Friedrich Risner, Vitellonis De Optica: Liber VII
▲ Liber VI ▲

Vitellonis filii thvringorvm et polonorvm opticae liber septimvs.

O Rdinis realis ſeries nos admonet, ut qui planorũ ſpeculorũ & ſphæricorum conuexorũ paßiones proprias, prout potuimus, trãſcurrimus: nunc ad ſpecu lorũ columnariũ & pyramidaliũ proprietates diuertamus. Sunt enim ſpe culorũ iſtorũ aliquæ paßiones ex paßionibus præmiſſorũ ſpeculorũ conξtan tes uel cõpoſitæ, ſicut & figuræ iſtorum ſpeculorũ ex figuris illorum præmiſſorũ ſpeculorum aliqualiter cõponuntur. Speculũ enim columnare cum ſit pars columnæ rotundæ (ſicut in 8, 14 & 15 th. 5 huius declarauimus.) palàm ex præmißis in primo libro huius ſcientiæ, & in principijs 11 Euclidis quoniam fit ex tranſitu quadrilateri rectanguli, quod uno ſuorum laterum fixo, motis alijs, circumducitur, quouſ redeat ad locũ, un de motus accepit principiũ. Speculũ quo pyramidale cauſſatur ex motu trigoni rectan guli, cuius unũ laterũ rectum angulum continentiũ figitur, & alia duo modo præmiſſo, quouſq ad locũ, unde moueri cæperunt, circumducuntur. Vtrumq ergo iſtorum ſpeculorum, quia ex motu linearũ rectarum ortũ habet, palàm quia rectarũ linearũ paßiones proprias non euadit. In quantum uerò illæ lineæ cauſſant circulorũ figuras, cũ circulariter circumferuntur: in tantũ bæc ſpecula paßiones circulares, hoc eſt ſphæricas, quarum origo eſt circulus, cõmuniter conſequuntur: & hoc maximè in ſpeculis columnaribus euidentius apparet, prout manifeſtabimus in proceſſu. Propriè uerò istorũ ſpeculorũ paßiones, ut illæ, quæ ſecundum oxygonias ſectiones accidunt, quæſolis his ſpeculis, ſiue ſint conuexa, ſiue concaua, conueniunt, ex quadam cõmuni naura linearum rectarum & motus accidunt in illis: hæc ergo ſpecula posteriorẽ ordinem recipiunt ad plana ſpecula & ſphærica conuexa. Prius uerò de his ſpeculis columnaribus & pyramidalibus conuexis proſequemur, quàm de quibuſcun concauis & ſphæricis, propter ſimplicitatem paßionum ſpeculorum conuexorum reſpectu concauorum, ut illarum, quæ in alias deſcendunt, Quæ uerò præmittimus, ſunt iſta.

Definitiones.

1. Maius ſpeculum columnare uel pyramidale conuexum uel concauũ dicimus, quod eſt pars maioris columnæ uel pyramidis: & minus, quod eſt pars minoris. 2. Axem ſpeculi columnaris uel pyramidalis dicimus axem illius columnæ uel pyramidis, cuius pars ſpeculum exiſtit. 3. Baſes ſpeculorũ propoſitorũ dìcimus baſcs ſuarum columnarum uel pyramidum quarumcunq. 4. Diametrũ uiſualem dici mus lineam à centro uiſus perpendicularem ſuper ſuperficiem ſpeculi & ad axem productam: & eadẽ dicitur cathetus reflexionis. 5. Cathetus incidentię dicitur, ut prius, linea pep endicularis ducta à puncto rei uiſæ ſuper lineam, quæ eſt cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi: utpote ſuper lineam rectã, quæ eſt linea lon gitudinis ſpeculi, uel ſuper circulũ, uel ſuper oxygoniã ſectionẽ, ſecundum quod ab aliqua iſtarum linearum reflexio procedít. 6. Finis contingentiæ dicitur punctus, in quo altera cathetorum ſecat lineam in puncto reflexionis ſpeculum ſecun dum circulum uel ſeɔtionem oxygoniam contingentem. 7. Metam locorum dicimus, ut in ſpeculis ſphęricis, punctũ uel lineam, ultra quã imagines nõ uidentur.

Theoremata

1. Oppoſito uiſui ſpeculo colũnari uel pyramidali conuexo orthogonaliter erecto, ita ut uiſus non ſit in ſuperficie ſpeculi, aut ei continua: linea recta à centrc uiſus ducta, cum axe ſpeculi in page 269 uertice acutum angulum tenente: à parte ſuperficiei ſpeculi interiacente ſuperficies contingentes ductas à centro uiſus ad ſpeculi ſuperſiciem ſolùm fit reflexio ad uiſum. Alhazen 35 n 4.

Hoc, quod hic proponitur, uniuerſaliter cõuenit ſpeculo columnari conuexo, ſiue ſecundũ angulum rectũ ſiue ſecundũ acutum ſibi incidat linea uiſualis: ſemper enim ſicut per 78 th. 4 huius oſtenſum eſt, minus medietate ſuperficiei columnaris uiſui occurrit, & abilla ſolùm fit reflexio ad ui ſum. Hæc aũt ſuperſicies ſpeculi columnaris contenta eſt duabus ſu

Fig. 666

a b f g c d n
perſiciebus à cẽtro uiſus productis, ſecundũ lineã lõgitudinis cõtingentibus columnã. Et quoniã huius paſsionis idẽ eſt demon ſtrandi modus in utroq: ꝓpoſitorũ ſpeculorũ: difficilius uerò in pyramidalibus, ſufficit, exẽpli cauſſa, propoſitũ in ſpeculis pyramidalibus demonſtrari. Sit itaq ſpeculum pyramidale conuexum, cuius axis ſit a d: & uertex a: diameter baſis c n: centrũ baſis d: & ſit hæc pyramis erecta ſuper ſuperficiem horizontis, ita quòd non inclinetur ſuper illam: & ſit centrũ uiſus b: cõcurratq́ linea b a à uiſus centro ad uerticem ſpeculi producta cum axe datæ pyramidis, continens cum ipſo angulum acutũ, qui eſt d a b. Dico quòd ſolùm à parte ſuperficiei conicæ huius pyramidis, quæ interiacet ſuperficies contingentes ductas à centro uiſus ad eandẽ ſuperficiem, fit reflexio ad uiſum. Imagi nemur enim ſuperficiẽ à centro uiſus prodeuntẽ, quæ ſecet pyramidem orthogonaliter per axem: & palàm per 100 th. 1 huius quoniam cõmunis ſectio illius ſuperficiei, & ſuperficiei pyramidis erit circulus æquidiſtans baſi pyramidis. Sit ergo ille circulus f g: & à centro uiſus ducantur duæ lineæ b f & b g illum circulum contingentes per 17 p 3: & per 101 th. 1 huius ducantur à punctis f & g duę lineę longitu dinis pyramidis, quę ſint c f a, & n g a. Palàm itaq quoniã ſuperficies, in qua ſunt lineę c f a & linea b f continget pyramidem. Si enim dicatur quòd ſecet illam, & nó con tingit: palàm quoniá linea b f, quæ eſt in illa ſuperficie, ſecabit circulũ f g, & non cõtinget: ducta autem eſt ad contingentiam: ſecare igitur eſt impoſsibile. Superficies ergo illa pyramidem cõtinget. Et ſimiliter oſtendendum eſt de ſuperficie, in qua ſunt lineę n g a & b g, quòd & illa pyramidem con tingat. Superficies ergo pyramidis interiacẽs has duas ſuperficies contingentes, uiſui occurret, & ſolùm ab hac fiet reflexio ad uiſum: quia, ut per 16 th. 2 huius oſtẽſum eſt, longior radius ad circulũ columnæ uel pyramidis rotundarũ perueniens, quaſi linea contingens eſt. Patet ergo propoſitum: quoniam in ſpeculo columnari eſt ſimiliter demonſtrandum.

2. Si à centro oculi ad lineas, quæ ſunt termini ſuperficierũ ſpeculorum columnarium uel pyramidalium conuexorum apparenlium uiſui, duæ ſuperficies reflexionis producantur: neceſſe eſt per ipſas ambas ſpeculum contingi. Alhazen 26 n 4.

Verbi gratia, ſint conuexo ſpeculo columnari, quod ſit d f e g, duæ

Fig. 667

a e g c b d h f
lineæ longitudinis, quæ ſint d e & f g: ſintq́ illæ lineæ termini ſuperfi ciei columnæ ſpeculi apparentis uiſui, ut patet ex præmiſſa & per 78 th. 4 huius: & ſit centrũ uiſus a: productisq lineis a d, a f, a g, a e: erunt ſuperficies trigonę a d e, & a f g. Drco quòd illæ ſuperficies contingẽt columná. Si enim dicatur q altera ipſarũ ſecat columná, ut ſuperficies a d e, planũ eſt quòd illa ſectio erit ſuper lineá longitudinis d e, in quá cadit illa ſuperficies: & ſimiliter erit procedendú ſi ſuperficies a f g ſecet columná: & ſit ſectio ſuper lineã f g. Sit ergo, ut ſuperficies plana pertranſiẽs centrũ uiſus, ſecet columná ęquidiſtanter baſibus: eritq́ per 100 th. 1 huius ſectio cõmunis illi ſuperficiei & ſpeculi circulus, qui ſit b c: hic ergo tranſit per duas lineas longitudinis d e, & f g: ducantur ergo lineæ a b & a c ad hunc circulum. Hæ ergo cum ſint in illis ſuperficiebus ſecantibus ſuperficiem columnę, ſecabunt circulum b c: minus ergo uidebitur de arcu b c, quàm ſit illud, quod ſub lineis circulũ b c contingentibus à centro uiſus puncto ſcilicet a ductis continetur, quod eſt contra ea, quæ declarata ſunt in 51 th. 4 huius: & ſimiliter de baſibus columnæ declarandum. Non erunt ergo il Iæ ſuperficies productæ ad terminos ſuperficiei columnæ a pparentis uiſui, ſed citra illas: quod eſt contra hypotheſim. Eodem modo quoq eſt de ſpeculis pyramidalibus demonſtrandũ: & ſequitur idẽ impoſsibile, quod prius, per 84 th. 4 huius: quod eſt contra hypothe ſim. Patet ergo propoſitum.

3. Cõmunis ſectio omnium ſuperficierum à uiſu productarũ, contingentiũ ſpeculũ columnare cõuexum, eſt linea tranſiens centrum uiſus æquidiſtanter axi illius ſpeculi. Alhazen 26 n 4.

page 270

Quod hic proponitur, patet. Eſto enim axis ſpeculi columnaris conuexi h k i: & baſis ſuperior c‡ lumnæ circulus f d: cuius centrum ſit h: & interior baſis circulus g e: cuius centrum i: & communis ſectio alicuius ſuperficiei reflexiõis & ſuperficiei ſpeculi columna

Fig. 668

m f h d b k j p q g i e a
ris ſit circulus b l: cuius centrum k. Cum itaq axis h i, qui orthogo nalis eſt ſuper baſes, ut patet per 92 th. 1 huius, ſit etiam orthogona lis ſuper circulũ b l per 100 & per 23 th. 1 huius: & per eadem ſint lineæ longitudinis columnæ d e & f g orthogonales ſuper circulum b l. Superficies ergo contingentes columnã ſecundum illas lineas d e & f g, erectæ erunt ſuper circulum b l per 18 p 11: ergo & ſuper ſu perficiem reflexionis, ſecantẽ columná ſecundũ illum circulum b l: ergo per 19 p 11 cõmunis ſectio illarũ ſuperficierum contingentiũ columnã orthogonalis erit ſuper illam ſuperficiẽ reflexionis. Ergo per 6 p 11 illarũ ſuperficierũ cõmunis ſectio æquidiſtans erit axi co lumnæ, qui ſuper eandem ſuperficiem eſt orthogonaliter erectus. Secant aũt illæ ſuperficies ſe in centro uiſus: quoniam centrum ui ſus in omnibus illis exiſtit, ut patet ex hypotheſi de ſuperficiebus planis ſpeculum propoſitum contingentibus, & de ſuperficie refle xionis ex 27 th. 5 huius. Patet ergo propoſitum.

4. Ad quodcũ punctũ ſignatũ in ſugnatũ in ſuperficie apparẽte ſpecu li colũnaris uel pyramidalis cõuexi à centro uiſus ducatur linea rect a: illa product a neceſſariò ſpeculũ ſecabit. Alhazen 27 h 4.

Sit diſpoſitio omnimoda præmiſſæ: ſigneturq́ in apparẽte uiſui portione ſpeculi, quę eſt e d f g, punctus q: & producatur linea a q. Dico quò d linea a q ꝓducta neceffariò ſpeculũ ſecabit. Producatur enim à puncto q linea longitudinis columnæ, quæ fit q m, ք 101 th. 1 huius: hæc itaq linea erit æquidiſtans ambabus lineis longitudinis d e & f g per 92 th. 1 huius, 6 p 11 & 30 p 1. Sit quoq ut fuperficies aliqua reflexionis ſecet columná ultra punctũ q ſecundũ circulum b l per 100 th. 1 huius. Linea ergo q m neceſſariò tráſibit per circulũ ſectionis, qui eſt b l, ſecás ipſum in pũcto: ſit ergo illud pun ctũ p: ducaturq́ linea a p. Hæc ergo, quia caditinter lineas à centro uiſus a ad circulũ b l ꝓductas il lum cõtingentes, quæ ſunt a b & a l, palã quia ſecabit circulum. Ergo etiã ſuperficies à centro uiſus ad ſpeculi ſuperficiem protenſa, in qua ſunt lineę a p & a q, ſecabit ſpeculũ: quia illa ſuperficies ſeca bit ſuperficiẽ columnaris ſpeculi ſecundũ lineam longitudinis, quæ eſt m q. Palàm ergo quoniam linea a q ꝓducta ſecabit ſpeculũ: eodẽq́ modo patet de quolibet a

Fig. 669

m f y d z b j s n p t r o g i e a
lio dato puncto. In ſpeculis quoq pyramidalibus cõuexis eodem modo demonſtrandũ, ducta linea à uertice pyramidis ad punctum quẽcunq in illius ſpeculi ſuperficie datũ. Palàm eſt ergo ꝓpoſitũ.

5. Omnis ſuperficies plana in aliqua linea lõgitudinis ſuperficiei apparentis uiſui ſpeculi colũnaris uel pyramidalis conuexi, contingens ſpeculũ, ſecat ſuperficies à uiſu productas, quæ cõtingunt portionis apparentis extremitates: omnes́ illæ ſuperficies inter uiſum & ſpeculi ſuperficiẽ extenduntur. Alhazen 27 n 4.

Maneat ſuperior diſpoſitio: cõtingatq́ aliqua ſuքficies plana ſuperficiẽ apparentẽ ſpeculi ſecundũ lineã lõgitudinis, quę eſt m o, ք 95 th. 1 huius: ducaturq́ ſuքficies reflexiõis, quę ſit a b l: & in ea ꝓ ducatur linea cõtingẽs circulũ b l in pũcto p, quę ſit s p t. Palã ergo q  linea s p t ſecabit lineas a b & a l. Ducatur enim linea p l. Quia ergo linea s p t ſecat angulũ a p l, patet ք 29 th. 1 huius quoniá ipſa fecabit lineã a l. Similiter ducta linea p b, patet q  linea s p ſecabit lineã a b: palá ergo quoniá lineę a l & p t cõcurrent. Sed linea p t eſt in ſuքficie cõtingẽte columná ſecundũ lineã lõgitudinis m o: linea uerò a l eſt in ſuքficie cõtingẽte columnã ſecũdũ lineá lõgitudinis d e, quę eſt extremitas portionis apparẽtis. Patet ergo ꝓpoſitũ pri mum. Sed & oẽs tales ſuքficies, qualis eſt ſuքficies, in qua eſt linea s t, inter uiſum & ſpeculi ſuքficiẽ extenduntur. Et de ſpeculi quidẽ ſuperficie patet, cũ ſint illę ſuperficies cõtingentes ipſam ſpeculi ſu perficiẽ, & nõ ſecantés illá: ſed & patet de cetro uiſus. Sit enim pun ctum n proximũ punctũ ſignabile ſub puncto b, in arcu l b: & imaginetur aliqua ſuperficies cõtingens ſuքficiẽ colũnę in linea lõgitu dinis, in qua ſit punctus n: hæc ergo neceſſariò ſecabit ſuքficiẽ refle xionis, quę eſt a b l: quoniá eſt orthogonalis ſuper illã per 18 p 11. Sit itaq ſuperficiei reflexióis, quę a b l, & dictę ſuperficiei cómunis ſectio linea recta, quę ſit n r. Palàm ergo ք pręmiſſa quoniá linea n r cõtingit circulũ b n in pũcto n: ſed punctũ n demiſsius eſt pũcto b: page 271 ergo cõtingẽs linea, quę n r, erit demiſsior linea cõtingẽte, quę eſt a b, ք 60 th. 1 huius. Nõ ergo pertinget linea n r ad punctũ a centrũ uiſus. Eodẽ modo demõſtrandũ in alijs ꝗ buſcũq ſuperficiebus taliter cõtingentibus ſuperficiem apparentem ſpeculi columnaris. Similiter quoq dem onſtrandũ eſt de ſuperficiebus contingentibus ſpecula pyramidalia quæcunq. Patet ergo propoſitum.

6. Omnis ſuperficies reflexionis, in qua ſunt linea contingens baſim ſpeculi columnaris uel pyramidalis conuexi & linea longitudinis eiuſdem ſpeculi: idem ſpeculum ſecũdum lineam ſuæ longitudinis neceſſariò eſt contingens.

Hoc patet per modum 2 huius: quoniam eadem huius & illius eſt demõſtratio. Sit enim, reſumpta figura præ cedenti, ſuperficies reflexionis g a f, in qua ſit linea z f contingens columnam uel pyramidem in puncto f, & linea longitudinis columnæ uel pyramidis, quę ſit g f. Dico quòd illa ſuperficies reflexionis continget columnam uel pyramidem. Si enim de

Fig. 670

y f d y g i e c
tur quòd illa ſuperficies columnam uel pyramidẽ ſpeculi ſecet: tunc & linea z f b a ſim illius ſpeculi ſecabit: quod eſt contra hypotheſim. Palàm ergo propoſitum.

7. Oppoſito uiſui ſpeculo columnari uel pyramidali cõuexo, ita ut centrum uiſus non ſit in ſuperficie columnæ uel pyramidis, & punctus rei uiſæ ſit cum uiſu in eadem ſuperficie ſpeculum ſecundum axem ſecante: communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei apparentis ſpeculi erit linea longitudinis ſpeculi: & ſi illa communis ſectio ſit linea longitudinis, ſuperficies reflexion is ſecat ſpeculum per axem. Alhazen 29 n 4.

Sit ſpeculum columnare cõuexum, cuius axis ſit h i: cuius ſuperficies apparens uiſui ſit e d f g: ſitq́ a cẽtrum uiſus, & b punctum uiſum: ſecetq́ ſuperficies reflexionis (in qua per 27 th. 5 huius neceſ ſariò ſunt puncta a & b) ipſum ſpeculum ſecundum axem h i. Dico quod communis ſectio illius ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei e d f g, eſt linea longitudinis ſpeculi. Quoniam enim per 93 th. 1 huius cõmunis ſectio illius ſuperficiei planę & ſuperficiei totius column æ ſpeculi eſt quadrangulum rectangulum ſub duabus lineis longitudinis & duabus diametris baſium columnę contentum, cum ſuperficies reflexionis tranſeat per centrum uiſus, cui directè in ſpeculo opponitur ſuperficies apparens uiſui, per 1 huius: patet quòd communis ſectio illarum duarum ſuperficierum erit linea una longitudinis, quæ eſt unum latus illius rectanguli, quod eſt communis ſectio illius ſuperficiei planæ & ſuperficiei totius columnæ. Similiter quoq patet per 90 th. 1 huius de ſpeculo pyramidali: quoniam communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei conicæ ſpecu

Fig. 671

m f y d o g i c a
li uiſui apparentis, eſt unum latus illius trigoni (qui eſt communis ſectio huius planæ ſuperficiei & totius ſuperficiei ipſius pyramidis ſpeculi) quod eſt una linearum longitudinis pyramidis. Patet ergo propoſitum.

8. Omnium ſuperficierum planarum ſuperficiem ſpeculi columnaris uel pyramidalis conuexi contingentium unica ſuper ſuperficiem reftexionis ſpeculum ſecundũ axem ſecãtem eſt erecta, ut quæ ſecundum communem ſectionem illius ſuperficiei & ſpeculi, lineam ſcilicet longitudinis, ſuperficiem apparẽtem ſpeculi per æqualia diuidentem, ſpeculum eſt contingens.

Sit ſpeculum columnare conuexum, cuius apparens uiſui ſuperficies ſit e d f g: & axis h i: ſitq́ centrum uiſus punctum a: & communis ſectio ſuperficiei reflexionis ſpeculum ſecundũ axem ſecantis & ſpeculi ſit linea longitudinis, quæ m o, per æqualia diuidens ſuperficiem e d f g: cõtingantq́ ſuperficiẽ ſpeculi ſuperficies planæ quotcunq Dico quòd unica illa, quæ ſecũdum lineam longitudinis m o ſpeculum contingit, erecta eſt ſuper illam ſuperficiem reflexionis: & quòd omnes aliæ ſuper ipſam ſunt obliquatæ. Vtenim patet per 92 th. 1 huius linea m o rectos eſt angulos cõtinens cum ſemidiametris baſium columnæ, & ſimiliter cum ſemidiametris omnium circulorum baſibus illis æ quidiſtantium, ſecantium columnam, ut patet per 100 & per 23 th. 1 huius: palàm quoq per 96 th. 1 huius quoniam omnes perpendiculares, quæ intra columnam ducibiles ſunt ſuper ipſam ſuperficiem contingentem ſpeculum, neceſſariò tranſcunt per axem ſpeculi: omnes uerò illæ perpendiculares cadunt in page 272 ſuperficie ſpeculum ſecundum axem ſecante, Ergo per definitionem illa ſuperficies contingẽs eſt erectaſuper ſuperficiẽ illam reflexionis. Omnes ergo aliæ ſuperficies dictã ſuperficiẽ ſpeculi ſecundum alias lineas longitudinum contingẽtes, ſuper illam ſuperficiem reflexionis ſunt obliquæ. Aliter enim cum illæ ſuperficies contingẽtes ſe neceſſariò interſecent: ſi ab aliquo puncto lineæ (quæ per 3 p 11 eſt communis ſectio illarum ſuperficierum) duæ lineæ in illis ſuperfi ciebus contin gentibus ad ſuperficiem reflexionis perducantur, qũarum extremitates in ipſa ſupe rſicie reflexionis per lineam tertiam coniungantur: erũt procreati illius trigoni duo an

Fig. 672

f y d z c g i e a g
guli recti: quod eſt impoſsibile. Non eſt ergo aliqua aliarum ſuperficierum ſpeculum contingẽtium ſuper illam ſuperficiem reflexionis erecta: niſi unica in illa communi ſectione ſpeculum contingẽs. Et eodẽ modo in ſpeculis pyramidalibus poteſt demonſtratio formari. Patet ergo propoſitum.

9. Oppoſito uiſui ſpeculo columnari conuexo, ita ut uiſus non ſit in ipſa ſuperficie columnæ, & punctus rei uiſæ ſit cum uiſu in eadem ſuperficie æquidiſtanti baſibus columnæ: communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi erit circulus equidiſtans baſibus columnæ. Alhazen 30 n 4.

Eſto columnare ſpeculum cõuexum, cuius axis ſit h i: & baſis ſuperior circulus f d: inferior baſis circulus g e: & ſit centrũ uiſus pũctum a: & punctum rei uiſæ ſit b: ſitq́ ſpeculum directè uiſui oppoſitum, ut proponitur. Dico quòd ſuperficies reflexionis (quæ ſit a b c z) ſecabit ſuperficiem propoſiti ſpeculi taliter, quòd communis ſectio, quę ſit c z, erit circulus æquidiſtãs baſibus ſpeculi. Hoc enim patet ex hypotheſi, & per 100 th. 1 huius: uel etiam hoc modo. Ducantur enim duæ lineæ productæ à uiſu contingentes ſpeculũ, quæ ſint a z & a c: ſintq́ z & c puncta contingentiæ oppoſita adinuicem in eadem ſuperficie: & ab utroq illorum pũctorum ducantur lineæ ſecundum longitudinem columnæ, quæ ſint d c e & f z g. Et quoniã linea d c eſt æ qualis lineæ f z, & linea c e æ qualis lineæ z g ex hypotheſi & per 25 th. 1 huius, propter æ quidiſtantiam baſium ſpeculi & ſuperficiei reflexionis: palàm quia linea z c (quæ eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei & ſpeculi) ęquidiſtabit arcubus baſium, qui ſunt d f & g e. Ductis enim rectis lineis d f, c z, g e, erunt illæ lineæ rectæ æquidiſtantes per 33 p 1: ergo & hæ curuæ, quæ in eiſdẽ ſunt ſuperficiebus, erunt æquidiſtantes: & ſunt circulares: quoniam ſunt æ quidiſtantes in eadẽ ſuperficie columnari. Patet ergo propoſitum.

10. Oppoſito uiſui ſpeculo columnari uel pyramidali conuexo, it a ut uiſus non ſit in ſuperficie colũnæ uel pyramidis, ſuperficie reflexionis obliquè axi ſpeculi incidente: communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi erit oxygonia ſectio. Alhazen 31 n 4.

Fig. 673

f h d g i e b a

Eſto, ut in præmiſsis, ſpeculum columnare uel pyramidale conuexum, cuius axis ſit linea h i: & ſuperficies eius apparens uiſui ſit e d f g: ſitq́ centrum uiſus punctum a: & punctus rei uiſæ b: ſecetq́ ſuperficies reflexionis ſpeculum obliquè trans axem, ſcilicet non æ quidiſtanter baſibus columnæ. Dico quòd communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi uiſui apparentis eſt pars oxygoniæ ſectionis. Quoniam enim per 103 th. 1 huius patet quòd omnis ſuperficiei ſecantis columnam uel pyramidem trans axem non æquidiſtãter baſibus & ſuperficiei totius pyramidis uel colum n æ communem ſectionem circulũ eſſe eſt impoſsibile, uel etiam lineam longitudinis per 7 huius, cum talis ſuperficies plana nõ ſecet pyramidem uel columnam ſecundum axis longitudinem: patet quòd communis ſectio ſuperficiei reflexionis (quæ plana eſt) & partis ſuperficiei ſpeculi pyramidalis uel columnaris oppoſitæ uiſui non poterit eſſe arcus circuli, neq linea longitudinis. Erit ergo pars ſectionis oxygonię: quia totam talem ſectionem totius ſuperficiei pyramidalis uel columnaris, & ſuperficiei p lanæ ſecantis pyramidem uel columnam diximus oxygoniam ſectionem in 98 th. 1 huius. Patet ergo propoſitum.

11. Communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris circulo exiſtente: omnes ſuperficies planæ ſpeculum contingentes, ſuper ſuperficiem reflexionis ſunt erectæ.

page 273

Remaneat diſpoſitio, quæ præceſsit in 9 huius. Et quia per 95 th. 1 huius omnes planæ ſuperficies columnam contingentes, ſecundum lineam longitudinis contingunt, patet per 92 th. 1 huius, cum omnes lineæ longitudinis rectos angulos cum ſemidiametris baſium contineant, quoniam omnes ſuper illas baſes ſunt erectæ. Ergo per 100 & 23 th. 1 huius illæ lineæ omnes ſunt erectæ ſuper circulum æquidiſtantem baſibus columnæ. Hic autem eſt circulus (qui eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi per 9 huius.) Ergo per definitionem ſuperficierum erectarum ſuper ſuperficies, omnes illæ ſuperficies contingentes columnam, ſuper præfatam ſuperficiem reflexionis eriguntur. Quod eſt propoſitum.

12. Communem ſectionem ſuperficiei reflexionis & ſpeculi pyramidalis conuexi circulum impoßibile eſt eſſe. Alhazen 41 n 4. Item 50 n 5.

Sit pyramidale ſpeculum conuexum a b c: cuius uertex a: diameter baſis b c: ſitq́ axis ſpeculi linea a d: eſt ergo per 89 th. 1 huius punctum d centrum baſis: ſitq́ centrum uiſus e: & punctus rei uiſæ ſit f. Dico quod forma puncti f non poteſt reflecti ad uiſum e ab aliquo puncto ſpeculi propoſiti, ita ut communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit circulus.

Fig. 674

a f m h k g n e b d e
Si enim hoc ſit poſsibile: eſto quòd reflectatur forma puncti f ad uiſum e à puncto ſpeculi g: ſitq́ circulus g h communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi: cuius centrum ſit k: eritq́ per 100 th. 1 huius circulus g h æ quidiſtans baſi b c. Producatur ergo à puncto g extra ſpeculum linea g m perpendiculariter ſuper ſuperficiem contingentem pyramidem in puncto g per 12 p 11. Quia uerò ſuperficies baſis non eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem contingentem pyramidem in puncto g: ideo quòd omnis ſuperficies contingens pyramidem ſecundum lineam longitudinis eſt contingens, ut patet per 95 th. 1 huius, & linea longitudinis obliquè ſuperſtat ſuperficiei baſis: palàm quòd ſuperficies circuli h g ę quidiſtantis baſi, non eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem ſpeculum contingentem in puncto g. Producta ergo linea perpendiculari, quæ eſt g m, intra pyramidem: palàm quòd ipſa non pertinget ad centrum circuli, quod eſt k, ſed cadet ſub illo in alio puncto axis, qui ſit punctus n: & continebit linea m g n acutum angulum cum axe uerſus punctum uerticis, ſcilicet angulum g n a, qui neceſſariò eſt acutus per 32 p 1, ideo quò d angulus g k n eſt rectus per 29 p 1: cum angulus a d c ſit rectus. Et quoniam, ut patet per 27 th. 5 huius, punctum m, qui eſt terminus lineæ perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi (quæ perpendicularis eſt linea n g m) in ſuperficie reflexionis conſiſtere eſt neceſſe: linea ergo h k g non eſt in illa ſuperficie. Palàm ergo quòd formę puncti f ad uiſum e non fiet reflexio à puncto ſpeculi g, ut à puncto circuli. Si enim fieret reflexio à puncto g, ut à puncto circuli g h: oporteret neceſſariò ſuperficiem circuli g h perpendicularem eſſe ſuper ſuperficiem planam contingentem ſpeculum in puncto g, & perpendicularem m g produci ad centrum circuli k: quod eſt impoſsibile per præmiſſa. Patet ergo propoſitum.

13. Oppoſito uiſui ſpeculo pyramidali conuexo, it a ut uiſus non ſit in ſuperficie pyramidis aut ei continua, punctus́ rei uiſæ ſit cum centro uiſus in eadem ſuperficie æquidiſtante baſi pyramidis: impoßibile eſt reflexionem fieri ad uiſum.

Exiſtente enim tali diſpoſitione centri uiſus & puncti rei uiſæ, reſpectu ſpeculi pyramidalis conuexi, ut proponitur: palàm per 100 th. 1 huius, cum ſuperficies reflexionis ſit ſuperficies plana, quia communis ſectio ſui & ſuperficiei conicæ ſpeculi eſt circulus. Patet ergo propoſitum per præmiſſam. Eſt enim in illa oſtenſum impoſsibile eſſe, ut communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi pyramidalis conuexi ſit circulus. Quia ſi ſectio illa communis eſſet circulus, eſſet ipſa per 100 th. 1 huius æquidiſtãs baſi ſpeculi, & eſſet ſuperficies illius circuli in ſuperficie reflexionis. Et quia axis a d eſt perpendicularis ſuper illum circulum per 23 th. 1 huius: erunt lineæ longitudinis pyramidis declinatæ ſuper illum circulum angulos acutos continentes cum diametris baſis: & ita eſſent illæ lineæ obliquæ ſuper ſuperficiem reflexionis. Ergo in illa ſuperficie non poſſet duci perpendicularis ſuper lineam longitudinis: ſed per 27 th. 5 huius perpendicularis ducta ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum ſecundum punctum reflexionis, eſt in ſuperficie reflexionis & perpendicularis ſuper lineam longitudinis: cum quælibet ſuperficies contingẽs pyramidem, contingat illam ſecundum lineam longitudinis. Ergo nunquam fiet reflexio ad uiſum in h o c ſitu ſormæ alicuius pũctorum rei uiſæ, ſuperficie reflexionis ſpeculum pyramidale, ut pyramidale, contingente. Si uerò ſuperficies, in qua eſt linea contingens ſpeculi circulum, ſecundum aliquod punctum illius circuli ſecet ſuperficiem ſpeculi: tunc eſt poſsibile ab his ſpeculis, & ab illo puncto circuli reflexionem fieri, non ut à ſpeculis pyramidalibus, ſed in quantum ipſorum cõuexa ſuperficies communicat cum ſpeculis ſphæricis uel columnaribus conuexis, quorum paſsiones declarauimus in præmiſsis: nec tunc hæc paſsio ad proprietatem ſpeculorum pyramidalium accedit. Patet ergo propoſitum.

page 274

14. Superficierum reflexionis (quarum communis ſectio cum ſuperficie ſpeculi pyramidalis eſt linea recta) ſecundum diuerſas uiſus ſituationes quando ſolùm unam, quando plurimas ad eundem uiſum poßibile eſt applicari.

