Friedrich Risner, Vitellonis De Optica: Liber VI
▲ Liber V ▲

Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber sextvs.

LATIVS, quoad potuimus, ſpeculorũ planorũ paßionibus percurſis: ſupereſt nũc ut ad aliorum ſpeculorum paßiones proprias diuertamus. Et quia ſpecula conuexa ſunt ſimpliciora concauis: quoniã quædam paßionũ ſpeculorum conuexorum deſcendunt in concaua, ut in illa, quorum paßiones propriè diuerſimodè uariantur: cõuenit ut primò tractatum ſpeculorum conuexorum alijs præmittamus. Sed quia inter ſpecula conuexa (quorum quædam ſunt ſphærica, quædam columnaria, quædã pyramidalia) ipſa ſpecula ſphærica ſunt alijs ſimpliciora: paßiones enim & cauſſæ reflexionum ſpeculorũ ſphæricorum conuexorum deſcendunt in ſpecula columnaria & pyramidalia cõuexa, cum in illis ab aliquibus punctis ſuorũ circulorum accidit fieri reflexionem, 4icut & paßiones ſpeculorũ planorum deſcendunt in eadem ſpecula columnaria & pyramidalia, quãdo ab aliquo puncto alicuius linearum longitudinis illorum ſpeculorum ad uiſum fit reflexio; poſt tractatum ergo planorum ſpeculorũ de ſpeculis ſphæricis conuexis, ut de ſimplicioribus omnibus aijs, & concauis ſpeculis proſequi dignum uiſum eſt. Quæ itaq ad ſpeculorũ ſphæricorum proprias paßiones proſequendas præmittimus, ſunt iſta.

Definitiones.

1. Maius ſpeculum ſphęricum conuexũ uel concauũ dicimus, cuius ſphęræ diameter eſt maior: & minus, cuius minor. 2. Diametrum ſpeculi ſphærici dicimus diametrum ſphæræ, cuius portio eſt ſpeculũ. 3. Centrũ ſpeculi dicimus centrum ſphæræ, cuius portio eſt ſpeculũ 4. Diametrum uiſualẽ dicimus lineam à centro uiſus per centrũ ſpeculi ſphærici tranſeuntẽ: & eadẽ dicitur cathetus reflexionis. 5. Lineã rectā æquidiſtare ſpeculo ſphærico conuexo dicimus, quæ ſecundū eius punctũ mediū æquidiſtat lineæ aliquem arcū circuli magni illius ſpeculi ſecũdum mediũ eius punctũ contingenti. 6. Finis contingentiæ dicitur punctus ubi altera cathetorũ ſecat lineam in puncto reflexionis ſpeculum contin gẽtem. 7. Metam locorum imaginũ dicimus punctũ uel lineam, ultra quam imagines nõ uidentur.

page 224

Theoremata

1. Communem ſectionem ſuperſiciei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexineceſſe eſt circulum magnum uel arcum circuli magni ſphæræ eſſe: ex quo patet quòdomnis ſuperficies reflexionis diuidit ſphæram ſpeculi per æqualia.

Quoniam enim, ut patet in principio 5 huius, 7 definitione, ſuperficies reflexionis dicitur ſuperficies continens lineam incidentiæ & lineam reflexionis & perpendicularem à puncto contingentiæ productam ſuper ſuperficiem ſphæricum ſpeculum in puncto incidentiæ contingentem, quæ omnes lineæ rectæ ſunt: patet quòd ſuperficies reflexionis eſt ſuperficies plana. Omne autem ſpeculum ſphæricum conuexum, aut ſphæra eſt, aut pars ſphæræ, ut patet per 8 th. 5 huius: ergo per 69 th. 1 huius ſi ſuperficies reflexionis ſecet ſpeculum, ipſorum communis ſectio neceſſariò erit circulus uel pars circuli. Et quoniam perpendiculares ſuper ſuperficies ſphæras contingentes, neceſſariò tranſeunt per centrum ſphæræ, ut oſtẽdi poteſt per 72 th. 1 huius, & per definitionem lineæ perpendicularis ſuper ſuperficiem ſphæræ poſitam in principio huius: patet quòd omnis ſuperficies reflexionis tranſit centrum ſpeculi: eſt ergo illa communis ſectio circulus magnus uel arcus circuli magni ſphæræ illius ſpeculi per definitionem circuli magni. Et hoc eſt propoſitum. Patet etiam corollarium: quia cum omnis ſuperſicies reflexionis tranſeat per centrũ ſpeculi: patet manifeſtè quoniam ipſa diuidit ſphæram ſpeculi per æqualia. Ethoc proponebatur.

2. A centro uiſus ad ſuperficiem ſpeculi ſphærici conuexi ducta contingẽs, circa fixam uiſualem diametrum æqualiter mota portionem ſuperficiei ſpeculi determinat, à cuius pũctis fiet formarum reflexio ad uiſum. Alhazen 25 n 4.

Sit centrum uiſus punctus a: & cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpecúli ſphærici conuexi ſit circulus b c d k: cuius centrum ſit e: & à puncto a ducatur per 17 p 3 linea contingẽs circulum in puncto d, quæ ſit a d: ducatur & diameter uiſualis, quæ ſit a e, ſecãs peripheriam circuli b c d in puncto c. Dico, quòd fi diametro a e manente fixa linea contingens, quæ eſt a d, imaginetur æqualiter moueri ſuper peripheriam ſpeculi, ſeruans ſemper æqualitatem anguli e a d, quouſq redeat ad locum, unde exiuit: quòd ipſa motu ſuo ſecundum punctum d deſcribet circulum determinantem portionem ſpeculi ſphærici conuexi, à qua fit reflexio omniũ formarum ad uiſum exiſtentem in puncto a, ab illa parte alia ſuperficiei ſpeculi, à qua non fit reflexio. Producatur enim linea a d ultra punctum contingentiæ d ad punctum f: & duca

Fig. 598

a b c d l g e m h k f
tur linea e d: quę producatur extra ſpeculum ultra punctum d uſq ad punctum g. Erunt ergo per 18 p 3 anguli omnes ad punctum d recti: omnes ergo puncti in linea d f conftituti uidebuntur directè: ideo quia linea a f manens una non reflectitur à puncto d. Quia tamen eadem linea contingit ſpeculum, incipiunt puncta lineæ d f aliquid participare naturæ reflexionis: unde uidebuntur à puncto d reflecti ſecũ dum lineam d a ad uiſum a per 20 th. 5 huius: quoniam angulus incidentiæ, qui eſt f d g, eſt æqualis angulo reflexionis, qui eſt g d a. Dico etiá quòd à nullo puncto arcus d k b poteſt fieri reflexio ad uiſum a. Si enim ſit hoc poſsibile, eſto quòd à puncto h arcus d k b fiat reflexio formæ alicuius puncti ad uiſum exiſtentem in puncto a: & ducatur linea reflexionis ad uiſum a, quæ ſit h a: h æc ergo non poteſt tranſire ſolidum corpus ſpeculi, ſcilicet arcum circuli b c d ſecádo: tranſibit ergo extra circulum. Quia itaq angulus contingentię, qui eſt h d f eſt indiuiſibilis per 16 p 3, patet quòd illa linea reflexionis, quę eſt h a, non tranſibit punctum d: ſecabit ergo lineam d g: ſit, ut ſecet ipſam in púcto l. Et quia linea reflexionis, quæ eſt h a, nó ſecat angulum h d f: palàm, cum non ſecet arcum h d, quòd ſecat lineam d f: ſit, ut ſecet ipſam in puncto m. Si ergo linea h m à puncto m perueniat ad punctum a: patet quòd duæ rectæ, quæ ſunt m l a & m d a includũt ſuperficiem, quod eſt impoſsibile. Vel deducatur ſic: trigoni d l m angulus m d l eſt rectus: ergo angulus d l m per 32 p 1 eſt acutus: ergo per 13 p 1 angulus a l d eſt obtuſus: ſed angulus a d l eſt rectus, quia angulus a d e eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius, cum linea e g cadat ſuper ambas lineas a d & h a, & faciat angulos prędicto modo diſpoſitos: patet quòd lineæ h l a & d a ad illam partem concurrent, ad quam ſunt anguli minores. Non ergo reflectetur forma aliqua à puncto h ad punctum a, quod eſt oppoſitum dati. Patet ergo propoſitum: quoniam quocunq puncto arcus d k b dato, eodem modo poteſt fieri deductio.

page 225

3. Oppoſito uiſui ſpeculo ſphærico conuexo, it a ut uiſus non ſit in ſuperficie illius ſpeculi aut ſuperficie ei continua: erit communis ſectio baſis pyramidis uiſionis & ſuperficiei ſpeculi circulus minor magno circulo ſphæram ſpeculi per æqualia ſecante. Alhazen 24 n 4.

Opponatur uiſui ſpeculum ſphęricum taliter ut uiſus non ſit in ſuperficie illius ſpeculi aut in ſuperficie ei continua: dico quòd pars ſpeculi à uiſu comprehenſa erit pars ſphæræ circulo incluſa, quem efficit motu ſuo radius contingens ſuperficiem ſphęræ. Quia enim, ut patet per 16 th. 2 huius, longior radius ad ſphæræ ſuperficiem pertingens, quaſi linea ſpeculum contingẽs eſt: ſi ille radius imaginetur per gyrum moueri attingendo ſphæram, donec redeat ad pũctum primum, à quo ſumpſit motus principium: palàm per præmiſſam quia punctus contingentiæ in ſphæræ ſuperficie circulum deſcribet. Hic uerò circulus minor erit circulo magno illius ſphæræ. Quoniam ſi intelligantur ſuperficies ſecantes ſe ſuper diametrum ſphæræ tranſeuntes polos prædicti circuli & ſphæram per æqualia ſecantes: patet quòd omnes illi circuli contingentes lineas habent illas, quę ſunt lineæ longitudinis pyramidis uiſionis: ergo per 58 th. 1 huius quilibet arcuum interiacentium ipſi ſuperficiei ſphæræ, & his ſuperficiebus planis ſecantibus ſphęram, erit minor ſemicirculo circuli magni. Verbi gratia, ſit per 69 th. 1 huius circulus, qui eſt communis ſectio ſuperficiei ſphæræ & ſuperficiei planæ tranſeuntis per uiſum a extra ſphæram exiſtentẽ, & per centrum ſphæræ, quod ſit b, circulus c s d: cuius centrum ſit b: ſitq́ po

Fig. 599

a s d b c
lus circuli intellecti, ſecundum quem baſis pyramidis uiſionis ſecat ſuperficiem ſpeculi pũctus s: producaturq́ b s ſemidiameter ad uiſum a: & ſit linea b s a: & à puncto a centro uiſus ducatur linea contingens circulum, quæ ſit a c: & à puncto contingétiæ, qui eſt c, ducatur ad centrum b linea c b. Dico quòd arcus c s eſt minor quàm quarta circuli magni. Angulus enim b c a eſt rectus per 18 p 3: angulus ergo c b a eſt acutus: quia non poſſunt eſſe duo recti in eodem trigono a b c per 32 p 1: hunc autem angulum in centro exiſtentem reſpicit arcus c s: palàm ergo per 33 p 6 quoniã ipſe minor eſt quàm quarta circuli. Et quia idem accidit in omnibus pũctis imaginatorum circulorum, manifeſtum quoniá quilibet arcuum illorum circulorũ eſt minor quàm quarta circuli magni. Ergo circulus terminans uiſum eſt minor circulo magno ſphæræ propoſitæ. Et hoc eſt quod proponebatur. Tenet autẽ hæc demõſtratio in uno uiſu tantùm, uel in ambobus uiſibus, dum modò diameter ſpeculi ſphærici ſit maior quàm diſtantia oculorum: quoniã iſtis exiſtẽtibus æqualibus circulus maior ſphæræ erit circulus propoſitæ ſectionis, & medietas ſphæræ uidebitur. Si uerò diſtantia oculorum ſit maior diametro ſpeculi, plus medietate ſphæræ uidebitur: & erit communis ſectio circulus minor, ut hæe ſunt demonſtrata in 4 huius.

4. In ſpeculis ſphæricis conuexis ſecundũ acceſſum uiſuum ad ſpecula, circulorum uiſum terminantium quantitas minuitur, ad receſſum uerò augetur.

Fig. 600

f g h c b e d k a

Eſto enim ſpeculum ſphæricum conuexum, cuius centrum b: & ſit centrum uiſus a: ſitq́ circulus terminás uiſum in ſuperficie ſpeculi, quic g h e. Dico quòd ſecũdum acceſſum & receſſum uiſuum à ſpeculis, illorum circulorum quantitas mutatur: diminuitur enim ſecundum acceſſum, & augetur ſecũdum receſſum. Sit enim cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi circulus c d e f: cuius arcus c d e ſit erectus ſuper circulum c g h e, uiſam partem ſpeculi continentem: ſitq́ ipſius arcus c d e medius pũctus d: & ducátur lineę a c, a d b, c b, a e: eritq́ per 18 p 3 angulus a c b rectus: accedat ergo uiſus ſecundũ lineá a b ad punctum k. Si ergo uiſus terminatur ad eundem circulum c g h e, ut prius: ducatur linea k c. Et quoniam per 16 th. 2 huius longior radius à uiſu ad ſphærá pertingens quaſi linea contingens eſt: patet per 18 p 3 quoniam angulus k c b eſt rectus: ſed & angulus a c b fuit rectus: eſt ergo rectus minor recto: quod eſt impoſsibile. Exiſtẽte ergo uiſu in puncto k, non terminabitur uiſio ad circulum c g h e, ſed ad aliquem circulum ipſo circulo c g h e minorem. Quia enim inter duas lineas contingentes circulum, quæ ſunt a c & a e, ab uno puncto a ductas, à puncto k ducuntur aliæ duæ lineæ eundem circulum contingentes: palàm ergo per 60 th. 1 huius quòd puncta contingentiæ interiorum cadent intra puncta contingentiæ exteriorum. Minorem ergo arcum circuli comprehendent lineæ propinquiores quàm remotiores. Patet ergo propſitum.

page 226

5. A quolibet puncto ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi oppoſitæ uiſui poteſt fieri reflexie aduiſum. Alhazen 25 n 4.

Eſto diſpoſitio eadem, quæ in 3 huius: dico quòd à quolibet puncto portionis oppoſitæ uiſui, ut à quolibet puncto arcus c s, & omnium ſibi ſimilium arcuum poteſt fieri reflexio ad uiſum. Signetur enim aliquis punctus arcus c s, qui ſit d: & ducatur ſemidiameter d b. Palàm per 72 th 1 huius quoniam linea d b eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem planam contingentem ſpeculum in puncto d. Cum itaq forma puncti rei uiſæ puncto d inciderit, palàm per 27 th. 5 huius quia linea reflexionis erit in eadem ſuperficie cum ſemidiametro d b & cum catheto a b ortho gonaliter cadente ſuper ſuperficiem ſpeculi, eò quòd tranſeat per centrum eius b. Et ducatur à puncto d linea contingens circulum c d s per 17 p 3, quæ ſit linea h d k: erit ergo per 18 p 3 angulus b d krectus: erit ergo trigoni d b a angulus a d b o btu

Fig. 601

a k f s d m b g c h
ſus. Si ergo producatur linea b d extra ſphæram a d punctũ f: erit per 13 p 1 angulus fd a acutus: ideo quòd angulus b d a ſit obtuſus, ut patet ex præmiſsis per 13 p 1: & etiã ex hoc, quia cum linea a d cadatintra lineam a cſpeculum contingentem: palàm per 57 th. 1 huius quia linea a d producta ſecabit ſphæram ſpeculi: & ſuperficies contingens ſphæram in puncto d, in qua ſint lineæ h k, d g, decliuior erit quàm linea a d, ſecabitq́ lineam a b. Et quia ſemidiameter b d eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem h k d g ſpeculum in puncto d contingentem, erunt anguli f d k & f d h recti: ergo etiam erit angulus b d k rectus: angulus quoq b d a maior recto, & angulus f d a minor recto. Refecato ergo ab angulo recto, quieſt f d h, angulum acutum æqualẽ angulo f d a per 27 th. 1 huius, qui ſit m d f: eruntq́ lineæ continentes hos angulos in eadem ſuperficie. Punctus ergo rei uiſæ exiſtens in linea m d, & ſuperficiei ſpecul incidens ad punctum d, reflectetur ad uiſum per lineam d a per 11 uel 20 th. 5 huius: continent enim lineæ m d & a dangulos æquales cum perpendiculari b f: & lineæ illæ incidentiæ & reflexionis, ut oſtenſum fuit per 25 th. 5 huius, erunt in eadem ſuperficie, quæ erit ſuperficies reflexionis erecta ſuper ſuperficiem ſphęram ſpeculi in puncto d contingentem. Et eodem modo demonſtrabitur de quolibetpũcto arcus c s, & cuiusslibet arcus ſui ſimilis: hoc eſt de tota portione ſpeculi uiſui oppoſita: quoniam de quolibet dato puncto poteſteodem modo demonſtrari. Patet ergo quoniam à quolibet puncto ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi oppoſitæ uiſui poteſt fieri reflexio ad uiſum, ſicut proponebatur.

6. In omni ſuperficie reflexionis à ſpeculis ſphæricis conuexis, centrum uiſus: & centrum ſpeculi: punctum reflexionis: & punctum reflexum cõſiſtere eſt neceſſe: ex quo patet lineam à centro uiſus ad centrum ſpeculi productam omnibus ſuperficiebus ſectionum ſecundũ diuerſa puncta ſpecula huiuſmodi ſecantium communem eſſe. Alhazen 23. 25 n 4.

Hoc patet per 25 th. 5 huius. In omni enim ſuperficie reflexionis neceſſariò ſunt linea incidentiæ & linea reflexionis: hæ autem lineæ continent tria puncta: punctum reflexum, & punctum reflexionis, & centrum uiſus. Et quia quælibet illarum ſuperficierum eſt erecta ſuper ſuperficiem ſpeculi, à quo fit reflexio: erunt lineæ in ipſa productæ, quæ ſunt erectæ ſuper ſuperficiem ſpeculi, centrum ſpeculi tranſeuntes per 72 th. 1 huius: manifeſtum ergo quia quælibet illarum ſuperficierum tranſit centrum ſphæræ. In qualibet ergo ſuperficierũ reflexionis ſunt præn ominata quatuor puncta: centrum uiſus: cẽtrum ſpeculi: punctum reflexionis: punctum reflexum. Ex his patet, quia cum ſuperficierum planarum ſe interſecátium communis ſectio ſit linea recta, ut patet per 3 p 11, iſtarum ſuperficierum neceſſariò communis ſectio erit linea à cẽtro uiſus ad centrũ ſpeculi producta: quoniam alijs duobus punctis uariatis ſecundũ numerum ſuperficierum reflexionis, hæc duo puncta ſcilicet centrũ uiſus & cẽtrum ſpeculi in talibus ſuperficiebus ſemper manẽt. Patet ergo propoſitũ.

7. Omnis linea reflexionis (præter lineas contingẽtes) ſecat circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi) in duobus tantùm punctis: in puncto uidelicet reflexionis & in puncto alio portionis ſuperficiei ſpeculinon apparentis.

Sit communis ſectio ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi & ſuperficiei reflexionis circulus a b c d: cuius centrum ſit punctum g: & ſit centrum uiſus e: à quo ducantur lineæ contingẽtes illum circulum, quæ ſint e a & e c. Palàm ergo per 2 huius quoniam à toto arcu a b c fit reflexio ad uiſum. Sitergo ut à puncto b, quod eſt inter puncta a & c, fiat reflexio ad uiſum e: & ſit linea reflexionis b e. Dico quòd linea e b producta ultra punctum b ſecabit circulum a b c in aliquo puncto arcus ſpeculi non apparentis, quod ſit d. Ducatur enim diameter uiſualis e fg h diuidens circulum per æqualia in duos ſemicirculos, qui ſunt f c h, & f a h: oſtenſum eſt autem per 57 th. 1 huius page 227 quoniam ab uno puncto ad datum ſemicirculum tantùm unam lineam contingentem duci eſt poſſibile: & cooſtenſum ibieſt quòd omnis linea ab eodem puncto ſub linea contingente ducta, ſecat ſemicirculum in puncto uno ſupra

Fig. 602

d h g c a b f e
punctum contingentiæ & in alio ſub ipſo. Patet ergo, cum à puncto e ducatur linea e c circulum contingens, & ab eodem puncto e ducatur ſub linea contingente linea e b, quoniam linea e b ſecat ſemicirculum f c h in uno puncto ſupra illum punctum contingẽtiæ, qui ſit d, & in alío puncto b ſub illo puncto c, qui eſt terminus portionis arcus apparehtis uiſui. Punctus ergo d cadit in portione c d a non apparente uiſui. Quod eſt propoſitũ. Eodẽ ergo modo de quolibet puncto arcus a f poteſt demõſtrari. Patet ergo, quod proponebatur.

8. In omni reflexione à ſpeculis ſphæricis couexis, linea à centro ſpeculi ad punctũ reflexionis ducta, diuidit angulum à lineis incidẽtiæ & reflexionis cõtentũ per duo æqualia. Alhaz. 13 n 4.

Sit centrum uiſus a: & punctus rei uiſæ per reflexionem à ſpeculo propoſito ſit b: ſitq́ cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi circulus c d e: cuius cẽtrum ſit f: & reflectatur forma puncti b ad uiſum a à pũcto ſpeculi d: & ducatur linea d f. Dico quòd linea f d ꝓ ducta extra circulum ad punctum g, diuidit angulũ a d b per æqualia: ita ut angulus a d g ſit æ qualis angulo g d b. Ducatur enim linea contingens circulum c d e in puncto d per 17 p 3, quæ ſit h k: erunt ergo per 18 p 3 anguli f d k & f d h recti: ergo per 13 p 1 anguli g d k & g d h ſunt recti & æquales: ſed an

Fig. 603

b g a k d h e f c
gulus b d k cũ ſit angulus incidẽtiæ, eſt per 20 th. 5 huius æqualis an gulo a d h, qui eſt angulus reflexionis: remanet ergo angulus a d g ęqualis angulo g d b Linea ergo f d producta à cẽtro ſpeculi ad punctum reflexionis, quod eſt d, diuidit angulum a d b per æqualia. Patet ergo propoſitum.

9. In conuexis ſpeculis ſphæricis omnem lineam reflexionis cum catheto incidentiæ ab eodem puncto ad centrũ ſpeculi productam, concurrere eſt neceſſe. Alhazen 8 n 5.

Eſto communis ſectio ſuperficiei reflexionis & conuexi ſpeculí ſphærici circulus g d: cuius centrum ſit z: & ſit centrum uiſus punctum b: punctusq́ rei uiſæ ſit a: reflectaturq́ forma puncti a ad centrũ uiſus b à puncto ſpeculi d: & ſit linea reflexionís d b: linea quoq incidentiæ ſit a d, Ducatur itaq linea à puncto dato a ad centrũ ſpeculiz, quæ ſit cathetus a z, ſecans ſuperficiem ſpeculi in puncto g: & copuletur linea d z: & producatur b d intra ſpeculum, donec cõcurrat cum linea a z (concurret autem per 29 th. 1 huius: quoniã enim linea b d producta ſecat angulum a d z, ut patet per præcedentem & per 15 p 1: ergo ſecabit & baſim a z)

Fig. 604

b a d g e z
ſititaq punctus concurſus e: eſt autem linea a z cathetus incidentiæ punctia, ut patet per definitionem catheti, & per 72 th. 1 huius. Patet ergo propoſitum, quoniam linea reflexionis concurrit cum catheto incidentiæ. Quod autem hic de concurſu lineæ incidentiæ cum catheto incidentiæ demonſtrauimus, hoc adiunximus propter 37 th. 5 huius: ſecũdum enim utramq illarum linearum eſt neceſſarium fieri uiſionem: quoniam ſecũdum lineam reflexionis forma reflectitur ad uiſum, & ſecundum cathetum incidẽtiæ reſpicit res ipſum ſpeculum, à cuius ſuperſicie ſorma rei uiſæ reflectitur ad uiſum.

10. Centro uiſus poſito in catheto incidẽtiæ ſuper ſpeculum ſphæricum conuexum incidente: ab uno tantùm puncto ſpeculi fiet reſlexio: & uidebitur imago in ſuperficie ſpeculi in ipſo ſcilicet puncto reflexionis: niſi fortè propter continuitatem ſui cum punctis alijs formæ uiſæ ad alium locum imaginis pertrahatur. Alhazen 19 n 5.

Often ſum eſt per 32 th. 5 huius quòd omnis perpendicularis reflectitur in ſeipſam: nunc autem oſten demus, quod hic proponitur. Sit ergo g centrum uiſus: & d centrum ſpeculi propoſiti: ſitq́ g k z d cathetus in cidẽtíæ, ducta à centro uiſus ad ſpeculum, ſecans ſuperficiem oculi in puncto k, & incidens ſuperficiei ſpeculi in puncto z. Dico quod ſolius puncti k forma reflectitur ad uiſum: quoniam de alijs punctis lineæ d g quibuſcunq datis, quantùm ad ip ſorum reflexionem, eodem modo demonſtrandum, ut in 32 th. 5 huius. Sed neq aliquod punctum huius lineę reflectitur ab alio puncto ſpeculi. Dato enim quòd ab alio puncto fiat reflexio: ſit illud aliud punctum a: & ducatur linea g a, quæ ſit linea reflexionis: ducatur quoque linea incidentiæ ad punctum a ab aliquo puncto page 228 lineæ g d, cuius forma à puncto a reflectitur, qui ſit x: hæc ergo linea x a cõtinebit angulum cum linea g a, qui ſit x a g: & ducatur diameter d a: hęc ergo extra circulum

Fig. 605

x e g k z a d
producta neceſſariò diuidet angulum x a g per æqualia per 8 huius: eò quod ueniens à cẽtro ſpeculi & ad iſtum punctum reflexionis eſtperpendicularis ſuper lpſum: concurret ergo diameter d a cum perpendiculari g d inter punctum x reflexum & punctum g cẽtrum uifus. Sic ergo duæ lineæ rectæ, quæ ſunt x d & d a, in duobus punctis concurrent, & ſuperficiem continebunt: quod eſt impoſsibile. Patet ergo propoſitum: quoniam ab uno tantùm puncto ſpeculi reflexionem fieri eſtneceſſe: ergo & una tãtùm uidebitur imago. Et quia locum ipſius nulla linearũ interſectio determinat, ut patet per 37 th. 5 huius, palàm quòd illa imago uidetur in proprio loco ſuo: hoc autẽ eſt in ſuperficie ipſius ſpeculi in puncto ſcilicetreflexionis: niſi fortè propter cotinuitatem ſui cum punctis alijs formæ naturalis uiſæ ad locum alium imaginis pertrahatur. Pater ergo propoſitum.

11. Locum imaginis uiſæ in ſpeculis ſphæricis conuexis in concurſu lineæ reflexionis cum catheto inctdentiæ neceſſe eft eſſe: ex quo patet, quòd in omnireflexione ab his ſpeculis facta, ſemper imago totius rei uiſæ continetur in aliqua linea inter loca imaginum ſuorum extremorum punctorum producta: patet etiã quòd in his ſpeculis poßibile eſt locum imaginis inueniri. Euclides 17 th. catoptr. Alhazen 3. 16 n 5.

Quòd linea reflexionis concurrat cum catheto incidentiæ, patet per 9 huius: poteſt & idem demonſtrari aliter. Sit enim punctus rei uiſæ a: cẽtrum oculi b: punctus reflexionis g: centrum ſpeculi n. Palàm itaq per 25. th. 5 huius quòd a g linea incidentiæ, g b linea reflexionis ſunt in eadem ſuperficie erecta ſuper ſuperficiem ſpeculum in puncto g contingentem. Linea itaq communis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſit circulus z g q: & linea cõmunis ſuperficiei contingenti ſpeculum in puncto g & ſuperficiei reflexionis ſit linea e g p: ducaturq́ linea h g perpendicularis ſuper lineam e g p per 11 p 1. Et patet per 19 p 3 quòd linea h g producta per

Fig. 606

a h b e g p d z n q
tinget ad centrum circuli z g q: qui cum ſit circulus magnus, ut patet per 1 huius: palàm quòd centrũ eius eſt cẽtrum ipſius ſpeculi. Tranſit ergo linea h g producta ultra punctum g per cẽtrum ſpeculi, quod eſt n: aliter enim linea à centro ſpeculi ad pũctum g ducta erit etiam perpendicularis ſuper lineam p g e, & linea h g producta eſt perpendicularis ſuper eandem: ab eodem ergo puncto ad eũdem punctum lineæ rectæ continget ducere duas perpendiculares ſuper unam lineam: quod eſt impoſsibile. Pertinget ergo linea h g ad punctum n. Ducatur ergo linea a n à puncto uiſo ad centrum ſpeculi: eritq́ linea a n per 72 th. 1 huius perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi: ergo & ſuper ſuperficiem contingentẽ ſpeculum in puncto illo, per quem tranſit. Et quia inter duas lineas h g & p g angulum rectum cõtinentes cadit linea b g: palàm quia ipſa non contingit circulum z g q: ipſa ergo producta ſecat circulum: concurret ergo cũ linea a n: ſit, ut concurrat in puncto d. Cum itaq, ut patet per 6 huius, punctum a, cuius forma à puncto ſpeculi g reflectitur, & centrum ſpeculi, quod eſt n, neceſſario ſint in eadem ſuperficie: erit ergo per 1 p 11 linea a n in eadem ſuperficie cum linea b g. Palàm ergo per 37 th. 5 huius quia punctus d erit locus imaginis: quoniam ipſe eſt pũctus communis lineæ reflexionis, in qua neceſſariò eſt forma, & lineæ a n, quæ eſt cathetus incidentiæ formæ puncti a, ſecundum quam, ut ſecun dum lineam breuiorem, neceſſariò uidetur forma. Patet ergo principaliter propoſitũ per 37 th. 5 huius. Et per hoc patet corollarium, quòd in omni reflexione à ſpeculis ſphęricis conuexis facta, ſemper imago totius rei uiſæ continetur in aliqua linea inter loca imaginum ſuorum extremorum punctorum producta: quoniam catheti incidẽtiæ punctorum mediorum cadunt ſemper inter cathetos incidentiæ punctorum extremorũ: nec enim catheti incidentiæ ab aliquo illorum punctorum extremorum productæ ad centrum ſpeculi, ſecare poſſunt aliquam cathetum incidentiæ punctorum mediorum. Patet etiam quòd in his ſpeculis cuiuſcunq puncti rei uiſæ poſsibile eſt locum imaginis inueniri: producta enim linea recta à puncto quocunq uiſo per reflexionem ad centrum ſpeculi, & producta linea reflexionis ad cõcurſum cum illa: erit punctus com munis ſectionis illarum linearum ſemper locus imaginis. Et hoc proponebatur.

12. Cathetum incidentiæ linea reflexionis à circulo (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) ſecante, & à puncto reflexionis duct a recta illum circulum contingente, quæ ſecet cathetum: erit totius catheti proportio ad inferiorem partẽ ſui reſectam 229 uerſus centrum ſicut partis extrinſecus reſectæ per contingentem ad eam partem, quæ utraſ interiacet ſectiones. Alhazen 18 n 5.

Maneat diſpoſitio figuræ præcedentis: dico quòd proportio totius lineæ a n ad lineam n d eſt, ſicut proportio lineæ a e ad e d. Quia enim angulus b g h æ qualis eſt angulo h g a per 8 huius: angulus uerò b g h æ qualis eſt angulo d g n per 15 p 1, quia ſunt anguli cõ

Fig. 607

y g a e g p d z n q
tra ſe poſiti: patet quòd angulus h g à æ qualis eſt angulo d g n. Et quia anguli n gle & h g e ſunt recti per 18 p 3: ideo quod linea e g eſt perpendicularis ſuper lineam h g n: patet quòd æ qualibus angulis ab his hinc inde demptis, erunt anguli a g e & d g e æquales. E t quia in trigono a g d linea g e angulum a g d per æ qualia ſecat: palà m ex 3 p 6 quia proportio lineæ a e ad lineã e d eſt; ſicut lineæ a g ad lineam d g. Protrahatur itaq à puncto a linea æ quidiſtans lineæ d g p er 31 p 1 concurrens cum linea h n in puncto h: quæ ſit h a (cõcurrent autem illæ lineæ per 2 th. 1 huius) erit ergo per 29 p 1 angulus n g d æ qualis angulo g h a: ſed ex præmiſsis patet quòd angulus n g d æqualis eſt angulo a g h: eſt ergo angulus a g h æ qualis angulo a h g: ergo per 6 p 1 erit latus a g æquale lateri a h: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ a g ad g d, ſicut lineæ a h ad g d: ſed proportio lineę a h ad g d eſt ſicut proportio lineæ a n ad d n per 29 p 1 & per 4 p 6: quia ergo quæ, eſt proportio lineæ a h ad d g, eadem eſt lineæ a n ad d n: proportio uerò lineæ a h uel a g ad d g, ut patet ex pręmiſsis, eſt, ſicut proportio lineæ a e ad e d: ergo per 11 p 5 eſt proportio lineæ a n ad n d, ſicut lineæ a e ad e d. Quod eſt propoſitum: quoniam linea e d utraſq interiacet ſectiones.

13. In omni ſpeculo ſphærico conuexo linea recta interiacens centrum ſpeculi; & locum imæ. ginis, maior eſt rect a interiacente locum imaginis & punctum reflexionis. Alhazen 17 n 5.

Sit diſpoſitio quemadmodum in præcedẽte: dico quòd linea n d eſt maior quàm linea d g. Secet enim linea p g e lineam a n in puncto e: palàm quòd punctum e di

Fig. 608

a h b e g p f d z n q
citur ſinis contingentiæ, ut patet ex principijs libri huius 6 defini tione. Et quia per pręcedentem eſt proportio lineæ a n ad lineam n d, ſicut lineæ a e ad lineam e d: proportio uerò lineæ a e ad e d per 3 p 6, eſt ſicut proportio lineę a g ad g d: quoniá, ut præoſtẽſum eſt, linea e g diuidit angulum a g d per æ qualia: eſt ergo proportio lineæ a n ad n d, ſicut lineæ a g ad lineam g d per 11 p 5: ergo per 16 p 5 erit permutatim proportio lineæ a n ad a g ſicut lineę d n ad d g: ſed per 19 p 1 linea a n eſt maior quàm a g: ideo quòd angulus a g n eſt obtuſus, cum ſit maior angulo n g e recto: ergo linea n d eſt maior quàm linea d g. Et quia per 11 huius punctus d eſt locus imaginis: patet quòd linea n d interiacens centrum ſpeculi & locum imaginis eſt maior linea d g interiacente locum imaginis & punctum reflexionis, quod eſt g. Patet ergo propoſitum.

