnæ. Dico, quòd ſola illa, quæ pertrãſit axem h i, ipſam uiſam ſuperficiẽ ք ęqualia diuidit, & nulla aliarũ: ſola enim hæc erecta eſt ſuper cõuexam ſuperficiẽ colũn æ: quoniã cõmunis ſectio illius ſuperficiei ſecan tis, & ſuperficiei colũnæ eſt rectangulũ ſub duabus lineis lõgitudinis colũnæ & duabus diametris baſium cõtentũ, ut patet ք 93 th. 1 huius: ergo cõmunis ſectio illius ſuperficiei & uiſę ſuperficiei con uexæ ipſius colũnæ ſit linea lõgitudinis colũnæ, quæ m o: & imaginetur ſuperficies plana cõtingẽs columnã ſecũdũ lineã longitudinis m o ք 95 th. 1 huius: erũt ergo illa cõtingẽs ſuperficies & ſuperficies ſecás per axem erectæ ad inuicẽ per 97 th. 1 huius. Si itaq in linea m o ſignetur punctũ p: & in ſuperficie cótingente ducatur linea t p s: tunc palàm quòd linea t p s cõtinget quẽdã circulũ ſuperficiei colũnæ æ quidiſtantẽ baſibus. qui ſit b q: & eius centrũ ſit u: ducãturq́ per 17 p 3 lineę a b & a q 159 à centro uiſus circulũ b q cõtingentes: erũt ergo illæ lineæ æquales per 58 th. 1 huius: ſecentq́ lineã illã circulũ contingentẽ, quæ eſt t p s, in punctis t & s: & ducatur linea a p: quæ producta, ut patet ք 18 p 3 pertinget ad axem in pũctũ u centrũ circuli: & ducãtur intra columnã lineæ b u & q u ſemidiametri

Fig. 508

o a g i e s p t b u q m d f h
circuli b q. Trigona ita q a b u & a q u ſunt ęquilatera: ergo per 8 p 1 ſunt ęquiangula: angulus ergo u a b eſt æqualis angulo u a q: ſed in trigono at p angulus a p t eſt æqualis angulo a p s trigoni a p s per definitionẽ lineę ſuper ſuperficiẽ erectę: ergo per 32 p 1 angulus a t p eſt æqualis angulo a s p: ergo per 6 p 1 eſt linea a t æqualis lineæ a s. Et quia lineę a b & a q ſunt ęquales, ut ſuprà patuit: ablatis ergo hinc inde lineis a t & a s, remanebit linea t q æqualis lineæ s b: ſed linea t q eſt æqualis lineæ t p per 58 t 1 huius: quoniã à puncto t ductæ ſunt duæ lineę circulũ contingẽtes, quæ ſunt lineę t q & t p: ſimiliter quoq fit linea s b ęqualis lineæ s p. Cũ ergo per 13 p 1 anguli b s p & q t p ſint æquales, erit per 4 p 1 chorda p b ęqualis chordę p q: ergo per 28 p 3 erit arcus p b æqualis arcui p q. Et quoniam idẽ accidit in baſibus columnę, & in quolibet aliorũ circulorũ æquidiſtãte baſibus: patet ergo propoſitũ primũ, ſcilicet quòd ſuperficies plana ſe cans columná per axem & tranſiens cẽtrũ uiſus, ſecat ſuperficiẽ uiſam per æqualia. Et quoniã oẽs aliæ ſuperficies declinantes ab axe obliquè incidunt ſuperficiei contingenti columnã in media linea ſuperficiei uiſæ ipſius columnæ, quæ eſt linea m o, pa tet quòd nulla ipſarũ illã ſuperficiẽ uiſam per æqualia ſecat. Sed etiã ſuperficies, quę uiſam partem ſuperficiei columnę per ęqualia ſecat, neceſſariò tranſit per axem. Sit enim diſpoſitio, quæ prius, & ducantur oẽs lineæ priores: erit ergo linea m o, cui illa ſup erficies incidit, diuidẽs ſuperficiẽ uiſam per æqualia: & ipſa eſt cõmunis ſectio ſuperficierũ ſecantis & cõtingentis: erit itaq per 61 th. 1 hu ius linea p t ęqualis lineę p s: ſed linea p t eſt ęqualis lineæ t q per 58 th. 1 huius: & ſimiliter linea p s æqualis ipſi lineę s b: relinquitur ergo linea a t æqualis eſſe lineę a s. Et quoniã in illis trigonis a p s & a p t linea a p eſt cõmunis ambobus ipſis: erit ergo per 8 p 1 angulus a p t æqualis angulo a p s: uterq ergo illorũ angulorũ eſt rectus, & linea a p eſt perpẽdicularis ſuper lineã t p s: linea ergo a p cũ æquales angulos cõtineat cũ linea m o: palã per definitionẽ quoniã ipſa eſt erecta ſuper ſuperficiẽ contingentẽ columnã in linea m o: ergo per 18 p 11 ſuperficies, in qua eſt linea a p ſecans columnam, erecta eſt ſuper ſuperficiem ipſam contingentem columnam ſecundũ lineam m o. Ergo per 97 th. 1 huius patet quòd ipſa tranſit per illius columnę axem. Et penitus eodem modo eſt in rotundis pyramidibus demonſtrandum. Et hoc proponebatur.

95. Rect angulæ magnitudines à maiori diſtantia uiſæ circulares apparẽt. Euclides 9 th. opt.

Sit magnitudo rectangula uiſa ex magna diſtantia, quæ ſit b g d z. Quoniã ergo unumquodq uiſorum habet longitudinẽ diſtantię, qua facta non fiet uiſio, ut patet

Fig. 509

g z d g
per 8 huius: corpus uerò angulare circa angulum eſt minus, quàm circa alìas ſui partes: eſt ergo neceſſe prius deficere uiſui corpus circa angulũ g quàm circa puncta remotiora, quæ ſunt d, z: & ſimiliter accidet in unoquoq aliorum angulorum. Tota ergo peripheria corporis quãtũ ad prominentiã angulorũ propter ſui diſtantiã à uiſu nõ apparebit. Videtur itaq uiſui corpus rectangulũ eſſe ſiguræ circularis: ut turris quadrata uidebitur rotunda. Quando ita q uiſus comprehendit quadratum aut polygonium à remoto, cõpre hendet illud rotundũ, ſi ſuerit æqualium diametrorũ: aut compre hendet ipſum oblongũ figurę teretis, ſi fueritinęqualiũ diametrorum, ut eſt figura altera parte longior: ut plurimũ ſunt quadrangulæ turres, quæ cũ à remoto uidentur, apparent teretis figuræ: nec enim exceſſus radiorũ ab angulis ſuperficiei quadratæ prodeuntium ad uiſum ſuper longitudinem radiorum prodeuntium à lateribus planis eſt proportionalis reſpectu diſtantię totius corporis à uiſu aliqua proportione ſenſibili: unde propter inſenſibilitatẽ exceſſus oẽs radij æſtimantur eſſe æquales: magis aũt hoc ſolet accide re in alijs polygonis figuris: oxygona enim corpora plurimũ ex aliqua magna diſtãtia uiſa uidẽtur rotunda: & eſt hoc quaſi per eadem pręmiſsis demonſtrandum. Et hoc eſt propoſitum.

96. Curruum rotæ uel lapidum molarium figuræ quando circulares, quando oblongæ apparent. Euclides 40 th. opt.

Quod ſuprà per 55 & 56 huius cõcluſum eſt de figuris ſuperficialibus: hic proponimus ſimiliter page 160 decorporalibus figuris, paſsiones proprias ipſarum ſuperficierũ illis corporibus, quorũ ſunt lpſæ ſuperficies, applicãtes. Sit itaq rota a b g d: cuius diametri ſint b a & g d ſecantes ſe orthogonaliter ſuper cẽtrũ e: ſitq́ oculus in ſuperficie

Fig. 510

b g c d a
circuli uel circa. Si ergo linea, quę cadit à centro oculi ſuper centrum rotæ (quod eſt punctum e) obliquè incidat ſuperficiei ipſius rotæ, ita ut non ſit perpendicularis ſuper rotæ ſuperficiem, nec æqualis ſemidiametro: dico quòd diametri rotę inæquales apparebunt, & una quidem maxima, alia uerò minima: aliæ uerò omnes, quę ſunt mediæ inter maximã & minimã, propinquiores minimę ſunt minores remo tioribus ab illa: quælibet aũt duę æqualiter diſtantes ab altera diame trorum, æquales apparebunt. Rotæ ergo oblongę, ut ſectio columna ris uel conica oxygonia uidentur. Etidẽ accidit in figuris lapidũ mo lariũ, & omnibus alijs quibuſcũq figuris. Et hoc eſt propoſitum.

97. In figuræ uiſione uirtuti diſtinctiuæ error accidit ex intemper at a diſpoſitione octo circum ſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 25. 36. 47. 54. 59. 64. 66. 69 n 3.

Ex intemperata enim lucis diſpoſitione figura polygonia æquilatera uidebitur de nocte circula ris uel ſphærica: quoniam lux nimis debilis occultat angulos: & etiã ſphęra ſub luce ualde debili ui ſa, æſtimatur ſuperficiei planę, quia propter lucis debilitatẽ occultatur uiſui partiũ pręeminẽtia in ſuperficie ipſius ſphærę. Exintẽperata etiã longitudine diſtantiæ figura quadrata quandoq uidetur rotunda ſphęrica: & etiã figura quadrata quandoq apparet uiſui altera parte longior, ut patet ք 59 huiu: squãdo etiã propter remotionẽ nimiam obliquatio alterius lateris quadrati nõ ſentitur. tunc propter ipſam remotionẽ quadratũ altera parte lõgius uidetur, ut patet per 62 huius. Accidit etiã error uiſioni figuræ ex longitudinis immoderatione: figura enim multorũ laterũ æqualiũ oppoſita uiſui directè, in magna diſtantia uidetur circularis rotunda, quia anguli eius ſunt uiſui imper ceptibiles, quod patet per 95 huius: & linea curua æſtimatur recta per 50 huius: & figura ſphærica uidetur plana per 65 huius. Ex inordinatione etiã ſitus error accidit in figurę uiſione. Si enim corpus circulare, ut ſcutella, ab axe elongetur, & modicũ ſuper lineam, cui axis perpendiculariter inci dit, obliquetur, uidebuntur eius diametri inæquales per 96 huius: & figura circularis per 55 & 56 huius uidebitur ſectionis oxygonię uel columnaris figurę: & ſimiliter propter æqualitatẽ oppoſitionis unius laterum ad uiſum figura quadrata æſtimabitur altera parte lõgior per 61 huius. Ex intemperantia etiã quantitatis uel magnitudinis accidit error uiſioni figurarum. Cum enim ſuperficies uiſa fuerit multũm parua, ſi ſuerint in ea anguli, occultabuntur uiſui: unde fortè forma eius angularis æſtimabitur rotunda, ſphęrica, aut columnaris. Et ſi fuerint in eius ſuperficie aliquę pręemi nentię, latebunt uiſum, & æſtimabitur eorũ ſuperficies plana, ut hęc patere poſſunt in atomis ſolis. quarum certa figura nõ comprehẽditur, quoniã anguli ipſarum uiſui à minori diſtãtia occultãtur. ut patet per 8 huius. Ex intẽperata etiã ſoliditate accidit error uiſioni figurarũ. Si enim corpus ſue ritminus ſolidum, in quo fuerint anguli, illi fortè occultabuntur uidenti, & angularis forma putabitur ſphęrica, ſortè & ſphęricitas illorũ corporum uidebitur plana. Intemperata quoq diaphanitas in unſione figurarum errorem in ducit: quoniã exiſtente aere nubiloſo, obſcuro, ut in crepuſculis, ſi in corpore illo fuerint anguli, fortè apparebit ſphęricitas: & ſi in ipſo fuerit ſphęricitas, appare bit ſorrè planities: quoniã medium nõ eſt taliter diſp oſitum, ut per ipſum poſsit fieri cõpleta uiſio, ad quã requiritur lumen, ut patet per 1 th. 2 huius. Breuitas etiã temporis errorẽ uiſibus in uiſione figurarum adducit: modica enim gibboſitas in re ſubitò uiſa latet uiſum, & æſtimatur planities: & ſi fuerint res figurę angularis ſubitò uiſæ, ſortè ſphæricę apparebunt. Viſus quoq debilitas errorẽ cauſſat in figurarum uiſione: modicus enim gibbus, & multiplex angulus debilem latent uiſum: & uidentur res ſphę planæ, & angulares ſphericę: ſic ergo patet propoſitum in omnibus circumſtantijs uiſibilium. Et hoc proponebatur.

98. In uiſione corporeitatis erroures accidentes uirtuti diſtinctiuæ ex intemperata diſpoſitione octo circumſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ, ſunt ijdem illis, qui in ſitus & figuræ accidune uiſione. Alhazen 25 n 3.

Corporeitas enim, ut patet in 63 huius, à uiſu comprehenditur ex comprehenſione figurarum, quas faciunt ſuperficies corpus continentes: eſt ergo eadem hinc inde erroris cauſſa: & omnis error, qui poteſt accidere uiſui in non comprehenſione uerę corporeitatis, uel in erronea cõprehenfione, accidit ex errore proueniente circa ſpecies figurarum: ut ſi ſuperficies ſphęrica conuexa uel concaua ęſtimetur plana per 65 huius: quia in corporibus maximę remotionis à uiſu non comprehendit uiſus corporeitatem, quando non comprehendit obliquationem ſuperficierum. Et hoc totum accidit propter deceptionem circa figuras factam: non enim cõprehendit tunc uiſus ſitus partium illarum ſuperficierum ad inuicem, qui ſitus eſſicit figuram: unde cum certitudinaliter cõprehenditur figura, certitudinaliter comprehenditur corporeitas: & cum comprehenditur figura indiſcinctè, comprehenditur etiam corporeitas indiſtinctè. Et hoc accidit in omnibus modis, quibus error accidit in uiſionibus figurarum, Et quia ſitus eſt cauſſa figurarum, ideo etiam errores acciden page 161 tes ſitui, accidunt & corporeitati: quia enim corporeitas includitur ſub figura & ſitu, ideo errorem corporeitatis gerit error in ſe ſitus & figuræ.

99. Diftinctio uiſibilium comprehenditur à uiſu ex diſtinctione formarum ipſarum uiſibilium in diuerſis ſuperſiciei uiſus partibus impreſſarum. Alhazen 46 n 2.

Diſtinctio, quę eſt inter quęlibet duo corpora, aut eſt exluce: aut ex colore actum lucidi habente: aut ex obſcuritate: hęc enim ſunt principium diſtinctionis formarum in ſuperficie uiſus: quoniam hæc per ſe perueniunt in partem ſuperficiei uiſus. Quandoq autem lux & coloruel obſcuritas ſunt in ipſis formis, quę diſtinguuntur: quandoq uerò lux & color uel obſcuritas diſtinguentia formas in ipſa ſuperficie uiſus, ſunt in corporibus medijs ſecundum ſitum diſtinguentibus corpora, quorum formę diſtinguuntur in uiſu: & tunc ſi uiſus non ſen ſerit quòd lux, color aut obſcuritas, quę eſt in loco diſtinctionis, non eſt in corpore continuato cum utroq corporum, quę ſunt in eius lateribus: tunc non ſentiet diſtinctionem duorum corporum. Et etiam quandoq fit diſtinctio uiſibilium ex hoc, quia non eſt poſsibile plura uiſibilia æ qualiter uideri per 49 th.3 huius. Aut enim ſu perficies cuiuslibet illorum corporum eſt obliqua ad ſuperficiem uiſus in loco diſtin ctionis, & eſt in æ qualis obliquitatis: aut unius ipſorum forma eſt uiſui obliquè, alterius uerò forma eſt uiſui directè oppoſita, maniſeſtior uiſui quàm alia, quæ eſt uiſui obliquè oppoſita, uel quę ſibi opponitur plus obliquè: & ſecundum hoc comprehendet uiſus diſtinctionem uiſibilium formarum: ſiue ipſorum diſtinctio ſecundum ſpatium interiacens ſit ampla ſiue ſtricta, dum tamen ſit ſenſibilis, reſpectu remotionis corporum uiſorum & reſpectu quantitatis corporũ diſtinctorum: quia fortè quandoque diſtinctio formarum eſt quantitatis unius capilli: & illud diminutum non affert diſtantiam ſenſibilem in uiſu. Patet ergo propoſitum.

100. Continuitas uiſibilium comprehenditur à uiſu ex diſtantiæ priuatione. Alhazen 47 n 2.

Cum enim uiſus non ſenſeritin corpore aliquam diſtantiam, comprehendet ipſum eſſe continuum: & ſi in corpore fuerit diſtantia occulta non comprehenſa à uiſu: comprehendet uiſus illud corpus eſſe continuum, & diſcernet inter continuationem & continuationem ex com prehenſione aggregationis duorum terminorum duorum corporum. Si ergo ſentiẽs non ſenſerit, quòd utrũq duorum corporum contiguorum eſt diuerſum ab altero & diſtinctum ab eo: tunc non ſentiet contiguationem, ſed indicabit eſſe inter illa uiſa perfectam continuationem & totius ſuperficiei uiſæ perſectam unitatem, quæ eſt continuitas. Patet ergo propoſitum.

101. Numerus comprehenditur à uiſu per hoc, quòd unum uiſibilium comprehenditur ab al terodiſtinctum. Alhazen 48 n 2.

Quando enim uiſus comprehendit in una hora multa uiſibilia in ſimul diſtincta, & illorum diſtinctionem, comprehendet quòd quodlibet ipſorum eſt ab altero diuiſum. Comprehendit ergo multitudinem: & tunc uirtus diſtinctiua comprehendet numerum ex multitudine ill orum, & ſi eſt par uel impar, & medietatem paris numeri & quamlibet ipſorũ unitatem: & per hũc modũ omniũ rerum uiſarum numerum comprehendit & mathematicum & naturalem. Patet ergo propoſitum.

102. Omnis forma uiſibus obliquè incidens ſemper apparet ultra locum formæ directè incidentis. Ex quo patet quòdformæ ambobus uiſibus ſecundum æqualitatem angulorum obliquius incidentes plurimum à ſe diſtant.

Quod hic proponitur, ſatis patet. Quando enim linea radialis ſuperficiei uiſus obliquè incidit: tunc ipſa per 47 th. 2 huius refringitur à ſuperficie oculi, & ad concauum nerui peruenit plus obliquè: quoniam tunc ſecundum angulum incidentiæ formatur quantitas anguli refractionis per 36 th. 3 huius. Palàm ergo quoniam illa linea obliquè ſuperficiei ipſius uiſus incidens, propter ſuæ incidentiæ obliquitatem & anguli acuitatem facit angulum ſuæ refractionis acutum: unde tunc linea refractionis interſecat lineam directè incidentem, & à ſuperficie oculi æ qualiter refractam: & ſic forma obliqua uidetur ultra formam rectè uiſam. Et ſi ambę formę obliquè incidant ſecundum eundem ſuę obliquitatis modum, ita, ut utrobique ſit ęqualitas angulorum incidentię & refractionis: tunc forma oculo dextro incidens, ſecans lineam, per quam directè incidens ad medium punctum concauitatis nerui perueniſſet, ſit ſiniſtra ab illa, & ſorma oculo ſiniſtro obliquè incidens, reſpectu illius medij puncti concauitatis nerui, fit dextra: & ſic quandoq acciditillas formas à ſe plu rimum diſtare. Et quoniam quęlibet ipſarum offertur uirtuti ſenſitiuæ, quoniam ſecundum luces & colores, quę ſunt in ipſa forma, quę eſt extra, depingitur ipſa forma in ſuperficie organi membri ſentientis in duobus locis ſecundum numerum oculorum, quibus incidit, & à quorum ſuperficie refringitur: forma uerò directè in cidens ad unum ſecundum omnes eius partes ordinatur locum conſimiliter, ut patet per 37 th. 3 huius. Forma ergo obliquè incidens ſemper apparet ultra locum formæ dirctè incidentis. Patet ergo propoſitum, & eius corollarium.

page 162

103. Omne uiſum, quod directè opponitur medio unius uiſus, & in reſpectu ad reliquum niſum eſt obliquum: ſemper uidetur duo. Alhazen 13 n 3.

Nam formapuncti, quæ directè incidit medio alterius uiſuum, per uenit ad punctum mediũ coa cauitatis nerui, ur patet per 29 th. 3 huius, quoniam forma illius puncti incidit uiſui ſecundũ axem pyramidis radialis: ſorma uerò puncti obliquè incidentis in medio ſuperficiei alterius uiſus uenit ad punctum

Fig. 511

e f a b
aliud quàm ad medium punctũ concauitatis ipſius nerui, ſecundau obliquationem puncti ſuperficiei uiſus: & ſic non concurrunt illę formę in eodẽ pũcto medio con cauitatis nerui. Verbi gratia, ſint centra duorum uiſuum a & b: ſit linea e f quoddam uiſum directè oppoſitũ centro uiſus a: ſit autem ipſa linea e f obliquè oppoſita uiſui, cuius centrum eſt punctum b. Quia ergo forma lineæ e f directè peruenit ad medium cõcauitatis nerui communis per 29 th. 3 huius: palàm quòd forma eius circa illum punctum medium concauitatis nerui ſecũdum omnes ſitus ſuarum partium ordinatur per 37 th. 3 huius. Quia uerò forma eiuſdem lineę e f tota obliquè in cidit ſuperſiciei uiſus b: palàm per ea, quæ declarata ſunt in 37 th. 3 huius. quòd forma eius non peruenit ad punctũ medium concauitatis nerui, ſed ad aliquod ipſius punctum aliud: non ſuperponetur ergo priori formę, ſed remanebit diſtincta ab illa. Apparebunt ergo duę formę, quoniam in duobus locis ipſius membri ſentientis offertur forma ipſius uiſibilis ipſi uirtuti ſentiẽti: & ſic iudicat illas eſſe duas, & nõ unã. Patet ergo ꝓpoſitũ.

104. Omnis forma rei uiſæ intra axes radiales conſtitutæ, obliquè ambobus uiſibus occurrit: unde ſemper uidetur duo. Alhazen 11 n 3.

Verbi gratia, ſint centra duorũ uiſuũ a & b: & concurrant axes uiſuales in puncto c: ſitq́ axis cõmunis d c: & ſit res intra axes uiſa, quę e. Dico, quòd forma rei uiſę, quę eſte, ſemper obliquè occurrit ambobus uiſibus: unde ſem per uidebitur eſſe duę. Quòd autẽ obliquè ſemper incidat ambobus uiſibus, patet: cũ enim à puncto c du

Fig. 512

c e e e a d b
cta ſit linea c a perpendiculariter ſuper centrum foraminis uueæ o culi, cuius centrum eſt punctum a, ut patet per 24 th. 3 huius, & cũ linea c b ducta ſit perpendiculariter ſuper centrum foraminis uueæ o culi, suius centrũ eſt punctum b: palàm per 13 p 11 quoniam ab aliquo puncto ſuperficiei rei uiſę, quę eſt e, a d dicta centra foraminum peropendiculares aliæ duci non poſſunt: omnes ergo lineæ à ſuperficie corporis e ad ſup erficiem uiſuum productę, ſunt obliquę per 24 th. 3 huius: non ergo propter reſractionem concurrent in puncto medio concauitatis nerui, ſed ultra, & plurimùm à ſe diſtabũt per 102 huius. Videbuntur ergo ſemper dua per pręcedentem. Cum itaq axes duarum pyramidum uiſualium concurrant in aliquo puncto rei uiſę, & duo alij radij obliqui comperehendand aliud uiſum propin quius duobus ui ſibus aut remotius intra axes: tunc poſitio eius apud duos uiſus erit diuerſa in parte: nam illud uiſum erit dextrũ uni axium uiſualiũ, & ſiniſtrum alteri ipſorũ: radij quoq exeuntes ab ipſa re taliter uiſa ad alterũ uiſum, erũt dexcri ab axe, & ad reliquũ uiſum exeuntes, erũt ſiniſtri ab illius axe: & ſic poſitio eius apud duos uiſus erit diuerſa in parte: & forma unius uiſi incidit duobus uiſibus in duobus locis diuerſè poſitis, & peruenit ad loca diuerſa concauitatis communis nerui à duobus lateribus ſui puncti medij, & partes illius formę non ſuperponuntur ſibi: erunt ergo duæ formæ. Et ita ſemper forma rei taliter ad uiſum diſpoſitę uidentur duę formæ, & res ipſa uiſa uidetur ſemper duo. Quod eſt propoſitum.