Quocunq enim modo uiſu taliter diſpoſito, ut minus medietate ſuperficiei conicæ pyramidis uideatur per 84 th. 4 huius: tunc ſolùm unica ſuperficies reflexionis tranſit peruiſum, cuius communis ſectio cũ ſuperficie pyramidis ſit linea longitudinis: quoniam unica tunc tranſibit per axem pyramidis. Oſtenſum eſt enim per 7 huius quoniam in omni ſuperficie reflexionis factæ à ſpeculis pyramidalibus (quãdo communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſuerit linea longitudinis ſpeculi) neceſſe eſt eſſe axem ſpeculi. Taliter uerò diſpoſito uiſu, ut tota pyramis uideatur per 92 th. 4 huius, nõ ſolùm plures, ſed etiam inſinitæ ſuperficies reflexionum (quarum communis ſectio eſt linea longitudinis) ut proponitur, poſſunt ad oculum applicari: quoniam tunc centrum uiſus omnibus lineis longitudinis totius ſpeculi eſt commune: & omnes ſe æ qualiter habent ad uiſum. Cum enim radius uiſualis continuus fuerit axi pyramidis: tota pyramis uidetur per 92 th. 4 huius. In qualibet ergo ſuperficie reflexionis ſit totus axis & linea perpendicularis ſuper ſpeculi ſuperficiem, a d axem tranſiens à puncto reflexionis: eritq́ cuiuslibet ſuperficiei reflexionis, & ſuperficiei pyramidalis ſpeculi ſectio linea longitudinis in hoc ſitu: quoniam quælibet ſuperficies, in qua eſt totus axis, communem habet lineam longitudinis illius pyramidis cum ſuperficie pyramidis per 90 th. 1 huius. Patet ergo propoſitum.

15. Omnis ſuperficies reflexionis (cuius communis ſectio & ſuperſiciei ſpeculi columnaris uel pyramidalis conuexi eſt linea longitudinis ſpeculi) per æqualiæ diuidit ſuperficiem ſpeculi apparentem.

Fig. 675

p y d m g x j s p t g i e o a

Eſto ſpeculum columnare conuexũ, cuius apparens ſuperficies uiſui ſit e d f g: & axis h i: & ſit cẽtrum uiſus a, ut prius in præmiſsis. Patet itaq per 7 huius quoniã ſuperficies reflexionis taliter ſecans ſpeculum columnare uel pyramidale, ſecat ipſum ſecundum axis h i longitudinem. Sit autem linea longitudinis, ſecundum quam illa ſuperficies reflexionis ſecat ſpeculum, linea m o. Dico quòd linea m o per æqualia diuidit ſuperficiem ſpeculi e d f g uiſui apparẽtem. Patet enim per 25 th. 5 huius quòd illa ſuperficies reflexionis eſt orthogonalis ſuper ſuperficiem contingentem columnam in linea m o. Si ergo in linea m o ſignetur punctum p: & ducatur linea a p: & â puncto p ducàtur linea t p s in ſuperficie ſpeculum contingente, taliter ut linea s p t contingat quendam circulum columnæ æquidiſtantem baſibus, qui ſit b l: erit linea a p perpendicularis ſuper lineam t p s: quoniam ducitur in ſuperficie ſuper illam ſuperficiem erecta: ergo per 19 p 3 linea a p producta tranſit centrum circuli b l, quod ſit x. Ducanturq́ lineæ a b & a l, quæ ſunt æ quales per 58 th. 1 huius: copulentur quoq ſemidiametri x b & x l. Erunt ergo trigoni a b x & a l x æ quianguli per 8 p 1: & erit angulus p a l æ qualis angul o p a b: ergo per 58 th. 1 huius linea a p diuiditarcũ l p b per æ qualia in puncto p: ſed arcus l p b eſt æ quidiſtans baſibus columnæ. Lin e æ quoq rectæ terminantes ſuperficiem ſpeculi uiſui apparẽtem æ quidiſtant lineę m o: quod patet per 92 th. 1 huius, & per 28 p 1. Linea ita q m o diuidet per æ qualia baſes columnæ: eſt autem linea m o in ſuperficie reflexionis. Palàm ergo quòd illa ſuperficies reflexionis diuidit ſuperficiem ſpeculi apparentem uiſui per æqualia. Et quoniam in ſpeculo pyramidali ſiue unica ſine plurimæ ſint illæ ſuperficies reflexionis, ut patet per præmiſſam, ſemper eadẽ eſt demõſtratio. Patet ergo propoſitũ.

16. Omnium ſuperficierum reflexionum ab eodem ſpeculo columnari cõuexo ad eundem ui
Fig. 676

g y f l r k h p a c l d
ſum factarum unicà eſt, cuius cõmunis ſectio & ſuperficiei ſpeculieſt linea lõgitudinis illius ſpeculi. Alhazen 29 n 4.

Sit diſpoſitio figuræ eadem, quæ in præcedente. Et quia nunquã cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpe culi propoſiti eſt linea longitudinis ſpeculi, niſi ſolùm ſuperficie reflexionis columnam per axem ſecante per 7 huius: in hoc autem ſitu ſuperficies reflexionis (quæ eſt a h i) ſecat ſuperficiem e d f g 275 apparentem uiſui per duo æqualia, ut patet per præmiſſam huius, & ſuperficies tranſiens per axem hi, eſt unica: patet quòd huius ſolius & ſuperficiei ſpeculi communis ſectio eſt linea longitudinis ſpeculi. Si autem dicatur quòd & alia ſuperficies reflexionis eſt, cuius communis ſectio & ſuperficiei ſpeculi eſt linea longitudinis ſpeculi: ergo per 7 huius illa ſuperficies ſecat ſpeculum ſecũdum axem h i. Ducatur ergo in illa ſuperficie linea à centro uiſus ad axem h i, quæ ſit a r k: & ducatur in propoſita ſuperficie reflexionis ſuperficiẽ apparentẽ ſpeculi per æ qualia ſecante, linea a p k. Palàm ergo quòd iſtæ duę rectæ includẽt ſuperficiẽ: quod eſt impoſsibile. Patet ergo ꝓpoſitũ. Vnica enim poteſt imaginari ſuperficies, in qua ſintaxis colũnæ & centrũ uiſus & pũctus rei uiſæ, & nõ plures.

17. Omnium ſuperſicierum reflexionum ab eodem ſperculo columnari cõuexo ad eundem uiſum factarum unica eſt, cuius communis ſectio & ſuperficiei ſpeculi eſt circulus æquidiſtans baſibus columnæ. Alhazen 30 n 4.

Sit diſpoſitio, quæ ſuprà, ita ut cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi ſit circulus. Quia ergo in omni tali ſuperficie reflexionis linea

Fig. 677

f y d b k t p x r z y g i e a
perpendiculariter erecta ſuper ſuperficiem contingẽtem ſpeculum in puncto reflexionis, eſt diameter circuli baſibus columnę æquidiſtantis: & non poteſt eſſe in ſuperficie columnæ, niſi unus circulus æ quidiſtans baſibus columnæ, qui cum centro uiſus ſit in eadẽ ſu perficie: palàm quia omnium ſuperficierum reflexionum ab eodem ſpeculo columnari cõuexo ad eundẽ uiſum factarũ unica eſt, cuius communis ſectio & ſuperficiei ſpeculi eſt circulus æquidiſtãs baſibus columnę. Si enim dicatur quòd ſint plures: ſit communis ſectio unius illarum ſuperficierũ & ſuperficiei ſpeculi linea circularis, quę ſit b p t: alterius uerò x y z: puncta quoq, in quibus axi columnę in cidunt centra illorum circulorum ſint k & r: & producantur lineæ a k & a r à cẽtro uiſus ad illa puncta. Palàm ergo propter æ quidiſtantiam baſium ad iſtas, quoniã in trigono a k r duo anguli ad baſim k r ſunt recti: linea enim k r, cũ ſit pars lineæ h i axis columnæ, ſicut eſt e recta ſuper baſes colũnæ per 92 th. 1 huius: ita & ſuper ſuperficies circulorum illis baſibus æquidiſtãtium per 23 th. 1 huius. Ergo & ſuper diametros illorũ circulorum eſt perpendicularis: ſunt autẽ illæ diametri in lineis a k & a r. Lineà ergo k r eſt perpendicularis ſuper ambas lineas a k & a r: quod eſt impoſsibile. Patet ergo propoſitũ.

18. Superficierum reflexionis (quarum communis ſectio cum ſuperficie ſpeculi colũnaris uel pyramidalis conuexi eſt ſectio oxygonia) plures ab eadem portione apparẽte ſpeculi ad eundem uiſum eſt poſsibile applicari. Alhazen 31. n 4.

Fiat ordinatio figuræ, quæ ſuprà in 15 huius: ſitq́ cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis tranſeuntis per axem h i, linea m o: & cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis æ quidiſtantis axibus columnę circulus b p l. Palàm ex præhabitis, quon am ab omnibus punctis ſuperficiei columnaris m p b & m p l poteſt fieri reflexio ad uiſum a ſecundũ partes ſectionis columnaris. Quia enim ad quodlibet illorum punctorum poteſt aliquis punctus rerum uiſarum incidere: patet quòd à quolibet illorũ punctorum fieri poteſt reflexio ad uiſum per 1 th. huius. Manifeſtum eſt ergo quòd partes illarũ ſectionum columnarium uel pyramidalium poſſunt eſſe infinitæ, quarum quælibet ſecundum eandem lineam perpendicularem ſuper axem ſecat columnam uel pyramidem ſpeculi, ut patet per 104 th. 1 huius. Patet ergo propoſitum.

19. Linea longitudinis exiſtente cõmuni ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columna
Fig. 678

d q f l y o m e d
ris uel pyramidalis cõuexi: à quocun punctorum illius lineæ fiat reflexio ad uiſum, ſemper fit in eadẽ ſuperficie. Alhaz 32. 42 n 4.

Signata, ut in pręmiſſa 15 huius, ſuperficie re flexionis tali, ut proponitur, quæ ſecet ſuperficiem ſpeculi ſecũdum lineam m o. Dico quòd à quocunq puncto illius lineæ fiat reflexio ad uiſum: ſemper omnes lineæ reflexionis erunt in eadem ſuperficie a m o. Quoniam enim in ſuperficie a m o eſt per 7 huius axis h i: & unica ſuperficies contingens ſpeculum in illa linea m o, erecta eſt ſuper ſuperficiem page 276 reflexionis, ut patet per 8 huius: palàm quia quocunq pũcto in illa linea m o ſumpto, perpendicularis ab eo ad axem h i ducta, ſemper erit in eadẽ ſuperficie cũ axe h i: & erit illa linea orthogonalis ſuper ſuperficiem contingẽtem ſuperficiem columnæ ſecundũ illam lineam m o: quia per 18 p 3 illa linea à puncto contactus ad centrũ circuli ducta eſt perpendicularis ſuper lineã, contingentem circulum ductã in ſuperficie columnã contingente. Superficies ergo m o h i eſt erecta ſuper ſuperficiẽ in linea m o ſpeculum contin gentem: ſed centrũ uiſus eſt in ſuperficie orthogonali ſuper eandẽ ſuperficiem: quoniã in ſuperficie una eſt cẽtrum uiſus & linea m o &

Fig. 679

f h d m b k t p g i e o a
axis ſpeculi h i, ut patet per præmiſſa: una ſola autem ſuperficies eſt orthogonalis ſuper illam ſuperficiem contingentem ſecundum lineam m o: quoniam dato oppoſito, contingeret duas lineas ſuper pũctum unum ad ſuperficiem unam orthogonaliter inſiſtere, quod eſt impoſsibile per 13 p 11. Omnes ergo reflexiones à punctis lineæ m o factæ ſunt in una & eadem ſuperficie. Quod eſt propoſitum.

20. Sectione communi ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi, exiſtẽte circulo: à quocun puncto illius circuli fiat reflexio, ſemper fit in eadem ſuperficie. Alhazen 32 n 4.

Fiat figuratio utin 17 huius: & ſignetur quodcũq punctum placuerit in circulo b p t: palàm quoniam ſemper ſemidiameter illius circuli ducta à puncto k centro illius circuli b p t erit perpẽdicularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in illo puncto reflexionis dato: erit ergo quælibet talium perpendicularium producta extrà ſuper ſuperficiem contingentem columnam in eadem ſuperficie conſiſtens tota per 1 p 11: eſt autem illa ſuperficies educta extra colum nam ſuperficies reflexionis. Quia ergo quæ libet talium perpendicularium eſt in ſuperficie illius circuli, & pũctum uiſus, quod eſt a, ſimiliter eſt in ead em ſuperficie. In hac ergo ſola ſuperficie erit reflexio cuiuſcunq puncti rei uiſæ facta à quolibet punctorum totius illius circuli uel portionis ſuæ uiſæ. Quod eſt propoſitum.

21. Omnis perpendicularis à puncto reflexionis ſuper ſpeculi columnaris conuexam ſuperficiem erecta, producta intra ſpeculum eſt diameter cir culi æquidiſtantis baſibus columnæ: & econuerſo. Alhazen 34 n 4.

Sit diſpoſitio figuræ, ut prius: ſitq́ punctum reflexionis p, ſiue communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit linea longitudinis uel circulus uel ſectio columnaris: & à puncto p ducatur linea perpendicularis ſuper ſuperfi

Fig. 680

f h d m u b k l s p t g i e o q z
ciem contin gentem ſpeculum in eodem puncto p: quæ ſit p q. Dico ſi linea p q intelligatur produci intra ſpeculum, quòd ipſa cadet in punctum k, quod eſt centrum circuli b p l: & erit diameter illius circuli. Quia ſi detur, quòd non: cum conſtet per 18 p 3 diametrum k p perpendicularem eſſe ſuper lineam s t contingentem circulum b p l in puncto p, & ex conſequen ti ſuper ſuperficiem in illo puncto contingentem columnam, in qua per 6 huius eſt linea s t: cum etiam linea q p ſit perpendicularis ſuper eandem lineam & ſuperficiem in eodem puncto ſpeculum contingentem: palàm quòd erunt hæ duæ perpendiculares q p & k p coniunctæ in puncto p linea una per 14 p 1: ambæ enim illæ lineæ exeunt ab uno puncto p lineæ s p, & continet quęlibet ipſarum angulum rectum cum eadem: & danti oppoſitum etiam accidit ex eodem puncto p ſuperficiei contingẽtis duas erigi perpendiculares ſuper illam ſuperficiem, quod eſt contra 13 p 11. Producta enim diametro k p extra ſpeculum, ſi ipſa non pertingat ad punctum q: ſit, ut ipſa pertingat ad pũctum z extra ſpeculum ſuper ſuperficiem contingentem: accidet ergo ipſam p z & perpen dicularem q p ſuper eandem ſuperficiem ad idem punctum p productas perpendiculares eſſe: quod eſt impoßsibile. Patet ergo propoſitum primum. Conuerſa quoq patet per eundem modum.

22. Superficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi communi ſectione quacun linea exiſtente: formæ eiuſdem puncti rei uiſæ non fit reflexio ad uiſum eundem, niſi ab uno tantùm illius ſectionis puncto. Alhazen 33 n 4.

Communi enim ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculorum propoſitorum exiſtente linea recta per 7 huius: tunc non fiet refle page 277 xio, niſi ab uno tantùm puncto illius lineæ, ſicut de ſpeculis planis oſtenſum eſt per 45 th. 5 huius. Si uerò communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris fuerit circulus, ut patet per 9 huius: tunc ab uno tantùm puncto illius circulifiet reflexio, quemadmo dum in ſpeculis ſphæricis conuexis oſtenſum eſt per 16 th. 6 huius. Si uerò illa communis ſectio fuerit oxygonia, ut patet per 10 huius: tunc eſt hoc propoſitum in ſpeculis propoſitis ſpecialiter demonſtrandum. Fiat ergo diſpoſitio figuræ, ut in præmiſſa proxima: ſitq́ pars colũnaris ſectionis linea, quæ eſt p u. Dico quòd ab uno tantùm puncto lineæ p u fiet reflexio ad uiſum in illa ſuperficie. Dato enim quocumq puncto alio, palàm quoniam perpendicularis ab illo puncto reflexionis erecta ſuper ſuperficiem columnæ, orthogonalis eſt ſuper lineam longitudinis columnæ perillum punctum tranſeuntis: quare & ſuper axem perpendicularis erit per 29 p 1: & erit illa perpendicularis, diameter circuli æquidiſtantis baſibus ſpeculi per præmiſſam. Et ſuperficies reflexionis & circulus ille ſecant ſe, & linea eis communis eſt diameter illius circuli per 104 th. 1 huius: & diameter illa eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculum in illo puncto contingentem: & ſuperficies reflexionis eſt ſecãs illam lineam longitudinis columnæ, ſuper quam fit contingentia: & eſt declinata ſuper eam: ergo & ſuper axem erit illa ſuperficies reflexionis declinata. Sed in ſuperficie plana ſuper aliquã lineam declinata (ut ſpecualiter patet de ſectione oxygonia per 112 th. 1 huius) non poteſt intelligi niſi una linea orthogonaliter cadens in ipſam lineam uelin ipſum axem: quoniam linea terminans illam ſuperficiem, in uno tantùm puncto ſecat illam lineam, ſuper quam ſuperficies declinatur: ab uno itaq puncto tantùm illius ſectionis fiet reflexio. Si enim à duobus punctis illius ſectionis daretur fieri reflexio ad eundem uiſum: ſequeretur quòd in eadem ſuperficie illius reflexionis eſſent duę lineæ illius ſuperficiei orthogonales ſuper axem columnæ: quod eſſe non poteſt, cum illa ſuperficies ſit declinata ſuper ipſum axem. Perpendicularis enlm ducta à puncto reflexionis, cadit in circulum æquidiſtantem baſibus columnæ in punctum axis: & eſt communis ſectio ſuperficiei circuli & huius ſuperficiei reflexionis per 104 th. 1 huius. Si itaq fieret reflexio etiam ab alio puncto: tunc itẽ perpendicularis ducta à puncto illo reflexionis, eſſet per proximam propoſitionem diameter alterius circuli illi primo circulo æquidiſtantis, & caderet in punctum axis, in quod nõ cadit ſuperficies reflexionis. In omnibus ergo his reflexionum ſuperficiebus ab uno tantum puncto lineæ communis fit reflexio in eadem ſuperficie, reſpectu eiuſdem uiſus: quamuis reſpectu duorum uiſuum poſsit fieri reflexio à duobus púctis ſuperficiei ſpeculi, ut à duobus diametri circuli terminis, quæ eſt perpendicularis ſuper ipſam ſectionem: ita tamen ſi diameter illa ſit æqualis diftantiæ oculorum, uel minor, non aliter: ad unum uerò uiſum hæc fieri non poteſt: quoniã ab illo ſemper uidetur minus medietate columnæ ſpeculi per 78 th. 4 huius. Patet ergo propoſitum: quod nos demũ particularius proſequemur, oſtendẽtes quòd in his ſpeculis quacunq linea communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi exiftentc, ab uno tantum puncto totius ſpeculi fiet reflexio ad uiſum.

23. Linea uiſa non exiſtente in eadem ſuperficie, in qua eſt centrum uiſus & axis ſpeculi columnaris uel pyramidalis cõuexi, ſi linea uiſa reſpectu baſis ſpeculi ſuerit altior uel baßior centro uiſus, ſiue reflexio fiat à linea longitudinis ſpeculi ſiue à circulo: ſemper fiet ſecundum oxygonias ſectiones ſuperficiem ſpeculi ſecundum punct a illarum linearum continua ſecantes.

Fig. 681

a d s f h f h b e g c b c

Sit linea uiſa ſiue ſit recta ſiue curua, quæ b c: & ſit centrum uiſus a: ſitq́ axis ſpeculi columnaris uel pyramidalis cóuexi d e: ducanturq́ lineæ a d & a e continentes cum axe d e trigonum a d e, in cuius ſuperficie non ſit linea b c, ſed extra illã; ſiue ſecet trigonum a d e, ſiue non. Secet ipſum: fiatq́ lineæ b c reflexio ad uiſum a à ſuperficie ſpeculi propoſiti. Palàm autem quòd ab uno puncto ſpeculi tota linea b c ad uiſum a reflecti non poteſt per 29 th. 5 huius. Dico quòd ſi linea b c reflectatur ad uiſum a à linea lõgitudinis ſpeculi, quæ ſit s g (ut ſi linea b c æquidiſtet axi d e, & ſuperficies, in qua eſt linea b c, ſecet ſpeculum trans axem orthogonaliter ſuper baſim ſpeculi: ſecetq́ ſuperficiem, in qua ſunt centrũ uiſus & axis ſpeculi, qui eſt d e, ita quòd communis ſectio illarum ſuperficierum ſit axis d e) fiet tamen reflexiò ad uiſum ſecundum oxygonias ſectiones, quamuis fiat à linea longitudinis ſpeculi, quæ eſt s g. Palàm enim per 27 th. 5 huius quoniam in omni ſuperficie reflexionis oportet ut ſit cẽtrum uiſus, & punctus, cuius forma reflectitur ad uiſum, & punctus ſpeculi, qui eſt punctus reflexionis. Sit ergo, ut punctus b reflectatur ad uiſum a à puncto ſpeculi f: & punctus c à puncto h. Et ducantur lineæ a f, b f, a h, c h. Quià itaq punctus b lineæ b c non eſt in ſuperficie a d e ex hypotheſi: patet quòd ſuperficies ſuæ reflexionis, quæ eſt a f b, ſecat ſuperficiem a d e ſuper punctum a, page 278 & ſuper punctum ſpeculi f: ſecat ergo ipſam ſecundum lineam a f: & ſecat ſpeculum trans axem d e. non autem æquidiſtat baſi ex hypotheſi: quoniam illa linea uiſa, quæ b c, non eſt in ſuperficie a d e, ſed extra illam. Superficies ergo b f a, quæ eſt ſuperficies reflexionis, tranſuerſaliter ſecat axem d e: quoniam linea uiſa eſt altior uel baſsior centro uiſus ex hypotheſi. Communis ergo ſection ſuperficiei reflexionis & ſpeculi per 10 huius eſt oxygonia ſectio. Similiterq́ eſt de puncto c, & quolibet medio puncto lineæ b c. Licet itaq omnia puncta lineæ b c reflectantur ad centrum uiſus a à linea longitudinis ſpeculi: cuiuslibet tamen puncti reflexio ad uiſum fiet ſecundum oxygoniam ſectionem. Similiterq́ demonſtrandum, ſi ſuperficies incidẽtiæ lineæ b c orthogonaliter ſecet axem ſpeculi, & ſuperficiem a d e: tunc enim communis ſectio ſuperficiei incidentiæ lineæ b c & ſuperficiei ſpeculi fiet circulus æquidiſtans baſi ſpeculi per 100 th. 1 huius. Vnde ſi fiat reflexio ad uiſum, fiet ab arcu circuli æquidiſtantis baſi ſpeculi: quælibet tamen ſuperficies reflexionis tranſiens centrum uiſus ſecabit obliquè axem ſpeculi ſecũdum aliquod punctum illius arcus. Licet itaq omnia puncta lineæ b c reflectantur ad uiſum a ab arcu circuli ſpeculi: fit tamen cniuslibet puncti illius lineæ reflexio ſecundum oxygoniam ſectionem. Si tamẽ aliquis punctorum lineæ b c ſuerit cum centro uiſus in eadem ſuperficie æquidiſtanter baſi ſpeculum ſecante: illius ſolius reflexio fiet ſecundum circulum, aliorum uerò omnium punctorum reflexio fiet ſecundũ oxygonias ſectiones: & ſic puncta illius lineæ diuerſas afferent uiſui paſsiones. Patet ergo propoſitum.

24. In omni ſuperficie reſlexionis à ſpeculis columnaribus uel pyramidalibus conuexis, centrum uiſus: punctum uiſum: punctum reflexionis: punctum axis, in quem cadit perpendicularis ducta à puncto reflexionis ſuper ſuperficiem ſpeculi, conſiſtere eſt neceſſe. Alhaz. 23. 34 n 4.

Quòd centrum uiſus: & punctum reflexionis: & punctum reflexum ſintin ſuperficie reflexionis patet per 27 th. 5 huius. In omni enim ſuperficie reflexionis neceſſariò ſunt linea incidentiæ & reflexionis, quæ continent tria puncta prædicta. Et ſi ſuperſicies reflexionis ſecet ſpeculum ſecũdum lineam ſuæ longitudinis: palàm per 7 huius quòd totus axis & punctum, in quod cadit perpendicularis à puncto reflexionis ducta, ſunt in hac ſuperficie. Si uero communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit circulus: palàm quia centrum illius circuli, qui eſt punctus axis, ad quem per 21 huius omnes perpendiculares à puncto reflexionis totius circuli productæ concurrunt, eſt in ſuperficie reflexionis: quoniam tunc totus circulus eſt in ſuperficie reflexionis. Siautem communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit ſectio oxygonia: palàm per 10 huius quia hæc ſectio declinis eſt ſuper axem columnæ, interſecans axem in puncto, cui incidit perpendicularis producta à puncto reflexionis ſuper ſuperficiem contingentem columnam in pũcto ſectionis. Patet ergo propoſitum ſecundum omnem diuerſitatem dictarum ſectionum.

25. In ſuperficie apparente ſpeculi columnaris conuexi ſiue communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſit linea longitudinis ſpeculi, ſiue circulus, ſiue oxygonia ſectio: à quolibet puncto poteſt fieri reflexio aduiſum. Alhazen 28 n 4.

Signentur termini apparẽtis portionis colũnæ, ut prius: & ſit illa portio d e f g: & ſit p punctus datus in ſuperficie illa apparẽte: ſitq́: x punctus rei uiſæ. Dico quòd à puncto p poteſt fieri reflexio formæ puncti x ad centrum uiſus, quod ſit a. Sit enim primò, ut ſuperficies reflexionis (in qua ſunt punctus uiſus, qui eſt x, & centrum uiſus a, & punctus, à quo ſit reflexio, qui eſt p) ſecet columnam ſpeculi ſecũdum axem h k i: erit ergo per 7 huius communis ſectio illius ſuperficiei & ſpeculi linea longitudinis columnæ, quæ ſit m p n. Ducatur itaq linea x p: & à puncto p erigatur linea perpendicularis ſuper lineam m n per 11 p 1, quæ ſit p z: & ſuper punctum p terminum lineæ z p ſiat angulus æqualis angulo x p z, qui ſit z p q. Si itaq centrum uiſus, quod eſt a, ſuerit in linea p q, palàm per 20 th. 5 huius, cum angulus incidentiæ ſit æqualis angulo reflexionis, quoniam à puncto p fiet reflexio formæ puncti x ad uiſum a exiſtentem in linea p q. Quòd ſi ſuperſicies reflexionis ſecet columnam ſpeculi æquidiftanter baſibus: palàm quia communis ſectio erit circulus per 9 huius; fietq́ iterum à puncto p reflexio ad uiſum. Ducatur enim per 102 th. 1 huius circulus æquidiſtans baſibus columnæ, tranſiens per punctum p, qui ſit b p l: cuius centrum ſit k: in cuius ſuperficie extenſa extra ſpeculum ſi fuerit punctum uiſum, & ducatur linea x p, quæ producta ſi tranſeat centrum circuli k: palàm, cum axis columnæ h k i ſit orthogonalis ſuper ſuperficiem Illius circuli, ſicut & ſuper baſes columnæ per 100 & 23 th. 1 huius, quoniam & ipſe axis h k i orthogonalis erit ſuper lineam x p: ergo & linea longitudinis columnæ (quæ eſt m p) erit orthogonalis ſuper lineam x p per 29 p 1. Reflectetur ergo per 21 th. 5 huius linea x p in ſeipſam, & in ea exiſtente uiſu ſorma pũcti x uiſui occurret. Si uerò linea x p producta non tranſeat centrum circuli k, ſed obliquetur ab illo: tunc copuletur ſemidiameter, quæ k p, quæ, ut patet ex pręmiſsis, erit orthogonalis ſuper axẽ h i: erit ergo linea k p perpendicularis ſuper lineam longitudinis, quæ eſt m p per 29 p 1: erit ergo k p perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem columnam ſecundũ lineam longitudinis m p: in qua ducatur linea contingens circulum b p line puncto p, quæ ſit s p t: educaturq́ linea k p perpendiculariter ſuper illam ſuperfioiem in punctum u: ſitq́, ut prius, centrum uiſus, quod eſt a, in linea q p in eadem ſuperficie eirculi. Et quoniam in illa ſuperficie circulum contingente eſt linea s t, erit angulus k p t rectus: ergo & angulus s p u eſt rectus per 15 p 1. Palàm ergo quia angulus a p s eſt minor recto: ergo eſt page 279 acutus: ergo per 13 p 1 angulus a p t eſt obtuſus: reſcindatur ergo ab angulo u p t recto angulus æqualis angulo a p u per 27 th. 1 huius. Si ergo linea x

Fig. 682

x f h d m b k l t z s p u g i e n a q
p illum angulum contineat: palàm per 20 th. 5 huius quoniam à pũcto p reflectetur forma pũcti x ad punctum a centrum uiſus. Quòd ſi linea x p illum angulũ non contineat: tunc, ut prius, ſuper punctum p terminum lineę u p fiat angulus ęqualis angulo x p u per 23 p 1. In linea quoq illum angulum continente poſito centro uiſus a, patet propoſitum, ut prius. Et quoniã perpendicularis k p u eſt cum puncto a in eadem ſuperficie per præmiſſam, erit linea a p in eadem ſuperficie cum linea x p: & erit hæc ſuperficies ipſa ſuperficies reflexionis & orthogonalis ſuper ſuperficiẽ ſpeculum contingentem ſecundũ lineam m n: quoniam perpẽdicularis p u (quæ eſt in ſuperficie reflexionis) erecta eſt ſuper ſuperficiem ſecundũ lineam m n ſpeculum contingentem: & eſt in ea circulus b p l æquidiſtans baſibus columnæ. Et ſimiliter poteſt demonſtrari de alijs punctis datis in dicta ſuperficie ſpeculi. Idem quoq patetſi cõmunis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi colũnaris ſuerit ſectio oxygonia per 10 huius: quoniam, ut oſtendimus in 21 huius, patet quò d ſemper perpẽdicularis ducta à pũcto reflexionis cadit in aliquod punctum axis, & eſt ſemidiameter circuli cuiuſdam ſecãtis ſuperficiem ſpeculi ęquidiſtanter baſibus columnæ: ductaq́ linea in puncto dato ſpeculum ſecundum oxygoniam ſectionem contingente, & producta illa perpendiculari, ſi punctus rei uiſæ & centrũ uiſus cadant in eandem perpendicularem, uel in lineas in eadem ſuperficie cum perpendiculari exiſtentes, & æquales angulos cum ipſa continentes: fiet ſecundum præmiſſa reflexio ad uiſum. Patet ergo uniuerſaliter propoſitum in omni ſectione communi ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei ſpeculi columnaris.

26. Superficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi communi ſectione linea longitudinis ſpeculi exiſtente: formæ eiuſdem punctirei uiſæ ab uno tantùm puncto totius ſuperficiei ſpeculi ad unum uiſum fit reflexio. Alhazen 46 n 5.

Eſto ſpeculum columnare conuexum, cuius axis ſit c d: ſitq̃; ſuperficies reflexionis a b g, ita ut forma puncti b reflectatur ad a cẽtrum circuli à puncto g ſuperficiei ſpeculi: & ſit communis ſectio ſuperficierum iſtarum linea f g n, quæ eſt linea longitudinis ſpeculi. Dico quòd forma puncti b non poteſt reflecti ad centrum uiſus a ab alio puncto ſpeculi quàm à puncto g. Ducatur enim à

Fig. 683

a q k b f g l n c e i d h
puncto g perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem columnam ſecundum lineam f g n per 12 p 11: quæ ſit linea g q, ſecans lineam a b productam inter punctum uiſum & centrũ uiſus in puncto q. Palàm per 21 huius quoniam hæc linea g q producta intra ſpeculum ſecat ipſum trans axem c d: ſecet ergo in puncto e. Et quia linea longitudinis, quę eſt f n, eſt in ſuperficie reflexionis: palàm quoniam axis c d erit in eadem per 7 huius: ergo & pũctum e erit in illa ſuperficie. Cum itaq una ſola ſuperficies poſsit intelligi, in qua ſunt ſimul omnia pũcta a, b, g & e, & lineæ f n & c d: palàm quòd à ſuperficie totius ſpeculi non poteſt reflecti forma puncti b ad a centrum uiſus, niſi à linea longitudinis f n: ſed per 45 th. 5 huius oſtenſum eſt quòd in ſpeculis planis ab uno ſolo puncto fit unius puncti reflexio ad uiſum: ergo & in his ſpeculis non poteſt fieri reflexio ab alio pũcto quàm a b uno ſolo puncto ſcilicet lineæ f n. Forma ergo puncti b reflectitur ad uiſum a ab uno ſolo puncto ſuperficiei totius ſpeculi. Quod eſt propoſitum.

27. Superficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi communi ſectione exiſtente circulo baſibus ſpeculi æquidiſtante: ab uno ſolo puncto ſuperficieitotius ſpeculi formæ eiuſdem puncte reiuiſæ fit reflexio aduiſum. Alhazen 46 n 5.

Sit diſpoſitio, quæ in præcedente, palamq́ per 17 huius quoniam hác hypotheſi exiſtẽte, ſuperficies reflexionis a b g erit æquidiſtans baſibus columnæ: circulus quoq, qui eſt communis ſectio ſuperficiei a b g & columnæ, cuius axis eſt c d, qui eſt æquidiſtans baſibus columnæ, ſit g h: cuius centrum ſit punctum e. Dico quòd à circulo g h (qui eſt communis ſectio ſuperficiei a b g & ſuperficiei ſpeculi) non poteſt fieri reflexio formæ b ad a uiſuin, niſi ab uno tantùm pũcto g. Patuit enim per 16 th. 6 huius quia in ſpeculis ſphæricis conuexis à circulo, ſuper quem fit reflexio, non poteſt page 280 fieri reflexio, niſi ab uno tantùm puncto: ergo nec in iſtis ſpeculis columnaribus fiet reflexio ſormæ unius puncti rei uiſæ and uiſum, niſi ab uno tantùm puncto, quod ſit g. Siuerò detur, quòd ab alio puncto ſpeculi huius (ut à pũctol) ſimiliter fiat reflexio, ſicut à puncto g: producatur à puncto dato linea l k per 12 p 11 perpendicularis ſuper ſuperficiem columnæ: hæc ergo producta cadet orthogonaliter ſuper axem c d per 21 huius: cadat in punctum axis, quod ſiti. Similiter quoq linea l k, ut patet ex præmiſsis, ſecabit lineam a b productam inter punctum rei uiſæ & centrum uiſus: ſecetq́ ipſam in puncto k: quod ſiue ſuerit idem cum puncto q, ſiue aliud à puncto q, ducatur ſemper linea k e ad centrum circuli g h: eritq́ linea k e orthogonalis ſuper axem c d: quoniam eſt in ſuperficie reflexionis orthogonaliter axem c d ſecante. Duæ ergo lineæ k e & k i cum linea e i, parte axis continent triangulum, cuius duo anguli ſunt recti: quod eſt impoſsibile. Palàm ergo quòd in tali diſpoſitione non reflectitur forma p uncti b ad uiſum a, ab aliquo puncto ſuperficiei totius ſpeculi alio, quàm à puncto g. Ethoc eſt propoſitum.

28. Superficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi communi ſectione exiſtente oxygonia: formæ eiuſdem puncti rei uiſæ ab uno ſolo puncto totius ſuperficiei ſpeculifit reflexio ad uiſum. Alhazen 47 n 5.

Sit ſuperficies reflexionis a b g: cuius communis ſectio cum ſuperficie ſpeculi columnaris ſit oxygonia ſectio, tranſiens in ſuperficie ſpeculi punctum g: & ſit b punctus rei uiſæ: & a centrum uiſus: & g punctus reflexionis. Dico quoniam forma puncti b non reflectitur ad centrum uiſus a ab aliquo puncto totius ſuperficiei ſpeculi, niſi à puncto g. Ducatur enim à puncto a ſuperficies æquidiſtans baſibus columnæ, ſecans ſpeculum ſecundum circulum, qui ſit e z i: quod ſic fiet. Producta enim à puncto a linea perpendiculari ſuper axem columnę per 12 p 1: erit hęc linea perpendicularis erecta ſuper ſuperficiem columnæ: quia erit perpendicularis ſuper lineam longitudinis columnæ, cui ipſa incidit per 29 p 1. Ducatur item ab eodẽ puncto axis, quod ſit q, alia linea rectum continens angulum cum axe, quæ ſit linea q e. Ergo per 18 p 11 patet quoniam ſuperficies plana lineas illas a q & q e imaginata pertranſire, ſuper ſuperficiem ſpeculi erit orthogonaliter erecta. Et quoniam per 4 p 11 axis ſpeculi erectus eſt ſuper illã ſuperficiem, patet per 14 p 11 & per 92 th. 1 huius quoniam illa ſuperficies æquidiſtat baſibus ſpeculi: ergo per 100 th. 1 huius, cum ipſa ſecet ſuperficiem columnæ æquidiſtanter baſibus: patet quòd ipſa ſecat ſecundum circulũ, qui ſit e zi, cuius centrum erit punctum q. Et eodem modo à puncto g ducatur ſuperficies æquidiſtans baſibus ſpeculi, quæ ſecet ſpeculum ſecundum circulum s g p: cuius centrum ſit t: & in illo circulo ducatur ab axe linea ad punctum g, quæ ſit t g: & hæc per 21 huius erit perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem columnam in linea lõgitudinis,

Fig. 684

a l f k b h d z g n q e o t s m i p
in qua eſt punctus g. Linea quoq t g producta concurrat cum linea a b in puncto k: cõcurret autem per 29 th. 1 huius: ideo ꝗa diuidit angulum a g b, & puncta g, a, b ſunt in eadem ſuperficie reflexionis per 24 huius. Ducatur etiam à pũcto g linea longitudinis ſpeculi per 101 th. 1 huius, quæ ſit g z, cadẽs inter duas ſectiones æquidiſtãtes baſibus ſpeculi nũc ductas: & erit per 25 th. 1 huius pars axis æqualis lineæ g z, linea t q: & à puncto b rei uiſæ ducatur linea perpendicularis ſuper ſuperficiem, ſecantem ſpeculum ſecundum circulum e zi per 11 p 11: quæ ſit b h: & ducãtur duæ lineæ a z & h z: & ducatur à puncto z in ſuperficie illa ad axẽ ſpeculi linea z q: eritq́ hæc linea z q perpendicularis ſuper axem q t per 21 huius, ſicut & ſuperficies e z i, in qua protrahitur: & erit per eandem 21 huius linea z q perpendicularis ſuper ſuperficiem contingẽtem ſpeculum in puncto z. Quia ergo linea q z educta extra ſpeculi ſuperficiem neceſſariò diuidit angulum h z a, eò quò d â concurſu linearum h z & a z orthogonaliter producitur ſuper ſuperficiem contingẽtem, cui ſuperficiei lineæ a z & h z obliquè incidunt: palàm per 29 th. 1 huius quia producta linea z q concurret cum linea a k, quæ ſubtenditur angulo a z h: concurrat ergo in puncto l. Dico quoniã forma puncti h lineæ b h reflectitur ad uiſum a à puncto ſpeculi z. Ducatur enim à puncto a linea æquidiſtans k g lineæ, quę ſit a m: hæc utiq per 2 th. 1 huius concurret cum linea b g, cum qua ſua æquidiſtans concurrit: ſunt enim lineæ a b, b g, k g omnes in eadem ſuperficie reflexionis: ſit ergo punctus cõcurſus linearum b g & a m punctus m. Palàm quoq per 6 p 11 quoniam linea g z æ quidiſtat lineæ b h, cum utraq ipſarum ſit orthogonalis ſuper ſuperficiem e z i æquidiſtantem baſibus columnæ: eſt ergo per 7 p 11 linea b g m in eadem ſuperficie, cum ſecet illas duas lineas æquidiſtãtes. In ſuperficie ergo reflexionis (quæ eſt a b g) ſunt page 281 tria punctam, z, h. Itẽ quia linea a m eſt æ quidiſtans lineæ k g, ſed & linea z l eſt æquidiſtans line æ k g per 33 p 1: ſunt enim lineæ g z & t q æ quales & æ quidiſtãtes, ut patert ex præmiſsis, & linea t g producitur in punctum k: & linea q z in punctũ l: erit ergo per 30 p 1 linea l z æ quidiſtãs lineæ a m. Sunt ergo per 2 th. 1 huius lineæ l z & am in eadẽ ſuperſicie: & in eadem eſt linea h a per 7 p 11. Igitur tria puncta m, z, h ſunt in eadem ſuperficie, in qua ſunt lineæ l z & a m & h a, quæ eſt ſuperficies h l z m. Sed iam patuit ſuprà quòd ſunt in ſuperficie m b h: igitur ſuntin linea cõmuni illis duabus ſuperficiebus: ergo per 3 p 11 linea h z m eſt linea recta. Cum itaq punctus g ſit punctus reſlexionis exhypotheſi: erit per 20 th. 5 huius angulus a g k æqualis angulo k g b: ſed angulus k g b per 29 p 1 eſt æqualis angulo a m g, cum ſit extrinſecus ad illum, & linea k g æquidiſtet lineæ a m: ſed & angulus a g k eſt æ qualis angulo m a g per eandem 29 p 1, quia eſt illi-coalternus: ergo anguli a m g & m a g ſunt æ quales: ergo per 6 p 1 duæ lineæ a g & m g ſunt æquales, quia uerò linea g z eſt erecta ſuper ſuperficiem a h z, ut patet ex præmifsis: erit linea g z ortho gonalis ſuper quamlibet lineam ſuperficiei a h z, ductam à puncto z: ergo erit perpẽdicularis ſuper lineam z m: angulus ergo m z g erit rectus: erit quoq per 47 p 1 quadratum lineæ m g æ quale quadratis duobus linearũ m g & g z: & ſimi liter quadratum lineæ a g eſt æquale quadratis linearum a z & g z: ſed-quadratum lineæ m g æ quale eſt quadrato lineæ a g: quoniá lineæ m g & a g ſunt æ quales: ablato ergo utrobiq quadrato communi, quod eſt quadratum lineæ g z: relinquitur quadratum lineæ m z æquale quadrato lineæ a z: eſt igitur linea m z æ qualis lineæ a z: ergo per 5 p 1 angulus a m z eſt ęqualis angulo z a m: ſed per 29 p 1 angulus l z h extrinſecus æqualis eſt angulo a m zintrinſeco, & angulus a m z eſt æ qualis angu10 l z a per eandem 29 p 1, quia illi anguli ſunt coalterni: ergo angulus a z l eſt æqualis angulo l z h. Forma ergo puncti h incidens ſpeculo in puncto z reflectitur ad a centrum uiſus à puncto ſpeculi, quod eſt z, ut patet per 20th. 5 huius. Siuerò dicatur quòd ab alio puncto quàm à puncto g poteſt forma puncti b reflecti ad uiſum a illud aliud punctum aut erit in linea longitudinis, quę eſt g z, aut in alia. Si eſt in linea g z, ducatur à dato puncto lineæ g z, quod ſit d, linea perpendicularis ſuperlineam g z: quæ a d utramq partem producta ſit linea o d f: & copulentur lineæ a d & b d. Linea itaq o d f per 29 th. 1 huius neceſſariò ſecabit lineam a b: & erit & quidiſtans lineæ a m per 28 p 1: & linea ducta à puncto b a d illud punctum d, neceſſariò cõcurret cum linea a m per 2th. 1 huius: & erit punctus d & punctus m in eadem ſuperficie: quoniam lineæ d f & a m, cum ſint æ quidiſtantes, ſunt in eadem ſuperficie per 1 th. 1 huius. Linea ergo b d aut cad et ſuper punctum m, aut ſuper aliud punctum lineæ a m. Si cadat ſuper punctum m, erit ducere à puncto b ad pũctum m duas rectas lineas, ut lineam b g m, & lineam b d m: quod eſt impoſsibile: quoniam tunc duæ rectæ lineæ ſuperficiem includerent. Si uerò ad aliud punctum lineæ a m, quàm ad punctũ m, incidat linea b d: ſit illud punctum n: & ducatur à puncto n linea n z a d punctum z: & poteſt probari, quòd hæc linea n z cum linea h z facit lineam rectam, ſicut prius probatum eſt de linea m z. Quoniam enim puncta n, z, h ſunt in duabus planis ſuperficiebus: ergo ſunt in illarum communi ſectione: ergo per 3 p 11 erit linea h z n linea recta: & ita à puncto h erit ducere duas lineas rectas per punctum z tranſeuntes, & in diuerſa puncta line æ a m cadentes: quod eſt impoſsibile per 1 p 11. Palàm ergo quòd à nullo puncto lineæ g z poteſt forma puncti b reflecti ad uiſum a, niſi à ſolo puncto g. Si dicatur quòd extra hanc lineam ſumpto puncto in ſuperficie ſpeculi ab illo poſsit reſle cti forma puncti b ad a uiſum: ducatur ſuper illud punctum ſpeculi linea longitudinis ſpeculi per 101 th. 1 huius: & à puncto circuli e z i, in quem cadit hæc linea, probabitur forma puncti h reflecti ad uiſum a ſecundum prædictam probationem: ſed iam probatum eſt quòd forma puncti h à puncto ſpeculi z reflectitur ad uiſum a: & ita formæ eiuſdem puncti h a d eundem uiſum a à punctis duobus unius circuli fiet reflexio, quod eſt contra 16 th. 6 huius, & impoſsibile. Supereſt ergo, ut à ſolo pũcto ſpeculi propoſiti reflectatur forma puncti b ad uiſum a. Palàm enim, quia ſi communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris fuerit oxygonia ſectio, quia tunc nõ fiet reflexio, niſi ab uno tantùm puncto: quoniam, ut patet per 24 huius in omni ſuperficie reflexionis factæ a b his ſpeculis de neceſsitate oportet, ut ſit punctus axis, in quem cadit perpen dicularis ducta à puncto reflexionis, quæ orthogonalis eſt ſuper lineam longitudinis ſpeculi per punctum illũ tranſeuntem: ergo & ſuper axem ſpeculi per 28 p 1: quoniam linea longitudinis columnæ & axis ſemper æ quidiſtant per 92 th. 1 huius. Eſt autem illa perpendicularis communi ſectioni oxygoniæ, à cuius pũcto fiet reflexio, & cuidam circulo æ quidiftanti baſibus ſpeculi per 104 th. 1 huius: eſt ergo ſemidiameter illius circuli. Superficies itaq reflexionis, & ille circulus ſecant ſe in illa perpendiculari ſemidiametro circuli ſuper peripheriam circuli per 21 huius: & ſupèrficies reflexionis, in qua eſt illa ſectio oxygonia, eſt declinata ſuper ſuperficiem circuli, & ſuper illam ſemidiametrum, quæ eſt perpendicularis à puncto reflexionis ducta: ſuper aliquam uerò ſuperficiem declinatam ſuper axem columnę non poteſt intelligi, niſi una tantùm linea perpendiculariter cadens ſuper axem per 112 th. 1 huius. Si uerò ab eadem oxygonia ſectione ſieret a duobus punctis reflexio: eſſet neceſſarium, ut in illa ſectio nis ſuperſicie poſſent duci duę perpen diculares ſuper axem ſpeculi: quod eſt impoſsibile: cum unus uiſus ſemper uideat minus medietate columnæ. Et ſimiliter patet per 79th. 4 huius quòd duo uiſus uidẽ minus medietate columnę, quando diameter baſis columnæ maior eſt quàm diſtantia oculorum: hoc autem planius declaratum eſt in 22 huius. Patert itaq propoſitum.

29. Oxygonia ſectione exiſtente communi ſuperſiciei reflexionis & ſpeculi columnaris con page 282 uexi: dati punctiuiſi ad datum centrum uiſus punctum reflexionis inuenire. Alhazen 48 n 9.

Communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi propoſiti exiſtente linea longitudinis ſpeculi, punctus reflexionis poterit faciliter inueniri, ſicut in ſpeculis planis per 46 th. 5 huius oſtenſum eſt. Siuerò illa communis ſectio fuerit circulus: tunc punctus reflexionis poterit faciliter inueniri, ſicut in ſpeculis ſphæricis conuexis oſtenſum eſt per 20 uel 22 th. 6 huius. Si autem illa communis ſectio ſit oxygonia ſectio, qualis proponitur: ſit rei uiſæ datus punctus b, qui reflectatur ab aliquo puncto ſectionis oxygoniæ ad a centrum uiſus. Dico quòd poſsibile eſt inueniri punctum reflexionis. Ducatur enim à puncto a, utin præcedente propoſitione, ſuperficies æquidiftans baſibus columnæ: quæ ſecabit columnam ſuper circulum, qui ſit e zi: & ducatur à puncto b perpendicularis ſuper hanc ſuperficiem per 11 p 11, qu æ ſit b h, & per 20 uel 22 t 6 huius, ſicut in ſpeculis ſphęricis conuexis oſtenſum eſt, inueniatur in hac ſuperficie punctus, àquo reflectitur forma puncti h ad uiſum a, qui ſit pũctus z: & à puncto z per 101 th. 1 huius ducatur linea longitudinis, quæ ſit z g: & ducatur linea h a: & à pũ cto z ducatur perpendicularis ſuper lineam h a per 12 p 1, quæ ſit z l: & huic ducatur æquidiſtans à puncto a per 31 p 1, qu æ ſit a m: & linea h z producatur uſque quò concurrat cum linea a m: & ſit cõcurſus in puncto m: & à puncto m ducatur linea ad punctum b, quæ neceſſariò ſecabit lineam z g, cum ſit in eadem ſuperficie cum illa: quoniam cum linea b h ſit æquidiſtans lineæ g z per 6 p 11, eò quòd amb æ lineæ b h & g z ſunt perpendiculares ſuper eandem ſuperficiem e zi æ quidiſtantem baſibus column æ erit ergo linea h m in ſuperficie illarum per 7 p 11: & ita linea m b erit in eadem ſuperficie: quæ ſi ſecuerit lineam z g in puncto g: palàm ex his, quę in præcedẽte propoſitione præmiſſa ſunt, quòd punctus g erit punctus reflexionis formæ puncti b ad a uiſum. Hæc omnia pluraq́ alia patent per ea, quæ dicta ſunt in præcedente demõſtratione. Et hoc eſt propoſitum: quoniam ſecundum hunc modum cuiuslibet dati punctiad datum uiſum punctus reflexionis poterit inueniri.

30. Linea rectæ æquidiſt antis axi ſpeculi columnaris conuexi, uiſu non exiſtente in eadem ſuperficie, reflexio fit à linea longitudinis ſpeculi ad uiſum. Alhazen 26 n 6.

Eſto axis ſpeculi columnaris conuexi linea 3 k: & ſit linea uiſa axi æquidiſtans, quæ t h: ſitq́ centrum uiſus e extra ſuperſiciem t h z k. Dico quòd formà lineæ t h reflectitur ad uiſum e à linea longitudinis ſpeculi, quæ eſt communis fectio ſuperficiei t h z k, & ſuperficiel ſpeculi. Et quia uiſus e non eſt in ſuperficie t h z k: ſit ſuperficies per ipſum uiſum tranſiens, ſecas columnam ſpeculi æquidiſtanter baſibus: eritq́, hæc ſuperficies ſecans columnam ſecundum circulum per 100 th 1 huius: qui circulus ſit b f. Palàm ergo cum linea h t ex hypotheſi æquidiſtet axi z k, quòd aliquis eius punctus reflectitur ad uiſum e ab aliquo puncto circuli b f: ſit ergo hoc à pũcto b. Punctus quoq lineæ th, qui reflectitur ad uiſum e à puncto ſpeculi b, ſit q: & ducantur lineæ q b, e b, q e: & ducatur per 101th. 1 huius à puncto b linea longitudinis columnæ quæ ſit a b g: & ducatur à puncto b perpendicularis cadens ſuper axem z k in punctum 1: quæ producta ad lineam q e, ſecabit ipſam per 2 th. 1 huius: quoniam illæ duæ lineæ æquidiſtant, ut patet ex præmiſsis. Et quoniam ſuperſicies e q b eſt ſuperficies reflexionis: patet quòd punctum b cum linea e q eſt in eadem ſuperficie. Secet ergo linea b l producta ipſam lineam q e in puncto m: & ſit lineam l: ducaturq́ à puncto e linea æquidiſtans lineæ m l per 31 p 1, quæſit e o: & produ

Fig. 685

t n q g z m b l f h r a d e k o
catur linea q b ultra punctũ b: quæ quia corlcurrit cũ linea m l: palàm per 2th. 1 huius quià ipſa cõcurret cum eius æquidiſtante, quæ eſt lineà e o: ſit ergo punctus cõcurſus o. Palàm aũt per 20 th. 5 huius quoniam angulus incidentiæ, qui eſt q b g, eſt æ qualis angulo reflexionis, qui eſt e b atanguli uerò m b g & m b a funt æquales, quia recti: relin quitur ergo angulus q b mæ qualis angulo reliquo, qui eſt e b m: ſed per 29 p 21 angulus q b m eſt æ qualis angulo b o e: quoniam extrinſecus intrinſeco eſt æ qualis: ſed & angulus m b e æqualis eſt angulo b e o: quia coalternus eſt: ergo angulus b o e æ qualis angulo b e o: ergo per 6 p 1 in trigono b e o latus b e eſt æ quale lateri b o. Sumatur autẽ & alius pũctus in linea th, qui ſit punctus t: & ducatur linea t o. Quia ergo linea th æquidiſtat lineæ longitudinis ſpeculi, quæ eſt a g per 30 p 1: ideòd quòd utraq illarum eſt æquidiſtans axi z k: palàm ergo per 1 th. 1 huius quòd lineæ th & a g ſunt in eadem ſuperficie, cum etiam linea t h & z k axis ſint in eadem ſuperficie. Ergo per 7 p 11 linea q b o ſecans illas lineas æ quidiſtantes, quę ſunt t h & a g, eſt cum illis in eadem ſuperficie: & fimiliter linea t o eſt in eadem ſuperficie cum illis per 1 p 11: ſunt enim puncta t & o in dicta ſuperficie: ſecabit ergo linea t o lineam a g: ſit punctus ſectionis g: & ducantur lineæ e g & e t. Quia itaq: a g, quę eſt linea longitudinis ſpeculis, eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli b f per 8 p 11: ideo quòd axis z k, cui æquidiſtat linea a g, perpendicularis eſt ſuper eandem circuli ſuperficiem per 23 th. 1 huius, cum ipſa ſit perpendicularis ſuper baſim columnæ per 92 th: 1 huius. page 283 Superficies añt circuli b f eſt pars ſuքficiei e o b f: hæc enim ſuperficies ſecat columnã æ quidiſtáter baſi, ut patet ex præmiſsis: ergo per definitionẽ lineæ ſuper ſuքficiẽ erectę angulus g b o eſt rectus, & angulus g b e rectus: ergo per 47 p 1 quadratũ lineæ g o ualet ambo quadrata linearũ g b & b o: & quadratũ lineę g e ualet ambo quadrata linearũ g b & b e. Et quoniá oſten ſum eſt quòd lineæ b e & b o ſunt æquales, erunt etiá ipſaruin quadrata æqualia, & quadratũ b g utriq eſt commune: erit ergo quadra ũ lineæ g e æquale quadrato lineę g o: erit igitur per 6 p 1 in trigono e g o linea g e æ qua lis lineæ g o: ergo per 5 p 1 erit angulus g e o æ qualis angulo g o e. A puncto itaq: g ducatur perpen dicularis ſuper axem ſpeculi, qui eſt z k, per 12 p 1, quæ ſit linea g z: & h æc produæa ultra punctum g ad lineam t e, ſit z g n: eritq́ linea z n æ quidiſtans lineę l m per 28 p 1: quoniam lineæ n z & m lambę ſunt perpendiculares ſuper axem z k: ſed & linea e o æ quidiſtat lineæ m l, ut patet ex præmiſis. Linea ergo z n æ quidiſtat lineæ e o per 30 p 1. Erit ergo per 29 p 1 angulus t g n exiſtens extrinſecus, æqualis angulo g o e intrinſeco: & angulus n g e æ qualis. angulo g e o, quia ſunt coalterni: ſed angulus g e o oſtenſus eſt eſſe æ qualis angulo g o e: ergo angulus t g n eſt æqualis angulo n g e. Cum ergo linea t g o & linea n g z ſint in in eadem ſuperficie, in qua eſt punctus g: puncta ergo o, g, t erunt in eadem ſuperficie: ergo in eadem ſuperficie ſunt lineæ e g, o g, t g per 1 p 11. Forma ergo puncti t re flectitur ad uiſum e à puncto ſpeculi g, ut patet per 20 th. 5 huius, propter æ qualitatem angulorum r g n & n g e. Sumpto autem in linea t h puncto h eiuſdem diſtantiæ à puncto q, & à céntro uiſus e, cuius eſt punctus t: & ducta linea h o, tranſibit hæc per lineam longitudinis ſpeculi, quæ eſt a g: ſit punctum tranſitus a: & ducta à puncto a linea perpendiculari ſuper axem z k, quæ ſit a d, & quæ producta ad lineam h e, ſit d r, & ducta linea e a, patebit, ſicut prius, quia duo anguli a b e & a b o ſuntrecti, & latera a e & a o ſunt æ qualia: ſiuntq́, ut prius, duo anguli h a r & e a r æ quales Forma ergo punctih, utſuprà patuit, reflectitur ad uiſum e à puncto ſpeculi a. Similiter quoque ſumpto quocũq uncto lineæ t h, erit probare, quòd ille punctus reflectitur ad e ab aliquo puncto longitudinis ſpeculi, quę eſt a g. T ota ergo linea t h reflectitur ab una linea longitudinis ſpeculi, quę eſt a g, ad uiſum e: quod eſt propoſitum. Eſt tamen notandum, quòd in hac diſpoſitione figuræ punctum q lineæ th eſt medius punctus illius lineæ & eſt in eadem ſuperficie cum centro uiſus e: propter quod puncta t & h æqualiter diſtant à uiſu: & ſimiliter puncta reflexionum, quæ ſunt g & a: propter quod pater, quod lineæ g b & b a ſunt æquales: & tota diſpoſitio figuræ fit ſecundum illa. Quòd ſi uiſus ſit inferior tota linea th: notandum quòd fit reflexio à linea a g, prout ſecat plurimas oxygonias ſectiones, ut patet per 23 huius: aliàs uerò quandoq ab aliquo puncto circuli neceſſe eſt fieri reflexionem.

31. Linea longitudinis exiſtente communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi pyr amida lis conuexi: à quolibet puncto ſuperficiei ſpeculi apparent is uiſui poteſt fieri reflexio ad uiſum. Alhazen 40 n 4.

Eſto ſpeculum pyramidale conuexũ b x p: cuius uertex ſit b: & diameter baſis x p: ſitq́ centrũ baſis q: erit ergo linea b q axis ipſius ſpeculi. Sit quoq quicunq datus punctus in ipſius ſuperficie apparente, punctus g: & ſit centrũ uiſus a: & punctus rei uiſæ ſit n. Dico quòd forma puncti n reflecti poteſt à puncto g ad uiſum a, ſi ſuerit in ſitu cõuenienti reflexioni, Circunducatur enim per 102 th. 1 huius à puncto g circulus pyramidi ſpeculi æ quidiſtans baſi x p: cuius centrũ ſit d, & cuius diameter ſit g c: ſemidiameter g d, quę neceſſariò erit perpendicularis ſuper axẽ b q per 29 p 1: eò quòd x q ſemidiameter baſis ſpeculi eſt perpendicularis ſuper eundem axem b q, ſicut & alia ſemidiameter baſis in eadẽ ſuperficie exiſtés cũ diametro g c æ quidiſtat illi: eſt

Fig. 686

b l a u f d c h n g r k s x q p
enim axis b q perpendicularis ſuper ſuperficies amborum circulorũ x p & g e per 23 th. 1 huius: & producatur linea g b à dato puncto g ad uerticé pyramidis b. Palàm ergo per 32 p 1 quoniã angulus g b d eſt a cutus: cũ angulus b d g ſit rectus. In ſuperficie quoq trigoni g b d ſit linea reflexionis, quæ eſt a g per 7 huius, & ex hypotheſi erunt lineæ reflexionis a g & longitudinis b g & axis b d q in eadem ſuperfi cie. Et quoniam angulus b g d eſt acutus, fiat per 23 p 1 angulus b g r rectus, producta linea g rad axem: eritq́ r g linea perpendicularis ſu per lineam longitudinis, quæ eſt b x: eritq́ g r linea in eadem ſuperfi cie cum alijs lateribus trigoni b g r per 2 p 11. A puncto quoq g duca catur linea contingens circulũ per 17 p 3, quæ ſit linea l g s: eritq́ per 18 p 3 linea l g s perpendicularis ſuper diametrũ g c: ducaturq́ alia diameter circuli g c perpen dicularis ſuper diametrũ g c: quæ extrahatur à pũ cto d per 11 p 1: & ſit f k: eritq́, ſicut prius, diameter f k perpendicularis ſuper axem b q: erit ergo per 4 p 11 diameter f k perpen dicularis ſuper ſuperficiem, in qua ſunt lineæ g c & b q: eritq́ diame ter f k æquidiſtans lineę contingenti circulum, quę eſt l g s, per 18 p 3 & per 28 p 1: ergo per 8 p 11 linea contingens circulũ g c, quæ eſt s g l, perpédicularis eſt ſuք ſuperficiẽ, in qua ſunt diameter g c & axis b q: ergo ք definition ẽ lineę erectę angulus l g r eſt rectus. Si ergo imaginemur ſuperficiẽ contingentẽ pyramidẽ, in qua ſit linea l g s cõtingens circulũ b c: palã quoniã linea r g erecta eſt ſuper illã ſuper page 284 ficiem Si ergo linea reflexionis, quæ eſt a g, tranſiens pyramidem, fiat una linea cũ linea g r, erit ipfa orthogonalis ſuper ſuperficiem contingentẽ ſpeculũ in puncto g: fiet ergo per 21 th. 5 huius formæ fecundũ illam lineã ſuperficiei ſpeculi incidentis reflexio per eandẽ. Et ſi punctus n ſit in illa linea, poterit forma eius reflecti ad uiſum a à puncto ſpeculi g per lineã a g. Siuerò linea a g non fiat una linea cum linea g r: palàm per cõuerſam 14 p 1 quod angulus a g l eſt minorrecto uel maior: quoniã ſi erit rectus, tunc lineę a g & g r ambæ coniunctæ ſunt linea una per eandẽ 14 p 1. Sit ergo angulus a g l acutus: & productatur linea r g in continuũ & directũ uſq ad punctũ u: eritq́ linea u g perpendicularis ſuper ſuperficiem contingenté ſpeculum in puncto g: & erit angulus u g l rectus per 15 p 1: erit ergo angulus u g a acutus. Ducatur ergo in eadẽ ſuperficie linea g h æ q u alẽ continẽs angulum cum lineá ù g angulo u g a per 23 p 1. Si ergo punctus rei uiſę, qui poſitus eſt eſſe n, fuerit in linea h g: palàm per 20 th. 5 huius quoniã poſsibile eſt à puncto g fieri reflexionẽ ad uiſum a: eritq́ linea incidentiæ, quę eſt n g cũ linea reflexiõis, quę eſt g a, in eadẽ ſuperficie orthogonali ſuper ſuperficiẽ, cõtingentẽ pyramidem in puncto reflexionis, quod eſt g: reflecteturq́ forma puncti rei uiſæ ſecundũ punctum n a d uiſum, qui eſt in puncto a, à puncto ſpeculi, quod eſt g. Et eodem modo de quolibet alio dato puncto ſuperficiei ſpeculi demonſtrandum. Patet ergo propoſitum.

32. Dato puncto ſpeculi pyramidalis couexi, à quo fiat reflexio dati puncti rei uiſæ ad datum centrum uiſus à puncto oxygoniæ ſectionis, uel à linea longitudinis ſpeculi: poßibile eſt loca inue niri, in quibus centro uiſus & puncto reiuiſæ collocatis, ſiat reflexio ad uiſum ab eodẽ dato pun cto ſpeculi, prout eſt punctus circuli æquidiſtantis baſi. Alhazen 52 n 5.