14. Ducta catheto incidentiæ ad centrum circuli, qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi: ducta quo & linea in puncto reflexionis eundem circulum contingente: pars catheti interiacens finem contingentiæ & circumferetiam circuli ſemidiametro eiuſdem circuli eſt minor. Alhazen 18 n 5.

Remaneat omnino diſpoſitio, quæ ſuprà. Et quia punctus e eſt finis contingentiæ: interſecet linea a n circumferẽtiam circuli in puncto f. Dico quòd linea e f eſt minor ſemidiametro circuli, quæ eſt f n. Quoniam enimm, ut patet ex pręmiſsis in proximo theoremate, proportio lineæ a g ad g d eſt, ſicut proportlo lineæ a e ad e d: & proportio lineæ a n ad d n eſt, ſicut lineæ a d ad d g: igitur per 11 p 5 erit proportio lineæ a n ad d n, ſicut lineæ a e ad e d: ergo per 16 p 5 erit perinutatim proportio lineæ a n ad a e, ſicut d n ad d e: ſed linea a n eſt maior quàm linea a e, quoniam totum eſt maius ſua parte: ergo linea d n eſt maior quàm linea d e: erit ergo linea d n multò maior quàm linea f e, quę eſt pars ipſius d e: multò magis ergo linea n f erit maior quàm linea f e. Quod eſt propoſitum.

15. Lineæ reflexionis formæ eiuſdem punctià diuerſis punctis ſpeculi ſphærici conuexi non ſunt æquidiſtantes: attamen in centro unius uiſus non concurrunt. Ex quo patet quòd unus uiſus non poteſt uidere idolum eiuſdem formæ reflexum à diuerſis punctis eiuſdem ſpeculi ſphærici conuexi. Euclides 4 th. catoptr. Ptolemæus 8 th. 1 catoptr.

page 230

Eſto centrum uiſus b: & punctus rei uiſæ ſit e: ſitq́ cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi circulus a g: incidatq́ punctus e diuerſis punctis ſpeculi in circulo a g:quæ ſint a & g. Dico quòd duæ lineæ reflexionis b a & b g non ſuntæquidiſtante s: attamen in unius centro ui

Fig. 609

b e n a f g
ſus non concurrent. Dato enim quòd concurrant in puncto b: ducatur intra circulum chorda arcus a g: quæ ſit recta a g: & producatur extra circulum uſq ad punctũ f e x parte a, & ex parte g uſq ad punctum n. Et quia per 20 th. 5 huius angulus e g n eſt æqualis angulo b g a: ſed angulus e g n maior eſt angulo e a g per 16 p 1: ergo angulus b g a maior eſt angulo e a g: ſed angulus b a f maior eſt angulo b g a per 16 p 1: ergo angulus b a f eſt maior angulo e a g. Non ergo reflectitur form a puncti e ad uiſum exiſtẽtem in puncto b à puncto ſpeculi a per 20 th. 5 huius. Et tamen quia angulus b a f non eſt æqualis angulo b g a, ſed minor: ideo quia per 16 p 1 angulus e g n eſt maior angulo e a g: ergo per 20 th. 5 huius, & ex hypotheſi erit angulus b g a maior angulo b a f Palàm ergo per 14 th. 1 huius quia duæ lineæ b a & b g non ſunt æquidiſtantes: ſed ut patet ex præmiſsis, ipſæ nunquam concurrent in puncto b, in quo eſt centrum uiſus. Patet ergo propoſitum. Et per hoc patet quòd unus uiſus non poteſt uidere idolum eiuſdem formæ à diuerſis punctis talium ſpeculorum reflexum. Quod proponebatur.

16. A ſuperficie ſpeculi ſphærici conuexi non poteſt forma alicuius puncti ad uiſum unum, niſi à ſolo puncto reflecti: & una ſola imago uiſui occurrit. Alhazen 29 n 5.

Quoniam enim per 10 huius patet quòd forma perpendiculariter huiuſmodi ſpeculo incidens, centro uiſus in illa perpendiculari exiſtente, ab uno tantùm puncto reflectitur ad uiſum: non oportet nos nunc propoſitũ niſi de lineis obliquè his ſpeculis ſphæricis conuexis incidentibus demonſtrare. Sit ergo punctum uiſum b: & centrum uiſus à: & non ſit punctum a in perpendiculari ducta à re uiſa a d centrum ſpeculi, quod ſit n. Dico quòd ſorma puncti b reflectitur ad a centrum uiſus ab uno ſolo puncto ſpeculi: & una ſola imago uiſui occurrit. Palàm enim per 5 huius quòd uiſibili, in quo eſt punctum b, modo conuenienti oppoſito ipſi ſpeculo, ab aliquo puncto ſuperficiei ſpeculi poteſt reflecti forma puncti b ad uiſum a. Sit illud punctum reflexionis g: & ducantur lineæ b g & a g: & ducatur cathetus incidentiæ, quę ſit b n, ſecans ſuperficiem ſpeculi in puncto l: & ſit a n diameter uiſualis, ſecans ſuperficiem ſpeculi in puncto r. Sint quoq pũcta d & e termini portionis ſuperficiei ſpeculi uiſui oppoſitæ: producaturq́ linea reflexionis a g: quæ producta ultra punctum g ſecabit per 9 huius perpẽdicularem b n: ſecet ergo illam in puncto q, qui punctus q, ut patet per 11 huius, eſt locus imaginis. Palàm itaque per 6 huius quia puncta a, n, b ſunt in eadem ſuperficie ortho

Fig. 610

b k a p f m j z s t r e o q h n d
gonali ſuper ſuperficiem ſpeculi. Et quia ſuperficierum erectarum ſuper ſphæram ſpeculi, in quibus ſunt puncta b & n, nulla extẽdi poteſt ad punctum a, quod eſt centrũ uiſus, niſi una tantùm: quo niam punctus a eſt in diuiſibilis, qui ad ſuperficies ſe circa ipſum uel lineam, in qua eſt, non ſecantes communis eſſe non poteſt: tũc palàm quia puncti a & b ſunt tantùm in una ſuperficie erecta ſuper ſphæram ſpeculi, & non in pluribus. Non ergo fiet reflexio pũcti b ad uiſum a, niſi in circulo ſphæræ, qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei a n b. Sit ergo hic circulus d g e. Dico quòd à nullo puncto huius circuli d g e, præterquam à ſolo punctò, quod propoſitum eſt eſſe g, ſiet reflexio formæ puncti b ad a cẽtrum uiſus. Si enim ſit poſſibile fieri reflexionem ab alio puncto circuli d g e, quàm à puncto g: ſit ille datus punctus l, in quo cathetus incidẽtiæ, quę eſt b n, ſecat ſuperficiem ſpeculi. Cum itaq linea b n ſit perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi, & linea a l nõ ſit perpendicularis ſuper illam, quia non tranſit centrum ſpeculi, quod eſt n: & forma ſecundum lineam perpendicularem ueniens, neceſſariò ſecundum perpendicularem reflectatur quoniam ſemper angulus incidẽtiæ eſt æqualis angulo reflexionis: palàm quia non reflectitur forma puncti b ad uiſum a à pũcto l. Palàm etiã quòd non reflectetur ab aliquo pun page 231 cto arcus le: hocenim eſt impoſsibile: quia ad quodcunq punctũ illius arcus ducatur linea à punctob, tenebit cum linea contingẽte circulum ín puncto illo, angulũ obtuſum expartee. Ideo enim quòd angulus contentus ſub diametro circuli, & linea in illo puncto circulum contingente eſt rectus per 18 p 3, & illa ſemidiameter educta non peruenit ad punctum b, quoniam ibi peruenit ſemidiameter n l: erit ergo angulus contentus ſub linea ducta à puncto b, & ſub illa linea contingente exparte punctib, neceſſariò obtuſus: & linea ducta à puncto a tenebit cum illa linea contingente in puncto dato angulum acutum uerſus l: linea enim à centro ſpeculi ad punctum illum cõtingentiæ perueniens tenebit cum linea contingente circulum in illo puncto angulum rectum per 18 p 3: â puncto uerò a linea ueniens cum eadem contingente tenebit angulum minorem recto ex parte puncti k hęc enim contingens̀ à puncto a ducinon poteſt, quod patet per 57 th. 1 huius, quoniam linea a e ſuperficiem ſpeculi eſt contingens exhypotheſi: propter hoc, quia lineæ a e & b d continent arcum circuli d g e uiſui apparentem, qui per 2 huius à ſuperficie ſpeculi non apparente uiſui per lineas contingentes determinatur, Quare ſi ab illo puncto ſieret reflexio, tunc per 20 th. 5 huius accideret, quòd eſſet angulus acutus æ qualis obtuſo: quod eſt impoſsibile. Non ergo fiet reflexio ab aliquo puncto arcus l e. Sed etiam à nullo puncto arcus gl poteſt in hac diſpoſitione fieri reflexio. Sit enim, ſi poſsibile eſt, ut fiat à puncto z: & ducatur linea a z o, ſecans cathetum incidẽtiæ, quæ eſt b n, in puncto o: & ducatur linea contingens circulum in puncto z: hæc ergo contingens neceſſariò cadet inter lineas b g & b l, quoniam punctus z eſt inter punct a g & l. Sit ergo illa contingens linea z m: & ſit g flinea contingens circulum in puncto g: ſecetq́ linea z m cathetum incidentiæ in puncto m: & linea g fin puncto f. Palàm ergo per 12 huius quòd proportio lineæ b n ad lineam n q eſt. ſicut lineæ b f ad lineam ſ q: & ſimiliter erit proportio lineæ b n ad n o, ſicut proportio lineæ b m ad m o: ſed quia linea o n maior eſt quàm linea q n, quoniam totum maius eſt ſua parte: erit per 8 p 5 lineæ b n ad n q maior proportio quàm ad lineam n o: maior ergo proportio eſt lineæ b f ad ſ q quàm lineæ b m ad m o: quod eſt impoſsibile, & contra 9 th. 1 huius, cum linea b f ſit minor quàm linea b m, & f q ſit maior quàm m o: reſtat ergo ut à puncto z non fiat reflexio. Sed neq ab aliquo alio puncto arcus g l: quoniam dato quocunq puncto alio à puncto z, poteſt fieri deductio præmiſſo modo. Similiter quoq nec ab aliquo puncto arcus g d fiet reflexio. Si enim fiat ab aliquo, ſit iſtud t: & ducatur linea b t, & linea a th ſecans cathetum b n in puncto h: & ducatur contingens circulũ in puncto t, quæ ſit t p, ſecans cathetum b n in puncto p. Erit ergo per 12 huius proportio lineæ b n ad n h. ſicut lineæ b p ad p h, & lineæ b n ad n q eſt ſicut lineæ b f ad ſ q: ſed maior eſt proportio lineæ b n ad n h, quàm lineæ b n ad n q per 8 p 5: maior eſt ergo proportio lineæ b p ad p h, quàm lineæ b f ad f q: quod eſt impoſsibile, & contra 9 th. 1 huius: maioris enim ad minorem maior eſt proportio, quàm minoris ad maiorem per eandem 9 th. 1 huius: eſt enim linea b f maior quàm b p, & p h maior quàm f q. Palàm ergò quòd à nullo pũcto arcus g d fiet reflexio formæ pũcti b ad uiſum a. Quodlibet ergo punctũ formæ uiſæ ab uno ſolo puncto ſpeculi conuexi ſphærici ad uiſum reflectitur: una ſola ergo erit linea reflexionis cuiuslibet puncti uiſi: ſed eſt etiam unica cathetus incidẽtiæ per 20 th. 1 huius: unicus ergo punctus eſt, in quo illæ lineæ rectæ ſe ſecant, qui eſt locus imaginis, ut patet per 11 huius. Vnius ergo puncti eius eſt unica imago. Et hoc eſt propoſitum.

17. In una catheto incidẽtiæ ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi ſumptis duobus punctis, que rum formæ à ſuperficie ſpeculi ſint reflexibiles ad unum uiſum: erit punctus reflexionis puncti
Fig. 611

b k u a p e l g t q n d
propinquioris centro ſpeculi remotior à centro uiſus, quàm puncti remotioris ab eodem centro ſpeculi ſit ab ipſo centro uiſus. Alhazen 30 n 5.

Remanẽte diſpoſitione, quæ in pręcedente, ſint in catheto incidẽtiæ, quæ eſt n b, duo pũcti ſignati, qui ſint p & b: ſitq́ punctus p propinquior centro ſpeculi puncto ſcilicent n, cẽtro circuli d g e, qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi dati: & ſit punctus b remotior ab eodem centro: & ſit a cẽtrum uiſus: & ſit locus reflexionis puncti b punctus g. Dico quòd punctus reflexionis formę punctip remotior eſt à cẽtro uiſus, qui eſt punctus à, quàm g, qui eſt punctus reflexionis formæ puncti b. Ducantur enim à puncto a duę lineæ contingentes circulum, & portionem circuli oppoſitam uiſui continẽes per 2 huius, quæ ſint a e & a d: & ſit punctus, in quo cathetus b n ſecat circulum propoſitum, punctusl. Palàm ergo quòd forma puncti p non reflectitur à puncto l ad punctum a: quoniam ſola perpendicularis uiſualis reflectitur in ſeipſam per 10 huius: neq reflectitur forma puncti p à puncto g: quoniam ab illo reflectitur forma puncti b, ut patet per page 232 præmiſſam: ſed neceſſe eſt ut refle ctatur ab aliquo puncto arcus g l inter puncta g & l. Sienim detur quòd ab aliquo puncto arcus g d fiat reflexio formæ puncti p ad uiſum: ſit illud punctum t: ſitq́ p tlinea incidentiæ formæ puncti p: ducatur itaq ad punctum t perpendiculàris n t u: hæc ergo per 8 huius neceſſariò diuidit angulum p t a per æqualia. Ducatur quoq ad punctum g perpendicularis n g k: palàm ergo per 21 p 1 quòd angulus n t a maior eſt angulo n g a: angulus ergo u t a (qui per 13 p 1 eſt reſiduum duorum rectorum ſuper angulum n t a) eſt minor angulo k g a, qui eſt reſiduum duorum rectorum ſuper angulum n g a: ſed angulus k g a per 8 huius æ qualis eſt angulo b g k: angulus ergo u t a eſt minor angulo b g k: angulus ergo p t u (qui per 8 huius eſt æqualis angulouta) minor eſt angulo b g k: ſed angulus p t u ualet angulum p n t, & angulum t p n per 32 p 1, & angulus b g k ualet angulum g b n, & angulum g n b per eandem 32 p 1: erũt ergo duo angulitnp & t p n minores duobus angulis g b n & g n b: quod eſt impoſsibile: cum angulus pnt contineat angulum b n g, tanquam partem ſui, & angulus t p n ſit maior angulo g b n per 16 p 1. Palàm ergo quòd punctus p non reflectitur niſi ab aliquo puncto arcus g linteriacente puncta g & l Et quoniam inter puncta g & l punctus g eſt propinquior puncto a, qui eſt centrum uiſus: patet quòd omne punctum arcus g l aliud à puncto g, eſt remotius à centro uiſus a, quàm punctumg, quod eſt punctum reflexionis formæ puncti b. Punctum ergo reflexionis formæ puncti propinquioris centro ſpeculi, eſt remotius à centro uiſus, quàm punctus reflexionis formæ puncti remotioris à centro ſpeculi. Quod eſt propoſitum.

18. Formæ omnium punctorum æqualiter diſtantium à centro ſpeculi ſphærici conuexi, ſecundum æquales angulos ſub cathet is incidentiæ & diametris uiſualibus in centro ſpeculi contentos reflectuntur ad uiſus.

Sit communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi circulus a b c: cuius centrum ſit d: patetq́ per 1 huius quoniam punctum d eſt centrum ſpeculi: ſintq́ duo puncta e & f æqualiter diſtantia à centro ſpeculi, quod eſt d: erunt ergo lineæ e d & f d æ quales. Dico quòd neceſſarium eſt formas illorum punctorum reflecti ad ui

Fig. 612

k g e f a m h l c g d
ſum ſecundum angulos æ quales: ut ſi forma puncti e reflectatur ad uiſum exiſtentem in puncto g à puncto ſpeculi h: & forma punctif, quæ per præmiſſam non poteſt reflecti ad uiſum g à pũcto h, reflectatur ad uiſum exiſtentem in puncto k à puncto l: & ducantur lineæ g d & k d: dico quòd angulus e d g eſt æ qualis angulo f d k. Sit enim, ut cathetus incidẽtiæ, quæ eſt e d, ſecet circulum in pũcto a: & cathetus f d in puncto b: & diameter uiſualis g d ſecet circulum in puncto c, & diameter k d in puncto m. Quia itaque lineæ e d & f d ſunt æ quales, patet per præmiſſam, quoniam puncta reflexionis, quę ſunt h & l, æ qualiter diſtant à uiſibus, ad quos reflectuntur, ut quantùm diſtat h punctus reflexionis à puncto c, in quo diameter uiſualis g d ſecat circulum, tantùm diſtat punctus reflexionis, qui eſt l, à puncto m, in quo diameter uiſualis, quæ eſt k d, ſecat circulum: quoniam punctus reflexionis formæ puncti minus diſtantis à centro ſpeculi fit per præ miſſam remotior à centro uiſus, & plus diſtantis propinquior. Ergo in illis, quæ æqualiter diſtant, erit æ qualitas diſtantiæ à uiſibus, ad quos reflectuntur. Nec eſt in hoc diuerſitas, ſiue aliqua puncta ſint in diuerſis cathetis incidentiæ, uel in una: ſemper enim punctorũ æ qualiter diſtantium à centro eiuſdem ſpeculi, eadem eſt habitudo & ratio reflexionis: arcus ergo h c eſt æ qualis arcui l m: & eadem ratione eſt arcus a h æ qualis arcui b l. Quoniã ergo per 33 p 6 peripheria circuli (ſicut & per 87 th. 1 huius tota ſuperficies ſpeculi) æ qualiter ſe habet ad centrum: & puncta e & f æ qualiter diſtant ab eodem centro: totus ergo arcus a c eſt æ qualis toti arcui b m: ergo per 27 p 3 angulus e d g eſt æ qualis angulo f d k. Quod eſt propoſitum.

19. Impoſsibile eſt duo puncta æqualis diſtantiæ à centro ſpeculi ſphærici conuexi, ex eadem parte diametri uiſualis exiſtentia, ab arcu (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi) adeundem uiſum reflecti.

Sit communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi circulus a b c, cuius centrum ſit punctum d: & ſint duo puncta æ qualiter diſtantia à centro ſpeculi, quæ ſinte & f: ſitq́ centrum uiſus in puncto g, in eadem ſuperficie cum punctis e & f, & exuna parte ipſorum: ſitq́ punctum e remotius à puncto g quàm puuctum f. Dico quòd illa duo puncta e & fnon eſt poſsibile reflecti ad unum uiſum exiſtentem in puncto g. Ducantur enim lineæ e d, f d, g d: pater itaq ex hypotheſi quòd angulus e d g eſt maior angulo f d g, ſicut totum ſua parte: fiat itaq ſuper punctum d terminum lineæ f d angulus æ qualis angulo e d g per 23 p 1, qui ſit f d h. Palàm ergo per præcedentem, 233 quoniam forma puncti frefle ctetur ad punctum h, quod erit ultra punctum g: nõ ergo ad punctum g per 15 huius. Patet ergo propoſitum. Si enim detur, ut reflectatur ad pũctum g, erit per præmiſſam angulus partialis, qui f d g, æqualis angulo e d g: quod eſt impoſsibile.

Fig. 613

y a e p g c f g

20. Puncto rei uiſæ & centro uiſus æqualiter à ſuperficie ſpeculi ſphærici conuexi diſtantibus, punctum reflexionis inuenire. Alhazen 31 n 5.

Eſto b pũctus rei uiſæ: & ſit a cẽtrum uiſus: ſit quoq dati ſpeculi conuexi ſphærici cẽtrum c: & ſit circulus (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficierum reflexionis & ſpeculi) quie f g: & ducantur catheti b c & a c, ſecantes circulum in punctis f & g. Quia ergo propter æ qualitatem altitudinis puncti rei uiſæ cum centro uiſus, iſtæ duæ lineæ b c & a c ſunt

Fig. 614

g d a f e g c
æ quales, cum manifeſtum ſit per ea, quæ patuerũt in demonſtratione 17 huius, quoniam ab aliquo puncto arcus f g interiacentis cathetos incidentię & reflexionis neceſſariò fiet reflexio: ſecetur itaq per 9 p 1 angulus a c b per æ qualia per lineam c d, ſecantem arcum f g in puncto e. Patet quoq per 26 p 3 quoniam arcus f e eſt æ qualis arcui e g: eritq́ linea c d per pendicularis ſuper lineam circulũ contingentem in pũcto e per 18 p 3. Ducantur ergo ad punctũ e duæ lineæ a e & b e: erũtq́ duo trianguli a e c & b e c per 4 p 1 & ex hypotheſi ęquianguli & æ quilateri: angulus ergo a e d æqualis erit angulo d e b: erit ergo per 8 huius punctus e, qui eſt medius pũctus arcus f g, punctus reflexionis formę pũcti b ad uiſum a. Ethoceſt propoſitũ. Si uerò lineæ b c & a c fuerint inæ quales, fiat in ipſis æ qualitas longioris, ut ſi linea b c ſit lõgior quàm a c, cũ f c ſit ęqualis c g; quia ſunt ſemidiametri eiuſdẽ circuli: reſecetur linea b f ad æ qualitatẽ lineæ a g in pũcto h: ſitq́ f h æ qualis ipſi a g: palàm ergo per pręmiſſa quoniã forma pũcti h reflectitur ad uiſum a à puncto e. Puncta uerò uiciniora centro c, quia per 17 huius ſunt in puncto ſuæ reflexionis magis diſtantia à puncto, quod eſt centrum uiſus, nec poſſunt cadere in punctum e: palàm quia reflectunturà punctis arcus e f, & ſecundum elongationem ſui à centro circuli c, erit punctorum ipſorum reflexionis approximatio ad centrum uiſus ſe:
Fig. 615

b d m h a f e g c
cundum puncta ſuæ reflexionis. Remotiora uerò pũcta, ut illa, quæ ſunt ſupra punctum h, ſcilicet puncta m & b, erunt ſecundum puncta ſuę reflexionis propinquiora centro uiſus quàm punctum e: cadent ergo in arcum e g, & ſecundum approximationem ſui ad centrum circuli c, erit punctorum reflexionis maior elongatio à centro uiſus b. Hoc autem licet ſic in groſſo ſcientiam afferat: eſt tamen ſecundum ſingulorum punctorum reflexionis à punctis ſingulis ſuperficiei ſpeculi diligentius perſcrutandum.

21. Si angulus contentus ſub linea incidentiæ à puncto rei uiſæ obliquè duct a ad pũctum aliquem ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi, & linea à centro ſpeculi ad eundem punctum duct a nõ fuerit maior recto, impoßibile eſt fieri reflexionem perfectam ad aliquem uiſum ſecundum illum punctum. Alhazen 40 n 5.

Eſto a centrum uiſus: & b punctus rei uiſæ: ſit quoq punctum g centrum ſpeculi ſphærici conuexi: ſitq́ communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi circulus, cuius centrum erit punctũ g per 1 huius: ſit quoq d punctus aliquis reflexionis: & ducantur lineæ g d, b d & a d, quæ neceſſariòt erũt in ſuperſicie reflexionis per 6 huius, uel per 27 th. 5 huius. Dico quòd ſi à puncto d debet fieri reflexio, neceſſe eſt angulum b d g eſſe maiorem recto: quia ſi non ſit maior recto, nunquam fiet ab illo puncto reflexio. Sienim angulus b d g non eſt maior recto: aut ergo eſt rectus, aut minor recto. Si dicatur quòd ipſe ſit rectus: ergo per 16 p 3 linea b d contingit circulum in puncto d: ſed per 20 th. 5 huius angulus incidentiæ eſt æ qualis angulo reflexionis: ergo & angulus a d g erit rectus & contingens circulum in puncto d: ergo per 14 p 1 duę lineæ b d & d a coniunctæ in puncto d ſunt linea una. Non ergo fit reflexio ſecundum perfectam naturá reflexionis formæ puncti b à púcto ſpeculi d ad uiſum exiſtentem in puncto a, ſed fit ſimpliciter uiſio ſecũdum lineam a d b, quod eſt contra hypotheſim: quoniam pũctum d eſt poſitum eſſe punctum reflexionis. Si uerò angulus b d g dicature eſſe minor recto: tunc â puncto d ducatur linea circulum contingens in puncto d per 17 p 3; quæ producatur page 234 ad partem lineæ d b, & ſit d e: erit ergo per 18 p 3 angulus g d e rectus. Et quoniam angulus b d g eſt datus minor recto: eſt ergo angulus b d g minor angulo e d g. Et quoniam lineam b d, quæ eſt linea inciden

Fig. 616

a b d a e b b g
tiæ formæ puncti b, extra ſpeculum cadere eſt neceſſe: erit ergo neceſſarium peripſam diuidi angulũ contingentiæ lineæ d e: quod eſt impoſsibile, & contra 16 p 3. Non eſt ergo poſsibile angulum b d g eſſe minorem recto, ſed neq æqualem: neceſſarium ergo eſt ipſum eſſe maiorem recto, & hoc proponebatur.

22. Puncto rei uiſæ dato plus diſtante à cẽtro ſpẽ culi ſphærici conuexi quàm centrum õculi: poßibile eſt in ſuperſicie ſpeculi inuenire certum pũctum reflexionis formæ dati puncti ad datum centrum uiſus. Alhazen 39 n. 5.

Eſto punctum a centrum uiſus: & ſit b datus punctus rei uiſæ: ſitq́ue g centrum ſpeculi ſphærici conuexi: ducanturq́ue lineæ a g & b g: ſitq́ue exempli cauſſa, linea b g maior quàm linea a g, ideo ut punctus b plus diſtet à centro ſpeculi g quàm centrum uiſus a. Et quoniam lineæ a g & b g ſunt in ſuperficie reflexionis per 25 th. 5 huius, ſit communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi circulus, cuius centrumg. Dico quòd in hoc circulo poſsibile eſt inuenire punctum reflexionis, à quo refle ctitur forma puncti b ad uiſum a. Diuidatur enim angulus b g a per æ qualia per 9 p 1, ducta linea e g ſecante peripheriam circuli in punctou. Sumatur quoque alia linea, quæ ſit m k: & diuidatur in puncto ftaliter, ut eius pars f m ſe habeat ad fk, ſicut linea b g ad lineam g a per 119 th. 1 huius: & diuidatur linea m k per æ qualia in puncto o per 10 p 1: & à puncto o educatur perpendicularis indefinita ſuper lineam m k per 11 p 1, quæ ſit o c: & ducatur à puncto k linea ad lineam co, tenens cum ipſa linea c o angulum æ qualem angulo e g b, quæ ſit k c: eſt autem poſsibile hoc fieri. Cum enim linea o c fuerit accepta indefinita, & linea g e indefinita, ducatur per 12 p 1 à puncto b perpendicularis ſuper lineam g e, quæ ſit b e: eritq́ue angulus b e g æ qualis angulo c o k, quia uterque rectus: ſuper punctum ergo kterminum lineæ o k ſiat per 23 p 1 angulus o k c æ qualis angulo e b g, producta linea k c, quæ per 14 th. 1 huius neceſſariò concurret cum linea o c: quoniam cum angulus k o c ſit rectus, patet quòd angulus o k c, qui eſt æ qualis angulo e b d, eſt acutus: palàm per 32 p 1 quoniam angulus o c k eſt æ qualis angulo b g e. Quia ergo trigonum k o c eſt orthogonium, in cuius latere o k eſt datus punctus f, tunc per 137 th. 1 huius à dato puncto f ducatur linea ad baſim trigonick, quæ ſit fp: & concurrat cum producto latere c o in punctos, ita ut proportio lineæ s p ad p k ſit, ſicut lineæ b g ad ſemidiametrum circuli, cuius centrum eſt punctum g: quæ ſit g u. Ex angulo quoq b g a ſecetur angulus æ qualis angulo f p k per 27 th. 1 huius, qui ſit b g d: hoc autem eſt poſſibile propter hoc, quia angulus p c s eſt æ qualis medietati anguli b g a: eſt autem angulus p c s maior angulo c s p per 18 p 1: quoniam ſic oportet duci lineam s p, ut linea s p fiat maior quàm linea c p, ad quæſitum propoſitum inueniendum: aliàs enim non poſſet per lineam m k punctus quærendæ reflexionis inueniri, ſed oporteret aliam lineam aſſumi: eſt ergo angulus f p k minor angulo b g a per 32 p 1: & ducantur lineæ k s & b d. Quia ergo

Fig. 617

c p r m o f k y s
Fig. 618

b f e m h a d a c z q t i g j
proportio lineæ s p ad p k eſt, ſicut lineæ b g ad ſemidiametrum g d, & anguli his lineis proportionalibus con tenti ſunt ęquales: erunt per 6 p 6 trianguli s p k & b g d æquianguli: eritq́ angulus s k p æ qualis angulo b d g. Sed fortè ſecundũ quod pro ponitur in 133 th. 1 huius, & declaraturin 137 th. 1 huius, poſsibile eſt à puncto f duci lineam aliam ad lineam c k ſimilem lineæ s p: ut ſi ducatur hoc modo linea y fr, ſe cans lineam c s in puncto y, & lineam ck in puncto r talîter, ut proponitur, ſcilicet ut ſit eius proportio ad r k partem lineæ, quam ſecabit ex linea c k, ſicut lineæ s p ad p k: & tunc à puncto k ad lineam o s ducatur linea k y alia quàm linea s k, aliumq́ue cum linea c k angulum continens maiorem uel minorem angulo c k s, qui ſit angulus c k y. Si ergo maior angulus ex his non fuerit maior recto, non erit inuenire punctum reflexionis, ut patet per præmiſſam: quoniam & tunc angulus contentus ſub linea reflexionis & ſemidiametro ſpeculi non erit maior recto. Si 235 uerò aliquis illorum angulorum fuerit maior recto, erit poſsibile fieri reflexionem, & purictum eius inueniri. Sit igitur primò angulus c k s maior recto, eritq́ poſsibile inueniri punctum reflexionis. Palàm enim ſi angulus c k s eſt maior recto, quòd eius æ qualis b d g eſt maior recto: ducatur itaq à puncto d linea contingens circulum per 17 p 3, quæ ſit n d y: cuius punctus n cadat in lineam b g per 14 th. 1 huius. Et cum angulus p k o ſit minor recto per 32 p 1, ideo quia angulus c o k eſt rectus, ut patet ex præmiſsis: ſecetur ergo ex angulo b d g æ qualis angulo p k o per 27 th. 1 huius, qui ſit angulus q d g, ducta linea d q ſecante lineam b g in puncto q. Cum igitur angulus s p k ſit æ qualis angulo d g q, & angulus p k ſ æ qualis angulo q d g, erit per 32 p 1 triangulus f p k æ quianguuls triangulo q g d: erit ergo angulus p f k æ qualis angulo d q g: ergo per 13 p 1 erit an gulus d q b æ qualis angulo k f s. Et quia angulus b d q eſt æ qualis angulo f k s: ideo quia cum totus angulus b d g ſit æ qualis toti angulo c k s, & angulus q d g ſit æ qualis angulo p k f: reſtat ut angulus b d q æ qualis ſit angulo f k s: ergo per 32 p 1 angulorum duorum illorum trigonorum b d q & f k s erit tertius tertio æ qualis, ſcilicetangulus d b q angulo k s f: trianguli ergo b d q & f k s ſunt per 4 p 6 ſimiles. Producatur autem linea q d extra circulum: & à puncto b ducatur perpendicularis ſuperipſam: quæ ſit b z: erit ergo angulus b q z per 13 p 1 æ qualis angulo s f o, & angulus b z q rectus æ qualis eſt angulo s o f recto: erit ergo per præmiſſa triangulus b q z ſimilis triangulo s f o. Producatur ergo linea d z ultra punctum z uſq ad punctum i, ita quòd linea z i ſit æ qualis lineæ z d per 3 p 1: palàm ergo ex ſimilitudine triangulorum quoniam proportio lineę z q ad q b eſt, ſicut lineæ of ad f s: & proportio lineæ b q ad q d eſt ſicut lineæ fs ad f k: erit ergo per 22 p 5, proportio lineæ z q ad q d, ſicut o f ad f k: ergo per 18 p 5 erit coniunctim proportio lineæ z d ad q d, ſicut lineæ o k ad f k: ergo per 15 p 5 erit proportio lineæ i d ad lineam q d, ſicut m k ad f k: eſt enim linea i d dupla ad lineam d z, ſicut linea m k dupla ad lineam o k: ergo per 17 p 5 erit diuiſim proportio i q ad q d, ſicut m f ad f k: eſt autem ex præmiſsis proportio m f ad f k, ſicut g b ad g a: ergo per 11 p 5 erit proportio i q ad q d, ſicut b g ad g a: quoniam accepta eſt proportio m ſ ad f k, ſicut b g ad g a. Ducatur itaque linea b i: cui à puncto d ducatur æ quidiſtans d l per 31 p 1: & producatur linea b g donec concurrat cum linea d l in puncto l: concurrent autem illæ lineæ per 2 th. 1 huius: eritq́ per 15 & per 29 p 1, & 4 p 6 triangulus l d q ſimilis trian gulo b q i: & erit proportio q i ad q d, ſicut bi ad d l. Et cum linea i z ſitæ qualis lineæ z d, & linea b z perpendicularis ſit ſuper lineá d i, ut patet ex pręiniſsis: erit per 4 p 1 linea b d æ qualis b i: erit ergo proportio li neæ b d ad d l per 7 p 5 ſicut lineæ b i ad d l: eſt ergo proportio lineæ b d ad d l, ſicut lineæ i q ad q d: ergo per 11 p 5, ſicut lineæ b g ad g a. Ducatur autem à puncto d linea, quæ ſit d h, æ qualem tenens angulum cum linea d l angulo b g a per 23 p 1: qui ſit angulus h d l: cadatq́ punctus h in linea b g. Cum ergo lineæ h l & d l concurrantin puncto l: erunt duo anguli l h d & l d h minores duobus rectis per 32 p 1 uel per 14 th. 1 huius: ergo duo anguli a g h & d h g, qui ſunt æ quales iſtis, ut patet ex præ miſsis, ſunt minores duobus rectis: quare linea h d cõcurret cũ linea g a per 14 th. 1 huius. Di co quòd concurret in puncto a. Palàm enim quòd angulus g d n eſtrectus per 18 p 3: ſed per 32 p 1 cũ trigoni o k c angulus c o k ſit rectus, & duo anguli o c k & c k o ſint & qualestecto: eſt angulus g d n æ qualis illis duobus angulis o k c & o c k, & angulus o k e, ut patet expræmiſsis, æqualis eſt angulo g d q: reſtat ergo, ut angulus q d n ſit æqualis angulo o c k, qui, ut pater ex præ miſsis, æqua. lis eſt angulo b g e, ſcilicet medietati anguli b g a: eſt ergo angulus q d n medietas anguli b g a, & ita medietas anguli h d l: ſed angulus q d b eſt medietas anguli b d l per 3 p 6: quoniam eſt proportio lineæ b q ad q l, ſicut lineæ b d ad d l: cum, ſicut ſuprà oſtenſum eſt, triangulus d q l ſimilis ſit triangulo b q i, & linea b d æqualis ſit lineæ b i, ut patet ex præ miſsis: reſtat igitur ut angulus b d n ſit medietas anguli h d b: & ita angulus b d n eritæ qualis angulo n d h. Cum enim angulus b d q ſit æ qualis angulo q d l, patet quòd angulus b d h excedit angulum h d l in duplo anguli q d h: eſt ergo angulus b d n æ qualis angulo n d h. Producatur itaq linea g d ultra punctum d ad punctum f. Et quia anguli f d n & g d n ſunt recti: reſtat ut angulus b d f ſit æ qualis angulo h d g: ducatur ergo per 31 p 1 linea h t æquidiſtans lineæ b d, cuius punctus t cadat in lineam d g. Palàm ergo per 29 p 1 quòd angulus b d f eſt æ qualis angulo h t d: ſed & angulus b d f æ qualis eſt angulo h d g: ergo per 6 p 1 linea h t eſt æ qualis lineę h d: ſed eſt proportio lineæ b d ad h t ſicut lineæ b g ad g h per 29 p 1 & per 4 p 6: cum lineę b d & h t ſuntæquidiſtantes: eſt ergo per 7 p 5 proportio lineæ b d ad d h, ſicut lineæ b g ad g h: ſed ex præmiſsis patet quòd linea h d producta ultra punctum d concurret cum linea g a, & fiet per 32 p 1 triangulus ſimilis triangulo h d l, cum habeant angulum l h d communem, & angulus h d l ſit ex præmiſsis æqualis angulo h g a: igitur per 4 p 6 eſt proportio lineę h d ad lineam d l, ſicut lineę h g ad lineam, quam ſecat linea h d exlinea a g: & proportio lineę b d ad d l per 13 th. 1 huius conſtat exproportione lineę b d ad d h, & lineę d h ad l d: igitur, ut patet ex præmiſsis, proportio lineę b d ad lineam d l conſtat ex proportione lineę b g ad g h, & lineę g h ad lineã, quã h d ſecat ex g a: ſed proportio b d ad d l, ut patuit ſuperius, eſt ſicut b g a d g a: ergo proportio b g ad g a cõſtat ex proportionibus b g ad g h, & ipſius g h ad lineá, quá ſecat h dex g a: cõſtat aũt proportio lineę b g ad lineã g a per 13 th. 1 huius ex proportiõe lineę b g ad g h, & lineę g h ad g a: igitur g a eſt linea, quã ſecat h d ex linea a g: & ita linea h d concurrit cum a g in puncto a. Quia itaq, ut patet ex præmiſsis, angulus b d f eſt æqualis angulo h d g, & angulus h d g æ qua lis eſt angulo f d a ſibi contrapoſito per 15 p 1: patet quòd angulus b d f ęqualis eſt angulo f da. Illud ergo punctum d eſt punctus reflexionis per 8 huius: quoniam in ipſo angulus incidentię fic page 236 æqualis angulo reflexionis. Quod eſt propoſitum, quando angulus cks eſt maior recto. Quòd ſi neuter angulorũ, qui ſunt c k s & c k y fuerit maior recto: dico quòd non fiet reflexio ab aliquo pun cto ſpeculi ad uiſum. Sienim dicatur quòd hoc ſit poſsibile: ſit ergo punctus reflexionis d, ductis lineis a d, b d, a g, b g, d g. Et quia fit reflexio à puncto ſpeculid, pater per præmiſſam, quòd oportet angulum b d g eſſe maiorem recto: non ergo fiet reflexio ab his ſpeculis ſecundum diſpoſitionem talem figuræ, ut angulorum c k s & c k y quilibet ſit maior recto. Sed & idem aliter demonſtrandum. Producaturitaq linea a dintra circulum uſq ad h pun ctum lineæ g b: & producatur linea d l intra circulum taliter, ut fiat angulus l d h æqualis angulo a g b per 23 p 1: protracta quoq linea b g, quouſq cócurrat cum linea d l in puncto l: concurret aũt per 14 th. 1 huius: quoniam angulus g d l eſt minor recto per 42 th. 1 huius, & angulus d g b, ut patet ք 3 huius, & ք 33 p 6, eſt etiá ininor recto:
Fig. 619