105. Lineæ rectæ uicinæ uiſibus in ſuperficie axis communis erectæ ſuper trigonum axiũ radialium puncto coniunctionis incidente, ſolum illud punctum uidebitur unum: omnia uerò alia dictæ lineæ punct a uidebuntur duo, & æqualiter à puncto coniunctionis declinantia, ac ſi duæ lineæ ſeinterſecent in puncto coniunctionis.

Sit centrum uiſus ſiniſtri punctum a, dextri uerò punctum b: & ſit linea recta h z: quæ ſecundum medium pũctum naſi ambobus uiſibus interpoſita extendatur taliter, ut in aliquo pũcto ſuo ſignato, quod ſit q, concurrant axes uiſuales: erit ergo q punctum coniũctionis amborum axium uiſualium. Et quoniam ipſum punctum eſt in linea h z, quę ſic extenditur inter ambos axes radiales: tunc palàm eſt, quòd ipſa eſt in ſuperficie, in qua eſt axis communis, erecta ſuper baſim trigoni b q a per 33 th. 3 huius. Dico ergo, quòd ubicunque punctus coniunctionis, qui eſt q lineæ h z, obliquè incidit uiſibus, hoc eſt ambobus axibus b q, & a q, uel eorum alteri, angulosrectos non continentibus cum linea h z, ſolus punctus q uidebitur unus, ut eſt: quoniam forma eius ſolius perambos axes radiales peruenit ad medium punctum concauitatis nerui: & ſic forma una uidetur rei page 163 unius, ut hoc patere poteſt per 46 & 47 th. 3 huius: reliqua uerò puncta omnia lineæ h z uidenturęqualiter à puncto coniunctionis declinantia, ac ſi duæ lineæ ſe interſecent in puncto cõiunctionis quod eſt q: quia radij diuerſi ab illis punctis perueni.

Fig. 513

c c z d d q q a h b
entes ad ambos uiſus & ſiniſtrantur & dextrantur. Omnes enim radij exeuntes ab alijs pũctis lineæ h q ad uiſum dextrum ex parte axis h q, fiunt ſiniſtri ab axe a q, & peruenientes ad ſiniſtrum uiſum ex parte axis h q, fiunt dextri ab axe b q: perueniunt enim ad ſuperficiem uiſus ex una parte ſemidiametri ſoraminis, quæ à centro uueæ reſpicit axem communem: & radij peruenientes à punctis lineæ q z, ad uiſum dextrum, fiunt item ſiniſtri ab axe aq, & peruenientes ad uiſum ſiniſtrum, fiunt dextri: perueniunt enim utrique radij ad ſuperficiem uiſus ex parte ſemidiame tri cum priori ſemidiametro, diametrum totam illius foraminis uueæ complente. Et quoniam ambo oculi ſunt in omnibus diſpoſitionibus ęquales per 4 th. 3 huius: palàm, quòd anguli utriuſq axium & iſtarum ſemidiametrorum ſunt æ quales circa centrum utriuſque circuli foraminis. Anguli quoq c q z, & d q z, propter eadem ſunt æ quales. Ducta itaq linea à puncto z æ quidiſtante lineæ a b per 31 p 1, quæ ſit c z d: producatur linea a q in punctum d, & linea b q in punctum c: patet, quòd ſecundum illas lineas fit uiſio illarum formarum. Quoniam enim anguli, ſecundum quos fit obliquatio uiſionis, qui ſunt c q z, & d q z ſunt æ quales: ergo ք 13. 15. & 14 p 1 lineæ uiſuales, quę, exẽpli cauſſa, ſint lineę b q, & q c, cõiunctæ ſunt linea una: & ſimiliter eſt de lineis a q, & q d. videtur aũt linea una radialis duæ lineę propter diuerſitatem incidentiæ formę illius puncti ambobus uiſibus, quæ obliquatio fit quaſi per modum duarum linearum ſeſecantium circa punctum q: forma enim ſecundum axes radiales uiſtbus incidens ad medium punctum concauitatis nerui pertingit, & formæ obliquè incidentes, circa ipſum ſe ſecantes figurátur. Remotiones enim duarum quarumlibet linearum radialium ab aliquo puncto lineæ h z ad ambos axes peruenientium, ſemper erunt in duabus partibus diuerſis: quapro pter duæ formæ cuiuslibet puncti eius incident duobus punctis concauitatis nerui communis à duobus lateribus pũcti medij, ut oſtẽdimus in præmiſsis. Pater ergo propoſitum. Patet etiam quòd mutato pũcto coniunctionis, linearum interſectarum quantitas mutatur: ſempertamen ex utraq: parte ſectionis partes linearum ſuntæ quales: & ſecundum approxiamationem ad uiſus anguli medij, ut ſunt a q b, & c q d fiunt maiores, & ſecundum elongationem à uiſu fiunt minores, quouſq cir ca axes radiales pyramides deſcribuntur, quarum baſis eſt tota ſuperficies reiuiſæ: & horum probatio experimentalis accidit, ſi uiſibus modo dicto diſpoſitis unusipſorum claudatur, alterq́ue apertus reſeruerur, ſic uices mutando quantùm placet.

106. Si à puncto coniunctionis linea inter duas perpendiculares productas à terminis lineæ connectentis centra uiſuum, eidem æ qualis & æ quidiſtans fuerit producta: forma cuiuslibet punctiproductæ lineæ aut rei ſuper ipſam exiſtentis, & formarei exiſtentis ſuper alteram perpendicularium in puncto propinquo prædictæ lineæ, uidebitur tant ùm una: exiſtentis autem in eadem perpendiculari remotæ à producta linea uidebitur ſemper duæ.

Fig. 514

d c f r t q k b a

Sint centra duotum uiſuũ a & b: linea ergo connectens centra eſt a b: & ab illius terminis erigantur perpendiculares a c & b d per 11 p 1: & ſit punctus coniunctionis q: erunt ergo axes uiſuales a q & b q: à punctus. uerò q per 31 p 1 ducatur linea k q t æ quidiſitás lineæ a b. Di co, quòd forma cuiuslibet puncti lineæ k t, aut rei ſuper ipſam exiſtentis, ſemper uidebitur una: & ſi in aliqua perpendicularium a c & b d, in puncto propinquo lineæ k t, utin puncto r, ſit res uiſa: adhuc uidebitur eius ſorma una. Quod ſi fuerit in puncto ualde remoto, ut in puncto f, tunc uidebitur una res ibi exiſtens eſſe duæ. Ducantur enim à puncto b lineæ b k, b r, b f. Palàm ergo per 47 & 19 p 1, quoniam linea b k eſt maior quàm linea b t: ſed linea k q eſt æ qualis lineæ q t ex hypotheſi: ergo per 35 th. 1 huius angulus t b q eſt maiorangulo q b k: eſt enim in trigono orthogonio, quod eſt t b k producta linea b q ab angulo t b k: ergo proportio anguli q b k ad angulũ t b q minor, quã partis baſis, quæ eſt q k, ad p artem baſis, quæ eſt q t: ſed partes illę baſis ad inuicẽ ſunt ęquales: ergo angulus t b q eſt maior angulo q b k per 10 p 5: ſed ք 4 p 1 angulus t b q eſt ęqualis angulo k a q:angulus ergo k a q eſt maior angulo k b q: ergo ք argumentũ 1 petitionis factę in prin page 164 cipijs primi libri huius remotio lineæ a k ab axe a q eſt maior quá remotio lineæ b k ab axe b q. Differentia tamen inter has duas remotiones eſt modica: quoniam differẽtia inter duos augulos k a q, & k b q eſt modica. Forma ergo puncti k non multum obliquabitur ab axibus uiſualibus, qui ſunt b q, & a q. Non ergo uidebitur illius puncti k forma niſi una, quoniam forma eius non multùm elon gatur à puncto medio cócauitatis nerui. Et quoniá corpore aliquo exiſtente in pũctor, patet, quòd radij exeuntes ad ipſum, ſunt b r & a r: & quia etiam duo anguli r a q & r b q nõ multũ differunt, quo niam angulus k b r, qui eſt illorum angulorum differentia, ut patet, non habet ſenſibilẽ quantitatẽ, quando punctus r fuerit ual de propinquus puncto k: forma ergo puncti r adhuc non uidebitur niſi una, Siuerò corpus aliquod, cuius ſorma ſe offert uiſui, exiſtat in aliquo puncto lineę perpendicularis ſuper ſuperficiem uiſus, quæ eſta c, remoto ualde à puncto k, ut eſt punctum ſ: tunc quia anguli f b q & f a q ſunt diuerſi maxiama diuerſitate, ideo, quòd angulus f b k, qui eſt illorum angulorum differentia, eſt ſenſibilis quantitatis: tunc corpus, quod eſt apud punctum f, uidebitur duo, quando duo axes concurrunt in puncto q: forma enim puncti fobliquè incidit ſuperficiei uiſus b: unde nõ peruenit ad medium punctum concauitatis nerui, ut patet per 102 huius, ſed apparet ultra illud: ſic ergo numeratur forma illius punctif. Exhocitaq patet, quòd uiſum, in quo concurrunt duo axes, ſemper uidetur unum, ſicut etiam patuit per 46 th. 3 huius, & quòd unumquodq uiſorum, in quo concurrunt radij conſimilis poſitionis, inter quos non eſt magna diſtantia ab ambobus axibus, uidetur etiam unum: illud uerò uiſum, in quo concurrunt radij multùm diſtantes ab axibus, uidetur duo: propterea quòd ipſum uni uiſuũ incidit directè & alteri ualde obliquè:uel ſi ambobus uiſibus incidit obliquè, & una illarum obliquitatum eſt ſenſibiliter maior quá altera. Videtur ergo talis res duæ per 104 huius. Patet ergo propoſitum.

107. Puncto coniunctionis cadente in angulũ trigoni, cui ſubtenſa baſis ſit æqualis line æ connectenti centra oculorum, ſecundum terminos ſuæ baſis applicati centris amborum uiſnum: quodlibet duorum laterum trigoni duas formas uiſuirepræſentat.

Sint centra amborum uiſuum a & b: ſitq́ trigonum a b q applicatum uiſibus taliter ut proponitur: uel ſit ita, ut trigoni a b q baſis a b ſit baſsior centris oculorum, in

Fig. 515

q b h a
cidantq́ axes uiſuales in punctum q, qui ſit punctus coniunctionis: & axis communis ſit h q. Dico quòd laterum trigoni, quæ ſunt a q & b q, unumquodq duas formas uidenti præſentabit. Quoniam enim utraque formarum linearum a q & b q, utriq uiſui ſe offert directè & obli què, ut linea dextra, quæ eſt a q, dextro uiſui (qui eſt a) ſe offert directè, quoniam omnes radij à quolibet ſuorum punctorũ exeuntes inciduntin cẽtrum foraminis uueæ per 24 th. 3 huius: & linea ſiniſtra, quę eſt b q, incidit obliquè uiſui dextro, qui eſt a: & ecõuerſo linea b q ſiniſtro uiſui (qui eſt b) directè incidit, & linea a q eidem uiſui ſiniſtro, qui eſt b, incidit obliquè, ut hęc omnia patent per 24 th. 3 huius. Forma itaque obliquè incidens dextro uiſui declinat ultra latus ſiniſtrum, cuius ipſa eſt forma, & fit ſiniſtra ab axe: & forma obliquè incidens ſiniſtro uiſui, declinat ad latus dextrum, cuius ipſa eſt forma, & ſit dextra ab axe: eruntq́ laterum trigoni omnia puncta in apparentia uiſuum duplicata: præter ſolum punctum q, qui eſt punctus coniunctionis: & eſt ratio huius apparitionis eadẽ illi in præcedenti theoremate declarata. Patet ergo propoſitum.

108. Vnam rem nonnunquam uideri duas experiment aliter declaratur. Alhazen 12 n 3.

Aſſumatur tabula lignea planarum ſuperficierum, cuius lineæ longitudinis æ quidiſtantes & æquales ſint a c, & b d: & ſint unius cubiti: latitudinis uerò ipſius lineæ æ quales & ęquidiftãtes: ſintq́: a b, & c d: & ſint quatuor digitorum, orthogonaliter ſuper lineas longitudinis erectę: ducanturq́ue duæ diagonij, quæ ſint a d, & b c, ſecantes ſe in puncto q: & à puncto q, quod per 40 th. 1 huius eſt medius punctus ſuperficiei totius tabulæ a b c d, ducatur ad utrum que latus longitudinis linea ęquidiſtans lineis latitudinis per 31 p 1, quæ ſit k q t: & ab eodem puncto q ducatur linea h q z æ quidiſtans lineis longitudinis a c, & b d: & intingantur omnes iſtę lineę b c, a d, t k, h z tincturis lucidis di uerſorum colorum, ut bene appareant: ſed ramen duę diagonij, quæ ſunt a d, & b c, ſint unius coloris: & ſuper punctum h interiorem terminum lineæ z h in medio latitudinis ipſius tabulæ cauetur tabula quaſi pyramidaliter, ut ibi poſsit intrare cornu naſi: ita ut cum tabula ſuperponitur ſuperiori parti ipſius naſi, tangant duo anguli tabulæ ferè duo media ſuperficierum duorum uiſuum: & ſit hæc concauitas m h n. Fiant itaque de cera tria corpuſcula columnaria, & ſint diuerſorum colorum: quæ ſint e, g, p: & erigantur iſtæ columnæ ſuper ſuperficiem tabulæ in linea k q t, ita, quòd corpus g ſit ſuք punctũ q, & corpus p ſuper punctũ k, & corpus e ſuper punctũ t: & applicẽtur illa corpora fir miter ipſi tabulę, ita quòd nõ cadãt, & tũc applicetur tabula uiſib. ut ſuprà pręmiſsũ eſt. Deinde experimẽtator inſpiciat forti intuitu corpus g, q eſt in pũcto q medio pũcto tabulę: tũc ergo duo axes amborũ uiſuũ cõcurrent in aliquo pũcto ſuքſiciei corporis g, & ſuքponentur dua bus diagonijs tabulę, quę ſunt b q, & a q, aut erunt æ quidiſtátes illis, & axis cõmunis ſuperponetur lineæ h q. Et ſi in page 163 hac diſpoſitione intueantur ambo uiſus omnia, quæ ſunt in ſuperficie tabulæ & corpora & lineasinuenietur forma uniuſcuiuſq corporũ, quę ſunt e, g, p, forma una, & tota forma lineæ k q t erit una:

Fig. 516

d z e s f r f q k e g p l h b n m x
linea uerò h z extenſa in longitudine tabulæ apparebit lineæ duæ, ſecantes ſe ſuper punctum q, uel ſu per quodcunq aliud punctũ cõcurrant radij uiſua les: & etiam quælibet duarũ diagoniorũ, quę ſunt b c & a d, apparebit duplicata, ita ut uideátur quatuor diagonij: angulus uerò a q b apparebit amplior quá ſit ſecundum ueritatem. Et ſi alter uiſuũ claudatur, uidebũtur duę tantũ diagnoij: & diagonius remota à medio ſequetur uiſum coopertum. Ex quo patet, quòd duæ diagonij, quę uidentur re motæ, ſunt illę, quarũ utraq uidetur uiſu obliquo: & propter hoc cõprehenditur per radios remotos ab axe dextros & ſiniſtros: unde inſtituũtur in cõcauitate nerui cõmunis ab inuicẽ remotæ: infigun tur enim in duabus partib, contrarijs reſpectu pun cti medij nerui cõmunis, & in partib. remotis ab il lo pũcto: unde illæ duę diagonij habent duas formas propinquas ſibi, & duas remotas à ſeinuicẽ. Deinde experimentator figat axes uiſuales ſuper aliquod corporum, quę ſunt e & p, quę ſunt ſuper pũcta t & k extrema lineę t q k: tunc enim apparebũt omnia numero, quo prius. Quòd ſi corpora e & p auſerantur à locis ſuis, & ponátur in linea h z ęquidiſtanter à pũcto q:& ſit corpus e uicinius uiſibus in puncto l circa pũctum q: & corpus p ſitremotius à uiſu in pũcto s, ultra punctum q, & applicata tabula ipſis uiſibus, ſigantur axes uiſuales ſuper corpus g, quod eſt in puncto q medio: tunc unũquodq corporum e & p apparebit duo, & appa rebũt ambo illa corpora, quatuor corpora obliquè à medio corpore g, duo ſcilicet in dextro, & duo in ſiniſtro: & uidebuntur ſuper duas lineas, quãuis ſecũdum ueritatem ſint ſuper lineã unam, & apparebũt quęlibet duo illorum quatuor eorporum ſuper alterã ill arum duarum linearum. Idẽ quoq: accidit ſi corpora e & p ponantur ſuper alterá duarũ diagoniorũ ſecundũ omnem modum, quo po ſita fuerint ſuper lineá h z: taliter ut æ quidiſtent corporig, & unũ ſit propin quius uiſui quã alterũ: quia tunc utraq diagoniorum apparebit duę: unde ſuper utramq linearũ, quę ſunt unius diagonij, duo apparebunt corpora, unũ in parte ipſius uiſus, & aliud ultra corpus g poſitũ in medio illorum duorũ corporũ. Et ſimiliter ſi corpora e & p ponantur ſuper ambas diagonios, unũ ſuper unam, & aliud ſuper aliã, & ambo in parte uiſus: tũc enim apparebũt quatuor corpora, duo ꝓpinqua, & duo remota. Deinde auferantur duo corpora e & p à tabula, & ponatur alterũ ipſorum ſuper marginem tabulæ in linea a c ultra punctum k, & tamẽ ualde uicinè illi pũcto k, & ſit ſuper punctũr: & tunc applicata tabula uiſibus, ditigantur adhuc axes ad corpus g poſitũ in medio: & tunc apparebit forma punctie tan tũ una. Quòd ſi corpus ein eadem linea a c ponatur ſuper punctũ f remotius à pũcro k, quàm ſit punctum 1: ſitq́ puncti ſ à puncto k diſtátia ſenſibilis: & ſic directis axib. uiſualibus ad cor pus g medium, apparebit forma corporis e duplicata. Idẽ quoq accidit, ſi ambo axes uiſuales ſecun dũ iſtá diſpoſitionem dirigantur ad quodcunq punctũ lineę t k: ſem per enim tũc corpus e poſitum in pũcto ſuidebitur eſſe duo. Hęc uerò, quę præmiſſa ſunt, omnia per 105 huius & propoſitiones ſequẽtes declarantur, ut patet intuẽti. Quòd ſi experimentator direxerit axes uiſuales ad punctũ aliquem tabulæ extra lineam k t: tunc ipſum corpus g, poſitũ in medio ſuperficiei tabulæ in puncto q, uidebitur duo: & ſi corpus eponatur in pũcto t, & corpus p in pũcto k: tunc trun q ip ſorũ uidebitur duo. Sed redeuntib. axibus uiſualibus ſuper punctũ q, aut ſuper aliquod punctũ lineę t k: tũc re uertetur prior diſpoſitio. Deinde accipiat experimẽtator tres ſchedulas pergameni patuas & ęqua les, & inſctibat oẽs ipſas una ſcripturptura maniſeſta ęqualis quãtitatis: & ponat unã ipſarũ in medio p̃. miſſæ tabulæ in puncto q, & alteram ipſarũ ſuper punctũ k, ſigendo cũ cera, ut ſtent erectè, & applicata tabula ipſis uiſibus, ut prius, intueatur ſchedulã poſitã ſuper punctũ q, & cõprehendet eius ſcri pturá certa cóprehenſione: & ſimiliter ſcriptureã ſchedulę poſitę in pun cto k cõprehendet: ſed nõ ita perſectè ut ſcripturã ſchedulę poſitę in puncto q, licet ſint illę ſeripturæ cóſimiles in figura, forma & quãtitate. Deinde aſſumatur tertia ſchedula, & ponatur quaſi in medio pũcto lineę e z, & manu քtracta ſecundũ rectitudinem lineę k c, teneatur ultra tabulá in ſitu & poſitione duarũ aliarum ſchedularũ: tunc enim fixis ambobus axibus uiſuum in ſchedula poſita in pũcto q, & tũc uiſa tertia ſche dula, uidebitur forma ſcripturæ ſuę dubitabilis & in diſtincta: & ſi ſchedula pũcti k depoſita ſchedulatertia ponatur penes primã, quę eſt in puncto q:tũc ambę ſchedulę cõprehendentur in ſuis ſcripturis ę qualiter diſpoſitę, n e c erit differentia ſenſibilis inter illas: & ſi tertia ſchedula moueatur pla. nè ſuք lineã q k, axibus ill orũ uiſuũ cadentib. in pũctũ q: uidebitur tũc diminui diſtinctio ſcripturæ ſchedulę motę ſecundum diſtantiam, quę ſit per motum, donec perueniat ad punctum k: & tune page 166 paulatim à puncto k extra rabulam moueatur ſecundum lineam latitudinis a k protèſam: tunc ſemper minuetur ſcripturæ diſtinctio, ita quòd tandem nulla erit diſcretio ipſius. Peractisq́ circa lin eá c d eiſdem, quæcum his ſchedulis facta ſuntcirca lineam k t, eadem tuncuiſibus apparent, quęp rius, ſeruata diſtantiæ proportione: & etiam ſi elongenturultra longitudinem tabulæ. Quæ itaq ue ex his paſsionibus ambobus uiſibus accidunt, plus accident uni uiſuum, ſi alter fuerit coopert us. Deinde aſſumatur ſchedula quatuor digitorum quadrata, in qua punctus medius ſignetur per 40 th. 1 huius, & alia ſchedula ſcribatur ſcriptura aliqua diſtincta, & erigatur hęc ſchedula ſuper line am k t, & dirigatur uiſus ad medium illius ſchedulæ: tunc enim uidebitur ſcriptura bene diſtin cta, ſed ſcriptura, quæ eſt circa medium ſchedulæ, uidebitur diſtinctior, quàm quæ in extremis. Dein de parum obliquetur ſchedula ſuper lineam t k, in puncto q: & tunc axibus uiſuum cadentibus ſuper medium punctum ſchedulæ, inuenietur ſchedula minus diſtincta quàm prius, cum ſchedula fuerit fuper lineam k t: & ſi ſchedula plus obliquabitur, indiſtinctior uidebitur ſcriptura, & quantò magis obliquabitur ſchedula, tantò magis latebit utrun que uiſum uel alterum ipſa ſcriptura. Et ſi ſche dula ſecundum alterum ſuorum extremorum ponatur in puncto q, & erigatur ſuper ſuperficiem tabulæ ſecundum lineam k q: tunc patet, quòd medietas ſchedulæ cadet extra tabulam. Viſu itaque cadente in pun ctum q, tunc uidebitur ſcriptura circa punctum q diftinctior, minus autem ſecundum partes remotiores abillo: & ſiobliquetur ſchedula ſuper lineam q k, apparebit latentior ſcriptura ſecundum quantitatem obliquationis & diſtantię à puncto q: & ſi ſchedula ponatur ſuper lineam c d, tunc uifibus directis ad medium punctum ſchedulæ, erit litera legibiliter diſtincta: & ſi obliquetur ſchcdula ſuper punctũ z: tunc erit ſcriptura latentior quàm prius. Et uniuerſaliter peracto circa lineam c d, quod prius actum eſt circa lineam t k, idem accidet in diſtinctione ſcripturæ proportionaliterilli ſpatio diſtantiæ: & etiam ſi elongetur ſchedula ultra longitudinem tabulæ. Quod autem accidit ambobus uiſibus in hac experimentatione, etiam accidit uni uiſuum, altero cooperto. Patet ergo ex his experimentationibus exemplum eorum, quę per plura theoremata proponuntur: & patet manifeſtè, quòd pluribus modis accidit unam rem uideri duas. patetergo propoſitum.