Sit a centrum uiſus: b punctus rei uiſæ: & ſit g punctus reflexionis ſuperficiei ſpeculi pyramidalis conuexi, cuius uertex ſit e. Dico quòd poſsibile eſt inueniri id, quod proponitur. Ducatur enim, prout docuimus in 28 huius, ſuper punctpum g ſuperficies æ quidiſtans baſi, ſecans pyramidem ſuper circulum baſi æ quidiſtantem per 100 th. 1 huius, quæ ſit p g: cuius centrum ſit 1: & ducantur lineę a g, b g, a b: & à puncto g ducatur ad centrum circuli linea g t: & à uertice pyramidis, qui eſt pun ctus e, ducatur axis e t. Et quoniam ſuperficies reflexionis ſemper eſt erecta ſuper ſupe. ficiem ſperculum in puncto reflexionis cõtingentem, ut patet per 8 huius, uel per 25 th. 5 huius: ducatur in ſuperficie reflexionis linea perpendicularis ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculum in puncto re flexionis, quod eſt g, quæ ſit h g: & palàm per 26 th. 5 huius quoniam hæc diuidit an gulum a g b per æqualia: ipſa ergo producta ſecabit lineam a b per 29 th. 1 huius: ſit ergo, ut ſecet eam in puncto z. Ducatur quoq à puncto e uertice pyramidis linea longi

Fig. 687

l d a e p t m f k h i g a q o n b
tudinis ſpeculi, quæ ſit e g: & huic lineę e g ducatur æqui diſtans à puncto á centro uiſus, quę neceſſariò ſecabit ſu perficiem circuli p g: ſecet ergo ipſam in puncto n: & ſit a n. Et ſimiliter à puncto b ducàtur linea æ quidiſtans eidem lineæ e g, quæ ſit b m, ſecans ſuperficiem circuli g p in puncto m. Quia itaq ambæ lineæ a n & b m æ quidiſtant eidem lineæ longitudinis ſpeculi, quæ eſt e g: patet per 30 p 1 quia ipſæ adinuicẽ æ quidiſtãt, ſcilicet lineæ a n & b m. A puncto ergo n ducatur per 31 p 1 linea æ quidiſtans ſemidiametro circuli, quæ eſt g t, ſitq́l illa æ quidiftans linea n f: & ducantur lineę n g, m g, n m. palàm itaq per 29 th. 1 huius quia linea t g producta ſecabit lineam n m: ideo, quia ſecat angulum m g n: eſt enim trãſuerſim ducta in eadem ſuperficie: & etiam lineæ n f & g t ſunt æquidiſtantes: ſed linea n m ſecat lineam n f: ergo & ipſa ſecabit per 2 th. 1 huius lineam g t: ſecet ergo in puncto q. Palàm etiam per 2 th. 1 huius quòd linea m g producta ſecabit lineam n f, cum ſecet lineam g t æ quidiſtantem ipſi n f: ſitq́ punctus ſectionis f: à puncto a ducatur linea æ quidiſtans lineę perpendiculari ſuper ſuperficiem, contingentem ſpeculum in puncto g, quæ eſt linea h z: & ſit illa æ quidiſtans linea al. Palàm ergo per 2 th. 1 huius quòd linea b g concurret cum linea a l: quia ſecat eius æquidiſtantem lineam h z: ſit ergo punctus concurſus l. Ducatur quoq linea, quæ eſt ſectio communis ſuperficiei contingenti ſpeculum in puncto g, & ſuperficiei circuli p g, quæ ſit linea g o. Palàm quòd linea g o erit orthogonalis ſuper ſemidiametrum circuli, quæ eſt g t per 18 p 3: ideo quia linea g o eſt contingens circulum p g: quoniam ipſa ducta eſt in ſuperficie plana contingente ſpeculum in puncto g. Et quoniam lineæ n f & g t æquidiſtant: erit per 29 p 1 linea g o orthogonalis ſuper lineam n f æquidiftantem lineæ g t. Sumatur etiam linea, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſuperficiei contingentis ſpeculum in puncto g, quæ ſit linea g d: quæ quidem, cumfecet lineam g h in puncto g, palàm per 2 th. 1 huius quia page 285 ipſa ſecabit lineam a l æ quidiftantem lineæ g h: ſit ergo punctus ſectionis d: & erit linea g d perpen dicularis ſuper lineam a l per 29 p 1: eſt enim linea g d perpendicularis ſuper lineam g h. Quia cũ linea h g ſit perpendicularis ſuper ſuperficiem cõtingentẽ circulum in puncto g: erit neceſſariò perperidicularis ſuper lineã g d productã ab eodẽ puncto in illa ſuperficie per definitionẽ lineæ ſuper ſuperficiem erectæ. Palàm aũt ex prædictis, quoniá linea n f eſt; æ quidiftans ſemidiametro circuli p g, quę eſt g t: ſimiliter quoq linea a l eſt ęquidiſtans lineę g h: igitur per 15 p 11 ſuperficies, in qua ſunt lineę n & al(quę ꝓductę ultra pũcta l & f, neceſſariòcócurret ք 14 th. 1 huius: quonã anguli f n a & l a f, tet, ſunt minores duobus rectis) eſt æquidiſtás ſuperficiei g t h: ſed & linea e g æ quidiſtat lineę b in, ut patet ex præmiſsis: ergo per 1 th. 1 huius ipſæ ſunt in eadẽ ſuperficie ſecante prædictas duas ſuperficies æ quidiſtantes: unã ipſarum ſuper lineam e g: aliã uerò ſuper lineã fl. Ergo per 16 p 11 cõmunes ipſarum ſectiones erunt æ quidiſtantes: erit ergo linea f l æ quidiſtãs lineę e g: ſed linea a n eſt æ quidiſtãs lineæ e g, ut patet ex præmiſsis; ergo per 30 p 1 erit linea f l æ quidiſtans lineæ a n. Verũ ſuperficies contingens ſpeculũ in puncto g ſecat eaſdẽ ſuperficies æ quidiſtantes, quę ſunt g t h & n f a l: uná earum ſuper lineã e g, ſecundum quá ipſa eſt ſpeculũ contingens: & aliam ipſarũ ſuք lineam o d: ergo per 16 p 11 linea o d æ quidiſtat lineæ e g: igitur per 30 p 1 erit linea o d æ quidiſtãs lineis a n, & l f æ quidiſtantibus lineæ e g. Et quia lineę n f & al, inter quas ducuntur lineæ n a, o d, f l, ſunt in eadẽ ſuperficie per 2 p 11: patet quòd lineę a n, o d, f l ſunt in eadẽ ſuperficie, Ducatur itaq à puncto f linea æquidiſtans lineę l a per 31 p 1 ſecans lineã o d in puncto k, & lineam a n in puncto i: eritq́ linea f i æ qualis lineę l a per 34 p 1: & ſimiliter erit linea f k æ qualis lineæ l d, & k i æ qualis ipſi d a. Eſtaũt per 2 p 6 proportio i k ad k f, ſicut n o ad o f: ergo per 7 p 5 erit proportio lineæ a d ad lineam d l, ſicut lineæ n o ad lineã o f. Et quoniã ex præmiſsis angulus b g z eſt æqualis angulo a g z: quoniá linea g z diuidit angulũ a g b per æqualia per 26 th. 5 huius. ſed angulus b g z eſt æqualis angulo g l a por 29 p 1, extrinſecus enim intrinſeco eſtæ qualis: & lineæ h z & a l ſunt æquidiſtantes: ſimiliter angulus z g z per eandẽ 29 p 1 æqualis eſt angulo g a l, quia coalternus: angulus ergo g l ã æqualis eſt angulo g a l: ergo per 6 p 1 lineæ g a & g l ſunt æ qualies: & linea g d eſt perpendicularis ſuperlineã al, ut patet ex præmiſisis: trigonũ ergo a g l diuiſum eſt in duos trigonos æquiangulos & ſimiles ք 31 th. 1 huius: eſt ergo ꝓportio lineę a d ad lineã d l, ſicut lineę g a ad lineá g l: ſed linea a g, ut patet ex præmiſsis, eſt æ qualis lineę g l: eſt ergo linea a d æ qualis lineę d l: ergo & linea n o eſt æqua lis lineę o f: & linea g o eſt per 29 p 1 perpendicularis ſuper lineán f: quoniá linea g o eſt perpendicu laris ſuper lineã g t, ut patet ex præmiſsis per 18 p 3, & lineæ g t & n f æ quidiſtant, ut præmiſſum eſt. Quia itaq angulus g o f eſt æ qualis angulo g o n, & linea o f æ qualis lineæ o n, & linea g o cõmounis: erit ergo per 4 p 1 angulus o f g æqualis angulo o n g: ſed angulus q g m æ qualis eſt angulo o f g per 29 p 1; cum ſit ei extrinſecus, & angulus q g n æ qualis eſt angulo o n g, cum ſit ei conalternus, & lineę t q & n f æ quidiſtent, ut patet ex præmiſsis: erit ergo q g m angulus æ qualis angulo q g n: ergo per 20 th. 5 huius à puncto g circuli p g poteſt ſorma punctim reflecti ad uiſum exiſtentẽ in puncto n: non tamen quòd ſecundũ circulum ſiat reflexio ab his ſpeculis pyramidalibus conuexis, ſed ſic ſeilicet quòd punctus g cõmunicat circulo, qui eſt ſectio ſphærę uel columnæ intra ſpeculũ pyramida le imaginatæ: quoniã ſuperficies contingens circulum p g eſt erecta ſuper ſuperficiem reflexionis: propter quod neceſſe habet pyramidem ſpeculi in ſui parte ampliore, ut in ea, quę eſt uerſus baſim, ſecare ſecundù æquidiſtantiã axis pyramidis ſpeculi: & ſic ſuperficies reflexionis (in qua ſunt centrum uiſus, & punctus rei, & circulus p g) erecta eſt ſuper illam ſuperficiem contingentẽ: & puncta n & m ſe reſpiciunt in ſuperficie illius circulis ſecundũ angulos æquales contentos cum diametro ipſius. Collocato ergo centro uiſus in puncto n & puncto rei uiſæ in puncto m uel econtuerſo: refle ctetur ſemper forma ad centrum uiſus corpore ſpeculi pyramidalis nõ præſtante impedimentum: ut ſi fortè lineæ a n & b m cadant in ipſo circulo baſis, & propter corpus pyramidis ſpeculi non ualeat à puncto g ad uiſum aliquid reflecti. Et hoc eſt propoſitum.

33. Communi ſectione ſuperficieireflexionis & ſpeculipyramidalis conuexi exiſtente linea longitudinis ſpeculi, ab uno tantùm puncto ſuperficiei ſpeculi fit formæ unius punctirei uiſæ reflexio ad uiſum. Alhazen 53 n 5.

Sit omnino diſpoſitio, quæ eſt in proxima præcedente: & reflectatur forma puncti b ad uiſum exiſtentẽ in puncto a, à puncto ſpeculi pyramidalis cõuexi, quod ſit g: ita quòd cõmunis ſectio ſuperficiel reflexiõis & ſpeculi ſit linea lõgitudinis ſpeculi, quæ eſt e g. dico quòd forma pũcti b refle ctitur ad uiſum a à ſolo puncto ſuperficiei ſpeculi, q eſt; g. Si enim dicatur quòd poteſt reflecti ab alio puncto ſuperficiei ſpeculi: tunc illud punctũ aliud aut erit in linea longitudinis ſpeculi, quę eſt e g, aut n õ. Si ſit in linea longitudinis ſpeculi, quæ eſt e g: ſit e g: ſit illud punctũ x: & ab eo ducatur perpen dicularis ſuք ſuperficiẽ cõtingenté ſpeculũ in illo pũcto ք 12 p 11: hęc ergo քpẽdicularis ſit x z: eritq́ linea x z per 6 p 11 æ quidiſtans lineæ z g, quæ prius ducta eſt perpendicularis ſuper eandem ſuperficiem: cum punctũ g & x ſint in eadem linea longitudinis, ſecundum quã ſuperficies illa pyramidẽ contingit. Et quia lìnea h z & a l ſunt æquidiſtantes, ut patet per illa, quæ dicta ſunt in præmiſſa: erit ergo per 30 p 1 illa perpendicularis x z æquidiſtans lineæ a l. Et quia linea x z ſicut & linea z h, eſt in ſperficier reflexionis, quę per 8 huius uel 25 th. 5 huius eſt erecta ſuper ſuperficiem cõtingentem ſpeculum in linea e g: erit ergo per 1 th. 1 huius linea a l in ſuperficie reflexionis huius lineæ perpendicularis, quę eſt x z & erit ſimiliter in ſuperficie reflexionis lineę perpendicularis, quę eſt z g. Igitur illæ duæ ſuperficies reflexionis ſecát ſe ſuper lineá al per 19 th. 1 huius: ſed ſecant ſe etiã ſu page 286 per punctũ b: quoniá illud eſt, quod reflectitur per utranq: hoc aũt eſt impoſsibile: quoniá punctú b nó eſt in linea al. Oſten ſum eſt enim prius lineam fl ęquidiftantẽ eſſe lineę b m: quę duę lineę uel concurrerẽt ſi punctú b eſſet in linea a l: uel ſequeretur puncta m & n cadere ex una parte lineæ g qNon ergo fieret reflexio punctorũ m & n adinuicé à puncto g, quod eſt cótra demonſtrata in præmiſſa. Reſtat ergo, ut à nullo puncto lineę longitudinis, quę e g, præterquá à puncto g, forma puncti b poſsit reflecti ad centrũ uiſus exiſtens in puncto a. Si

Fig. 688

l d a e f z x y t u p r k o h y x m n q m i b c
aũt poſsibile eſt, ut reflectatur forma puncti b ad uiſum a ab aliquo puncto ſpeculi extra lineá longitudinis g e, fit ille punctus u: & per 101 th. 1 huius ducatur linea longitudinis ſpeculi, quæ ſit linea e u c: quæ in puncto c ſecet peripheriá circuli g p. Et ſumatur ſuperſicies ęquidi ſtans baſi tranſiens per punctũ u: palàm ergo per 8 p 11 quoniá linea a n ſecat hanc ſuperficiem: ideo, quia linea e g, cui æquidiſtat linea a n, ſecat eandẽ ſuperficiẽ: ſunt aút per 1 th. 1 huius lineę a n & e g in eadẽ ſuperficie, cũ ſint æ quidiftantes: ſit ergout linea a n ſecet illá ſuperficiem in puncto y. Similiter quoq linea b m æ quidiſtás lineæ e g, ſecabit eandẽ ſuperficiẽ: ſit quoq punctus ſectionis k: & ducátur lineę k u, y u, a k. Et cum illa ſuperfi cies per 100 th. 1 huius ſecet pyramidẽ ſecundũ circulũ, tranſeuntẽ per punctũ u, ducatur à pũcto u linea ad cen trum huius circuli, quę ſit r u: & producatur extra ſpecu lum: & ſit item u r: & à uertice pyramidis ſpeculi pũcto ſcilicet e ducantur lineæ e k, e y, quæ neceſſariò ſecabũt ſuperficié circuli p g: & ſint puncta ſectionũ i & s: & ducantur lineę i c & s c. Sicut ergo per præcedentem probatum eſt de forma puncti m, quod non impediente pyramide poteſt reflecti ad uiſum exiſtentem in puncto n à puncto ſpeculi g: eodẽ modo probari poteſt de puncto k, quod reflectetur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto y à puncto ſpeculi u: angulus ergo r u y erit æqualis angulo r u k. Et quoniã linea b h æquidiſtat lineę e g, & linea cõmunis ſuperficiei b g e k & ſuperficiei circuli p g eſt linea m g per 19 th. 1 huius: quoniá linea m g eſt in utraq illarũ ſuperficierũ: patet quòd linea e k, cum ſit in hac ſuperficie b g e k, & ſecet ſuperficié circuli p g, cadet ſuper lineam communẽ, quę eſt m g: cadit aũt in punctũ illius ſuperficiei, quod eſt s, ut peręmiſſum eſt: quoniã linea e k s eſt linea una: erit igitur linea s m g linea recta. Eodẽ modo cũ ſuperficies n y e g ſecet ſuperficiẽ circuli p g ſuper lineá n g, linea e y cõcurret cũ linea n g in puncto i per modũ præmiſſum: ergo linea i n g eſt una linea recta. Palàm etiá quòd ſuperficies i c e ſecabit ſuperficiem circuli p g ſuper lineã i c: ſecat aũt ſuperficiẽ huic ſuperficiei ęquidiftantẽ, quę tranſit per punctũ u ſuper lineam y u: ergo per 16 p 11 linea i c æquidiſtat lineæ y u. Similiter ſuperfi cies s c e ſecat ſuperficies illas æ quidiſtantes, ſcilicet ſuperficies g p & u y ſuper duas lineas s c & k u: ergo per eandẽ 16 p 11 lineæ s c & k u ſunt æquidiſtátes. Similiter ſi ſumatur ſuperficies ſecans ſpe culũ ſuper lineá longitudinis, quę eſt e c, in qua ſuperficie ſunt puncta r & u: ſunt enim puncta r, u, c, Min eadẽ ſuperficie: cũ puncta r, u, t, & aliquis punctus lineę s g ſint in eadẽ ſuperficie: quia eadẽ eſt demonſtratio dato alio quocunq puncto lineę c M: ſemper enim ſuperficies hoc modo ſecans ſpeculũ ſecundũ lineá e c, ſecabit illas ſuperficies æquidiſtantes ſuper duas lineas M c & r u: igitur, ut prius per 16 p 11 illę duę M c & r u ſunt æ quidiftantes: igitur per 10 p 11 angulus s c M æqualis eſt angulo k u r: & angulus M c i æqualis angulo r u y: ſed iam patuit quòd angulus k u r æqualis eſt angulo r u y: ergo angulus s c M æqualis eſt angulo M c i. Quare forma pũcti s poteſt reflecti a d uiſum exiſtentẽ in puncto i à puncto ſpeculic, nó impediente corpore pyramidis ſpeculi. Sed iam probatũ eſt per præmiſſa, quòd forma puncti m refle cti poteſt ad uiſum exiſtentẽ in puncto i à pun cto g circuli p g: quoniá poteſt reflecti ad punctũ n: & puncta n & i ſunt in eadẽ linea recta cõſiſtentia, ut præ oftenſum eſt. Poterit ergo forma. puncti m à pũcto ſpeculi g reflecti ad uiſum exiſtentẽ in puncto i: & ita punctũ s, q eſt in linea s m g, poteſt reflecti ad uiſum exiſtentẽ in puncto i à puncto g. Igitur forma pũcti s reflectitur ad uiſum in pũcto i à duobus punctis circuli p g, q eſt impoſsibile, & cõtra 16 p 6 huius, & contra 27 huius. Reſtat ergo, ut primũ ſit impoſsibile: ſcilicet quòd forma puncti b reflecti poſsit ad uiſum exiſtentẽ in puncto a ab aliquo alio puncto ſpeculi, quàm à puncto g. Ab uno ſolo ergo puncto fiet reflexio formæ eiuſdẽ puncti cómuni ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi pyramidalis conuexi exiſtente linea longitudinis ſpeculi. Quod eſt propoſitum.

34. Cõmuni ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi pyramidalis conuexiexiſtente oxygonia ſectione: à quolibet puncto ſuperficiei ſpeculi apparentis uiſuipoteſt reflexio aduiſum: & ab uno uel à duobus punctis tantùm. Alhazen 43 n 4.

Efto ſpeculum pyramidale conuexum f k s: cuius uertex f: diameter baſis k s: centrumq́ baſis n: page 287 erit ergo axis ſpeculi linea f n: ſitq́ centrum uiſus punctus a. Dico quòd cómuni ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi exiſtente ſectione oxygonia, quæ ſit b i: poſsibile eſt à quolibet puncto ſpeculi propoſiti fieri reflexionẽ alicuius puncti uiſi ad punctum a, quod eſt centrũ uiſus. Sit enim punctus b datus in ſuperficie ſpeculi, de quo dubitatur utrũ ab eo poſsit fierl reflexio formæ alicuius puncti rei uiſæ ad centrum uiſus, quod eſt a. Ducatur ergo à puncto b linea longitudinis pyramidis ſpeculi per 101 th. 1 huius, quæ ſit b f: ducaturq́ à puncto b perpendicularis ſuper illá lineam longitu dinis extra ſpeculum, quæ ſit b g: & ſuper punctum b terminum lineæ b g fiat per 23 p 1 angulus æqualis angulo a b g, qui ſit g b p, ducta linea b p in eadem ſuperficie reſlexionis: patetq́ per 20 th 5 huius quia omnis punctus rei uiſæ exiſtens in linea b p reflectetur ad uiſum in punctum a: ſed & à ſolo puncto b uel duobus tantùm fiet reflexio ad uiſum exiſtentẽ in puncto a. Palám enim per 96 th 1 huius quòd ſi perpendicularis g b producatur intra pyramidem: quoniá concurret cum axe f n: ſitq́ punctus concurſus c. Palàm ergo quoniam angulus g c f cum ſit in ſuperficie ſectionis, uerſus uerticem pyramidis eſt acutus per 32 p 1, quoniá in trigono b c f angulus c b f eſt rectus. Circunducatur ergo per 102 th. 1 huius à puncto reflexionis, quod eſt

Fig. 689

f a d e r c b y i h p s l n f q
b, circulus ſpeculo pyramidali: cuius diameter ſit b d: & eius centrum e, ſecás axem f n in puncto e. Et quia ille circulus per 100 th. 1 huius eſt æquidiſtans baſſ ſpeculi, palàm quia perpendicularis g c acutum angulum tenens cum axe fn, declinata erit ſuper circuli illius ſuperficiem: quia linea æquidiſtans lineæ g c ſi produceretur à puncto n centro baſis ſpeculi, patet quòd declinata eſt ſuper baſim pyramidis, ut ſit linea n q. Producta ergo linea c d à puncto axis c ad circuli peripherlam, cum angulus b e c ſit æ qualis angulo d e c, quoniam uterq ipſorum eſt rectus: omnes enim anguli contenti ſub ſemidiametris circuli & axe f e ſunt æ quales, & lineæ à centro ad circumferentiam æ quales, e c uerò linea eſt communis: palàm per 4 p 1 quoniam latus b c æquale eſt lateric d: & omnes anguli fa ctorum trigonorum ſunt æquales: quia idem eſt de omnibus lineis à puncto c ad circuli b d circumferentiam prdoductis per 65 th. 1 hu ius: quoniam punctus c eſt polus circuli b d. Fiet ergo noua pyramis, cuius baſis eſt circulus b d, uertex c, & axis c e. Superficies ergo reflexionis ſecans ſpeculum ſecundum oxygoniam ſectionem: aut continget hanc pyramidem c b d: aut ſecabit. Si contingat, dico quòd à ſolo puncto b, quod eſt punctus reflexionis, tantùm fiet reflexio ſecundum illam ſuperficiem eandem. Palàm enim quòd ſuperficies reflexionis contingat pyramidem ſuper lineam longitudinis illius pyramidis per 95 th. 1 huius: hæc autem erit linea b c, in qua eſt punctũ b, à quo ducitur linea b c perpédicularis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi, & linea reflexionis b a. A puncto quoq, f, quod eſt uertex pyramidis ſpeculi, ducátur lineæ plures ad ſectionẽ oxygoniã, quæ eſt cõmunis ſection ſuperficiei reflexióis & pyramidis ſpeculi, quæ eſt f k s. Omnes itaq illæ lineę prius cadent in ſuperficiẽ circuli b d, quę eſt baſis pyramidis intellectæ,  cadant in ipſam ſectionẽ, præter uná ſolam, quę cadetin punctũ reflexiõis b, quę eſt linea f b. A folo itaq puncto b fiet reflexio a d uiſum. Si enim detur quod ab alio puncto dictę ſectiõis oxygonię, ut à puncto i, fiat ad uiſum a reflexio: tunc linea ab illo punctio i ad punctũ c, quod eſt uertex pyramidis intelletę, du cta, quę ſit i c: erit, ut prius, perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi per 96 th. 1 huius. Cum enim illa perpen dicularis neceſſariò ſit in ſuperficie reflexióis, in qua eſt ſectio: oportet quòd ipſa cadat in punctũ c. Ergo erit perpendicularis ſuper lineam lógitudinis pyramidis ſpeculi per illud punctũ i tranſeuntẽ, quæ ſit fil. Sit quoq punctus, in quo linea f i ſecat circulũ d b, pun ctus r. Patet aũt per præmiſſa & per 96 th. 1 huius quoniã linea c rà uertice pyramidis intellectę ducta ad illá lineá longitudinis necſſariò eſt perpendicularis ſuper illá, ſicut linea c b eſt perpendicularis ſuper lineá lon gitudinis ſpeculi, quæ eſt f b: quoniã, ut patet per 89 th. 1 huius anguli omniũ linearũ longitudinis cum ſemidiametro baſis & cũ axe ad uerticẽ ſunt æ quales: erunt ergo in triangulo cir duo anguli recti: quod eſt impoſsibile & cótra 32 p 1. Non ergo fiet reflexio a b alio puncto ſect. onis oxygoniæ, quę eſt b i,  à puncto b, ſuperficie reflexionis pyramidem c b d contingente. Quòd fi ſuperficies re flexionis ſecet pyramidẽ c b d, palàm per 104 th. 1 huius quoniã ſecabit circulũ b d, ꝗ eſt baſis eiuſdẽ pyramidis, in duobus tantùm punctis. Dico ergo quòd in his ſolis duobus punctis poteſt fieri refle xio ad uiſum à tota data oxygonia ſectione. Quoniá enim a b utroq iſtorũ punctorũ linea ducta ad punctũ c, q eſt uertex pyramidis c b d, eſt perpendicularis ſuper lineá longitudinis ſpeculi tranſ euntẽ per illum punctũ, ut patet ex præmiſsis: ab illis ergo duobus punctis poteſt fieri reflexio ad uiſum a, prout modo præmiſſo demonſtrari poteſt. Quòd ſi dentur puncta alia illius ſectionis oxygoniæ, à quibus dicatur poſſe fieri reflexio: tunc ſemper linea à dato puncto, quod ſit h, ducta ad punctum c uerticem imaginatæ pyramidis, tenebit angulum rectum cum linea longitudinis ſpeculi per illum dictum punctum tranſeuntem: & fiet angulus extrinſecus æqualis intrinſeco ſibi oppoſito, quod eſt contra 16 p 1: aut duo anguli trianguli fient recti, quod eſt contra 32 p 1, ut prius. Linea enim à puncto c ad communem ſectionem eiuſdem lineæ longitudinis & circuli page 288 b d ducta tenebit cum linea longitudinis angulum rectum. Si uerò angulus f h c ſit acutus, ideo quòd angulus c r h ſit rectus: palàm per 13 p 1 quòd angulus c h l eſt obtuſus. Omnes enim lineæ du ctę à puncto c, quod eſt uertex pyramidis intellectæ, quæ eſt c b d, ad
Fig. 690

f a d e r c b g h p l s n k
puncta ſectionis, quę interiacent uerticem ſpeculi & peripheriam circuli b d, facient angulos obtuſos cum lineis longitudinis uerſus uerticem pyramidis, qui eſt f: & omnes lineæ, quę ducuntur à puncto c ad puncta interiacentia circulum b d & baſim ſpeculi k s, facient cum lineis longitudinis angulos acutos uerſus uerticem ſpeculi, qui eſt f, & obtuſos ex parte baſis. A nullo ergo omnium illorum punctorum fiet reflexio, ſed à ſolis punctis circuli b d: ſed neq ab illis poteſt fieri reflexio per 25 huius, niſi in ſectione oxygonia ceciderint: hoc autem non eſt poſsibile, ut præmiſſum eſt, niſi in uno tantùm puncto ſectione oxygonia imaginatam pyramidem contingente, uel tantùm in duobus punctis dicta ſectione baſim pyramidis imaginatæ ſecante: nec enim poſſunt hæc per modos alios uariari. Patet ergo propoſitum.

35. Dato ſpeculo pyramidali conuexo, centro́ uiſus & puncto rei uiſe exiſtentibus inter ſuperficiem æquidiſtanter baſi ſpeculum in uertice contingentem & inter ipſam baſim: poßile eſt inueniri punctum reflexionis. Alhazen 54 n 5.

Eſto datum ſpeculum pyramidale, cuius uertex ſit punctus g: & fiat ſuper ipſum uerticem ſuperficies æquidiſtans baſi pyramidis, quę ſit m n g: quod fiet ductis à puncto g uertice ſpeculi tribus lineis perpendicularibus ſuper axem ſpeculi per 11 p 1, & imaginata pla na ſuperficie inter illas lineas extenſa: ſitq́ a punctus rei uiſæ & b centrũ uiſus: quæ ſint ambo ſub illa ſuperficie m n g, inter ipſam ſcilicet & baſim ſpeculi: ſitq́ exempli cauſſa, punctũ b propinquius uertici ſpeculi g quàm punctum a: quoniam ſi poſitum fuerit eſſe econuerſo, ſemper eadem eſt demonſtratio. Dico quòd eſt poſsibile punctum reflexionis inueniri. Ducatur enim à puncto a, qui eſt punctus rei uiſæ, ſuperficies ſecans pyramidem æ quidiſtanter baſi, ut prius: & ducatur à uertice ſpeculi, qui eſt punctum g, linea ad punctum b, quod eſt centrum uiſus, quæ ſit g b. Hæc itaq linea producta cadet in ſuperficiem à puncto a rei uiſæ ductam æquidiſtanter baſi pyramidis: cum illa linea g b ſit inter ſuperficies æ quidiſtantes ducta à uertice axis ambas illas ſuperficies tranſeuntis: punctus ergo, in quem cadit hæc linea g b, ſit punctus h. Ergo per modum demonſtrandi, quo uſi ſumus in 32 huius, demonſtrari poteſt quoniam forma puncti a reflectetur ad uiſum exiſtentem in puncto h ab aliquo puncto circuli, quem efficit ſuperficies ſecans pyramidem, ducta à punctis a & h: cuius circuli centrum ſit punctum axis ſpeculi, quod

Fig. 691

g m n b f q k l t s e p o h r a
eſt t: & ſit punctus reflexionis inuentus in illo circulo punctus e: & ducatur inter a punctum rei uiſæ & centrum uiſus b linea a b: & linea longitudinis ſpeculi, quę fit g e: & axis pyramidis ſpeculi ſit g t: & ducatur à puncto e linea ad centrum ſui circuli, quæ ſit e t: hæc enim ca det ſuper axẽ g t perpendiculariter per 100 & per 89 th. 1 huius, uel per 21 huius: & etiam ideo quòd axis g t cum ſit perpendicularis ſuper baſim pyramidis ſpeculi & etiã erectus ſuper ſuperficiem circuli æquidiftantis illi baſi per 23 th. 1 huius: eſt ergo per definitionem lineę ſuper ſu perficiem erectæ axis g t perpendicularis ſuper ſemidiametrum e t, & erit linea e t erecta ſuper lineam contingentem illum circulũ in puncto e per 18 p 3: & hæc linea t e producta extra circulum ductis lineis h e & a e, ſecabit angulum a b eis contentum per æ qualia, ſcilicet angu lum h e a per 26 th. 5 huius: ergo per 29 th. 1 huius eadem linea t e producta lineam h a ductá ſecabit: cum ſit cum illa in eadẽ ſuperficie reflexionis, ut patet per 24 huius: ſit ergo linearum t e & h a punctus ſectionis r. Et quia lineæ g e & e t efficiunt ſuperficiem ſecantem lineam a b: ſit punctus ſectionis ſ: & ab illo puncto f ducatur per 12 p 1 linea perpendicularis ſuper lineá longitudinis g e, quæ fit f q: eritq́ linea f q per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ, perpendicularis ſuper ſuperficiem contin gentem pyramidem ſuper lineam g e. Deinde à puncto a ducatur linea æ quidiſtás lineæ f q, quæ fit linea a l: producaturq́ linea f q, donec concurrat cum axe g t in puncto k. Ducatur item à puncto a linea æquidi ſtans line æ r t, quæ ſit a s: & ducatur à puncto e linea, quæ ſit communis ſectio ſuperficiei reflexio 289 nis, quæ eſt a e h, & ſuperficiei contingentis pyramidem ſpeculi in linea longitudinis, quæ eſt g e: & fit hæc linea e o: quæ cum ſit perpendicularis ſuper ſemidiametrum circuli, quæ eſt e t, ut pater per 18 p 3: contingit enim linea e o circulum, cuius eſt centrum punctum t: palàm quòd ipſa eſt perpendicularis ſuper lineam e r: ergo per 29 p 1 erit linea e o perpendicularis ſuper lineam a s: quoniam li nea a s æquidiſtat lineæ t r, ut patet ex præmiſsis. Ducatur quoque linea b q, quæ producta neceſſariò concurret cum linea a l per 2 th. 1 huius: quia concurrit cum eius æ quidiſtante, ſcilicet linea f q: fit punctus concurſus l: & ducatur à puncto q linea, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei contingen tis ſpeculum ſecundum lineam longitudinis g e & ſuperficiei a b l: quæ fit q p: quæ per 2 th. 1 huius ſecabit lineã a l: quia ſecat eius æ quidiſtãtẽ, quę eſt f k: ſit pũctus ſectionis p: producaturq́ linea h e, donec concurrat cum linea a s: concurret autem per 2 th. 1 huius: ſit punctus concurſus s: & ducantur duę lineęl s & p o. Quia itaq linea r t eſt perpendicularis ſuper axem g t, & linea f k acutum angulum continet cum axe g t, angulus enim f k g per 32 p 1 eſt acutus: ideo quia angulus f q g, ut patet ex pręmiſsis, eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius lineæ r t & f k concurrent in a liquo puncto ultra axẽ g t: ſed & illarũ ęquidiſtãtes lineę, quæ ſunt a l & a s cõcurrunt in pũcto a: ſuntq́ in alia ſuperficie,  lineę r t & f k, quę ſunt in ſuքficie g e k ք 1 p 11: palá ergo quoniá ſuքficies a l s eſt ę quidiftás ſuքficiel g e kք 15 p 11. Lineę quoq q e & p o ſunt in ſuքficie cótingtẽte ſpeculũ in linea lõgitudinis g e, & ſecá te illas duas ſuperficies ęquidiſtantes ſuք duas lineas, quę ſunt q e & p o: igitur linea q e æ quidiftat lineę p o per 16 p 11. Et quia linea h e producta concurrit cum linea a s in puncto s: erit ergo linea e s in ſuperficie h e g per 1 p 11, & in eadem ſuperficie eſt linea b l: & hæc ſuperficies ſecat prædictas fuperficies ęquidiſtantes, quæ ſunta l g & g e k, in duabus lineis e q & l s: igitur per 16 p 11 linea e q eſt æquidiſtans lineæ l s: ergo per 30 p 1 linea p o, quæ eſt æquidiſtans lineæ q s, ut ſuprà patuit, erit æquidiſtans ipſi lineę l s. Erit ergo per 2 p 6 proportio lineę a o ad lineam o s, ſicut line ę a p ad lineá p l: ſed quoniam per 20 th. 5 huius angulus h e r eſt æqualis angulo r e a, & angulus h e r æ qualis angulo e s a per 29 p 1: quoniam extrinſecus intrinſeco eſt æ qualis: & angulus e a s æ qualis eſt angulo r e a, quia coalternus: palàm quia angulus e s a eſt ęqualis angulo e a s: ergo per 6 p 1 erit linea e a ęqualis lineę e s, quia linea e o eſt perpendicularis ſuper lineam a s, erũt per 31 th. 1 huius trigonia e o & s e o ſimiles: ergo per 1 definit. 6 ipſorum latera æquos angulos reſpicientia ſunt proportionalia. Sed expræmiſsis patet quòd latus a e eſt æ quale lateri e s: ergo & latus a o erit æ quale lateri o s: ergo & linea a p eſt ęqualis ipſi lineę p l: & linea p q eſt per 29 p 1 perpendicularis ſuper lineam a l: cum ipſa ſit perpendicularis ſuper lineam f k ęquidiſtantem lineę a l. in trigonis ergo q p a & q p l anguli ad p ſunt æquales, quia recti, & latus l p eſt æ quale lateri p a, latusq́ p q ambobus trigonis q p l & q p a eſt commune: ergo per 4 p 1 erit linea a q ęqualis lineę q l, & angulus q l a æqualis eſt an gulo q a l: ſed angulus q l a ęqualis eſt angulo b q f per 29 p 1, cum ſit ei extrinſecus: & angulus q a l ęqualis eſt angulo a q f, cum ſit ei coalternus: erit ergo angulus b q f æqualis angulo a q f. Igitur per 20 th. 5 huius forma puncti a reflectitur ad uiſum b à puncto ſpeculi q. Quod eſt propoſitum.