c p p s p s b e n h d a k z q t j g x
& ducatur linea cótingés circulum in puncto d, quę ſit n d y: & à puncto d pro tracta linea d q fecante lineam g b in puncto q, fiat angulus q d n ęqualis medietati anguli a g b ք 9 & 23 p 1: palã ergo quòd trian gulus h d l æquiangulus cſt triangulo h g a. Quia enim angulus h d l æqualis eſt angulo h g a, & angulus a h g eſt cõmunis, erit per 32 p 1 tertius tertio æqualis: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ h d ad d l, ſicut lineæ h g ad g a. Ducatur itaq à puncto h per 31 p 1 linea æquidiſtans lineæ b d, quæ ſit h t: erit ergo per 29 p 1 & per 4 p 6 proportio lineę b d ad th, ſicut lineæ b g ad g h. Quia uero ex hypotheſi forma puncti b reflectitur ad uiſum a à puncto ſpeculi d, ducatur linea g d extra circulum ad punctum e: erit quoq per 8 huius angulus e d b æqualis angulo e d a: ergo per 15 & 29 p 1 erit angulus d t h æqualis angulo h d t: ergo per 6 p 1 erit linea d h æqualis lineæ h t. Quia ergo, ut patet per 4 p 6, cum linea t h ſit æquidiſtans lineæ d b, erit proportio b g ad g h, ſicut b d ad h t: ſed linea t h æqualis eſt ipſi d h: eſt ergo per 7 p 5 proportio b d ad d h, ſicut b g ad g h: fuit autem proportio h d ad d l, ſicut h g ad g a: ergo per 22 p 5 erit proportio b d ad d l, ſicut b g ad g a: ſed cũ angulus b d e ſit æ qualis angulo h d g per præmiſſa, & angulus n d e æqualis angulo n d g, quia uterq rectus: relinquitur angulus b d n æqualis angulo n d h: eſt ergo angulus h d n medietas anguli b d h: ſed angulus n d q eſt medietas anguli a g b ex præmiſsis: ergo & eſt medietas anguli h d l, qui eſt æqualis angulo a g b: igitur angulus b d q eſt medietas anguli b d l: eſt ergo angulus b d q æqualis angulo q d l: ergo per 3 p 6 in trigono b d l erit ꝓportio b q ad q l, ſicut b d ad d l. Ducatur quoq à puncto b per 31 p 1 linea æquidiſtãs lineę d l, quæ ſit b i: & concurrat linea d q cum linea b i in puncto i: concurret autem per 2 th. 1 huius: & diuidatur linea d i per æqualia in puncto z per 10 p 1: & ducatur linea b z. Palàm itaq per 15 & 29 & 32 p 1 quoniam trigona b q i & q d l ſunt æquiangula: ergo per 4 p 6 erit proportio lineæ b q ad q l, ſicut lineæ b i ad d l: fuit autem ex præmiſsis proportio b q ad q l, ſicut b d ad d l: ergo per 11 p 5 eſt proportio b i ad d l, ſicuti b d ad d l: ergo per 9 p 5 lineæ b i & b d ſunt æquales: ergo per 31 th. 1 hu ius linea b z eſt perpendicularis ſuper lineam d i: eſt autẽ, ſicut ex præmiſsis patet, proportio i q ad q d, ſicut m f ad ſ k: ergo per 18 p 5 erit cóiunctim proportio i d ad d q, ſicut m k ad ſ k: & erit per 15 p 5 proportio d z ad q d, ſicut o kad f k: ergo per 17 p 5 erit proportio z q ad q d, ſicut o f ad f k. Producatur quoq linea b z intra ſpeculum, donec concurrat cum linea e g: concurret autem per 14 th. 1 huius: cum angulus d z b ſit rectus, ut præoſtenſum eſt, & angulus z d g ſit minor recto, qui eſt angulus n d g: ſit ergo punctum concurſus x. Palàm àutem ex præmiſsis, quoniam eſt proportio lineæ b g ad g d, ſicut lineæ s p ad p k. Cum ergo angulus c k s dicatur non eſſe maior recto: fiat ſuper punctum k lineæ c k angulus maior recto: hoc autem eſt poſsibile fieri: quia cum ſicut patet ex præmiſsis, angulus q d n ſit æqualis medietati anguli a g b, & eidem æqualis conſtitutus ſit angulus k c o, neceſſe eſt quòd angulus q d n ſit æqualis angulo k c o: erit ergo, ut patet ex præmiſsis, angulus q d g æqualis angulo c k o, quod patet ut prius. Cum enim trigonum c k o ſit orthogonium, palàm quòd duo anguli k c o & c k o ualent unum rectum per 32 p 1: ſunt ergo æquales angulo n d g. Et quia angulus k c o eſt æquàlis angulo n d q: relinquitur angulus c k o æqualis angulo q d g. Fiat ergo ſuper punctum k lineæ f k angulus æqualis angulo b d q: & ponatur quòd linea tenens hunc angulum, concurrat cum linea c o in puncto s: & ducatur linea s p tranſiens per punctum f, quæ ſit alia à priori linea s ſ p. Dico quòd iſtius lineæ s p ad lineam p k partem lineæ c k erit proportio, ſicut lineæ b g ad g d. Cum enim angulus b z d ſit rectus, æqualis angulo s o k: erit triangulus b z d ex præmiſsis ſimilis triangulo s o k: eſt ergo proportio lineæ b z ad b d, ſicut lineæ o s ad lineam s k, & lineæ b z ad z d, ſicut lineæ s o ad page 237 o k: fuit autem oſtenſum prius, quia eſt proportio lineæ z q ad q d, ſicut lineæ o f ad f k: ergo per 5 th. 1 huius erit econtrario proportio lineæ q d ad z q, ſicut ſ kad o f: ergo per 18 p 5 eſt proportio totius lineæ z d ad z q, ſicut totius lineæ o k ad o f: ergo per 22 p 5 erit z b ad z q, ſicut s o ad of: ergo per 6 p 6 trigona z q b & of s ſunt æquiangula: angulus ergo z b q eſt æqualis angulo o s f: remanet ergo angulus q b d æqualis angulo f s k: ſed & angulus f k s factus fuit æqualis angulo b d q, & angulus p k f æqualis eſt angulo q d g: totus ergo angulus s k p æqualis eſt angulo b d g: ergo per 32 p 1, & ex 4 p 6 erit triangulus b d g ſimilis triangulo s p k: & totus triangulus b d x ſimilis totali triangulo c k s: eſtigitur proportio lineæ s p ad p k, ſicut b g ad g d. Conſtituto ergo ſuper centrum g angulo, æquali angulo iſti s p k, & ducta ſemidiametro circuli, quæ ſit g u, patet ſecundum præmiſſum modum, quoniam punctum u erit punctum reflexionis. Et quia, ut patet per 16 p 1, & ex præmiſsis, prior angulus s p k eſt maior præſenti angulo s p k, quoniam eſt extrinſecus: palàm quòd à duobus punctis ſpeculi, quæ ſunt d & u, fiet reflexio: quod eſt contra 16 huius. Non ergo po teſt angulus s p k unquam eſſe non maior recto, ſi ſecundum ipſum debeat fieri puncti reflexionis inuentio: quia ſecundum talem diſpoſitionem collocatis puncto rei uiſæ & centro uiſus, non eſt poſsibile fieri reflexionem. Item impoſsibile eſt quòd duo anguli conſtituti ſuper lineam m o ſint uterq maior recto. Si enim uterq talium maior fuerit recto, cum ſuper g centrum circuli propoſiti fiat angulus æqualis angulo s k m, ſiet ſuper idem centrum angulus alius diuerſus ab iſto: quem efficiet ſuper k m alia linea ſimilis priori lineæ s k: & ita â puncto d & ab alio puncto illius circuli fiet reflexio formæ eiuſdem puncti ad uiſum eundem: quod eſt contra 16 huius. Oportet ergo ut tantùm unus illorum angulorum ſit maior recto, non ambo maiores uel ambo minores recto. Patet ergo propoſitum.

23. Super unam cathetum incidentiæ ſuper ficiei ſpeculi ſphærici conuexi, uelſuper diuerſas aduiſum, ad quem fit reflexio, conſimiliter ſe habentes, datis duobus punctis, quorum formæ à ſuperficie ſpeculi ſint reflexibiles ad uiſum: erit locus imaginis puncti centro ſpeculi propinquio ris remotior à centro ſpeculi, & remotioris propinquior.

Sit circulus (qui eſt cómunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici cóuexi,) a b c: cuius centrum d: ſitq́ centrum uiſus e: & cathetus incidentiæ ſit d f g: in qua ſint duo puncta f & g, quorum formæ ſint reflexibiles ad uiſum: & ſit punctum f propinquius centro ſpeculi, & pun ctum g remotius: ſecetq́ eadem cathetus circulum a b cin puncto c. Dico quòd locus imaginis for mæ puncti f remotior eſt à centro ſpeculi, quod eſt d, quàm locus imaginis formæ puncti g. Quoniam enim, ut patet per hypotheſim, quælibet for

Fig. 620

e g a b f c k h d
marum iſtorum punctorum ab aliquo puncto ſpeculi reflectitur ad uiſum: patet cum illa puncta ſint in eadem catheto incidentiæ conſiſtentia, quòd centrum uiſus e eſt cum ambobus illis punctis in eadem ſuperficie reflexionis per 6 huius: fiet ergo reflexio cuiuslibetillorum punctorum ad uiſum e ab aliquo puncto circuli a b c. Sit ergo, ut forma puncti g reflectatur à puncto a, & forma puncti f à puncto b: erit ergo per 17 huius punctus b remotior à centro uiſus e quàm punctus a. Ducatur itaq diameter uiſualis, quæ e d: & ducantur lineæ incidentiæ, quæ ſint g a & f b: & lineæ reflexionis, quæ ſint a e & b e: quæ productæ intra circulum ſecabunt cathetum d f g ք 9 huius. Et quoniam concur runt cum diametro uiſuali, quæ eſt e d: ſit ergo, ut linea e a ſecet cathetum g d in puncto h, & linea e b in puncto k. Erit ergo punctum h locus imaginis formæ puncti g, & punctum k locus imaginis formæ puncti f per 11 huius. Quoniam uerò punctum h eſt propinquius centro d quàm punctum k per 29 th. 1 huius: quia enim linea h e ſecat angulum d e k, palàm quia ipſa ſecabit baſim illi ſubtenſam, quæ eſt d k: eſt ergo punctum h propinquius centro ſpeculi, quod eſt d, quàm punctum k. Et quoniam, ut patet ſecundum hunc modum, omnes lineæ ductæ à centro uiſus, quod eſt e, per quæcunq puncta arcus a c, intermedia punctorum a & c ad cathetum d g, cadunt in puncta ſemidiametri d c à centro remotiora quàm punctum h, patet propoſitum. Et ex hoc etiam patet quòd quantò puncta lineæ c g ſunt propinquiora centro d, tantò loca ſuarum imaginum ſunt magis elongata à centro ſpeculi, quod eſt d. Et quoniam omnes catheti incidentiæ concurrunt in centro ſpeculi: palàm quòd de punctis diuerſarum cathetorum ad uiſum, ad quem fit reflexio, conſimiliter ſe habentium, eadem eſt demonſtratio, quæ de punctis eiuſdem catheti: quoniá unicuiq punctorũ in una ſimili catheto ſignatorũ, pũctus ſimilis, qui ſit eiuſdem diſtantię à centro ſpeculi, in catheto alia reſpondet: & illorũ quorumcunq punctorum (quia conſimiliter reſpiciunt uiſum) loca imaginum reſpectu centri ſpeculi confimiliter ordinantur. Patet ergo propoſitum.

page 238

24. Si ab aliquo puncto ſpeculi ſphærici conuexi linea reflexionis producta circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi) taliter ſecuerit, quòd lineæ productæ pars, quæ eſt intra circulum, ſit æqualis ſemidiametro circuli: locus uiſæ imaginis ſemper erit intra conuexuæ ſpeculi. Alhazen 20 n 5.

Eſto centrũ uiſus g: & centrũ ſpeculi ſphærici conuexi ſit punctú d: ſitq́: cómunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi circulus a b k à centro quoq uiſus puncto g ducantur per 17 p 3 duæ lineę contingentes circulũ a b k, quę ſint g a & g b: eritq́ ք 2 huius circuli a b k portio a b apparẽs uiſui: & centrũ eius ſit punctũ d. Quoniá aũt uiſus & ſpecula mu

Fig. 621

g m h z p b d a k
tantlocum: ſit talis facta diſpoſitio uiſus ad ſpeculum, ut à puncto g centro uiſus ductæ lineæ ſecantis circulum a b k, pars intra circulum, quæ eſt chorda arcus circuli, qui h k, ſit æqualis ſemidiametro illius circuli: & ſit illa linea g h k, cuius pars h k intra circulum ſit ęqualis ſemidiame tro d k. Hoc aũt poſsibile eſt fieri, ſi ք 1 p 4 inſcribatur cir culo a b k linea h k æqualisſemidiam etro illius circuli: & in illa linea k h producta extra circulum ponatur centrú uiſus. Dico quòd locus imaginis reflexę à puncto h ſem per eſt intra conuexam ſuperficiem ſpeculi. Producatur enim à puncto h ſuք lineã cõtingentẽ circulũ in pũcto h քpendicularis, quę ſit h m: hæc ergo producta in circulũ tranſit per centrum d per 19 p 3. Dico quòd cum forma alicuius rei uiſæ reflectatur à puncto h, locus imaginis ſuę erit ſemperintra conuexũ ſpeculi. Ducaturenim à puncto h linea conſtituens ſuper punctum h terminum lineæ h m angulum æqualem angulo g h m per 23 p 1, qui ſit p h m, producta linea h p: reflectẽturergo per 20 th. 5 puncta huius lineę h p ad uiſum g à puncto ſpeculi h: nec alterius lineæ puncta à puncto h ad uiſum poterunt reflecti. Sumatur ergo aliquod eius punctum, quod ſit p: & ducatur linea ab ipſo ad centrum ſpeculi, quæ ſit p d: erit quoq, per 1 huius, & per 72 th 1 huius linea p d perpendi cularis ſuper ſuperficiem contingentẽ ſpeculum in puncto, quo ipſa linea p d ſecat circum ſerentiam circuli a b k: copuletur quoq linea d k. Et quia angulus p h m incidentiæ eſt æqualis angulo m h g reflexionis, ut pater ex præmiſsis, angulus u erò g h m per 15 p 1 æqualis eſt angulo k h d: angulus igitur p h m eſt æqualis angulo k h d: ſed angulus k h d æqualis eſt angulo h d k per 5 p 1, ideo quia latus h k ex hypotheſi æquale eſt ſemidiametro d k: angulus ergo p h m eſt æqualis angulo h d k. Quia ergo linea m d cadens ſuper lineas h p & d k facit angulum extrinſecum, qui eſt m h p, æqualem angulo intrinſeco, qui eſt m d k: linea ergo h p per 28 p 1 æquidiſtat lineæ d k: lineæ ergo h p & d k in infinitum protractæ nunquam concurrent. Et linea p d, quæ eſt cathetus incidentiæ ſormæ puncti p, uel quæcunq alia linea ducta à quocunq puncto lineæ h p ad centrum d, ſemper inter puncta h & k interſecabit lineam h k interiacentem lineas æquidiſtan tes, quæ ſunt k d & h p, ut patet per 29 th. 1 huius: diuidunt enim omnes illæ catheti angulum h d k: ergo & ſecabunt baſim h k: quælibet enim illarum cathetorum incidentiæ ſemper ducitur ad centrum ſpeculi, ut ad punctum d. Quodcunq ergo punctum ſumatur in linea p h: ſemper linea ducta ab illo puncto ad punctum d ſecabit lineam reflexionis, quæ eſt g h k intra cõuexum ſpeculi: quoniam ſemper cathetus incidentiæ producta ad centrum ſpeculi perpendicularis eſt ſuper ſuperficiem ſpeculi, ſicut nunc eſt p d. Imago ergo cuiuſcũq puncti lineæ p h per 11 huius apparebit intra conuexum ſpeculi. Ethoc proponebatur.

25. Á quocun́ puncto arcus circuli (quieſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) interiacentis puncta, in quibus caihetus reflexionis & linea reflexionis, (cuius pars intra circulum est æqualis ſemidiametro circuli) ſecant circulu, fiat reflexio: locus uiſæ imagin is ſemper erit intra ſpeculum. Alhazen 21 n 5.

Sit diſpoſitio, quæ in præmiſſa, ita ut linea reflexionis, quæ g h k ſecet circulũ a b k, taliter ut eius pars intra circulum, quę eſt h k, ſit æqualis ſemidiametro circuli: ducaturq́ cathetus reflexionis à uiſu ad centrũ ſpeculi: quæ ſit g d, ſecans circulum a b k in puncto z Dico quòd à quocunq puncto arcus h z fiat reflexio, ſemper erit locus imaginis intra ſpeculum. Sit enim ita, ut à puncto illius arcus h z (quod ſit i) fiat reflexio: ducaturq́ à puncto g centro uiſus ad punctũ i linea ſecans circulũ ſuper punctũ i, quę ſit g i s: & & ducatur ſuper ſuperſiciem ſpeculi linea perpendicularis à puncto i: quod fiet per 72 th. 1 huius, ſi à centro ſpeculi puncto d producatur linea, quæ ſit d i t: ſuper cuius 239 punctum i fiat angulus æqualis angulo ti g per 23 p 1, qui ſit p it. Palàm ergo quòd ſolùm puncta lineæ p i reflectuntur à puncto i ad uiſum g per 20 th. 5 huius. Palàm etiam per 15 p 3 quòd linea i s maior eſt quàm linea h k: ergo linea is eſt maior ſemi

Fig. 622

t g p b h i z a d k s
diametro s d. In trigono ergo s i d angulus s d i eſt maior angulo s i d per 18 p 1: ergo per 15 p 1 angulus s d i eſt maior angulo ti g: eſt ergo angulus s d i maior angulo t i p, ꝗ ex præmiſsis eſt æqualis angulo ti g: ergo ք 14 th. 1 huius lineæ p i & d s non ſunt æquidiſtantes: in infinitum tamen protractæ ex parte ſuorum punctorum p & s nunquam concurrent, ſed ex ſuis partibus i & d protractæ concurrent. A quocunq ergo puncto lineæ p i ad centrum d ducatur cathetus incidentiæ, illa ſecabit lineam g i s, quæ eſt linea reflexionis, intra conuexum ſpeculi: & omnis linea ducta à quocunq puncto lineæ p i ad punctum d, erit perpendicularis ſuper ſpeculi ſuperficiem per 72 th. 1 huius: ergo ipſa eſt cathetus incidentiæ, ſicut nunc eſt linea p d. Et cum locus imaginis ſit in concurſu catheti incidentiæ, & lineæ reflexionis per 11 huius: palàm quia locus imaginis cuiuſcunq pun cti lineę p i ſemper erit intra conuexum ſpeculi. Et quoniam dato quocunq puncto arcus h z, ſemper eadem eſt demonſtratio: maniſeſtum ergo quòd omnium ima ginũ arcus h z proprius locus erit intra ſpeculũ. Quod eſt propoſitum.

26. Á quocũ pũcto arcus circuli (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexiõis & ſpeculi ſphærici cõuexi) interiacentis punctũ, in quo linea reflexionis, cuius pars intra circulũ eſt æqualis ſemidiametro circu li, ſecat circulum, & punctum proximũ, in quo linea ducta à centro uiſus contingit circulũ, fiat reflexio: locus uiſæ imaginis quandog erit intra ſpeculum: quando in ſuperficie conuex a ſpeculi: & quando extra ſpeculum. Alhazen 22 n 5.

Remaneat totalis diſpoſitio figuræ, quæ in præcedente & in 24 huius, in hoc ſcilicet ut linea reflexionis, quæ g h k, ſecet circulum a b k, cuius centrum eſt punctum d, taliter, ut eius pars intra cir culum, quę eſt h k, ſit æqualis ſemidiametro d z:

Fig. 623

g a z h n d b c q k f e r
& lineæ g a & g b ſint contin gentes circulum a b k in punct s a & b: & ſit pũctus b propin quior puncto h. Dico quòd à quocunq puncto arcus h b fiat reflexio: erit locus uiſæ imaginis quandoq intra ſpeculum: quandoq in ſuperficie ſpe culi: quandoq extra ſpeculam. Sumatur enim aliquod punctũ arcus h b, à quo fiat reflexio ad uiſum g: & illud punctum reflexionis ſit n: & du catur linea reflexionis ſecás circulum, quæ ducta trans circulum, ſit g n q: & ducatur à centro d ſemidiameter d q: & ad punctum reflexionis ducatur perpendicularis d n f: & producatur, ut in præmiſsis, linea n e continens cum catheto d n fangulum æqualem angulo fn g: qui ſit angulus fne. Et quòniam linea n q per 15 p 3 minor eſt  linea h k: palàm quia linea n q eſt minor ſemidiametro q d. Quoniam enim linea h k eſt æqualis ipſi q d ex hypotheſi: erit ergo linea q n minor  linea q d: angulus ergo q d n trigoni q d n eſt minorangulo d n q ք 18 p 1: ergo ք 15 p eiuſ dẽ angulus q d n minor eſt angulo g n f: ergo & ſuo æquali, qui eſt e n f. Igitur lineę d q & n e con current ad partem minorum angulorum per 14 th. 1 huius: ſit ergo concurſus earum in puncto e. Palàm autem, ut in præmiſsis, quia linea e q d eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi per 72 th. 1 huius: eſt ergo linea e d cathetus incidentiæ formę puncti è: & ſecat lineam g n q, quæ eſt linea reflexionis in puncto q, qui eſt punctus ſuperficiei ſpeculi. Imago ergo puncti e, quando fuerit refle xio facta à puncto arcus h b (quod eſt n) uidebitur in puncto q, quod eſt in ſuperficie conuexa ſpeculi. Et quoniam linea reflexionis, quæ eſt g q, peripheriam arcus b k in unico tantùm pun page 240 cto interſecat, ut patet per 7 huius: palàm quia non accidit uideri imaginem formæ alicuius punctorum lineæ n e in ipſa ſuperficie ſpeculi, niſi ſolùm in illo uno puncto, in quo ad ipſum ducta cathetus ſecat lineam reflexionis in ipſa ſuperficie ſpeculi, ut eſt in propoſito cathetus puncti e. Si uerò in linea e n ſumatur punctum ultra e, quod ſit punctum r: ſitq́ cathetus incidentiæ ducta ab il lo puncto r ad centrum ſpeculi, quæ ſitr d, ſecans lineam reflexionis, quæ eſt g n q productam ultra punctum q, in puncto l: tunc erit ſectio extra ſuperficiem ſpeculi. Quare imago puncti cuiuslibet lineæ n e ultra punctum e ſumpti uidebitur extra ſuperficiem ſpeculi ſecundum diſtantiam puncti incidentis, & ſemper, ut pater per 11 huius, erit locus imaginis in puncto ſectionis linearum catheti & reflexiõis: ut formæ puncti r locus imaginis eſt nuncin puncto l, qui eſt cómunis ſectio præmiſſarum linearum. Si uero in linea e n inter puncta n & e ſumatur aliquod punctum, ut c, cathetus ab eo ducta ad ſpeculi cèntrũ, ſecabit lineam reflexionis, quę g n q, intra ſpeculum: ſecabit enim ipſam in puncto aliquo èorum, quę ſunt inter puncta n & q. Imago ergo cuiuslibet puncti lineæ e n inter puncta e & n ſumpti uidebitur intra ſpeculum. Et ſimiliter in quolibet alio puncto arcus b h poteritidem & eodem modo de diuerſis punctis linearũ incidentię demonſtrari, & hoc eſt propoſitum. Sicutitaq in arcu z b dèmonſtrauimus in præmiſsis tribus theorematibus: ſic etiá figuratione adhibita in arcu z a poterit dem onſtrari: quoniá eſt omnimoda ſimilitudo hinc in de: & idem eſt de omnibus circulis ſpèculi ſphærici conuexi, circulo a b k ſimilibus. Si enim perpendiculari g z d manente fixa, linea g h ſecundũ æqualitatem anguli d g h imàginetur moueri quouſq redeat ad locũ ſuum, unde moueri incepit: tunc linea g h mota ſecabit ex tota ſpeculi cõuexa ſuperficie motu ſuo portionẽ ſuperficiei: & imago formæ cuiuslibet puncti reflexi ab aliquo punctorũ huius portionis uidebitur ſemper intra ſpeculũ. Si uerò fixa manente diametro g z d, linea cõtingens circulum a b k, quę eſt g b, moueatur, quouſq ad locum, unde exiuit, redeat, ſecabit ex ſphæra portionem maiorẽ: & facta reflexione formæ cuiuslibet puncti à quibuſcũq punctis ſuperficiei ſpeculi deſcriptæ per arcũ h b, uel à punctis arcuũ illi ſimilium: tunc catheto incidentiæ ſecante lineam reflexionis in ipſa ſuperficie ſpeculi, ſemper locus imaginis formæ puncti illius erit in ipſa ſuperficie ſpeculi: ſed aliorum punctorũ in illa eadem linea exiſtentiũ quorundam locus imaginis eſt intrà ſpeculú, quorundam extra ſpeculũ, ſecundum quod catheti ab illis punctis ad cèntrũ ſpeculi productæ ſecant li neas ſuarum reflexionũ. Et quoniá ſitus centri uiſus, uel ſuperficiei ſpeculi, uel etiam ipſius rei uiſæ poteſt multipliciter uariàri: hoc experimèntanti relin quimus, ut ſpeculorũ ſphæricorum conuexo rum, quorũ uſus ut plurimũ apud homines noſtrę habitabilis eſt cõmunis (quoniá uitra, quę ſpecu lantur, modo ſphærico diffundente ſe, artificũ ſpiritu exufflantur) quamcũq portionẽ quis taliter collocet, ut quandoq imago puncti uiſi appareat intra ſpeculũ, hoc eſt ultra ſuperficiẽ ipſius, quan doq in ipſa ſuperficie ſpeculi: & quandoq extra ſuperficiem ſpeculi, ita quòd ſuperficies ſpeculi non ſit media inter imaginem, quæ uidetur, & oculum uidentis, ſed ad latus extrà uideatur: & hoc iam pluries experimentantibus euenit. Vndè & periſta pater, quòd ſpeculum ſphæricum conuexum centrumq uiſus, & res uiſa ſic ſiſti poſſent, ut imago extra ſpeculum in aere àppareat: quod re linquimus artificio perquirentis.

27. Omnis diameter ſpeculi ſphærici conuexi, in quam locus imaginis cadit, in ipſa ſuperficie ſpeculi aut extra ſpeculum: portioni ſphær æ ſpeculi nõ apparenti uiſuineceſſariò applicatur. Ex quo patet, quòd ipſa eſt demißior qualibet linearum contingentium à centro uiſus ad ſpeculi ſuperficiem productarum.

Quod hic proponitur, patet per præmiſſas, reſumpta figuratione præcedétis. Et quia, ut patet, à quolibet puncto arcus a b poteſt fieri reflexio: omnis quoq linea reflexionis, quoniã à centro uiſus ſub linea à centro uiſus producta circulum contingente, ducitur, patet per 57 th. 1 huius quoniam ipſa ſecat circulum. Et quandocunq locus imaginis fuerit in ipſa ſpeculi ſuperficie uel extra, patet quòd hoc non poteſt accidere in diametris ſpeculi applicatis arcui a b: non enim poteſt in illis diametris locus imaginis eſſe in ipſa ſpeculi ſuperficie: quoniam catheti incidentię & lineæ reflexionum illorum punctorum in illis punctis concurrere non poſſunt. Sed neq extra ſpeculorũ ſuperficies poteſt in illis diametris eſſe locus reflexionis: quoniam lineæ reflexionum ad partem illam extra ſpeculũ non cócurrent. Omnes ergo diametros ſpeculi cuiuſcunq ſphærici conuexi, in quibus loca imaginũ ſunt in ipſa ſuperficie ſpeculi, uel extra ſpeculum, neceſſariò applicantur portioni ſpe culi non apparenti uiſui. Et quoniã portio ſpeculi apparens & non apparens per lineas contingen tes à centro uiſus ad ſpeculi ſuperficiem ductas determinatur, ut patet per 2 huius: ideo manifeſtũ eſt propoſitũ corollarium. Quælibet enim diametrorũ, in qua eſt locus imaginis in ipſa ſuperflcie ſpeculi aut extra ſpeculum, oportet ut ſit demiſsior qualibet linearũ cõtingentiũ à centro uiſus ad ſpeculi ſuperficiem productarum. Et hoc proponebatur. Poteſt aũt diameter, in qua apparet locus imaginis intra ſpeculum, eſſe uel altior uel demiſsior illa contingente, ut patet ex his, quæ ſunt in præmiſsis demonſtrata. Reſtar autem, ut nos deinceps loca imaginum certius determinemus.

28. Ad diametrum ſpeculi ſphærici conuexi ducta linea reflexionis ſecante ſpeculum, ita ut pars ductæ lineæ interiacẽs ſuperficiem ſpeculi & diametrũ, ſit æqualis parti diametri interiacenti punctum ſectionis & centrum ſpeculi: in illa parte diametri non eſt locus alicuius imaginis, ſed eſt imaginum met a, ſicut & in illo puncto ſectionis. Alhazen 23 n 5.