109. In uiſione diuiſionis, continuationis & numeri error accidit uirtuti diſtinctiuæ ex intemperata diſpoſitioneocto circumſtantiarum cuiuslibet rei uiſe. Alhazen 27. 38. 48. 55. 59. 64. 67. 69 n 3.

Exlucis enim debilitate error accidit in præmiſſorum uiſione: quia ſi de nocte uideatur tabula, in qua ſint linearum obſcurarum protractiones, uidens illas putabit fortè diuiſiones eſſe uel ſciſſuras: & ita continuum etiam putabitur diuiſum, & partes eiuſdem continui plura putabuntur ut diuiſa, cum ta men tabula ſit continua & tantùm una. Similiter exiſtente uiſu in ſorti luce reflexa, ſi ipſi uiſui adhibeantur corpora modicùm diſtantia, apparebunt continua & unum, propter rexflexio nem lucis factæ ab illis corporibus, quę non permittit eorum diſtantiam diſcerni. Ex intemperatata etiam diftantia fit error in præmiſſorum uiſione. Pariete enim aliquo à longè uiſo, ſi in parte eius fuerit color tenebroſus: ſortè putabitur facta eſſe diuifio illius parietis ſecundum ſpatium illius coloris. Similiter etiá ſi propc parieté illum creſcat altitudo herbarum, ut cóſueuitin talibus creſcere hedera: uidebitur fortè paries ſecundum hederæſpatium diuiſus. Et fimiliter luce ſolis ſuper uiſum album partietem ſplendente, ſi ſortis umbra aliqua lu cem parietis diuiſerit, æſtimabitur paries diuiſus: & ita his modis omnibus & etiam pluribus alijs hoc poteſt accidere, ut continuum æſtimetur diuiſum: & ex conſequenti unum plura. Sed & quandoq ipſa ſecundum ueritatem diuifa æſtimantur continua, & plura ęſtimantur unum. Corpora enim à longè uiſa in colore ſimilia, & adinuicem propinqua, creuntur continua, & propter hoc tabulę parietis uel ſcamni apparent quandoq continuę, cũ modica diuiſione ab inuicem ſunt diuiſæ: & ſic diuiſa æſtimantur propter remotionẽ à uiſu eſſe continua, & plura ęſtimantur unũ. Exinordinato etiam ſitu oppoſitionis oritur error in pręmiſſorum uiſione: ſi enim alicuius corporis magna fuerit à uiſu obliquatio, in quo ſuerint pũcta ſen ſibilia nigra uel ualde tenebroſa: illa quædá diuiſiones putabuntur, & inter partes illis punctis con ſines, iudicabitur diuiſio & pluralitas, licet in eis ſit cótinuitatis unio: & ſi in hoc corpore ſuerint li neę tenebroſę ſenſibiles, iudicabũtur partes eius cótinuales diuiſę, cũ ſint cótinuę, & plures, cũ ſint unum. Similiter eſt ex obliquatione ſitus plurium parietum ad uiſum, quorum unus eſt ordinatè poſtalium modicùm diſtans ab illo, ita quòd uno aſpectu uideri ualeant, fortè occultabitur uidenti ſpatium, quod eſt inter illos parieters, & putabuntur continui & unus, cum ſint diuerſi & plures. Qualiter autem propter ſitum eius erret in numero, ſatis patet per propoſitionem præmiſſam. Ex intemperata etiam magnitudine error accidit in uiſione pręmiſſorum: adhærente enim capillo uaſi uitreo, apparebit uitrum ſiſſum: quod ideo accidit, quia capilli paruitas non ſentitur eſſe corpus. Si enim iaceret ſuper uas uitreum calamus aut corpus aliud ſenſibile, non propter hoc ſentiretur uitrum eſſe ſiſſum. Similiter etiam accidit error in continutiata: ſi enim ſolia pergameni tenuis æqualis altitudinis, ita quòd in eadem plana ſuperſicie conſtitutam, & bene compreſſa ſint, & ui dens ignoret eſſe folia, iudicabit ipſa eſſe continua, & unam ſuperficiem ipſorum: huius autem erroris cauſſa eſt paruitas quantitatis ſpatij & aeris, ſecundum quod ſe illa folia contingunt, & ſic etiá numerus inducit errorem. Exintemperantia quoq ſoliditatis ſit error in præmiſſorum uiſione: in corpore enim magnę raritatis, utin cryſtallo pura, ſi in aliqua parte ſupficiei ſuę fuerit linea nigra, page 167 apparebit totum corpus ſiſſum ſecundũ locum, in quem cadit illa linea, & ita æſtimatur uitrũ diſcótinuum & plura: & hoc accidit propter perſpicuitatem, quæ accidit ex deſectu ſoliditatis. Et ſi duo corpora talia fuerint modicùm à ſe diſtantia, reputabuntur continua & unum. Ex intemperantia etiam raritatis accidit error in præmiſſorum uiſione idem, qui ex defectu ſoliditatis, augmentatus ta men propter exceſſum raritatis. Expaucitate etiam temporis accidit error in præmifforum uiſione. Si enim corpus, in quo ſit linea nigra, fubitò à uiſu diuertatur, putabitur illa linea eſſe partium di uiſio: & ſi corpora contigua aut ualde propin qua ſubitò uideantur, æſtimabuntur cõtinua, ſicut accidit in tabulis ſcamnorum ſubitò inſpectis, & ſit error in continuitate & numero. Ex intemperantia etiam debilitatis uiſus error accidit in uiſione præmiſſorum, & ſecundum modos temporis breuitate accidentes: quod enim ſano uiſui accidit in temporis breuitate, debili accidit in maiori tempore, & ſortè ſemper durante uiſus debilitate: & etiam ſtrabo uel debilis in uno oculo unum quandoq iudicat duo: tunc enim res uiſa habet diuer ſitatem ſitus reſpectu talium duorũ oculorum, quę diuerſitas facit ut unum uideatur duo, etiam per duos oculos ſanos & æqualis ordinationis, utſatis demonſtratum eſt ex præmiſsis. Patet ergo propoſitum.

110. Motus comprehenditur à uiſu ex comprehenſione rei mote ſecundum diuerſos ſui ſitus in inſtantibus diuerſis, inter quæ ſenſibile cadit tempus. Alhazen 49 n 2.

Quoniam enim moueri eſt aliter ſe habere nunc, quàm prius: palàm quòd facilitas huius comprehenſionis motus ſit ex comparatione rei motæ uiſæ ad aliud uiſibile quieſcens non motũ. Quãdo enim comprehenditure ſitus unius rei mobilis, reſpectu alterius rei uiſibilis, tunc etiam comprehenditur diuerſitas ſitus eius reſpectu illius uiſibilis, & tune comprehenditur motus. Semperitaq motus comprehenditur à uiſu aut ex comprehenſione diuerſitatis & mutationis ſitus rei uiſæ motæ, reſpectu alterius uiſibilis, quod eſt remotius aut propinquius uiſui, ipſo tamen uiſu in parte alte ra exiſtente in ſuo loco: aut comprehenditur motus experimentatione ſitus alicuius partis, uel par tium rei uiſę motæ, reſpe ctuillius uiſibilis non ſecun dum ſe totum modti: & hoc modo comprehendit uiſus motum circularem. Similiter etiam accidit motum à uiſu comprehendi, ſi res uiſa mota ad multa immota uiſibilia comparetur. Cum enim uiſus fuerit quietus, & res uiſa mota ad ipſum ui ſum uel à uiſu: tunc uiſus ſentiens diuerſam locationem corporis moti, ſentiet motum: aut enim mobile tunc elongabitur aut appropinquabit uiſui per motum, Et quia, ut patet per 9 huius, elongatio aut appropin quatio à uiſu ſentitur, palàm quia motus tunc ſentitur. Quòd ſi mobile mouetur tantùm circa uiſum circulariter, tunc cum ſuperſicies uiſiua oculinon ſittota ſphærica, ut patet per 4th. 3 huius, quoniam ſola ſuperficies foraminis uueæ eſt uiſiua, & non aliæ partes ſuperſiciei oculi: aliqua itaque re mota circa uiſum, neceſſariò mutabitur ſitus partis oppoſitæ uiſui, & cum illa pars rei uiſę motæ ſuerit mutata, ſentiet uiſus mutationem eius: & ſic uiſu exiſtente in ſuo loco ſentiet uiſus motum rei uiſæ. Et ſi ipſe uiſus moueatur, comprehendet tamẽ motum ſecundum quemlibet iſtorum modorum, ut cum uiſus ſentit diuerſitatem ſitus rei uiſæ motæ, ſentiẽdo quòd illa diuerſitas non eſt propter motum ipſius uiſus: ſed tamen quando ipſe uiſus & etiá res uiſa ambo mouentur, adhuc diſcernit uiſus motum: quoniam diſtinguit inter diuerſitatem uiſus, quæ accidit rei uiſæ motę propter motum ipſius rei, uel propter motum ipſius uiſus, quoniam moto uiſu ſentiuntur etiam formæ corporum exiſtentium non motæ, nec ſemper iudicat uiſus rem uiſam moueri propter ſui ipſius motum, niſi fortè perueniat in uiſum forma rei uiſæ motæ. Et quoniam motus omnis eſt in tempore, non comprehendit uiſus motum niſi in tempore: diuerſitas enim ſitus partium rei uiſę non poteſt comprehendi inſi ad minus in duobus inſtantibus: & quia inter quælibet duo inſtantia cadit tempus medium: palàm quòd inter illa duo inſtantia cadit tempus medium: & quoniam uirtus uiſiua eſt uirtus ſenſitiua, oportet tempus ab ipſa comprehenſum eſſe ſen ſibile. Et hoc proponebatur.

111. Zualit as motus comprehenditur à uiſu ex comprehenſione ſpatij, ſuper quod mouetur res ipſauiſa. Alhazen 50 n 2.

Siue enim motus ſit ſurſum uel deorſum, uel etiam ſuperipſam ſuperficiem horizontis uel æquidiſtantem illi, ſiue etiam nó ſit motus rectus, ſed ſit tortuo ſus uel circularis: ſemper qualitas motus comprehenditur à uiſu ex comprehenſione ſpatij, ſuper quod mouetur res ipſa uiſa. Qualitas enim motus recti comprehenditur ex comprehenſione ſpatij, ſuper quod mouetur res uiſa ſecundum ſe totam motu recto, & tunc uiſus certiſicat qualitatẽ motus per certificationem figuræ ſpatij directi, ſuper quod fit motus in ſuperficie horizontis, autin ſuperficie æquidiſtante ei, aut in linea perpen diculari uel obliqua ſuper ſuperficiem horizontis. Similiter quoque qualitas aliorum motuum us tortuoſi & circularis comprehenditur à uiſu ex comprehenſione ſpatij tortuoſi uel etiam circularis, in ſuperficie horizontis, aut æ quidiſtante ipſi, aut erecta ſuper ipſam: motum enim compoſitum excirculari & recto uiſus comprehendet ex comprehenſione ſpatij tortuoſi, ſuper quod fit mo tus. Comprehendit etiam uiſus diuerſitatem & æqualitatem motuum ſecundum uelocitatem & tarditatem ex comprehenſione ſpatiorum, ſuper quæ mouentur uiſibilia mota, & cognitione temporis, in quo ſiunt illi motus. Cum enim uiſus ſentit quòd unum ſpatium pertranſitum ab uno mobili in aliquo tempore, eſt maius alio ſpatio pertranſito ab alio mobli in eodem tempore: uel cum uiſus ſenſerit æqualitatem duorum ſpatiorum cum inæ qualitate temporum duorum motnũ: page 168 tunc enim ſtatim auxilio uirtutis animæ diſtinctiuę & cognoſcitiuę ſentiet uelocitatẽ unius mobilis ſuper alterum & duorum motuũ inę qualitatem. Patet ergo propoſitum.

112. Zuies comprehenditur à uiſu ex comprehenſione rei uiſæ in eodem loco & ſitu tempore ſenſibili permanente. Alhazen 52 n 2.

Cum enim uiſus compreh enderit rem uiſam in eodem loco, & ſecundum eundem ſitum in duobus inſtantibus diuerſis, inter quæ cadit medium tempus ſenſibile: tunc comprehendet rem in illo tempore non fuiſſe motam per 110 huius: quoniam ſi illa res in illo tempore fuit mota mutatus eſt ſitus eius: comprehẽdet ergo illam rem quieſcentem. Comprehenditur aũt ſitus rei uiſæ quieſcẽtis non mutatus reſpectu alterius rei uel aliarum rerum uiſarum, & etiam reſpectu ipſius uiſus. Secundum hunc ergo modum ſit comprehenſio quietis uiſorum corporum à uiſu. Et hoc proponebatur.

113. Eſt locus, in quo oculo manente & tranſpoſita re uiſa, res ſemper æqualis apparet. Euclides 44 the. opt.

Sit res uiſa b g: & ſit centrum uiſus in puncto a: & accedant formę punctorum b & g ad uiſum a ſecundum lineas b a & g a: fiatq́ trigonum a b g, Dico, quòd eſt locus, in quo non mutato centro ui

Fig. 517

b s a d
ſus à puncto a, & tranſpoſita magnitudine b g, ſemper eiuſdẽ quantitatis uidebitur magnitudo b g. Trigono enim a b g circunſcribatur circulus per 5 p 4: & ſuper punctum g terminum lineę a g cõſtiotuatur angulus æqualis angulo a g b ք 23 p 1, qui ſit a g d. & producta linea g d ad peripheriá circuli copulentur lineæ a b & a d: erit q́ per 26 p 3 arcus ad ęqualis arcui b a: ergo per 29 p 3 eſt chorda a b ęqualis chordę a d: & arcus g d, qui eſt. reſiduus ſemicirculi, eſt ęqualis arcui b g: chorda quo q g d erit ęqualis chordæ b g per 29 p 3: ergo per 8 p 1, uel per 27 p 3 erit angulus b a g æqualis angulo d a g, quoniam illi anguli cadunt in æquales arcus, qui ſunt d g & b g. Quia itaq lineæ b g & d g ęquales ſub æ qualibus angulis, qui ſunt d a g & b a g, hinc & inde uidentur: palàm quoniam illæ lineę ęquales uiſui apparent per 20 huius. Patet ergo propoſitum. Idẽ quo q contingeret, ſi cen tro oculi in centro circuli manente ſixo, res uiſa ſuք circuli peripheriã moueatur: tunc enim uiſibili tranſmutato res uiſa ſemper uidebitur ęqualis uiſui nó tranſinutato: quoniam ſub eodẽ ſemper angulo uidebitur, ut poteſt patere ſecundum præmiſſum modum. Patet ergo propoſitum.

114. Eſt locus, in quo oculo trãſmutato re uiſa non mota, ſem per res uiſa æqualis apparet. Euclides 45 th. opt.

Fig. 518

z d e b g

Sitres uiſa b g: & ſit oculus in puncto z dato in aere, ut contingit: & ducantur à terminis rei uiſæ lineæ b z & g z: & cirumſcribatur trigono b z g, circulus per 5 p 4, ut in præmiſſa: ſitq́ ille circulus z d g b: & mutetur centrum oculi à puncto z in punctum d: & ducantur lineę b d & g d: eritq́ per 27 p 3 angulus b z g ęqualis angulo b d g: ergo per 20 huius in utroq ſitu magnitudo b g ſemper uidebitur æqualis. Idem quoq accidit uiſui per omnia pũcta arcus b z g tranſmutato. Ethoc eſt propoſitum.

115. Zuantitas erecta ſuper aliquam planam ſuperficiem, in qua ſit centrum uiſus, mota ſe
Fig. 519

a e b g
cundum circuli peripheriam pro centro habentis centrum oculi, ſemper æqualis uidetur. Idem́ accidit ſecundum lineam à centro circulirerectam centrooculi ſuper circuli ſuperficiem eleuato. Eucli des 41. 42 th. opt.

Eſto a b aliqua magnitudo uiſa erecta ſuper quamcunq ſuperficiẽ planam datam: in qua ſit centrum uiſus, quod ſit g: & ducatur ab alte ro terminorum rei uiſæ ad centrum uiſus linea g b: & ſecundũ quantitatem lineę g b, centro exiſtente in puncto g, deſcribatur circulus. Dico, quòd ſi ſuper illius circuli peripheriam moueatur magnitudo erecta, quę eſt a b, quòd ſemper uidebitur ęqualis oculo ipſo in puncto g exiſtente. Quia enim linea a b eſt erecta ſuper ſuperficiem, palá per definitionẽ, quia ſemper facit angulum a b g rectũ, & ſemper angulũ ęqualem cũ linea g b, utcunque contingit, ducta linea a b: ſed & linea g b ſemper eſtæqualis ſibijpſi, cum ſit diameter circuli, & linea a b ſemper eſt æqualis ſib jpſi: ducatur itaque linea a g: palamq́ue quòd per totam circuli peripheriam angulus a g b eſt æqualis ſibijpſi: ergo per 20 huius magnitudo a b ſemper uidebitur æqualis: quod eſt primum propoſitorum. Ducatur itaque linea g e à centro oculi erecta ſuper ſuperficiem circuli: erit ergo page 169 linea g e æquidiſtans line æ a b per 6 p 11, & centrum uiſus eleuetur ſuper ſuperficiem circuli ſecundum aliquod punctum lineæ g e, quod ſit e, in quo figatur uiſus. Dico, quòd adhuc magnitudo a b mota ſuper circuli peripheriam æquidiſtanter lineæ g e, ſemper uidebitur æ qualis. Productis enim lineis a e & b e: patet per 4 p 1 quoniam angulus a e b ſemper eſt æqualis ſibijpſi. Cum enim an gulus b g e ſit ſemper æqualis ſibiipſi, erit baſis b e ſibijpſi ſemper æqualis, & angulus e b g æqualis ſibijpſi: ergo etiá angulus a e b eſt ſemper æqualis ſibijpſi: ergo & baſis a e, & angulus a e b erit ſemper æqualis ſibijpſi: ergo per 20 huius linea a b ſemper uidebitur æqualis ſibijpſi: patet ergo ſecundum propoſitorum. Et hoc eſt totum, quod proponebatur.

116. Zuantitas obliquè incidens ſuperficiei planæ, in qua eſt centrum uiſus, uniformiter mota ſecundum circuli peripheriam, cuius centrum eſt centrum uiſus, ſemper æqualis uidebitur: ipſa uerò exiſtente æquali ſemidiametro illius circuli, mota quo ſecundum ſui ſitus æquidiſtantiam per illius circuli peripheriam quando æqualis, quando minor, quando maior uiſui apparebit. Euclides 43 th. opt.

Sit circulus a d: cuius centrum ſit punctum e: & in eius peripheria ſumatur punctum d: ſit quoq linea d z obliquè incidens ſuperſiciei circuli: & ſit centrum oculi in puncto e centro circuli. Dico, quò d ſi linea d z in circuli peripheria tranſponatur uniſormiter, ita ut cum ſemidiametris illius circuli ſemper æqualem contineat angulum, quòd ipſa ſemper æqualis apparet: hoc autẽ poteſt euinci per 4 p 1, ut in præcedente: eſt enim angulus d e z ſemper æqualis ſibijpſi: ergo & res ſemper uid etur æqualis per 20 huius. Et hoc eſt propoſitum primum. Rurſum ſit centrum uiſus in puncto e centro circuli a d, cuius ſuperſiciei obliquè incidat linea d z, quæ ſit æqualis ſemidiametro d e: moueaturq́ per circuli illius peripheriam ſecundũ ſui primi ſitus æquidiſtantiam, ſitq́ exempli cauſſa

Fig. 520

z b g z a i e d
angulus z d e acutus. Dico, quòd aliquando apparebitlinea mota, quæ d z, æqualis ſuæ propriæ quantitati, utpote ſemidiamtro circuli, aliquãdo maior, aliquando minor. Ducatur enim à centro circuli e linea e g æquidiſtans lineæ d z per 31 p 1, quæ fiat æqualis eidem per 3 p 1: ducatur quoq à puncto g perpendicularis ſuper circuli ſuperficiem per 11 p 11, quæ ſit g i: & ducatur à centro circuli linea e i: quæ producatur ad peripheriam circuli in pũctum a: & à puncto a ducatur linea æquidiſtans lineæ e g per 31 p 1, quę ſit a b: quæ reſectur per 3 p 1 æqualis lineæ d z: eritq́ linea a b æquidiſtans etiá lineæ d z per 30 p 1 uel per 9 p 11. Et quoniam linea g e, ut patet exhypotheſi, eſt obliqua ſuper ſuperficiem circuli a d, & à pũcto g in aere dato ad ſubſtratam planam ſuperficiem incidit linea g i perpendiculariter, & linea g e obliquè: tunc patet per 39 th. 1 huius, quòniam angulus g ea minimus eſt omnium angulorũ ſub illa linea obliqua g e, & quacunq linea in ſubſtrata ſuperficie circuli a d protracta contento: & omnis angulus illi propin quior eſt minor remotiore: & duo anguli ex utra q parte illi æqualiter approximantes ſunt inter ſe æqua les. Dico itaq, quoniam linea a b omnium linearum æqualium lineæ d z tranſpoſitarum ſecundum peripheriam circuli minima apparebit. Ducantur enim lineæ g z, g b, e b, e z, e d. Quia itaq linea g e eſt æ quidiſtás lineæ a b & æqualis ut patet per 34 p 1, quoniã linea g b eſt æqualis lineæ e a & æquidiſtans eidem: ſunt ergo duæ ſuperficies parallelogrammæ, quæ e g b a & e d z g. Quia uerò angulus g e a eſt acutus, ut pateter ex præmiſsis, propter obliquationem lineæ g e ſuper ſuperficiẽ circuli a d: erit ergo angulus g e d obtuſus per 13 p 1: quoniam enim, ut patet per 39 th. 1 huius, angulus g e a eſt minimus omnium angulorum contentorum ſub quacunq linea in ſuperficie circuli ducta ad punctum e, & ſub linea g e: eſt ergo angulus g e a minor quàm angulus g e d: ſed cũ linea e z ſit diagonius parallelogrammi e d z g: palàm quòd angulus d e z eſt medietas g e d anguli ք 4 p 1: & ſimiliter angulus b e a eſt medietas anguli g e a: angulus itaq d e z eſt maior angulo b e a. Ergo per 20 huius quantitás lineæ b a ininor uidebitur quàm quantitas lineæ z d. Et per præmiſſa cum angulus g e a ſit minimus omnium angulorum, qui cõtinentur ſub linea g e & aliqua linea in ſuperficie circuli a d producta: palàm quia medietas anguli g e a erit minor medietate cuiuslibet aliorum angulorum. Quantitas ergo lineæ a b uidebitur omnium aliarum ſibi æqualium quantitate minima. Et quoniam angulus z e d eſt maximus omnium illorum aliorum angulorum: uidebitur ergo quantitas z d maxima: mediæ uerò modo medio uidebuntur, & quantitates in circuli peripheria æ qualiter diſtantes ab utraq quantitatũ, quæ a b & d z, ad inuicé uidebũtur ęquales. Et hoc eſt propoſitũ.