36. Dato ſpeculo pyramidali cõuexo, centro́ uiſus
Fig. 692

g m q n t e b r a
& puncto rei uiſæ exiſtentibus in ſuperficie ſpeculum æquidiſtanter baſi in uertice contingente: poßibile ect inueniri punctum reflexionis. Alhazen 55 n 5.

Fiat diſpoſitio ut proximę pręcedẽtis: ſitq́ue uertex ſpeculi pyramidalis punctus g: in quo ipſum contingat ſuperficies plana, quę ſit m n g, ęquidiſtans baſi ipſius: & ſint centrum uiſus & punctus rei uiſę in ſuperficie m n g, ita quòd unum ſit in puncto m, aliud in puncto n. Dico quòd poſsibile eſt punctum reflexionis inueniri. Ducantur enim lineę m g, n g, m n: & diuidatur angulus m g n per ęqualia per lineam q g. Palàm ergo per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti n à puncto fpeculi g reflectitur ad uiſum m. Palàm etiá quòd linea m g & axis pyramidis ſpeculi, qui ſit g t, ſunt in ſuperficie ſecante pyramidem ſuper lineam longitudinis pyramidis, quæ fit g e. Et à puncto q duncatur perpendicularis ſuper hanclineam longitudinis, quę eſt g e, per 12 p 1, quę ſit q e: & ſuper punctum e ducatur ſuperficies æquidiftans baſi ſpeculi: quę ſecabit pyramidem ſecundum circulũ, per 100 th. 1 huius. Linea uerò communis ſuperficiei q e g & huic circulo ſit linea e t. Palàm ergo quoniam hęc linea cadet ſuper axem ſpeculi in centro circuli, quod fit t. Deinde à puncto m centro uiſus ducatur linea æquidiſtans lineę longitudinis ſpeculi, quæ eſt e g per 31 p 1: quę producta in ſuperficiem illius circuli, cadat in punctum b: & ſimiliter à puncto n, qui eſt punctu s rei uiſæ, ducaturlinea ęquidiftás lineę g e, page 290 quæ producta in dictam ſuperficiem, cadatin punctum a: & ducatur linea b a in ſuperficie plana ſecante ſpeculum ſecundum prædictum circulum: & producatur linea te extra ſpeculum, quæ ſecabit neceſſariò lineam b a per 29 th. 1 huius: cum illæ ambæ lineæ in eadem ſint ſuperficie circuli: ſecet ergo ipſam in punctor. Quia uerò linea m b æ quidiſtat lineę e g: palàm per 1 th. 1 huius quia eſt cum ipſa in eadem ſuperficie: quę ſuperficies ſecat ſuperficiem m n g, & ſuperficiem b e a ſuper duas lineas m g & b e: ſuperficies uerò m g n & b e a ſunt æquidiftantes per 24 th. 1 huius: quoniam ipſæ ambæ æquidiſtant baſi ſpeculi: ergo per 16 11 linea m g eſt æquidiſtans lineæ b e. Similiter quoq lineę a n & g e ſunt in ſuperficie ſecante illas æquidiſtantes ſuperficies ſuper lineas n g & e a: igitur per 16 p 11 linea n g æquiſtat lineæ a e. Similiter ſuperficies q g e ſecat eaſdem ſuperficies ęquidiſtan tes ſecundum duas lineas r e & q g: igitur, ut prius, lineę r e & q g æ quidiftant. Igitur duæ lineæ q g & m g æ quidiſtant duabus lineis b e & r e: ergo per 10 p 11 angulus m g q eſt æ qualis angulo b e r: & angulus q g n eadẽ ratione eſt ęqualis an gulo r e a. Ergo per 20 th. 5 huius forma puncti a poteſt reflecti ad uiſum b à puncto ſpeculi e. Si ergo à puncto a ducatur linea ę quidiſtãs ductę lineę q e, & alia ęquidiſtans lineę r e: & copulentur lineę m e & n e, & producatur linea m e, donec concurrat cũ linea ę quidiſtante lineę q e ducta à puncto a, & ducantur lineę communes, ut in proxima pręceden te, & iteretur probatio, ut in illa: patebit quoniam forma punctin poteſt reflecti ad uiſum m à puncto ſpeculie. Igitur punctus e erit punctus reflexionis. Quod eſt propoſitum.

37. Dato ſpeculo pyramidali conuexo, & centro uiſus & puncto rei uiſæ exiſtentibus ultra ſuperficiem æquidiſtanter baſi ſpeculum in uertice contingentem: poßibile eſt punctum reflexionis inueniri. Alhazen 56 n 5.

Sit diſpoſitio, quę prius: & ſit b centrum uiſus: & a punctus rei uiſæ ultra ſuperficiem m g n ſpecu lum in puncto g uertice pyramidis contin gentem. Dico quòd eſt poſsibile inueniri punctum reflexionis. Fiat enim pyramis huic oppoſita: & eſt hoc per 91th. 1 huius poſsibile, lineis omnibus longitudinis pyramidis ſpeculi imaginatis protrahi ultra ipſarum cómunem ſectionem, quę fit in uertice g: eritq́ue baſis huius pyramidis ęquidiſtans baſi pyramidis primæ. Ducatur itaque à puncto a (qui eſt punctus rei uiſæ) ſuperficies ſecans hanc ſecundam pyramidem æquidiſtanter baſibus uni us & alterius pyramidum. Et quoniam illæ baſes ad inuicem æquidiſtant: palàm per 23 & 24 th. 1 huius quoniam illa ſuperficies ęquidiſtat ambabus baſibus pyramidum: palàm autem per 100 th. 1 huius quoniam illa ſuperficies ſecabit pyramidem illam ſecundam ſecundum circulum, qui ſit y z. Centrum ita que uiſus (quod eſt b) aut erit in hac ſuperficie pyramidem ſecante, autnon. Si fuerit in illa ſuperficie, fiat ductio linearum ab ipſo puncto b, & compleatur demonſtratio ſicut in 35 huius, quantùm ad hoc quòd fiat reflexio formę puncti a ad centrum uiſus b ab aliquo puncto ſecundę pyramidis, quod ſit z: quo habito, compleatur demonſtratio, ut infrà ſtatim patebit. Quòd ſi pun ctus b (qui eſt centrum uiſus) non fuerit in illa ſuper

Fig. 693

z y v p d q b m n g t e f r h
ficie: ducatur à puncto g uertice ipſius ſpeculi ad centrum uiſus, quod eſt b. linea g b: quę producatur uſquequò concurrat cum hac ſuperficie circuli y z: & ſit concurſus in puncto d. Palàm itaque quòd forma puncti a reflectitur ad uiſum exiſtentẽ in puncto d ab aliquo pun cto circuli y z arcus ſui interioris, ut patuit per 32 huius. Sit ergo ille punctus z: & ducantur lineæ a z, d z, a d: angulum quoque a z d diuidat linea p z per æqualia: cadetq́ue punctus p in linea a d: & ducatur linea a b: & à puncto z ducatur linea z g per 101th. 1 huius, quæ ſit linea lõgitudinis ſecundæ pyramidis. Palàm quoque per 91 th. 1 huius quoniam eadem linea producta trans uerticem pyramidis ſpeculi, erit linea longitudinis primæ pyramidis ipſius ſpeculi: quæ ſit linea z g e. Palàm ergo quoniam ſuperficies p z e ſecabit lineam a b: ſecet ergo ipſam in puncto q: & à puncto q per 12 p 1 ducatur linea perpendicularis ſuper lineam g e: & cadat in punctum e: & erit linea q e perpendicularis ſuper ſuperficiem cõtingentem pyramidem ſecundum lineam g e: quoniam linea q e eſt perpendicularis ſuper curuam ſuperficiem pyramidis, ut patet. Super punctum quoque e fiat per 102 th. 1 huius ſuperficies ęquidiſtans baſi, quę ſit f e h, & ducatur à puncto b centro uiſus linea æquidiſtans lineę z e longitudinis ſpeculi: quæ ſit b h, concurrens cũ ſuperficie illa f e h in puncto h: & eidem lineæ z e ducatur à puncto a rei uiſę linea ę quidiſtans, quę ſit a f, ſecans ſuperficiem f e h in puncto, qui eſt ſ. Palàm itaque per 1 th. 1 huius, cum linea b h ſit æquidiſtans lineę z e, quoniam illę lineę ſunt in eadem ſuperficie: ſed & puncta b & d ſunt in eadem linea: page 291 quia per 1 p 11 lineę d z & h e ſunt in eadem ſuperficie, quę ſecat ſuperficies illas ęquidiſtãtes, ſcilicet y z & f e h ſuք duas lineas d z & h e. Igitur ք 16 p 11 illæ duę lineę d z & h e ſunt ęquidiſtãtes. Et ſimi liter quoniam ſuperficies ducta per punctum a ſecat pyramidem ſecundam ęquidiſtãter ambabus baſibus præmiſſarum pyramidum, ſpeculi ſcilicet, & pyramidis imaginatę ſecundum circulum y z, & ſuperficies ducta per lineam f e, quæ eſt ſuperficies f e h, ſecat pyramidem ſpeculi ſecundum circulum æquidiſtantem baſi ſpeculi: patet quòd ſuperficies, in qua ſunt lineę a z & f e, ſunt ęquidiſtan tes per 24 th. 1 huius: lineę ergo a z & f e ſunt ęquidiſtantes. Patet ergo quòd duę lineę d z & a z æquidiſtant duabus lineis h e & f e: ergo per 10 p 11 angulus d z a eſt ęqualis angulo h e ſ. Copuletur quoque linea h f. Et quoniam linea p z eſt diuidens per ęqualia angulum d z a: erit ipſa per 26 th. 5 huius perpendicularis ſuper lineam, circulum y z contingentem in pũcto z: ergo per 19 p 3 linea p z producta tranſibit centrum circuli y z. Superficies ergo p z e ſecat ſpeculum trans axem: ſecat ergo circulum ductum per punctum e tranſeuntem. Sit ergo communis ſectio ſuperficiei p z e & illius circuli linea r e. Sicut ergo linea s p z tranſit centrum circuli y z: ſimiliter linea r e diuidens angulũ h e f tranſibit centrum alterius circuli, ſuper quem ſuperficies f e h ſecat pyramidem ſpeculi ęquidiſtanter baſi. Et quia ſuperficies, in qua ſunt duę lineę p z & e r, ſecat illas duas ſuperficies ęquidiſtantes ſuper duas lineas p z & r e: igitur per 16 p 11 lineę p z & r e ſunt æquidiſtantes. Duę ergo lineę a z & z p ſunt ęquidiſtantes duabus lineis f e & e r: ergo per 10 p 11 angulus a z p ęqualis eſt angulo f e r. Similiter & angulus d z p eſt ęqualis angulo r e i: quoniam ſicut totus angulus d z a eſt ęqualis toti h e f, ſic medietas medietati: ergo angulus f e r ęqualis eſt angulo h e r. Patet ergo per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti ſ reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto h à puncto ſpeculi e. Ergo ſi à puncto f protrahatur linea ęquidiſtans lineę q e, & alia linea ęquidiſtans lineę r e, & lineę aliæ communes, ut in 35 huius, reiterata demonſtratione illius: patebit quoniam forma puncti a reflectitur ad uiſum b à puncto ſpeculi e. Quod eſt propoſitum. Quòd ſi à puncto q non poſsit duci li nea perpendicularis ſuper lineam g e, nulla ſiet reflexio formæ puncti a ad uiſum b in tali diſpoſitio ne conſtitutum: aliàs autem ſemper fiet reflexio, ut præ oſtenſum eſt: & patet per 14 huius, & per 90 th. 4 huius.

38. Dato ſpeculo pyramidali conuexo, puncto́ rei uiſæ exiſtente ſub ſuperficie ſpeculũ æquidiſtanter baſi in uertice contingente, & centro uiſus in eadem ſuperficie: poßibile est punctum reflexionis inueniri. Alhazen 57 n 5.

Permaneat prior diſpoſitio pręmiſſarum: & ſit a punctus rei uiſę, qui ſit ſub ſuperficie m n g contingente pyramidem ſpeculi in uertice g ęquidiſtanter baſi: & ſit centrum uiſus in illa ſuperficie. Di co quòd adhuc poſsibile eſt inueniri punctum reflexionis. Sit enim centrum uiſus in puncto m ſuperficiei m g n, quę poſita eſt ſuperficies contingens ſpeculũ in puncto uerticis g ęquidiſtanter baſi ſpeculi: & à puncto a rei uiſę ducatur ſuperficies ęquidiſtans baſi pyramidis: quę per 100 th. 1 huius ſecabit pyramidem ſuper circulum, qui ſit d e k: cuius centrum ſit punctum t, & ducatur axis ſpecu li, qui ſit g t: & à puncto m centro uiſus ducatur ad a punctum rei uiſę linea m a: & linea perpendicu laris ſuper dictam ſuperficiem circuli, quę ſit m h: & à puncto had cẽ trum circuli ducatur linea h t: & à puncto rei uiſę (qui eſt a) ducatur

Fig. 694

m n g f p i b a h e q t d k
ad lineam h t linea a e q intra circulum, ſecãs peripheriam circuli in puncto e, & producta taliter ut pars ductę lineę intra circulũ, quę eſt e q, ſit æqualis lineę q t ſcilicet parti diametri interiacenti punctum ſectionis & centrum: quod poteſt fieri per 136 th. 1 huius: & ducatur linea t e i: & à puncto h ducatur in eadem ſuperficie ſpeculum ſecan te ſecundũ circulũ d e k, linea ęquidiſtans & æqualis lineę t e, quæ ſit h b: & ducãtur lineę m b, & b e, & g e: eritq́ g e linea lõgitudinis ſpeculi. Palàm quoniã ſuperficies g t e ſecans ſpeculum trans axẽ, ſecat etiam lineam a m: ſit ergo punctus ſectionis f: & ducatur à puncto f perpendicularis ſuper lineá longitudinis ſpeculi, quæ eſt g e, cadens in punctum o: & producatur ad axem g t: & ſit f o p ſecans axem g t in puncto p: & ducantur lineæ m o & a o. Dico quoniam punctus o, (qui eſt punctus ſuperficiei ſpeculi: cum ſit in linea ſuę longitudinis, quæ eſt g e) eſt punctus reflexionis formæ punctia, ad centrum uiſus punctum m. Palàm enim ex pręmiſsis, quoniam linea h b eſt æqualis & æquidiſtans lineę t e: igitur per 33 p 1 erit linea h t ęqualis & ęquidiſtans lineę b e: ſed linea m h eſt ęqualis & ęquidiſtans axi g t per 25 th. 1 huius: eò quòd ipſę ſunt lineæ ęquidiſtantes inter ſuperficies ęquidiſtantes productæ: ergo per 33 p 1 linea h t æquidiſtat lineę m g: ergo per 30 p 1 linea m g ęquidiſtat lineę b e: & eſt ęqualis illi. Palàm etiam quòd angulus q t e eſt ęqualis angulo q e t per 5 p 1: ideo quia lineæ e q & q t, ut patet ex præmiſsis, ſunt æquales: ſed angulus q e t æqualis eſt angu lo a e i per 15 p 1: angulus ergo q t e eſt æqualis angulo a e i: ſed angulus q t e per 29 p 1 eſt ęqualis angulo i e b: propter hoc quòd lineę e b & t h æquidiſtant: ergo angulus j e b eſt ęqualis angulo i e a. Patet ergo per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti a reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto b à puncto ſpeculi e. Et cum linea b m ęquidiſtans ſit lineę g e, ſi à puncto a ducatur linea ęquidiſtans page 292 lineæ f o p, & linea æquidiſtans lineę it: & iteretur figura ſuperà dicta 35 huius, & probatio eiuſdem: palàm quia ſorma puncti a reflectetur ad cẽtrum uiſus exiſtens in puncto m à puncto ſpeculi o. Q eſt propoſitum: nec refert quemadmodum demonſtraui hoc in ſequenti proxima: ſiue punctum rei uiſæ, ſiue centrum uiſus ſit in ſuperficie m g n: quoniam idem eſt modus & ratio reflexionis hinc & inde.

39. Dato ſpeculo pyramidali conuexo, puncto́ rei uiſæ exiſten
Fig. 695

y z m q p a n y t e f r h
te ultra ſuperficiem ſpeculum æquidiſt anter baſi in uertice contin gentem, & centro uiſus in eadem ſuperficie: poßibile est punctum reflexionis inueniri. Alhazen 58 n 5.

Remanente diſpoſitione figuræ pręcedentis: ſit centrum uiſus in puncto m ſuperficiei m g n: & ſit a punctus rei uiſę ultra illam ſuperficiem: fiatq́ue pyramiś alia huic oppoſita: & fiat ſuper punctum a ſuperficies ęquidiſtans baſi huius pyramidis: & per proximam pręcedentem inueniatur in circulo huius ſuperficiei punctus reflexionis ex punctis interioribus: & ducatur à puncto illo linea ad punctum g: & producatur taliter in ſuperficie ipſius, ut ipſa fiat linea lõgitudinis pyramidis ipſius ſpeculi: inuenieturq́ punctus reflexionis ſecundum ea, quę præmiſimus in 37 huius: eiusq́ idem probandi modus penitus, qui prius in eadem 37. Et hoc eſt prop oſitum.

40. Dato ſpeculo pyramidali conuexo, puncto́ rei uiſæ exiſten te ſub ſuperficie pyramidem æquidiſt anter baſi in uertice contingente, & centro uiſus ſuper eandem, uel econuerſo: poßibile est punctum reflexionis inueniri. Alhazen 59 n 5.

Diſpoſitione priori remanente: ſit punctus a rei uiſæ ſub ſuperficie m n g: & punctus b centrum uiſus ultra eandem ſuperficiem ſpeculum in uertice g contingentem: uel econuerſo a punctus rei uiſæ ſit ultra ſuperficiem m n g, & b centrum uiſus ſub ſuperficie m n g. Dico quòd adhuc poſsibile eſt punctum reflexionis inueniri. Sit enim, exempli gratia, punctum a ſub ſuperficie m n g, & b ultra illam: ducaturq́ue à puncto a ſuperficies ęquidiſtãs baſi ſpeculi ſecans per 100 th. 1 huius pyramidem ſpecu

Fig. 696

a s t d k e h i o p u g m n b
li ſuper circulum, qui ſit d e: cuius centrum ſit t: & duca tur axis ſpeculi, qui ſit g t: & ducatur linea b g à puncto ulteriori, in quo eſt centrum uiſus, ad uerticem pyrami dis: quæ producta concurret neceſſariò cum ſuperficie a e d: quoniam concurrit cum axe ſuper ipſam erecto. Sit concurſus punctus k: & in circulo d e inueniatur per 135 th. 1 huius pũctus, qui ſit e, ita ut linea circulum contingens à puncto e ducta, quę ſit e s, diuidat per æqualia angulum, quem continent ductæ lineę k e & a e: copulenturq́ lineę longitudinis, quæ ſint g e & g d: & à puncto b ducatur linea æquidiſtans lineę g e: quę neceſſariò concurret cum linea k e concurrente cum eius æquidiſtante quæ eſt g e, per 2 th. 1 huius: ſit concurſus in puncto h. Palàm itaque per 1 p 11 quia punctus b eſt in ſuperficie g e k: quoniam eſt in linea k g b, quę ducta eſt in illa ſuperficie, & linea b h eſt in eadem ſuperficie per 1 th. 1 huius: quoniam ipſa linea b h eſt ęquidiſtans lineę g e: & ducatur linea t e i à centro circuli t per punctum contactus e. Palàm itaque quoniam ſuperficies g t e ſecans ſpeculum trans axem g t, ſecat etiam lineam b a. Secet ergo ipſam in puncto u: & à puncto u ducatur perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ contingentẽ ſpeculũ ſecundum lineã longitudinis ſpeculi, quę eſt g e: hęc enim ſuperficies continget circulum d e in puncto e, quæ linea ſit o p u, ſecans ſuperficiem ſpeculi in puncto o, & axem g t in pũcto p: & ducãtur lineæ a o & b o. Cum itaque, ut patet ex præmiſsis, angulus a e s ſit ęqualis angulo s e k, & cum angulus i e s ſit rectus per 18 p 3, & angulus s e t rectus: palàm quòd angulus i e a eſt æqualis angulo t e k: ſed & angulus t e k ęqualis eſt angulo i e h ք 15 p 1: ergo angulus a e i eſt ęqualis angulo i e h. Poteſt ergo forma pũcti a reflecti ad uiſum exiſtentẽ in pũcto h à puncto ſpeculi, q eſt e, ք 20 th. 5 huius. Si ergo à pun cto a ducatur linea æquidiſtans lineæ u p, & linea æquidiſtãs lineæ i t. & iteretur probatio 35 huius: page 293 palàm quoniam forma puncti a reflectetur à puncto ſpeculi, quod eſto, punctum lineę g e, ad uiſum exiſtentem in puncto b. Quod eſt propoſitum. Et quoniam ſemper eſt eodem modeo demonſtrandum quodcunque punctorum a uel b fuerit ex quacũ que altera parte ſuperficiei m n g: patet illud, quod proponebatur. Et imaginandum eſt ita, quòd in figura ſolida punctum b cadat in lineam e g, quod in plano non potuimus taliter figurare. Palàm itaque ex præmiſsis ſex theorematibus, cũ nõ ſit poſsibile alio modo ſe habere punctum rei uiſæ ſecundum ſitum reflexibilitatis à ſpeculis pyramidalibus conuexis ad centra uiſus, niſi modis propoſitis: quoniam aut ambo erunt ſub ſuperficie m n g: aut ambo ultra illam: aut ambo in illa: aut unum in illa, aliud ſub illa uel ultra illam: aut unum ſub illa, aliud ultra illam: & omnibus his modis reflexionis punctum eſt inuentum. Vniuer ſaliter er go in tota ſuperficie ſpeculi pyramidalis conuexi quocunq modo ſe habente rei uiſibilis pũcto ad centrum uiſus, punctum reflexionis eſt poſsibile inueniri: quod principaliter quærebatur.

41. Speculo pyramidali conuexo ſuper ipſius baſim erecto: poßibile eſt rectam lineam rei uiſæ & centrum uiſus ſic ſiſti, ut ab una linea longitudinis ſpeculi fiat formarum omnium punctorum illius lineæ reflexio ad uiſum. Alhazen 31 n 6.

Sit ſpeculum pyramidale conuexum, cuius uertex ſit a: axis uerò a h: linea longitudinis a z: & à puncto z ducatur linea perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in linea longitudinis: quæ producta neceſſariò concurret cum axe a h per 96 th. 1 huius: ſitq́ linea h z t ſecans axẽ a h in puncto h: & eius punctus t ſit extra ſuperficiem ſpeculi: & erit angulus a z h rectus: ergo per 32 p 1 angulus a h z eſt acutus. Ducatur quo que à puncto a uertice ſpeculi linea extra pyramidem ultra ſuperficiem contingentem pyramidem in linea a z, continens angulum acutum cum ſpeculi axe, qui eſt a h, & cũ linea lõgitudinis a z, quæ ſit a n: lineę quoq a h, a z, a n non ſint in eadem ſuperfi cie, ſed in diuerſis: & in ſuperficie h a n à puncto h ducatur linea, cum axe continens angulum æqua lem angulo a h z: quæ linea concurret cum linea a n per 14 th. 1 huius: cum anguli h a n & a h z ſint acuti, ut patet ex præmiſsis: concurrant ergo in puncto o: & ſit linea h o: & facto ſuper punctum z cir culo æquidiſtante baſit per 102 th. 1 huius: palàm quoniam linea h o tranſibit ſuperficiem illius circu li: ſicut etiam linea h z t tranſit per ſuperficiem eiuſdem circuli. Fit enim punctus h polus illius circuli: ideo quòd ſemidiameter illius circuli cum axe a h continet angulum rectum, & anguli a h z & a h o ſunt acuti, ut patet ex præmiſsis. Secet itaq linea h z t ſuperficiem illius circuli in puncto z: & linea h o in puncto u: ducaturq́ linea longitudinis ſpeculi, quæ ſit a u s: ducatur quoq linea o z: quæ producatur uſque ad punctum f. Et quoniam linea o z eſt ultra ſuperficiem contingentem pyramidem in linea a z, cum linea h z ſit perpendicularis ſuper illam ſu

Fig. 697

a o u m h z t s b c n d l e q f p
perficiem: palàm quia angulus o z h erit maior recto, cum angulus a z h ſit rectus: igitur per 13 p 1 angulus f z h eſt minor recto. A puncto ergo z ducatur linea contingens circulum per 17 p 3, quæ ſit z m: cadetq́ linea z m in ſuperficie contingente ſpeculum ſecũdum lineam longitudinis, quę eſt a z: eſt ergo linea h z perpendicu laris ſuper lineam m z: & à puncto f ducatur linea perpendicula ris ſuper lineam a z per 12 p 1, quę ſit linea f e, concurrens cum linea a z producta in puncto e: quę linea f e producta concurret cum linea a n per 14 th. 1 huius: quia cum angulus a e f ſit rectus, angulus e a n eſt acutus: concurrant ergo in puncto n: & à puncto e ducatur linea ęquidiſtans lineæ t h: quæ ſit e q, per 31 p 1: item q́ue ab eodem puncto e ducatur linea æquidiſtans lineę m z, quæ ſit e l. Palàm autem quod linea m z eſt perpendicularis ſuper lineam a e per 22 th. 1 huius, quoniam ipſa eſt perpẽdicularis ſuper lineam t h, ut ſuper diametrum circuli, quẽ ipſa eſt contingens in puncto z. Igitur linea l e, cum ipſa ſit æquidiſtans lineæ m z, eſt per 29 p 1 perpendicularis ſuper lineam a e. Sunt quoque lineæ m z & l e in eadem ſuperficie per 1 th. 1 huius, cum ipſæ ſint æquidiſtantes: producaturq́ linea q e ultra punctum e: & hæc per 2 th. 1 huius ſecabit axẽ a h, cum ipſa ſit in eadem ſuperficie cum linea h t per 1 th. 1 huius: ſecet ergo axem in puncto d: eritq́ angulus h d q acutus æqualis angulo a h t per 29 p 1. Fiat quoque ſuperficies l e d q ſecans pyramidem: erit ergo illius ſuperficiei & ſuperficiei pyramidis communis ſectio oxygonia per 103 th. 1 huius. Cum ergo linea a e ſit perpendicularis ſuper lineam f n, & ſuper lineam d q, & ſuper lineam l e: patet per definitionem lineæ erectę ſuper ſuperficiem, quoniam linea longitudinis pyramidis, quæ eſt a e, erecta eſt ſuper ſuperficiem illius ſectionis oxygoniæ, quæ eſt l e d q. Et quia linea a e eſt perpendicularis ſuper lineam f e n: erit ergo linea f n in ſuperficie illa ſecante pyramidem ſecundũ illã page 294 ſectionem: fiat ergo, ut in illa ſuperficie ſectionis à puncto f ducatur linea f p per 31 p 1 æquidiſtãs lineę e q: ergo per 9 p 11 erit linea f p æquidiſtans lineæ z t. Verùm cum angulus o z t ſit acutus: ideo quod angulus o z h eſt obtuſus: erit per 13 p 1 angulus t z f obtuſus. Ducatur ita que à puncto z linea faciens cum linea t z angulum æqualem angulo o z t: quę quidem linea producta neceſſariò ſecabit lineam f p per 2 th. 1 huius: cum linea f p ſit æquidiſtans lineę z t. Secet ergo ipſam in puncto p: & du catur linea p e: quæ per 1 p 11 erit in ſuperficie l e d q: erit ergo angulus a e p rectus, ut patet ex præmiſsis & per definitionem lineæ ſuper ſuperficiem erectæ. Cum ergo lineæ p z & o z, ut patet ex præ miſsis, in eadem ſint ſuperficie pyramidem ſecante, & angulus o z t æqualis ſit angulo t z p: palàm per 20 th. 5 huius quia forma puncti o reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto p à puncto ſpeculi z. Verùm quia angulus o z t per 29 p 1 eſt æqualis angulo z f p, quia eſt extrinſecus illi: & angulus h z f æqualis eſt angulo o z t per 15 p 1: ſed angulus z p f æqualis eſt angulo p z t per 29 p 1, quia eſt coalternus: palàm quia angulus z f p ęqualis eſt angulo z p f: ergo per 6 p 1 latus z f ęquale eſt lateri z p. Et quia angulus f e z eſt rectus: ideo quia linea a e eſt perpendicularis ſuper lineã f n: palàm per 47 p 1 quia quadratum lineæ f z ualet ambo quadrata linearum e f & e z: ſed eadem ratione quadratũ lineę z p ualet ambo quadrata linearum e z & e p: quoniam, ut patet ex præmiſsis, angulus p e z eſt rectus: quadratum uerò lineę p z eſt ęquale quadrato lineę z f: quoniam, ut patet ex præmiſsis, lineę z f & z p ſunt ęquales: illa ergo duo quadrata hinc inde ſunt ęqualia: ergo ablato communi quadrato lineæ z e, remanet quadratum lineę e p æquale quadrato lineę e f: igitur latus f e æquale eſt lateri p e: ergo per 5 p 1 angulus e p f eſt æqualis angulo e f p. Sed angulus n e q eſt æqualis angulo e f p ք 29 p 1, quoniam extrinſecus eſt illi: & angulus q e p æqualis angulo e p f, quia coalternus eſt illi: angulus ergo n e q & q e p ſunt æquales: qui cum ſint in eadem ſuperficie, quæ eſt p e n: palàm per 20 th. 5 huius quoniam forma puncti n reflectitur ad uiſum exiſtentem in puncto p à puncto ſpeculi, quod eſt e. Similiter ſi ducatur à puncto f quæcunq linea ad aliquod punctum lineę z e, & produca tur uſque ad lineam o n: ſemper probabitur de puncto lineę o n, in quem cadit producta linea, quòd ipſe reflectetur ad punctum p à puncto aliquo lineę z e, quem ſecat illa linea. Simili modo & omniũ huiuſmodi linearum probatio ſumet initium à linea per pendiculari, quæ eſt f e, & à parte lineæ e z, quæ erit communis omnib. illis triangulis: & ita quo dlibet punctũ lineę a o n reflectitur ad uiſum exiſtentẽ in puncto p ab aliquo pũcto lineę z e: quia de omnib. eſt eadem demõſtratio: quod etiam patet per 34 th. 5 huius. Si itaq quęcunq linea recta cuiuſcũq rei uiſæ ponatur in loco lineę a o n, & centrũ uiſus ſiſtatur in puncto p: ſemper fiet reflexio ad uiſum ab aliquo punctorum lineę a z e, quę eſt linea lõgitudinis ſpeculi: & hoc proponebatur faciendum. Patet ergo propoſitum.