Eſto circulus communis ſectionis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici cõuexi, page 241 qui a b ſ e g: & ſit punctum h centrum uiſus, punctum quoq d centrum ſpeculi: & ſit d e ſemidiame ter ſpeculi, quę neceſſariò eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi per 72 th. 1 huius: & ſit linea z h linea reflexionis, ſecans ſuperficiem conuexam ſpeculi ſuper punctum f: & concurrens cum e d ſemidiametro ſpeculi ſuper punctum z. Sit quoq linea z fęqualis lineę z d: quod poteſt fieri per 136 th. 1 huius. Dico quòd in linea z d non eſt locus alicuius imaginis. Neque enim pũctus z poteſt eſſe locus alicuius imaginis, niſi ſolũ alicuius punctorum lineę e d protractę: quia ut patet per 11 huius, locus imaginis formæ cuiuſque puncti ſemper eſt ſuper cathetum ſuę incidentiæ: & hęc eſt in ſpeculis ſphęricis conuexis in linea ab illo puncto ad centrum ſphæræ ducta. Quòd uerò punctus z nó ſit locus alicuius imaginis punctorum lineę e d, patet. Ducatur enim

Fig. 624

m t n q h b f e z p d a g
perpendicularis à centro d ſuper punctum f, quę producta extra circulum ſit d f n: & ſuper ductam perpendicularem fiat in puncto fangulus ęqualis angulo n f h per 23 p 1, qui ſit q f n: eſt ergo per 15 p 1 angulus q f n ęqualis angulo z f d: ſed cum z d & z f lineę ex hypotheſi ſint æquales: erit per 5 p 1 angulus z d f æqualis angulo z f d: ergo & angulus q f n æqualis eſt angulo z d f: ergo per 28 p 1 lineę z d & q f ſunt adinuicem æ quidiſtantes: in infinitum ergo protractę nunquá concurrent. Nullius ergo puncti lineæ e d quantumcunq protractę forma mouebitur ad punctum f per lineam incidentię q f: ſed nõ poreſt eſſe locus alicuius imaginis in pũcto z, niſi moueatur ad punctũ f forma per lineam q f: aliàs enim linea f h non fieret linea reflexionis, in cuius interſectione cum diametro d e eſt pũctus z. Non eſt ergo punctus z locus alicuius imaginis punctorum lineę e d: ergo nec alicuius alterius imaginis formę cuiuſcunq puncti extra lineam d e. Et eadem erit demonſtratio quantacunq ſumpta diametro e d. Sed & nullus alius punctus lineæ z d præter z, poteſt eſſe locus alicuius imaginis. Dato enim quòd punctus p poſsit eſſe locus alicuius imaginis; ducatur linea h p ſecans conuexam ſuperficiem ſpeculi in pun cto b: & ducatur perpendicularis d b m: & ut ſuprà, angulo m b h fiat æqualis angulus ſuper punctũ b, quit b m. Palàm ergo, ut prius, quòd angulus t b m eſt æqualis angulo p b d: ſed angulus d p b per 16 p 1 eſt maior angulo p z h, cum ſit ei extrinſecus in trigono p z h: igitur duo alij anguli trigoni p d b lunt minores duobus alijs angulis trigoni d z f: ſed angulus p d b eſt maior angulo z d f, eo quò d totum maius eſt ſua parte: & etiam patet hoc per 29 th. 1 huius. Sequitur ergo ut angulus d b p ſit minor angulo d f z: angulus uerò d f z eſt æqualis angulo z d f, ut pri us patuit: angulus ergo d b p minor eſt angulo z d f: multò ergo minor eſt angulus d b p angulo p d b: angulus itaq t b m minor eſt angulo p d b: lineę igiturt b & e d per 14 th. 1 huius nunquá concurrentad partem, à qua poſſet fieri reflexio. Nulla ergo forma incidens puncto b reflectetur ad uiſum h, ita ut locus imaginis fiat in puncto p. Similiter neque imago alicuius alterius puncti ſe offeret uiſui ſuper aliquem punctum lineę z d. Tota ergo linea z d erit ſemper uacua imaginibus: nec un quá erit locus imaginum in ipſa. Et ſimiliter poteſt de qualibet alia diametro propoſiti ſpeculi demonſtrari hypotheſi ſeruata. Patet etiam ex præmiſsis quoniam linea z d eſt meta imaginum. Quoniam ſi linea f z fuerit maior quá linea z d, nulla unquá apparebit imago: quoniá angulus z d f per 18 p 1 erit maior angulo d f z: ergo & angulo n f h per 15 p 1: ergo & angulo q f n per 8 huius. Lineę ergo e d & q f per 14 th. 1 huius non conncurrent ad partem punctorum e & q, ſed ad partẽ punctorum d & f: non ergo aliqua poterit apparere imago in puncto z: ergo nec in aliquo punctorum lineę z d. Quòd ſi linea ſ z ſit minor quã linea z d: tunc ſecundũ pręmiſſum modũ erit angulus z d f minor angulo q f n: ergo per 14 th. 1 huius lineę e d & q f concurrent ad partẽ punctorũ e & q: & ab illo pũcto poteſt alicuius punctorum lineę e d fieri reflexio ad uiſum: & locus imaginis erit per 11 huius in puncto z: & erit linea z d locus imaginis ſecundum omnẽ ſuum punctũ, quouſq linea incidentię reſpectu dia metri recipiat propoſitam diuiſionem. Patet ergo quòd cum linea z d eſt ęqualis lineæ z f, quòd linea z d eſt meta imaginum ultra quã nulla, & citra quã omnis uidetur imago. Et ſimiliter punctus z eſt meta imaginum: quoniam, ut patet ex pręmiſsis, omnis linea incidentię à quocunq puncto ſpe culi ad uiſum h inter puncta z & d ducta, eſt maior quá linea, quę perillã reſecatur exlinea z d: quoniam iſta eſt maior quá linea z f, per 15 p 3: eſt ergo etiam maior quá linea z d exhypotheſi, ut patet de linea b p, quæ eſt maior quá linea p d, uel linea z d: omnisq̀; linea inter pũcta z & e ad uiſum h du cta interiacens peripheriam circuli & diametrum, eſt minor quã linea f z: ergo & minor quã linea z d: ergo eſt etiam minor quã linea, quã ipſa reſecat ex ſemidiametro d e. Sunt ergo, ut patet ք præmiſſa, in linea z e loca imaginum, præter quá in puncto z: in linea uerò z d non ſunt aliqua loca imaginum. Et ſic patet quòd punctus z eſt meta imaginum: nec eſt differentia an punctus z cadat intra circulum: an extra: an in ipſa ſuperficie ſpeculi: quia ſemper ubicun que acciderit lineam z d ęqualem fieri parti lineę reflexionis interiacenti punctum reflexionis & punctum z: erit ſemper in puncto z meta imaginum: & ſimiliter eſt de tota linea z d. Patet ergo propoſitum.

29. Aßignata meta imaginum in quacunque diametro inter line as contingentes à uiſu ad ſpeculum ſphæricum conuexum ductas, præter uiſualem diametrum: in punctis tantùm datæ page 242 diametri, inter ſuperficiem ſphæræ & punctum, quieſt imaginum meta, exiſtentibus ſunt loca imaginum illius diametri. Alhazen 24 n 5.

Sit b centrum uiſus: & ſint b z & b e lineæ ſpeculum ſphęricum conuexum contingentes in pun ctis z & e: & ſit a centrũ ſpeculi: & b h a diameter uiſualis: & ſit a g d diameter alia, in qua meta imaginum aſsignata ſitin puncto t per præcedentem, & per 136 th. 1 hu

Fig. 625

b l z h f p d g q t e a
ius: ſecetq́ linea a d ſuperficiem ſpeculi in puncto g. Dico quòd ſolùm in punctis lineæ t g, quæ ſunt inter puncta g & t, ſuntloca imagi num diametri d g a. Quòd enim imagines illæ non cadant in punctũ g, qui eſt in ſuperficie ſpeculi: uel quòd non cadant extra ſuperficiẽ ſpeculi, palàm per 27 huius: oportet enim ſemper diametrum, in qua locus imaginis eſt in ſuperficie ſpeculi aut extra, demiſsiorem eſſe puncto contingentiæ: diameter uerò a d eſt inter lineas contingentes: nec ergo in ſuperficie ſpeculi, nec extra ſphæram ipſius apparebit imago ſecundum illam diametrum. Sed quòd quilibet punctus inter puncta g & t ſumptus ſit locus imaginis, patet. Detur enim aliquod punctum lineæ g t: quod ſit q: & ducatur linea à uiſu ad illum punctum, quæ ſit b q, ſecans ſuperficiem ſpeculi in puncto p: & duca tur perpend: cularis a p l: & ſecundum ſæpius præmiſſa angulo l p b fiat per 23 p 1 angulus æqualis, qui ſit d p l: & ducatur linea b t ſecans ſuperficiem ſpeculi in puncto f. Ducatur quoq perpendicularis a f. Triangulus itaque a p b continet triangulum a f b: angulus ergo a f b maior eſt angulo a p b per 21 p 1: ſed angulus a ft cum angulo a f b ua let duos rectos, & angulus a p q cum angulo a p b ualet duos rectos per 13 p 1. Palàm ergo quia angulus a ft minor eſt angulo a p q: ſed an gulus a f t eſt ęqualis angulo f a t per 5 p 1, quoniam latus ft eſt ęqualelateri t a per 136 th. 1 huius, & exhypotheſi: angulus ergo a p q maior eſt angulo ſ a t: quare etiam erit maior angulo p a q, qui eſt pars anguli f a t. Et quia anguli a p q & l p b ſunt ęquales ք 15 p 1 ſunt enim contra ſe poſiti: erit angulus l p b maior angulo p a q: eſt ergo per 8 huius angulus d p l maior angulo p a q. Patet igitur quod lineę p d & a q concurrent per 14 th. 1 huius: ſit ergo d punctus concurſus ipſarum. Forma igitur puncti d reflectetur ad uiſum in punctum b à puncto ſuperficiei ſpecu li, quod eſt p, perlineam p b: & locus imaginis ſuę eſt punctum q per 11 huius. Eadem quoq eſt demonſtratio ſumpto quocunq puncto inter g & t. In diametro uerò b h a (quę eſt diameter uiſualis) non eſt aliquis locus imaginis, niſi ut proponit 10 huius. Patet ergo propoſitum.

30. Linea reflexionis, circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphæ rici conuexi) taliter ſecante, quòd pars lineæ productæ intra circulum ſit æqualis ſemidiametro ſpeculi: pars diametri in termino huius lineæ ſecantis ſpeculum, interiacens punctum ſectionis ſpeculi, & punctum ſectionis ſui cum linea contingenter à uiſu ductæ ad ſpeculum, eſt locus imaginum punctorum illius diametri: & nullus punctus alius diametri eiuſdem: erit́ locus imaginis ſemper extra ſpeculum. Alhazen 25 n 5.

Sint a c & a g lineę contingentes circulum, qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphęrici conuexi, cuius centrum ſit punctum b: ſit quoq in puncto a cẽtrum uiſus: ſitq́ linea a d b z diameter uiſualis, ſecãs

Fig. 626

a c d b m q n x g p o k t f z h
ſuperficiem ſpeculi in punctis d & z: protrahaturq́ à centro ſpeculi b ad punctum contingẽtię g linea b g. Palàm ergo per 59 th. 1 huius quòd arcus d g eſt minor quarta circuli: arcus ergo g z eſt maior quarta cir culi: ergo per 33 p 6 patet quòd angulus z b g eſt maior recto. Hoc etiã patet ſic. Cũ enim in triãgulo b a g angulus a g b ſit rectus per 18 p 3, erit angulus g b a minor recto: palàm ergo per 13 p 1 quòd angulus z b g eſt maior recto. Abſcindatur ergo ab ipſo angulus h b g rectus per 23 p 1: erit per 28 p 1 linea h b ęquidiſtans lineę contingẽ ti circulum, quæ eſt a g. Palàm ergo quoniam lineæ b h & a g productæ nunquam concurrent: & quælibet diameter cadens in arcum h g inter puncta h & g, cõcurret cum linea a g producta per 2 uel 14 th. 1 hu ius, quoniam angulum acutum continebit cum linea b h. Ducatur ergo à puncto a linea ſecans ſpeculum, quæ ſit a m o, ita quòd chorda m o ſit æqualis ſemidiametro ſpeculi, quæ ſit b o: hoc autem page 243 poſsibile eſt fieri per 136 th. 1 huius: eritq linea b o, & punctum o meta imaginum per 28 huius: con curratq́ diameter b o cum linea a g in puncto t. Dico quòd in quolibet puncto lineæ t o eſt locus imaginis: & quòd in nullo alio puncto diametri t b eſt locus alicuius imaginis: & ſunt puncta o & t metæ locorũ imaginũ, punctum o in ſuperficie ſpeculi, & punctũ t extra ſpeculum: ſolũ enim in his duobus punctis concurret diameter b o cũ lineis reflexionis, quæ ſunt a m & a g. Sumatur enim ali quod punctũ lineę t o, quod ſit k: & ducatur linea a n k, ſecans cõuexam ſuperficiẽ ſpeculi in puncto n: & ducatur քpẽdicularis b n x: & angulo a n x fiat ęqualis angulus ſuք punctũ n, utin alijs p̃miſsis: & producatur linea n f taliter, ut angulus x n f ſit æqualis angulo a n x per 23 p 1: protrahaturq́ perpendicularis b t ad lineam n f in punctum f: punctum enim concurſus, quicunq fuerit, uocabimus f: palàm uerò per 14 th. 1 huius quoniã concurrent. Linea itaq n fnõ cadet inter puncta circuli, quæ ſunt h & g: non enim ſecat ſpeculum: neq ſecat lineam ipſum ſpeculum contingentem in puncto g, quę eſt a g t, niſi in uno puncto, quod eſt extra ſuperficiem ſpeculi ſupra punctum g. Siaũt daretur quòd linea n f caderet inter puncta h & g: oporteret ut uel ſecaret ſuperficiem ſpeculi uel lineam a g in duobus punctis: in uno infra punctum g, & in alio ſupra punctum g, ubi fit reflexio ad uiſum exiſtentem in puncto a: & ſic duæ lineę rectę ſuperficiem includerent: quod eſt impoſsibile. Forma er go puncti f mouebitur per lineam f n ad punctum n, & reflectetur ad a per lineam a n: apparebitq́ imago eius in puncto k, in concurſu catheti incidentiæ, quæ eſt f b, cum linea reflexionis, quę eſt a k extra ſpeculi ſuperficiem. Et eodem modo de omnibus punctis lineę o t eſt demonſtrãdum: & imagines omnium uidentur extra ſpeculum. Et quoniam à puncto m nulla poteſt fieri reflexio formæ alicuius punctorũ lineæ b f: quoniam omnes lineę reflexionum à puncto m ad punctum a factarum ęquidiſtat diametro b f: quod patet, ſi ducatur քpendicularis b m, quę producatur uſque ad punctũ q: & fiat angulus p m q æqualis angulo q m a. Tunc enim, quia anguli b m o & m b o ſunt ęquales ex hypotheſi, & per 5 p 1: erunt, ſicut oſtẽdimus in 28 huius, anguli p m q & m b o ęquales: ergo per 28 p 1 lineę m p & b f ęquidiſtant: non ergo concurrunt: nec unquam fiet reflexio formæ alicuius puncti diametri b f à puncto ſpeculi m: punctum ergo o non erit locus alicuius imaginis punctorũ diametri b f. Omnia ergo illa loca ſunt extra ſpeculũ in linea t o: ita quòd puncta t & o ſunt loca imaginũ. Patet ergo propoſitum: ita tamen ut punctum t accipiatur ut ſimpliciter uiſum, & ut reflexum, prout diximus in 2 huius: quoniam ipſum cadit in linea contingente.

31. Catheto incidentiæ ſecante quemcun punctum arcus circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) interiacentis punctum contingentiæ lineæ à centro uiſus ductæ, & punctum, quo linea reflexionis (cuius pars intra circulum eſt æqualis ſemidiametro circuli) ſecat arcum circuli non apparentem uiſui: erũt locorum imaginum pluraintra ſpeculi conuexam ſuperficiem: unum tantũ in ipſa ſuperficie, & plurima extra ipſam. Alhazen 26 n 5.

Diſponantur omnia, ut in præhabita demõſtratione: ſecetq́ linea a m o circulum taliter, ut linea

Fig. 627

a d k u m r h b g i l e f o z t y
m o ſit æqualis ſemidiametro ſpeculi: & linea a g t contingat ſpeculum in puncto g. Dico quòd in arcu g o erunt loca imaginum, ut proponitur. Suma tur ergo punctus illius arcus g o, qui ſitl: & protra hatur à cẽtro ſpeculi diameter b l, uſquequò ſecet lineam contingentem circulum in puncto g, quæ eſt a t: ſecabit aũt per 14 th. 1 huius, & ք ea, quæ declarata ſunt in proxima præcedente. Sit ergo punctus ſectionis e: & producatur linea a l ſecá s apparentem ſuperficiem ſpeculi in pũcto r: & palàm ex 15 p 3 quoniã linea l r minor eſt quã linea m o. Cũ ergo exhypotheſi linea m o ſit ęqualis ſemidiame tro b l, patet quòd linea r l minor eſt ſemidiametro b l. Si ergo per 136 th. 1 huius à puncto a ducatur li nea ad diametrum b l, cuius pars interiacẽs circulum & diametrum ſit ęqualis parti diametri interiacenti punctum huius ſectionis & centrum circu li b: hæc linea reflexionis cadet inter puncta b & l. Quia ſi detur, quòd cadat inter punctal & e: erit li near l maior quá linea l b: omnis enim linea interiacens centrum circuli, & illam partem lineę refle xionis illi parti diametri æqualem, erit maior illa parte diametri, ſicut in commento 28 huius per 15 p 3 oſtẽdimus de linea b p, quę eſt maior quã linea f z, æ quali parti diametri z d, ut ibi patet: eſt aũt linear l minor quàm linea b l: quoniam per 15 p 3 linear l eſt minor quã linea m o, quę ex hypotheſi eſt æqualis ipſil b. Non ergo cadit illa linea inter puncta l & e, ſed neque in punctum l, propter eandem page 244 cauſſam: cadit ergo inter puncta b & l. Sit ergo punctus, in quem cadit illa linea, punctus i: & ducatur linea a i ſecans portionem apparentẽ ſpeculi in puncto u: cuius pars u i ſit æqualis parti diametri, quæ eſt b i. Dico ergo quòd in quolibet pũcto inter e & i ſumpto eſt locus imaginis: & ſunt pun cta e & i metæ imaginum. Sumatur enim aliquod punctum lineę l e, quod ſit f: & ducatur linea f a ſecans apparentem portionem ſpeculi in puncto h: & ducatur à centro ſpeculi perpendicularis, quæ ſit b h k: fiatq́ per 23 p 1 ſuper punctum h terminum lineæ k h angulus ęqualis angulo a h k, qui ſit k h y: palamq́ ex præmiſsis in præcedente, quoniam lineę b e & h y productæ concurrent per 14 th. 1 huius: ſit punctus concurſus y. Et quoniam linea h y cadit extra ſpeculum: forma ergo puncti y mo uebitur per lineam y h a d ſpeculum: reflectetur quoq à puncto ſpeculi, quod eſt h, ad uiſum exiſten tem in puncto a: apparebitq́ imago eius in puncto f, in concurſu catheti incidentię, quæ eſt b f, cum linea reflexionis, quæ eſt a h, extra ſpeculi ſuperficiem. Et eodem modo eſt de omnib. punctis lineæ l e demonſtrandum. Imagines enim formarum omnium illorum punctorum uidentur extra ſpeculum, excepto ſolo l, in quo diameter b l ſecat ſpeculi ſuperficiem: quoniam in illo puncto locus ima ginis eſt in ſuperficie ſpeculi: ideo quòd in ſuperficie eius ſe interſecat linea reflexionis, quæ eſt a l, cum catheto incidentiæ, quæ eſt b y: eritq́ punctum, cuius formæ imago uidetur in pũcto l, reflexa à punctor, conſiſtens in diametro b y producta ultra punctum l, ut patet per 27 huius: ſed, ut patet ք 30 huius, omnes formę punctorum cadentium in diametro b y, ultra punctum reflexum à punctor. reflectuntur ab aliquo puncto arcus r u, & loca imaginum omnium illorũ punctorum ſuntin linea il: ideo, quia, ut patet ex præmiſsis, punctum i eſt meta imaginum, ultra quod punctum nunquá apparet aliqua imaginum uiſu exiſtente in puncto a, & ſpeculo ſic diſpoſito, ut patet ex hypotheſi. Palàm ergo quòd in quolibet puncto lineę e i ſumpto inter puncta e & i, eſt locus imaginis formæ alicuius punctorum diametri b e eductæ ultra punctũ e. Quędá ergo imagines in diametro e b ſortiun tur loca intra ſpeculũ, quędá extra ſpeculum, & una ſola in ſuperficie ſpeculi, ſcilicet in puncto l. Et eodem modo in quolibet puncto arcus o g poterit demonſtrari diametris data puncta arcus o g trá ſeuntibus & ſuperficiem ſpeculi ſecantibus, prout demonſtrationum neceſsitas requirit.

32. In quemcun punctum arcus circuli (quieſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi) interiacentis punctũ, in quo linea reflexionis (cuius pars intra circulũ) eſt æqualis ſemidiametro circuli, in portione nõ apparente ſecat circulum, & punctum diſtantẽ à puncto contingentiæ per quartam eiuſdem circuli cathetus, incideniiæ ceciderit: locus imagi nis ſemper erit extra ſpeculum. Alhazen 27 n 5.

Diſponantur omnia, ut in pręcedentib ita ut linea a m o ſic ſecet circulum ſpeculi, ut linea m o ſit æqualis ſemidiametro ſpeculi: & ſit, utin 30 huius, angulus h b g rectus: & linea a g p contingat ſpeculum in puncto g. Dico quòd arcui o h cathetis incidentiæ occurrentib. locusimaginis erit ſemp extra ſpeculum. Ducatur enim per aliquod punctorum arcus o h dia

Fig. 628

a d u m b s o t q z h s x
meter b q: quæ concurrat cum contingente a g p in puncto p: & duca tur à centro uiſus linea a u q, ſecans ſuperius in portione uiſui apparente ſpeculum in puncto u. Et quia, ut prius patuit, linea m o eſt æqualis lineę b q, & linea u q eſt maior quã linea m o per 15 p 3: ergo lineau q eſt maior quàm linea q b. Linea quoq ducta à circum ferentia ad diametrum b p, quæ eſt æqualis parti diametri p b, interiacenti ipſam & centrum ſpeculi, non cadetinter puncta q & b. Si en m hoc ſit poſsibile, tunc, ut prius, erit linea u q minor quàm linea q b: quoniam ſi linea illa caderet in punctum q, eſſet eius pars intra circumfe rentiam maior quá linea u q per 15 p 3: reſtat ergo ut linea æqualis ca dat inter p & q. Quòd enim non cadatin punctum p, palàm per hoc, quia angulusp g b eſt rectus: eſt ergo per 19 p 1 in trigono p b g latus p b maius latere p g. Cadat itaque linea taliter ducta citra p: & ſit pũ ctus, in quem cadit, s: erit ergo per 28 huius punctus s meta locorum imaginum: & quilibet punctus inter pũcta p & s erit locus imaginum: & eſt eadem demonſtratio, quæ in ſuperioribus ſcilicet 30 & 31 huius: in quolibet quoque puncto arcus h o eſt eadem demonſtra tio. Ex his ergo præmiſsis propoſitionibus palàm eſt, quia imagines diametrorum arcus h o omnes ſunt extra ſuperficiem ſpeculi: imaginũ uerò diametri f y, ut in 31 huius, una ſola eſt in ſuperficie ſpeculi, ut illa, quę eſt in puncto l: aliæ uerò ſunt intra ſuperficiem ſpecu li, ut quæ cadunt in parte diametri, quæ eſt i l: alię uerò omnes ſunt extra ſpeculum, ut quę cadunt in linea l e. Omnium quo que imaginum diametrorum arcus o g quędam ſunt intra ſuperficiem ſpe culi: quædam extra ipſam: quędam in ipſa ſuperficie ſpeculi conuexa, ut ibidem in præmiſſa conclu ſum eſt. Patetitaq, quod proponebatur.

33. In arcum circuli (communis ſectionis ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexi) interiacentem punctum, ubi diameter uiſualis & punctum diſtans à puncto contin page 245 gentiæ per quartam circuli inferius ſecant circulum, non poteſt cadere cathetus incide ntiæ, in qua aliquis locus imaginis occurrat. Alhazen 28 n 5.

Omnibus alijs diſp oſitis, ut in proxima ſuperiori figura: dico quòd in arcum h z non poteſt cade re aliqua diameter, in qua ſit locus alicuius imaginis. Quoniam enim linea contingẽs, quæ eſt a g p, ęquidiſtat diametro b h per 28 p 1: tunc patet quòd uerſus punctũ p

Fig. 629

a d c u m b g o t q p n z h
nulla diameter cadens in arcum z h, concurrit cum linea contingen te, quæ eſt a p: & à quocunq puncto talium diametrorũ ducatur linea ad ſuperficiem ſpeculi conuexam, cadit in portionem nõ ap parentem ipſius ſpeculi, utpote in portionem circuli, quæ eſt g z c: & nulla ipſarum cadit in portionem circuli g d c uiſui oppoſitam, niſi ſecando ſphæram ſpeculi. Nulla ergo forma puncti alicuius talium diametrorum ueniet ad portionem uiſui apparentem uel ad uiſum. Omnia aũt iſta, quæ in ſemicirculo d g z, & in eius arcubus in præmiſsis ſex theorematib. declarata ſunt, in arcubus quoq ſemicirculi d c z ſimiliter poſſunt demonſtrari, ut in arcubus ſemicirculi d g z. Similibus enim acceptis utrinq diſpoſitionib. arcuum, & ſimilibus factis protractionibus linearũ, eædem in omnibus occurrẽt paſsiones: & idem eſt demonſtrandi modus. Et ſimiliter etiam quod nunc declaratur in circulo c d g z, poteſt in unoquoq circulorũ, qui ſunt communes ſectiones ſuperficierum reflexionis & ſuperficierũ con uexi ſpeculi ſphærici declarari. Vnde omnes paſsiones probatę ſecundum quoſcunq punctos circuli d g z c, in completis circulis accidunt per totam ſpeculi ſuperficiem: ſicut ſi punctus g, uel alius pũ ctus ſignatus moueatur per ſphærę ſuperficiem, & circulum deſcri bat. Paſsiones uerò arcuum circuli d g z c perueniuntin quadam lata ſuperficie contenta ſub terminis æquidiſtantium circulorum per totam ſphæram ſpeculi: ſicut ſi arcus aliquis æquidiſtans po lo, motus ſpeculi aliquam ſuperficiem diſtinguat, ut patet intuẽti. Si itaq linea b h moueatur, eodẽ manente angulo h b z: ſignabit ipſa motu ſuo ſecundum punctum z portionẽ ſphæræ: in cuius diametris nullus erit imaginis locus. Et ſi linea b h immota exiſtente, moueatur arcus o h, deſcribetur portio ſphæræ, cuius omnes imagines in diametro b o, uel alia protracta exiſtentes, ſunt extra ſpeculum: moto uerò arcu o g, fiet portio ſpeculi, cuius diametrorum quædam imagines ſuntin ſuperficie ſpeculi: quædam extra: & quædam intra ſpeculum. Verùm uiſus non ſemper comprehendit, quæ imagines ſint in ſuperficie ſpeculi, uel quæ ſint extra: nec certificatur in iſtorum cõprehenſione, niſi in tantum, quia ſentit, quòd ſunt ultra portionem ſphæræ apparentem. Sic ergo expræmiſſis ſextheorematib. patet in propoſitis ſpeculis loca imaginum eſſe determinata, ſecundum quod imagines horum ſpeculorum uni tantùm uiſui offeruntur.

34. Ambobus uiſibus à duobus punctis reflexionis ſuperficiei ſpeculi ſphærici conuexiforma unius punctioccurrẽte: unicus imaginis eſt locus: & imago tantũ unica uidetur. Alha. 41 n 5.

Sint centra duorum uiſuum a & b: & punctus uiſus ſit c: ſitq́ d centrum circuli magni, qui eſt ſecans ambos circulos, qui ſunt communes ſectiones ſuperficierum ambarũ reflexionis & ſpeculi, à cuius punctis fit reflexio, & cuius portio apparens uiſui ſit e f: ſitq́ue

Fig. 630

a b c p q l m g h o i k d e f
punctus reflexionis formæ puncti c ad uiſum a, punctus g: & pũctus reflexionis formę puncti c ad uiſum b ſit punctus h: & ducatur cathe tus incidentiæ à puncto c ad centrum ſpeculi, quæ ſit c d, ſecans circulum in puncto o: ſecetq́ linea reflexionis, quæ eſt a g, producta ipſam cathetum c d in puncto k, & linea b h in puncto i: ſintq́ primò uiſus ambo æqualiter diſtantes à centro ſpeculi d: & à puncto rei uiſę, quod eſt c. Dico quòd ambobus uiſibus a & b, formę puncti uiſi c, licet duo ſint reflexionum puncta, quæ g & h, una tantùm imago uidetur: quia unicus eſt imaginis locus. Ducantur enim lineæ a d & b d à centris amborum uiſuum ad centrum ſphæræ ſecantes ſpeculum in punctis l & m. Et palàm quoniam illæ lineæ ſunt ęquales, ocu lis enim æqualiter diſtantib. à centro ſpeculi, quod eſt d, palàm quòd linea a b continuans centra oculorum cum ambabus lineis a d & b d continet angulos ęquales argumento 30 th. 3 huius: ergo per 6 p 1 lineę a d & b d ſunt æquales. Si ergo ſitus puncti c reſpectu utriuſque uiſus a & b ſit idem, ita ut linea a c ſit æqualis lineę b c: tunc patet per 8 p 1 quòd utraq diametrorum uiſualium ſcilicet a d & b d cum catheto c d continet angulos ęquales: ergo per 26 p 3 arcus ſpeculi l o & m o ſunt æquales. Quia enim a d & b d diametri uiſuales ſecantex circulis communibus ſuperficiebus ſpeculi & reflexionis arcus, & continent angulos æquales cú catheto c d in cẽtro d: palã per 26 p 3 quia illi arcus lineas c d & b d ex una parte, & ex alia lineas c d page 246 & a d interiacentes duo puncta reflexionis, quæ ſunt h & g, & punctum o, ſunt æ quales per 26 p 3: quoniam perpendiculares ductæ à centro ad puncta reflexionum, quæ ſunt d g p & d h q, cum linea c d continent angulos æquales. Et quia arcus h o & g o ſunt ęquales, & ſemidiametri d h & d g ęqua les: erunt etiam lineæ reflexionum, quę ſunt h b & g a, ęquales per 4 p 1: quoniam ad uiſus ęqualiter diſtantes à centro ſpeculi ſecundum æ quales angulos ſunt incidentes: eruntq́ ſimiliter lineæ g c & h c æquales: lineæ uerò b h & a g neceſſariò ſe ſecant: quoniam cum anguli ſint minores duobus rectis, palàm per 14 th. 1 huius quia lineæ b h & a g in aliquo puncto neceſſe habent cõcurrere. Et quia anguli reflexionis ad ambos uiſus propter æqualem diſtantiam amborum uiſuum à puncto rei uiſę, & à centro ſpeculi, ſunt ęquales: erunt & anguli c g a & c h b inter ſe ęquales: palã ergo per 13 & 32 p 1 quia trigonum g c k eſt ęquiangulum trigono h c i, & linea c h eſt ęqualis ipſi lineę c g: erit ergo per 4 p 6 linea h i ęqualis lineæ g k, & linea c k æqualis ipſi lineę ci: puncta ergo k & i ſunt punctus unus. Superidem ergo punctum catheti c d erit ſectio ambarum linearum reflexionis, quę ſunt a g & b h, cum catheto incidentiæ quę eſt c d: & in hoc puncto utriq uiſui apparebit imago. Videbitur ergo una ſola imago: quia unus & idẽ imaginis locus erit. Quòd ſi uiſus non æqualiter diſtent à ſpeculo uel à re uiſa: adhuc tamen unica uidebitur imago. Licet enim imago puncti uiſi cadat in diuer ſis punctis perpendicularis: hoc tamen eſt imperceptibile, quia diſtantia illorum punctorum eſt im perceptibilis. Imago ergo cuiuſcunq puncti à quocunq uideatur oculo, ſemper ſeruat identitatem partis: & ob hoc apparet unitas imaginis. Remotio enim puncti uiſi ab uno uiſu modicò eſt maior  ab alio: & ob hocloca imaginum ſunt imperceptibiliter remota: & ob hoc apparent ſimul: quoniã ex illis fit una imago compacta: quia loca imaginis non totaliter à ſe diſtant, licet partialiter aliquãtulnm diſtent. Patet ergo propoſitum. Poteſt tamen quandoq & hoc accidere, ut ſi forma reflexa ualde obliquè incidat alteri uiſuũ: quòd ꝓpter obliquitatẽ una forma uideatur duę: ut cũ in una ſuperſicie reflexionis ſunt centra amborũ uiſuũ: tũc enim præmiſsi anguli in cẽtro ſpeculi fiuntinæquales, & accidit uideri duas ſormas, ſicut & nos in ſimplici modo uidẽdi diximus in quarto libro hu ius, capitulis de uiſiõe numerali: ſed hoc euenit ut rarò, & nos de hoc aliquid diximus in 7 th. 5 huius.

35. In ſpeculo ſphærico conuexo eſt ordinatio punctorum imaginum in ambobus uiſibus, ſicut ordinatio punctorum rei uiſæ. Alhazen 42 n 5. Item 4 n 6.

Ducantur à terminis lineę, quę eſt in reuiſa, duę catheti ad cẽtrum ſpeculi. Palàm ergo quòd tũc erit triangulus, in quo continebuntur omnes imagines omniũ punctorum illius lineę: & ſi in illa linea ſit punctus non eiuſdem ſitus reſpectu amborum uiſuũ: imago puncti remotioris ab illo erit in diametro remotiori ab eius diametro, & propinquioris in propin quiori: quoniã ſemper imago cuiuslibet puncti rei uiſæ uidebitur in cóncurſu lineæ reflexionis cum catheto incidentię ducta ab illo puncto ad cẽtrum ſpeculi, ut patet per 11 huius. Sic ergo obſeruabitur ſitus partium in imaginib. ſicut fuerit ſitus in pũctis uiſis. Sumpta uerò linea, in qua eſt punctũ eiuſdẽ ſitus, quodlibet punctũ illius lineę eiuſdem erit ſitus reſpectu oculorũ. Si aũt ſumatur linea, quę angulũ, quẽ continent duę lineę à centris oculorum ad punctum uiſum productę, diuidit per æqualia: ſitus cuiuslibet puncti illius lineę quantumcunq productę eſt ſitus cõſimilis utriq uiſui ſicut uni. Patet ergo propoſitum.

36. In quibuſdam ſitibus poßibile eſt à ſpeculis ſphæricis conuexis, plurib. uiſibus rem apparere unicam unam́ imaginem habentem.