117. Re uiſa ſuper ſuperſiciem planam erecta ſixta manente, & centro oculi ſecundum circuli peripheriam moto circa punctum, in quo resuiſa ſuperſiciei coniungitur: res ſemper æqualis uiſui apparebit: quod non accidit centro uiſus moto ſuper peripheriam oxygonie ſectionis.

page 170

Sit a b magnitudo erecta ſuper ſuperficiem planam, tangens ipſam in puncto b:ſit q́, centrũ ocu

Fig. 521

a g b d
li in puncto g in eadem ſuperficie: & centro quidem exiſtente puncto b, ſecundum ſpatium b g lineæ deſcirbatur circulus, qui ſit g d. Dico, quòd ſi tranſponatur centrum oculi à puncto g, ſuper totam circuli g d peripheriá: apparebit uiſui linea a b ſemper ęqualis. Quoniam enim angulus a b g eſt ſemper rectus per definitionem lineæ ſuper ſuperficiẽ erectæ: palàm quia omnes anguli a g b per 4 p 1 ſunt ubiq æquales: ergo per 20 huius res uiſa, quæ a b, ſemper uidebitur æqualis. Ethoc eſt propoſitum primum. Non accidit autem hoc cen tro uiſus moto ſuper peripheriam oxygoniæ ſectionis: quoniá tunc quantitas rei apparet inæ qualis, quę ſuper ipſius ſectionis punctum medium eſt erecta: quoniam ſectio oxygonia habet ſemidiametros in æquales, & omnes lineæ à centro uſq ad circumſerentiam ductæ ſunt inæquales: appropinquantes enim ſemidiametro maiori ſunt maiores, & approximátes ſemidiametro minori ſunt minores: contrarium ergo neceſſariò accidit ei, quod oculo moto ſecundum circuli peripheriam accidebat: quod patet per 7 & per 20 huius. Patet ergo totum, quod proponebatur.

118. Re uiſa ſix a manente, oculo uerò moto ſecundum lineam rectam obliquè incidentẽ quantitatirei uiſæ: illa quãtitas quando æqualis, quando inæqualis uiſui apparet. Euclides 46 th. opt.

Sitres uiſa, quæ a b: & ſit centrum uiſus punctum e: incidatq́ linea e g obliquè lineæ a b: producatur enim linea a b in punctum g, donec concurrat cum linea e g: & item producatur linea e g in continuum & directum ultra punctum e ad punctũ d: ſitilla linea indeſinita d e g. Dico, quòd oculo tranſmutato ſecũdum lineam d g, quandoq linea a b uidetur minor: quandoq maior: quandoq æ qualis. Sumatur enim per 13 p 6 inter duas lineas b g & a g linea medio loco propotionalis, quæ ſit, exempli cauſſa, linea e g: hoc autem eſt poſibile per reſectionem lineæ d g per 3 p 1: ponaturq́ cẽtrum oculi in puncto eiproudcaturq́ linea e b. & producatur in ſuperficie trigoni b e g à puncto b linea perpendicularis ſuper lineam b a, quæ ſit b d: quæ per 14 th. 1 huius concurret cum linea e g: ideo quòd angulus e g b eſt acutus, & angulus g b d rectus: cõcurrantitaq in puncto d. Dico, quod moto uiſu pertotam lineam e d, ſemper uiſum b a inæ quale apparet. Ducantur enim lineæ a e, a d: & deſcribatur per 5 p 4 circa a e b trigonum porcio circuli, quæ ſimiliter ſit a e b. Et quoniam illud,

Fig. 522

d e t z b a g
quod ſit ex ductu lineæ b g in lineam a g, ut patet per 17 p 6 & ex præmiſsis, eſt æ quale quadrato lineæ e g: pater per 37 p 3 quoniam linea g è eſt contingens circulum b e a in puncto e. Et à termino quo q a lineæ g a ducaturlinea a z per 23 p 1 ita, ut fiat angulus g a z ęqualis angulo g d b: cadetq́ punctum z inlineam d g inter puncta e & g per 29th. 1 huius: eritq́ b a z d quadrilaterum inſcriptibile cir culo per 22 p 3: quilibet enim eius duo anguli ex aduerſo collocati ualét duos rectos: angulus enim d z a per 32 p 1 ualet angulum z g a, & angulum z a g: ſed angulus z a g, ut patet ex præmiſsis, eſt æ qualis an gulo g d b: ſed angulus d b g rectus cum angulis b d g & d g b ualet duos rectos per 32 p 1: angulus itaq d z a cum angulo d b g ualet duos rectos: ſed omnes anguli quadranguli cuiuſcunq ualẽt quatuor rectos: quia quodlibetillorum eſt diuiſibile in duos triangulos, quorum cuiuslibet anguli ualent duos rectos: ergo anguli z d b & z a b ualẽt duos rectos: eſt ergo quadrilaterum z d b a circulo inſcriptibile. Circumſcribatur ergo ei circulus per 22 p 3 & per 9 p 4: & ſit circumſcripta portio circuli, quæ ſit b d z a: ducaturq́ linea b z ſecans arcum e a in punctot: ſecabit enim ipſum ideo, quia, ut patet ex præmiſsis, punctum z cadit inter puncta e & g: & ducatur linea t a: eritq́ per 16 p 1 angulus a t b extrinſecus maior angulo a z b intrinſeco: ſed angulus a t b eſt æ qualis angulo a e b per 27 p 3, quoniam cadunt in eundem arcum, qui eſt b a, portionis circuli minoris, qui b e a: angulus itaq a e b maior eſt angulo a z b: angulus uerò a z b æqualis eſt angulo a d b per eandem 27 p 3: quoniam ambo illi anguli cadunt in eundem arcum, qui eſt a b circuli maioris, qui eſt b d z a: angulus itaq a e b maior eſt angulo a d b. Centro uerò uiſus exiſtente in puncto d, uidetur linea a b ſub angulo a d b: ipſo autem exiſtente in puncto e uidetur ſub angulo a e b: maior itaq uidebitur in puncto e, quàm in puncto d per 20 huius. Mutato ergo oculo ſecundum puncta lineæ e d, ſemper in æ qualis uidebitur magnitudo b a: quoniam ſemper minor ſe ipſa: & quantò plus accedit ad punctum d, tantò uidebitur minor: & 171 quantò plus appropinquat puncto e, tantò apparet maior: eodemq́ modo uiſu mutato ſuper puncta lineæ e g, in æqualis uidebitur linea a b, & minor quàm ſuper pũctum e: quoniam linearum ductarum per punctum aliquod lineæ e g à terminis lineæ a b, ſemper angulus erit minor angulo b e a: quoniam angulus à lineis ad circumferentiam arcus e a ductis per 21 p 1 maior erit illo conſtituto ſuper aliquod punctorum lineæ e g, per lineam trans idem punctum arcus ab altero terminorum lineæ a b productam, & per lineam à reliquo eius termino copulatam. Quilibet autem angulorum cõſtitutorum ſuper aliquod punctorũ arcus e a, per lineas à terminis lineæ a b productas eſt æqualis angulo b e a per 27 p 3: ergo per 20 huius linea a b maior uidebitur centro uiſus exiſtente in puncto e quàm ipſo exiſtente in aliquo punctorum lineæ e g. Semper quoq minor apparebit ſecundũ quod plus appropinquat puncto g: ita quòd centro uiſus exiſtente in puncto g, non uidebitur niſi unicus eius punctus, qui eſt a, ut patet per 4 huius. Maior autem ſemper apparebit ſecũdum quod appropinquat ad punctum e: ad punctum uerò z apparebit ſicut ad punctum d, æqualis ſibi: ideo quòd anguli b d a & b z a per 27 p 3, ut ſuprà patuit, ſunt æquales. Et quoniam, utiam oſtendimus, uiſu exiſtente in puncto g, non uidebitur linea a b, imò tota linea g b, niſi punctus: palàm quòd inter puncta g & z modica fit additio. Semper ergo uidebitur linea a b inæ qualis: in ęquidiſtantia uerò à punctis d & z, uidebitur etiam æqualitas propter æqualitatem angulorum proueniẽtium hinc & inde. Quòd ſi linea e g non ex parte puncti a, ſed ex parte puncti b cõcurrat cum linea a b, eadem eſt demóſtratio. Sit enim, ut fiat
Fig. 523

d e z a b g
cócurſus, ſicut prius, in puncto g: & ſit linea g e medio loco pro portionalis inter lineas a g & g b: & copulatis lineis e a & e b, trigono a e b circũſcribatur portio circuli, quæ fit, ut prius, b e a: & ducantur lineæ d b & d a: ſitq́ cẽtrum oculi ſuper punctum d: & ad punctum, in quo linea a d interſecat circumferentiam circuli b e a, qui ſit z, ducatur linea b z. Et quia aǹgulus b z a eſt maior angulo b d a per 16 p 1, & angulus b e a æ qualis eſt angulo b z a per 27 p 3, quoniam cadunt in eundem arcum a b: palàm quia angulus b e a maior eſt angulo b d a. Viſus itaq centro exiſtẽte ſuper punctum e maior apparebit linea b a per 20 huius quàm ipſo exiſtente in puncto d: in punctis uerò d & z apparebit linea a b æ qualis: & omnia alia accidũt, ut prius declaratum eſt. Patet ergo propoſitum.

119. Re uiſa fixa manente, uiſu autem moto ſecundum lineam æquidiſtantem rei uiſæ: eius quantit as quando æqualis, quando inæqualis uidetur. Euclides 47 th. opt.

Eſto uiſa magnitudo, quæ fixa & immota permanens ſit a b: diuidaturq́ per æqualia in puncto e: & erigatur ſuper ipſam perpendiculariter linea e z per 11 p 1: ſitq́ centrum oculi in puncto z: ducanturq́ lineæ z a & z b, ita ut compleatur trigonũ a z b: & deſcribatur circa a z b trigonum portio circuli a z b per 5 p 4: ducaturq́, linea z d parallela lineæ b a per 31 p 1: moueaturq́ centrũ oculi in punctum d: & ducantur lineæ d a & d b; & ad punctum, in quo linea d b ſecat circulum, quod ſit l, ducatur linea a l. Palàm ergo per 16 p 1 quoniam angulus a l b maior eſt angulo a d b: ſed per 27 p 3 angulus a z b eſt ęqualis a l b: eſt ergo angulus a z b maior angulo a d b: maior ergo uidebitur magnitudo a b, centro oculi exiſtẽte in puncto z quàm in puncto d, ut patet per 20 huius. Et ſi linea z g ſit ęqualis lineæ z d, æqualis uidebitur linea a b in punctis d & g: hoc enim cõcluditur per 34 & 4 p 1, ductis lineis g b & g a: angulus enim b g a æqualis eſt angulo b d a: & ſimiliter patethoc in alijs punctis æqualiter diſtantibus à punctis d & g: ergo per 20 huius in talibus punctis uidebitur linea b a ſem

Fig. 524

d z y g x p l o q b e a
per ſibijpſi æ qualis. Si uerò linea z h ſit minor quàm linea z d: tunc ducátur lineæ b h & a h: & ꝓducatur linea a b ultra pũctum b ad punctum q. Quoniá itaq angulus z e b eſt rectus, pa tet per 32 p 1 quoniam angulus z b e eſt acutus: erit ergo per 13 p 1 angulus q b z obtuſus: ergo per 29 p 1 angulus h z b eſt obtuſus: ergo per 16 p 1 angulus g h b eſt obtuſus: linea ergo b g eſt maior quàm linea b h per 19 p 1. Quia uerò ք 4 p 1 & ex hypotheſi patet quòd angulus z b a eſt æ qualis angulo z a b: angulus ergo b a h eſt maior angulo h b a: ergo per 19 p 1 linea b h eſt maior quàm linea a h: ergo & linea b g eſt maior quàm linea a h. Et quoniam lineæ b g & a h ſe interſe 172 cant, ſit punctus ſectionis p. Et quoniam per 37 p 1 trigonum b g a eſt, ablato ab ambobus communi trigono b p a: remanebit trigonum b h p æ quale trigono a p g: ſed per 15 p 1 angulus a p g eſt æ qualis angulo b p h: ergo per 15 p 6 & 16 p 5 erit proportio line æ a p ad lineam b p, ſicut lineæ h p ad lineam g p: ergo per 15 p 5 erit proportio totius lineæ a h ad totam lineam b g, ſicut lineæ a p ad lineam b p: ſed linea a h eſt minor quàm lineam b g, a p eſt minor quàm linea b p: linea ergo b p eſt maior quàm linea a p. Quæ eſt ergo proportio lineæ b p ad lineam a p, eadem ſit lineæ a p ad lineam p o per 3th. 1 huius: erit ergo ex præmiſsis linea p o minor quàm linea p b: abſcindatur ergo linea p o à linea p b per 3 p 1, & ducatur linea h o. Quia itaq per 11 p 5 & ex præmiſsis eſt proportio lineæ a p ad lineam p o, ſicut lineæ h p ad lineam p g, & angulus h p o eſt æqualis angulo a p g per 15 p 1, palàm per 6 p 6 quoniam trigona h p o & g p a ſunt ad inuicem æ quiangula: eſt ergo angulus o h p æ qualis angulo a g p. Et quoniam linea h o diuidit baſim b p trigoni b h p, pater per 29 th. 1 huius quoniam ipſa linea h o diuidit etiam angulum b h p: eſt ergo angulus b h a maior angulo o h p: ergo & eius æ quali, ſcilicet angulo b g a. Quantitas ergo lineæ b a per 20 huius maior uidebitur, centro uiſus exiſtente in puncto h quàm in puncto g: minor autem quàm in puncto z. Sit enim punctus, in quo linea b h ſecat circulum b z a, punctus x: & ducatur linea a x: patet quoq per 16 p 1 & per 27 p 3 quoniá angulus b z a eſt maior angulo b h a. Et quoniam quibuſcunq punctis lineæ d z uellineæ z g datis, ſiue linea d z ſit maior quàm linea z g, ſiue minor: ſemper eodem modo poteſt demõſtrari: patet ergo propoſitum. Angulus enim b z a fit maximus omniũ illorũ angulorũ: & ei propinquiores fiunt remotioribus maiores: & æ qualiter ab illo diſtãtes fiũt æ quales: & ſecundũ illorũ angulorũ quãtitates per 20 huius mutatur quátitas rei uiſæ.

120. Sunt loca, in quibus oculo trãſpoſito, æquales magnitudines communiter loca quædam directè occupantes, quando æquales, quando inæquales apparent.

Cõmuniter dicuntur magnitudines occupare loca ſua, quãdo una applicatur alteri taliter, quòd nihil cadit medium inter ipſas, neq ſecundum rectam lineam æ qualiter utriq magnitudinũ coniunctam, neq ſecundum lineam alteri illarum magnitudinum angulariter incidẽtem. Sit itaq centrum oculi in puncto d: & ſint uiſæ magnitudines æ quales, quæ a b & b g, communiter occupantes locum b: & à puncto b ſuper ambas illas magnitudines ducatur linea perpendicularis, quæ ſit b z: ſitq́ oculus diſpoſitus in tali ſitu, ut linea z b protracta ultra punctum b, concurrat cum puncto, in quo eſt centrum uiſus. Et quoniam in quocunq puncto lineæ d z poſito centro uiſus, erunt ſemper

Fig. 525

d e e a b g a b g z i i
per 4 p 1 anguli b d g & b d a in centro uiſus æ quales: manifeſtũ ergo per 20 huius quoniã ſecundũ quemcunq punctum lineæ d z poſito centro uiſus d, ſemper magnitudines b g & a b æ quales apparebũt. Trãſ ponatur autem oculus: & ſit extra lineam d z in puncto e: dico quoniam magnitudines a b & b g in æquales apparẽt: ꝓducátur enim lineæ e a, e b, e g: & deſcribatur circa a e g trigonum circulus, qui ſit a e d g, per 5 p 4, & adijciatur line æ e b linea recta b i, attingens in parte oppoſita puncto e circumferentiá. Quia itaq arcus a z eſt æ qualis arcui z g per 33 p 6 propter rectitudinem angulorum ad punctum b, ſiue punctum ſit cẽtrum deſcripti circuli, ſiue non: ſemper enim ex hy. potheſi, & per 3 p 3 & 4 p 1 & per 28 p 3 erit arcus a i maior arcu i g. Palàm ergo item per 33 p 6, quoniam angulus a e i maior eſt angulo i e g: ſed ſub angulo a e i uidetur magnitudo a b ab oculo exiſtẽte centraliter in puncto e, & ſub angulo i e g uidetur magnitudo b g: apparet ergo a b maior quâm b g, oculo taliter diſp oſito, ut patet per 20 huius. Palàm etiam per 118 huius quòd ſi oculus tranſmutetur ſecundum lineam e i illis magnitudinibus obliquè incidentem, ſemper uiſæ magnitudines a b & b g apparent in æquales: & quantò propinquius ad punctum b, tantò apparẽt maiores per 16 p 1 & per 20 huius: quoniã ſemper angulus extrinſecus maior fit angulo intrinſeco ſibi oppoſito. Si ergo ſuper circuli circumferentiam centrum uiſus moueri intelligatur: ſemper in æquales apparent magnitudines a b & b g: & ſi oculus extra circulum ponatur nõ exiſtens in directo lineæ d z, a d huc in æqua les apparent magnitudines a b & b g. Quod eſt propoſitum.

121. Sunt loca, in quibus poſito uiſu, æquales magnitudines communiter loca quædam obliquè occupantes, quando æquales, quando inæquales apparent.

Eſto cẽtrum uiſus in puncto z: & ſint du æ magnitudines æ quales uiſæ: quæ g d & g b, quæ com. muniter locum unum occupent nullo medio corpore interpoſito: obliquè tamen coniungãtur ſecundum angulum, qui ſit d g b: hunc ergo angulũ per æqualia diuidat linea g z per 9 p 1 Dico quòd in quocunq puncto line æ z g cadat oculus, ſemper æquales uidebuntur magnitudines b g & g d. Poteſt autem hoc conuinci per 4 p 1 & per 20 huius: ſemper enim angulus g z b eſt æ qualis angulo g z d. Idem quoq accidit, ſi ſuper utranq illarum linearum b g & g d ſemicirculus deſcribatur: & à puncto ſectionis illorum ſemicirculorum, qui ſit z, ducantur lineæ z b & z d, z g: tunc enim, quia page 173 uterq angulorum b z g & d z g eritrectus per 31 p 3: pater ergo per 20 huius propoſitum. Idẽ quoq

Fig. 526

z z d b g
Fig. 527

z d z b g
accidit ſi ultra punctum ſectionis ſemicirculorum linea g z ꝓducatur: & in eius pũcto z centrũ oculi ponatur. Sed eſt etiá locus, in quo illę magnitudines datæ æquales, quæ ſunt b g & g d, uiſui in æquales apparẽt: ad quem inuenlendum, circa lineam g b ſemicirculus deſcribatur, qui ſit b z g, & circa lineam g d portio maior ſemicirculo, quæ
Fig. 528

z d b g
ſit g z d. Poſsibile quoque eſt hoc ſuper g d deſcribere portionem circuli capientem angulum dato acuto angulo æqualẽ per 33 p 3: ſed illa portio maior eſt ſemicirculo per 31 p 3: ſit ergo deſcripta, & ſit g z d: & ducantur lineæ b z & g z & d z: angulus itaq b z g eſt rectus per 31 p 3, & angulus g z d acutus per eandem 31: ſed ſub maiori angulo uiſa maiora apparent per 20 huius. Eſtitaque locus, in quo magnitudines æquales inæquales apparent: ut punctus ſectionis portionis maioris ſemicirculo conſtitutæ ſuper unam magnitudinum, & ſemicirculi ſuper alteram conſtituti. Et hoc eſt, quod proponitur.

122. Eſt locus, in quo inæquales magnitudines communiter loca quædam obliquè occupantes, quando inæquales, quando æquales apparent. Euclides 49 th opt.

Sit, ut in præcedente, centrum uiſus in puncto z: & ſint duæ magnitudines quarum maior b g, minor uerò g d, coniunctæ ſecundum angulum d g b: qui diuidatur per 9 p 1 per æ qualia, ducta li

Fig. 529

z z b g
Fig. 530

z z d b g
nea g z. Dico, quòd oculo exiſtente ſuper quodcunq pũctum lineæ z g, ſemper magni tudines b g & g d uide buntur inæquales: & b g maior, Ductis enim lineis b z & d z, an guli ad pũctum z fiunt in æquales, & maior, cui maior baſis ſubten ditur per 25 p 1. Quoniá ſi detur quod illi anguli ſint ęquales: erũt trigoni b z g & g z d ęquianguli & æquilateri, quod eſt cõtra hypotheſim: palàm ergo quòd illi anguli erunt inæquales: uidebũtur itaq per 20 huius illæ magnitudines in æquales: & maior uidebitur ipſa g b, quoniam ſub maiori angulo uidebitur. Sed & quandoq illæ magnitudines uidentur æ quales. Deſcribatur enim, ſicut in præmiſſa, circa lineam b g maiorem ipſarum portio maior ſemicirculo, quæ ſit b z g: & ducantur lineæ b z & z g: & circumſcribatur lineæ g d minori portio ſimilis portioni b z g, hoc eſt angulum æ qualem angulo b z g capiens: ſit quoq communis punctus iſtarum ſectionum punctus z: & ducantur lineæ z b, & z g, z d. Quia ita q angulus d z g eſt æ qualis angulo b z g, quoniã in ſimiles cadunt portiones. Oculi itaq centro poſito in puncto z, qui eſt punctus communis ſectionis illarum portionum, magnitudines b g & g d æ quales apparent. Quod eſt propoſitum.

123. Sunt loca, in quibus centro uiſus poſito, æquales magnitudines erectæ ſuper ſubiacẽtem planam ſuperſiciem, quando æquales, quando inæquales apparent. Euclides 48 th. opt.

Sint duæ magnitudines a b, & g d æ quales & erectæ ſuper ſubiacẽtem ipſis planam ſuperficiem: dico quòd eſt locus ubi poſito cẽtro uiſus, magnitudines a b & g d apparẽt æquales. Ducatur enim inter ipſas in ſubiecta plana ſuperſicie linea recta, quæ ſit b d: quæ diuidatur in duo æ qualia in puncto e per 10 p 1: & à puncto e protrahatur perpendiculariter linea e z ſuper lineam b d in eadem ſuperficie per 11 p 1. Dico quòd ſuper lineam è z perpendicularem ſuper lineam d b exiſtente centro uiſus, ſemper magnitudines a b, & g d æ quales apparebunt. Sit enim o culus in puncto z: & ducantur lineæ z a, z b, z g, z d. Quoniã ergo trigonorũ b e z, & d e z latus b e eſt æ quale lateri d e, & latus e z eſt commune, anguli uerò z e b, & z e d ſunt æ quales, quia recti: palàm per 4 p 1 quoniam linea z b eſt æ qualis lineæ z d: ſed & linea a b eſt ęqualis lineæ g d per hypotheſim, & anguli g d z & a b z ſunt recti per deſinitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ erit ergo per 4 p 1 linea z a æ qualis lineæ z g, page 174 & reliqui anguli reliquis angulis. Angulus ergo a z b æ qualis eſt angulo g z d: ergo per 20 huius æ.

Fig. 531

a g b e d t z a
quales apparent magnitudines a b, & g d. Dico etiam quòd quandoq inæquales apparent ipſæ magnitudines a b, & g d. Remanẽte enim præmiſſa diſpoſitione in eadem ſubſtrata ſuperſicie tranſmutetur centrum oculi extra lineam e z: & fiat in puncto i: & ducatur linea i e ad medium punctum line æ b d: & ducantur lineę i a, i b, i g, i d: eritq́ per 24 p 1 linea i b maior quã linea i d: ideo quòd angulus b e i eſt maior angulo d e i, æquis inter ſe lateribus contento: abſcin datur ergo à linea i b æ qualis lineæ i d per 3 p 1: ſitq́ linea b t æ qualis lineæ i d, & ducatur linea a t. Quia itaq per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ anguli i b a & i d g ſunt ęquales, quia recti: erit ergo per 4 p 1 angulus b t a æqualis angulo g i d: ſed angulus b t a per 16 p 1 eſt maior angulo b i a, quia eſt extrinſecus trigono a t i: angulus ergo g i d maior eſt angulo b i a: ergo per 20 huius uiſu exiſtente in puncto i, maior apparet linea d g quàm linea a b: & eodẽ modo de quolibet puncto extra lineã z e dato eſt demonſtran dum. Variantur autem magnitudines in uiſu ſecũdum approximationem uel elongationem ab altero uiſibilium. Patet ergo propoſitum.