42. Cum ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris uel pyramidalis conuexi communis ſectio ſuerit linea longitudinis: erunt loca imaginum & diſtantia ipſarum à uiſibus, quæ & in ſpe culis planis. Alhazen 43. 49 n 5.

Quando cauſſa in diuerſis ſubiectis uniuocatur, & paſsio uniuocabitur: ob hoc non repetimus illa hic, quæ in ſpeculis planis dicta ſunt in quinto libro huius ſcientiæ. Quia enim utrobiq in planis ſcilicet, & propoſitis ſpeculis lineę incidentiæ & reflexionis incidunt & reflectuntur à lineis rectis: erit utrobiq locus imaginis in perpendiculari à puncto uiſo ducta ſuper ſuperficiem ſpeculi, tá tùm diſtans à ſuperficie ſpeculi, quantùm punctus rei uiſæ diſtat ab eadem ſpeculi ſuperficie: ideo quia ſemper imago rei uiſæ uidetur in cõcurſu lineę reflexionis cum catheto incidẽtiæ in omnibus his ſpeculis, ut patet per 37 th. 5 huius. Patet ergo propoſitum.

43. Cum ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris conuexi cõmunis ſectio fuerit circulus: erunt punct a reflexionũ & loca imaginũ, quæ & in ſpeculis ſphæricis conuexis. Alha. 43 n 5.

Erit enim aliquando locus imaginis intra ſpeculum columnare conuexum: aliquando in ſuperfi cie ſpeculi: aliquando extra ſpeculũ, ſecundum modum quo cathetus incidentiæ & linea reflexionis in diuerſis punctis concurrunt: cuius qui cauſſam & demõſtrationem quæſierit, recurrat ad ea, quæ in ſexto huius ſcientiæ libro de ſpeculis ſphæricis conuexis demonſtrata ſunt: nam eadem penitus eſt ratio hincinde: quia & fines contingentiarum & metæ imaginum & loca, & eædem proportiones linearum ſunt in illis ſpeculis & in iſtis. Patet itaq per illa propoſitum: nec uiſum eſt nobis dignum in his amplius immorari.

44. A puncto ſectionis columnaris, cui incidit cathetus incidentiæ ad perpendicularẽ ductam à puncto reflexionis ſuper ſuperficiem ſpeculi columnaris conuexi, ducta recta ad axem cõ tinente angulum acutum cum eadem: erit concurſus catheti incidentiæ cum illa perpendiculari ſub axe. Alhazen 24 n 6.

Hoc, quòd hic proponitur demonſtrandum, patet per 114 th. 1 huius: ut autem huic noſtro propo ſito concluſio mathematica ſenſibiliter applicetur, eandẽ demonſtrationẽ duximus iterandam. Sit ergo a e b c columnaris ſectio: & ſit e datus punctus, cui incidat cathetus incidentiæ formæ puncti n: qui ſit punctus rei uiſæ: & b ſit punctus reflexionis, à quo ducta ſit linea b d perpendicularis ſuք axem ſpeculi, qui ſit h k: ſecetq́ cathetus incidentię ducta à puncto n, qui eſt punctus rei uiſæ, ipſum ſpeculũ ſecundũ punctũ propoſitæ ſectionis, qui eſt e: dico uerum eſſe, quod proponitur. Ducatur page 295 enim linea e d: ſitq́ ita, ut fiat e d b angulus acutus: ſit ergo q e l linea contingens ſectionem in puncto e: & ſuper punctum ſectionis b fiat circulus æquidiſtans baſibus ſpeculi per 102 th. 1 huius, qui ſit b t o: cuius centrũ ſit d: & ducatur à pũcto e linea longitudinis ſpeculi per 101 th. 1 huius, quæ ſit e t. A puncto quoq d per 11 p 1 ducatur linea d g per pendicularis ſuper lineam b d in ipſa circuli ſuperficie. Palàm ergo quod ſuperficies h d g (cum per axem h k tranſeat, qui per 92 th. 1 huius eſt erectus ſuper circuli ſuperficiem) perpendicularis eſt ſuper eandem circuli ſuperficiem per 18 p 11. Superficies uerò contingens ſpeculum in puncto b, erit æquidiſtans ſuperficiei h d g ſpeculum ſecanti. Ideo enim quia linea longitudinis ſpeculi ducta à puncto b eſt æquidiſtans axi h k, & li nea circulum b t o contingens ſuper punctum b, eſt æquidiſtans lineæ g d per 29 p 1: angulus enim g d b eſt rectus, ut patet ex pręmiſsis, & angulus contentus ſub linea d b & ſub linea contingente circulum in pũcto b eſt rectus per 18 p 3: ergo

Fig. 698

n q t e l g o f m k d h c a s u b p z
illæ ſuperficies æquidiſtant per 14 p 11. Igitur ſuperficies, in qua ſunt lineæ l e & e t, non eſt æquidiſtans ſuperficiei h d g: quod patet per 24 th. 1 huius: quoniam ſuperficies contingens ſectionem oxygoniam in puncto b non eſt æquidiſtans ſuperficiei contingenti eandem ſectionem in puncto e, in quo ſunt linea l e q contingens ſectionem, & linea longitudinis, quæ eſt e t. Angulus enim e d b, ut patet ex hypotheſi, eſt acutus: ſuperficies ergo h d g non æquidiſtat ſuperficiei l e t: ergo con curret cum illa: concurrat ergo in linea l g & ducatur linea g t: quæ neceſſariò erit contingens circulum b t o: cum ſuperficies, in quá ducitur linea g t, ipſum ſpeculum ſit contingens. Ducta autem linea t d, erit angulus g t d rectus per 18 p 3: quoniam linea t d eſt diameter circuli & linea g t contingit illum circulum in puncto t. Fiat quo que, ut prius, ſuper e punctum ſectionis circulus æquidiſtans baſibus ſpeculi, qui ſit e s z p: & centrum huius circuli ſit punctus axis, qui k: & ducatur linea k e: & ducatur etiam linea d l: quæ quidem ſecabit ſuperficiem circuli e s p: ſecet ergo illam in puncto f Quia itaque punctum d eſt in ſuperficie ſectionis per 24 huius: cum ipſa ſectionis ſuperficies ſit ſuperficies reflexionis, & punctum l, quod eſt punctum lineæ contingentis ſectionem, eſtin eadem ſuperficie ſectionis: ergo per 1 p 11 tota linea d l eſt in ſuperficie ſectionis: punctum ergo f eſt in ſuperficie ſectionis: ſed ipſum eſt in ſuperficie circuli e z p: eſt ergoin communi ſectione illarum ſuperficierũ, circuli ſcilicet & ſectionis: ſed & punctum e eſt in am babus eiſdem ſuperficiebus: ergo item per 1 p 11 linea e f ducta erit in ambabus illis ſuperficiebus: ergo per 19 th. 1 huius ſecundum lineam e f ſecant ſe ſuperficies ſectionis & circuli e z p. Ducatur itaque linea k f: & a puncto f ducatur perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli b t o per 11 p 11, quæ ſit f m: cadetq́ punctus m in linea d g, ut patet: & ducatur linea t m. Palàm quoniam linea k d æquidiſtans & æqualis eſt lineæ f m per 25 th. 1 huius: ſunt enim lineæ k d & f m ambæ perpendiculares ſuper ſuperficiem circuli b t o: quia illi circuli æquidiſtant per 24 th. 1 huius: utraque enim ipſarum æquidiſtat baſibus columnæ per 100 th. 1 huius. Quoniam ergo linea f m eſt æqualis & æquidiſtans lineæ d k, quæ eſt pars axis: ergo per 33 p 1 linea k f æqualis & æquidiſtans eſt lineæ d m: & ſimiliter erit linea f m æqualis & æquidiſtans lineæ longitudinis, quę eſt e t, per 33 p 1: quoniam linea e t eſt æqualis & æquidiſtans axi k d per 92 th. 1 huius, cum ſit linea longitudinis ſpeculi: & erit, ut prius, linea k e æqualis & æquidiſtans lineæ d t, & linea e f æqualis eſt & æquidiſtans lineæ t m per eandem 33 p 1. Verùm etiam ſuperficies k d l g (quia tranſit axem columnæ, & angulus g d b eſt rectus) orthogonalis eſt ſuper ſuperficiem ſectionis oxygoniæ, quę eſt a e b c per definitionem ſuperficiei erectę: & eadem ſuperficies k d l g orthogonalis eſt ſuper ſuperficiem circuli e s p: quoniam illa ſuperficies k d l tranſiens per axem, per 18 p 11 erecta eſt ſuper baſes columnæ: ergo & ſuper ſuperficiem circuli e s p, æquidiſtantis baſibus erecta eſt eadem ſuperficies k d l. Quia itaque dicta ſuperficies k d l eſt erecta ſuper ſuperficiem ſectionis oxygonię & circuli e s p: eſt ergo orthogonalis ſuper lineam communem dictę ſectionis & circuli (quę eſt linea e f) per 19 p 11 Et quia linea e f eſt erecta ſuper ſuperficiem k d l, in qua ducta eſt linea k f: igitur per definitionem lineę ſuper ſuperficiem erectę angulus e f k eſt rectus: ergo & angulus t m d eſt rectus per 10 p 11: latera enim illos angulos continentia in æquidiſtantibus circulorum ſuperficiebus protracta æqualia ſunt & æquidiſtantia, ut patet ex pręmiſsis. Cum ergo angulus d m t ſit rectus, & angulus g t d ſit rectus per 18 p 3: in trigono ergo orthogonio d t g ducta eſt ab angulo ad baſim perpendicularis t m: ergo per 8 & 17 p 6 illud, quod ſit ex ductu lineæ d m in g m eſt æquale quadrato lineæ m t. Et quoniam linea g t contingit circulum b t o, cum ſit in ſuperficie contingente ducta ad punctum contingentię, quod eſt t: palàm quòd linea l g eſt ęquidiſtans axi k d. Quoniam enim ſuperficies lecundum lineam longitudinis ſpeculum contingentes ſunt erectę ſuper baſium columnę ſuperficies: ergo per 19 p 11 earum communis ſectio, quę in propoſito eſt linea l g, ſuper eaſdem ſuperficies baſium perpendicularis erit: ęquidiſtabit ergo axi h k per 6 p 11: ergo etiam ęquidiſtabit lineæ f m per 30 p 1. Quia ergo in trigono l g d linea f m æquidiſtat baſi l g: patet per 2 p 6 page 296 quoniam ſecat alia latera illius trigoni proportionaliter. Eſt ergo proportio lineæ d f ad f l, ſicut lineæ d m ad m g: ergo permutatim per 16 p 5 erit proportio lineæ d f ad d m, ſicut lineæ f l ad m g: ſed linea d f maior eſt quàm linea d m per 19 p 1: quoniam in trigono f d m angulus f m d eſt rectus per præmiſſa uel 8 p 11: ergo & linea f l eſt maior quàm linea m g: ergo illud, quod fit ex ductu lineæ f d in fl maius eſt illo, quod fit ex ductu lineæ d m in m g: ergo & quadrato lineæ t m: ſed linea t m eſt æqualis lineæ e f, ut patet ex præmiſsis: ergo illud, quod fit ex ductu lineę d fin l f maius eſt quadrato lineæ e f. Eſt ergo in trigono d e l angulus l e d maior recto per 30 th. 1 huius. Quia ſi eſſet rectus, tunc cum linea e f ſit perpendicularis ſuper lineam d l: eſſet per 8 & per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ d f in f l, æquale quadrato lineæ e f. Reftat ergo ut linea perpendicularis ſuper lineam contingentem ſectionem a e b c, quæ eſt linea q l, ducta à puncto e, cadat ſub linea e d, non perueniens in punctum d. Sit ergo illa perpendicularis linea e u. Et quia angulus e d b eſt acutus, & angulus d e u acutus: quoniam angulus u e q eſt rectus: ergo per 14 th. 1 huius lineæ e u & b d productæ concurrent in puncto aliquo ſub axe h k: & ſub concurſu lineæ e d cum linea b d: quod eſt euidens. Patet ergo propoſitum.

45. Perpendicularẽ duct ã à puncto reflexionis ſectionis pyramidalis ſuper ſuperficiẽ ſpeculi pyramidalis cõuexi, cũ catheto incidentiæ puncto remotiori à uertice ſpeculi, quàm ſit punctus reflexionis, incidente, ſub axe ſpeculi cõcurrere eſt neceſſe: dũ tamẽ linea à pũcto catheti inciden tiæ duct a ad perpendicularẽ, ſuper axem angulum contine at acutũ. Alhaz. 30 n 6.

Hæc quoq propoſitio patet per 113 th. 1 huius: ut autem iam facilius pyramidalibus ſpeculis applicetur: ſit ſpeculum pyramidale conuexum a b g: cuius uertex ſit a: & axis a k: cadatq́ in ipſum ſectio oxygonia: à cuius circumferentia formę pũctorum lineę uiſæ reflectátur ad uiſum, quę ſit e f z: punctum quoq reflexionis ſit e: & ſit linea e d exiens à puncto e (quod eſt punctum reflexionis) perpendicularis ſuper ſuperficiẽ contingentẽ ſpeculũ: quæ producta in ſuperficie ſectionis concur ret quidẽ cũ axe a k per 14 th. 1 huius: angulus enim e a k eſt acutus, & angulus a e d eſt rectus: cõcur rat ergo in puncto d: ſitq́ cathetus incidentiæ formæ puncti alicuius reflexi à pũcto ſpeculi e z: quę ſit h z. Dico quòd cathetus h z concurret cum perpendiculari e d ultra punctum d ſub axe ſpeculi. Ducatur enim linea t z q, quæ contingat ſectionem e f z in puncto z, dum tamẽ ſit punctũ z remotius à puncto a uertice ſpeculi, quàm ſit punctũ e: ducta quoq linea z d angulũ acutũ cõtineat cum perpendiculari e d ſuper ipſum axem ſpeculi, in quẽ cadit punctum d. Trãſeat quoq ſuper punctũ z ſuperficies æquidiſtans baſi ſpeculi, quæ ſecando ſpeculum faciat circulũ r z g per 100 th. 1 huius: iſte ergo circulus ſecat ſectionẽ e f z in duobus tantũ locis per 104 th. 1 huius: quoniã circulus eſt քpendicularis ſuper axem a d, & ſectio eſt obliqua ſuper eundem axem: & ducantur lineæ a z & a e. Linea quoq a e, quæ ex hypotheſi eſt breuior quàm linea a z (ideo quòd punctum z remotius eſt à uertice pyramidis quàm punctum e, protrahatur ultra punctum e) donec cõcurrat cum circumferentia circuli r z g: & ſit concurſus punctus o: ergo punctus o eſt remotior à puncto a uertice ſpeculi, quàm ſit pũctus e: eritq́ linea a o æqualis lineę a z ք

Fig. 699

a e t b o f z h d g y k p b q
89 th. 1 huius: ideo quia ambæ à uertice pyramidis du cuntur ad circuli circum ferentiam. Cum ergo exierit â puncto o perpendicularis ſuper ſuperficiem contin gentem ſpeculum ſecundum lineam a o: concurret illa linea cum axe a k ultra punctum d (cui prius data eſt incidere perpendicularis e d) per 2 th. 1 huius: erit enim linea illa æquidiſtans lineę e d per 6 p 11: ſit ergo punctus cõcurſus k: ducantur ergo lineæ k z & d z. Et quia linea k z eſt ęqualis lineę k o per 65 th. 1 huius: eſt enim k polus circuli: ſed & linea a o eſt æqualis lineæ a z per 89 th. 1 huius: cum ſint lineæ lõgitudinis unius pyramidis, & linea a k cõmunis eſt ambobus illis trigonis: erũt ergo ք 8 p 1 trianguli a o k & a z k æ quianguli: ſed angulus a o k eſt rectus: ergo & angulus a z k eſt rectus: eſt ergo linea k z perpẽdicularis ſuper lineã lõgitudinis ſpeculi a z, q̃ eſt in ſuքficie cõtingẽte ſpeculũ: eſt ergo linea k z erecta ſuper ſuperficiẽ contingentẽ ſpeculũ ſecũ dũ lineã a z: ergo ք 18 p 11 & ſuperficies z k o eſt erecta ſuper illã ſuperficiẽ contingentẽ. Et quia à puncto z ducta eſt linea cõtingẽs ſectionẽ, q̃ eſt t z q: cũ ergo, ut patet, linea k z ſit erecta ſuper ſuքficiẽ ſpeculum contingentẽ ſecundum lineam a z, & cõmunis ſectio ſuperficiei ſectionis & illius ſuperficiei ſpeculũ contingentis ſit linea t z q cõtingẽs ſectionẽ: erit linea k z քpẽdicularis ſuper lineã t z q: erit ergo angulus k z q rectus ք definitionẽ lineæ ſuք ſuքficiẽ cõtingẽtẽ erectę. Et ꝗa, ut patet ex p̃miſsis, angulus k z q eſt rectus: trigonũ quoq a z k erectũ eſt ſuper ſuperficiẽ ſpeculũ ſecũdũ lineã a z cõtingẽtẽ: & linea k z eſt ſimiliter perpẽdicularis 297 ſuper hanc ſuperficiẽ cõtingentẽ. Extrahamus ergo à puncto z cõmunẽ ſectionẽ ſuperficiei circuli r z g & ſuperficiei pyramidẽ ſecũdum lineã a z contingentis: hęc aũt per 3 p 11 eſt linea recta: ſit ergo hæc linea z y: & palàm per pręmiſſa, quòd linea z y cõtingit circulũ r z g: ſit quoq cẽtrum huius circuli c: & producatur linea c z: angulus ergo c z y eſt rectus per 18 p 3: & ducatur à puncto c, quod eſt centrũ circuli r z g, linea cõtinens cũ linea z c angulũ rectũ per 11 p 1: & ſit linea c r: linea ergo c r eſt æ quidiſtans lineę z y per 28 p 1: linea uerò c r eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem a z c per 4 p 11: ideo quia angulus z c r eſt rectus expręmiſsis, & angulus z c a eſt rectus: ideo quia axis a c eſt perpendicularis ſuper ſuperficiem circuli r z g per 89 th. 1 huius: & quia etiam axis eſt per pendicularis ſuper baſim pyramidis, cui circulus æquidiſtat: ergo & axis erit erectus ſuper circulum per 23 th. 1 huius: linea ergo z y æ quidiſtans lineæ c r, eſt perpendicularis ſuper ſuperficiẽ a z c per 8 p 11: ergo linea z q contingens ſectionem eſt obliqua ſuper ſuperficiem a z c: ergo & ſuper lineam c z. Producatur ergo à puncto z in ſectionis ſuperficie extra ipſam ſectionis peripheriam linea recta continens cum linea t q angulum rectum per 11 p 1: quæ ſit z h. Et quia punctus d per 24 huius eſt in ſuperficie ſectionis in aliquo puncto axis: palàm quòd ipſum aliud eſt à pũcto k, qui eſt punctus axis inferior puncto d extra ſuperficiẽ ſectionis: ſed pũctus z eſt in ipſius ſuperficie: patet ergo quoniã linea k z eſt extra ſuperficiẽ ſectionis. Linea ergo k z ſecat lineã z h, nec cõtinuatur cũ ipſa: quoniã linea z h eſt in ipſa ſuperficie ſectiõis, & linea k z eſt extra illã. Et quoniã lineæ k z & h z ſecant ſe in pũcto z: patet quòd ipſę ſunt in aliqua ſuperficie una per 2 p 11: ſint ergo lineę z k & z h in alia ſuper ficie pręter ſuperficiẽ ſectionis, quę ſecet ſuperficiẽ ſectiõis ſuper lineã p z h in ambabus iſtis ſuper ficiebus exiſtentẽ per 19 th. 1 huius: & ſit z p eadẽ linea cũ z h, quę eſt producta in ſuperficie ſectionis. Linea uerò d z, quę eſt in ſuperficie ſectionis, eſt extra ſuperficiem, in qua ſunt lineæ k z & z h: ſed linea z k continet cum linea z q angulum rectum: ideo quia, ut prædictũ eſt, linea k z eſt perpen dicularis ſuper ſuperficiem contingentem pyramidem, quę tranſit lineas a z & z q: & ſuperficies k z h ſecat ſuperficiem d z h ſuper lineam illis duabus ſuperficiebus communem per 19 th. 1 huius, quæ eſt h z. Verùm linea d z eſt in ſuperficie ſectionis, ut ſuprà patuit, & ſecatur à linea k z in puncto z, & pũcta t & q ſunt à lateribus ſuperficiei k z p h: ergo ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z q: differentia ergo communis ſuperficierum h z k & d z q eſt in ſuperficie h z k: eſt quoq illa communis ſectio linea recta per 3 p 11: continet ergo illa linea cum linea z q angulum rectum. Nam linea z q cum ſit perpendicularis ſuper lineam z h, & ſuper lineam z k: patet per 4 p 11 quoniam ipſa eſt erecta ſuper ſuperficiẽ h z k: ergo & ſuper lineam z p. Et quoniam ſuperficies h z k ſecat ſuperficiem d z q, & declinatio ſuperficiei h z k à ſuperficie ſectiõis, cuius pars eſt ſuperficies d z q, fit ex parte ſemidiametri z c, erit linea (quę eſt differentia communis his duabus ſuperficiebus) media inter duas lineas q z & z d: ergo angulus q z d eſt obtuſus: & linea h z eſt in ſuperficie, in qua ſunt lineæ d z & z q, quę eſt ſuperficies ſectionis, & continet cum linea z q angulum rectum: linea ergo z h ꝓducta intra ſectionem ultra punctum z, ſecabit angulum d z q: & linea h z concurret cum linea e d ſub pũcto d puncto axis per 14 th. 1 huius. Angulus enim z d e eſt acutus ex hypotheſi, & angulus d z p acutus. Cathetus itaq incidentię, quę eſt h z, cum perpendiculari e d, quę ducitur à puncto reflexionis ſuper ſuperficiem ſpeculum contingentem, concurret ſub axe: & ſub puncto ipſius axis, qui eſt d: ſit itaq punctum concurſus p. Ethoc eſt propoſitum.

Fig. 700

a h l z x m o k e q d y p f b g

46. Perpendicularem ductam à puncto reflexionis ſectionis pyramidalis ſuper ſuperficiem ſpeculi pyramidalis conuexi, cum catheto incidentiæ pũcto propinquiori uertici ſpeculi, quàm ſit punctus reflexionis incidente, ſub axe ſpeculi concurrere eſt neceſſe: altioris quoque puncti cathetus cum eadem porpendiculari concurret remotius ſub axe: dum tamen linea à puncto ſuperiori cum perpendiculari ducta à puncto inferiori ſuper axem angulum contine at acutum.

Sit, ut in præmiſſa, ſpeculum pyramidale conuexum a b g: cuius uertex ſit a: & axis a d: ſitq́ in ipſo ſectio pyramidalis, quæ e f z: punctum quoque reflexionis ſit e: ſitq́ linea e d perpendicularis ſuper ſuperficiem ſpeculi, concurrens cum axe a k in puncto d in ſuperficie ſectionis: ſitq́ cathetus incidentiæ formæ puncti alicuius reflexi à puncto e, quæ ſit h z: cuius punctum z ſit propinquius uertici ſpeculi quàm punctum e: ita tamen quòd linea z d cum linea e d in puncto d contineat angulum acutum. Dico quòd uerũ eſt, quod proponitur. Circũducatur enim à page 298 puncto zipſi ſpeculo circulus per 102 th. 1 huius, qui ſit z m l: & ducantur lineę a z & a e. Linea quoq a e ex hypotheſi eſt longior quàm linea a z: patet ergo per 100 & 89 th. 1 huius quoniã abſcinditur per ſuperficiem circuli z m l: ideo quia punctũ z propinquius eſt uertici pyramidis, qui eſt a,  punctum e. Sit ergo, ut abſcindatur in puncto o: eſt ergo punctum o propinquius uertici ipſius ſpeculi, quàm e punctũ: eritq́ linea a o æqualis lineæ a z per 89 th. 1 huius. Cum ergo exierit à pũcto o perpendicularis ſuper lineam a o, quæ ſit o k, ſecans axem a d in puncto k: erit per 28 p 1 linea o k æ quidiſtans lineæ e d. Ducantur ergo lineæ k z & d z. Et quia linea k z eſt æqualis lineæ k o per 65 th. 1 huius: eſt enim pũctus k polus circuli z m l: ſed & linea a o eſt æqualis lineæ a z ք 89 th. 1 huius, & linea a k eſt cõmunis ambobus illis trigonis: erunt ergo per 8 p 1 trigoni a o k & a z k ęquianguli: ſed angulus a o k eſt rectus, quia o k perpendicularis ducta eſt ſuper lineam a o: uel etiã per 29 p 1: ideo quia angulus a e d eſt rectus, & lineæ e d & o k æquidiſtant: ergo & angulus a z k eſt rectus: eſt ergo linea k z perpendicularis ſuper lineã lõgitudinis ſpeculi a z, quæ eſt in ſuperficie contingente ſpeculũ: eſt ergo linea k z erecta ſuper ſuperficiẽ cõtingentẽ ſpeculũ ſecundũ lineã a z. Ducta quoq â puncto z linea cõtingente ſectionẽ in puncto z, quæ ſit t z q, perficiatur demonſtratio, ut in proxima præmiſſa: patetq́ propoſitũ nunc, ut prius. Cadet enim punctus p, qui ſit cõmunis ſectio catheti incidẽtiæ ductæ à pũcto z cũ քpendiculari e d, ſub axe a d & ſub pũcto d. Et ſi in peripheria ipſius ſectionis ſignetur pũctus propinquior uertici,  ſit punctũ z, qui ſit punctus x: ab eo quoq ducatur cathetus incidentiæ, quæ ſit x y: quæ eodẽ modo, ſi angulus x d e fuerit acutus, demõſtrabitur concurrere cum perpendiculari e d ſub axe a d: ſit concurſus in puncto y. Dico quòd punctus y remotior erit ſub axe a d quàm punctũ p: non enim ſecabit linea x y angulũ a z p, neq lineam z p: quoniã cathetus ducta à puncto altiori ulterius protenditur ſub axem: & cathetus angulum rectum continens cum perpendiculari e d concurret cum illa in puncto axis d. Reliquæ uerò catheti harum mediæ, à quarum punctis incidentiæ ductæ lineæ ad punctum d, angulos continent acutos cum perpendiculari e d, non ſecabunt lineam d p Patet ergo propoſitum.

47. Cathetum incidentiæ linea reflexionis intra ſectionem oxygoniam ſecante, & à puncto reflexionis duct a contingente, quæ ſecet cathetum: erit totius catheti proportio ad partẽ ſui reſectam intra ſectionem oxygoniam, ſicut partis extrinſecus reſectæ adeam, quæutraſ interia cet ſectiones. Alhazen 44 n 5.

Eſto a b c ſection oxygonia: cuius punctus b ſit punctus reflexionis: & ſit e punctus rei uiſæ: d cen trum uiſus: à puncto quoque reflexionis, quod eſt b, ducatur linea perpendicularis ſuper ſuperficiem contingentem ſpeculum in puncto b, quæ ſit g b q, ducta intra ſpeculum propoſitum in punctũ q: & ducatur à puncto e linea e k perpendicularis ſuper ipſam ſectionẽ, aut ſuper lineã ſectionẽ con tingentem, ut fuerit poſsibile: ducatur quoque linea contingens ſpeculũ in puncto b, quæ ſit t b u, & alia contingens ſectionem in puncto k. Duæ ita que perpendiculares, quæ ſunt g b q & e k concurrent intra ſectionem ſub axe ſpeculi per tres præcedentes: ſit ergo punctus concurſus illarum perpendicularium punctum q. Sed & hoc in propoſito aliter declarandum. Ducantur enim lineæ e b, d b, k b: palàm per 29 th. 1 huius, & ex præmiſsis quoniam linea k m cadet intra ſuperficiem e k b, & linea b t cader intra eandem ſuperficiem: igitur linea b t ſecabit lineam e k: ſit, ut ſecet ipſam in puncto t: & linea k m ſecabit lineam b e: & ſit, ut ſecet ipſam in puncto m. Cum ergo angulus e k m ſit rectus, ut patet ex præmiſsis: palàm quòd angulus e k b maior eſt recto: & ſimiliter quia angulus g b t eſt rectus, erit angulus g b k maior recto:

Fig. 701

e g d t m b u k h f q a c
palàm ergo per 14 th. 1 huius quoniam duæ perpendiculares g b & e k concurrent in aliquo puncto ſuperficiei ſectionis, cũ ſint in eadem ſuperficie: ſit, ut prius, earum concurſus in pũcto q: ſimiliter quoque angulus d b k eſt maior angulo recto, qui eſt g b t, ut patet ex præmiſsis: ergo per 14 th. 1 huius lineæ d b & e k concurrent: ſit ipſarum concurſus punctus h: igitur per 37 th. 1 huius punctus h eſt locus imaginis formæ puncti e. Dico itaq quòd erit proportio lineæ e q, quæ eſt cathetus incidentiæ formæ puncti e, ad lineam q h, ſicut lineæ e t ad lineam t h. Quia enim lineæ e k & b e concurrunt in puncto e: ducatur à puncto h linea h f æ quidiſtans lineæ e b per 31 p 1. Et quoniam angulus e b t eſt per 20 th. 5 huius æqualis angulo d b u, & per 15 p 1 angulus d b u eſt æqualis angulo t b h: palàm quòd angulus e b t erit æqualis angulo t b h. Reſtatergo, ut angulus e b g ſit æqualis angulo h b q: ideo quia anguli t b q & t b g ſunt recti & æquales. Cum igitur linea t b diuidat angulum e b h per æqualia: erit per 3 p 6 proportio lineæ e t ad t h, ſicut lineæ e b a d b h: ſed per 29 p 1 angulus e b g eſt æqualis angulo h f b: angulus ergo h f b eſt æqualis angulo h b f, quoniã ut præoſtenſum eſt, angulus e b g eſt æqualis angulo h b f: ergo per 6 p 1 page 299 linea h b eſt æqualis lineæ h f: ergo per 7 p 5 proportio lineæ e b ad lineã h f eſt, ſicut ad lineã h b: eſt aũt proportio lineæ e b ad h f, ſicut lineæ e q ad q h ք 4 p 6: quia per 29 p 1 trigona e q b & h q f ſunt æquiangula: erit ergo proportio lineæ e b ad h b, ſicut lineæ e q ad q h. Erit ergo per 11 p 5 proportio lineæ e q ad lineam q h, ſicut lineæ e t ad lineam th. Quod eſt propoſitum.

48. In omni ſpeculo columnari uel pyramidali uel pyramidali conuexo, communi ſectione ſuperficiei reflexio nis & ſpeculi oxygonia exiſtente: linea rect a interiacens punctum concurſus duarum præmiſſa rum perpendicularium & locum imaginis, maior eſt linea rect a interiacente locum imaginis & punctum reflexionis. Alhazen 44 n 5.