Fig. 631

c e p g a o b h k d f q

Sit cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphęrici conuexi circulus a b: cuius centrũ ſit d: & ſit punctum c punctum rei uiſę: ducaturq́ linea c d à puncto uiſo in centrũ d, ſecans ſpeculi peripheriam in puncto o: ſitq́ arcus a o ęqualis arcui o b: & ducãtur lineę c a & c b, quę per 8 p 3 & ex hypotheſi erũt ęquales. Et à puncto a ducatur linea f a e contingens circulum per 17 p 3, & à puncto b linea p b q: & ducaturlinea a b. Patet ergo per 5 p 1 quoniam anguli c a b & c b a ſunt ęquales: ſed & an guli o a b & o b a linea curua & recta contenti ſunt æquales per 43 th. 1 huius: ſed & anguli contingen tię o a e & o b p per 16 p 3 ſunt æquales: relinquitur ergo angulus c a e æqualis angulo c b p. Itaq ſuper punctũ a terminum lineę c a conſtituatur angulus æqualis angulo c a e per 23 p 1, qui ſit g a c, & ſuper b terminũ lineę c b conſtituatur angulus æqualis angulo p b c, qui ſit h b c: eritq́ angulus h b c ęqua lis angulo g a c. Poſitis itaq uiſib. in pũctis g & h: palã per 20 th. 1 huius quoniam forma puncti c reflectitur ad ambos uiſus exiſtentes in punctis g & h: ad punctũ quidem g à puncto a, ad punctũ quoq h à puncto b. Producatur quoq ultra punctũ a linea g a ad lineã c d, quę cõcurret cũ illa ք 14 th. 1 huius, ideo quia anguli g a c & a c d ſunt minores page 247 duobus rectis: cõcurrãtitaq in pũcto k: & ꝓducatur linea h b ad lineã c d: quę ſimiliter cõcurret ք pręmiffa, & in eodẽ pũcto k. Quia enim, ut patet ex pręmiſsis, linea a c eſt æqualis lineæ c b, & a d æqualis ipſi b d, quia ſemidiametri, & linea c d cõmunis eſt ambobus trigonis a c d & b c d: erũt angu li a c d & d c b æquales per 8 p 1, & angulus g a c, ut patet expręmiſsis, eſt ęqualis angulo h b c: ſed & angulus p b c oſtẽſus fuit æqualis eſſe angulo e a c: eſt ergo angulus h b q æqualis angulo g a f per 13 p 1: ſed angulus e a k eſt æqualis angulo g a f, & angulus p b k æqualis angulo h b q ք 15 p 1: ergo angulus e a k æqualis eſt angulo p b k: erit ergo totalis angulus c a k æqualis totali angulo c b k: ergo per 32 p 1 trianguli c a k & c b k ſunt æquianguli: ergo per 4 p 6 cũ a c fit æqualis ipſi b c, erit latus a k æquale lateri b k: cõcurrent ergo in uno puncto k: quoniã latus c k eſt in ambobus trigonis æquale ſibijpſi. Sed pũctus k eſt locus imaginis pũcti c: erit ergo ambobus uiſibus idẽ locus imaginis. Siue ergo propriã faciẽ aſpicientes uideant, ſiue res alias à loco pũcti c à pũctis a & b reflexas ad uiſus in pũctis g & h exiſtentes, idẽ accidit utrobiq. Idem quoq accidit in toto circulo tranſeunte pũcta b & a: quoniã in quolibet pũcto illius circuli modo prædicto diſpoſitis uiſibus eadem eſt demonſtra. tio. Palàm ergo propoſitũ. Si aũt anguli reflexionũ ſint diuerſi: tũc res una diuerſis uiſibus in locis uidebitur diuerſis, & plura idola obtinebit. Et hoc eſt notandũ, & ſatis patuit ք pręmiſſa: quia illæ reflexionũ lineę in diuerſis pũctis diametri ſpeculi concurrunt: & ob hoc loca imaginũ conſtituũt diuerſa, ut patet per 11 huius. Patet ergo propoſitum.

37. In ſpeculis ſphæricis conuexis minor eſt diſtantia imaginis à ſpeculi ſuperficie, quàm ipſius rei extra. Euclides 20 th. catoptr.

Eſto circulus (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphęrici cõuexi) q h k r: cu ius cẽtrũ z: & linea uiſa obliquè incidẽs ſpeculo ſit e f: ſitq́ centrũ uiſus b: & reflectatur pũctus e à pũcto ſpeculi h ad uiſum b, & f à pũcto q: ducãturq́ lineę e h, h b, f q, q b: & ducãtur քpendiculariter ſuper ſuperficiẽ ſpeculi catheti e z, f z: ſecetq́ linea e z circulũ ſpeculi in pũcto r: & f z in pũcto k: & b h producta intra ſpeculũ, ſecet e z in pũcto a: & b q

Fig. 632

f b e d t m n k h q r a g z
ſecet f z in pũcto g: & producatur linea a g: quę per 11 huius erit imago lineæ e f: ducaturq́ à pũcto h linea circulũ cõtingens ք 17 p 3, quę ſit h t: & hæc ꝓducta ſecet lineã e z in pũcto t: eritq́ punctus t finis cõtingentię lineę h t: ſecetq́ linea t h ꝓducta ultra h, lineã b g in pũcto l: & à pũcto t ducatur perpẽdicularis ſu per lineã e z ք 11 p 1, quę producta ſecet e h lineam in pũcto d, & ſit t d. Quia itaq angulus b h l eſt æqualis angulo e h t ք 20 th. 5 huius: ſed & angulus t h a ęqua lis eſt angulo b h l ք 15 p 1: ergo angulus e h t eſt ęqua lis angulo t h a: ergo ք 3 p 6 erit proportio lineæ e h ad h a, ſicut lineę e t ad lineã t a: ſed linea e h eſt maior  linea h a: ergo & linea e t eſt maior  t a. Quòd aũt linea e h ſit maior  linea h a, patet. Cũ enim angulus e t d ſit rectus: erit angulus e t h maior recto: eſt ergo ք 13 p 1 angulus e t h maior angulo a t h: ſed & angulus e t h maior eſt angulo e h t per 32 p 1: ſed angulus e h t eſt æqualis angulo a h t, ut patet ex pręmiſsis. Quia itaq anguli trigoni e t h oẽs ſimul ſumpti, ſunt æquales angulis trigoni a t h omnibus ſimul ſumptis ք 32 p 1: relin quitur ergo angulus t a h trigoni t h a maior angulo t e h trigoni h e t. In trigono itaq a e h angulus e a h maior eſt angulo a e h: ergo in trigono e a h latus e h maius eſt la tere h a ք 19 p 1: maior eſt ergo linea e t  linea t a: multò magis ergo linea e r eſt maior  linea r a: ſed linea r a eſt diſtãtia imaginis pũcti a à ſuperficie ſpeculi intra ſpeculũ: & linea e r eſt diſtãtia pũcti ui ſi, ꝗ eſt e, à ſuքficie ſpeculi extra ſpeculũ. Et ſi à pũcto q ducatur linea cõtingẽs eirculũ, q̃ ꝓducta ad cathetũ f z ſecet ipſam in pũcto m: & à pũcto m ducatur ք pendicularis ſuper f z, q̃ producta ad f q ſit m n: patebit ſimiliter quoniá linea f k eſt maior  linea k g. Hoc eſt ergo propoſitũ: quoniã ſi à medijs pũctis lineę e f ducantur lineę, ſicut ab extremis, patebit idẽ in omnibus imaginibus ipforum, quę per 11 huius cadunt omnes in lineam a g. Patet ergo hoc, quod proponebatur.

38. Re conſpecta à tali longitudine, quòd eius certa quantitas uiſu comprehendi non poßit: nonnunquã uidebitur imago reiuiſæ in ſpeculo ſphærico cõuexo æqualis: quando maior quàm forma per ſe uiſui occurrens. Alhazen 6 n 6.

Sit a centrum ſpeculi ſphęrici conuexi: & circulus (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexio nis & ſuperficiei ſpeculi) ſit e d b: & ſit e d diameter illius circuli: & educatur diameter e d ultra d uſque a d z taliter, ut illud, quod fit ex ductu e z in z d ſit ęquale quadrato a d ſemidiametri per 127 th. 1 huius: ac ſi e d & a d ſint duę lineę datę. Diuidaturq́ linea z d per ęqualia in puncto h per 10 p 1: eritigitur a h medietas lineę e z: ergo per 1 p 6 illud, quod fit ex ductu a h in d z, eſt ęquale medietati quadrati lineę a d. Ergo per eandem 1 p 6 illud, quod fit ex ductu a h in h d ęquale eſt quartę parti quadrati a d. Et quia illud, quod fit ex ductu a h in h d maius eſt quadrato h d per 3 p 2: ſit illud, quod fit ex ductu a h in t h ęquale quadrato h d: erit ergo h t minor quàm h d. Fiat ergo circulus ſecundum quantitatem lineę a h: qui neceſſariò ęquidiſtabit circulo priori: quoniam ipſo page 248 rum eſt idem centrum punctum a, & ipſorum ſemidiametri ſunt inęquales: & à puncto h ducatur chorda ęqualis medietati lineę h d per 1 p 4, quę fit h q: & producantur lineę q a, q t: & ſuper puntum q lineę h q fiat angulus ęqualis angulo q a h per 23 p 1, qui ſit h q n, ducta linea q n ſuper lineam a h. Et quoniam trianguli h q a angulus q a h ęqualis eſt angulo h q n trigoni h q n, & angulus a h q utrique communis, erit tertius tertio ęqualis per 32 p 1, ſcilicet angulus a q h angulo h n q: ergo per 4 p 6 erit proportio h a ad q h, ſicut q h ad h n: ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu a h in h n ęquale erit quadrato h q: ſed quadratum h q eſt quarta pars quadrati h d per 4 p 2: eſt enim h q medietas lineę h d: ductus ergo a h in h n eſt ęqualis quartę parti quadrati d h: ergo & quartę parti ductus a h in h t: eſt ergo linea h n ęqualis quartę parti lineę h t per 1 p 6: cadit ergo punctum n inter puncta h & t: remanetq́ linea t n tres quartę lineę h t: reſtat ergo, ut ductus h t in t n ſit tres quartę quadrati h t per 2 p 2: ſed & per 1 p 6 erit ductus lineę a h

Fig. 633

o z i l h m n q t d a b e
in t n tres quartę quadrati h d. Quoniam autem angulus a q h eſt acutus per 42 th. 1 huius, & ipſe eſt ęqualis angulo q h a per 5 p 1, quoniam latera a h & a q ſunt ęqualia: patet ergo quia angulus q h a eſt ęqualis angulo h n q in minori triangulo: ergo per 6 p 1 latus n q eſt ęquale lateri h q: & angulus h n q eſt acutus: ergo per 13 p 1 angulus q n t eſt obtuſus: ergo quadratum lineę t q amplius eſt quadrato lineę q n, & quadrato lineę t n, in illo, quod fit ex ductu t n in n h per 12 p 2. Si enim à puncto q ducatur perpendicularis ſuper h n: palàm per 31 th 1 huius, cum latera q h & q n ſint ęqualia, quòd ipſa cadet in medio puncto lineę h n: ex prima uerò 2 ductus n t in h n ęquipollet illi, quod fit ex ductu t n in medietatem h n bis: ſed ductus t n in n h cum quadrato n t ęqualis eſt ductui h t in t n per 3 p 2: igitur ductus h t in t n eſt exceſſus quadrati lineę t q ſupra quadratum lineę n q: ergo & upra quadratum h q, cum h q ſit æqualis ipſi n q. Quia uerò quadratũ t q eſt maius quadrato h q, & linea t q erit maior linea h q: ſit ergo per 3 th. 1 huius ꝓportio a i ad a h, ſicut t q ad q h. Quia ergo linea q t eſt ma ior  linea q h, erit linea a i maior  linea a h: erit quoq ք 20 p 6 ꝓportio quadrati lineę a i ad quadra tũ lineę a h, ſicut quadrati lineę t q ad quadratũ lineę h q: quoniã ſicut ſimpli ad ſimplũ, ſic dupli ad duplum: proportio uerò quadratorum dupla eſt proportioni laterũ ex 20 p 6: erit ergo per 17 p 5 exceſſus quadrati a i ſupra quadratum a h ad quadratum a h, ſicut ductus h t in t n ad quadratum q h. Et quoniam ex 4 p 2 & ex pręmiſsis quadratum lineæ q h quater ſumptum efficit quadratum lineæ h d, & ductus h t in n t quater ſumptus efficit triplum quadrati h t: ideo quòd ductus h t in tn eſt tres quartę quadrati h t ut præmiſſum eſt, quater uerò tria ſunt 12, in quibus tria integra continentur: erit ergo per 15 p 5 ductus h t in t n ad quadratum q h, ſicut tripli quadrati h t ad quadratum h d. Sit autem h o linea tripla ad lineam h t: erit ergo per 1 p 6 ductus o h in t h triplus quadrati h t: ſed quoniam ductus a h in h t eſt æqualis quadrato h d, erit per 17 p 6 proportio h a ad h d, ſicut h d ad h t: erit ergo h t ad h a, ſicut quadrati h t ad quadratum h d ex corollarij; 20 p 6 & 4 p 5. Verùm proportio lineæ o h ad lineam h a eſt, ſicut ductus o h in h t ad ductũ a h in h t ex 1 p 6: & ita per 11 p 5 eſt proportio lineæ o h ad lineam h a, ſicut tripli quadrati h t ad quadratum h d: ſed hæc erat proportio exceſſus quadrati lineæ a i ſupra quadratum lineæ a h ad quadratum a h: eſt ergo coniunctim per 18 p 5 proportio lineæ o a ad lineam h a, ſicut quadrati lineæ a i, ad quadratum a h: exceſſus enim quadrati a i ſupra quadratum a h cum quadrato h a efficit quadratum a i: igitur ex 20 p 6 erit linea i a medio loco proportionalis inter lineas o a & h a: eſt enim ut in corollario 20 p 6 proponitur, trium linearum continuè proportionalium proportio primæ ad tertiam, ſicut quadrati conſtituti ſuper primam ad quadratum conſtitutum ſuper ſecundam: igitur proportio lineæ o a ad i a eſt ficut lineæ i a ad h a: erit ergo per 19 p 5 eadem proportio reſidui ad reſiduum, ſcilicet o i ad i h. Cum itaque i a ſit maior quàm a h: erit o i maior quàm i h: ergo linea i h eſt minor medietate lineæ o h. Item, ut prius oſtenſum eſt, ductus lineæ a h in lineam h d eſt æqualis quartæ parti quadrati lineæ a d: ſed linea a d eſt minor quàm a h: ductus ergo a d in h d eſt minor quarta parte quadrati lineæ a d: linea ergo h d eſt minor quarta parte lineæ a d. Quoniam ſi eſſet linea h d æqualis quartæ parti lineæ a d: tunc per 1 p 6 ductus a d in h d eſſet æqualis quartæ parti quadrati lineæ a d, cum ambo ſint altitudinis lineæ a d: eſt ergo linea h d minor quinta parte lineæ a h. Cum itaq linea a h ſit maior quàm quintupla lineæ h d: ductus uerò lineæ a h in lineam h t ſit æqualis quadrato lineæ h d, ut pater ex pręmiſsis: erit per 17 p 6 linea h d maior quàm quintupla lineæ h t: quoniam quæ eſt proportio lineæ a h ad lineam h d, eadem eſt proportio lineæ h d ad lineam h t: eſt ergo h t minor quinta parte lineæ h d, & h d eſt minor quinta parte lineæ a h: ergo h t eſt minor 25 parte lineæ a h. Eſt autem ex præmiſsis proportio lineæ o i ad lineam i h, ſicut lineæ i a ad h a: ergo per 18 p 5 erit coniunctim proportio lineæ o h ad lineam i h, ſicut lineę i a cum linea a h ad lineã a h: ergo per 15 p 5 erit proportio tertiæ partis primę lineę ad ſecundam, ſicut tertiæ partis ipſius tertiæ lineæ ad quartam. Quia uerò linea h o affumpta eſt tripla lineæ h t: patet quòd linea h t eſt tertia pars lineę o h: eſt ergo proportio lineæ h t ad lineam i h, ſicut tertiæ partis lineæ i a cum tertia parte lineę a h ad lineam a h. Eſt igitur proportio lineę h t ad i a, ſicut duarum tertiarum lineæ a h page 249 cum una tertia lineę i h ad lineam a h. Quia enim linea a h bis accipitur, ſemel per ſeipſam & ſemel in linea i h: ergo & eius tertia bis accipitur: linea uerò i h accipitur ſemel in linea a i: unde & eius tertia eſt tantùm ſemel accipienda. Quia uerò linea o i eſt maior quàm linea i h, ut ſuprà patuit, & linea i h eſt minor medietate lineæ o h: ergo tertia pars lineę i h erit minor ſexta parte lineæ o h per 15 p 5. Sed cum linea h t ſit tertia pars lineæ o h: ergo medietas lineę h t eſt æqualis ſextæ parti lineæ o h: eſt ergo tertia pars lineę i h minor medietate lineæ h t: ergo duę tertię lineę a h cum minore parte lineę quàm ſit medietas lineę h t, habent proportionem ad lineam a h illam, quam habet linea h t ad lineam i h: ergo econtrario per 5 th. 1 huius erit proportio lineę i h ad lineam h t, ſicut lineę a h ad duas ſui tertias, cum linea minore medietate lineę h t: eſt autem linea h t, ut patet per præmiſſa, minor 25 parte lineæ a h, & eius medietas minor eſt medietate 25 partis lineæ a h: ſed linea a h in 25 partes diuiſa, duæ eius tertiæ cum medietate 25 partis non efficiunt 18 partes ipſius: quoniam duę tertię de 24 ſunt 16, & remanet unum, cuius duę tertię cum illo, quod eſt minus dimidio, fortè eſt plus quàm unum integrum, minus autem quàm duo integra. Igitur proportio lineę i h ad lineam h t eſt maior quàm 25 ad 18 per 8 p 5. Item cum linea h t ſit minor 25 parte lineæ a h: erit linea a t maior 24 partibus illarum partium, quarum linea a h eſt 25. Sed linea i h eſt minor medietate lineę o h: eſt autem o h tripla ipſi h t: ergo linea o h eſt minor una & dimidia partium ex par tibus, quarum a h eſt 25: ergo multò magis linea i h eſt minor una parte & dimidia illarum 25 partium lineę a h: eſt ergo proportio lineæ a i ad lineam a t, ſicut lineæ minoris quàm 26 partes & dimidię ad lineam maiorem quàm 24 partes partium earundem. Eſt ergo proportio lineę a i ad lineam a t minor proportione 26 & dimidię ad 24 ք 8 p 5. Proportio uerò lineę i h ad lineam h t eſt maior quàm 24 partium ad 18: quoniam ex pręmiſsis ipſa eſt maior quàm 25 partium ad 18. Igitur propor tio lineę i h ad lineam h t eſt maior, quàm proportio lineę i a ad lineam a t: quoniam minor eſt proportio 26 & dimidię ad 24, quàm 24 ad 18, quæ eſt ſeſquitertia. Sit quoq per 3 th. 1 huius proportio lineæ i m ad lineam m t, ſicut lineæ i a ad lineam a t. Eſt ergo maior proportio lineæ i h ad lineã h t, quàm lineę i m ad lineam m t: cadit ergo punctus m inter puncta i & h: linea ergo m t eſt maior quá h m: ergo per 8 p 5 maior eſt porportio i m ad h m, quàm ad m t: ergo maior eſt proportio i m ad m h, quàm lineæ i a ad a t: ergo maior proportio i m ad m h, quàm i a ad a h: quoniam per 8 p 5 maior eſt proportio i a ad a t, quàm ad a h, cum a t ſit minor quàm a h. Sit ergo per 3 th. 1 huius proportio lineæ i l ad l h, ſicut lineę i a ad a h: cadet ergo, ut prius, punctus l inter duo puncta m & i: quod poteſt oſtendi, ſicut prius. Et his ſic pręmiſsis innouabimus figuram. Fiat itaque omnimoda diſpoſitio, ut in pręmiſſa figuratione, & in demonſtratione ulterius procedatur. A punctis itaq l & m ducantur duę lineæ contingentes circulum d b e per 17 p 3, quę ſint l b & m g: & copulentur lineę i b, h b, i g, t g, a b, a g: & educantur lineæ a b, a g ad circulum exteriorem, quælibet in punctum z. Quia itaque ex pręmiſsis eſt proportio lineę i l ad lineam l h, ſicut catheti i a ad ſui partem a h: patet per 12 huius quoniam punctus h eſt locus imaginisformę puncti i reflexę à puncto ſpeculi, quod eſt b:
Fig. 634

o z i l s m h n q t d z a ‡ k c g y ‡ f r s b z u a d x x e
quia danti oppoſitum accidit contrarium proportionis prędemonſtratę lineę i a ad lineam a h: erit enim tunc proportio lineæ i a ad lineam ductam ad locum imaginis à puncto a, ſicut lineę i l ad lineam ductam à puncto l ad locũ imaginis. Et quia, ut pręoſtẽſum eſt, ꝓportio lineę i l ad lineã h l eſt, ſicut lineę i a ad lineá h a: erit ergo pũctus h locus imaginis: erit quoq angulus i b z cõtẽtus ſub linea incidẽtię i b, & ſub քpendiculari a b z ducta à cẽtro ſpeculi ad pũctũ reflexionis, ęqua lis angulo h b a, quẽ cõtinet linea reflexionis cũ eadẽ քpẽdiculari a b z: quoniã, ut patet ք 9 huius, illa linea reflexionis cõcurrit cũ catheto incidẽtię, quę eſt a i: uterq enim illorũ angulorũ eſt æ qualis cuidã angulo reflexiõis, ꝗ, exempli cauſſa, ſit z b x, ita ut cẽtrũ uiſus ſit in pũcto x, uel in aliquo puncto illius lineę: angulo itaq z b x æquatur angulus i b z ք 20 th. 5 huius, ք q oſtẽditur q angulus incidẽtię eſt æqualis angulo reflexiõis: & angulus h b a ęquatur angulo x b z ք 15 p 1. Et ſimiliter cũ punctus h ſit locus imaginis, & linea l b ſit cõtingẽs circulũ in pũcto b: erũt anguli l b z & a b l recti per 18 p 3: ſed angulus i b z eſt æqualis angulo h b a: relinquitur ergo angulus i b l ęqualis angulo l b h. Similiter quoq erit angulus i g z æqualis angulo t g a. Et cũ linea m g ſit cõtingens circulũ in puncto g, & perpendicularis ſuper ſemidiametrum a g: erit ſecundum pręmiſſa angulus i g m æqualis angulo m g t: eſt enim ſecundum pręmiſſa pũctus t locus imaginis formę pũcti i reflexę à pũcto ſpe culi, quod eſt g. Item ducatur à puncto h ad lineam a b per 31 p 1 linea æquidiſtans lineę i b, quæ ſit h p: & â puncto t ducatur ſuper lineam a g ęquidiſtans lineę i g, quę ſit t r: erit ergo per 29 p 1 angulus i b z ęqualis angulo h p b: ſed angulus i b z ex pręmiſsis eſt ęqualis angulo h b a: page 250 duo ergo anguli h b a & h p b ſunt ęquales: ergo per 6 p 1 duo latera h b & h p ſunt ęqualia: & ſimiliter ſequitur, quòd duo latera t g & t r ſunt æqualia. Quia itaque in trigono h p b duo anguli h p b & h b p ſunt æquales: patet per 32 p 1 quoniam uterque ipſorum eſt acutus: angulus s ergo h p a eſt obtuſus: ergo per 19 p 1 in trigono h a p latus a h eſt maius latere h p: ergo & linea a h eſt maior quàm linea h b: & ſimiliter erit linea a t maior quàm linea t g. Amplius quoniam linea h p eſt æquidiſtãs lineæ i b: erit per 29 p 1 & per 4 p 6 proportio lineæ a i ad lineã a h, ſicut lineæ a b ad lineã a p. Et ſimiliter cũ linea t r ſit æquidiſtans lineæ i g: erit proportio lineę a i ad lineã a t, ſicut lineę a g ad lineá a r: ergo erit econtrario per 5 th. 1 huius proportio lineę a h ad lineã a i, ſicut lineæ a p ad lineã a b: ſed linea a g eſt æqualis lineæ a b per definitionẽ circuli: ergo per 7 p 5 ea dẽ eſt proportio li nearum a g & a b ad lineam a r: eſt ergo proportio lineæ a i ad lineam a t, ſicut a b ad a r. Ablatis ergo hinc inde eiſdem medijs, quæ ſunt a i & a b, erit per 22 p 5 proportio lineæ a h ad lineam a t, ſicut lineæ a p ad lineam a r. Verùm cum angulus h p a ſit obtuſus: palàm per 12 p 2 quia quadratum lineæ a h excedet ambo quadrata linearum h p & a p in eo, quod fit bis ex ductu lineæ a p in lineam ductam à puncto p uſque ad locum perpendicularis ductę à puncto h ſuper lineam a p: ſed perpendicularis ducta à puncto h ſuper lineam a p productam, neceſſariò cadet in medio lineę p b per 31 th. 1 huius: quoniam lineæ h b & h p ſunt æquales: ergo per 1 p 2 quadratum lineę a h excedit ambo quadrata linearum h p & a p in eo, quod fit ex ductu lineæ a p in lineam p b: ſed per 3 p 2 illud, quod fit ex ductu lineę a b in lineam a p, eſt æquale ei, quod fit ex ductu lineæ a p in lineam p b & quadrato lineæ a p. Quadratum ergo lineę a h excedit quadratum lineę h p in eo, quod fit ex ductu lineæ a b in lineam a p. Eodem quoque modo demonſtrandum, quòd quadratum lineę a t excedit quadratum lineę t r in eo, quod fit ex ductu unius linearum a g uel a b in a r: cum linea a g ſit æqualis ipſi a b. Ducatur ergo linea a b in ambas lineas a p & a r, & prouenient duo pręmiſsi exceſſus, quorum alterius ad alterum proportio per 1 p 6 eſt ſicut lineę a p ad lineam a r, cum ipſorum ſit eadem altitudo, quę eſt lineę a b. Eſt autem ex pręmiſsis proportio lineę a p ad lineam a r, ſicut lineę a h ad lineam a t: erit ergo proportio exceſſus quadrati a h ſupra quadratum h p ad exceſſum quadrati a t ſupra quadratum t r, ſicut lineæ a h ad lineam a t. Et cum h p ſit æqualis ipſi h b, & t r ſit æqualis ipſi t g: erit proportio exceſſus quadrati a h ſupra quadratum h b ad exceſſum quadrati a t ſupra quadratum t g, ſicut lineę a h ad lineam a t. Quia uerò per 36 p 3 illud, quod fit ex ductu lineæ e h in h d, eſt æquale quadrato lineę contingentis, ductę à puncto h ad circulum d b e, quę per 60 th. 1 huius, & per 8 p 5 erit minor quàm linea h b: illud ergo, quod fit ex ductu lineę e h in lineam h d eſt minus quadrato lineę h b: patet ergo quòd illud, quod fit ex ductu a h in b d, minus eſt quadrato h b. Fiat ergo per 127 th. 1 huius ut illud, quod fit ex ductu a h in h u maiorem linea h d, ęquale ſit quadrato lineę h b. Et quoniam linea a h eſt maior quàm linea h b, erit quoque a h maior quàm h u: abſcindatur ergo h u à linea a h per 3 p 1 in puncto u: patetitaque per 2 p 2 quia quadratum lineæ a h eſt æquale ei, quod fit ex ductu lineæ a h in h u, & in a u: illud ergo, quod fit ex ductu a h in a u, eſt exceſſus quadrati a h ſupra quadratum h b. Eſt ergo proportio lineæ a h ad lineam a t, ſicut eius, quod fit ex ductu a h in a u ad exceſſum quadrati a t ſupra quadratum t g. Si itaque duæ lineæ a h & a t ducantur in lineam a u: erit per 1 p 6 proportio eius, quod fit ex ductu a h in a u ad illud, quod fit ex ductu a t in a u, ſicut lineæ a h ad lineam a t: ergo per 9 p 5 illud, quod fit ex ductu lineæ a t in a u, eſt æquale exceſſui quadrati a t ſupra quadratum t g: ſed per 2 p 2 quadratum lineæ a t eſt æquale ei, quod fit ex ductu a t in a u, & a t in t u: eſt ergo illud, quod fit ex ductu a t in t u æquale quadrato t g. Palàm ergo quoniam ductus lineæ a h in h u eſt æqualis quadrato h b, & ductus a t in t u eſt æqualis quadrato t g. Item arcus b g diuidatur per æqualia in puncto o per 30 p 3: ducaturq́ linea a o: & à punctis b & o & g ducantur tres perpendiculares ſuper lineam a h per 12 p 1 ſcilicet b f, o y, g k: & à puncto g ducatur linea æquidiſtans lineæ a h per 31 p 1, quæ ſit g s: & à puncto b ducatur perpendicularis ſuper lineam a g, quæ ſit b c: & hæc quidem b c ſi produceretur ad peripheriam circuli, diuideret ipſam linea a g in duo æqualia per 3 p 3: & ſimiliter diuideret arcum, cuius chorda eſſet producta b c, per æqualia in puncto g: & ita ſecaretur alius arcus æqualis arcui b g: quoniam in illum arcum caderet angulus c b g: & ita angulus c b g eſt medietas anguli, qui ſuper centrum a caderet in illum arcum per 20 p 3: ſed ille angulus per 27 p 3 eſt æqualis angulo g a b: quoniam cadunt in arcus æquales ſuper centrum a: igitur angulus c b g eſt medietas anguli g a b: eſt ergo per 27 p 3 angulus c b g æqualis angulo o a g. Duo autem anguli b s g & b c g ſunt recti: ergo per 31 p 3 ſi imaginetur circulus, cuius diameter ſit b g, tranſiens per punctum s: ille neceſſariò tranſibit per punctum c: & fiet arcus c s, in quem cadent duo anguli c b s & c g s: ergo hi duo anguli per 27 p 3 ſunt æquales: ſed angulus g a y æqualis eſt angulo c g s per 29 p 1, quoniam lineę g s & a y ęquidiſtant: eſt ergo angulus g a y æqualis angulo c b s: ut autem prius oſtenſum eſt, angulus c b g eſt ęqualis angulo o a g: ergo totalis angulus o a y ęqualis totali angulo g b s: ſed anguli a y o & g s b ſunt recti: eſt ergo trigonum y a o ęquiangulum trigono g b s: ergo per quartam pr. ſexti eſt proportio lineę g b ad lineam b s, ficut lineę o a ad lineam a y, & proportio g b ad g s, ſicut a o ad o y. Itẽ quia angulus a h b eſt acutus per quadrageſimumſecundum th. primi huius, palàm per decimamtertiam pr. ſecundi, quia quadratum lineę a b minus eſt ambobus quadratis linearum a h & h b in eo, quod fit ex ductu lineę a h in lineam h f bis: igitur quadratum lineę a h cum quadrato lineę h b, maius eſt quadrato lineę a b, page 251 uel quadrato eius æqualis, quę eſt a d, in eo, quod fit ex ductu lineę a h in lineam h f bis: ſed illud, quod fit ex ductu a h in h f bis eſt per 1 p 2 ęquale ei, quod ſit ex ductu a h in h d bis, & ex ductu a h in d f bis: illud autem, quod fit ex ductu a h in h d bis, cum quadrato lineę a d, eſt ęquale quadrato lineæ a h cum quadrato lineę h d per 7 p 2: quadratũ ergo lineę a d cũ eo, quod fit ex ductu a h in h d bis, quia eſt commune utrobiq, auſeratur: remanet ergo quadratũ lineę d h, quod cũ eo, quod fit ex ductu lineę a h in f d bis, æquale quadrato lineę h b. Sed ex præmiſsis patet, quò illud, quod fit ex ductu a h in h t, eſt æquale quadrato h d, & illud quod fit ex ductu a h in h u eſt æqua le quadrato h b:erit ergo ductus a h in h u æqualis ductui a h in h t ſemel & bis in d f: ablato ergo du ctu a h in h t, qui communis ponitur utrobiq:relinquitur, ut illud, quod fit ex ductu a h in tu ſemel ſit æquale ei, quod fit ex ductu a h in d f bis. Ergo per 1 p 6 erit linea tu dupla lineæ d f. Item cú angulus a t g ſit acutus, erit ſecundum prędictum modum quadratum lineę a t cum quadrato lineę t g æquale quadrato lineę a d, & ei quod fit ex ductu a t in t k bis, & ita ei, quod fit ex ductu a t in d t bis & in d k bis:remanebitq́ ut prius, quadratum lineę t g æquale quadrato lineæ t d, & ei, quod fit ex ductu a t in d k bis. Sit autem per 10 p 6 ut quę eſt proportio a t ad t d, eadem ſit ipſius t d ad t æ: ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu a t in t æ eſt æ quale quadrato t d: ſed ex pręmiſsis illud, quod fit ex ductu a t in tu, eſt æquale quadrato t g: ablato ergo utrobiq eo, quod fit ex ductu a t in t æ, reſtat, ut illud, quod fit ex ductu a t in æ u ſemel, ſit æquale ei, quod fit ex ductu a t in d k bis:igitur per 1 p 6 linea æ u eſt dupla lineę d k: ſed iam oſten ſum eſt quòd t u eſt dupla ipſi d f: reſtat ergo ut linea æ t ſit dupla lineę k f. Item quia ex pręmiſsis illud, quod fit ex ductu a h in h t eſt æquale quadrato h d: ergo per 17 p 6 erit proportio a h ad h d, ſicuth d ad h t:eſt ergo proportio lineę a h ad h t proportio duplicata lineæ a h ad h d: & ſimiliter per eandem rationem proportio at ad t æ eſt duplicata proportio a t ad t d:ſed maior eſt proportio a t ad t d, quàm a h ad h d per 4 th. 1 huius, quoniam eiuſdem lineę, quę t h, prioribus antecedenti & conſequenti ſit additio:ergo maior eſt proportio lineæ a t ad lineę t æ, quàm lineę a h ad lineam at: ergo per 10 th. 1 huius erit permutatim maior proportio lineę a t ad lineam a h, quâm lineę t æ ad lineam h t: ſed a h eſt maior quàm a t, quoniam totum eſt maius parte: ergo h t eſt maior quàm t æ: ſed t æ eſt dupla ad f k, ut patuit ſuperius: ergo h t eſt magis quàm dupla ad f k. Item, ut ſuprà demonſtratum eſt, proportio b g ad g s eſt, ſicut o a ad o y: ergo permutatim per 16 p 5 erit proportio b g ad o a, ſicut g s ad o y: ſed o a eſt æqualis ipſi b a per circuli definitionem, & g s eſt æqualis ipſi f k per 34 p 1: erit ergo per 7 p 5 proportio b g ad b a, ficut f k ad o y. Item quia, ut prius quaſi in principio patuit, linea i h eſt minor medietate lineę o h, & linea o h eſt tripla lineę h t: erit ergo linea i h minor quàm linea h t, & quàm ipſius medietas: ſed linea h t eſt minor quinta parte lineę h d, ut prius declaratum eſt, ergo linea i h eſt minor quàm linea t d: ſed linea n d eſt maior quam t d: ergo i h eſt multò minor quàm n d: eſt autem m i minor quàm i h: ergo m i eſt multo minor quàm n d: & quoniam z h eſt æqualis ipſi h d, ut pręmiſſum eſt: patet quòd punctum i cadet inter duo puncta h & z: ergo & punctum m cadit inter duo puncta h & z. Item illud, quod fit ex ductu e z in z d ſuppoſitum eſt æquale eſſe quadrato ſemidiametri a d: igitur illud, quod fit ex ductu e m in m d eſt minus quadrato a d: eſt autem id, quod fit ex ductu e m in m d, æquale quadraro lineę contingentis circulum, quę m g, per 36 p 3: quadratum ergo lineę m g eſt minus quadrato lineę a d: ergo linea a d eſt maior quàm linea m gIgitur linea m g eſt minor quàm linea a g, quę eſt æqualis ipſi lineę a d, cum ſint ſemidiametri eiuſdem circuli. Et quia duo trigonia g m & m g k habent unum angulum a m g communem: ſed & angulus a g m eſt rectus per 18 p 3, & angulus m k g eſt rectus per definitionem perpendicularis: ergo per 32 p 1 illi trigoni ſunt æquianguli: ergo per 4 p 6 eſt proportio m k ad k g, ſicut m g ad g a: ſed m g eſt minor quàm a g, utiam patuit: ergo m k eſt minor quàm k g: ſed k g eſt minor quàm o y per 15 p 3: & h d eſt minor quàm m k: erit ergo h d minor quàm k g: erit ergo h d minor quàm o y. Et quia per pręmiſſa & per 17 p 6 eſt proportio a h ad h d, ſicut h d ad ht: cum itaque linea h q ſit medietas lineę h d: erit per 15 p 5 proportio lineę a h ad lineam h q, ficut lineę h d ad medietatem lineę h t: patuit autem ſuprà quòd linea h t eſt magis quàm dupla lineę k f: & linea h d eſt minor quàm linea o y: eſt ergo maior proportio medietatis lineę h t ad lineam h d, quàm lineę f k ad lineam o y per 9 th. 1 huius: eſt ergo per 11 p 5, & per 5 th. 1 huius proportio q h ad a h maior quàm f k ad o y. Item linea a q ſecat circulum e b d: ſit punctus ſectionis œ: & ducatur chorda d œ, quę propter æquidiſtantiam arcuum h q, d œ, erit æquidiſtans chordę h q per 43 th. 1 huius, & per 28 p 1: eritq́ per 29 p 1, & per 4 p 6 proportio h q ad a h, ſicut d œ ad a d: ſed proportio h q ad h a eſt maior quàm f k ad o y: erit ergo proportio d œ ad d a, maior quàm fk ad o y: eſt autem ex pręmiſsis f k ad o y, ſicut g b ad a b: eſt ergo maior proportio œ d ad d a, quàm b g ad b a: ſed d a eſt æqualis ipſi b a, quia ſemidiametri: ergo per 10 p 5 chorda œ d eſt maior quàm chorda b g: ergo per 28 p 3 erit arcus d œ maior arcu b g. Producatur item linea a q extra circulum ad punctum s, donec per 3 p 1 fiat a s æ qualis lineæ a i: & copuletur lineæ s i, quæ per 7 p 5, & per 2 p 6 erit æquidiſtans lineæ h q: ergo per 29 p 1 & per 4 p 6 erit proportio s i ad h q, ſicut i a ad a h: eſt autem præoſtenſum quòd eſt proportio i a ad a h, ſicut t q ad q h: ergo per 9 p 5 linea s i eſt æqualis lineæ t q: cum ipſarum ambarum ad lineam q h eadem ſit proportio, quę lineę i a ad lineam a b. Quia uerò numerus aſſumendarum linearum excedit multipliciter numerum literarum latinarum, ne fortè fiat intricatio in omnibus ipſarum linearum, mutetur figura. Et quoniam linea nouiter aſſumpta, quę eſt a s, poſita eſt ęqualis lineę a i, fiat circulus ſuper page 252 centrum a ſecundum ipſarum quantitatẽ, & loco s ponatur litera n: ſitq́ circulus d g b ſimilis priori circulo, qui d b e, & producátur lineæ a b & a g uſq ad circulũ exteriorẽ in puncta c & r: & ſint lineæ a b c & a g r, permutẽturq́ lineæ a i & a s, ita ut linea a d i ſit loco lineę a œ s, & loco lineę a d i ſit linea a f n: ponaturq́ loco literę s litera n, & loco literę œ ponatur f: eritq́ ut pręoſtenſum eſt, arcus d f maior arcu g b. Sit ergo arcus b m æqualis arcui d f, quod fiet per 33 p 6, ſi prius per 23 p 1 ſuper a terminum lineę a b fiat angulus æ qualis angulo d a f, qui ſit b a m: producatur quoque linea a m ad exteriorem peripheriam in pũctum u: & ſit a m u: ducantur etiã lineę i b, i g, i m, n m, q m: quæ producatur uſq ad exteriorẽ circulũ: & cadat in pũctum z: & ducantur lineę z a, z g. Cũ itaq arcus b m ſit æqualis arcui d f, addito cõmuni arcu d m, erit arcus m fęqualis arcui d b: ergo per 27 p 3 erit angulus n a m æqualis angulo i a b. Quia itaq trigonorum n a m, i a b duo latera unius ſunt æqualia duobus lateribus alterius, & angulus angulo: ergo per 4 p 1 erit linea n m æ qualis lineæ i b, & angu
Fig. 635