124. Sunt loca, in quibus centro uiſus poſito, in eadem ſuperficie æqualia latera rectanguli quandoque æqualia, quando inæqualia uidentur.

Sit rectangulũ a b g d, cuius duo latera a b & g d ſint æ qualia. Dico quòd ſunt loca, in quibus cẽtro uiſus poſito, illa duo latera uidebũtur æqualia. Circumſcirbatur enim illi rectangulo per 40th. 1 huius, & per 9 p 3 circulus, in cuius alterius arcuum (qui ſunt b d & a g) quocunq puncto ponatur cétrum uiſus: ſit autẽ, exempli cauſſa, poſitus in pũcto inedio arcus b d, qui ſit o: & copulentur lineæ, quæ o a, o g, o b, o d. Quia itaq latera a b & d g ſunt æ qualia: erunt per 28 p 3 arcus a b, & d g æ quales: ergo per 27 p 3 erũt anguli a o b & g o d æ quales: ergo per 20 huius latera a b & d g uidentur æqualia uiſu exiſtente in puncto o. Similiter quoq demonſtrandũ eſt de quolibet puncto amborum arcuum b d, & a g: ſemperenim centro uiſus in quorumcunq illorũ punctorũ exiſtente, uidẽtur a b & g d magnitudines æ quales. Similiter quoq fi linea b d diui datur

Fig. 532

a g q b f d t o r p z c
per æqualia in puncto ſper 10 p 1: & in puncto f ponatur centrũ uiſus: tuncitem per 4 p 1 & 20 huius lineæ a b & g d uidebuntur æquales. Et ſi à pũcto f ducatur per 11 p 1 linea perpendicularis ſuper lineam b d, quę ſit f z, ſecans peripheriam circuli in puncto o: tunc a dhuc ſecun dum præmiſſa, in quocũq pũcto lineæ f z ponatur centrũ uiſus, ſemper per 4 p 1 & 20 huius dictę lineæ a b & g d apparebunt ęquales. Quòd ſi centrũ oculi ſit extra circulũ a b g d, ut in pũcto e, quod ſit, exẽpli cauſſa, propinquius lineæ d g, quá ipſi b a: dico quòd uidebitur linea a b maior quàm linea g d. Protrahantur enim lineæ e a, e g, e b, e d: ſecetq́ linea e a peripheriá circuli in pũcto t, & linea e g in puncto r: & copulentur lineæ b t & d r. Et quoniã, ut ſuprà patuit, lineæ a b & g d ſunt æquales ex hypotheſi: ergo per 28 p 3 erit arcus a b æquales arcui g d: erũt ergo per 27 p 3 anguli a t b & g r d æquales propter duorum arcuũ æqualitatẽ: ergo per 13 p 1 anguli b t e & d r e ſunt æquales. Quia uerò arcus b t eſt maior arcu d r, pro pter maiorẽ propinquitatẽ puncti e ad lineá d g: erit ergo per 29 p 3 latus b t maius latere r d: linea uerò e t eſt minor quàm linea r e: quod patet ex 17 p 6 & 36 p 3 protracta prius à pũcto e per 17 p 3 linea e q circulũ contingente in pũcto q. Tunc ergo, cũlinea a e ſit maior quàm linea e g ex hypotheſi: patet etiã per 8 & 10 p 5 lineam er eſſe maiorẽ linea e t. Quia ergo linea b t eſt maior quàm linea r d, & linea e t eſt minor quàm linea e r: fiat per 3 th. 1 huius, ut quæ eſt proportio lineæ b t ad lineam t e, eadẽ ſit lineæ r d ad aliquã lineam quartam: quæ neceſſario, ut patet ex præmiſsis, erit minor quá linea r e. Abſcindatur ergo ք 3 p 1 æ qualis illi à linea r e, quę ſit r p: copuletur quoq linea p d. Ergo per 6 p 6 trigona b t e & r d p æ quiangula erũt, page 175 eritq́ angulus r p d æqualis angulo b e t: ſed per 16 p 1 angulus r p d maior eſt angulo p e d: angulus ergo a e b eſt maior angulo g e d: ergo per 20 huius uidebitur linea a b maior quàm linea g d. Si autem centrum oculi conſiſtat intra circulum: tunc immutetur figura, ſitq́, ut prius, circulus à b d g d circumſcriptus rectangulo a b g d, cuius latus b d diuidatur per æqualia in puncto f: & ducatur à puncto f ad peripheriam circuli perpendicularis ſu
Fig. 533

a i g e b f d o z q s
per lineam b d: quę ſit z f: conſiſtatq́ centrum uiſus intra portionem z f d, ut in puncto o: dico quòd linea g d apparebit maior quàm linea a b. Sit enim centrum illius circuli punctũ e: ducanturq́ lineæ o a, o b, o g, o d: producaturq́ linea a o uſq in punctum circumferentiæ, quod ſit s, & linea g o uſ q in punctum q, & linea e o uſq in punctum i: & copulentur lineæ q d & g b. Cum itaq linea a s ſit maior quàm linea g q per 7 p 3: propter hoc quòd punctus o, in quo eſt centrum uiſus, datus eſt in portione z f d propinquior lineæ d g quàm lineæ a b, & propinquior puncto g  puncto a: li nea quoq a s eſt propinquior centro e quàm linea g q: eſt ergo portio circuli & arcus a s maior portione circuli & arcu q g: ſed, ut patet ex præmiſsis, arcus a b æqualis eſt arcui g d per 28 p 3 & ex hypotheſi: ablatis er go hinc & inde arcubus æqualibus, remanebit arcus b s maior arcu q d: ergo per 29 p 3 erit chorda b s maior quàm chorda q d: ſed per 7 p 3 linea o s eſt minor quàm linea o q, cum linea o s ſit propinquior diametro e i quàm linea o q, ut patet ex præmiſsis. Quoniam ergo anguli b s a & g q d per 27 p 3 ſunt æquales, quoniam cadunt in arcus æquales: in trigonis quo q b o s & d o q latus b s eſt maius latere q d, & latus q o maius latere s o, ut patet ex præmiſsis: & h æ c latera hinc & inde continent angulos æ quales: tunc per modum, quo in præmiſsis ſuperius uſi ſumus, patet quòd angulus b o s maior eſt angulo q o d: ergo per 13 p 1 angulus b o a eſt minor angulo g o d: ergo per 20 huius uidebitur linea g d maior quàm linea a b, centro oculi exiſtente in puncto o. Quod eſt propoſitum. Similiter quoq ſi centrum uiſus fuerit portione z f b, uidebitur linea a b maior quàm linea d g. Hæc ergo latera rectanguli quandoq uidentur æqualia, quandoq in æqualia in diuerſis locis centro uiſus poſito. Quod eſt propoſitum.

125. Sunt loca, in quibus oculo poſito, inæquales magnitudines in idem compoſitæ, æquales utri inæqualium apparent. Euclides 50 th. opt.

Sit duarum magnitudinum datarum b g maior, & d g minor: & circa utranq ſemicirculus deſcri batur, ut circa lineam d g ſemicirculus d z g, & circa lineam b g ſemicirculus g k b: & tertius ſemicir

Fig. 534

a k z b g d
culus deſcribatur circa totam lineam d b, qui ſit d a b. Ductis itaq lineis d a & b a, palàm quia productæ lineę ſecant minores ſemicirculos: ſecet ergo linea a b ſemicirculum g k b in puncto k, & linea d a ſem: circulum d z g in puncto z: & ducátur lineæ z g & k g. Palàm itaq per 31 p 3, quoniam anguli d z g & g k b & d a b omnes ſunt æquales: quia recti. Oculi itaq centro ſecundum puncta k, a, z tranſmutato, uidebitur linea b g æqualies lineæ g d, & linea d b æqualis alteri datarum, & linea d g æqualies a mbabus lineis d g & b g. Et idem accidit cen tro oculi ſecundum quæcunq puncta form arum ſemicirculorũ tranſmutato. Patet ergo propoſitũ.

126. Poßibile eſt inueniri loca, à quibus æqualis magnitudo apparet medietas, uelquarta pars: & uniuerſaliter in eaproportione, ſecundum quampropoſitus angulus diuidetur. Euclides 51 theo. opt.

Fig. 535

e k h a f b g

Sint duæ magnitudines a b & g b æquales: & circa a b deſcribatur ſemicirculus, qui ſit a k b: qui per 30 p 3 diuidatur per æqualia in pũcto k, ductis lineis a k & b k: palãq́ ք 31 p 3 quoniã angulus a k b eſt rectus: diuidaturq́ angulus a k b per æqualia per 9 p 1 ducta linea k ſ: quę per 33 p 6 neceſſariò erit perpendicularis ſuper diametrũ a b, & incidet centro ſemicirculi: ideo quia arcus ſemicirculi diuiſus eſt per ęqualia in puncto k: & per 33 p 3 ſupra lineam b g deſcribatur portio circuli capiens angulũ æqualẽ angulo a k f. Et quoniã angulus a k f eſt acutus. angulus enim a k b, ꝗ eſt rectus, eſt du 176 plus angulo a k f: erit ergo illa deſcripta portio maior ſemicirculo per 31 p 3, quæ ſit b e g: eritq́ angu lus a k b duplus angulo b e g: cadatq́ punctus e in medio arcus b e g. Quia itaq lineæ a b & b g uidentur directè uiſui oppoſitæ, cum uiſus centrum eſt in punctis k & e: uidebitur ergo per 20 huius linea b a in puncto k dupla lineæ b g uiſæ in puncto e. Et quoniam omnes anguli in una portione circuli ſuper arcum conſiſtentes ſunt æquales per 21 p 3, palàm quòd accidit ſimiliter ſuper omnia puncta illorum arcuum ſemicirculi ſcilicet præmiſsi, qui a k b, & portionis b e g, à quibus ductæ lineæ continent æquales angulos cũ diametro, ita ut obliquitas uiſionis hincinde ſit ſemper eadẽ. Vi ſu ita q exiſtente in puncto communis ſectionis ipſarum, qui ſit punctus h: tunc eodem intuitu uidebitur linea a b quaſi dupla lineæ b g. Et eodem modo diuerſificatur rerum æqualium apparentia, diuiſo angulo per alium numerum quemcunq. Generale enim eſt hoc, data magnitudine & angulo diuidere angulum ſecundum aliquam proportionẽ per 27 th. 1 huius, & circa magnitudinem deſcribere portionem circuli capientem angulum alicui diuidentium æqualem: & ſemper poſito centro uiſus ad illum angulum uidebitur apparentia magnitudinis uariari ſecundum illum. Hoc eſt ergo propoſitum. In hoc tamen non modicum effectum habet longitudo diſtantiæ ſecundum rectam lineam protenſæ à puncto concurſus linearum illum angulum continentium: quoniam in omnibus uiſis ex inæquali diſtantia, maior eſtproportio diſtantię maioris ad minorẽ, quàm anguli ad angulum, ut patet per 11 huius. Idem quoq accidit, ſi angulus a k b ſecundum aliam proportionẽ fuerit diuiſus, & ei æqualis in portione circuli ſuper lineam b g conſtituatur angulus: & eadem eſt demonſtratio. Patet itaq propoſitum.

127. Sunt loca, in quibus poſito uiſu, eadẽ magnitudo quandog totius ſuæ quantitatis, quando medietatis, quando quartæ, uel ſecundum datam proportionem uidetur.

Fig. 536

e d c g a b

Eſto a b magnitudo uiſa: dico quòd ipſa (tranſmutato centro uiſus ad diuerſa puncta) quandoque apparet ſuæ propriæ quantitatis, quandoq in alia quacunq proportione. Deſcribatur enim circa lineam a b circulus a e b, ita quòd linea a b non ſit diameter illius circuli: quod poteſt fieri ſumpta pro diametro circuli aliqua li nea maiore quàm ſit linea a b. Sit itaque centrum illius circuli punctum g: & ducantur lineæ a g, b g, a e, b e. Palàm ergo per 20 p 3 quoniam angulus a g b duplus eſt angulo a e b. Oculi itaque centro exiſtente in centro circuli g, linea a b apparebit duplo maior quàm appareat centro oculi exiſtente in arcu a e b per 20 huius: quoniam omnes anguli contenti ſub lineis ab iſtis punctis ad puncta a, b ductis ſunt æquales per 21 p 3: & cuilibet illorum duplus eſt angulus, quiad centrum g, per 20 p 3. Patet ergo propoſitum.

128. Oculo, ei, quod uidetur, propius accedente: uidebitur rei uiſæ quantitas augmentari. Euclides 55. theo. opt.

Fig. 537

g b d z

Sit linea uiſa b g: & ſit oculus in puncto z: ducanturq́ lineæ z b & z g: & accedat oculus propius lineæ b g: & ſit ſuper d punctum: intelligimus autem hic acceſsionem ſecundum lineam rectam perpendicularem ſuper magnitudinem uiſam. Ducantur ergo lineæ b d & g d. Et quia per 21 p 1 angulus b d g eſt maior angulo b z g: res autem ſub maiori angulo uiſa maior uidetur per 20 huius. Videbitur ergo augmentata quantitas lineæ b g, oculo ſuper d exiſtente, reſpectu eius, quod fuit, exiſtente centro uiſus in puncto z. Et hoc eſt propoſitum.

129. Augmentatæ magnitudines uidebuntur oculo appropinquare. Euclides 58 th. opt.

Sit magnitudo a b, quæ uidetur: & centrum oculi ſit in puncto g: &

Fig. 538

d a b g
ducantur lineæ g a & g b: & augmentetur b a magnitudo ita, ut fiat magnitudo b d maior quàm b a: & ducatur linea d g. Quia ergo angulus b g d maior eſt angulo b g a, ut patet per 29 th. 1 huius, quia eſt maior, ſicuttotũ ſua parte: palàm per 20 huius quoniá maior apparet ma gnitudo b d quàm b a: maiora uerò ſe ipſis prius uiſis ui dentur omnia poſtmodũ aucta: in eo uerò quòd maiora ſunt, ſub maiori angulo uidẽtur. Et quoniá tale uiſum uidetur idẽ ei, q prius uiſú eſt, & ęſtimatur ęquale ſibi ipſi: omnium aũt æqualiũ, q à ꝓpinquiori uidetur, ſub maiori angulo uidetur, ut patet per 7 huius: uirtus ergo 177 diſtinctiua animæ ſentiens angulum, ſub quo fit uiſio, augmentari, & ęſtimans rem eadem, iudicat ſe illam à propinquiori uidere. Omnes ergo auctæ magnitudines uidentur oculo appropinquare. Et hoc eſt propoſitum.

130. Omnes magnitudines in eadem ſuperficie iacentes, extremis ſuis non in directo ſuo medio existentibus, totalem ſuam figuram quando concauã, quando ueròfaciunt conuexam: Euclides 59. theo. opticorum.

Fig. 539

b g d k
Fig. 540

g d b k

Verbi gratia uideatur magnitudo g b d iacens in aliqua ſuperficie: & eius punctum medium, quod eſt b, non ſit in directo ſuorum extremorum, ſed extra illa: ſitq́ oculus in puncto k: & ducantur lineæ k g & k b & k d. Videbitur itaq tota figura g b d concaua, ſi eius medius punctus ſit remotior à uiſu. Accedat uerò medius punctus rei uiſæ, quod eſt b, àd uiſum: & fiat propinquior oculo: dico quòd uidebitur tota magnitudo conuexa: uidet enim uiſus ſimul puncta media & extrema, quorum formæ ſecundum ipſorum ſitum & diſtantiam deſcribuntur in ſuperficie uiſus: & accidit uiſui paſsio, quæ accidit ex ſuperſiciebus concauis & conuexis. Apparent ergo illa concaua & conuexa ſecundum diuerſitatem ſitus ſui puncti medij. Et hoc eſt propoſitum.

131. Omnium mobilium æqueuelocium ſecundum eandem lineã motorũ, ultra punctum cõiunctionis axium uiſualium proximum uiſui exiſtentium, remotior a uidentur tardius moueri.

Sint duo mobilia b & c, quæ moueantur æque uelociter: & ſit centrum uiſus a: & ſit, ut mobilia b & c ſint ſuper lineam a g: & ſit b remotius à uiſu quàm c. Quia ergo linea a b eſt maior quàm linea

Fig. 541

d g b b c c a
a c: palàm per 7 huius quoniam ſecund ũlineam a b ſub minori angulo fit uiſio quàm ſecundum lineam a c. Viſio ergo, quæ fit in puncto b, minus erit certa, quàm quæ fit in puncto c: & ſimiliter per eandem 7 huius ſub minori angulo uidetur ſpatium, quod in aliquo tempore pertranſit mobile b, quàm illud ſpatium, quod in eodem tempore pertranſit mobile c. Motus ergo mobilis b non comprehenditut tam perfectè, ut motus mobilis c: uidebitur ergo b tardius moueri, quia ſub minore angulo uidetur mobile b, quàm mobile c. Et ſimiliter ſpatium, quod pertranſit mobile b, ſub minori angulo uidebitur quàm ſpatium, per quod in eodem tempore tranſit mobile c. Minus ergo uidebitur ſpatium, per quod motum eſt mobile b, ſpatio, quod pertranſit mobile c per 20 huius. Et ſi h æc mobilia ambo ſint in linea obliqua ad uiſum extra axem, ut linea a d: tunc ambo minus uidebun tur moueri ſuis ueris motibus: minus autem adhuc uidebitur moueri b, quod eſt remotius à uiſu, quàm ipſum c. Quòd ſi ambobus ipſis exiſtentibus in uno axe uiſuali, & aliquod ipſorum fuerit intra con curſum axium propinquiſsimum uiſui, illud propinquius penitus obliquè uidebitur, ut per multas præcedentium patuit: unde æſtimabitur tardius moueri, licetipſum ſit propin quius uiſui. Patec ergo propoſitum.

132. Omnium mobilium æqueuelocium ſuper lineas æquidistan
Fig. 542

a d b e z
tes non proximas uiſui motorum, remotior a uidentur tardius mo ueri. Euclides 56 theo. opt.

Sint duo mobilia a & b æqueuelociter mota ſuper duas lineas æquidiſtantes & æquales, quæſint a d & b e, quarum remotior à uiſu ſit a d: ſitq́ centrum uiſus punctum z: à quo ducantur lineæ z a, z b, z d, z e. Dico quòd mobile a, quod eſt uiſui remotius, uidebitur fieri tardius quàm mobile b, quod eſt propinquius: quia per 7 & 20 huius linea a d uidebitur minor quàm linea b c, cum tamen ſint æquales. Mobile ergo a, quod in æquali tempore æquales partes lineæ a d abſcindit, uidetur tardius moueri quàm mobile b, quod in eodem tempore proportionaliter diuiſioni lineæ a d, maiores partes lineæ b e abſcindere uidetur, quamuis, ut patet ex hypotheſi, illæ partes hinc & inde ſint æquales. Apparet ergo uelocius moueri mobile b, quàm mobile a remotius uiſui. Quando enim mobile b peruenit ad punctum e: tunc mobile a peruenit ad punctum d, qui uidetur eſſe retro punctum e: & ita uidetur mobile a præpoſteratum mobili b: quia linea b e uidetur 178 maior quàm linea a d. Mobile ergo a ęſtimatur tardius moueri quàm mobile b. Quod eſt propoſitũ.

133. Oculo fixo exiſtente, & axe uiſuali æqualiter tranſmutato, remotior a uiſorum æqualiter diſtantium à priori ſitu axis, poſteriorari uidentur. Euclides 57. theo. opt.

Sint duo uiſibilia a & g exiſtentia in duabus lineis æqualibus, quęſint a b & g d: ſitq́ centrum ui

Fig. 543

b a d g e
ſus e: & ſit, ut axis uiſualis tranſeat ex puncto d ad punctum b: erit ergo punctum b remotius à uiſu, quàm ſit punctum d. Palàm itaq per 7 huius quoniam linea a b remotior à uiſu ſub minori angulo uidetur, quàm ſua æ qualis, quæ eſt g d, propinquior uiſui. Angulus ergo d e g eſt maior angulo b e a: ergo ք 20 huius linea g d uidetur maior quàm linea a b. Manente itaq oculo fixo in pũcto e, & axe uiſuali moto per ſpatium totum, in quo ſunt uiſibilia a & g, pertranſit axis propter minoritatem anguli b e a, reſpectu anguli d e g, citius uiſibile a, quàm uiſibile g. Videtur ergo uiſibile a fieri poſterius uiſibili g: quoniam uiſo g uidebitur a retrò illud. Quod eſt propoſitum.

134. Mobilium ſecundũ lineam, cui perpendiculariter inſiſtunt, æquidistantem lineæ ab oculo ductæ, æqualiter ad ductam ab oculo lineam motorum: illud, quod remotius à centro uiſus eſt, antecededere, propinquius uerò ſequi uidetur: tranſitu uerò facto ad aliam partem lineæ ab oculo ductæ, remotius quidẽ ſubſequi, propinquius uerò antecedere uidetur. Euclides 52 th. opt.

Sint æquali uelocitate mota tria mobilia, ſcilicet b g, d z, k a ſuper lineam, quæ ſit g a, cui orthogo naliter inſiſtant ſecundũ puncta g, z, a: ſitq́ mobile b g remotius à centro uiſus, quod ſit punctũ m:

Fig. 544

b g l n x d z e p r k a f s t q q m
& ſit mobile a k uiſui ꝓpinquius: ducaturq́ à uiſu à pun cto ſcilicet m per 31 p 1 linea parallela lineę g a, quæ ſit m l: & ducantur lineæ m g, m z, m a: producanturq́ lineæ k a, d z, b g ad lineá m l: incidatq́ linea k a lineæ m l in pun ctum f, & linea d z in punctũ e, & linea b g in punctũ l. Et quoniam lineæ g a & m l ſunt parallelæ: palàm per 21 huius quoniá ad partẽ l concurrere uidentur: propinquior igitur uidebitur g ad punctũ l, quàm z ad punctũ e, uel a ad punctũ f. Videtur igitur præcedens b g, ſubſequés ue rò d z, & ultimũ ipſorum k a. Protrahatur itaq linea g a ultra punctum a ad punctum q, & copuletur linea q m. Quia ergo per 16 p 1 angulus m a q eſt maior angulo m z a, & angulus m z a eſt maior angulo m g z, palàm quòd li nea m g magis approximare uidetur ad punctũ g, quàm linea m z ad punctum z, uel linea m a ad punctũ a: quoniá anguli extrinſeci maiores ſunt intrinſecis. Itaq mobile b g, quod eſt remotius, uidebitur præcedere mobilia d z & k a (accedentibus ſecundum lineam rectá, quę eſt g a, ad lineam m l æqueuelociter ipſis mobilibus k a, d z, b g) mobile uerò k a, quod eſt poſtremum, uidetur ſubſequi: quia magis uidetur à linea m l elongari. Ethoc durabit, quouſq linea g a ſuperponatur lineæ m l: tunc ſecun dum lineam rectam m l mobile k a propinquius ui ſui uidetur quàm alia, & maius per 7 & 20 huius. Facto autem tranſitu ultra lineam m l, ita ut mobilia, quæ fuerunt prius dextra uiſui, fiant ſiniſtra, uel econtrariò: tunc mobile remotius uiſui uidebitur ſequi, & propinquius præcedere propter eandem cauſſam, quam præmiſimus. Et ut hoc exemplariter pateat, ſit ut mobile b g, quod eſt remotius à centro uiſus m, pertranſita linea m l, perueniat ad locum lineæ n x, & mobile d z ad locum lineæ p r, & mobile k a, quod eſt propinquius uiſui, perueniat ad locum lineæ s t. Ducantur quoq à centro uiſus ad puncta n, p, s lineę m n, m p, m s. Videbitur ergo mobile n x ſubſequi duo alia mobilia, ideo, quòd, ſicut præmiſſum eſt, linea n x magis approximat ad punctum l, quàm linea p r ad punctum e, uel quàm linea s t ad punctũ f. Igitur mobile b g, quod fuerat prius præcedens, cum peruenerit ad lineam n x, uidebitur ſequi: & linea a k, quæ fuerat prius ſubſequẽs, ſuper lineam s t uidebitur præcedere. Et ſic iſtorum mobilium mutato ſitu, motus uidebitur diuerſus. Quod eſt propoſitum.