Sit omnimoda diſpoſitio & probatio, ut in præcedente proxima. Et quia eſt proportio lineæ e q ad lineam q h, ſicut lineæ e b ad lineam h f per 4 p 6 & 29 p 1: & proportio lineæ e b ad h f eſt, ſicut li neæ e b ad lineam h b per 6 p 1 & 7 p 5: erit proportio lineæ e b ad lineam b h, ſicut lineæ e q ad lineã q h per 11 p 5: ergo permutatim per 16 p 5 & corollarium 4 p 5 erit proportio lineæ e q ad e b, ſicut q h ad h b: ſed linea e q maior eſt quàm linea e b per 19 p 1, eò quòd angulus e b q maior eſt recto, ut patet ex pręmiſsis, quia angulus t b q eſt rectus: ergo linea q h eſt maior  linea h b. Quod eſt ꝓpoſitum: eſt enim punctus q ille punctus, in quo cõcurrunt duę perpẽdiculares g b q & e k, quę eſt cathetus incidentiæ: & punctus h eſt locus imaginis formæ puncti e: & punctus b eſt pũctus reflexio nis formæ puncti e ad centrum uiſus exiſtentis in puncto d.

49. Communi ſectione ſuperficiei reflexionis & ſpeculi columnaris uel pyramidalis conuexi exiſtente oxygonia, forma́ rei uiſæ obliquè ſpeculo incidente: locus imaginum formarum uiſorum punctorum quando erit in ſuperficie ſpeculi: quando intra ſpeculum: & quãdo extra ipſum. Alhazen 45. 51 n 5.

Quod hic proponitur, locum habet, cum punctus rei uiſæ non fuerit in diametro uiſuali perpen diculari ſuper ſuperficiem ſpeculi: tunc enim unius ſolius forma puncti ſuper lineam perpendicularem accedit ad ſpeculum, & ſecundum eandem lineam refle ctetur ad uiſum, utpote punctus ipſius perpẽdicularis lineæ, qui eſt in ſuperficie oculi uidentis. Punctus enim ultra ſuperficiem oculi ſumptus non poteſt reflecti ſuper hanc perpendicularem: quia non poteſt accedere ad ſpeculum ſu per lineam perpendicularem, propter rationem aſsignatam in 32 th. 5 & 10 th. 6 huius. Et ſimiliter non poteſt reflecti forma illius puncti ad uiſum ab alio puncto ſpeculi, quàm à puncto illo, cui incidit ipſa perpendicularis. Si enim daretur hoc poſſe fieri: tunc accideret duas perpendiculares ductas à ſuperficie ſpeculi concurrere in centro eiuſdẽ uiſus, quod eſſet contra 6 p 11 & contra 20 th. 1 huius: & duo anguli trianguli fierent recti: quod eſſet contra 32 p 1, & impoſsibile. In tali ergo ſitu perpendicularis reflectitur tantũ in ſeipſam. Sit au

Fig. 702

s f n h q x r p l z u t m a b o g e k d
tem nunc, ut forma rei uiſæ incidat ſuperficiei ſpeculi non perpendiculariter, ſed obliquè: & eſto, ut ſuperficies reflexionis ſecet ſpeculum columnare conuexum, & communis eorum ſectio ſit oxygonia ſectio, quæ a b g: ad cuius punctum a ſumatur li nea contingens ſectionem, quæ ſit e a t: & ducatur perpendicularis à puncto a per 11 p 1 ſuper lineam e t intra ſectionem, quæ ſit a d: cadatq́ punctus d intra ſectionẽ. Palàm ergo per 115 th. 1 huius quòd linea d a diuidit ſectionem in duas partes, in quarum utraq eſt punctus unicus, in quo pũcto linea ſectionem contingens, erit æ quidiſtans lineæ d a: ſit ergo citra unum illorum punctorum alius, qui ſit punctus g, cuius puncti contingens concurrat cum linea d a in puncto h extra ſectionem: & duca tur linea perpendicularis ſuper hanc lineam cõtin gentẽ (quę eſt g h) per 11 p 1, quę perpendicularis ſit g q, ſecãs lineã aliã cõtingẽtẽ, quę eſt e a t, in pũcto t: erit ergo punctũ t finis cõtingẽtię per 6 definitionẽ 6 huius: & hæc quidem perpendicularis (quæ g q) neceſſariò concurret cum linea h d ք 14 th. 1 huius: ideo q angulus q g h eſt rectus, & angulus g h d acutus: ſit ergo in pũcto d ipſarũ cõcurſus: & ducatur linea g a: quæ producatur extra ſectionẽ uſq ad punctũ p: & ducatur linea q a. Igitur angulus q a h aut eſt æqualis angulo h a p: aut maior: aut minor. Si ſit æqualis: incidet ergo forma puncti q ſpeculo in pũcto a, & reflectetur ad cẽtrũ uiſus exiſtẽs in pũcto p per 20 th. 5 huius: & locus imaginis erit pũctus g, ꝗ eſt pũctus ſectionis oxygoniæ & ſuքficiei colũnę ſpeculi ք 37 th. 5 huius: quoniã in illo pũcto cõcurrit cathetus incidẽtiæ ducta à pũcto rei uiſæ, quę eſt q, ſuper lineã cõtingentẽ ſectionẽ in pũcto g, cũ linea reflexionis, quę eſt p a. Et quia pũctus g eſt in ſuperficie ſpe culi: patet q tũc uidebitur imago formæ pũcti q in ſuքficie ſpeculi. Si uerò in linea g q ſupra punctũ q ſumatur alius pũctus, ut f, & ducatur linea f a: erit quidẽ angulus f a h minor angulo h a p: eſt enim angulus f a h minor angulo q a h, ꝗ eſt æqualis angulo h a p: fiat ergo angulo f a h ſuper a termi nũ lineę h a æqualis angulus, ꝗ ſit h a n ք 23 p 1: & ꝓducatur linea n a intra ſectionẽ: cõcurretq́ cum 300 catheto f q g d: & ſit pũctus cõcurſus k. Palàm ergo per 20 th. 5 huius quòd forma pũcti f reflectitur à pũcto ſpeculi, q eſt a, ad uiſum exiſtentẽ in pũcto n: & locus imaginis formæ pũcti f erit in puncto k: & imagines omniũ punctorũ lineæ q f, quæ ſunt ultra punctũ q, erunt intra columnã ſpeculi, ut patet ք 34 th. 5 huius, & ex pręmiſsis. Si uerò inter punctũ q & pũctũ t (qui eſt finis cõtingẽtiæ) ponatur punctus aliquis, utr: erit angulus r a h maior angulo q a h, ergo & angulo h a p: fiat ergo ei æqualis angulus, qui ſit h a m. Palàm quò d linea m a producta cadet ſuper lineam g q extra ſectionẽ. Ideo enim, quia linea p a continens cum linea a h angulum p a h æqualem angulo q a h, cadit in ipſam ſectionẽ in punctum g: patet quia linea m a ſecabit lineam g q extra ſectionẽ: ſit q́, ut cadat in punctum o: erit ergo per 37 th. 5 huius imago formæ puncti r in puncto o: & omnium punctorum li neæ r q, excepto puncto q, imagines erunt extra ſpeculum, inter puncta o & g. Si autem angulus q a h fuerit minor angulo h a p: ſecetur ex angulo h a p angulus h a n æqualis angulo q a h per 27 th. 1 huius. Palàm ergo, ut prius, quòd formæ puncti q imago erit in puncto k: & omniũ ſuperiorũ punctorum lineæ q fimagines erunt intra ſectionem. Si uerò punctus r ſumatur inferior puncto q, ita ut angulus r a h ſit æqualis angulo h a p: tunc erit imago formę puncti r in ſectionis puncto g, quod eſt in ſuperficie ſpeculi: & omnium punctorum inter r & q imagines erũt intra ſpeculum: & omniũ punctorum inter puncta r & t imagines erunt extra ſpeculi ſuperficiem. Si uerò angulus q a h fuerit maior angulo h a p: fiat angulus h a m æqualis angulo q a h: palam q́ quòd linea m a producta ſecabit ſectionem: linea enim e a t eſt contingens ſectionem in puncto a, propter quod linea m a produ cta neceſſariò ſectionem ſecabit: ſecet ergo in puncto b: & ducatur linea contingens ſectionem in puncto b, quæ concurrat cum linea d h in puncto l: cõcurret autem per 14 th. 1 huius: angulus enim d b l eſt rectus, & angulus l d b acutus, ducta linea d b: eritq́ angulus d l b acutus per 32 p 1: cum angulus d b l ſit rectus: eſt ergo per 13 p 1 angulus h l b obtuſus: linea ergo l b concurret cum linea h d, ut patet per 60 th. 1 huius, ex parte punctorum b & g: quia quantùm ad hoc eadem ratio eſt in circu lis & in ſectionibus: facietq́ cum ipſa angulum acutum. Ducatur ergo perpendicularis ſuper lineam l b à puncto b per 11 p 1, quæ ſit b s: hęc ergo cõiuncta cum linea d b fiet linea una per 14 p 1: quoniam utraq ipſarum cum linea l b in eodem puncto, qui eſt b, continet angulum rectum: & linea b s ſecabit lineam h g: ſit, ut ſecet ipſam in puncto x. Et quoniam linea l b protracta concurrit cum linea h d, & angulus s b l eſt rectus: patet quòd linea b s cum linea h g ex parte puncti h continet angulum acutum per 14 th. 1 huius: eritq́ angulus s x h acutus: ergo & angulus g x b illi contrapoſitus ſimiliter eſt acutus per 15 p 1. Quia uerò linea h g ſecat lineam q a, ſit pũctus ſectionis u. Et quoniã angulus h g d eſt rectus, & linea q a concurrit cum linea d g in puncto q: quoniam omnes hæ lineæ ſunt in una ſuperficie: palàm per 14 th. 1 huius quòd linea h g cum linea q a continet angulum acutum ſuper punctum u, qui eſt angulus h u a. Quia ergo angulus s x h eſt acutus, & angulus q u g con trapoſitus angulo h u a per 15 p 1 eſt acutus: patet per 14 th. 1 huius quòd lineæ s b & q u cõcurrunt: ſit ergo concurſus ipſarum in puncto z. Forma itaque puncti z mouebitur ad ſpeculum per lineam z a, & reflectetur per lineam a m ad uiſum exiſtentem in puncto m: & locus imaginis erit punctus b: & loca omnium imaginum punctorum lineæ z s ultra punctum z erũt intra ſectionem: & omniũ punctorum lineæ z b, quæ ſunt citra z, loca imaginum erunt extra ſectionem. Quod eſt propoſitũ.

50. Lineæ rectæ æquidiſtantis axi ſpeculi columnaris conuexi, centro́ uiſus exiſtente ineadem ſuperficie, reflexionem poſsibile eſt fieri à tota linea longitudinis ſpeculi ad uiſum: imago́ eius uidebitur recta, æqualis rei uiſæ. Alhazen 25 n 6.

Eſto ſpeculum columnare, ut in 30 huius: cuius axi z k æquidiſtet linea recta, quæ ſit t h: erit ergo per 30 p 1 & per 92 th. 1 huius linea t h æquidi

Fig. 703

t n q g z m b f f h r a d e k o
ſtans lineę longitudinis ſpeculi columnaris, quæ exiſtens in eadem ſuperficie t h z k, ſit linea a g. Dico quòd ſi uiſus (cuius centrum ſit e) fuerit in eadem ſuperficie t h z k cum linea t h, & cum axe z k: poſsibile eſt ut omnia puncta lineæ t h reflectantur ad uiſum e: quoniam per 30 huius poſsibile eſt, ut puncta reflexionis omnium punctorum lineæ t h ſint in linea longitudinis columnę, quæ eſt g a: quia illa linea ſuperficiei reflexionis, in qua ſunt uiſus e, & axis z k, & linea t h, & ſuperficiei columnæ eſt communis, ut patet per 93 th. 1 huius. Videbitur ergo imago formæ lineæ t h recta: ideo quia quælibet perpendicularis ducta à puncto lineæ t h, erit in eadem ſuperficie cum uiſu & axe: & probabuntur loca imaginum punctorum lineæ t h eſſe ſecundum lineam rectam diſpoſita, ſicut in ſpeculis planis per 52 th. 5 huius extitit probatum de lineis rectis uiſis. Patet ergo propoſitum.

page 301

51. Lineærectæ æquidiſtantes axi ſpeculi columnaris conuexi, uiſu non exiſtente in eadẽ ſuperficie, imago curua uidetur modicæ curuitatis, & minor re uiſa. Alhazen 27 n 6.

Sit diſpoſitio, quæ prius in 30 huius: reflectaturq́ forma lineæ t h à linea longitudinis ſpeculi, quę ſit a g. Dico quòd imago lineæ th uidebitur aliquando curua: forma enim puncti eius, quod eſt q, ut ſuprà patuit in 30 huius, reflectitur ad uiſum e à puncto ſpeculi b, qui eſt punctus circuli b f: linea ergo à puncto q ducta ad centrũ circuli b f, quod eſt l, quæ erit q l, ipſa eſt cathetus incidentiæ formæ puncti q: quoniam, ut patet per 18 p 3, linea q l eſt perpendicularis ſuper lineam contingentẽ circulum b f, cuius peripheria eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi: hæc quoq cathetus q l, ut patet, concurret cum perpẽdiculari producta à puncto b, quod eſt punctum reflexionis, ſuper ipſam ſuperficiem ſpeculi ſuper axẽ z k: & erit concurſus in puncto axis l, ſcilicet in cẽtro circuli b f per 96 th. 1 huius. Cõcurrat ergo linea q l cũ linea m lin puncto axis l: producatur quoq linea reflexionis, quæ eſt e b, quouſq cõcurrat cum catheto q l: & ſit punctus concurſus c: uidebitur ergo per 37th. 5 huius imago formę puncti q in puncto c: & eſt punctus c per 1 p 11 in ſuperficie, in qua ſunt linea q h, & axis z k, & linea longitudinis a g. Itẽ forma puncti t lineę t h reflectitur à pun cto ſpeculi g, qui per 10 huius eſt punctus ſectionis oxygonię, cum punctus t ſit altior centro uiſus, quod eſt e, nec ipſi ſint in eadẽ ſuperficie. Eſt autẽ à puncto t, unam tantũ ducere perpẽdicularẽ ſuperipſam oxygoniam ſectionẽ, quæ eſt communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi, uel ſuper lineam contingẽtẽ ſpeculum in puncto aliquo oxygoniæ ſectionis: per 12 p 1 ſit ducta: hæc ergo per 114 th. 1 huius uel per 44 huius concurret cũ perpẽdiculari ducta à puncto eiuſdẽ ſectiõis, quod eſt

Fig. 704

t i y n g z x q m b c l f h s a d p e k o u
g, ſuper axẽ z k, quæ eſt linea n g z: eritq́ concurfus ſub axe, hoc eſt ſub pũcto z, ꝗ eſt cõcurſus ք pendicu laris n z, & axis z k: quoniam du cta linea t z, erit angulus t z n acutus: ideo quòd angulus n z y eſt rectus, axe k z producto ultra pun ctum z ad punctũ y. Producatur itaq linea n z ultra pũctum z ad pũctum x: & ducatur à pũcto t linea concurrens cum linea n z producta ultra pũctum z in pũcto x: concurret autem per 14 th. 1 huius: ideo quia angulus x n t eſt rectus, uel acutus, & angulus x t n acutus: ſecetq́ linea t x axẽ k z in pũcto y: & producatur linea e g ultra pũctum g, donec concurrat cum linea t x: concurrẽt autẽ per 29 th. 1 huius: linea enim e g producta ſecat angulum t g x: ergo & baſim t x: quoniam illę lineę ſunt in eadem ſuperficie, ut patet: ſit ipſarum ſectio in pũcto i: erit ergo punctus i locus imaginis formæ puncti t per 37 th. 5 huius. Similiter ducta à puncto h lineę th, linea, quę ſit orthogonalis ſuper lineã contingentem ſpeculum in aliquo pũcto ſectionis oxygonię, à qua reflectitur forma pũcti h ad uiſum e per 10 huius, illa concurret cum perpendiculari d a r ſub pũcto d, qui eſt pũctus axis per 114 th. 1 huius uel per 44 huius: concurrat ergo in pũcto p: & ducatur linea e a ultra punctum a, donec concurrat cum linea h p: & ſit ſecũdum pręmiſſos modos punctus concurſus s: erit quoq, ut prius, punctus s imago puncti h. Ducatur quoq linea s i: palàm ergo cum linea t i concurrat in puncto x cum perpendiculari n z, quę eſt æquidiſtans lineæ e o, quòd eadem concurret cum linea e o per 2 th. 1 huius: concurrat ergo in puncto u: ſimiliter linea h s cum concurrat cum perpẽdiculari d r, quę eſt æquidiſtans lineę e o, concurret cum linea e o per 2 th. 1 huius. Sed quoniam ſitus puncti t lineæ th reſpectu pũctie, quod eſt centrum uiſus, idem eſt cum ſitu puncti h, & eadem diſtantia à uiſu: quoniam linea t h æquidiſtat axi z k, & ſimiliter puncta t & h æqualiter diſtant à pũcto q, &, ut patet ex pręmiſsis in 30 huius, ſitus puncti t & puncti h ad punctum o eſt idem, & punctorum i & s, reſpectu puncti o eſt etiam idem ſitus, ut patet ex pręmiſsis in pręſente demonſtratione: ergo per 1 p 11 erit linearum ti & h s reſpectu lineæ e o idem ſitus. Lineę ergo t i & h s concurrent ſuper idem punctum lineę e o: concurrant ergo in pũcto u: erit ergo t u h triangulus, & in ſuperficie huius trianguli erit linea i s: axis autem ſpeculi, qui eſt z k, nõ eſt in hac ſuperficie: uerùm linea t h eſt in eadem ſuperficie cum axe, ut patet ex hypotheſi & per 1 th. 1 huius: ergo ſuperficies illa ſecat ſuperſiciem trianguli t u h ſuper lineam communem, quæ eſt e h, nõ ſuper aliam. Cum ergo punctus t ſit in ſuperficie lineę t h, & ſimiliter axis z k ſit in eadem ſuperficie, & punctus c non ſit in linea t h: ergo non eſt in ſuperficie trianguli t u h: & duo puncta i & s ſuntin ſuperficie illius triaguli: linea ergo i c s erit page 302 curua per 1 p 11. Et quia ipſa eſt imago lineæ t h: palàm quòd imago lineæ rectæ, quæ eſt t h, eſt curua: quod eſt primum propoſitum. Sed eius curuitas modica eſt: quia perpendicularis ducta à puncto c a d lineam i s, ad punctum ſcilicet ſectionis lineæ i s, & ſuperficiei cirucli eſt ualde parua: ſed quantò maior ſuerit linea uiſa, quę eſt t h æquidiſtans lineæ longitudinis ſpeculi, tantò imago eius. erit minus curua: & quantò minor fuerit linea th, tantò curuitas erit maior. Et quoniam linea i c mi nor eſt quàm linea t q, & linea s c minor quàm linea h q: quoniam linea i s, à quo modicùm declinat linea i c s, cadit inter lineas t u & h u concurrentes in puncto u, & eſt quaſi æquidiſtans lineæ t h, ſicut & axi k z: patet ergo quòd linea imaginis (quæ eſt i c s) minor eſt reuiſa, in qua eſt linea t h: & hoc eſt ſecundum propoſitum. Patet ergo totum, quod proponebatur.

52. Superficie lineæ rectæuiſæ ſuperficiem, in quaest axis ſpeculi columnaris conuexi, orthogonaliter ſecante, centro́ uiſus exiſtente in utra ſuperficie: à circumferentia circuli (quiest communis ſectio dict arum ſuperſicierum & ſpeculi) fiet reflexio: lineæ́ rectæ uiſæ imago erit curua. Alhazen 28 n 6.

Eſto linea th in ſuperficie plana orthogonaliter ſecante ſuperficiem, in qua ſunt centrum uiſus e, & axis dati ſpeculi columnaris, qui ſit d ſ: ſitq́ punctum e in eadẽ

Fig. 705

f d b g t e h e
ſuperficie cum linea t h: erit ergo punctum e in linea, in qua illæ duæ ſuperficies ſe interſecant: quod neceſſe eſt eſſe per 19 th. 1 huius, & per 1 p 11. Dico quòd formæ totius lineæ t h à circumſerentia circuli (qui eſt communis ſectio ſuperficiei t h e, & ſuperficiei colũnæ ipſius ſpeculi) quæ ſit g b, fiet reflexio ad uiſum. Aut enim centrum uiſus (quod eſte) erit retro lineam t h: & tunc, cúm illa linea ſit corpo ralis, & non diaphana, eius denſitas occultabit uiſui ſpeculum, & nõ fiet reflexio, niſi fortè ſolæ ſormæ capitum lineę, quę ſunt t & h, appareant & reſlectantur ad uiſum à circulo ſpeculi, qui eſt b g: & erit formarum horum capitum imago tendens ad curuitatem, ſicut per 56 th. 6 huius patuit de ſpeculis ſphæricis conuexis. Siuerò fuerit li nea th diaphana groſſæ diaphanitatis, ut cryſtallus: de hoc ſermo alter erit in decimo libro huius ſcientiæ. Sed ſi linea t h ſiue exiſtente diaphana ſiue non, ſuerit uiſus ſub illa inter ipſam ſcilicet & ſpeculum: tunc occultabitur pars lineæ t h propter interpoſitionem capitis, in quo eſt uiſus: pars autem illa lineæ t h, quę uideri poteſt, non obſtante capitis impedimẽto, reflectetur à circulo b g ad uiſum, eodem penitus modo, quem de ſpeculis ſphæricis conuexis oſtendimus ſuo loco. Eſt ergo imago lineæ rectæ t h taliter uiſę ſemper curua. Quòd ſi centrum uiſus e fuerit extra terminos lineę th in eadem ſuperficie, ut prius, & fiat reflexio formæ lineę t h ad uiſum: uidebitur imago lineę t h tota curua, ut patet ſecundum præmiſſa. Et hoc eſt propoſitum.

53. Lineæ recæ uiſæ ſuperſicie orthogonaliter axem ſpeculi columnaris conuexi ſecante, centro́ uiſus non exiſtente in eadem ſuperficie, facta́ reflexione aduiſum æqualiter diſtãtem ab extremis illius lineæ: eius imago uidetur maximæ curuitatis. Alhazen 29 n 6.

Sit ſuperficies plana, in qua eſt linea t h, orthogonaliter ſecans ſuperficiem, in qua ſunt centrum uiſus e, & axis ſpeculi columnaris conuexi, quod ſit b k g: ſitq́ cẽtrum uiſus e non in eadem ſuperficie cum linea t h: cuius extrema t & h, ſicut proponitur, æqualiter diſtent à centro uiſus e: palamq́ per 10 huius quoniam communes ſectiones omnium ſuperficierum reflexionis & ſpeculi, erũt oxy goniæ. Et quoniam ex hypotheſi forma puncti h reflectitur a d uiſum e ab aliquo puncto ſpeculi ꝓpoſiti: ſit ergo, ut hoc fiat à puncto b per 29 huius. Et quia punctus t eiuſdem eſt diſtantiæ à puncto e (quod eſt centrum uiſus) cuius eſt punctum h: patet quòd form a puncti t reflectitur ad uiſum c ab aliquo puncto ſpeculi: ſit illud punctum g. Et cum extrem a puncta lineę h t ſint eiuſdem ſitus & longitudinis à centro uiſus e: erunt etiam puncta reflexionum ſormarum illarum punctorum (quę ſunt b & g) eiuſdem diſtantiæ & ſitus à puncto e centro uiſus. Igitur duo puncta b & g erunt in circulo æquidiſtante baſibus ſpeculi, qui cadet ſemper inter lineam h t & inter ſuperficiem tranſeuntem centrum uiſus e, & ſecãtem ſpeculum æquidiſtanter baſibus ipſius ſpeculi: quod ideo accidit, quia puncta reflexionum, quę ſunt b & g, plus declinant ad centrum uiſus, ad quod fit reflexio, quàm ipſa puncta h & t, quorum formę reflectuntur. Sit ergo ille ciruclus b z g, cuius centrum ſit d: ducantur itaq lineæ incidentiæ, quę ſunt h b & t g: & lineæ reflexionum, quæ ſunt b e & g e: & à centro d ducantur perpendiculares ſuper lineas circulum b z g contingentes in punctis b & g, quæ ſint d g & d b o. Palamq́ per 21 huius, quoniam illarum perpendicularium partes, quæ ſunt g d & d b ſunt ſemidiametri circuli b z g: & ducatur linea à puncto d centro circuli ad centrum uiſus, quę ſit e d: & producantur lineæ incidentię, quę ſunt h b & t g, donec concurrant cum linea e d. Cũ aũt puncta h & t ſint eiuſdẽ ſitus & diſtantiæ, reſpectu pũcti e, & reſpectu centri d: palã quòd lineæ h b page 303 & t g habebunt eundem ſitum, reſpectu lineæ e d: concurrent ergo in idem punctum illius lineæ e t: eſto quòd concurrant in punctum l: ducaturq́ linea longitudinis columnæ ſpeculi, in qua ſit pũ

Fig. 706

c c s o l i g m k z b d t q h p n y r u a x
ctus z: & ſit hęc linea in ſuperſicie plana, in qua eſt centrum uiſus & axis ſpeculi: ſitq́ linea a z: & ducantur lineę l z n & d z c. Et quoniam ſuperficies, in qua ſunt centrum uiſus & axis ſpeculi, interſecat ſuperficiem, in qua eſt linea t h, ſit punctus lineæ t h, in quo fit h æ c ſectio, punctus q: & a puncto q ducatur linea æquidiſtans lineæ d z c: cadet quidem h æc linea per 2 th. 1 huius ſuper axem ſpe culi exuna parte, & ſuper lineam l z n exalia: cadat ergo in punctum n lineæ l z n. Palàm autem per 20 th. 5 huius quoniam angulus h b o (qui eſt angulus incidentiæ formæ puncti h) eſt ęqualis angulo o b e, qui eſt angulus reflexionis: ſed angulus h b o per 15 p 1 eſt æqualis angulo l b d, quoniam eſt ei contrapoſitus : & angulus o b e æqualis eſt duobus angulis b e d, & b d e per 32 p 1: cum in triangulo e b d ipſe ſit extrinſecus: angulus ergo l b d æqualis eſt eiſdem ducobus angulis, ſcilicet b e d, & b d e. Seceturitaq, exangulo l b d angulus, qui ſit m b d, æqualis angulo b d e per 27 th. 1 huius: remanet ergo angulus m b l æqualis angulo b e d. Quia ergo in triangulo e b m angulus b e m eſt æqualis angulo m b l trianguli b m l, & angulus b m e communis utriq illorum tri gonorum: erit per 32 p 1 angulus m b e trigoni maioris æqualis angulo m l b trigoni minoris: eſt ergo per 4 p 6 proportio lineæ e m ad b m, ſicut lineæ b m ad m l:ergo per 17 p 6 illud, quod fit ex ductu lineæ e m in m l æquale eſt quadrato lineę b m. Ducatur quoq linea m z. Et quoniam angulus b d m maior eſt angulo z d m (quia enim angulus s d e eſt æqualis angulo o d e propter identitatem ſitus punctorum reflexionum, quæ ſunt b & g à centro uiſus e, quæ cauſſatur, ut præoſtenſum eſt, exidentitate ſitus punctorum uiſorum, qui ſunt h & t, reſpectu uiſus e: angulus uerò s d e maior angulo z d m, ut totum ſua parte: ergo & angulus b d m eſt maior angulo z d m) ſed & duo latera z d & d m ſunt æqualia duobus lateribus b d & d m: quoniam d b & z d ſunt ex centro ad circumferentiam, & latus d m eſt commune: erit ergo per 24 p 1 latus m b maius latere m z: illud ergo, quod fit ex ductu lineæ e m in l m, maius eſt quadrato lineę z m: ſit ergo ductus lineę e m in lineam m i, (quę minor eſt quàm ſit linea m l) æqualis quadrato lineæ m z: & ducantur lineæ i b, i z, e z. Et quia trianguli e z m, & z i m (quorũ cõmunis angulus eſt z m i) per 6 p 6 ſunt æquianguli, propter laterum ſuorum proportionalitatem ex 17 p 6, quę continent illum communem angulum: erit ergo angulus m z i æqualis angulo z e i: eſt ergo angulus m z l (qui eſt maior angulo m z i) maior angulo z e d: ſed quoniam angulus m b d conſtitutus eſt æqualis angulo b d m: eritlinea m d æqualis lineæ m b per 6 p 1: ſed linea m b eſt maior quàm linea m z, ut patet expręmiſsis: ergo linea m d eſt maior quàm linea m z: ergo per 18 p 1 erit angulus m z d ma ior angulo m d z: igitur angulus d z l maior eſt duobus angulis e d z, & z e d. Angulus enim d z l continet angulum m z l maiorem angulo z e d: quoniam angulus m zi qui eſt pars anguli m zl, æqualis eſt angulo z e d, utſuprà patuit. Item pręter angulum m z l, continet angulus d z l & angulũ d z m maiorem angulo m d z: angulus uerò n z c eſt æqualis anguolo d z l per 15 p 1, & angulus e z c per 32 p 1 æqualis eſt duobus angulis z d e & z e d: eſt ergo angulus n z c maior angulo e z c. Secetur ergo ex angulo n z c per 27th. 1 huius angulus æqualis angulo e z c, qui ſit f z c, ducta linea z f: quę quidem concurret cum linea n q per 2 th. 1 huius: quoniam concurrit in puncto z cum linea e d æ quidiſtante lineę n q: concurrat ergo ſuper punctum f. Cum ergo angulus f z c ſit æqualis angulo e z c: palàm per 20 th. 5 huius quoniam reflectetur forma puncti fad uiſum e à puncto ſpeculi z: ſed forma puncti q reflectitur ad uiſum ab aliquo puncto lineę longitudinis ſpeculi tranſeuntis per punctum z: reflectitur ergo à puncto, quod eſt ultra punctum z. Quia ſi detur, utrefle ctatur à puncto, quod ſit citra punctum z, propinquius puncto e, quàm ſit punctum z: tunc linea ducta à puncto q ad illum punctum reflexionis ſecabit lineam f z: ille ergo punctus ſectionis reflectetur ad uiſum e à duobus punctis lineę longitudinis ſpeculi, quæ eſt z a, ſcilicet à puncto z, & ab alio puncto dato: quod eſt impoſsibile per 26 huius. Sumatur ergo punctus reflexionis formę puncti q ultra punctum z: & ſit punctus k: à quo reflectatur forma puncti q ad uiſum e: & ducatur linea in 304 cidentię, quę ſit q k, & linea reflexionis, quę e k: & producatur linea e k, donec concurrat cum linea n q: concurret autem linea e k cum linea n q per 2 th. 1 huius: quia concurrit cum linea d c æquidiſtante lineæ n q: hęc enim in eadem ſuperſicie eſt inter puncta e & k: concurrunt itaque lineę e k & n q: & ſit punctus concurſus p: erit ergo per 37 th. 5 huius pũctus p locus imaginis formæ puncti q: ſed punctus h reflectitur ad uiſum e à puncto ſectionis oxygonię, cum non ſit in eadem ſuperficie cum uiſu e. Si ergo à puncto h ducatur cathetus incidentiæ formæ punctih, quæ erit linea perpendicularis ſuper lineam rectam contingẽtem ſectionem oxygoniam in aliquo puncto ipſius ſectionis: palàm quia cathetus illa concurret cum perpendiculari o b d ſub axe per 44 huius: concurrat ergo in puncto aliquo. Similiter à puncto t eſt ducere unam cathetum incidentiæ, lineam ſcilicet perpendicularem ſuper ſectionem oxygoniam, à cuius ſectionis puncto reflectitur ſorma punctit ad uiſum e, quæ, ſicut prius, concurret cum perpendiculari s g d ſub axe. Et quoniam ſemidiametri b d & g d non poſſunt eſſe linea una, ut patet per 78th. 4 huius: palàm per 112 th. 1 huius quoniam re flexio formarum punctorum h & t fit ex hypotheſi, & per 23 nuius à duobus punctis duarum ſectio num columnarium ſecundum lineam c d productam trans ſpeculum ſe interſecantium per 24 huius, & per 1 p 11, & 19 th. 1 huius. Et quoniam puncta h & t lineæ h t ſunt eiuſdem ſitus, reſpectu lineæ e d: ideo enim quòd illa pũcta h & t ſunt eiuſdem ſitus, reſpectu uiſus e ex hypotheſi, linea uerò e d, quæ diameter uiſualis, eſt in eadem ſuperficie cum axe ſpeculi & centro uiſus: habentergo puncta h & t eundem ſitum, reſpectu lineæ e d, & puncta ſectionis ſimiliter, per quæ tranſeunt catheti inci dentiæ ductæ à punctis h & t: & hæc omnia accidunt propter identitatem ſitus punctorum h & t, reſpectu uiſus e, & reſpectu lineę e d. Palàm ergo quòd illæ duę catheti à punctis h & t ductæ ſuper illas ſectiones, quarum, ut patet ex pręmiſsis, quælibet concurrit cum linea e d, ambæ cõcurrent in eodem puncto lineæ e d: concurrantergo in puncto u. Et quia linea e b producta concurret cum linea h u: ſit punctus concurſus r: concurratq́ linea e g cum linea t u in puncto y: & ducatur linea r y. Palàm ergo per 37 th. 5 huius quia pũctum r eſt imago formę punctih, & punctum y eſt imago formæ punctit. Habemus quoq triangulum e r y, & extra ſuperficiem huius trianguli eſt pũctum z: ſu perficies ergo huius trianguli altior eſt quàm linea e p, ſi cẽtrum uiſus fuerit altius quàm linea h t, & eſt baſsior, ſi cẽtrum uiſus fuerit baſsius quàm linea h t: eſt ergo pũctus p ſemper extra illã ſuperficiem. Linea ergo r p y eſt ſemper curua per 1 p 11, ſed ipſa eſt imago lineę th, ut patet per 37 th. 5. Eſt ergo imago lineę h t modo propoſito ſituatæ, reſpectu centri uiſus & ſpeculi columnaris conuexi, ſemper curusa curuitate non modica. Quod eſt propoſitum.