u r c z i h n m g b q f a
lus n m a æqualis angulo i b a: remanet ergo ք 13 p 1 angulus n m u æ qualis angulo i b c. Et cũ in pręmiſſa proxima figuratione linea a h fuerit poſita æqualis ipſi lineæ a q: erunt trigonorum q a m & a h b duo latera a q & a m æqualia duobus lateribus a h & a b, & angulus q a m eſt æqualis angulo h a b: erit ergo per 4 p 1 linea q m æqualis lineę h b: & angulus q m a æqualis angulo h b a: remanet ergo angulus q m n ęqualis angulo h b i: & angulus q m u æ qualis angulo h b c per 13 p 1. Et quia lineæ a n & ai ſunt æquales ք definitionẽ circuli, & linea a q eſt æqualis ipſi a h ex hypotheſi: remanetlinea n q æqualis lineę i h. Quia itaq angulus n m u eſt ęqualis angulo i b c, & angulus i b c, ut præoſtẽſum eſt, ęqua lis eſt angulo h b a: angulus uerò h b a eſt æqualis angulo q m a: erit angulus n m u æqualis angulo q m a. Patet etiam quòd linea m z tota eſt extra circulum: quia cum linea contingens circulum ducta à puncto b cadat inter puncta i & h, ut pręoſtendimus: & quia eſt eadẽ remotio puncti b à puncto h, quę puncti m à puncto q: quoniam oſtenſum eſt, quod linea b h eſt ęqualis lineę q m, & linea i h eſt æqualis lineę n q: patet quod cõtingens ducta à puncto m cadet inter puncta n & q. Igitur cũ linea q m cadat ſub linea cõtingente, patet per 16 p 3 quoniã ipſa ſecat circulũ: eſt ergo tota linea m z extra circulũ: quoniã linea q m z poſi ta eſt eſſe linea una recta: propter q etiã erit per 15 p 1 angulus q m a æqualis angulo u m z: ſed angulus n m u oſtenſus eſt eſſe æqualis angulo q m a: erit ergo angulus n m u æqualis angulo u m z: ergo per 8 huius forma puncti n reflectitur à puncto ſpeculi m ad uiſum exiſtentem in puncto z: & erit per 11 huius locus imaginis punctus q. Itẽ quia angulus n m u eſt æqualis angulo u m z:erũt per ſuppoſitionẽ 1 huius lineę n m, z m ęqualiter diſtãtes à diametro a u: ergo per 7 p 3 ipſę ſunt æquales. Ducantur itaq lineę n u & z u, quę per 4 p 1 perunt æquales, cõmuni exiſtente linea m u ambobus trigonis n m u, & z m u:ergo ք 28 p 3 arcus n u eſt ęqualis arcui u z: ergo per 27 p 3 angulus n a u eſt æqualis angulo u a z. Sed ex pręmiſsis patet q angulus n a u eſt æqualis angulo i a c: erit ergo angulus i a c ęqualis angulo u a z. Angulus uerò b a g aut erit ęqualis angulo g a m, aut minor, aut maior: ſit primò ęqualis. Siigitur ab angulo i a b ſubtrahatur angulus b a g, & ab angulo z a u angulus g a m, remanebit angulus i a g ęqualis angulo z a g: & quia duo latera i a & a g ſunt ęqualia duobus lateribus z a & ag: ergo per 4 p 1 erit linea i g ęqualis lineę z g, & angulus i g a ęqualis angulo z g a: ergo per 13 p 1 angulus i g r eſt ęqualis angulo z g r. Fiat itaq ſuper g terminum lineę a g angulus ęqualis angulo i g r per 23 p 1, qui ſit angulus t g a, ducta linea g t ſuper lineam i a:erit ergo angulus t g a ęqualis angulo z g r. Si igitur linea t g producatur ad peripheriam circuli: palàm per 15 p 1 quoniam ipſa perueniet ad punctum z: lineę enim z g & t g coniunctę in puncto g fiunt linea una per 14 p 1: eſt ergo t g z linea una recta. Forma ergo puncti i reflectitur à puncto ſpeculi g ad uiſum exiſtentem in puncto z: & locus imaginis eius eſt punctum t. Palàm itaq quoniã ad uiſum exiſtentem in puncto z reflectuntur formę duorum punctorum n & i à duobus pũctis ſpeculi ſphęrici con uexi, quę ſunt m & g: & loca imaginum ſunt puncta t & q. Igitur per 11 huius linea t q erit imago totius lineę in: probatum eſt autem ſuprà quòd linea t q eſt ęqualis lineę n i: palàm ergo quoniam accidit in his ſpeculis imaginem eſſe ęqualem rei uiſę. Quod eſt unum propoſitorum. quòd ſi angulus b a g fuerit maior angulo g a m: abſtrahatur b a g ab angulo i ab, & angulus g a m ab angulo z a u ęqualis angulo i a b: remanebit ergo angulus z a g maior angulo i a g. Sit ergo angulus k a g ęqualis angulo i a g per 23 p 1, ducta linea à centro ad circumferentiam in pũctum k, & copuletur linea k g: erit quoque angulus k a g minor angulo z a g: punctum ergo k erit altius puncto z, & punctũ m eſt altius puncto g: linea ergo k g ſecabit lineam z m. Sit, ut ſecet ipſam in puncto l: & producatur k g ſu per lineam i a in punctum t: fiat quo q deductio, ut ſtatim in proxima linea t g. Palàm ergo quod ui 253 ſu exiſtente in puncto l, reflectetur ad ipſum forma puncti n à puncto m: & locus imaginis erit q: &
Fig. 636

i u r k c z l n d t m g b q f a
ſimiliter ad ipſum reflectetur forma puncti i à puncto g, & locus imaginis erit t ſecundum priorem probationẽ: erit quoque linea t q imago lineæ n i, quæ eſt ęqualis ipſi, ut ſupra oſtenſum eſt: & ſic ſequitur idem propoſitũ q prius. Si uerò angulus b a g fuerit minor angulo g a m, erit, ut ſupra, angulus z a g minor angulo i a g. Sit ergo angulus o a g ducta linea a o ad peripheriam circuli æqualis angulo i a g: erit ergo angulus o a g maior angulo z a g: eſt ergo punctũ o inferius pũcto z: & producatur linea o g, quę incidat lineæ i a in puncto t. Palàm itaq quòd forma pũcti i reflectitur ad uiſum exiſtentẽ in puncto o à puncto ſpeculi g. Linea itaq o g aut ſecabit lineã z m q extra circulũ ſpeculi, aut non: ſi ſit poſsibile, ſecet ipſam extra circulũ. Si in puncto ſectionis fuerit uiſus, reflectentur ad ipſum duæ formę punctorũ n & i à pũctis ſpeculi m & g, & loca imaginũ erũt puncta q & t: & tota linea q t imago totius lineæ n i, & erit per præmiſſa æqualis ei: patet itaq hoc quod prius: quoniã imago rei uidebitur in hoc ſitu æqualis ipſi rei. Si forte linea o g ſecet lineam z m q intra circulum ſpeculi: tunc nõ poteſt accedere probatio pręmiſſa, ſed extra totalẽ hanc ſuperficiem eſt poſsibile inueniri punctũ, in quo poſito uiſu reflectantur ad ipſum formę duorũ punctorũ n & i à duobus punctis ſpeculi, & ipſorũ imagines erunt puncta q & t. Quoniã enim, ut patet ex prius pręoſtenſis, angulus n a z eſt duplus angulo i a b: quoniã eſt duplus angulo n a u æquali angu lo i a b, ut patet ex pręmiſsis: & angulus i a o eſt duplus angulo i a g: eſt aũt angulus i a b maior angu lo i a gin angulo g a b. Et quia angulus g a b eſt ex hypotheſi minor angulo m a g: patet quòd angulus g a b eſt minor medietate anguli m a b: totus uero angulus m a b eſt per 33 p 6 æqualis angulo n a i, quoniã arcus d f eſt æqualis arcui m b: ergo angulus g a b eſt minor medietate anguli n a i: angulus ergo n a z excedens angulũ i a o in duplo anguli g a b, nõ excedet ipſum in angulo maiori quàm ſit angulus n a i: duo ergo anguli n a i & n a z ſunt maiores tertio, qui eſt i a o: & duo anguli n a z & i a o ſunt maiores tertio, qui eſt n a i: & duo anguli i a o & n a i ſunt maiores tertio, qui eſt n a z: ſunt ergo iſti tres anguli n a i, n a z, & i a o, quorũ quilibet duo ſunt maiores tertio, oẽs aũt tres ſimul 4 rectis ſunt minores:quoniã angulos, qui ſuper centrũ a 4 rectis ſunt æquales, ipſos impoſsibile eſt
Fig. 637

r c u z i o n k q t d b m g b p g f a x e s æ
euacuare, ut patet. Igitur per 23 p 11 p oſsibi le eſt ex illis fieri unũ angulũ ſolidũ: fiat er go ille ſuper centrũ a ք eandẽ 23 p 11: & ſit li nea s a eleuata ſuper ſuperficiem circuli in puncto a taliter, ut angulus i a s ſit æqualis angulo i a o, & angulus n a s ſit æqualis angulo n a z, angulus uerò n a i maneat, ut eſt in ſuperficie circuli immotus. Fiat itaq linea a s æqualis a licui linearũ a n, uel a i, uel a o, quæ oẽs ſunt æquales, quia ſunt ſemidiametri eiuſdẽ circuli: & ꝓducátur lineæ t s, q s. Quia itaq angulus tas eſt æqualis angulo t a o, ut patet ex pręmiſsis, & duo latera t a & a o ſunt æ qualia duobus lateribus t a & a s, & angulus ta o eſt ęqualis angulo t a s, ut patet ex pręmiſsis: erit ք 4 p 1 baſis t s æ qualis baſi t o, & totus triangu19 toti triãgulo: erit ergo angulus o t a uel g t a ęqualis angulo s t a. Similiter quoque angulus q a s eſt æqualis angulo q a z, & duo latera duob. laterib. erit ergo, ut prius, angulus z q a ꝗ eſt m q a, ęqualis angulo s q a. Diuidatur itaq angulus t a s ք æ qualia ք lineã a y ex 9 p 1: & ſit y pun ctus, in quo linea diuidẽs angulũ, ſecat lineã t s: palã cũ angulus i a g ſit medietas anguli i a o, ut patet ex p̃miſsis, erit angulus t a g ęqualis angulo t a y: ſed & angulus g t a oſtẽſus eſt ęqualis angulo y t a. Et ꝗa duob. trigonis y t a & g t a latus t a eſt cõmune, erit ք 26 p 1 trigonus y t a ęqualis trigono g t a: quoniã latus t y erit æquale lateri t g, & latus a y æquale lateri a g:erit ergo pũctus y in ſuperficie ſpe culi, ſicut & punctũ g: cũ ambo æqualiter diſtẽt à cẽtro ſpeculi, q  eſt a. Et quia angulus t a g eſt æqualis angulo t a y, erit angulus i a g æqualis angulo i a y, & latera lateribus ſunt æqualia: quoniã i a eſt commune, & a y eſt æquale ipſi a g: ergo ք 4 p 1 erit angulus a g i æqualis angulo a y i, & linea i y 254 producta erit æqualis lineæ i g. Et producatur a y extra ſpeculũ uſq ad punctũ p: reſtat ergo angulus i g r ęqualis angulo i y p. Verùm cũ linea t s ſit ęqualis lineæ t o, ut ſuprà patuit, & t y ęqualis ipſit g: reſtat linea g o æ qualis lineæ y s: duo ergo latera a y & y s funt æqualia duobus lateribus a g, & g o, & baſis a s eſt æqualis baſi a o: ergo per 8 p 1 trigonorũ a y s, a g o anguli æquis lateribus conten ti ſunt æquales: angulus ergo a y s eſt æqualis angulo a g o: reſtat ergo per 13 p 1 angulus s y p æqua lis angulo o g r:igitur duo anguhi g r & o g r æquales ſunt duobus angulis i y p, s y p. Verùm linea a s ſecat ſuperficiẽ cõuexã ſpeculi: ſit pũctus ſectiõis e: tria ergo pũcta, quęſunte, y, d ſunt in ſuperfi cie cõuexa ſpeculi: lineæ ergo a centro ſpeculi, quod eſt a, ad illa tria puncta productæ ſunt æquales. Quia uerò trigonũ t a s eſt per 2 p 11 totũ in eadẽ ſuperficie: patet quòd iſta tria pũcta d, y, e, quę ſunt in lateribus illius trigoni, ſunt in eadẽ ſuperficie: ergo linea e y d eſt per 9 p 3 arcus circuli magni ſphæræ ſpeculi, cuius centrũ eſt a centrũ ſpeculi:eſt aũt in ſuperficie reflexionis cõmunis ſectio ſuքpficiei ſpeculi & reflexionis t s p ք 1 huius: ergo forma pũcti i reflectitur ad uiſum exiſtẽtẽ in pun cto s à pũcto ſpeculi y: & locus imaginis eſt pũctũ t. Similiter diuiſo angulo n a s per ęqualia ք lineã a x ductã ſuper q s in punctũ x, & productã extra ſpeculi ſuperficiẽ in punctũ œ, demõſtrabitur prę dicto modo, quia linea q x erit æqualis lineæ q m, & linea a x æqualis lineæ a m, & linea x s æqualis lineæ m z: & duo anguli n x œ, & s x œ erunt æquales duob. angulis n m u, & z m u: & ita forma pun cti n reflectetur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto s à pũcto ſpeculi x: & locus imaginis eſt punctũ q: & ita ut prius, formæ duorũ punctorũ n & ireflectuntur à duobus pũctis ſpeculi x & y ad uiſum exiſtentẽ in puncto s: & erit linea t q imago lineæ i n: eſt aũt linea t q æqualis lineæ in. Patet ergo propoſitũ, ut prius. Itẽ ſi à pũcto i ducatur perpendicularis ſuper lineã n a, illa cadet inter puncta n & q, nõ extra punctũ n:quia cũ per 42 th. 1 huius angulus in a ſit acutus, ſi caderet extra puncũ n, fieret acu tus extrinſecus recto, & ita maior per 16 p 1: quod eſt impoſsibile: cadet ergo illa perpẽdicularis citra punctũ n: faciet ergo illa perpendicularis angulũ rectũ ſuper lineã n q, quẽ reſpiciet linea in: ergo ք 19 p 1 erit linea in maior illa perpẽdiculari: ergo illa perpẽdicularis erit minor quàm linea t q, quę eſt æqualis lineę in. Pũctus itaq lineę n q, in quẽcadit illa perpendicularis, qui fit k, refle ctitur ad uiſum in puncto s exiſtentẽ ab aliquo puncto ſpeculi: & locus imaginis ſuæ erit in linea n a per 11 huius: erit aũt remotior à cẽtro ſpeculi, quod eſt a, ultra punctũ q, quàm ſit ipſum punctũ q, ut patet per 17 huius. Quantò enim remotiora ſunt puncta, quorũ formę reflectuntur à ſpeculis ſphæricis cõuexis, tantò locaimaginũ magis accedunt ad centrũ ſpeculi: ſed punctus i illius perpendicularis refle ctitur ad uiſum à pũcto ſpeculi y:& locus ſuę imaginis eſt punctũ t. Quæcunq uerò linea ducitur à pũcto t ad aliquod punctũ lineæ n q ultra q, propius ad punctũ n, ut linea t k, illa cũ oppo natur angulo obtuſo, ut patet, erit per 19 p 1 maior quàm linea t q: ergo etiam erit maior quàm linea in, quæ eſt maior illa perpendiculari, cuius imago uiſui occurrit. Patet ergo quòd imago illius perpendicularis erit maior ipſa perpendiculari. Et idẽ accidit, quæcunq linea ducatur à puncto i ad li neam n q, inter illã perpendicularẽ i k & lineã in: erit enim ſemperlinea in maior illa linea per 47 uel 19 p 1: & imago illius lineę ſemper erit maior quàm linea q t: & ita ſemper eritimago ipſius maior quàm ipſa. Quod eſt propoſitũ. Poſſunt aũt hęc clarius patefieri. Quia enim forma puncti n reflectitur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto z à puncto ſpeculi m: & locus imaginis eſt punctũ q: patet q linea reflexionis, quę eſt z m q, ſecat circulũ: ſit punctũ ſectionis z: patet ergo quòd contingens du cta à puncto z ad circulũ, qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi, non poteſt cadere in punctũm: quia per 21 huius angulus a m z oportet quò ſit maior recto, quod eſſet contra 18 p 3, ſi linea z m eſſet circulũ contingens: neq poteſt cadere in punctũ z, quia ibi ſecat & non contingit: cadet ergo in aliquod punctũ arcus m e, & ꝓducta ad lineã n a, cadet altius quàm punctũ q: quoniã punctus, in quẽ cadit, dicitur finis cõtingẽtiæ, qui ſit n: & eſt meta imaginũ, ut patet ք 7 definitionẽ: huius & puncta ſub illo pũcto, ꝗ eſt meta imaginũ exiſtentia, non poterunt reflecti ad uiſum, ſuperiora uero illo poterunt reflecti. Igitur perpendicularis ducta à puncto i ſuper lineam n q, ſi ceciderit altius puncto n, qui eſt meta imaginũ, poteſt reflecti ad uiſum pũctus ille lineæ n q, in quẽ ipſa քpendicularis cadit: & erit, ut pręmiſſum eſt, imago perpendicularis maior ipſa perpẽdiculari. Si uerò perpẽdicularis cadatin ipſum punctum n, qui eſt meta imaginum, uel inferius illo: tunc forma pũcti, in quẽ cadit perpẽdicularis, nõ reflectetur:quare nulla erit imago ipſius քpẽdicularis: uerun tamẽ quando n finis cõtingentiæ eſt inferior quàm linea i n, & plus ad centrũ: erunt inter pũctum, qui eſt finis contingentiæ, & punctũ n infinita pũcta, quorũ quodlibet reflectitur ad uiſum: & imago cuiuslibet erit ſuper lineã n q: & cuiuslibet lineæ ductę à pũcto i ad quodlibet illorũ, erit imago maior illa linea, cuius eſt imago. Patet ergo propoſitũ longis ambagibus certius per quiſitum.

39. In omni diſtãtia, qua certa quãtitasrei à uiſu potect cõprehẽdi, imago cuiuslibet rei uiſæ in ſpeculo ſphærico cõuexo minor uidetur  forma rei extra. Eucl. 21 th. catoptr. Alhazen 5 n 6.

Sit a b linea uiſa: & ſit z x arcus circuli, qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis ſpeculi ſphærici conuexi, cuius centrum d: ſitq́ e centrum uiſus: & reflectatur forma puncti a ad uiſum e à puncto reflexionis h arcus z x: & forma puncti b à puncto n: intelligaturq́ linea a b produci intra ſpeculum. Aut er go ipſa tranſit centrum ſpeculi: aut non. Sit autem primò, quòd tranſeat: & ducatur linea a b d: ducatur quoq à puncto n linea contingens circulũ, quæ ſit n l: & à puncto h ducatur contingens, quæ h m: & ducantur lineæ incidentię & reflexionis, quę ſint b n, e n, a h, e h: producan 255 turq́ lineæ reflexionis e h & e n, donec cadan t in perpendicularem a d: & incidat linea e h in pun

Fig. 638

a f b m k q n e t h d v z
ctum t, & linea e n in punctum q. Palàm ergo per 11 huius quoniam t eſt locus imaginis formæ puncti a: & q eſt locus imaginis formę pun cti b. Dico quòd linea a b eſt maior quàm linea q t. Patet enim ex12 huius quia proportio a d ad d t eſt, ſicut a m ad m t. Similiter per eandem proportio b d ad d q eſt ſicut proportio b l ad l q: ſed a d eſt maior quàm b d, & d t eſt minor quàm d q:ergo per 9 th. 1 huius maior erit proportio a d ad dt, quàm b d ad d q: ergo per 11 p 5 maior erit ꝓportio a m ad m t, quàm b l ad q l. Secetur ergo linea a m, in puncto f per 3 th. 1 huius, ita ut proportio f m ad m t ſit ſicut b l ad l q: & ita cum m t ſit maior quàm l q: erit per 14 p 5 f m maior quàm b l: ergo ք 8 p 5 erit f m ad t m maior proportio quàm b l ad t m: erit ergo minor proportio b l ad m t, quàm b l ad l q: & multò magis erit minor proportio b m ad m t, quam b l ad q l. Secetur ergo m t in puncto k taliter, ut proportio b m ad m k ſit ſicut b l ad l q. Palàm ergo pernaturam proportionis, & per 8 p 5 quoniam punctus k neceſlariò cadetinter pun cta m & q: linea enim l q minor eſt quàm m q, & linea b l eſt maior  linea b m. Cum igitur ſit proportio f m ad m t, ſicut b l ad l q, & ſicut b m ad m k: erit per 19 p 5 proportio f b ad k t, ſicut b l ad l q: ſed b l eſt maior quàm l q: ergo f b eſt maior quàm k t: ſed f b eſt minor quàm a b, & k t eſt maior quàm q t. Si ergo f b eſt maior quàm k t: ergo multò fortius a b eſt maior quàm q t. Et hoc eſt propo ſitum. Si uerò linea a b producta nó perueniat ad
Fig. 639

b a e p g d
Fig. 640

a b h z h p g e d
cẽtrum d: ducatur à puncto a li nea ad cen trũ d, quæ ſit a d: & à pũcto b du catur b d: & locus imaginis a ſit pũctus g: locus imaginis b ſit pũctus p: & ducatur linea p g: erit ergo linea p g imagolineę a b. Dico quia a b eſt maior  p g. Aut enim p g eſt æqui diſtãs lineæ a b: aut nõ. Si fuerit æquidiſtãs, palàm quia p g eſt minor  a g per 29 p 1 & per 4 p 6: cũ ſit proportio a b ad p g, ſicut a d ad d g, & a d ſit maior quàm d g, erit a b maior quàm p g. Si uerò linea p g non ſit æquidiſtãs ip ſi a b, producatur uſq quo concurrat cum a b: & ſit punctus concurſus z: & à puncto p ducatur æquidiſtans a b, quæ ſit p h: angulus ergo p g h ſi ſit rectus uel maior recto, erit per 19 p 1 latus p h maius latere p g: ſed p h eſt minus quàm a b per 29 p 1. 4 p 6: ergo p g eſt minus quàm a b. Si angulus p g h fuerit acutus, maior tamen angulo p h g, adhuc ſequitur idem quod prius. Quòd autem angulus p g h ſit minor angulo p h g, hoc non poteſt accidere, niſi cum tanta fuerit rei à ſpeculo diſtantia, quòd illa diſtantia ip ſi etiam uiſui uideretur minor quàm ſit ſecundum ueritatem: tunc aũt poteſt imago uideri maior quàm forma per ſe uiſui occurrens, ut patet per pręmiſſam. Patet ergo propoſitum.

40. In minorib. ſpeculis ſphæricis couexis eiuſdẽ rei apparẽtidola minora. Eucl. 22 th. catoptr.

Sint duo ſpecula ſphærica conuexa ſuper idem centrum t collocata, exempli cauſſa, quorum ma ioris circulus communis ſibi & ſuperficiei reflexionis ſit a g, minoris uero ſit e i: fiat quoq reflexio formæ alicuius uiſibilis, ut ipſius h d, ab utroq illorũ ſpeculorũ, ita ut forma puncti d reflectatur à puncto g circuli ſpeculi maioris, ſcilicet ipſius a g, ad uiſum, qui ſit b. Si itaq idem uiſibile d reflecta tur ad uiſum b ab aliquo puncto circuli e i ſpeculi minoris, ut à puncto o:nõ eſt poſsibile ut linea re flexionis, quę ſit o b, cadat in punctũ g ſpeculi circuli maioris. Detur enim, ut cadat in punctũg, & reflectatur ad uiſum b: & ducatur linea d g, ut prius. Manifeſtũ itaq ք 8 huius quoniã linea à centro ſpeculi t ad punctũ g producta diuidit angulũ d g b ք duo æqualia: quę producta ſit t g q. Et quoniã forma puncti d incidit pũcto ſpeculi minoris, quod eſt o: ducatur linea t o à cẽtro ſpeculi: hæc ergo diuidet angulum d o b per æqualia: & producta fit t o p. Quia itaq angulus d g b extrinſecus eſt ex hypotheſi angulo d o b in trigono d o g: palàm per 16 p 1 quoniam ipſe eſt maior illo: ergo medietas anguli d g b eſt maior medietate anguli d o b: & ita angulus q g b maior eſt angulo p o g: ſed angulus o page 256 gteſt ęqualis angulo q g b ք 15 p 1: ergo angulus p o g extrinſecus erit ęqualis angulo o g tintrinſeco

Fig. 641

a h m p u q b a r g f e o i t
in trigono t o g: quod eſt contra 16 p 1 & impoſsibile: non ergo tranſibit linea reflexionis o b punctũ g. Sed neq ultra pũctũ g uerſus punctum a ad aliquod aliud punctũ ſpe culi maioris incidere poteſt. Si enim hoc ſit poſsibile: ſit, ut ad punctũ r incidens reflectatur linea d o ad b:palã autẽ per 17 huius (cum a punctus lineæ d a cadat in ſuperficie ſpeculi, & reflectatur ab illo pũcto, cui incidit, & punctum d reflectatur à puncto g) quia quodlibet punctorũ lineę d a reflectitur ab ali quo punctorũ arcus a g & fiũt propinquiora centro ſpeculi, quod eſt t:quia reflectuntur à puncto remotiori à centro uiſus, quod eſt b. Aliquod ergo pũctorũ lineæ d a refle ctetur à pũcto rad b:ſit illud m: & accidet idẽ impoſsibile, q  pri us, ductis lineis m r, r b, t r. Vel ſi forma pũcti d reflectitur à puncto ſpeculi maioris, q  eſt g: & ité ք reflexionẽ à pũcto ſpeculi minoris, q  eſt o, incidit pũcto ſpeculi maioris, q  eſt r: à duob. ergo puctis maioris ſpeculi, quæ ſunt g & r, reflectitur forma unius pũcti ad uiſum b:coincidũt ergo radij à duob. pũctis huius ſpeculi reflexi, q  eſt contra 15 huius, & impoſsibile. Nõ cadet ergo radius refle xionis à pũcto o ſpeculi minoris in aliq pũctũ arcus a g ſpeculi maioris, à quo fit reflexio formarũ pũctorũ lineæ a d, ſed directè քuenit ad uiſum in pũctũ b, trãs aliquẽ pũctorũ. arcus circuli ſpeculi maioris, citra pũctũ g. Similiterq́ ſit, ut pũctus h lineæ d h ex alia parte uiſus b,  ſit pũctũ d, reflecta tur ad uiſum b ab aliquo puncto ſpeculi maioris, q ſit f: eritq́ f per 17 huius ex alia parte puncti g: reflectaturq́ forma pũcti h à pũcto i minoris ſpeculi ad pũctũ b: fiet quoq reflexio à pũcto i ad b ſimiliter, ut prius. Quia ergo angulus g b f, ſub quo apparetidolũ in maiori ſpeculo, eſt maior  angu lus o b i, patet ք 20 th. 4 huius quoniá in maiori ſpeculo maius apparetidolũ  in minori: formæ enim magis coanguftátur circa cẽtra minorũ ſpeculorũ,  circa cẽtra maiorũ: unde fiunt ſemper maiores in ſpeculis maiorib. Vniuerſaliter aũt in omni ſitu ꝓ portionato rerũ ad ſpecula poteſt patere propoſitũ per 46 th. 1 huius: quoniá partes diametri circuli maioris ſunt maiores & minoris minores: & fiunt ex cóſequenti imagines maiores & minores, ut patet per 11 huius. Patet ergo propoſitũ.

41. In eodem ſpeculo ſphærico conuexo, centro uiſus immoto exiſtente: imago rei approximatæ ſuperficiei ſpeculi uidetur maior, & ſecundum eandem lineam elong at æ minor.

Quoniam enim, ut patet per 11 huius2 imagines punctorum rei uiſæ uidentur in cathetis ſuæ inci dentiæ, & imagines rerum uiſarum inter cathetos incidentię ſuorum terminorum: catheti uerò punctorũ terminalium rei à ſpeculi ſuperficie elõgatæ continentangulum minorẽ, & approximatæ maiorem per 34 th. 1 huius: linea enim æ qualis & æ quidiſtans baſi trigoni uicinior angulo ſupre mo, maiori angulo ſubtenditur. Et quoniam mutata re ſecun dum locum, mutatur ipſius imago in omni ſpeculo, ut patet per 42 th. 5 huius: patet quòd imago rei elongatę fit minor: unde & uidetur minor: & approximatæ ſuperficiei ſpeculi fit maior: unde & uidetur maior: quoniam ſecundum pręmiſſa in proxima pręcedente uidetur ſub maior: angulo contento in centro uiſus ſub lineis reflexionum ipſorum punctorum terminalium illius rei, ut patere poteſt per 34 th, 1 huius, & per 23 huius. Patet ergo propoſitum. Et per hæc & per præmiſſam poteſt patere, quoniam ſi ſit proportio elongationis rei uiſæ à ſuperficie ſpeculi maioris ad elongationẽ à ſuperficie ſpeculi minoris, ſicut exceſſus imaginum, quæ proueniunt in illis ſpeculis excedentes ſe ſecundum proportionẽ diametrorum ſpeculorum: poſsibile eſt in ſpeculo maiori plus elongato à re uiſa, & in ſpeculo minori plus approximato eidẽ rei, ęqualé imaginem uideri eiuſdem rei, quæ aliàs in ſpeculo maiori appareret maior, & in ſpeculo minori minor, ut patet per pręmiſſam. Et hoc eſt notatu dignum.