135. Pluribus mobilibus non æquè uelociter ad eandem partem motis, ad quam mouetur & uiſus, æqueuelocia uiſui, quieſcere: tardior a uerò cõtrà moueri: & celeriora antecedere uidebuncur. Euclides 53 th. opt.

page 179

Sint tria mobilia b, c, d: & ſit centrum oculi punctũ a: ſit autem inter hæc mobilia, b tardiſsimum, & c æqueuelox uiſui, d uerò ſit uelocius quàm c: & omnia moueantur ad eandem partem uniuerſi:

Fig. 545

d c b a
à centro quoq uiſus a ducantur lineæ a b, a c, a d. Cum itaq motus fuerit oculus a: tunc mobile c, quod eſt æqueuelox oculo, æqualiter motum eſt cum oculo: non ergo mutat ſitum reſpectu oculi: ergo per 112 huius ipſum quieſcere uidebitur. Mobile uerò b, quia eſt tardiſsimum, patet quòd mo to uiſu ipſum eſt pertranſitum per motum uelociorẽ ipſius uiſus: & quia mobile c uidetur quieſcere, & mobile b ſemper magis & magis remouetur à mobili c, propter exceſſum uelocitatis mobilis c ſuper mobile b: uidetur ergo mobile b ad partem contrariam moueri. Mobile uerò d, quia uelociſsimum eſt, præcedit mobile c, & ipſum uiſum: & ſemper fit plus di ſtans à uiſu. Videtur ergo præcedere. Patet itaq propoſitum.

136. Si aliquibus mobilibus æqueuelociter motis uiſis apparet aliquid immotum: illud uidebitur adpartem contrariam alijs mobilibus moueri. Euclides 54 theo. opt.

Sint enim duo mobilia b & d, quęmoueantur æqueuelociter ad unam partem quamcunq,: & ſit c aliquid non motum: ſitq́ centrum uiſus a: & ducantur à centro uiſus lineæ a b, a c, a d. Quia itaq mobile b mouetur ad aliquem terminum: palàm quoniam ipſum fit pro

Fig. 546

c d b a
pinquius ad illum quàm corpus c, quod non mouetur: ſed & mobile d æqueuelociter motum eſt mobili b: uidentur ergo mobilia b & d nõ mutare ſitum adinuicem: corpus uerò c mutat ſitum reſpectu illorum amborum mobilium: uidetur ergo c ad partem illis contrariam moue ri, quod patet ք 110 huius. Et hoc eſt ꝓpoſitũ. Et ex hoc apparet, quare motis uelociter nubibus luna uiſa uidetur ad partem contrariam moueri. Quia enim partes nubium æqueuelociter mouentur, ut b & d: lunæ uerò motus proprius à uiſu propter remotionẽ in paruo tempore non percipitur, ideo uidetur luna, ut mobile c, ad partem contriam moueri.

137 Puncta ſignata in re circulariter mota, uidentur circuli: & lineæ ſuperficies rotundæ.

Cum enim talia mobilia ſic ſignata mouentur circulariter, quodlibet ſuorum punctorum motu ſuo deſcribit circulum: quoniã quodlibet punctum non figitur in eodem loco tempore ſenſibili, ſed in paruo tempore circumgyrat totam circumferentiam, ſuper quam uoluitur: peruenit ergo tunc forma puncti ſignati in ſuperficiem uiſus per modum circumferentiæ circu li. Quoniam enim motus circularis eſt totus unus, non diuidens tempus: non poteſt uiſus comprehendere formam puncti ſignati niſi ſecundum circumſerentiam circuli: in minimo enim tempore comprehendit colorem illius puncti circumgyratũ: & ſi plura ſunt puncta ſecun dũ ordinem unius ſub altero ſignata, plures uidebuntur circuli ſubalternatim & ordinatè cõtenti. Ethic eſt ludus pue rorum in trochis ſuper planas ſuperficies circulariter exagitatis: quoniã quando trochus fuerit circumgyratus motu forti, & aſpexerit quis ipſum, ſi unus eſt punctus in ipſo ſignatus, uidebitur circu lus: & ſi plura ſunt pũcta ab inuicẽ diſtãtia, uidebuntur plures circuli ęquidiſtantes, & circa idẽ cen trum: & uidebit uiſus differentiã colorum cuiuslibet illorũ circulorũ. Et ſi plura puncta diuerſorũ colorũ ſibi ad inuicẽ approximantur, cóprehẽdet uiſus oẽs illorum punctorũ colores quaſi unũ colorẽ, diuerſum ab omnibus coloribus, qui ſunt in illis punctis, quaſi ſit color cõpoſitus ex omnibus coloribus illorũ punctorũ, & no cõprehendet lineationẽ neq diuerſitatẽ colorũ. Et ſi motus fuerit ualde ſortis, cõprehendet uiſus illud corpus motũ, quaſi quieſcẽs & circulariter figuratũ: ideo quòd nullũ illius corporis pũctũ figitur in loco tẽpore ſenſibili, ſed in minimo tẽpore gyratur tota circũfe rentia, ſup qua reuoluitur. Et ſimiliter mota linea uidebitur ſecũdũ lineę lõgitudinẽ latitudo cuiuſdam ſuքſiciei rotundę deſcripta in ſuperfic e ipſius uiſus: & ſi linea illa fuerit colorata: tunc propter motus uelocitatẽ, motus facit totã ſuperficiẽ rotundá apparere coloratam. Et hoc eſt propoſitum.

138. In motus & quietis uiſione error accidit uirtuti diſtinctiue ex intemperata diſpoſitione octo circumſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 28. 39. 49. 55. 60. 65. 67. 70 n 3.

Ex intemperata enim luce accidit error in uiſione motus & quietis. Si enim de nocte cõprehenderit uiſus hominẽ ante aliquod nemus, fortè occultabitur ei diſtantia hominis ad nemus. Si itaq uidens moueatur uerſus hominẽ uiſum, quantò magis ad illũ acceſſerit, tantò diſtantiá illam certius uidebit: unde cum prius ſimul unà eũ nemore appareret ei homo uiſus, & quantò ad eum plus accedit, tantò plus uidetur à nemore remotus: & certũ eſt ei nemus immotũ remanere: æſtimabit ergo hominẽ ad partem contrariã nemoris incedere, licet ueritas ſit ipſum hominem uiſum immotum & quietũ eſſe. Et etiá ſi homo de nocte uiſus non plenè cõprehenditur, qui modicũ moueatur, nõ diſcernetur motus eius, & uidebitur quieſcens: hi aũt errores non acciderent in temperata luce. page 180 Exintemperata etiam remotione error accidit in uiſione motus & quietis. Si quis enim ad partẽ, in qua lunam aut ſolem aut ſtellã aliquã uiderit, moueatur, cum poſt plurimũ motum lunã ante ſe uide rit elongatã nõ minus  in principio ſui motus, æſtimat ipſam lunã ad eandem partẽ ſecum moueri, & ab eo recedere, & ob hoc elongatiões durare: & euenit hoc etiã in luna ad partẽ contrariã properante. Acciditq́ hic errorideo, quia notũ eſt homini quòd in his naturis inferioribus exiſtentibus duobus corporibus, quorũ unum moueatur in partem aliquã, ſi tunc permanſerit identitas ſitus reſpectu alterius corporis, tunc neceſſe eſt etiã aliud corpus in eandẽ partẽ æ quali motu fuiſſe motũ: hoc tamen non oporter ſic æſtimari in luna uel ſtellis, quoniã magnitudo uiæ, quã peragit quis motu ſuo, non eſt proportionalis magnitudini corporis lunæ uel alterius ſtellæ: ergo neq exceſſus po ſtremę propin quitatis ad ſtellam ſuper primã propinquitatẽ eſt ſenſibilis, reſpectu totalis remotionis. Idem etiã error accidit in motu nubium: creditur enim uelociſsimus eſſe motus lunæ, quia partes nubiũ, per quas uidetur luna, ſubitò mutantur, & luna nunc cũ his partibus nubiũ, nunc cum illis uidetur eſſe ſita: & quia luna eſt corpus luminoſum uiſibilius quàm nubes, æſtimatur luna moue ri motu, quo ſecundũ ueritatẽ nõ mouetur. Similiter etiá accidit error in quiete: aliquis enim à longè uiſus non ueloci motu motus, quieſcere uidetur:& propter hoc planetas credimus immotos, licet uelociter moueãtur. Vię enim, quas incedunt in tẽpore paruo, nõ ſunt perceptibiles uiſui à tãta remotione: unde durante ſitu ipſorum, reſpectu uidentis identitate quieſcere putãtur. Similiter etiam accidit hic error, ſi in eadem linea uiſuali uel axe corpus aliquod uiſum uel à uiſu moueatur. Tunc enim niſi motus eius fuerit ualde fortis, putabitur immotũ: quia non percipitur an partes uel ipſum totũ ſe aliter habeat nũc  prius: uia enim, qua incedit, eſt imperceptibilis à tanta remotione. Exintemperata etiã ſitus oppoſitionis obliquitate accidit error uirtuti diſtin ctiuę in pręmiſſorũ ui ſione: unde aliquo uelociter nauigáte in flumine, & obliquè inſpiciẽte arbores in ripa fluminis: tũc arbores ab axe uiſuali multum elongatas æſtimabit moueri, illæ uerò arbores, quibus axis uiſualis incidet, quieſcere uidebuntur. Similiter rota aliqua mota, ut molendini obliquè uiſa uidetur quieſcere. Eſt autem hic error propter ſolam obliquationem ſitus rei ad uiſum, quoniá talis rota direcè intuita moueri uidetur. Exintemperata etiá magnitudine accidit error in uiſione præmiſſorum. Si enim moueantur duo, quorum unum ſit paululũ uelocius alio, putabit uidens eſſe æ qualem ipſorũ motum, cum inſenſibile ſit unius motus ſuper alium excrementum, & ſimiliter quantitas exceſſus uiæ, quam tranſit alius, imperceptibilis eſt uiſui: unde iudicatur æ qualitas motuũ & uiarum: & ſimiliter res parua mota fortè æſtimabitur non moueri, etiam ſi diſtantia à uiſu fuerit tẽperata. Ex intemperata etiam raritate accidit error in præmiſsis. Si enim in aere nubiloſo obſcuro duo corpora moueantur, quorũ unum alio paululum uelocius moueatur: iudica buntur forſitan æ quales ipſorum motus, cum propter intemperiem diaphanitatis aeris diſcerni nõ poſsit motus unius ad motũ alterius exceſſus: nec enim tunc percipitur à uiſu exceſſus uiæ pertranſitæ ab uno, à uia pertranſitæ ab alio. Similiter etiam in tali aere à longitudine media, non tamen parua, ſi quis uideat aquã fluentem, aut iudicabit eam immotá, aut ſi fuerit fortis eius fluxus, æſtimabitur minus mota quàm moneatur. Exintemperata etiam temporis diſpoſitione ſit maximus error in uiſione motus & quietis, quæ perſe tempore menſurátur. Cum enim duorũ mobilium unũ paulò uelocius alio mouebitur: tunc motus in tẽpore modico cõprehenſi æ quales iudicabuntur: quia nõ eſt tam ſubitò cóprehenſi bilis ipſorũ exceſſus: & ſi aliquid tardè moueatur, hoc in tẽpore modico inſpectũ nõ uidebitur moueri: quoniá uia, per quá mouetur in modico tẽpore, eſt imperceptibilis uiſui propter ſui paruitatẽ: ſed & uelociſsimè motum circulariter & in eodem loco manens, ut trochus, non æſtimatur moueri: locus enim trochi non mutatur, & partes uelociſsimè redeunt ad priorem ſitum. Ex intemperan tia etiam diſpoſitionis uiſus accidit error uiſioni præmiſſorum. Cum enim quis ſæpius in circuitu fuerit reuolutus, & pòſt quieſcit: tunc putat quòd uicini parietes moueantur: ideo quia ſpiritus uiſi biles interius moti diſcurrunt ex motu corporis ipſius facto, nec ſtatim quieſcente corpore exterio ri ſpiritus intrinſecus moti quieſcunt, eò quòd leuiores corpore groſſo, ſuntillo mobiliores, & mi nor uirtus animæ mouet illos, illi autem moti formas motas uirtuti diſtinctiuæ repręſentant: uiden tur ergo omnia moueri, quorum formæ motis ſpiritibus uirtuti animæ offeruntur etiam poſt quietem ipſius uidentis. Ethuius ſimile eſt etiam in alijs motis: trochus enim diu poſt quietem manus motricis mouetur, & non quieſcit, quouſq uirtus influxa ſibi deſinit mouere. Eſt etiam quædam corporis & oculorum infirmitas, in qua uidentur omnia circumuolui. Si etiam corpus ſimilium partiũ uoluatur tardè, ut accidit in quibuſdam rotis horologiorũ: tunc uiſus debilis non percipiet motũ eius, neq etiam ſanus uiſus percipiet motum parui temporis. Si uerò ſit corpus diſsimilium partium, ut in rotis molendini: tunc fortè etiam uiſus debilis comprehendet motũ, niſi ualde feſtina fuerit rotæ reuolutio: quia propter uelocitatem motus fortè diſsimilitudo partium rotæ non po terit comprehendi. Patet itaq illud, quod proponebatur.

139. Alperitas comprehenditur à uiſu ex cõprehenſione lucis ſuperficiei corporis aſperi incidentis, per quã comprehenditur diuerſitas ſituũ partium ſuperficiei corporis. Alhazen 53 n 2.

Cum aſperitas ſit diuerſitas ſitus partiũ ſuperficiei corporis, palàm per 11 th. 2 huius, quòd partes præeminentes umbram faciunt, quando luxinciderit ſuperficiei illius corporis: partes ergo præeminentes erunt manifeſtæ luci & diſcoopertæ, & in partes profundas perueniũt umbræ, permiſcen tes lucem illis partibus incidentem. Diuerſificabitur ergo forma lucis in ſuperficie illius corporis, page 181 quod non accidit in ſuperficie plana: eius enim partes ſunt conſimilis ſitus, & fit forma lucis in omnibus ſuis partibus conſimilis. Viſus itaq cognoſcit formam lucis in ſuperficiebus aſperis & planis diuerſam, propter frequentationem uiſionis ſuperficierum aſperarum & planarum: & ſecundum hoc dijudicat aſperitatem ſuperficierum uel planitiem in corporibus aſperis quibuſcũq. Sed ſi ſuperficiei aſperæ partes fuerint ualde præeminentes, poteſt etiam uiſus comprehendere præ eminentiam illarum partium ex comprehenſione diſtantiæ, quę eſt inter partes: & ſic ex comprehen ſione diuerſitatis ſitus partium ſuperficiei corporis aſperi comprehendet etiam aſperitatem illius: & erit etiam lux in illa aſperitate maximę diuerſitatis, quoniam maioribus umbris diſtinctè permiſcetur, & ex diuerſitate formæ lucis uidebitur diſtantia partium, & diuerſitas ſitus earum: & ex hoc uidebitur corporis aſperitas. Quòd ſi præeminentiæ partium ſuperficiei rei uiſæ fuerint paruæ ualde, non comprehendet uiſus illam aſperitatẽ corporis, niſi cum multa appropinquatione intuitus. Sic ergo per diuerſitatem lucis ſuperficiebus corporum aſperorum incidentis, & ex cõſequenti per eomprehenſionem diuerſitatis ſituum partium ſuperficiei corporis, aſperitas comprehenditur à ui ſu. Pater ergo propoſitum.

140. Lenitas ſiue planities comprehenditur à uiſu comprehenſione lucis ſuperficiei lenis corporis incidentis, tum etiam per ſuarum partium omnimodam æqualitatem. Alhazen 54 n 2.

Quia enim lenitas eſt æ qualitas ſitus partium ſuperficiei, patet quòd partes corporis lenis ſunt conſimilis ſitus: lux ergo illis corporibus incidens fit conſimilis & nullis umbris permixta: unde etiam corporis terſitudo ſiue politio, quæ eſt quædam lenitas uel planities, comprehenditur à uifu ex ſcintillatione lucis in ſuperficie illius corporis, & ex ſitu, ſecundum quẽ reflectitur lux ad uiſum, uel ad aliud corpus obiectum. Comprehendit etiam uiſus quandoq planitiem per intuitum diligentem, per quem comprehendit partium ſuperficiei uiſæ æqualitatem: quandoq etiam comprehendit ipſam planitiem ſuperpoſito uiſu in una parte illius ſuperficiei uiſæ: & cum formæ partium extremarũ illius ſuperficiei, quæ ſunt remotiores à uiſu, ſecundum lineas rectas perueniunt ad uiſum in ipſa ſuperficie productas: tunc uiſus ſic ipſius ſuperficiei planitiem comprehendit. Patet ergo propoſitum.

141. In aſperitatis & lenitatis uiſione error accidit uirtuti diſtinctiuæ ex intemperata diſpo ſitione octo circunſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 29. 40. 50. 56. 61. 65. 68. 71. n 3.

Ex debilitate enim lucis error accidit uniſioniaſperitatis & lenitatis: quia de nocte uiſa aſperitas fortè iudicabitur lenitas aut econuerſo, ſecundum qualitatem rei uiſæ. Et etiam cum à capillis nigris lotis fit lucis reflexio, æſtimantur illi capilli ſummè plani, cum ſint ſecundum ueritatem aſperi, eò quòd eſt in eis diuerſitas & diſtantia innumeroſa. Superflua etiam longitudo diſtantiæ errorem in gerit uiſioni aſperitatis & lenitatis: unde in pictis capillis uel pilis alicuius pictæ imaginis propter longitudinem diſtantiæ æſtimatur aſperitas: ideo quia ſenſus conſueuit accipere aſperitatem in capillis ueris: & idem accidit in rugis ueſtium depictarum, quæ propter diſtantiam uidentur replicatæ, cum ſint in una ſuperficie conſtitutæ. Similiter etiam ſi à magna diſtantia opponatur uiſui corpus, in quo eſt modica aſperitas, putabitur lenitas: quia à tali diſtantia non poteſt diſcerni diuerſitas partium aut proiectio umbrę partium eminentium ſuper depreſſas: unde iudicatur in eo lenitas. Exintemperantia etiam ſitus fit error in uiſione aſperitatis & lenitatis. Si enim à capillis depictis alicuius pictæ imaginis fiat obliqua reflexio lucis, utpote uiſu non exiſtente in loco reflexionis, fiet comprehenſio aſperitatis capillorum, cum non ſit niſi lenitas in illis:hoc autem non accideret uiſui directè lucem reflexam excipienti: quia tunc uera lenitas appareret. Cum etiam corpus aliquod, in quo eſt modica aſperitas, obliquatũ fuerit ab axe uiſuali: tunc apparebit lene: quod ſi directè uiſui opponeretur, ſua aſperitas uiſui ſe offerret. Ex intemperantia etiam magnitudinis error accidit uiſioni præ miſſorum: cum enim occurrerit uiſui res multum parua, uidebitur fortè lenitas, ubi eſt aſperitas, aut econuerſo: non enim comprehenditur præeminentia partium aliarum ſuper alias propter nimiam corporis paruitatem. Ex ſoliditatis etiam intemperantia error accidit uiſioni præmiſſorũ. Si enim in corpore multũ raro fuerit aſperitas nõ magna, putabitur fortè lenitas: & ſi totum fuerit lene, & trans ipſum uideatur corpus aſperum aut diuerſorum colorum: æſtimabitur hoc corpus, quod eſt rarum & lene, eſſe aſperum: & erit error in aſperitate & lenitate. Ex intemperantia etiam raritatis error accidit uiſioni præ miſſorum: quia in aere nubiloſo obſcuro uidebitur corpus aſperum eſſe lene, propter latentes aſperitatis cauſſas, & uiſa re polita, cum non diſcernitur reflexio ab ea, æſtimabitur fortè aſpera. Ex paruitate etiam temporis fit error in uiſione præmiſſorum: cum enim ſubitò uidetur aliquod aſperum, æſtimabitur lene, & ſi lene uiſum fuerit ſu bitò, non poterit diſcernilenitas aut aſperitas: unde ſub dubio fit error. Ex uiſus etiam debilitate fit error in uiſione præmiſſorũ: quia uiſus debilis reputabit corpus modicè aſperũ fortè lene, uel econuerſo, ſi in formis corporis aſperi & lenis fuerit diſsimilitudo. Patet ergo propoſitum.

142. Diaphanitas cõprehenditur à uiſu ex comprehenſione formæ cõrporis ultra corpus diaphanum exiſtentis. Alhazen 55 n 2.

Quòd diaphanitas comprehendatur modo propoſito, ſatis patet: dicimus enim, ut in principio 2 page 182 huius præmiſimus, illa corpora diaphana, quæ ſunt peruia uiſui ad alia corpora uideneda. Corpus itaq diaphanum perſe non uidetur, ut patet per 14 t 3 huius, niſi in ipſo ſit aliqua ſpiſitudo, reſpectu diaphanitatis aeris interiacentis uiſum, ut eſt cryſtallus & beryllus, & ſimilia denfa diaphana: ſed etiam illorum diaphanitas à uiſu non comprehenditur, niſi ex comprehenſione formæ corporis exiſtentis ultra illa uel in circuitu ipſorum, quorum luxuel color per media illa diaphana peruenit ad uiſum. Cum ergo uiſus comprehendit, quòd forma lucis uel coloris comprehenſi à ſe eſt ſolùm corporis ultra corpus diaphanum exiſtentis: tunc ſentiet diaphanitatem corporis diaphani. Quòd ſi corpus diaphanum fuerit debilis diaphanitatis, utpote maioris ſpiſsitudinis quàm alia dia phana, & corpora ultra ipſum exiſtentia fuerint debilis lucis uel coloris: tunc diaphanitas eius uix comprehenditur à uiſu, niſi apponatur forti luci: tunc enim poteſt eius diaphanitas melius compre hendi: propter applicationem autem proximam corporum ualde ſpiſſorum talibus corporibus dia phanis, ipſorum comprehenſio à uiſu, quantùm ad partem applicationis, penitus impeditur, ut patet de hyaſpide in auro. Patet ergo propoſitum.

143. Spißitudo ſiue denſitas comprehenditur à uiſuex priuatione diaphanitatis. Alhazen 56 n 2.

Cum enim uiſus comprehendit corpus aliquod, & non ſentiet in ipſo aliquam diaphanitatem, ſtatim arguet ipſius ſpiſsitudinem: quia cum ſtatim ad illud corpus terminatur operatio uiſiua, nec aliquid penetrat per illud, nec uiſus exercetur ad uidendum ultra ipſum formas aliorũ corporum: tunc iudicat uiſus ipſum eſſe ſpiſſum ſiue denſum & partium compactarum: & ſic comprehenditur ſpiſsitudo uel denſitas à uiſu ex priuatione diaphanitatis. Quod proponebatur.

144. In raritatis & ſolidit atis uiſione error accidit uirtuti diſtinctiuæ ex intemper at a diſpoſitione octo circunſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 30. 41. 50. 56. 61. 65. 68. 71 n 3.