54. Lineæ rectæ uiſæ non æquidiſt antis axi ſpeculi columnaris conuexi, cuius ſuperficies obliquè ſecat axem: imago uidctur curua diuerſæ curuitatis ſecundum diuerſitatem ſuiſitus.

Quia enim per 51 huius patet quòd linea recta æquidiſtãs axi ſpeculi columnaris conuexi imagi nẽ habet nõ rectam ſed curuam, licet modicę curuitatis: lineę uerò (cuius ſuperficies orthogonaliter ſecat axem ſpeculi, uiſu non exiſtẽte in eadem ſuperficie cũ linea uiſa) imago ſemper uidetur curua per proximam pręmiſſam: palàm per eandẽ quoniã lineęinter has duas ſitę, quę magis accedunt ad ſitũ lineæ æquidiſtantis lineæ lõgitudinis colũnę, habebũt imagines plus accedẽtes rectitudini: lineę uerò, quæ plus appropinquãt lineis, quarũ ſuperficies orthogonaliter ſecãt axem, plus accedunt in ſuis imaginibus ad curuitatem: & augmẽtatur uel minuitur curuitas imaginum ſecun dum acceſſum uel receſſum linearum ad alterum iſtorum ſituum. Et hoc eſt propoſitum.

55. Forma omnis lineæ rectæ incidentis uertici ſpeculi pyramidalis cõuexi obliquè ſuper axẽ, reflectitur ad centrum uiſus intra illam & ſuperficiem ſpeculi conſtitutum à linea longitudinis ſpeculi: imago́ ipſius uidetur curua modicæ curuitatis, cuius conuexitas est ad uiſum. Alhazen 32 n 6.

Sit ſpeculum pyramidale conuexum a b c, cuius uertex ſit a, & cuius axis ſit a d: ſigneturq́ in ſuperficie conica eius linea longitudinis, utcũq; cõtingit, quę ſit a z, per 101 th. 1 huius: ducaturq́ per punctum z ſuperficies æ quidiſtans baſi pyramidis: hęc ergo per 100 th. 1 huius ſecabit pyramidem ſpeculi ſecũdum circulum, qui ſit z u: & ducatur per 11 p 1 à pũcto z perpẽdicularis ſuper lineam lon gitudinis z a: quę producta ad axem ſpeculi, qui eſt a d, cadat in pũctum h: cõcurret autem cum axe per 96 th. 1 huius, uel per 14 th. 1 huius: ideo quia angulus d a z eſt acutus. E t à pũcto z ducatur linea contingens circulum z u per 17 p 3, quę ſit z m: & ducatur à pũcto a linea cõtinens cum utraq linearum a z & a h, angulum acutum: quę ſit extra ſuperficiẽ contingẽtem pyramidem ſuper lineam a z: hoc enim eſt poſsibile, cũ angulus h a z ſit acutus. Sit ergo illa linea a n: & in ſuperficie, in qua ſunt lineę a n & a h, ducatur à puncto h linea continens cum linea a h angulum æqualem angulo z h a per 23 p 1: hęc ergo linea concurret cum linea a n per 14 th. 1 huius: ideo quòd, ut patet ex pręmiſsis, duo anguli n a h & a h z ſunt acuti. Sit ergo pũctus concurſus o: linea itaq h o ſecabit circũferentiã circuli z u: ideo enim quod angulus a h o eſt æqualis angulo a h z, oportet quòd lineæ z h & o h ſint in eadem ſuperficie. Secet ergo linea h o peripheriam circuli in puncto u: & ducatur linea longitudinis ſpeculi, quę a u: & extrahatur linea perpendicularis h z extra ſpeculum ad punctum t: & ducatur linea o z: & producatur in continuum & directum: & ſit o z f: & producatur linea a z ad punctum e. Angulus ergo f z h erit acutus per 15 p 1: quia linea o z cum linea t z continet angulum page 305 acutum: eſt enim angulus a z trectus. Et quia linea o z ſecat ſuperficiem contingentem ſpeculũ ſuper lineam a z, ſuper quam erecta eſt linea h z, ut patet ex pręmiſsis: angulo itaq a z h exiſtente recto, angulus o z a eſt acutus: ergo per 15 p 1 relin quitur ut angulus e z f ſit acutus. A puncto ergo f ducatur perpendicularis ſuper lineam a e per 12 p 1: & producatur in continuum & directũ, donec concurrat cum linea a o in puncto n: concurret autem linea f e cum linea a o per 14 th. 1 huius: ideo quia angulus e a o eſt acutus, & angulus a e n rectus: & ducatur

Fig. 707

a o u m h z t b s n c l d q e f p
à puncto e linea e d æquidiſtans lineę z h: erit ergo ք 8 p 11 linea e d perp ẽ dicularis ſuper ſuperficiem cõtingẽtem pyramidẽ ſecundũ lineam a e: cũ linea z h ſit perpẽdicularis ſuper eandem ſu perficiẽ: & ducatur à pũcto e linea e l æquidiſtãs lineæ z m: & imaginetur ſuքficies, in qua ſint lineę e l & e d, ſecare pyramidẽ: erit quo q cõmunis ſectio huius ſuperficiei & ſuperficiei conicæ ipſius ſpeculi ſectio oxygonia ք 103 th. 1 huius: quoniã illa ſuperfi cies l e d eſt obliqua ſuper axem a d. Sit ergo illa ſectio d e c. Linea uerò m z, quę eſt cõtingens circulũ z u, eſt perpẽ dicularis ſuper lineã a e per 22 th. 1 huius: ideo quia axis a h erectus eſt ſuper ſu perficiẽ illius circuli per 89 th. 1 huius, & linea z m eſt perpẽdicularis ſuper illius circuli ſemidiame trũ per 18 p 3: eſt ergo linea z merecta ſuper ſuperficiẽ a z h, ut patuit in 41 huius: quoniã ſuperficies circuli, & ſuperficies a z h ſunt a dinuicẽ rectę: ergo linea l e æquidiſtãs lineę z m, per 8 p 11 eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiem a d e: ergo angulus a e l eſtrectus: quod tamẽ facilius patet per 29 p 1. Quia enim angulus a z m eſt rectus, erit & angulus a e l rectus: ſed & angulus a e n eſt rectus: & ſimi liter angulus a e d eſt rectus ք 29 p 1: ideo quia angulus a z h eſt rectus, & linea e d ęquidiſtat lineę z h: ergo per 5 p 11 lineæ n e, l e, d e ſunt in eadẽ ſuperficie ſectionis: & linea a e eſt erecta ſuper ſuperficiẽ illius ſectionis: cũ oẽs illę lineę cũ linea a e cõcurrant ad angulos æquales & rectos: ergo linea fn eſt in ſuperficie ſectionis. Protrahatur itaq linea d e in continuũ& directũ uſq ad pũctum q: & extrahatur à pũcto flinea æ quidiſtãs lineæ d e q, quę ſit f p: hęc ergo linea æ quidiſtabit lineę h z per 30 p 1: & producatur à pũcto z in ſuperficie o z h linea recta continẽs cũ linea z t angulũ æqualẽ angulo o z t, qui eſt acutus per 13 p 1: ideo quia, ut ſuprà patuit, angulus o z h eſt obtuſus: hæc ergo linea cõcurret cũ linea f p per 2 th. 1 huius: quia ſecabit lineã z h æ quidiſtãtẽ lineę f p, & eſt in ſuperficie eius: ꝗ a linea z f eſt in ſuperficie eius: oẽs aũt lineę æquidiſtãtes ſunt in eadẽ ſuperficie per 1 th. 1 huius: cõcurrat ergo in pũcto p: & ſit angulus p z t æqualis angulo o z t. Et quia angulus o z t eſt æqualis angulo z f p per 29 p 1, quia eſt extrinſecus illi, & angulus t z p æqualis eſt angulo ſibi coalter no, qui eſt angulus z p f: palã quòd angulus z f p eſt æ qualis angulo z p f: ergo per 6 p 1 lineæ z f & z p ſunt æquales. Et quia linea f e n eſt in ſuperficie ſectionis, & linea fp eſt æquidiſtãs lineæ e d, quæ eſt in ſuperficie ſectionis: eſt ergo per 2 th. 1 huius & per 7 p 11 linea f p in ſuperficie illius ſectionis. Producatur quoq linea p e: erit ergo linea p e ſimiliter in ſuperficie ſectionis per 7 p 11. Et quoniã ſuperius declaratũ eſt quòd linea lõgitudinis ſpeculi, quę eſt e a, eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſectionis: uterq ergo angulus a e p & a e f eſt rectus ք definitionẽ lineę ſuper ſuperficiẽ erectę: quadratũ ergo lineę f z ualet duo quadrata linearũ z e & f e ք 4 7 p 1: ſimiliter quadratũ lineæ z p ualet duo quadrata linearũ z e & e p: ſed quadratũ lineę z f eſt æquale quadrato lineę z p: quia & linea lineę eſt æqualis ex pręmiſsis: eſt aũt amborũ cõmune quadratũ lineę z e: relinquitur ergo quadratũ lineę f e æquale quadrato lineę e p: erit ergo linea f e æqualis lineę p e: ergo per 5 p 1 duo anguli e p f & e f p ſunt ęquales. Sed angulus n e q eſt ęqualis angulo e f p per 29 p 1: quia eſt ei extrinſecus, & angulus q e p eſt ęqualis angulo e p f: quia eſt ei coalternus: ſunt ergo angulin e q & q e p ęquales. Ergo ք 20 th. 5 huius form a pũctin reflectetur a d uiſum exiſtẽtẽ in pũcto p à pũcto ſpeculi e: & forma pũcti o reflectetur ad uiſum exiſtẽtẽ in pũcto p à pũcto ſpeculi z. Et omnis linea producta à pũcto f ad aliquod pũctũ lineę o n, ſecabit lineã z e. Patet quoq ſecũdũ pręmiſſa quòd illa linea erit ęqualis lineę ꝓ ductę à pũcto p ad illud idẽ pũctum: quia linea a e eſt perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ, in qua ſunt lineę p e & f e, quę eſt ſuperficies ſectionis: & duę lineę f e & p e ſunt æquales: oẽs ergo lineę extractę à pũctis f & p ad aliquod unũ pũctum lineę z e, ſunt ęquales, iterãdo modũ ꝓbandi, quo uſi ſumus prius. Patet ergo quòd forma omnis pũcti, qui eſt in linea o n, reflectetur ad uiſum exiſtentẽ in pũcto p exillo pũcto ſpeculi, quod ſecatur in linea z e. Omnis quoq linea extracta ex uertice pyramidis, qui eſt a, cadensq́ obliquè ſuper axem pyramidis ſpeculi, qui eſt a d, itaut angu los acutos contineat cũ axe a d, & cũ linea longitudinis, quę eſt a z, uel alia quacũq;, pręmiſſo modo demonſtrari poteſt, quia aliqua parsipſius reflectitur ad uiſum tunc diſpoſitum, reſpectu illius page 306 uiſibilis, ut nunc eſt diſpoſitus punctus p, reſpectu lineæ o n. Similiterq́ patet, quòd in hac diſpoſitione formæ punctorum totius lineæ a o n reflectentur ad uiſum in puncto p exiſtentem. Et ſi punctus fulterius producatur in maiori diſtantia à puncto z: augmentabitur quantitas lineæ a o n ſecundum illud. Et huius quidem ſimile demonſtratum eſt per 41 huius: nunc uerò hoc præmiſimus in hoc propoſito theoremate, ut ſtudioſus in dagator ea, quæ ſequuntur, facilius acceptet. Omnibus itaq his ſuo modo diſpoſitis cõtinuetur linea n d: ſecabit ergo linea n d circumferentiã ſectionis: nam duo puncta d & n ſunt in eadem ſuperficie ſectionis, & punctum n eſt extra circumferentiam ſectionis, d uerò eſt intra illam: ſecet ergo linea n d circumferentiam ſectionis in puncto c: & quia triangulus a h o eſt totus in eadem ſuperficie per 2 p 11: palàm quoniam linea n d erit in ſuperfi cie trianguli a o h per 1 p 11: puncta enim d & n ſunt in lineis a o & a h: ergo & linea n d eſt in ſuperficie eadem cum illis: erit ergo pun ctus c in ſuperficie trianguli a o h.
Fig. 708

a o l u p m h z t x b q y c n s d g c k f r
Similiter etiam duo puncta a & u ſunt in ſuperficie huius trianguli a o h, ut patet ex præmiſsis: quoniam linea h o ſecabat peripheriá circuli z u in pũcto u: ſic enim uocauimus pũctum illud. Tria ergo puncta, quę ſunt a & u & c ſunt in ſuperficie huius trianguli a o h: ſed puncta a, b, c ſunt omnia in ſu perficie ſpeculi: ergo tria pũcta a, u, c ſunt in linea communi ſuperficiei ſpeculi & ſuperficiei a n d: ſed hæc linea communis eſt linea recta per 90 th. 1 huius: fit enim ſectio ſecũdum axẽ ſpeculi: ergo puncta a, u, c ſunt in linea recta. Protrahatur ergo linea a u rectè ad punctum c: & producatur linea r z ultra punctum z: quæ ſecabit lineã o h per 29 th. 1 huius: ideo quia lineæ r z & h o ſunt in eadem ſuperficie, & linea r z, quæ ſecat angulum f z t, ſecat angulum eius contrapoſitum, qui eſt h z o: ergo & baſim illi ſubtenſam, quæ eſt h d, neceſſariò ſecabit: ſecet ergo ipſam in puncto p. Eſt ergo punctus p in ſuperficie trianguli a o h. Producatur quoq linea a p: & protrahatur ultra p: ſecabit ergo lineá d n per 29 th. 1 huius: quoniã ſecat angulũ d a n: ſecet quoq ipſum in puncto g. Et quia punctus f nõ eſt in ſuperficie contingête pyramidem ſpeculi tranſeunte per lineá a z e, ſed obliquè incidit eidẽ, ut patet ex pręmiſsis: eſt aũt in ſuperficie ſectiõis: & quoniã ſuperficies ſectionis nõ eſt erecta ſuper ſuperficiẽ a d e per 103 th. 1 huius: patet per 4 p 11 quia neceſ ſariò erit angulus f e d acutus, quoniã angulus a e f eſt rectus: angulus ergo d e n per 13 p 1 eſt obtuſus: ergo angulus e d n eſt acutus per 32 p 1: cadit ergo in triangulo amblygonio, qui eſt d e n. Et ſit li nea c x contingens ſectionem in puncto c. Per e a ergo, quæ pręmiſſa ſunt in demõſtratione 45 th. 5 huius, & etiã ex eo quoniã angulus d c x eſt obtuſus: palã quòd per pẽdicularis extracta ex pũcto c ſuper lineã c x cõtingétẽ ſectionẽ, ſecat angulũ d c x: & q cõcurret cũ linea e d ſub pũcto d: hęc er go perpẽdicularis ſecet lineã e d producta m ultra pũctum d in pũcto s: perpẽdicularis ergo extracta ex pũcto n ſuper lineã cõtingẽtem ſectionẽ, ſecabit lineã e d ultra pũctum s remotius à pũcto d, quàm ſit pũctus s: ſiue iſtæ perpẽdiculares cũ linea e d cõcurrant ultra circũſerentiam ſectionis, uel intra illã. Perpẽdicularis enim extracta à pũcto n ſuper lineã cõun gentẽ ſectionẽ nó ſecabit angulũ d c x, ſicut linea perpẽdicularis ducta à pũcto c ſecat angulũ illũ. Vt enim patet per 46 huius, & per 113 th. 1 erit illa perpendicularis remotior à linea n e,  ſit linea n d: hęc ergo perpendiculariter ſecat axẽ ſpeculi, qui eſt a d, in pũcto altiori  ſit pũctum d: ſit ergo per pẽdicularis extracta à pũcto n ſuper lineam contingẽtem ſectionem in puncto ſuæ incidentiæ linea n q: & linea r e ſecat lineam n e in puncto e, qui eſt pũctus circũferentiæ ſectionis, & eſt in ipſius ſuperficie: & ſimiliter linea n q eſt in ſuperficie ſectionis. Si ergo linea r e, quæ eſt linea reflexionis, extrahatur in cõtinuum & directũ: palàm quòd ipſa ſecabit lineã n q per 29 th. 1 huius: quoniã ipſa protracta ſecat angulũ q e n: ſecabit ergo baſim q n in trigono n e q: ſit ergo, ut ſecet ipſam in pũcto y. Itẽ quia pũctũ e (q eſt in ſuperficie ſectionis) eſt extra ſuperficiẽ trigonia n d, patet q trigonũ a n d ſecabit ſuքficiẽ ſectiõis: quia ſuperficies a n d nó eſt ſuperficies ſectionis: cũ, ſicut patet ex pręmiſsis, pũctus a ſit extra ſuperficiẽ ſectionis, & linea a e ſit perpẽdicularis ſuper ſuperficiẽ ſectiõis, & pũctus e eſt in circũferẽtia ipſius ſectionis: eſt aũt linea n c d cõmunis ambabus illis ſuperficiebus, trigoni ſcilicet a n d & ſectionis. er go ք 19 th. 1 huius linea n c d eſt cõmunis ſectio illarũ ſuperficierũ, ſcilicet trigoni a n d & ſectióis, & linea n q cõ currit cũ ipſa ſectiõe ultra pũctũ c, ut ſuprà declaratũ eſt: ergo linea n q eſt ultra ſuperficiẽ trigoni a n d: ſed linea a p g eſt in ipſa ſuperficie trigoni a n d: pũctus ergo y (qui ք 37 th. 5 huius eſt locus imaginis formæ pũctin, cũ ipſe ſit cõmunis ſectio lineæ reflexionis, q̃ eſt r e, & catheti inci dẽtiæ formę pũcti n, q̃ eſt linea n q) erit ultra lineã a p g. Viſu itaq exiſtẽte in pũct o r, & forma alicu ius rei uiſę reflexa a d cẽtrũ uiſus in pũcto r à linea lõgitudinis ſpeculi, quæ eſt z e (ut nũc in præce page 307 dentibus oſtenſum eſt, quòd forma pũcti o reflectitur ad uiſum exiſtentem in punctor à pũcto ſpeculi z: & forma puncti n à puncto ſpeculi e) tunc punctus p erit locus imaginis formæ puncti o per 37 th. 5 huius: quoniam ipſe punctus p eſt cõmunis ſectio line æ reflexionis, quæ eſt z r, & catheti incidentiæ formæ puncti o, qui eſt linea o h: & punctus y eſt locus imaginis formæ punctin: forma ue rò puncti a uidebitur in ſuo loco proprio: quia eſt in uertice pyramidis: & erit imago lineæ a o n linea tranſiens per puncta a, p, y. Sed hæc linea eſt conuexa, quia punctum y eſt ultra lineam a p g: ſit ergo illa linea imaginis curua, quæ eſt linea a p y. Iam autem patuit quòd formæ omnium punctorũ lineæ a n reflectantur ad uiſum exiſtentem in puncto r à linea lõgitudinis ſpeculi, quæ eſt a e. Lineę ergo reflexionum, per quas reflectuntur illæ formæ, ſunt omnes in ſuperficie trianguli r a e: omnes ergo imagines punctorum lineę a n ſunt in hac ſuperficie: ergo linea a p y, quæ eſt cõuexa, eſt in hac ſuperficie: & punctus p, qui eſt locus imaginis formæ puncti o, eſt propior centro uiſus, qui eſt punctus r, quã ſit punctus y, qui eſt locus imaginis formę puncti n: propter quod erit conuexitas huius imaginis reſpiciens centrum uiſus: eritq́ conuexitas parua. Et diameter huius imaginis (quæ diameter eſt linea a y) erit minor, quã ſit linea a n, cuius imaginis eſt ipſa diameter: erit aũt illius diuerſitatis exceſſus in modica quantitate. Imagines ergo linearum, quæ extrahuntur ex uerticib. pyramidaliũ ſpeculorum conuexorũ obliquè ſuper axem ſpeculi, cõprehendũtur à uiſu in talib. ſpeculis ſecundum lineam longitudinis ſuæ reflexę: & apparent conuexę. Et hoc eſt propoſitum.

56. Omnis forma lineæ rectæ æquidiſt antis latitudini ſpeculi pyramidalis conuexi, uiſu exiſtente extra eius ſuperficiem ſpeculum æquidiſt anter baſi ſecantem, reflectitur ad uiſum ſecundum oxygonias ſectiones, imago́ ipſius uidetur curua maximæ curuit atis, cuius cõuexit as eſt ad uiſum. Alhazen 33 n 6.

Eſto ſpeculum pyramidale conuexum: cuius uertex ſit a: diameter baſis b c: eſt ergo ipſius latitu do trigonũ a b c: ſitq́ centrum uiſus d, & linea recta uiſa ſit e f æquidiſtans ſuperficiei trigoni a b c, ſitq́ centrum uiſus d extra ſuperfi

Fig. 709

a e f d b c
ciem, in qua linea e f exiftente per ipſam ſecaretur ſpeculum ęquidi ſtanter ſuæ baſi. Dico quòd forma lineę e freflectitur ad uiſum d ſecundum oxygonias ſectiones ſpeculi ſuperficiem ſecantes. Non enim poteſt reflecti ſecundum lineam longitudinis ſpeculi: quoniã tunc oporteret, ut cõcurreret cum axe ſpeculi uerſus uerticem per 41 huius, & quòd obliquè incideret eidem, cuius oppoſitũ dicit hypotheſis: à ſuperficie uerò iſtorum ſpeculorum ſecũdum circulum non fit reflexio per 12 huius. Oportet ergo de neceſsitate, ut harum linearum reflexio cũ fit ad uiſum, ſiat ſecundũ oxygonias ſectiones. Et quoniam catheti incidentię, quæ ſunt perpendiculares ſuper illas oxygonias ſectiones, (quoniã ſunt perpẽdiculares ſuper lineas illas ſectiones contingẽtes) cũ lineis reflexionum concurrunt non in eadẽ linea ęquidiſtante lineę uiſæ, ſed in lineis diuerſis: ideo imagines talium linearum ſic diſpoſitarum reſpectu ſuperficierum iſtorum ſpeculorum uidẽtur curæ: ſicut de ſpeculis columnarib. oſtẽdimus in 53 huius. Sunt aũt imagines harũ linearum multũ curuæ, ita ut ipſarum curuitas ſit maniſeſta ſenſui: fitq́ centrum illarũ imaginum extra ſuperficies, in quibus eſt conuexitas formarum harum linearum: fiuntq́ diametriima ginum harum linearum multò minores ipſis lineis: quod accidit propter augmentum ſuę curuitatis. Patet ergo propoſitum.

57. Linearum rectarum ſuperficiebus ſpeculorum pyr amidalium conuexorum non ſecundũ concurſum cum uertice axis, ne æquidiſt anter latitudini ſpeculi, ſed inter hæc obliquè inciden tium imagines ſunt curuæ, diuerſæ curuit atis ſecundum modum, quo plus participant ſitib. extremis. Alhazen 34 n 6.

Quod hic proponitur, ſatis euidentẽ habet cauſſam. Lineę enim rectę applicatæ his ſpeculis neq ſecondum lineam longitudinis, ut in 41 & 55 huius, neq ęquidiſtanter latitudini ſpeculi, ut in præmiſſa: medio modo, ſecundum quod plus approximant uni ſitui uel alteri, participant modos curui tatis. Vnde illæ, quę plus approximant in ſuo ſitu lineis exiſtentibus in longitudine ſpeculi, habent formas minus conuexas, quę uerò plus approximant lineis ęquidiſtantibus latitudini ſpeculorum, habent formas magis manifeſtè conuexas: ſed tortuosè tamen: quia, quę appropinquant plus uerti ci ſpeculi, habent formas ſtrictiores & conuexiores, quę uerò appropin quant plus baſi ſpeculi, habent ſormas ampliores: ueruntamen omnium illarum imaginum conuexitas erit manifeſta. Patet ergo propoſitum.

58. Omnis forma rei uiſæ in ſpeculis pyramidalib. conuexis uidetur pyramidalis, ſimilis ſpecu lipyramidalitati. Alhazen 35 n 6.

Quod hic proponitur, patet per 40 th. 6 huius: quoniam ibidem monſtratum eſt in ſpeculis ſphę ricis conuexis, quòd quantò minus fuerit illud ſpeculum, tantò minores erunt circuli cadentes in ſuperficie ipſius: & ſic imagines erunt propinquiores centro, & ideo erũt minores. Similiter quoq 308 ſectiones cadentes in aliquo ſpeculo pyramidali: illę, quæ ſunt propinquiores uertici, ſunt minores & ſtrictiores: & ſic locus imaginis erit propin quior puncto, in quo cum axe ſpeculi cõcurrunt perpendiculares ductæ ſuper ſuperficies, contingentes ipſa ſpecula in punctis reflexionum oxygoniarum ſectionum, à quarum punctis fit reflexio ad uiſum: erunt ergo illæ imagines minores. Sectiones uerò oxygoniæ, quæ ſunt propinquiores baſi, habent contrariam diſpoſitionem alijs ſuperiori bus, quoniam ipſæ ſunt ampliores, ut patet per 116 th. 1 huius: unde loca imaginum fiunt remotiora à puncto, in quo concurrunt prædictæ perpendiculares, ductæ ſuper ſuperficies contingentes ipſa ſpecula in punctis reflexionũ: fiunt ergo imagines maiores. Et propter hoc accidit, quòd imagines formarum uiſarum in ſpeculis pyramidalib. conuexis fiunt pyramidales, ſimiles pyramidalitati ſpe culorum. Quod enim ex formis fuerit propinquius uertici ſpeculi, erit ſtrictius: & quod fuerit propinquius baſi, erit latius. Omnino enim forma rei uiſæ, quæ comprehenditur per reſlexionem ab aliquo ſpeculorum facta, aſsimilabitur ſuperficiei ſpeculi, à qua reflectitur illa forma, ut patet per 38 th. 5 huius. Reliquæ uerò omnes fallaciæ, quæ accidunt uiſui ex ſpeculis columnarib. conuexis, accidunt etiam ex iſtis ſpeculis pyramidalib. conuexis: unde non eſt hic reiterationi talium immorandum. Econuerſo etiam quæcunq fallacię accidunt in ſpeculis his pyramidalibus, accidunt etiã in ipſis columnaribus, excepta pyramidatione imaginum: quoniã oxygonię ſectiones columnariũ ſpeculorũ, quę ſunt eiuſdem decliuitatis ſuper axẽ colũnę, oẽs ſunt ęquales: & pars omnis talis ſectionis cacumen ſpeculi reſpicientis eſt ſimilis parti ſibi ęquali in eodẽ ſitu reſpicienti baſim ſpecu li, quod non eſt in ſectionib. oxygonijs pyramidum, quę, ut oſtenſum eſt ք 116 th. 1 huius, omnes ad partem baſis pyramidum dilatantur, ſecundum quod circuli ipſas æquidiſtanter baſibus ſecantes ſunt maiores, qui circuli omnes in columnis ſunt æquales. Patet itaq propoſitum.

59. In ſpeculis columnaribus uel pyramidalibus conuexis maioribus maior a uidentur idola: rei́ uiſæ propinquioris imago uidetur maior. Alhazen 36 n 6.

Propoſitæ paſsiones aliæq́ quá plures cõmunes ſunt his ſpeculis columnaribus & pyramidalib. & ſpeculis ſphæricis conuexis: unde iſtarum paſsionum, ſicut & aliarum communium, idem hinc inde demonſtrandi eſt modus. Verùm ſi in propoſitis his ſpeculis fiat communis ſectio ſuperficiei reflexionis & ſpeculi ſectio oxygonia, quæ non accidit in ſpeculis ſphæricis, cum in illis ſolùm ſint circuli: tunc ex his, quæ in hoc noſtro libro præmiſimus, hic erit in ipſis ſectionibus, utillic in circu lis, demonſtrandum: patebitq́ propoſitum ingenio diligenti.

60. Poßbile eſt ſpeculum columnare uel pyramidale cõuexum taliter ſiſti, ut intuens uideat in aere extra ſpeculum imaginem rei alterius non uiſæ.

Sit ſpeculum columnare cõuexum: cuius linea longitudinis ſit a b c: quod erigatur ſuք baſim ſuá in loco aliquo domus conuenienter amplæ, ita ut linea a c, cuius medius punctus ſit b, ſit erecta ſuper pauimentum domus: ducaturq́ linea contingens ſpeculum in puncto b perpendiculariter ſuք lineam a b: quæ ſit d b e, quæ ſecundum puncta d & e tangat parietes domus: & illa puncta ſignentur in ipſis domus parietibus. Superficies itaq in qua eſt linea d b e (quę eſt orthogonalis ſuք axẽ ſpeculi) palã quoniã ſecat ſpeculũ ſecundum circulũ ք 100 th. 1 huius. Super punctũ itaq d parietis domus ſignato puncto f, ut propinquius cõuenienter poſsit fieri: ducatur à pũcto f linea ę quidiftãs lineę ſpeculi, quę eſt a b c, cuiuſcũq quãtitatis placuerit: quę ſit g f h: & eius medius punctus ſit f: co puleturq́ linea f b: quę producatur ultra punctũ f trãs murum in punctũ k: & perforetur paries ſecũdum li

Fig. 710

p l e g a k f m b o n q h c d
neã g f h, ita quòd ex alia parte ſuperficiei muri ma ior fiat exciſio ri mę parie tis  uer ſus ſpeculũ, ſicut conſueuit fie ri in fene ſtris do morũ: fiatq́ totalis illa exciſio rimę ſecũdũ extẽſionẽ lineę b f k: ſitq́ illa rima f k l. Et à pũcto ſpeculi, q eſt b, ducatur linea erecta ſuք ſuperficiẽ ſpeculi: quę erit քpẽdicularis ſuք lineã d b e: quę educta extra ſpeculũ ſit b m. Angulo quo q k b m fiat ſuք punctũ b terminũ lineę m b angulus ęqualis, ꝗ ſit m b n, ducta linea b n. A pũctis quoq g & h (quę ſunt extrema pũcta lineę g f h) ducãtur lineę ad ſpeculũ, quę ſint g a & h c: quę productę cócurrant in puncto o ſuքficiei circuli ſecantis ſpeculũ in puncto b: 309 ducaturq́ linea b o: ſacta quo que talireſectione lineæ b n per 3 p 1 ut ipſa fiat æqualis lineæ b o. Diso quòd ſi in puncto n ponatur centrum uiſus, quòd ad ipſum reflectetur forma lineæ g f h à linea longitudinis ſpeculi, quæ a b c. Hoc autem patet per 30 huius. forma quoq totius lineæ g f h uidebitur extra ſpeculum ſcilicet inter ſpeculum & inter lineam g f h, ſcilicet citra punctum d lineæ d e contingentis ſpeculum in puncto b, ut patet per 49 huius. Si itaq lineę o g & o h producantur trãs murum in puncta p & q, & copuletur linea una, quæ ſit p k q, in quam tabula aliqua depicta ordmetur ultra murum, ita ut media linea ſormæ in illa tabula depictæ ſituetur ſuper lineam p k q, taliterq́ diſponatur, quòd per uiſum exiſtentem in puncto n, uel citra illum uideri non poſsit forma depicta in tabula: uidebitur tamẽ uiſu ſic diſpoſito imago illius formæ in aere reflexa à ſpeculi ſuperficie co lumnaris. Simili quoq modo diligens intuitor poteſt ſiſtere ſpeculum pyramidale conuexũ & cen trum uiſus per 41 & 49 huius. Á ſpeculis uerò ſphęricis conuexis adeò regularis reflexio non fiet, ut à propoſitis ſpeculis: patet ergo propoſitum. Secundũ huncitaq modum ſtudioſus percontator inuigilet: quoniam hoc, quod hic pręmiſimus in pręſenti theoremate, exempli cauſſa fecimus, ut ex huius libri 7 diffuſione, uia perquiſitionis diuerſi artificij pateat animę diligenti.

▼ Liber VIII ▼