42. In ſpeculo cõue xo ſphærico dextr a rei uiſæ apparẽt ſiniſtra, et ſiniſtra dextra. Euc. 20 th. catop.

Hæc non requirit aliam dem onſtrationem ab illa, quæ ſimilem paſsionem declarat in ſpeculis planis:un de eodem modo demonſtrandum:nec aliter oportet immorari.

43. Altitudines & profunditates perpendiculariter incidentes ſpeculis ſphæricis conuexis, reuerſæ apparent. Euclides 8 th. catoptr.

Eſto ſpeculum ſphæricum cõuexum a d g:cuius centrũ m: incidatq́ ſuperficiei ſpeculi perpendiculariter altitudo, quæ ſit e a, cuius altius punctum ſit e: & ſit centrum uiſus b: reflectaturq́ punctus a à puncto ſpeculi, qui ſit a: & ſit linea reflexionis, quæ a b: refle ctatur quoq forma puncti altitudinis e à puncto ſpeculi g: ſitq́ linea reflexionis g b: & alter punctus lineæ e a (qui ſit t) inferior pũcto e, reflectatur ad uiſum b à puncto ſpeculi d: & ſit linea reflexionis d b. Producatur ita q linea altitudinis e a ultra punctum a: palam q́ ex hypotheſi, & per 72 th. 1 huius quoniá ipſa tranſibit cen 257 trũ m: & ꝓducatur linea reflexionis b g intra ſpeculũ. Et ꝗa lineæ e a & b g ſuntin eadẽ ſuքficie re

Fig. 642

e b t d g a f h m
Fig. 643

m h s g d a t b e
flexiõis ք 27 th. 5 huius: palá cũ nõ ſint ęquidiſtátes, ut pa tet per 9 huius, quia concurrent: cócurrant itaq in puncto h: ſed & b d linea reflexio nis cócurrat cũ linea e a producta, in puncto f. Et quoniã per 11 huius pũcta h & f ſunt loca imaginũ pũctorũ e & t: palá quòd linea h f eſt imago lineæ e t: ſimiliter quoq de alijs punctis lineæ e a demon ſtrádũ. Eritq́ imago lineę e a linea a h: reuerſa ergo uidetur altitudo: quod enim ſupremũ eſt, uidetur infimũ, & ecõuerſo Patet enim ք 23 huius quoniá ſuper uná cathetũ incidẽtię ſignatis duob. pũctis, eritlocus imaginis pũcti à cẽtro ſpeculi ꝓpinquioris, remotior à cẽtro ſpeculi, & remotioris propin quior: re motior itaq uidebitur à cẽtro m imago pũcti t, q̃ eſt f,  imago pũcti e, q̃ eſt h. Palã itaq eſt ꝓpoſitũ primũ. Et eodẽ modo eſt de ꝓfunditatib. demõſtrãdũ:infimũ.n.pũctũ reflectitur ad pũctũ imaginis ſupremũ, & ecõuerſo. Media quoq pũcta modo medio reuerſè diſponũtur. Propoſitũ aũt eſt hoc.

44. Obliquarum longitudinum idola à conuexis ſpeculis reflexa apparent ſuæpropriæ diſpoſitionis. Euclides 10 th. catoptr.

Eſto longitudo d e obliquè incidens ſpeculo ſphærico conuexo, quod ſit a g: & eius centrũ f: &

Fig. 644

d b e g a k h f
ſit altius pũctũ d quàm e pũctũ à ſuperficie ſpeculi da ti: ſitq́ centrũ oculi b: & reflectatur punctus d ad uiſum b à pũcto ſpeculi a, & pũctus e à pũcto g. Et à pun cto d ducatur perpendicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, quæ per 72 th. 1 huius neceſſariò tranſibit centrum ſpeculi, quod eſt f: quæ ſit d f: & ſimiliter ducatur cathetus e f: ducanturq́ lineæ reflexionum b a & b g: & producãtur intra ſpeculũ: cõcurratq́ b a cũ d fin pun cto h, & b g cũ e fin pũcto k: & ducatur linea h k, eritq́ ք 11 huius linea h k imago lineæ d e: eſt autẽ linea k h obliquè ſe habẽs ad uiſum b, ſicut linea d e ad ſpeculũ. Quoniã ք 23 huius pũcti e, q eſt ꝓpinquius cẽtro ſpeculi, imago, q̃ eſt k, remotior fit à cẽtro ſpeculi f: & pun ctũ h, q  eſt imago pũcti d remotioris à cẽtro ſpeculi, fit ꝓpinquius cẽtro ſpeculi: q  patet ք hoc: quoniã ali cuius pũcti catheti d f tãtũ diſtantis à pũcto f, quantũ pũctũ e: locus imaginis eſt remotior à cẽtro f,  locus imaginis pũcti d ք 23 huius: eſt itaq h remotius à con uexa ſuքficie ſpeculi apparẽs, & pũctũ k propinquius eidẽ ſuperficiei. Sic aũt & pũctus d fuit remo tior à ſuperficie ſpeculi, & pũctus e ꝓpinquior. Patet ergo ꝓpoſitũ, quoniá obliquę lõgitudines ap parẽt illius diſtantiæ à ſuperficie ſpeculi, cuius ſunt ſecundum ueritatẽ in ſua propria diſpoſitione.

45. Duobus punctis rei uiſæ æqualiter diſtantibus à centro ſpeculi ſphæriciconuexi, & inæqualiter à centro uiſus in eadẽ ſuperficie uel diuerſis:erunt imago & finis cõtingentiæ punctire motioris à centro uiſus remotiora à centro ſpeculi, quàm imago & finis cõtingentiæ puncti propinquioris:ex quo patet quòd punctorũ æqualiter diſtantiũ à centro ſpeculi & à centro uiſus, imagines à centro ſpeculi æqualiter diſtabunt. Alhazen 7 n 6.

Sintt & d duo pũcta æ qualiter à puncto g cẽtro ſpeculi remota: & ſit e cẽtrũ uiſus: & ſit cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſphærici conuexi circulus a b: cuius cẽtrũ erit pũctũ g ք 1 hu ius. Sitq́ pũctũ d ꝓpinquius uiſui, ꝗ eſt e,  pũctũ t: & ducãtur duæ catheti incidẽtiæ à pũctis t & d ad cẽtrũ circuli g, q̃ ſint t g & d g: ſecetq́ cathetust g ſuքficiẽ ſpeculi in pũcto b: fiatq́ angulo e g d ſu per lineã t g ęqualis angulus, ք ſit t g z: & angulo e g t ęqualis angulus, ꝗ ſit t g h ք 23 p 1: lecetq́ linea h g circulũ in pũcto a: & ſumatur ք 20 uel 22 huius in circulo pũctũ, à quo forma pũcti t reflectatur ad pũctũ z: q ſit pũctũ q. Palã e rgo q forma pũctitnõ reflectitur ad pũctũ h ab aliquo pũcto arcus b q: nõ.n.à pũcto b:quoniã cũille ſit in catheto incidẽtię, palã ք 10 huius ꝗa reflectitur in ſeipſum & nõ ad pũctũ h. Sed neq à pũcto q: quoniá ab illo forma pũcti t refle ctitur ad pũctũ z. Quocũq uerò pũcto ſumpto in arcu b q, linea à pũcto h ad illud pũctũ ducta ſecabit lineá q z: igitur ad illud pũctũ ſectiõis reflectitur form a pũcti t à pũcto aliquo arcus b q, & ad idẽ pũctus ſectiõis reflectitur à pũcto q:ergo forma puncti treflectitur à duob. punctis ſuքficiei ſpeculi ad unũ punctũ: q eſt impoſsibi page 258 le, & contra 16 huius. Reſtat ergo ut form a puncti treflectatur ad punctũ h ab aliquo puncto arcus

Fig. 645

d t e z h s n o b l q m a f p g
q a Sit iſlud pũctũ m: & à puncto m ducat ur linea cõtingẽs circulũ ք 17 p 3: & ꝓducatur uſq ad ca thetũ g t: & ſit m n:eritq́ pũctus n finis cõtingẽtię puncti t reſpectu puncti h: & à puncto q ducatur linea cõtingẽs circulũ, quę ꝓducta ad cathetũ t g, ſit q o: hęc ergo neceſſariò cadet ſub linea n m per 60 th. 1 huius: & ꝓducatur linea z q donec cadat ſuper cathetũ g t in pũcto p (cadet aũt ք 9 huius) & erit ք 11 huius punctus p locus imaginis form æ puncti t: erit quo q ք 12 huius ꝓportio g t ad p g, ſicut t o ad o p: ergo ք 16 p 5 erit permutatim ꝓportio g t a d t o, ſicut g p ad p o: ſed maior eſt proportio g t ad t n, quã ad t o ք 8 p 5: cũ t n ſit minor  t o, ut patet ex pręmiſsis: maior ergo erit ꝓportio g t ad t n,  g p ad p o: eſt autẽ ք 8 p 5 maior ꝓportio g p ad p o,  ad p n: ergo multò maior eſt ꝓportio t g ad t n,  g p ad p n: quoniã p o minor eſt  p n. Diuidatur ergo ք 119 th. 1 huius linea g n in puncto 1 taliter, ut ſit ꝓportio t g ad t n, ſicut g l ad l n: eritq́ g l maior  g p, nõ ęqualis n eq minor ք 8 p 5: eritq́ ք 16 p 5 ꝓportio t g ad g l, ſicutt n ad l n: ergo ք cõuerſam 12 huius erit punctũ llocus imaginis puncti h. Sint ergo lineę h g, e g, z g æ qua les inter ſe: & g f ſit æqualis g p, & g s æqualis lineæ g o. Cũigitur angulus e g d ſit æ qualis angulo t g z: erit ք 1 ſuppoſ. 1 huius remotio pũcti d à puncto e, ſicut remotio puncti z à puncto t. Quoniá cũ pũcta d & t ſint eiuſdẽ diſtãtiæ à cẽtro ſpeculi, q eſt g: erũt lineæ d g & t g æ quales:erit ergo per 23 huius imago formę pũcti d reſpectu uiſus e tãtũ eleuata in catheto g d, quãtũ imago pũcti t eleuata eſt, reſpectu pũcti z in catheto g t:erit ergo locus imaginis formę pũcti d in pũcto f, ſicut locus imaginis formæ pũcti t eſt in pũcto p: cũ lineæ g f & g p ſint æ quales. Et ſimiliter finis cõtingẽtię pũcti d, reſpectu pũcti e erit eiuſdẽ altitudinis, cuius eſt finis cõtingẽtię pũcti t, reſpectu pũcti z: erit ergo ſecũdũ p̃miſſa finis cõtingẽtiæ pũcti d in pũcto s. Verũ ꝗ a angulus e g t æ qualis eſt angulo t g h, & li nea h g æ qualis eſt lineę e g. erit ք 33 p 6 ꝓpter æ qualitatẽ angulorũ, æ qualitas arcuũ interiacẽtium cathetũ t g & lineas h g & e g:erit ergo ք p̃miſſa pũctus llocus imaginis puncti t, reſpectu e, ſicut eſt reſpectu h: & erit pũctus n finis cõtingẽtię, reſpectu pũctie, ſicut eſt reſpectu pũcti h. Imago ergo pun cti remotioris ab e cẽtro uiſus remotior eſt à cẽtro ſpeculi  imago pũcti ꝓpincuioris: & finis cõtin gétiæ pũcti remotioris remotior eſt ab eodẽ cẽtro  finis cótingétiæ ꝓpinquioris. Et hoc eſt ꝓpoſi tũ. Ex quo patet q ſi pũcta uiſain ſpeculo ſphærico cóuexo ęqualiter diſtẽt à cẽtro ſpeculi, & à cẽtro uiſus, q imagines ipſorũ à cẽtro ſpeculi æ qualiter diſtabũt:nec enim, ut patet ex p̃miſsis, fit di uerſitas in locis imaginũ, cũ fines cõtingẽtiarũ ſemper ſint æ qualiter à cẽtro ſpeculi diſtãtes, ſecundum quos accidit diſtantia imaginum à centro ſpeculi, quod eſt g. Patet ergo, quod ꝓponebatur.

46. Imago arcus concentrici ſpeculo ſphærico conuexo (diametro uiſuali erecta ſuper ſuperficiem incidentiæ) uidetur curua, & ſemper æquidiſtans arcui, cuius eſt imago. Alhaz. 11 n 6.

Fig. 646

b e a d h t z l m q g

Eſto a b arcus oppoſitus ſpeculo ſphęrico cóuexo: in quo cómunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit circulus h t z: & ſit g cẽtrũ illius arcus a b, & ſimiliter centrũ ſpeculi: quoniã ex hypotheſi arcus uiſus & ſpeculũ ſunt cõcẽtrica: ſitq́ d cẽtrũ uiſus: & ducátur lineę d g a g, b g: & ſumatur in arcu a b pũctus e quocũq modo, & ducatur linea e g: erit ita q ſuքficies a g b ſuperficies incidẽtiæ, in qua erit linea e g: & linea d g eſt diameter uiſualis, q̃ ex hypotheſi eſt erecta ſuper ſuքficiẽ a g b: erũt ergo ք definitionẽ lineę ſuք ſuքficiẽ erectę an guli d g a, d g b, d g e recti & oẽs æ quales:ſed & latera laterib. ęqualia ſunt, quoniã d g eſt ęquale ſibijpſi, & alia latera ſunt æ qualia ք defini tionẽ circuli: ergo ք 4 p 1 baſes illorũ triangulorũ ſunt æ quales. Oẽs ergo pũcti arcus a b eiuſdẽ diſtãtiæ ſunt à cẽtro uiſus: quare imagines omniũ illorũ pũctorũ eiuſdẽ diſtãtię erũt à cẽtro ſpeculi ք corol lariũ p̃miſſę Sitq́ q m limago arcus a e b: erit igitur linea g q ęqualis lineis g m & g l: quare ք 9 p 3 linea q m l erit arcus circuli, cuius cẽtrũ erit pũctũ g: erit ergo cõuexitas ipſius reſpectu cẽtri g, nõ reſpectu ſu քficiei cõuexæ ſpeculi ſiue loci reflexiõis. Et quoniã curuitas arcus a b reſpicit cõuexitatẽ ſuքficiei ſpeculi, ut cõcẽtrica ipſi ex hypotheſi, patet q idẽ arcus eſt cõcentricus ſuę imagini: ergo per 73 th. 1 huius patet q  imago ęquidiſtat arcui uiſo: quoniam eſt ſemper in ſuperficie incidentiæ: eſt enim ſemperimago cuiuslibet puncti in catheto ſuæ in cidentiæ per 11 huius: omnes autem catheti illæ ſunt in ſuperficie in cidẽtiæ. Patet ergo propoſitum.

page 259

47. Imago arcus concentrici ſpeculo ſphærico conuexo (diametro uiſuali ſuperficiei incidentiæ obli q u è incidente) uidetur curua, non æquidiſtans arcui, cuius eſt imago, niſiperpendiculariduct a à uiſu ſuper aliquem punctum uiſi arcus incidente. Alhazen 12 n 6.

Diſponãtur omnia, ut in p̃cedẽre theoremate, niſi q diameter uiſualis, q̃ eſt d g, nõ ſit erecta, ſed obliquè incidẽs ſuքficiei a b g. Dico q imago arcus a b uidetur curua. Ducatur enim ք pendicularis à pũcto d ſuք hac ſuքficiẽ ք 11 p 11. Cũ itaq illa քpendicularis ſit minor omnib l neis ductis à pũcto d a d hác ſuքficiẽ ք 21 t. 1 huius, erit angulus rectus, qu cõtinet hęc ք pẽdicularis uerſus pũctũ g, minor quolibet angulo uerſus punctũ g imaginato, quẽ cótinet alia linea à pũcto d ad ſuperficiẽ illã ducta ք 16 p 1: & linea à pũcto d ad ſuքficiẽ illá ducta, quãtò remotior erit à քpẽdiculari, tátò maior erit & maiorẽ angulũ cõtinebit uerſus g: ꝗ a minorẽ cõtinet uerſus ք pẽdicularẽ ք 21 p 1. Si ergo hęc քpendicularis nõ cadat in arcũ a e b, ſed ultra ipſum: tũc erũt oẽs line æ ductę à pũcto d ad hũc arcũ declinatæ in partẽ unã, & remotiores maiores & maiorẽ angulum cõtinentes uerſus pũctũ g,  ꝓpinquiores ք pendiculari. Si ergo ſumãtur tria pũcta in arcu a b, q̃ ſint e, c, b: & finis cõtigẽtiæ pũcti b ſit l: & finis cõtingẽtiæ pũcti c ſit m: palã ք 45 huius, ꝗa ex eo, q pũctũ c eſt ꝓpinquius urſui d  pũctus b:erit pũctus m ꝓpinquior cẽtro g  pũctus l:ſunt aũt lineæ g b & g c ęquales exhypotheſi, & ք definitionẽ circuli:eſt ergo linea c m maior  b l. Sit aũt q imago pũcti c, & ſit timago pũcti b: & ducatur linea q t: & ducãtur lineæ c b & m l:q̃ ꝗ dẽ ꝓductę cõcurrẽt. Quia ſi à pũcto m ducatur linea ęquidiſtans lineæ c b illa ſecabit exlinea g b lineam ęqualem ipſim c per 2 p 6:eſt autem c m maior quàm b l:concurrant ergo lineæ c b & m lin puncto o. Et quoniam per 12 huius proportio eſt lineæ

Fig. 647

p o b c e l m t n a q k f d g
g c ad g q, ſicut lineæ c m ad m q: erit ք 16 p 5 permutatim proportio g c ad c m, ſicut g q ad q m: & ſimiliter erit g b ad b l, ſicut g t ad t l:ergo per 124 th. 1 huius, cumli neæ g c & g b angulariter cõiunctæ ſint proportionaliter diuiſæ, & à punctis ſectionum ducantur lineæ cõcurrẽtes, quæ c o & m o: palàm quòd linea q t concurret cum lineis c b, m l: & erit ipſarum concurſus in puncto o. Finis uerò contingẽtiæ puncti e ſit n. Et quoniam pũctus n per 45 huius demiſsior eſt puncto m: erit, ut prius, e n linea maior quã linea c m. Productis ergo lineis e c & n m, patet, ut prius, quòd concur rent: ſit ergo punctus concurſus p: & ducatur linea q p, & procedat donec ſecet lineam e g in puncto f: & producatur linea o q uſq ad lineam e g, quã ſecet in puncto k. Palã quoq propter hoc, quòd punctus n eſt demiſsior puncto m, quia punctum k erit ſuperius quã punctum f, & linea g k maior erit quá g f: patet autẽ per 123 th. 1 huius quoniam proportio lineæ g e ad e n eſt ſicut lineæ g f ad fn: ſed finis contingentiæ eſt punctus n:locus ergo imaginis erit punctus f per 12 huius. Igitur linea f q t erit imago arcus circuli e c b: & erit linea curua, nõ recta, utpote arcus illis tribus punctis per 5 p 4 circũſcriptus. Nõ erit aũt ille arcus æ ꝗ diſtans arcui ſpeculi neq arcui uiſo:quoniã, ut patet, lineę t b & q c & f e ſunt inæ quales, propter q  remanẽt lineę g t, g q & g finęquales. Similiter quoq demõſtrãdũ ſi perpẽdicularis ducta à puncto d, cadat ex alia parte arcus a b citra ipſum: tunc enim ſimilis erit probatio. Patet ergo propoſitum primum. Si uerò perpendicularis ducta à puncto d ſuper ſuքfi ciem incidentię cadat in medio arcus a b:lineę à puncto d ex diuerſis partibus ad arcum ductę ęqua liter diſtantes à perpendiculari, erunt æ quales, & ęquales angulos continentes uerſus punctum g: & imagines ipſarum æ qualiter diſtabunt à centro g: & fines contingentiarum ſimiliter. Imago itaq æ quidiſtabit arcui a b, & arcui ſpeculi: quoniam imago figurabitur ſuper centrum ſpeculi, quod eſt g: & erit illi concẽtrica per 73 th. 1 huius. Poteſt quoq probari predicto modo de utraq parte arcus per ſe, ſecundum quod diuiditur à perpen diculari: quòd eius imago ſit linea curua modo prædicto æ quidiſtans arcui uiſo propter æ qualitatem linearum à centro ſpeculi & arcus uiſi ad loca imaginũ productarũ. Quod eſt propoſitũ: de imagine enim arcus a e poteſt ſecũdũ præmiſſa idem patere.

48. Imago arcus eccentrici circulo (qui eſt cõmunis ſectio ſuperficiei incidẽtiæ & ſpeculi ſphæ rici conuexi) ſecundũ mediũ eius punctum propinquior is cẽtro ſpeculi (uiſu exiſtẽte extra ſuքfi ciẽ incidentiæ) uidetur rnaioris curuit at is qua arcus etdẽ circulo ſpeculi æքdiſtãtis. Alha. 3 n 6.

Eſto arcus uiſus b e a:circulus q́ communis ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit h z: cuius centrũ ſit g:ſitq́ arcus b e a eccentricus arcui h z: ſint tamẽ iſti arcus in eadẽ ſuperficie: & ſit e medius punctus arcus b e a ꝓpinquior cẽtro g: ſitq́ uiſus extra ſuperficiẽ incidẽtiæ. Dico quòd imago arcus b a erit curua, & maioris curuitatis  imago alterius arcus cõcentrici ipſi ſpeculo. Ducatur enim linea à cetro ſpeculi, q  eſt g, ad cẽtrũ arcus b e a, q  ſit f: ꝓ ductaq́ linea g e, palã ք 7 p 3 quoniã ipſa eſt bre page 260 uior omnibus lineis à cẽtro g ad arcũ a e b productis. Et quoniã arcus b e eſt æ qualis arcui e a, palã

Fig. 648

b d e a h l z g f
per 7 p 3 quoniam linea g a ęqualis eſt lineę g b: ductis q́ lineis g a, g b, ſecũdum ipſarũ quantitatem deſcribatur arcus â centro g: palamq́ per pręmiſſa, quoniam arcus deſcriptus ſecundum ſui punctum medium magis diſtabit ab arcu h z, quàm arcus b e a, Sit ergo deſcriptus arcus b d a: & ducatur linea g d ad medium punctum illius arcus, quę erit ęqualis g b:excedit ergo arcus b d a arcum b e a. Manifeſtum aũt ex præcedentib. quia imago arcus b d a eſt curua uiſu qualitercunq ſe habente ad ſuperficiem reflexionis. Puncta er go cõmunia iſtis duobus arcubus, quę ſunt a & b, habebunt imagines ſuas ſitas uniformiter priorib. ſed cum punctũ d ſit remotius à centro g quã punctum e:eius imago erit propinquior centro ſpecu li quá imago puncti e per 23 th. huius: & ita cuiuslibet pũcti arcus b d a imago eſt propinquior centro imagine puncti ſibi correſpon dentis in arcu b e a. Quare uidebitur imago arcus a e b curuior ima gine arcus a d b. Et hoc eſt propoſitum. Et ſecundum hunc modũ in alijs ſitibus arcuũ & ſpeculorũ poteſt fieri demonſtratio, quando uiſus non fuerit in ſuperficie incidentiæ, ſed extra illam.

49. In ſpeculis ſphæricis cõexis, uiſu nõ exiſtẽte in ſuperficie li neæ rectæ æꝗdiſtãtis ſpeculo, imago uidetur curua. Alha. 14 n 6.

Sit linea recta uiſa a b: & ſit ſpeculi ſphærici conuexi centrum g: erit ergo ſuperficies incidentiæ

Fig. 649

b e a f d h m t z g
a g b: extra quã ſit centrum uiſus, quod ſit d: ſitq́ linea a b æ quidiſtãs ſpeculo: hoc eſt lineæ contingenti arcum eirculi (qui eſt communis ſectio ſuperficiei incidentiæ & ſuperficiei ſpeculi) ſecundum mediũ punctum illius arcus. Dico quò d imago lineæ rectæ a b curua uidebitur. Ducantur enim lineę rectę:d g à centro uiſus ad centrum ſpecu li, & g b, g a à centro ſpeculi ad terminos lineæ a b. Hæ autem lineæ a g & b g, cum linea a b æ quidiſtet ſpeculo, palàm quò d ſunt ęquales. Fiat ergo circulus concentricus ſpeculo ſecundum quantitatem illarum linearum, qui ſit a e b: cadet ergo linea a b intra illum circulum: eritq́ per 46 uel 47 huius imago arcus a e b curua. Sit ergo imago ar cus a e b arcus z th, ita quòd imago pũcti a ſit z, & imago pũcti e ſit t, & imago puncti b ſit h: & ducatur linea g e ſecans rectá a b in pũcto f. Palá ergo quòd punctus e eſt in eadẽ linea cũ puncto f, ſed remotior à centro g:erit ergo per 23 huius imago puncti e propinquior centro ſpeculi, quàm imago puncti f: communiũ uerò punctorũ, quæ ſunt a & b, imagines ſunt e ædem. Sit itaq punctus m imago puncti f: erit ergo z m h imago a b lineæ rectæ. Patet autem quòd linea z m h eſt linea curua, cum linea z t h ſit recta: & omnium punctorum lineæ rectę, quæ a f, loca imaginum ordinentur ſecundum conuenientem ſibi proportionẽ inter puncta z & m, reſpectu arcus z m, & omniũ pun ctorũ lineę b floca imaginũ ordinentur ſecundũ conuenientẽ ſibi proportionẽ inter puncta h & m reſpectu arcus h m. Patet ergo propoſitũ: reſe ctisq́ue lineis a f & b f ęqualiter, eadẽ eſt demõſtratio.

Fig. 650

q e b a d h m z g

50. Lineæ rectæ non æquidiſtantis ſpeculo, quæ producta non cõtingeret, uel ſecaret ſuքficiẽ ſpeculi ſphærici cõuexi (uiſu nõ exiſten te in ſuperficie incidentiæ) imago uidetur curua. Alhaz. 15 n 6.

Diſponantur omnia, ut in præcedente, niſi quòd linea a b non æquidiſtet ſpeculo, nec contingat, nec ſecet ſpeculum, ſed tantùm obliquetur ſuper ipſum. Palàm ergo quòd lineę g b & g a productę ſunt inæquales. Sit ergo a g maior quàm g b: & fiat circulus ſuper centrũ g ad quantitatem lineę a g maioris, qui ſit a e q: & ducatur g b ultra b, uſquequò cadat in circulum, in punctũ e. Patet autem ex 46 uel 47 huius quoniá imago arcus a e eſt curua: punctus aũt imaginis a ſit z. pũctus uerò imaginis e ſit m: eritq́ z m imago arcus a e. Et quoniã imago pũcti b eſt remotior à cẽtro imagine pũcti e per 23 huius: patet quòd erit imago lineę a b curua: q etiã per pũcta media arcus a e & lineę a b faciliter poterit oſtendi. Patet ergo propoſitũ: reſectaq́ue linea a b ex quacũq ſui parte ſemper eadẽ eſt demõſtratio, quæ prius.

51. Imago lineæ rectæ, quæ product a contingeret ſpeculum ſphæ ricum conuexum (uiſu non exiſtente in ſuperficie incidẽtiæ) ſem per uidetur curua. Alhazen 16 n 6.

Sit diſpofitio, quæ prius, ita tamen ut linea a b producta, contingat ſpeculum in puncto e: & ducantur à centro ſpeculi, quod ſit g, lineæ g b & g a:ſitq́, utſuperficies incidentiæ, quæ ſit a b g ſecet page 261 ſpeculum in arcu e h z: & ſit d cẽtrũ uiſus: ſitq́ ſectio communis ſuperficiei reflexionis (in qua ſunt lineæ g a & g d) & ſuperſiciei ſpeculi, arcus z p. Communis uerò ſectio ſuperficiei reflexionis (in qua ſunt lineæ g h & g d) & ſuperficiei ſpeculi, ſit arcus h p. Palàm ergo per ea, quæ demõſtrata ſunt in 16 huius, quòd forma pũcti b reflectitur ad uiſum d ab aliquo pũcto arcus h p. Si ergo à pũcto illo ducatur linea cõtingẽs arcũ h p, illa ſecabit lineã b g: & finis cõtingẽtiæ erit pũctus illius ſectionis. Sit pũctus ille m. Palã etiã quòd ſià pũcto m ducatur linea cõtingẽs arcũ e h. qilla cadet citra punctũ e ք 60 th. 1 huius: quoniã linea a b producta eſt cõtingens circulũ in pũctus b eſt altior pũ cto m. Cadat ergo contingẽs à pũcto m ducta in pũctũ f: & hęc cõtingẽs producta in cotinuũ & dire ctum per 60 th. 1 huius ſecabit lineam a e: ergo ſecet in pũcto t: & ex alia parte ſecabit lineam g a per 14 th. 1 huius, cum illæ omnes lineę ſint in una ſuperficie: ſecet ergo ipſam in puncto c. Fiat quoque

Fig. 651

l k x s y e t q b a f r g o h m u i z n c p d
ſuper g terminum lineę b g angulus æqualis angulo b g d per 23 p 1, qui ſit angulus b g s, cadente puncto s in peripheriam circuli: & producatur linea g s ad æqualitatem lineæ g d, quæ ſit g l. Erit ergo per 26 p 3 arcus s h æ qualis arcui h p. sicut ergo reflectitur ſorma puncti b ad uiſum in puncto d ab aliquo puncto arcus h p: ſicreflectetur ad punctum l ab aliquo puncto arcus h s: & erit reflexio à puncto f, ſicut in arcu h p fit reflexio à puncto, à quo ducitur contingens ad punctum m: quoniam illi arcus neceſſariò ſunt ęquales, ut patet per 58 th. 1 huius. Et quoniam à puncto m uenit utraque illarum linearum contingentium: palã quòd ipſæ ambæ ſunt æ quales per 58 th. 1 huius. Du cantur ergo lineę b f & l f. Similiter quo q forma pun cti a reflectitur per 16 huius ad uiſum d ab aliquo pun cto arcus z p. Verùm in triangulo curuilineo h z p duo arcus h z & h p ſunt maiores tertio per 28 p 3 & per 20 p 1: ſed arcus h p eſt æqualis arcui h s: igitur arcus z p eſt minor arcu z s. Reſcindatur ergo arcus z s ad æ qualitatem arcus z p (quod poteſt fieri auxilio 34 p 3) ſit ergo factum in puncto y: & ducatur linea g y: quæ producta ad æqualitatem lineæ g s, ſecabit neceſſario lineam f l: ideo quia linea g d eſt æqualis lineæ g l. Quia itaque linea illa ſecat angulum l g z: ergo ſecabit etiam baſim ei ſubtenſam per 29 th. 1 huius. Secet ergo in puncto x: & ſit linea g y k ęqualis lineæ g d. Palam ergo quoniam ſicut ſorma puncti a reflectitur ad uiſum d ab aliquo puncto arcus z p: ſimiliter eadem for ma puncti a refle ctitur ad k ab aliquo puncto arcus. z y. Sed non reflectetur a ad k, niſi ab aliquo pun cto. quod eſt citra punctum fex parte puncti z. Si enim dicatur quòd a puncto f uel ab alio puncto arcus f y reflectitur forma puncti a ad punctum k: ſit, ut fiat illa reflexio à puncto f: palàm ergo quòd tunclinea ducta à puncto a ad punctum reflexionis f, ſecabit in aliquo puncto lineam b f: quia linea contingens circulum in puncto e tranſit per punctum b. Ad illud ergo punctum communis ſectionis illarum linearum a f & b f reflectetur punctus k, & ad idem punctum à puncto freflectetur punctus l: & ita duo puncta in his ſpeculis reflectentur ad idem punctum ab eodem puncto f & exeadem parte diametri uiſualis, quod eſt contra 16 huius. Sed neque ab alio puncto arcus f y: quoniã tunc, ut prius, linea ducta à puncto a ad punctũ reflexionis, ſecabit lineã b f: ſit punctũ ſectionis u. Ad illud ergo punctũ ſectionis u reflectetur ſorma pũcti k & forma puncti l: & ita duo pũcta eiuſdẽ diſtãtię à centro propoſiti ſpeculi, quod eſt pũctũ g (quoniã ambæ l g, k g ſunt ęquales ipſi g d exhy potheſi) reflectentur ad idem centrum uiſus ex eadem parte diametri uiſualis, quæ a b illo puncto ſectionis lineę b f, quod eſtu, eſt ducibilis ad punctum g centrũ ſpeculi, Erit ergo per 18 huius angu lus l g u æqualis angulo k g u, totum ſuæ parti: quod eſt impoſsibile. Non ergo refle ctitur forma pun cti a ad punctum k ab aliquo puncto arcus f y: reſtat ergo, ut punctus a refle ctatur ad punctum k ab aliquo puncto arcus z f alio, quàm ſit punctum f. Si igitur ab illo puncto ducatur linea contingens circulum, illa producta neceſſariò ſecabit lineã a z: & cadetinter puncta z & cper 60 th. 1 huius: ideo quòd punctus ſ reſpectu diametri g a demiſsior eſt quolibet puncto arcus z f: & ita linea contingens à puncto f, quæeſt f c, altior eſt alijs contingentibus à punctis arcus z f ductis. Cadat ergo contingens illa in punctum n: & ducatur linea m n: quæ quidẽ linea cum tranſeat per acumen trian guli b m t, & producta diuidat angulum b m t per 15 p 1. quoniã & ipſa diuidit angulũ g m c, ut patet expræmiſsis. Quia ergo diuidit b m t, ergo neceſſariò ſecabit baſim b t per 29 th. 1 huius. Secet ergo ipſam in puncto q: & ducatur linea g q: ſit autẽ i imago puncti a: & ſit o imago puncti b: & r ſit imago puncti q. Palàm autem ex 45 huius, cum punctum b ſit propinquius puncto g centro ſpeculi quàm punctum a, quod erit imago puncti b remotior a puncto g quã i imago puncti a. Ducatur ergo linea o i, quæ per 11 huius erit imago lineæ a b. Palàm etiam per 12 huius & per 16 p 5 quòd proportio a g ad a n eſt, ſicut g i ad i n, & proportio b g ad b m per eadem eſt ſicut g o ad o m. Cum ergo lineę a g & b g diuidantur ſecundum proportionem ſimilem, utraq: ipſarum in duobus punctis, & à punctis di uiſionum ducantur lineæ, quarum duæ ſcilicet g q & m n concurrant ad idẽ punctum q, tertia (quę eſt i o) neceſſariò concurret ad idem punctum per 124 th. 1 huius. Linea ergo i o producta cadet ſuper punctum q: eſt ergo linea io q linea recta. Igitur linea i o r non erit recta: ſed linea i o r eſt imago lineæ a q. Quare palã quòd imago lineę a q erit curua. Poſito aũt b loco pũcti q, & alio pũcto lineæ a 262 b poſito loco pũctib, eodẽ modo penitus ꝓbatur, q imago lineæ a b eſt curua. Et hoc eſt ꝓpoſitũ.