Ex lucis enim debilitate, ut de nocte, uidebitur corporis multum rari minor eſſe raritas: quia cum trans ipſum non plena fiat comprehenſio formæ corporis ſolidi, æſtimabitur remiſsio raritatis uiam tranſitus formarum prohibere, & corpus modicè rarum etiam tunc iudicabitur ſolidum. Exintemperantia etiam remotionis fit error in uiſione præmiſſorum: cum enim circa oculum erigitur acus, aut aliquid aliud multum ſubtile, licet illud appareat uiſui maius, quàm ſit, tamen nihil occultatur ei de oppoſito pariete aut alio corpore: unde quia raritas non perpenditur, niſi quòd retro corpora rara alia corpora uidentur, ut patet per 142 huius: æſtimabitur diaphanitas eſſe in acu, aut in alio corpore, cum retro ipſum totus paries uideatur, quod tamen accidit ideo, quia remotio tam modica, reſpectu occultationis acus eſt immoderata. Similiter etiam ſi quis à longè intueatur corpus rarum, retro quod non ſit aliquod corpus coloratum aut tenebroſum, non reputabitur illud corpus rarum, ſed ſolidum: quia retro ipſum non percipitur aliud corpus: quæ eſt proprietas corporum rarorum. Exintemperata etiam ſitus diſpoſitione accidit error in prædictorũ uiſione. Si enim deſcẽderit lux declinata in uitrum plenum uino, & lateat uiſum tranſitus lucis per uitrum, & ſit magna declinatio lucis illius à radijs incidentibus, lateat quoq uidentem uinum eſſe in uaſe uitreo: tunc æſtimabitur à uidente uinum eſſe corpus ſolidum, ſcilicet uinum cum uaſe uitreo: & non accideret hic error in tranſitu lucis per uas uitreum directè oppoſitum. Ex intemperata etiam magnitudine accidit error in uiſione præmiſſorum. Si quis enim intueatur corpus ualde paruum politum, ut ab eo lux poſsit reflecti, & ſit ſimile margaritæ: iudicabit ipſum uiſus eſſe rarum cum ſit denſum: ſimiliter uiſo corpore raro multum paruo, quia poſt ipſum non fit corporis ſolidi comprehenſio, aſsimilabitur ſolido. Exintemperata etiam ſoliditate fit error in uiſione præmiſſorum. Si enim retro corpus ualde rarum ſit aliquod corpus non multum rarum & colore forti coloratum: tunc apparebit primum non multum rarum, ſed aſsimilabitur eius raritas poſterioris corporis raritati: ut uitrum alij uitro ſuperpoſitum non apparet ita rarum, ſicut apparet adhibito uiſu ſibi ſoli: unde fit error in raritate. Si autem poſt corpus rarum ponatur ualde propin què corpus ſolidum: tunc primum iudicabitur ſolidum: & fit error in ſoliditate. Si etiam uas uitreum ual de rarum contineat uinum, cum poſt illud non percipiatur lux aut corpus aliud: iudicabitur ſortè uinum ipſum cum uaſe uitreo eſſe unũ corpus ſolidum. Idem etiã accidit error in uiſione præmiſſorum ex paucitate raritatis. In aere enim nubiloſo obſcuro corpus rarum apparebit minus rarum, & fortè putabitur ſolidum: & ita fit error in ſoliditate & raritate. Ex paruitate etiam temporis fic error in uiſione præ miſſorum: luce enim declinata ſuper corpus remiſſè rarum, ipſo quoq deſcendente ſubitò per uiſum, cum non percipiatur declinatio lucis, putabitur forſitan, quod illud ſit rarú in fine raritatis, cui ſi in tempore maiori fiat intuitus, percipietur ab ipſo uiſu declinationem lucis eſſe cauſſam apparentiæ maioris raritatis in corpore remiſſè rarò. Si quis etiam inſtanter intueatur corpus rarum, & poſt ipſum non diſcernat lucis tranſitum, putabitipſum eſſe ſolidum. Debilitas etiam uiſus errorem inuehit uiſioni præ miſſorum: cum enim fuerit in corpore raro ſoliditas pauca, æſtimabitur à uiſu debili illa ſoliditas maior quàm uera: & cum fuerit in corpore raro color fortis, aut poſt ipſum, aut raritas modica, putabitur illud corpus uiſui debili eſſe ſolidum. Patet ergo uniuerſaliter in omnibus illud, quod proponebatur.

145. Vmbra comprehenditur à uiſu ex priuatione alicuius lucis luce altera præſente. Alhazen 57 n 2.

page 183

Eſtenim umbra priuatio cuiuſdam lucis, exiſtente actu præſentia lucis alterius in loco umbroſo. Cum itaq ſenſerit uiſus corpus uicinum umbræ maioris illuminationis, & fortioris quàm corpus exiſtensin loco umbroſo:tunc ſentiet obumbrationem illius loci & priuationem lucis inciden tis corporibus uicinis ipſi. Cum itaq uiſus ſenſerit aliquam lucem in aliquo loco, qui careat luce ſolis prima, quæ proijcitur ſecundum directionem radiorum, percipiet tamen ſecundam, quæ fit ex diffuſione lucis primæ: ut cum in domum unicam habentem feneſtram radius ſolis incidit, totam domum ſui diffuſione illuminantis: tunc uiſus extra locum radij exiſtens ſentiet obumbrationem loci, & priuationem à prima luce ſolis, quæ eſt in radio, uel ab alia luce forti: & fortè uiſus quandoque ſtatim ſentiet corpus umbroſum, quandoq non niſi per diligentem intuitionem, & quandoq uidebit umbram multiplicatam ſecundum diuerſarum lucium priuationem, ſemper aliqua luce remanente, ex cuius actualitate uiſus poſsit ſuam actionem ad alia exercere. Vniuerſaliter itaq ſecun dum omnes modos umbrarum, quos præmiſimus, poſſunt uideri umbræ. Et hoc eſt propoſitum.

146. Obſcuritas comprehenditur à uiſu ex omnimoda priuatione lucis. Alhazen 58 n 2.

Cum uiſus comprehendit aliquem locum & nullam lucem in illo: tunc ſentiet eius obſcuritatẽ, licet fortè illa obſcuritas ab umbris cauſſetur, ut in carcere tetro de die propter umbras denſorum parietum uidetur obſcuritas: & nox obſcura eſt ex umbra terræ. Eſt ergo obſcuritas umbra magna, cuius terminus ad aliquid lucidum pertingere non ſentitur: ſicut etiam umbra eſt obſcuritas parua habens aliquem actum lucis, & ad aliquod lucidum terminata. Patet ergo propoſitum.

147. In umbræ & obſcuritatis uiſione error accidit uirtuti diſtinctiuæ ex intemper at a diſpo ſitione octo circumſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 31. 42. 50. 56. 62. 65. 68. 71 n 3.

Ex intemperata lucis diſpoſitione error accidit in uiſione umbræ & obſcuritatis. Si enim in pariete albo fuerint partes obſcuræ, & cadat ſuper parietem album lux candelæ:poteſt accidere quòd uidens illam obſcuritatem, iudicabit ipſam eſſe umbram, & forſan uidebitur quod procedat apparens umbra à pariete uicino. Et ſi fuerit in parte parietis nigredo multùm intenſa, æſtimabitur fortè uacuitas foraminis præbens iter egredientibus tenebris: & ſi tota ſuperficies parietis ſit denigrata intenſa nigredine, forſan totus paries æſtimabitur quædam obſcuritas tenebrarum, ſicut accidit in pariete cooperto fuligine fumorum uiſo ſub debili luce. Ex ſuperfluitate etiam remotionis error accidit in uiſione umbræ & obſcuritatis. Si enima à maxima diſtantia opponatur uiſui corpus album, in quo ſit aliqua pars tenebroſa, luce ſolis ſuper corpus illud deſcendente: apparebit umbra in parte corporis tenebroſa: & ſi tunc uideatur corpus aliud iuxta illud primum: æſtimabitur quòd umbra apparens proijciatur ab illo alio corpore ſuper primum. Sic ergo propter exceſſum diſtantiæ fit error in uiſione umbræ. Si etiam à longè uideatur corpus album, in quo ſint multæ partes nigræ, æſtimabuntur fortaſsis in parte illa tenebræ credetur enim aliquod corpus album ſecundum ſui partes nigras perforatum, per quæ fiat egreſsio tenebrarum exiſtentium retro corpus album: hoc autem non accideret in temperata remotione. Exinordinatione etiam ſitus oppoſitionis accidit error in uiſione præmiſſorum, ſicut & ex intemperata remotione: corpore enim aliquo elongato, ſi fuerit in eo pars tenebroſa, putabitur fortaſsis umbra: & ſi corpus aliquod fuerit circa illud primum poſitum, æſtimabitur umbra proijci ab illo ſecundo corpore ſuper primum: & ſi in corpore illo fuerit pars multum nigra, æſtimabitur fortè in loco illo cuiuſdam foraminis perforatio, per quam egrediantur tenebræ exiſtentes retro corpus album: hoc autem non accideret in corpore approximante directioni oppoſitionis. Ex paruitate etiam quantitatis rei uiſæ accidit error in uiſione præmiſſorum. Si enim in pariete albo uiſui oppoſito fuerit punctorum non ualde nigrorum diſtinctio, adhibita luce ſolis directè in parietem cadente uel propè: æſtimabuntur à uiden te ſingula puncta illa ſingula eſſe foramina, in quibus fit umbra, cum lux non penetret ea, ſicut ſolet accidere luce ſuper ſuperficiem foraminum multorum cadente: & fit error umbræ ex ſola punctorum paruitate: quòd ſi illa puncta ſunt maximę nigritudinis, tunc æſtimabuntur eſſe foramina parua, per quæ tranſeant tenebræ: & ſic etiam ſola illorum punctorum paruitas eſt cauſſa apparitionis tenebrarum. Ex intemperata etiam ſoliditate, utpote propter defectum ſoliditatis fit error in umbræ & obſcuritatis uiſione. Luce enim ſolis in domum per foramen aliquod deſcendente, & ſuper feneſtram uitream cadente, ſi domus illa fuerit umbroſa: apparebit ſuper feneſtram illam umbra, licet in ueritate lux ſuper ipſam inciderit, quæ quidem lux comprehenderetur, ſi ſolidum eſſet feneſtrę corpus: quoniam tunc lux non penetraret, & ita ſuper ſolidum corpus lux apparet: fit ergo error in umbra propter defectum ſoliditatis. Similiter etiam fit error in uiſione tenebrarum ſiue obſcuritatis ex indiſpoſitione ſoliditatis: quia luce ſolis in aquam fluminis directè non deſcendente aut in mare, ſicut accidit in hora matuatina & ueſpertina, ſi fuerit magna claritas in a qua, apparebit tenebroſa, & quantò fuerit clarior, tantò apparebit tenebroſior: & accidit hoc, quoniá pars aquæ ſuperior umbram proijcit ſuper proximam partem aquę inferiorem, & illa proxima ſuper aliam proximam inferiorem, & ita per ſingulas partes ſemper ſuperior proijcit umbram ſuper inferiorem uſq ad fundum aquæ: & licet ſingularum partium umbra in ſe ſit modica, plures tamen umbræ coniunctæ unam faciunt maximam umbram, ſicut palàm eſt in colore uini accidere. In modica enim quantitate uini color eſt debilis, & in multa quantitate uini licet totum uinum ſit homo page 184 geneum in ſubſtantia & colore, fit fortior idem color. Cauſſa autem, quare in mari umbra ſuis partibus ſuperioribus ſuper inferiores iacentibus, uideantur eſſe tenebræ in maris claritate, hæc eſt: quoniam intenſa ipſius clarltas eſt ſignum intenſæ raritatis, quæ formis uiſibilibus maiorem concedit penetrationem:unde fit maior diffuſio formarum plurium maris partium umbram facien tium, quarum umbrarum aggre gatarum perceptio inducit ſimilitudinem tenebrarum. Si uerò mare fuerit turbulentum, propter diminutam raritatem penetrabunt formæ partium paucæ peruenientes ad uiſum, & comprehendetur modica aquæ pars, quę licet faciat umbrã, tamen cum ipſa ſit modica, erit umbra remiſſa, & uincet color illius partis umbram. In turbida enim aqua aliquis color partium aquæ apparet, & in clara nullus: unde & propter apparentiorem turbidum colorem, & propter umbræ partis apparentis remiſsionem non comprehenduntur in aqua tenebræ: & inde cum fuerit turbida, apparebit colorata, & cum eſt clara, apparebit tenebroſa. Solis autem radio cadente directè ſuper maris ſuperficiem, cum ei propter raritatem eius pateat tranſitus, abijciuntur omnes tenebrę & umbræ apparentia. Ex defectu itaq ſoliditatis cauſſantur & umbra & tenebræ: quia per corpus perfectè ſolidum non fit tranſitus luminis, & per corpus perfectæ raritatis fiet tran ſitus luminis ſine umbra. Ex intemperantia etiam raritatis accidit error in uiſione præ miſſorum. Si ultra aerem nubiloſum uel tenebroſum, utin crepuſculis, uideatur corpus album, in quo ſint par ticulæ rotundę nigræ: tunc luce ignis in corpus illud cadente, ita ut non mutetur tota diſpoſitio aeris illius, apparebit in locis illis umbra, aut fortè reputabuntur foramina præſtantia uiam tenebris, quæ ſunt retro illud corpus ad uiſum pertingentes: ſic ergo propter corporis intemperatam raritatem accidet error in uiſione umbrę & obſcuritatis. Ex paruitate etiã temporis accidit error in uiſione præmiſſorum. Si enim in albo pariete ſint partes ſubnigræ, deſcendente ſuper ipſum parietem luce ignis: illæ partes nigræ ſubitò uiſæ putabuntur eſſe umbræ. Si uerò nigredo illarum partium fuerit intenſa, tunc æſtimabuntur foramina tenebris plena. Ex uiſus etiam debilitate error accidit uiſioni præmiſſorum. In pariete enim albo maculæ ſubnigrę, deſcendente luce ſuper ipſas, apparent debili uiſui eſſe umbræ: & ſi fuerint multum nigræ, apparebunt eſſe foramina, per quæ tenebræ exlocis, quæ ſunt retro illum album parietem, perueniant ad uiſum. In omnibus ergo præmiſſis octo uiſibilium circumſtantijs patet quod proponebatur.

148. Pulchritudo comprehenditur à uiſu ex comprehenſione ſimplici formarum uiſibilium placentium animæ, uel coniunctione plurium uiſibilium intentionum, habentium ad inuicem proportionem debitam formæ uiſæ. Alhazen 59 n 2.

Fit enim placentia animæ, quæ pulchritudo dicitur, quandoq ex comprehenſione ſimplici uiſibilium formarum, ut patet per omnes ſpecies uiſibilium diſcurrendo: ut enim exemplariter dicamus, & alia per hoc accipiantur: lux, quæ eſt primum uiſibile, facit pulchritudinem: unde uidentur pulchra ſol & luna & ſtellæ propter lucem ſolam. Color etiam facit pulchritudinem, ſicut color uiridis & roſeus, & alij colores ſcintillantes formam ſibi appropiati luminis uiſui diffundentes. Remotio quoq & approximatio faciunt pulchritudinem in uiſu: in quibuſdam enim formis pulchris ſunt maculæ turpes paruæ & rugoſæ, diſplicentes animæ uidenti, quæ propter remotionem latent uiſum, & forma placita animæ ex illa remotione peruenit ad uiſum. In multis quoq formis pulchris ſunt intentiones paruæ ſubtiles cooperantes pulchritudini formarum, ſicut eſt lineatio decens & ordinatio partium uenuſta, quæ tantùm in propinquitate ad uiſum apparent, & faciunt formam uiſui pulchram apparere. Magnitudo etiam facit pulchritudinem in uiſu: & propter hoc luna apparet pulchrior alijs ſtellis, quia uidetur maior, & ſtellæ maiores pulchriores mínoribus, ut maximè patet in illis ſtellis, quæ ſunt magnitudinis primæ uel ſecundæ. Situs quoq facit pulchritudinem in uiſu: quoniam plures intentiones pulchræ non uidentur pulchræ, niſi per ordinationem partium & ſituum: unde ſcriptura & pictura, omnesq́ intentiones uiſibiles ordinatæ & permutatæ non apparent pulchræ niſi percompetentem ſibi ſitum: quamuis enim figuræ literarum ſint omnes per ſe bene diſpoſitæ & pulchræ, ſi tamen una ipſarum eſt magna & alia parua, non iudicabit uiſus pulchras ſcripturas, quæ ſunt ex illis. Figura etiam facit pulcritudinem: unde artificiata bene figurata uidentur pulchra, magis autem opera naturæ: unde oculi hominis cum ſint figuræ amygdalaris & oblongæ, uidentur pulchri, rotundi uerò oculi uidentur penitus deformes. Corporeitas etiam facit pulchritudinem in uiſu: unde uidetur pulchrum corpus ſphæra & columna rotunda & bene quadratum corpus. Continuatio quoq facit pulchritudinem in uiſu: unde ſpatia uiridia continua placent uiſui, & plantæ ſpiſſæ uirides: quia quæ accedunt continuitati, ſunt pulchriores eiſdem diſperſis. Diuiſio etiam facit pulchritudinem in uiſu: unde ſtellæ ſeparatæ & diſtinctæ ſunt pulchriores ſtellis approximatis nimis ad inuicem, ut ſtellæ galaxiæ & cande læ diſtinctæ ſunt pulchriores magno adunato igne. Numerus etiam facit pulchritudinem in uiſu: & propter hoc loca cœli multarum ſtellarum diſtinctarum ſunt pulchriora locis paucarum ſtellarum, & plures candelæ ſunt pulchriores paucis. Motus quoq & quies faciunt in uiſu pulchritudinem: motus enim hominis in ſermone & ſeparatione eius facit pulchritudinem: & propter hoc apparet pulchra grauitas in loquendo & taciturnitas diſtinguens ordinatè uerba. Aſperitas etiam facit pulchritudinem: uilloſitas enim pannorum catenatorum & aliorum placet uiſui. Planities quoq uiſui pulchritudinem facit: quia planities pannorum ſericorum & ſi etiam ad politionem page 185 ſiue terſionem accedant, placet animæ & eſt pulchrum uiſui. Diaphanitas etiam facit pulchritudinem apparere: quia per ipſam uidentur de nocte res micantes, ut patet de aere ſereno, per quem in nocte uidentur ſtellæ, quod non accidit in aere condenſato propter uapores. Spiſsitudo etiam facit pulchritudinem: quoniam lux & color & figura & lineatio & omne pulchrum uiſibile comprehenduntur à uiſu propter terminationem corporum, quibus inſunt, quæ terminatio à ſpifsitudine cauſſatur. Et umbra facit apparere pulchritudinem: quoniam in multis formis uiſibilium ſunt maculæ ſubtiles reddentes ipſas turpes cum fuerint in luce, quæ in umbra uel luce debili uiſum ſunt latentes. Tortuoſitas quoq, quæ eſt in plumis auium, ut pauonum & aliarum, quia facit umbras, facit apparere pulchritudinẽ uiſui propter umbram, quæ in ſui admixtione cum lumine cauſſat uarios colores, qui tamen non apparent in umbra uel in luce debili. Obſcuritas etiam facit pulchritudinem apparere uiſui: quoniam ſtellæ non uidentur niſi in obſcuro. Similitudo etiam pulchritudinem facit: quoniam membra eiuſdem animalis, ut Socratis, non apparent pulchra, niſi quando fuerint conſimilia: unde oculi, quorum unus eſt rotundus & alter oblongus, non ſunt pulchri, uel ſi unus maior fuerit altero, uel unus niger & alter uiridis, uel ſi una gena fuerit profunda & altera prominens: erit enim tota facies non pulchra, quando eius partes congeneæ non fuerint conſimiles. Diuerſitas etiam facit pulchritudinem: quoniam diuerſæ partes uniuerſi ornant & pulchrum faciunt uniuerſum, & diuerſæ partes animalium animalia: eandem quoq manum ornat diuerſitas digitorum, omnis enim pulchritudo membrorum eſt ex diuerſitate figurarum partium ipſarum. Sic ergo pulchritudo comprehenditur à uiſu ex comprehenſione ſimplici formarum uiſibilium pla centium animæ: quæ libet tamen iſtarum uiſibilium intentionum non facit pulchritudinem in qualibet forma, in qua uenit illa intentio ad uiſum: quælibet enim figura non facit pulchritudinem in qualibet formarum, & ſimiliter de alijs omnibus intentionibus particularibus uiſibilium quorumcunq. Exconiunctione quoq plurium intentionum formarum uifibilium adinuicem, & non ſolum ex ipſis intentionibus uiſibilium fit pulchritudo in uiſu, ut colores ſcintillantes & pictura ſimiliter proportionati ſunt pulchriores coloribus & picturis carentibus ordinatione conſimili: & ſimiliter eſt in uultu humano: rotunditas enim faciei cum tenuitate & ſubtilitate coloris eſt pulchrior quàm unum ſine altero, & mediocris paruitas oris cum gracilitate labiorum proportionali eſt pulchrior paruitate oris cum groſsitudine labiorum. In multis itaq formis uiſibilium coniunctio, quæ eſt in formis diuerſis, facit modum pulchritudinis, quem non facit una illarum intentionum per ſe. Facit autem proportionalitas partium debita alicui formæ naturali uel artificiali in coniunctione intentionum ſenſibilium pulchritudinem magis, quàm aliqua intentionum particularium: omnes enim pulchritudines, quas faciunt intentiones ſenſibiles ex ipſarũ coniunctione adinuicem, conſiſtunt in proportionalitate debita formis, quas perficiunt ſub modo illius coniunctionis. Cum itaq uiſus comprehendit aliquam rem uiſam, in qua eſt aliqua intentio particularis, faciens per ſe pulchritudinem: tunc peruenit forma ill us intentionis poſt intuitum ad uirtutem ſentientem, & comprehendet uirtus diſtinctiua pulchritudinem rei uiſæ, in qua eſt illa intentio: & ſic coniunctio diuerſarum intentionum fit cauſſans pulchritudinem, cum peruenerit illa coniunctio ad ſentientem: tunc uirtus diſtinctiua comparabit illas intentiones ad inuicem, & tunc comprehendet pulchritudinem rei uiſæ compoſitæ exillarum intentionum coniunctione, quæ ſunt in ea. Et hi ſunt modi, pe nes quos accipitur à uiſu omnium formarum ſenſibilium pulchritudo: in pluribus tamen iſtorum conſuetudo facit pulchritudinem: unde unaquæq gens hominum approbat ſuæ conſuetudinis for mam, ſicutillud, quod per ſe æſtimat pulchrum in fine pulchritudinis: alios enim colores & propor tiones partium corporis humani & picturarũ approbat Maurus, & alios Danus, & inter hæc extrema & ipſis proxima Germanus approbat medios colores & corporis proceritates & mores: & ſicut unicuiq ſuus proprius mos eſt, ſic & propria æſtimatio pulchritudinis accidit unicuiq. De his ergo topicè & figuraliter ſit dictum. Et patet quod proponebatur.

149. Turpitudo comprehenditur à uiſu, cum intentiones ſenſibiles ne per ſe, ne ex coniun ctione ipſarum adinuicem aliquam pulchritudinem ſunt cauſſantes. Alhazen 60 n 2.

Turpitudo formarum eſt priuatio pulchritudinis in eis: iam autem præmiſſum eſt, quò intentiones non faciunt pulchritudinem in omnibus formis, ſed in quibuſdam tantum. Formæ itaq, in quibus non faciunt intentiones particulares aliquam pulchritudinẽ neq per ſe neq per ſuam coniunctionem, ut illa, in quibus non eſt aliqua conſueta proportionalitas inter ipſorum partes, carent omni pulchritudine: & ſic ſunt turpes: & ſi quandoq accidat in eadem forma congregari intentiones pulchras & turpes: tunc uiſus comprehendit pulchritudinem ex pulchro, & turpitudinem ex turpi, auxilio uirtutis diſtinctiuæ, quando fuerit intuens intentiones, quæ ſunt in illa forma. Patet ergo quomodo à uiſu comprehenditur turpitudo: ſed etiam in hoc plurimum coadiuuat conſuetudo, propter quam nonnunquam accidit uni uideri turpe, quod uidetur alteri perpulchrum.

150. In pulchritudinis & deformitatis uiſione uirtuti diſtinctiuæ error accidit ex intemperata diſpoſitione octo circumstantiarũ cuiuslibet reiuiſæ. Alhazen 32. 43. 51. 57. 63. 65. 68. 71 n 3.