52. Imago lineæ rectæ, quæ producta ſecaret circulum (qui eſt communis ſectio ſuperficiei inci dentiæ, & ſuperſiciei ſpeculi ſphærici conuexi) non tamen per centrum, uiſu non exiſtente in ſuperſicie incidentiæ, uidetur curua, Alhazen 17 n 6.

Manente priori diſpoſitione, ſit, ut linea a b producta, circulũ e h z (qui eſt cõmunis ſectio ſuperfi ciei incidentiæ & ſpeculi) ſecet in pũcto e: & punctus reflexionis formæ puncti b ad punctum l ſit punctum f: & ſit m finis contingentiæ lineę contingentis circulum e h z in pũcto f productæ ad li

Fig. 652

l k x b a s y g p d
neam b g. Reflectetur itaque b ad a ab aliquo pũcto arcus h p, ſicut in præcedente propoſitione pręmiſſum eſt. Arcus quoq ab illo puncto reflexionis uſq ad pũctum h, aut eſt æ qualis arcui h e, aut maior, aut minor. Si ęqualis, cum per præmiſſa in pręcedente arcus ille ſit ęqualis arcui h f: ideo quia à puncto m productę lineæ contingentes pertingunt ad arcus æquales per 59 th, 1 huius. Sit ergo q punctus ipſius circuli, in quem cadet contingens ducta à puncto m ex parte e. Igitur linea a e tranſit per punctum q: & ita linea m q ſecat lineam a e trãs punctũ e: quoniam utrunq punctorum e & q eſt in peripheria cir culi, & eſt punctum unum. Si uero arcus ille ſit minor arcu h e: ſecabit linea q m lineam e a ultra punctũ q: ſit, ut ſecet ipſam in puncto t, ut eſſiciatur triã gulus ducta linea e q. Si uerò arcus ille fuerit maior arcu h e: ſecabit linea m q lineam a e citra punctum q: quodcunque iſtorum acciderit: iteretur probatio præmiſſę: & eodem modo penitus probabitur. quòd imago lineę a b eſt curua. Quod eſt propoſitum.

Fig. 653

d e g h a b z
Fig. 654

d e g h b a z

53. Imago lineæ rectæ, quæ producta tranſiret centrum circuli (quieſt cõmunis ſectio ſuperficiei incidentiæ & ſpeculi ſphærici conuexi) centro uiſus exiſtente in eadem ſuperficie, uel extra illam, nõ tamen in illa linea, ſemper uidetur recta, Alhazen 18 n 6.

Diſponãtur omnia, utin pręcedentib. niſi quòd hactenus locuti ſu mus de paſsionibus harum linearum, uiſu non exiſtente in ſuperficie incidentię, & nunc uiſum ſupponimus quandoq eſſe in ſuperficie in cidentię, qui ſit, ut prius, in pũcto d: & ducatur linea g d: concurratq́ linea a b protracta cum circulo e h z, tranſiens ipſius centrum g. Palá ergo quòd angulus illarum linearũ a g, & d g cadet ſuper g centrũ ſpe culi: uidebiturq́ imago lineę a b una linea recta. Imago enim cuiusli bet puncti illius lineę a b, cum ipſa ſit in catheto ſuæ incidentię diſpo ſita, apparebit in ipſa linea a b producta ad centrum g per 11 huius: erit ergo imago illius totius lineę recta, ſicut & ipſalinea a b producta, eſt linea recta. Patet ergo propoſitum.

54. Lineæ rectæ declinatæ à centro circuli (quieſt communis ſectio ſuperficiei incidentiæ & ſpeculi ſphærici conuexi) centro uiſus exiſtente in eadem ſuperficie incidentiæ, ita quòd declinatio lineæ ſit adpartem aliam à uiſu, & ſit tangens ſuperficiem ſpeculi, tantùm imago unius puncti uidetur. Alhazen 19 n 6.

Ordinentur omnia, ut prius in 51 huius: & ſit linea a b declinata ſuper circulũ e h z, ita q nõ attingat centrũ eius: ſitq́ uiſus d in ſuperfi cie incidẽtię: & ſit declinatio lineę ad partẽ aliã ab illa, in qua eſt uiſus: ut ſi uiſus ſit in parte dextra, declinet pũctũ a ad ſiniſtrã, uel ecõtrario: & linea pertingat ad ſuperficiẽ ſpeculi: dico quòd tantũ unius pũcti lineę a b imago uidebitur. Sumatur enim per auxiliũ 16 huius pũctus circuli, à quo reflecti poſsit aliquid ad uiſum, ꝗ ſit h: & ſumatur aliqua linea reſlexionis punctorũ a b lineæ declinatæ, ut pũcti b: & illa cadet forſitan ſuper hanclineã reflexionis d h: quod ſi fuerit, nõ uidebitur quidẽ imago lineæ huius declinatæ, qeę a b, niſi ſecundũ ſolũ illũ pun ctũ b: quod patet ducta catheto incidentiæ à pũcto a, qui ſit a g: tunc enim arcus interiacens punctũ h, à quo reflectitur forma puncti b, & punctum ſectionis circuli e h z per cathetũ a g (quod ſit z) continet omnia puncta reflexionis formarũ punctorum lineæ a b, ut oſtenſum eſt in propoſitione 50 huius. Producta ergo à cẽtro uiſus ad centrum ſpeculi linea, quæ ſit d g, ſecans circulum e h z in puncto e: ſi ſumatur in arcu circuli page 263 quieh, eitra hanc lineam d h punctus, à quo reflectitur ad uiſum aliquis punctus lineę declinatę a b: ſed ille punctus reflectitur à puncto aliquo arcus h z prius aſsignati, qui eſt terminus lineæ ſuæ refle xiõis: cum linea ſuę reflexionis ſit ultra lineam reflexionis formæ puncti b: & ita illæ punctus lineæ declinatæ reflectitur ad eundem uiſum à duobus punctis arcus ſpeculi: quod eſt impoſsibile, & cõ tra 16 huius. Non ergo reflectitur ad uiſum ab aliquo puncto arcus e h interiacentis lineam d g, & cõ punctum reflexionis formæ puncti b, quiarcus non impeditur per lineam interpoſitam uiſui & ſpe culo. Item ſi aliquis punctorum lineæ a b, præter punctum b, reflecteretur ad uiſum ab aliquo puncto arcus e h interiacentis lineam d g & punctum reflexionis formæ pũcti b, cum illa puncta omnia ſint in eadem ſuperſicie incidentię, ſicut & centrum uiſus: tunc patet per 1 p 11 quòd omnes lineæ re flexionum ſunt in eadem ſuperficie: linea ergo incidentiæ illius puncti ſecaret lineam incidentiæ formæ puncti b. Forma ergo puncti illius ſectionis reflecteretur ad eundem uiſum d à duobus punctis, ſcilicet à puncto h puncto reflexionis formæ puncti b, & ab alio puncto dato: quod totũ eſt impoſsibile, & contra 16 huius. Non ergo reflectitur aliquis punctorum lineę a b, pręter punctũ b, ad uiſum d ab aliquo puncto arcus e h diſcooperti. Licet autem reflectatur quilibet punctus lineę a b ab aliquo puncto arcus h z prius ſumpti, non tamen uidebitur, cũ ſit in linea reflexionis, quæ occultatur uiſui per pręcedentia puncta lineę ſolidę: & ita linea adiacens lineę reflexionis formæ pun cti b non uidetur, uiſu ſic diſpoſito, ut pręmiſſum eſt. Patet ergo propoſitum.

55. Lineæ rectæ declinatæ à cẽtro circuli (quieſt cõmunis ſectio ſuperficiei incidẽtiæ & ſpeculi ſphærici cõuexi) cẽtro uiſus exiſtẽte in eadẽ ſuperficie incidentiæ, it a ꝗ declinatio lineæ ſit ad par tẽ uiſus, ſiue ſit tangens ſuperficiẽ ſpeculi ſiue non, nullius puncti imago uidetur. Alhaz. 20 n 6.

Sit diſpoſitio, quę ſuprà: & ſumatur a b linea declinata, ut proponitur: & eius declinatio ſit ex par

Fig. 655

a d b b g
te uiſus d: dico quòd nullus punctus illius lineę uidebitur. Deturenim, quòd aliquis punctorũ illius lineę poſsit reflecti ab aliquo pun cto arcus interiacentis lineam reflexionis, non impeditam per corpus lineę interiacentis uiſum & ſpeculum & lineam d g, à centro uiſus ductam ad centrũ ſpeculi: & ducatur linea ab illo puncto ad pun ctum arcus ſumptum: hęcitaque ſecabit lineam reflexionis: & pun ctus ſectionis reflectitur ad uiſum à duobus punctis ſpeculi: quod eſt impoſsibile. Si uerò dicatur quòd punctus ſumptus in linea a b reflectitur à puncto arcus circuli, qui eſt ſub illa linea a b, hoc erit im poſsibile: quia totus ille arcus occultatur per lineam interpoſitam uiſui & ſpeculo, abſcindentem omnes lineas reflexionum ſuorum punctorũ. Et præterea ſecundũ hanc diſpoſitionẽ uiſus eſt ex parte anguli minoris lineę obliquè ſpeculo incidentis: reflexio uero ſolũ fit ex parte anguli maioris, ut patet per 33 th. 5 huius. Non eſt ergo poſsibile aliquod punctorũ illius lineę reflecti ad uiſumſic ſituatum. Nullius ergo pũcti illius lineę a b imago uidetur. Quod eſt ꝓpoſitũ

56. Lineæ rectæ obliquæ, non tangentis ſuperficiem ſpeculi ſphæ rici conuexi uiſu exiſtente in ſuperficie incidentiæ, ita quòd obliquatio lineæ ſit ad partem aliam à uiſu: modicùm imaginis uidetur: & erit imago ſemper curua. Alhazen 21 n 6.

Diſponantur omnia, utin præcedentibus: ſitq́ linea a b obliquata ſuper ſuperficiem ſpeculi: ita

Fig. 656

a d f b l m e h c z g
quòd producta centrum eius non tranſeat nec tangat ſuperſiciem ſpeculi: ſed diſtet punctus b aliqualiter ab illa in aere exiſtens: ſitq́ue uiſus d in ſuperſicie incidentiæ illius lineæ a b. Dico quòd modicùm imaginis lineæ a b uiſui occurret. Ducatur enim linea d b ſuper ſuperficiem ſpeculi, incidens in punctum c circuli e h z, (qui eſt communis ſectio ſuperſiciei incidentię & ſuperſiciei ſpeculi:) Á puncto quoque c ducatur linea contingens circulum per 17 p 3, quæ ſit l c m: & ſuper c terminum lineæ m c fiat angulus æ qualis angulo d c l, per lineam c f ſecantem lineam a b in puncto f: & à puncto f ducatur cathetus f g ad centrum ſpeculi: & ducatur cathetus b g. Palàm itaque quòd ſorma puncti freflectitur ad uiſum d à puncto c per 20 th. 5 huius: eritq́ue locus imaginis in linea f g: ſimiliterq́ue ſorma puncti b, cum non habeat aliquod obſtaculum, reflectetur ad uiſum ab aliquo puncto ſpeculi: & locus imaginis erit in linea b g per 11 huius. Et quia propter interpoſitionem lineæ ſolidæ, quæ f b, alia puncta lineæ a b non poſſunt reflecti ad uiſum, niſi puncta lineæ b f, quorum omnium imago cadit in linea ducta à punctis ſectionum linearum reflexionum punctorum b & f, & cathetorum b g & f g: (quæ eſt res modica) patet quòd imaginis lineæ a b pars modica uide. tur. Quod eſt propoſitum. Augetur tamen illa quantitas imaginis ſecundum quod centrum page 264 uiſus in eadem ſuperficie declinat plus ad ſuperficiem ſpeculi. Vnde ſi uiſus perueniat inter ſuperfi ciem ſpeculi & punctum b: totius lineę a b uidebitur imago. Tunc enim cadit hæc linea a b inter lineam reflexionis formæ punctia, & inter productam cathetum puncti a ultra lineam a g. Etſi taliter ſituetur hęclinea a b, ut cadat inter lineam reflexionis d c & inter lineam per punctum reflexionis puncti b tranſeuntem ad centrum ſpeculi, poterit uideri imago totius lineæ. Videbitur autem imago totius lineę a b uel partis eius ſemper curua: quod poteſt oſtendi per modum 50 huius: & mi nuitur curuitas imaginis huius lineę, ſecundum quod magis acceſſerit ad lineam tranſeuntem ad centrum per punctum reflexionis formæ puncti b. Vniuerſaliter uerò quicquid interpoſitum uiſui & ſpeculo impedit peruentum formarum punctorum ſpeculi ad uiſum: illius imago non uidebitur in his ſpeculis. Hæc autem, qu& hic propoſita ſunt, intelligenda ſunt de lineis occurrentibus uiſui in arcu circuli, qui apparet uiſui, utpote in arcu, qui interiacet duas contingentes ductas à centro ui ſus ad ſpeculum: quoniam ille ſolum opponitur uiſui per 5 huius: linearum uerò concurrentium cum ſpeculo in parte circuli occulta uiſui, aliqua poteſt eſſe æquidiſtans lineę contingenti, & illa nõ uidebitur: ſimiliter & cõterminalis illi æquidiſtanti, quæ cadit ſub æ quidiſtante, penitus occultabitur uiſui: ſed linea conterminalis ęquidiſtanti cadens ſuper ipſam ex parte illa, poterit uideri. Et hęc experimentantium induſtriæ ex præhabitis principijs relinquimus demonſtranda: erunt tamẽ hoc modo uiſarum linearum rectarum imagines ſemper curuę.

57. Viſu exiſtente inſuperficie incidentiæ lineæ rectæ, non concurrentis cum ſuperficie ſpeculi ſphærici conuexi, ſed æquidiſtantis lineæ interiacenti centrum ſpeculi & uiſus, uel concurrentis cum illa extra ſpeculum ex parte uiſus: imago uidebitur curua. Alhazen 22 n 6.

Sit d centrum uiſus: & g centrum ſpeculi: & h e ſit linea uiſa: quę quidem linea non concurrat cũ circulo, qui eſt communis ſectio ſuperficiei incidentiæ & ſpeculi, ſed ſit æ quidiſtans lineæ d g, uel ſecet eam ex parte d. Sit quoque a b circulus, qui eſt communis ſectio ſuperficiei incidentiæ uel reflexionis, in qua ſuntlineę d g & h e, & ſuperficiei ſpeculi propoſiti: & producatur linea h g, in qua ſit punctus z imago puncti h. Punctus quoq circuli, à quo reflectitur forma puncti h ad uiſum d, ſit b: ducaturq́ue à puncto b linea circulum contingens, quæ ſecet lineam h g ſuper punctum t: eritq́ punctus t finis contingentie. Ducatur etiam linea g b, quæ producta neceſſariò cõcurret cum linea h e. Sienim h e fuerit ęquidiſtans d g, concurret quidem per 2 th. 1 huius: ſi uerò d g concurrat cum h e, multò fortius g b concurret cum eadem per 29 th. 1 huius. Concurſus quoque ille aut erit in linea h e, aut ultra hanc lineam: ſi ultra, concurrat in puncto m. Ducatur quoque linea m g: quæ erit cathetus incidentię puncti m: & imago puncti m ſit q. Imaginata quo que linea à pũcto reflexionis formæ puncti m ad lineam g m producta: finis contingentiæ ſit punctus s: & ducatur linea z q copu lanslocaimaginum: ſimiliter ducatur lineat s cupulans fines cõtingentiarum. Sit quoque, ut linea d g ſecet circulum a b in puncto a: & producatur à puncto a linea contingens circulum, quæ ſit a u. Palàm itaque quoniam arcus a b eſt minor quarta circuli, cum uiſus d uideat ex circulo minus medietate per 3 huius: quare angulus a g b eſt acutus per 33 p 6, & angulus u a g eſt rectus per 18 p 3: igitur linea a u concurret cumlinea g b per 14 th. 1 huius: concurrat ergo in puncto u. Dico quia pun

Fig. 657

h e m c c u s k b c z q l r f g a d
ctus u cadet ultra punctũ s. Quia cumper 16 huius punctus m reſlectatur ab aliquo puncto arcus a b: & punctus a ſit demiſsior illo puncto reflexionis formę puncti m: erit finis contingentiæ lineæ ductæ à puncto a contingentis circulum, altior fine contingentiæ illius puncti per 60 th. 1 huius: & ita erit punctus s demiſsior puncto u. Protrahatur er go linea t s, donec concurrat cumlinea u a: cõcur ret autem per 14 th. 1 huius: & ſit concurſus in pun cto k: & ducatur linea g k: quæ producta concurret cum h m per 2 uelper 29 th. 1 huius: ſit concurſus in puncto c. Punctus itaque c reflectitur ad ui ſum d ab aliquo puncto arcus a b: quòd patet per e a, quæ demonſtrata ſuntin 16 huius: ſit ille punctus ſ: à quo ducatur linea contingens ſpeculum uſque ad cathetum g c: quæ quidem erit demiſſior quàm linea a k: & ſit fo, ſecans lineam g c in puncto o: qui ſit finis contingentiæ: ergo per 60 th. 1 huius erit punctus o demiſsior puncto k: ſunt enim puncta k & o fines contingentiarum. Producatur quoque linea d f, uſquequò cadat ſuper g e cathetum: cadet aũtper 9 huius: ſit ergo, ut cadat in punctũ r: & producatur linea z q uſq ad lineam g c: & cadat in punctum 1. Dico quoniam punctum l eſt altius quã punctũ r. Lineę enim h c & t k, & z l aut ſunt ęquidiſtãtes aut cõcurrũt. Sint primò ęquidiſtãtes: cũ ergo hæ lineę ęquidiſtãtes ſecent lineam c g, ſuper tria puncta c, k, l, & ſecent utranque linearum m g & h g: & cum ſit proportio lineę h g ad h t, ſicut lineæ g z ad z t per 12 huius, & per 16 p 5: & ſimiliter cum ſit proportio lineæ m g page 265 ad m s, ſicut g q ad s: erit eadẽ proportio g c ad c k, quæ g l ad l k per 122 th. 1 huius: ſed palàm per 11 huius quoniam r eſt imago puncti c: linea enim d ſ eſt linea reflexionis, concurrens cum catheto c g in puncto r: & o eſt finis contingentię: eſt ergo per 12 huius, & per 16 p 5 proportio g c ad c o,
Fig. 658

h e m c s t z q b o r f d g a
Fig. 659

i h e m o c u z s b o k q l r f d o g a
ſicut g r ad r o: led maior eſt proportio g c ad c k, quàm g c ad co per 8 p 5: & ita erit maior proportio g l ad l k, quàm g r ad r o: ergo econtrario conuerfim per 6 th. 1 huius erit minor proportio l kad g l, quàm r o ad g r: eſt ergo maior proportio o r ad g r, quàm k l ad g l: ergo coniunctim per 11 th. 1 huius maior proportio eſt o g ad r g, quàm k g ad l g: ſed k g eſt maior quàm o g: ergo per 14 p 5 l g eſt maior quàm r g. Eſt ergo punctus r demiſsior puncto l: ſed z q l eſt linea recta: ergo linea z q r eſt linea curua: ergo imago lineę h c eſt curua. Poſito ergo alio puncto lineæ h e loco puncti m, & puncto e loco puncti c: erit probare quod imago lineæ h e rectę ſit curua. Si uerò lineæ h m, t s, & z q non ſunt æ quidiſtantes, concurrant ergo: & erit cõcurſus aut ex parte d, aut ex parte h: ſit ex parte d, & concurrant in puncto c: erit ergo per 53 huius z q l linea recta: quare z q r erit linea curua: eſt ergo imago lineæ h e rectæ curua, demonſtratione completa, ut prius. Hoc ergo eſt pro poſitum.

58. Omnis arcus circuli, in cuius ſuperſicie incidentiæ fue rit centrum uiſus, imago ſenſibiliter apparens intra ſpeculum ſphæricum conuexum uidetur ſemper curua. Alhazen 23 n 6.

Sit arcus uiſus a b: & ſit centrum ſpeculi punctum g: & cen trum uiſus punctum d: ſiuq́ hoc centrum uiſus in ſuperficie incidentiæ, quæ eſt a b g Dico quòd imago arcus a b uidetur ſemper curua, quando ſenſibiliter intra ſpeculum uidetur. Ducatur enim

Fig. 660

a b d g
chorda a b: palamq́ ex præmiſsis propoſitionibus, quoniam imago chordæ a b ſecundum omnem ſui ſitum, reſpectu ſpeculi uidetur ſemper curua: niſi ſolùm tunc, quando ipſa ſit in catheto incidentiæ unius ſuæ extremitatis: ut cum ipſa eſt perpendicularis ſu per ſpeculi ſuperficiem pertranſiens eius centrú: tunc enim ipſius imago uidetur recta, ut patet per 53 huius. Arcum uero a b eſſe in catheto incidentiæ ſuarum extremitatũ eſt impoſsibile: cum quilibet ſuorum punctorum diuerſam habeat incidentiæ cathetum. Ergo nunquam uidebitur imago arcus taliter diſpoſiti in linea recta: quoniam ſemper loca imaginum diuerſorum punctorum in diuerſis ſunt cathetis. Curuitas uerò imaginum poteſt faciliter concludi ſecundum modum, quo in præcedentibus in lineis rectis uſi ſumus: & coadiuuabit ad hæc 45 huius. Patet ergo propoſitum.

59. Conuexitas imaginum quorumlibet arcuum, cum locus ipſarũ eſt intra ſpeculum ſphæricum cõue xum uelextra ipſum, conuexit ati arcuum fit contraria ſecundum ſitum.

Eſto quòd arcus a b reſpiciat ſecundum ſui concauum uel conuexum centrum ſpeculi ſphærici conuexi, quod ſit punctum g. Dico quòd conuexitas ipſius imaginis erit cõtraria ſecundum ſitum conuexitati ipſius ſpeculi, quando imagoto taliter eſt intra ſpeculũ, ueltotaliter extra, uelſecun page 266 dum partem intra, ſecundum partem extra, & ſecundum partem in ipſa ſuperficie ſpeculi Loca enim imaginum punctorum remotiorum à ſuperficie ſpeculi fiunt

Fig. 661

a b g
propinquiora centro ſpeculi, & loca punctorum propinquiorum ſuperficiei ſpeculi fiunt remotiora à centro ſpeculi, ut patet per 23 huius. Et quia imagines accipiunt continuitatem ſitus ſuarum partium à continuitate rerum, quarum ipſę ſuntimagines: patet quòd conuexitas ipſarum imaginum conuexitati ipſorũ uiſorum arcuum fit contraria ſecundum ſitum, prout etiam oſtendimus in 46 huius. Patet ergo propoſitum.

60. Imaginum curuarum eiuſdem arcus uiſi remotioris à centro ſpeculi ſphærici conuexi curuior uidetur.

Sit a b arcus uiſus, cuius punctus medius ſit e: & cuius arcus imago ſit curua: & eius chorda ſit a b linea recta: ſitq́ centrum ſpeculi g. Dico quòd accedente linea a b ad ſpeculum, imago eius fit minoris curuitatis, & recedente ipſa fit maioris. Ducantur enim catheti a g & b g, in quibus erunt loca imaginum punctorum a & b per 11 hu ius. Quia itaq accedente linea recta a b ad ſuperficiem ſpeculi, angulus a g b fit maior, & recedente ipſa angulus a g b fit minor per 34 th. 1 huius: imago uerò pũcti

Fig. 662

b i d B t k e a c z g
e plus elongati à centro ſpeculi fit propinquior centro ſpeculi, & imago eiuſdem approximantis ſpeculo fit remotior à centro per 23 th. huius: extrema uerò puncta illius imaginis ſemper ſunt in cathetis a g & a b: patet ergo quòd imago arcus a b remotioris à centró ſpeculi plus coanguſtatur, & approximati plus ampliatur: & ſecundũ hoc ipſius curuitatis modus uariatur modo propo fito. Quoniam ipſius remotioris à centro ſpeculi imago fit curuior, & propinquioris fit minus curua: quoniam ipſa ſemper fit pars circuli maioris in acceſſu ad centrũ ſpeculi, & fit pars circuli minoris in receſſu à cẽtro: & ſecundũ quantitatẽ acceſſus illius & receſſus uariatur quãtitas dictarũ imaginũ. Patet ergo propoſitũ.

61. Omnis imago in ſuperficie ſpeculi ſphærici conuexi uiſui occurrens, ſemper apparet conuexa. Euclides 23. th. catoptr.

Eſto ſpeculum ſphæricum conuexum a g: & ſit centrum uiſus e: & ſit linea recta uel curua uiſa, quæ d k: in qua ſignentur puncta b & i, ſitq́ utloca imaginum iſtorum punctorum ſint in ſuperficie ipſius ſpeculi, lineis incidentiæ exiſtentibus ipſis, quæ d a, b c, i z, & k g: lineis quoq reflexionis exiſtẽtibus a e, c e, z e, & g e. Si itaq aliqua illarũ linearũ reflexionis ſit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi: palàm per 72 th. 1 huius quoniã ipſa trãſibit centrũ ſpeculi: ergo ք 8 p 3 uel per 21 th. 1 huius illa erit breuiſsima omniũ linearũ illarũ reflexio nis, & illi propinquiores ſunt remotioribus breuiores. Patet ergo quoniã

Fig. 663

e a b a e b g
illa imago uidetur curua: quoniam aliqua pars ipſius propinquior eſt uiſui, & aliqua remotior. Idem quoq accidit, ſi nulla illarum linearum reflexionis ſit perpendicularis ſuper ſpeculi ſuperficiem: quoniam ducta perpendiculari linea à puncto e ſuper ſuperficiem ſpeculi per 11 p 11: palàm quòd omnes lineæ reflexionis illi perpendiculari propinquiores remotioribus ſunt breuiores: & ſic item imago lineæ rectæ uel curuæ, quæ eſt d k, occurrens uiſui in ſuperficie ſpeculi, uidetur ſemper curua. Et quoniã eodem modo eſt demonſtrandum de qualibet imagine apparente in ſuperficie ſpeculi: patet ergo propoſitum.

62. Imago lineæ curuæ ſecundũ eius concauit atẽ reſpiciẽtis ſuperficiẽ ſpeculi ſphærici conuexi, nonnunquã uidetur recta. Alhazen 23 n 6.

Sit linea curua a b c, oppoſita ſpeculo ſphærico cõuexo ſecundũ ſui par tem concauã. Dico q nõnun imago ipſius poteſt uideri li

Fig. 664

a b c
nea recta. Ducatur enim eius chorda recta linea, quę ſit a c: pa lamq́ per plures præmiſſarũ propoſitionum huius, quoniá in aliquo ſitu imago ipſius lineę rectæ uidetur curua curua curuitate reſpiciẽte centrũ ſpeculi. Quia ergo extremitates lineę curuę a b c, quę ſunt a & c, uidẽtur in extremitatib. imaginis lineę re ctę a c: imaginetur ipſi curuę imagini lineę rectę a c ſubtendi chorda intra ſpeculũ. Si itaq hoc acciderit, quòd eſt poſsibile, ut curuitas ipſius arcus (ꝗ eſt a b) ſit ſimilis curuitati imaginis ipſius chordæ, ita q eius ſinus uerſi hinc inde ſint ſimi page 267 les: palá ք 23 & ք 45 huius quòd imago lineę curuę, quę a b c, erit linea recta, ſubtẽſa per modũ chor d æ ipſi imagini curuatæ. Videbitur ergo linea recta imago ipſius curuæ lineę a b c. Quod eſt propo ſitũ. Patet hoc etiá aliter. Quia enim, ut in pręmiſſa proxima dictũ eſt, omnis imago in ſuperficie ſpe culi ſphærici cõuexi uiſui occurrẽs, ſemper uidetur cũuexa, centrũ ſpeculi reſpiciens ſecundũ eius concauitatẽ, & eiuſdem arcus imago cadens intra ſpeculum reſpicit centrum ſpeculi ſecundum ſui concauum. Cum ergo non eatur ab extremo in extremũ ſine medio in huiuſmodi reflexionibus & ſuperficiebus partium eiuſdem imaginis: palàm quòd illa imago in aliquo ſitu habeat diſpoſitionẽ rectitudinis. Et quia omnia loca imaginũ punctorum illius arcus cadunt in unam lineam rectam, quem ſitum tamen & uiſus & rei uiſæ & ſpeculi perquirere eſſet longum & inutile: patebit tamen ſimpliciter expræmiſsis uia illud perquirere uolenti. Per hunc itaq modum accidit circulum quan doq uideri ad modũ ſemicirculi & diametri, & ex portione circuli fit portio reuerſa, ita quòd imago rectæ lineæ fit curua, & curuæ lineę fit recta: & quandoq ambæ uidentur curuæ ad eandem par tem, ſi curuitas arcus uiſi ſit minor curuitate imaginis ſuę chordæ: & quandoq ad partes diuerſas, ſicut interſectione duorum circulorũ inæqualium ſuperficies incluſa: & harum imaginum eſt multa diuerſitas, quá ex præmiſsis principijs diligenti ſolertiæ relinquimus exquirendam. In his itaq ſpeculis imago lineę rectę apparet curua, & lineę curuę imago ſemper uidetur curua: & quandoq apparet uiſui recta. Et quod oſtendimus de lineis, accidit etiam in ipſis ſuperficiebus planis concauis & conuexis per lineas, quæ inſunt illis ſuperficiebus: & idem penitus eſt in lineis longitudinis & latitudinis ipſarum. Si autem proponatur uiſui in his ſpeculis corpus curuũ longum, modicum habens latitudinis: apparebit illius corporis curuitas manifeſtè, cũ ipſa diſcerni poſsit per ea, quæ ſunt ſupra corpus, aut circa illud aut infra: non enim bene diſcernitur curuitas non magna, quando occultæ fuerint extremitates longitudinis & latitudinis: unde in corpore conuexitatis modicę, & quantitatis magnæ non bene diſcernitur eius conuexitas, licet imago ipſius ſit conuexa, cum non appareant termini corporis in longitudine uellatitudine, qui termini coadiuuantnõ modicè comprehenſionem conuexitatis.

63. A ſuperficie ſpeculi ſphærici conuexi ex diuerſis ſuperficiebus ſphærarum compoſita, for m æ reflexæ monſtruoſæ imaginis uidentur.

Quia enim diuerſarum ſphæricarum ſuperficierũ diuerſa ſunt centra, & locus imaginis cuiuſq puncti in ſpeculis ſphæricis cóuexis per 11 huius eſt in catheto ſuæ incidentię, ducta à puncto uiſo ad centrum ſpeculi: hæc aũt centra diuerſificantur in huiuſmodi ſpeculis irregularibus: patet ergo quòd formę diuerſorum punctorum in partes diuerſas protrahuntur. Et quoniam à toata ſuperficie fit reflexio, & puncta reflexa ſecundum loca diuerſificantur, non ſecundum eundem ſitum: patet quòd imago tota, quæ ex locis talium punctorum aggregatur & unitur, ſuarum partiũ recipit inordinatũ ſitum. Videtur ergo imago in talibus ſpeculis monſtruoſa: & ſit extenſio uniformis aliquarum ſuarum partium ſecundum uniformem extenſionem illarum ſuperficierũ, & aliarum partium fit deformitas ab alijs. Vnde quædá imaginis partes trahuntur in longũ, quædam in latum, quædã in tranſuerſum, ſecundum quod partes aliquę ſuperficiei ſpeculi reſpiciunt diuerſa centra diuerſarum ſphærarum. Patet ergo propoſitum.

64. Poßibile eſt per plura, quotcun quis uoluerit, conuexa ſphærica ſpecula eiuſdem puncti imaginem uideri. Euclides 15 th. catoptr.

Fiat hic diſpoſitio, quæ in 61 th. 5 huius de ſpeculis planis dicta eſt: ſitq́ a centrum uiſus: & punctus uiſus b: & deſcribatur, exempli cauſſa, polygonium æ quilaterũ

Fig. 665

e d j g k a b
& æ quiangulũ, quod ſit a b g d e: & ad puncta g, d, e ſint ſpecula ſphæ rica conuexa contingentia puncta angulorũ ęqualium: & imaginen tur lineę contingentes ſpecula in eiſdem punctis, ut in puncto g, linea l k. Et quoniam angulus b g k eſt æqualis angulo d g l: palàm per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti b reflectetur à puncto g ad pun ctum d: & eadem ratione à puncto d ad punctum e, & à puncto e ad punctum a. Hoc autem eſt, quod proponebatur.

65. Á ſuperficie unius ſpeculi ſphærici conuexiignem impoßibile eſt accendi: ex plurium tamen compoſitione poßibile.

Quoniam enim, ut oſtenſum eſt in 15 huius, lineę reflexionis formæ eiuſdem puncti à diuerſis punctis eiuſdem ſpeculi ſphærici conuexi non ſunt æquidiſtantes, attamen in centro unius uiſus non concurrunt: ergo neq radij ſolares uel alij, ſuperficiei huius ſpe culi incidentes in aliquo unquam puncto poſſunt cócurrere, ſed diſperguntur in ipſo medio. Non ergo illi radij aggregati unquá corpus aliquo modo quodcunq etiá ipſum ſit combuſtibile, poſſunt incendere, ut reflectuntur à ſuperficie ſperculi unius: ex plurium tamen ſpeculorum compoſitione poſſet aliquid huiuſmodi effici, ita ut à quolibet illorum ſpeculorũ uno puncto reflecteretur unus radius ad unum punctum, cum aliorum ſpeculorum radijs concurrens: & ſic ſortificaretur actio ra diorum in illo puncto, & ſecundum numerum ſpeculorum ſieret numerus radiorum, & unio uel aggregatio uirtutis. Hæc autem ſpeculorum compoſitio plus eſſet difficilis quàm utilis: unde tali operi nos non dignum credimus inſiſti. Patet itaq propoſitum.

page 268
▼ Liber VII ▼