Ex paruitate enim lucis error accidit uiſioni pulchritudinis & deformitatis: de nocte enim uidetur facies formoſa, licet in ea ſint maculæ, ſicut lentigines uel ſicut cicatrices puſtularum. Et page 186 ſi fuerintin reuiſa picturæ ſubtiles rem perfectius decorantes, cum illæ in nocte uiſum lateant, uidetur res deformis. Remotio etiam excedens modum, eſt cauſſa erroris uiſionis præmiſſorum. Cum enim à longè reſpicitur res aliqua, ſi fuerint in ea maculæ paruæ ipſam deformantes, illas ex diſtantia accidit occultari, & iudicabitur res formoſa: & ſi à magna diſtantia uideatur res, in qua ſunt picturæ minutæ, in quibus conſiftit pulchritudo illius rei, illa res iudicabitur deformis: quoniam uirtus diſtinctiua iudicat res ſecundum quod apparent. Exinordinatione etiam ſitus oppoſitionis accidit error uiſioni pręmiſſorum. Cum enim corpus aliquod remotum fuerit ab axe uiſuali, in quo ſunt maculæ minutæ deformantes rem: tunc nonnunquam maculæ illæ occultabuntur propter obliquationem reſpectu axis uiſualis: & ob hoc facies lentiginoſa obliquè uiſa uidetur pulchra: unde etiam accidit, quòd cum luna obliquè aſpicitur, latent umbroſæ maculæ ipſius, & tunc pulchrior uidetur: ſi autem in corpore aliquo uiſo fuerint picturæ ſubtiles rem decorantes, illæ picturæ obliquatæ ad uiſum, latebunt ipſum, & adiudicabitur pulchritudo deformitati. Ex paruitate ctiam magnitudinis accidit error uiſioni præmiſſorum in exemplis præmiſsis: com propter ſolam fui paruitatem aliqua minuta ipſas res uiſibiles deformantia uel decorantia non uidentur. Exdefectu etiam ſoliditatis fit error in uiſione præ miſſorum. Sienim in uafe uitreo multùm raro ſint aliquæ paruæ particulæ uel menſurationes ipſi decorem inferentes, & imponatur uaſi illi uinum turbidum & turpe uel feculentum: tunc occultabuntur illæ decoris cauſſæ, & iudicabitur uas deforme: & ſi uas tale deformant aliquæ particulæ, & imponatur ei uinum clarum lucidum coloris formoſi, placidi, occultabuntur illæ cauſſæ turpitudinis, & apparebit uas pulchrum. Ex intemperantia etiam raritatis error accidit uiſioni præmiſſorum, cum propter aerem obſcurum nubiloſum cauſſæ pulchritudinis uel deformitatis non uidentur. Extemporis quoq breuitate error accidit uiſioni præmiſſorum: quoniam in paruo tempore non ſunt comprehenſibiles minutæ cauſſæ pulchritudinis uel deformitatis: ſicut accidit cum aliquis inſpiciens per foramen uiderit aliquam faciem:tunc enim aliquando deformem iudicat eſſe pulchram, & aliquando econuerſo: & idem accidit mota re uiſa ſubitò, remanente oculo non moto. Ex uiſus etiam debilitate error accidit uiſioni præmiſſorũ: minuta enim, quæ ſunt cauſſa pulchritudinis uel deformitatis, uiſus debilis non uidet: unde modo contrario iudicat unum quodq iſtorum. Patet ergo propoſitum.

151. Conſimilitudo comprehenditur à uiſu ex conuenientia formarum comprehenſarũ ad inuicem. Alhazen 61 n 2.

Eſt enim conſimilitudo æqualitas duarum formarum aut duarum intentionum in re, in qua ſunt conſimiles. Cum itaq uiſus comprehenderit duas formas aut duas intentiones conſimiles in ſimul, comprehendet conſimilitudinem illarum ex comprehenſione cuiuslibet illarũ duarum formarum & ſuarum intentionum ex comparatione alterius illarum ad alteram. Viſus itaq comprehendet conſimilitudinem in formis & intentionibus conſimilibus ex comprehenſione cuiuslibet formarum intentionum ſecundum ſuum eſſe, & ex comprehenſione illarum ad inuicem.

152. Diuerſitas comprehenditur à uiſuex priuatione conſimilitudinis in formis ſenſibilibus comprehenſis. Alhazen 62 n 2.

Cum enim diuerſitas, ut hic accipitur, non ſit aliud, quàm differentia form arũ ſenſibilium comprehenſarum à uiſu, hæc diuerſitas comprehenditur à uiſu in formis diuerſis ex comprehenſione cuiuslibet illarum formarum diuerſarum, & ex comparatione alterius illarum ad alterã, & ex comprehenſione priuationis conſimilitudinis in eis. Diuerſitas ergo comprehenditur per ſenſum uiſus ex comprehenſione cuiuslibet formarum & intentionum per ſe, & ex comparatione ipſarum adinuicem, & ex ſenſu priuationis conſimilitudinis ab ipſo ſentiente.

153. In ſimilitudinis & diuerſitatis uiſione error accidit uirtuti diſtinctiuæ ex intemperata diſpoſitione octo circumſtantiarum cuiuslibet rei uiſæ. Alhazen 33. 44. 51. 57. 63. 65. 68. 71. n 3.

Ex paucitate enim lucis error accidit in uiſione ſimilitudinis & diuerſitatis corporum eiuſdem coloris ſecundum ſpeciem, uel eiuſdem figuræ ſecundum ſpeciem, in quibus partialis diuerſitas per latentia ſigna diſtincta eſt:tunc enim illa in luce debili non uidentur: & ob hoc inter illa cor pora omnimoda iudicabitur ſimilitudo. Et ſi aliqua corpora ſolùm propter aliqua minuta ſignaipſis communia participent ſimilitudine: tunc propter lucis debilitatem illis cauſsis conſimilitudinis non perceptis, iudicabitur diuerſitas totalis, quod non accideret in luce temperata. Ex ſuperflua etiam elongatione accidit error in præmiſſorum uiſione, ut patet in præmiſsis exemplis. Minu tæ enim cauſſæ ſimilitudinis uel diſsimilitudinis à magna remotione non uidentur per 8 huius. Et ſimiliter etià eiſdem error accidit ex ſitus nimia obliquatione, quæ res paruas non ſinit comprehen di à uiſu per 26 huius. Accidit etiam error in præmiſſorũ uiſione, propter cauſſarũ ſimilitudinis uel diſsimilitudinis paruitatẽ, propter quã, cæteris exiſtentibus cõuenienter uiſui diſpoſitis, huiuſmodinõ uidentur. Ex defectu etiã ſoliditatis error accidit uiſioni præmiſſorũ. Sienim duo uaſa multũ rara cõueniãt in ſpecie, figura & raritate, ſed diſcrepẽt in aliqua ſuarũ partiũ diſpoſitiõe: tũc uino eiuſdẽ coloris & claritatis ambob. repletis latebũt cauſſę diuerſitatis, & reputabũtur omnino ſimilia. page 187 Et ſi differant ſpecie, figura & raritate, ſed ſolùm in aliquibus partialibus formulis cõueniant: tunc uino ſimili plena putabuntur omnino ſimilia: qui error accidit propter defectum ipſorum ſoliditatis: quia cũ ſint peruia, ideo res per ipſa uiſa ſimilitudinis uel diſsimilitudinis aufert cauſſas. Exintemperantia etiam raritatis accidit error in uiſione præmiſſorum:in aere enim nubiloſo & obſcuro minutæ cauſſæ ſimilitudinis uel diſsimilitudinis non uidẽtur. Ex temporis etiã breuitate præmiſſorum uiſioni error accidit: quoniam particulares ſimilitudinis uel diſsimilitudinis cauſſæ paruiſſimo tempore inſpectæ latent uiſum. Debilitas etiam uiſus errorem illorum uiſioni adducit, quia minutas ipſorum ſcilicet ſimilitudinis uel diſsimilitudinis cauſſas uiſus debilis perſpicere non poteſt. Patet ergo propoſitum.

154. Virtuti diſtinctiuæ error quando accidit ex cauſſarum plurium aggregatione, quarum nulla per ſe ad errorem ſufficit cauſſandum. Alhazen 72 n 3.

Quandoq enim duæ intemperantiæ circumſtantiarum octo omnium uiſibilium concurrunt in uno uiſibili, & faciũt errorem in uiſu, licet neutra ipſarum per ſe ſufficeret ad cauſſandum errorem. Si enim moueatur aliquid à magna diſtantia motu tardo, illud ſubitò uiſum uidebitur nõ motum, & motus ille poſſet percipi in diſtantia temperata etiam ſubito uiſu, uel etiam poſſet percipi in illa remota diſtantia per intuitum diligentem tempore conuenienti. Sed illis duabus cauſsis erroris concurrentibus, tunc errabit uirtus diſtinctiua, & uidebitur res immota. Sed etiam quandoq concurrunt intemperantiæ plures ad unum errorem cauſſandum, quam nulla illarum per ſe cauſſaret. Si enim à magna diſtantia ſub debili luce in tempore modico opponatur uiſui debili corpus diuerſorum colorum motum tardo motu:tũc fortè uidebitur quieſcere:ſed motus eius qualibet illarum cauſſarum aliqua deficiente percipi fortè poſſet: & fortè quandoq intemperátiæ omnium circumſtantiarum corporum uiſibilium cõcurruntad unum errorem cauſſandum, uel quandoq plurium illarum, & ſecundum diuerſas combinationes, quæ plus experientiam quàm rationem reſpiciunt ſecundum omnem ſui diuerſitatem: unde de his ſic eſſe ſufficit exemplatum.

155. Error accidit uiſuiuia ſcientiæ per inconueniẽtem applicationem formæ, quæ eſt in anima alicuirei uiſæ, in intemperantia cuiuslibet octo circumſtantiaru reiuiſæ. Alhazen 21 n 3.

Cum enim res alia aut alterius ſpeciei uiſui apparet quàm ſit in rei ueritate: tunc fit error uia ſcientiæ in uiſu: quoniam forma quieſcens in anima inconuenienter alteri rei applicatur, cui non conuenit: & hoc accidit propter intemperantiam cuiuslibet octo circumſtantiarum rerum uiſibilium. Propter defectum enim lucis fit plurimus error in rerum cognitione, ut hoc euidenter per ſe patet. Debilitas enim lucis nimia errorem infert formæ uiſæ: unde accidit error in crepuſculis in omnibus uiſis: unde etiam noctiluca uidẽtur lucere in tenebris, quorum forma non eſt lumen, nec etiam ſcintillans color: quæ omnia non acciderent in luce temperata. Etpropter diſtantiam etiam nimiam uiſibilis à uiſu accidit hominem notum quandoq pro extraneo reputari, & econtrario, uel etiam notum unum pro alio noto, ut Socratem pro Platone, aut econtrario: & quandoq aliquis uidens equum, putat ſe uidere aſinum. Et uniuerſaliter fit error ſcientiæ, uel à ſpecie ad ſpeciem, uel ab indiuiduo ad indiuiduum eiuſdem ſpeciei: uel ab indiuiduo ſpeciei unius ad indiuiduũ ſpeciei alterius, ut cum equus Petri æſtimatur mulus Martini. Et quandoq quis uidens ignem remotum longè in aere, putat ſe ſtellam uidere: hæc enim omnia ſi propè eſſent, uiderentur ſine errore. Situs etiam oppoſitionis errorẽ inducit: quandoq enim Petrus remotus ab axe uiſuali, putabitur Martinus, & quandoq equus uiſus putabitur eſſe aſinus, quæ ſi directè uiſui opponãtur, error penitùs ceſſabit. Quantitas etiam extra temperantiam exiſtens errorem facit uiſui & ſcientiæ, ut cum granum ſinapis creditur eſſe granum naſturtij. Soliditas etiã eſt cauſſa huius erroris: unde cryſtallus, quia parum eſt ſolida, creditur color eius eſſe color rubini, ſuppoſito ſibi tali colore & uiſu in oppoſito exiſtente. Diaphanitas etiam nimis diminuta huius erroris eſt cauſſa: uitro enim colorato uiſui & rei uiſæ coloratæ interpoſito, æſtimabitur color corporis oppoſiti mixtus ex colore proprio & colore uitri: & ſi oculis & rebus uiſis interponatur pannus multùm rarus, apparebit color corporis mixtus, non quòd ſecũdum ueritatem partes coloris rei per foramina pannitranſentes cum coloribus filorum miſceantur, ſed quia pũcta coloris rei uiſæ & filorum ſine diſtantia ſenſibili propè adinuicem in uiſus ſuperficie ſituantur: unde illi colores diuerſi uidentur punctualiter adinuicem coniumcti, propter quod apparet uiſui unus color ex illis ambobus coloribus mixtus: unde ſi magna ſint panni foramina, diſcernentur colores & panni & rei uiſæ ſine aliqua mixtura. Et ex hoc accidit quòd uiſo colore alicuius corporis per pannum laneũ, uidebitur mixtura colorum plurimùm conſonans colori filorum: quia foramina panni lanei ſunt ſtricta, quæ pilis multis coloratis conteguntur: & etiam cum ioculatores faciunt ſub pannis ſe circumdantibus imagines ligneas pictas moueri: tunc ſimilitudines illarum imaginum inſpicienti per pannum lineum ſubtilem, ſicut ſolet fieri, apparebunt aues uel alia animalia illis formis conuenientia: & hoc propter defectum diaphanitatis medij, quia in aere præter pannum aliud uidetur. Temporis etiam intemperantia huius erroris eſt cauſſa. Si quis enim per foramen reſpiciat aliquod corpus tranſiens ueloci motu, & non plenè acquirat formam corporis, uel ſi quis ſubitò aliquid uideat, quod ſtatim à uiſu recedat, errabit in indruiduo illius formæ: unde forſan eſt error in ſpecie uel in indiuiduo uel in utroque: forſan enim æſtimabit equum fuiſſe mulum, uel Petrum Martinum, uel equum page 188 Petri fuiſſe múlum Martini. Debilitas quoq uiſus huius erroris eſt cauſſa:læſus enim uiſus à colore forti, cui incidit lumen forte, iudicat omnem colorem uiſum illius coloris, uel alterius coloris ex illis duobus mixti: & etiam propter oculorum ægritudinẽ aliquando equus apparet aſinus, & Socrates uidetur Plato. Et ſimiliter in alijs uiſibilibus errabit uiſus propter ſolam intemperãtiam ſuæ æqualis diſpoſitionis nullo alio impedimento accedente. Sic ergo errores ſcientiæ accidunt uiſui ſecundum ſingulas intemperãtias 8 circumſtantiarum rei uiſæ, ut patet. His autem & eorum ſimilibus non duximus multum inſiſtendum, quia hæc, quæ diximus, ſufficiunt pro talium omnium radice. Et hoc eſt propoſitum.

156. In ſolo uiſu error quando accidit propter intemperãtiam cuiuslibet octo circumſtantiarum rerum per ipſum propriè uiſarum. Alhazen 20 n 3.

Quia enim, ut patet per principium 3 huius, lux & color ſunt per ſe obiectum uiſus, palàm quòd eiſoli non poteſt error accidere niſi in luce & colore. Accidit autem uiſui in illis error propter ipſorum intemperantiam in fortitudine, ut lux fortis non permittit alia uiſibilia uideri, & color fortis facit res alias quaſcunq in colore ſibi ſimiles uideri, cum tamen illorum color ſit diuerſus. Et ſimiliter eſt in lucis & coloris debilitate. Si enim corpus, in quo ſit multa colorum diuerſitas, occurrat uiſui ſub luce multùm debili, ut ueſtis diuerſi coloris, apparebit unius coloris. Et ſi color ſit ualde debilis, etiam in luce temperata non uidebitur, & ſic lux extra temperantiam facit uiſui deceptionem ſecundum utrunq extremorum. Diſtantia etiã uiſibilium errorem inducit uiſui: quia propter improportionatam diſtantiam res colorum diuerſorum minuratim ipſis aſperſa, uidebitur unius coloris. Situs etiam oppoſitionis ſenſum errare facit: quia cum corpus uiſum fuerit multùm obliquatum, occultabuntur propter ſui obliquationem ipſi uiſui minutæ eius particulæ: & ſi fuerit in partibus minutis colorum diuerſitas, apparebit in totali corpore: & ſi corpus redieritad directam oppoſitionem, illorum colorum diuerſitas apparebit, niſit fortè elongatio partium colorati corporis ab axe uiſuali fuerit nimis magna. Magnitudo etiam uiſui errorem inducit: quia etiam luce & diſtantia, & ſitu uiſioni conuenientibus, colores paruarum partium corporis, diuerſi coloris euadunt uiſum, & uidetur res unius coloris: quod non fieret, ſi paruitas partium temperamentum non exiret. Soliditas etiam eſt cauſſa deceptionis uiſus, ſi nimis remiſſa fuerit: unde cryſtallus uidetur colorata colore rei ſibi ſuppoſitæ propter ſuæ ſoliditatis paruitatem: quod non accideret, ſi cryſtallus plus ſolida eſſet. Ex diaphanitate etiam error accidit uiſui: quia propter interp oſitionem flammæ inter uiſum & rem uiſam, etiam ſi illa res uiſa fortis ſit coloris, uidebitur illud corpus tenebrofum propter ſolam carentiam diaphanitatis in medio. Tempus etiam eſt cauſſa erroris: quia ſi ſubitò ſuper corpus diuerſorum colorum fiat uiſus directio, apparebit illud corpus coloris unius, donec per diligentem intuitum diſcernatur. Debilitas etiam uiſus errorem prætendit in uiſione præmiſſorum: luce enim forti in uiſum agẽte, læditur uiſus ſtatim, & ad colorem alicuius corporis conuerſus ipſum colorem tenebroſum recipit, donec poſt aliquod tempus læſio receſſerit. Similiter etiam cum adeſt oculis infirmitas, occulta bitur uiſui colorum uarietas: & ſic fit error in talibus ex ſola uiſus qualitate à temperamento recedente. Patet ergo quòd ſecundum omnes circumſtantias rerum uiſibilium in ſolo uiſu fieri deceptionem eſt poſsibile. Et hoc proponebatur.

157. Fulgidum mixtum nigro, ſiue per nigrum medium, uiſui colorem præſentat puniceum.

Huius declaratio eſt ex ſenſibilibus naturalibus experientijs: uidemus enim quòd in ſpeculis benè terſis fulgidis res fulgida uiſui præſentatur in ſui fulgore: quòd ſi ſpeculum fulgidum nõ fuerit, tunc forma fulgidi permixta nigro colore ſpeculi præſentatur uiſui, non intentione ſui fulgoris, ſed quaſi aliquantulum denigrata, & ita rubea ſiue punicea apparet. Vniuerſale enim eſt, ut in principio 2 huius ſuppoſitum eſt, quòd rerum ualde coloratarum colores lumenq́ue ipſius medij colori permixta ferátur ad uiſum, ut ſi per uitrum coloratum aliqua res uideatur, quòd color rei uiſæ ex colore proprio & colore uitri permixtus uiſui præſentetur: & horum multas experientias planè poterit quis uidere. Euenit etiam humidos oculos habentibus, quòd forma albi fulgidi per infectos humores & tunicas oculi ad centrum oculi perueniens, in medium colorem uiſus iudicio permutatur, & apparet oculo coloris punicei phantaſia. Et etiam uidemus uiridium lignorũ flammam rubeam appropinquare puniceo colori: quia ignis fulgidus & albus exiſtens per fumum nigrum propter groſsitiem materiæ, & humiditatem aqueam, quę illi fumo miſcetur, puniceus uidetur. Per caliginem quoq & fumum nigrum uidetur ſol non fulgidus ſed puniceus, quando talem fumum uel caliginem ſoli & uiſibus accidit interponi: & hoc idem in alijs ſtellis poterit perpendi. Item circuli, qui circa candelas uidentur, propter groſsitiem aeris & nigredinem purpurei uidentur: quoniam aer ingroſſatus à natura lucidi aliqualiter impeditur, & propter admixtionẽ umbræ nigredine permiſceri uidetur, uel alio medio colore ſecundum diſpoſitionem luminis & admixtæ umbræ. Et ad hoc etiam plenius declarandum diligẽs inquiſitor plures experientias poterit applicare. Patet ergo propoſitum.

158. Viſum protenſum longè debiliorem fieri patens eſt.

Non enim uiſus uidet ſimiliter de longè poſita, quemadmodum propè exiſtẽtia. Si enim uideatur de longè corpus foraminoſum, cuius ſint parua foramina, totũ uidetur continuum: unde ſi ali page 189 quis uaporem roridum de longè uideat, totum ipſum fore unum corpus continuum uiſus indicabit: quin etiam uiſus recta curua, rotunda quadrata ex remotione iudicat, ſicut eſt in præmiſsis huius libritheorematibus declaratum. Et ſi uiſus pannum coloratum, in quo eſt minuta colorum diuerſorum conſperſio, ad quos proportionata partium elongatio ſit intemperata ipſi uiſui, diutius etiam aſpexerit: apparebit pannus ille unius coloris tantùm, quoniam extra temperantiam eſt longitudo, reſpectu partialium colorum, licet omnia alia conueniantin debita temperantia, reſpectu uiſus. Quia ergo uiſibilem rei circum ſtantiam uiſus protenſus nõ perſpicit, palàm quia debilitatur ex protenſione ſui ad uiſibile, ſiue ex remotione uiſibilis ab ipſo. Et hoc eſt, quod proponebatur.

159. Nigredinis in re non nigra apparitio ex uiſus prouenit defectione.

Experientia ſimiliter comprobatur, quod hic proponitur, auxilio pręcedentis. Quia enim uiſum protenſum longè debiliorem fieri patens eſt, ut præmiſſum eſt: ideo accidit quòd ea, quæ longè uidentur, propter uiſus debilitationem omnia nigriora apparent, ſicut etiã corpora remotiora & minora & planiora quàm ſint, uiſibus apparent: quoniam eminentiæ ſuarum partium aſperitates & tumores in ipſis facientes non uidentur. Similiter etiam, quæ in ſpeculis uidentur, quia propter reflexionem ipſorum diſtantia augetur, ideo propter remotionem, quæ accidit uiſui, talia nigriora uidentur experimentanti. Quantò enim magis ex remotione etiã rei albæ immoto ſpeculo diſtantia à ſuperficie ſpeculi augmẽtatur, tantò magis color ille albus uiſui ad nigre dinem accedit: unde etiam nubes apparentes in aqua nigriores uidentur quàm in loco ſuo, uiſu in eodem loco exiſtẽte, quoniam reflexio facta in aqua auget diſtantiam: nihil autem differt aliquid multum diſtans uiſui apparere, aut uiſum per multam diſtantiam uiſionem rei complere: ſemper enim fit iudicium uirtutis uiſiuæ, ſecundum quod forma eſt in uiſus organo recepta. Neq latebit hic experimentantem, quia quando clara nubes fuerit uicina ſoli, tunc alicui aſpicienti ad nubem, nubes nõ uidebitur niſi alba: ſed ſi reflectatur ab aqua, & eam uiſus in aqua uideat: tunc illa nubes alba aliquem colorem ex medijs coloribus uiſui præſentabit, ut puniceum, purpureum, uiridẽ, & lazulium: unde ſicut uiſus colorem nigrum per reflexionem uidet eſſe nigriorem, ſic & colorem album uidet minus album propter reflexionem. Nubem itaq albam exiſtentem uidet uiſus propter diſtantiã ampliorem, quę fit per reflexionem, in ſuo colore nigram, & ſimilem priuationi & negationi propter uiſus protenſi debilitatem. Et quoniam coloratio nubis fit ex impreſsione luminis ab aliquo corpore luminoſo, poteſt concludi ex præmiſsis, quòd in omni corpore, cui lumen uel color ex corpore luminoſo imprimitur, eandem cauſſam & effectum participem habebit. Ethoc eſt, quod proponebatur.

▼ Liber V ▼